Shumëështë një bashkësi e çdo objekti që quhen elementë të kësaj bashkësie.

Për shembull: shumë nxënës, shumë makina, shumë numra .

Në matematikë, grupi konsiderohet shumë më gjerësisht. Ne nuk do të thellohemi shumë në këtë temë, pasi ajo ka të bëjë me matematikën e lartë dhe në fillim mund të krijojë vështirësi për të mësuar. Ne do të shqyrtojmë vetëm atë pjesë të temës që kemi trajtuar tashmë.

Përmbajtja e mësimit

Emërtimet

Një grup më së shpeshti shënohet me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe elementët e tij me shkronja të vogla. Në këtë rast, elementët janë të mbyllur në mbajtëse kaçurrelë.

Për shembull, nëse emri i miqve tanë është Tom, John dhe Leo , atëherë mund të përcaktojmë një grup miqsh elementët e të cilëve do të jenë Tom, John dhe Leo.

Le të tregojmë shumë nga miqtë tanë duke përdorur një shkronjë të madhe latine F(miq), më pas vendosni një shenjë të barabartë dhe renditni miqtë tanë në kllapa kaçurrelë:

F = (Tom, John, Leo)

Shembulli 2. Le të shkruajmë bashkësinë e pjesëtuesve të numrit 6.

Le ta shënojmë këtë grup me ndonjë shkronjë të madhe latine, për shembull, me shkronjë D

më pas vendosim shenjën e barazimit dhe rendisim elementet e këtij grupi në kllapa kaçurrela, domethënë rendisim pjesëtuesit e numrit 6.

D = (1, 2, 3, 6)

Nëse ndonjë element i përket një grupi të caktuar, atëherë ky anëtarësim tregohet duke përdorur shenjën e anëtarësimit ∈. Për shembull, pjesëtuesi 2 i përket grupit të pjesëtuesve të numrit 6 (bashkësia D). Është shkruar kështu:

Lexohet si: "2 i përket grupit të pjesëtuesve të numrit 6"

Nëse ndonjë element nuk i përket një grupi të caktuar, atëherë kjo mosanëtarësim tregohet duke përdorur një shenjë të anëtarësimit të kryqëzuar ∉. Për shembull, pjesëtuesi 5 nuk i përket grupit D. Është shkruar kështu:

Lexohet si: "5 nuk i takon grupi i pjesëtuesve të numrit 6"

Përveç kësaj, një grup mund të shkruhet duke renditur drejtpërdrejt elementet, pa shkronja të mëdha. Kjo mund të jetë e përshtatshme nëse grupi përbëhet nga një numër i vogël elementësh. Për shembull, le të përcaktojmë një grup prej një elementi. Le të jetë ky element miku ynë Vëllimi:

(Vëllimi)

Le të përcaktojmë një grup që përbëhet nga një numër 2

{ 2 }

Le të përcaktojmë një grup që përbëhet nga dy numra: 2 dhe 5

{ 2, 5 }

Bashkësia e numrave natyrorë

Ky është grupi i parë me të cilin filluam të punojmë. Numrat natyrorë janë numrat 1, 2, 3, etj.

Numrat natyrorë u shfaqën për shkak të nevojës së njerëzve për të numëruar ato objekte të tjera. Për shembull, numëroni numrin e pulave, lopëve, kuajve. Numrat natyrorë lindin natyrshëm kur numërohen.

Në mësimet e mëparshme, kur përdornim fjalën "numri", më së shpeshti ishte një numër natyror që ishte menduar.

Në matematikë, bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjë të madhe N.

Për shembull, le të theksojmë se numri 1 i përket grupit të numrave natyrorë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë numrin 1, pastaj duke përdorur shenjën e anëtarësimit ∈ tregojmë se njësia i përket grupit N

1 ∈ N

Lexohet si: "Një i përket grupit të numrave natyrorë"

Një grup numrash të plotë

Grupi i numrave të plotë përfshin të gjitha pozitive dhe , si dhe numrin 0.

Një grup numrash të plotë shënohet me shkronjë të madhe Z .

Le të theksojmë, për shembull, se numri −5 i përket grupit të numrave të plotë:

−5 ∈ Z

Le të theksojmë se 10 i përket grupit të numrave të plotë:

10 ∈ Z

Le të theksojmë se 0 i përket grupit të numrave të plotë:

Në të ardhmen, ne do t'i quajmë të gjithë numrat pozitivë dhe negativë një frazë - numra të plotë.

Një grup numrash racionalë

Numrat racional janë të njëjtat thyesa të zakonshme që ne studiojmë deri më sot.

Një numër racional është një numër që mund të paraqitet si një thyesë, ku a- numëruesi i thyesës, b- emërues.

Numëruesi dhe emëruesi mund të jenë çdo numër, duke përfshirë numrat e plotë (me përjashtim të zeros, pasi nuk mund të pjesëtoni me zero).

Për shembull, imagjinoni se në vend të aështë numri 10, por në vend të kësaj b- numri 2

10 pjesëtuar me 2 është 5. Shohim se numri 5 mund të paraqitet si thyesë, që do të thotë se numri 5 përfshihet në bashkësinë e numrave racionalë.

Është e lehtë të shihet se numri 5 vlen edhe për grupin e numrave të plotë. Prandaj, bashkësia e numrave të plotë përfshihet në bashkësinë e numrave racionalë. Kjo do të thotë se grupi i numrave racionalë përfshin jo vetëm thyesat e zakonshme, por edhe numrat e plotë të formës -2, -1, 0, 1, 2.

Tani le ta imagjinojmë atë në vend të kësaj a numri është 12, por në vend të kësaj b- numri 5.

12 pjesëtuar me 5 është 2.4. Shohim se thyesa dhjetore 2.4 mund të paraqitet si thyesë, që do të thotë se përfshihet në grupin e numrave racionalë. Nga kjo arrijmë në përfundimin se bashkësia e numrave racionalë përfshin jo vetëm thyesat e zakonshme dhe numrat e plotë, por edhe thyesat dhjetore.

Llogaritëm thyesën dhe morëm përgjigjen 2.4. Por ne mund të veçojmë të gjithë pjesën e kësaj fraksioni:

Kur izoloni të gjithë pjesën e një thyese, merrni një numër të përzier. Shohim që një numër i përzier mund të paraqitet edhe si thyesë. Kjo do të thotë se bashkësia e numrave racional përfshin edhe numra të përzier.

Si rezultat, arrijmë në përfundimin se grupi i numrave racional përmban:

• numra të plotë
• thyesat e zakonshme
• dhjetore
• numra të përzier

Bashkësia e numrave racionalë shënohet me shkronjë të madhe P.

Për shembull, theksojmë se një thyesë i përket grupit të numrave racionalë. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë vetë thyesën, pastaj duke përdorur shenjën e anëtarësimit ∈ tregojmë se thyesa i përket grupit të numrave racionalë:

∈ P

Le të theksojmë se thyesa dhjetore 4.5 i përket grupit të numrave racionalë:

4,5 ∈ P

Le të theksojmë se një numër i përzier i përket grupit të numrave racionalë:

∈ P

Ka përfunduar mësimi hyrës për grupet. Ne do t'i shikojmë grupet shumë më mirë në të ardhmen, por tani për tani ajo që trajtohet në këtë mësim do të mjaftojë.

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Nga numri i madh i grupeve të ndryshme, bashkësitë numerike janë veçanërisht interesante dhe të rëndësishme, d.m.th. ato bashkësi elementet e të cilave janë numra. Natyrisht, për të punuar me grupe numerike ju duhet të keni aftësinë për t'i shkruar ato, si dhe për t'i përshkruar ato në një vijë koordinative.

Shkrimi i grupeve numerike

Emërtimi përgjithësisht i pranuar për çdo grup është shkronja latine e madhe. Grupet e numrave nuk bëjnë përjashtim. Për shembull, mund të flasim për grupet e numrave B, F ose S, etj. Sidoqoftë, ekziston gjithashtu një shënim përgjithësisht i pranuar i grupeve numerike në varësi të elementeve të përfshira në të:

N – bashkësia e të gjithë numrave natyrorë; Z – grup i numrave të plotë; Q – grup numrash racionalë; J – bashkësi numrash irracionalë; R – bashkësia e numrave realë; C është bashkësia e numrave kompleksë.

Bëhet e qartë se përcaktimi, për shembull, i një grupi të përbërë nga dy numra: - 3, 8 me shkronjën J mund të jetë mashtrues, pasi kjo shkronjë shënon një grup numrash irracionalë. Prandaj, për të përcaktuar grupin - 3, 8, do të ishte më e përshtatshme të përdorni një lloj shkronje neutrale: A ose B, për shembull.

Le të kujtojmë gjithashtu shënimin e mëposhtëm:

• ∅ – një grup bosh ose një grup që nuk ka elementë përbërës;
• ∈ ose ∉ është një shenjë nëse një element i përket ose nuk i përket një grupi. Për shembull, shënimi 5 ∈ N do të thotë se numri 5 është pjesë e bashkësisë së të gjithë numrave natyrorë. Shënimi - 7, 1 ∈ Z pasqyron faktin se numri - 7, 1 nuk është një element i bashkësisë Z, sepse Z – grup i numrave të plotë;
• Shenjat që një grup i përket një grupi:
  ⊂ ose ⊃ - përkatësisht shenjat "përfshirë" ose "përfshin". Për shembull, shënimi A ⊂ Z nënkupton që të gjithë elementët e grupit A përfshihen në bashkësinë Z, d.m.th. grupi i numrave A përfshihet në grupin Z. Ose anasjelltas, shënimi Z ⊃ A do të sqarojë se bashkësia e të gjithë numrave të plotë Z përfshin bashkësinë A.
  ⊆ ose ⊇ janë shenja të të ashtuquajturit përfshirje jo strikte. Do të thotë "përfshirë ose përputhet" dhe "përfshin ose përputhet" përkatësisht.

Le të shqyrtojmë tani skemën për përshkrimin e grupeve numerike duke përdorur shembullin e rasteve kryesore standarde të përdorura më shpesh në praktikë.

Së pari do të shqyrtojmë grupe numerike që përmbajnë një numër të kufizuar dhe të vogël elementësh. Është e përshtatshme për të përshkruar një grup të tillë thjesht duke renditur të gjithë elementët e tij. Elementet në formën e numrave shkruhen, ndahen me presje dhe mbyllen në kllapa kaçurrelë (që korrespondon me rregullat e përgjithshme për përshkrimin e grupeve). Për shembull, ne shkruajmë bashkësinë e numrave 8, - 17, 0, 15 si (8, - 17, 0, 15).

Ndodh që numri i elementeve të një grupi të jetë mjaft i madh, por të gjithë i binden një modeli të caktuar: atëherë përdoret një elipsë në përshkrimin e grupit. Për shembull, ne shkruajmë bashkësinë e të gjithë numrave çift nga 2 në 88 si: (2, 4, 6, 8, ..., 88).

Tani le të flasim për përshkrimin e grupeve numerike në të cilat numri i elementeve është i pafund. Ndonjëherë ato përshkruhen duke përdorur të njëjtën elipsë. Për shembull, ne shkruajmë bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë si më poshtë: N = (1, 2, 3, ...).

Është gjithashtu e mundur të shkruhet një grup numerik me një numër të pafund elementësh duke specifikuar vetitë e elementeve të tij. Përdoret shënimi (x | vetitë). Për shembull, (n | 8 n + 3, n ∈ N) përcakton bashkësinë e numrave natyrorë që, kur pjesëtohet me 8, lënë një mbetje prej 3. I njëjti grup mund të shkruhet si: (11, 19, 27, ...).

Në raste të veçanta, bashkësi numerike me numër të pafund elementësh janë bashkësitë e njohura N, Z, R etj., ose intervale numerike. Por në thelb, grupet numerike janë një bashkim i intervaleve numerike përbërëse të tyre dhe grupeve numerike me një numër të kufizuar elementësh (kemi folur për to në fillim të artikullit).

Le të shohim një shembull. Supozoni se përbërësit e një grupi të caktuar numerik janë numrat - 15, - 8, - 7, 34, 0, si dhe të gjithë numrat e segmentit [- 6, - 1, 2] dhe numrat e vijës së hapur numerike (6, + ∞). Në përputhje me përkufizimin e bashkësisë së bashkësive, bashkësinë numerike të dhënë e shkruajmë si: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Një shënim i tillë në fakt nënkupton një grup që përfshin të gjithë elementët e grupeve (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] dhe (6, + ∞).

Në të njëjtën mënyrë, duke kombinuar intervale të ndryshme numerike dhe grupe numrash individualë, është e mundur të jepet një përshkrim i çdo grupi numerik të përbërë nga numra realë. Bazuar në sa më sipër, bëhet e qartë pse futen lloje të ndryshme të intervaleve numerike, si intervali, gjysmëintervali, segmenti, rreze numerike e hapur dhe rreze numerike. Të gjitha këto lloj intervalesh, së bashku me emërtimet e grupeve të numrave individualë, bëjnë të mundur përshkrimin e çdo grupi numerik nëpërmjet kombinimit të tyre.

Është gjithashtu e nevojshme t'i kushtohet vëmendje faktit që numrat individualë dhe intervalet numerike kur shkruani një grup mund të renditen në rend rritës. Në përgjithësi, kjo nuk është një kërkesë e detyrueshme, por një renditje e tillë ju lejon të përfaqësoni një grup numerik më thjesht, dhe gjithashtu ta shfaqni saktë atë në vijën e koordinatave. Vlen gjithashtu të sqarohet se regjistrime të tilla nuk përdorin intervale numerike me elementë të përbashkët, pasi këto regjistrime mund të zëvendësohen duke kombinuar intervale numerike, duke përjashtuar elementët e zakonshëm. Për shembull, bashkimi i grupeve numerike me elementët e përbashkët [- 15, 0] dhe (- 6, 4) do të jetë gjysmë-intervali [- 15, 4). E njëjta gjë vlen edhe për bashkimin e intervaleve numerike me numra kufitarë të njëjtë. Për shembull, bashkësia (4, 7] ∪ (7, 9] është bashkësia (4, 9]. Kjo pikë do të diskutohet në detaje në temën e gjetjes së kryqëzimit dhe bashkësisë së bashkësive numerike.

Në shembuj praktikë, është e përshtatshme të përdoret interpretimi gjeometrik i grupeve numerike - imazhi i tyre në një vijë koordinative. Për shembull, kjo metodë do të ndihmojë në zgjidhjen e pabarazive në të cilat është e nevojshme të merret parasysh ODZ - kur duhet të shfaqni grupe numerike për të përcaktuar bashkimin dhe/ose kryqëzimin e tyre.

Ne e dimë se ekziston një korrespondencë një-për-një midis pikave të vijës së koordinatave dhe numrave realë: e gjithë vija e koordinatave është një model gjeometrik i grupit të të gjithë numrave realë R. Prandaj, për të përshkruar grupin e të gjithë numrave realë, ne vizatojmë një vijë koordinative dhe aplikojmë hijezim përgjatë gjithë gjatësisë së saj:

Shpesh origjina dhe segmenti i njësisë nuk tregohen:

Konsideroni një imazh të grupeve të numrave të përbërë nga një numër i kufizuar numrash individualë. Për shembull, le të shfaqim një grup numrash (- 2, - 0, 5, 1, 2). Modeli gjeometrik i një grupi të caktuar do të jetë tre pika të vijës së koordinatave me koordinatat përkatëse:

Në shumicën e rasteve, është e mundur të mos ruhet saktësia absolute e vizatimit: një imazh skematik pa respektim të shkallës, por ruajtja e pozicionit relativ të pikave në raport me njëra-tjetrën, është mjaft i mjaftueshëm, d.m.th. çdo pikë me një koordinatë më të madhe duhet të jetë në të djathtë të një pike me një më të vogël. Me këtë thënë, një vizatim ekzistues mund të duket si ky:

Veçmas nga grupet e mundshme numerike, dallohen intervalet numerike: intervalet, gjysmëintervalet, rrezet, etj.)

Tani le të shqyrtojmë parimin e paraqitjes së grupeve numerike, të cilat janë bashkimi i disa intervaleve numerike dhe grupeve që përbëhen nga numra individualë. Nuk ka asnjë vështirësi në këtë: sipas përkufizimit të një bashkimi, është e nevojshme të shfaqen në vijën e koordinatave të gjithë përbërësit e grupit të një grupi të caktuar numerik. Për shembull, le të krijojmë një ilustrim të grupit të numrave (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) .

Është gjithashtu mjaft e zakonshme që grupi i numrave që do të vizatohet të përfshijë të gjithë grupin e numrave realë, përveç një ose më shumë pikave. Komplete të tilla shpesh specifikohen nga kushte si x ≠ 5 ose x ≠ - 1, etj. Në raste të tilla, bashkësitë në modelin e tyre gjeometrik janë e gjithë linja koordinative me përjashtim të pikave të dhëna. Në përgjithësi pranohet të thuhet se këto pika duhet të "heqen" nga vija e koordinatave. Pika e shpuar përshkruhet si një rreth me një qendër të zbrazët. Për të mbështetur atë që u tha me një shembull praktik, le të shfaqim në vijën koordinative një grup me kushtin e dhënë x ≠ - 2 dhe x ≠ 3:

Informacioni i dhënë në këtë artikull ka për qëllim t'ju ndihmojë të fitoni aftësinë për të parë regjistrimin dhe paraqitjen e grupeve numerike aq lehtë sa intervalet individuale numerike. Në mënyrë ideale, grupi numerik i shkruar duhet të përfaqësohet menjëherë në formën e një imazhi gjeometrik në vijën e koordinatave. Dhe anasjelltas: nga imazhi, një grup numerik përkatës duhet të formohet lehtësisht përmes bashkimit të intervaleve numerike dhe grupeve që janë numra të veçantë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Analiza matematikore është dega e matematikës që merret me studimin e funksioneve bazuar në idenë e një funksioni infinitimal.

Konceptet bazë të analizës matematikore janë sasi, bashkësi, funksion, funksion infinitimal, limit, derivat, integral.

MadhësiaÇdo gjë që mund të matet dhe të shprehet me numër quhet.

Shumëështë një koleksion i disa elementeve të bashkuar nga disa tipare të përbashkëta. Elementet e një grupi mund të jenë numra, figura, objekte, koncepte etj.

Kompletet shënohen me shkronja të mëdha dhe elementët e grupit me shkronja të vogla. Elementet e grupeve janë të mbyllura në mbajtëse kaçurrelë.

Nëse elementi x i përket grupit X, pastaj shkruani x∈X (∈ - i përket).
Nëse grupi A është pjesë e grupit B, atëherë shkruani A ⊂ B (⊂ - të përmbajtura).

Një grup mund të përcaktohet në një nga dy mënyrat: me numërim dhe duke përdorur një veçori përcaktuese.

Për shembull, grupet e mëposhtme specifikohen me numërim:

• A=(1,2,3,5,7) - grup numrash
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) — grup i disa elementeve x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) - bashkësi numrash natyrorë
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - bashkësi numrash të plotë

Bashkësia (-∞;+∞) thirret rreshti numerik, dhe çdo numër është një pikë në këtë linjë. Le të jetë a një pikë arbitrare në vijën numerike dhe δ një numër pozitiv. Quhet intervali (a-δ; a+δ). δ-lagja e pikës a.

Një grup X është i kufizuar nga lart (nga poshtë) nëse ka një numër c të tillë që për çdo x ∈ X vlen pabarazia x≤с (x≥c). Numri c në këtë rast quhet buza e sipërme (e poshtme). grupi X. Një grup i kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë quhet kufizuar. Më e vogla (më e madhe) e faqeve të sipërme (të poshtme) të një grupi quhet skaji i saktë i sipërm (poshtë). të kësaj shumice.

Kompletet bazë të numrave

N	(1,2,3,...,n) Të gjitha
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Set numra të plotë. Bashkësia e numrave të plotë përfshin bashkësinë e numrave natyrorë.
P	Shumë numrat racionalë. Përveç numrave të plotë, ka edhe thyesa. Një thyesë është një shprehje e formës ku fq- numër i plotë, q- natyrale. Thyesat dhjetore mund të shkruhen edhe si . Për shembull: 0,25 = 25/100 = 1/4. Numrat e plotë mund të shkruhen edhe si . Për shembull, në formën e një thyese me emëruesin "një": 2 = 2/1. Kështu, çdo numër racional mund të shkruhet si thyesë dhjetore - periodik i fundëm ose pafundësisht.
R	Shumë nga të gjithë numra realë. Numrat irracionalë janë thyesa të pafundme jo periodike. Këto përfshijnë: Së bashku, dy grupe (numra racional dhe irracional) formojnë bashkësinë e numrave realë (ose realë).

Nëse një grup nuk përmban një element të vetëm, atëherë thirret grup bosh dhe regjistrohet Ø .

Elemente të simbolizmit logjik

Shënimi ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Kuantifikues

Kuantifikuesit përdoren shpesh gjatë shkrimit të shprehjeve matematikore.

Kuantifikues quhet simbol logjik që karakterizon elementet që e ndjekin në aspektin sasior.

• ∀- sasior i përgjithshëm, përdoret në vend të fjalëve "për të gjithë", "për këdo".
• ∃- sasior i ekzistencës, përdoret në vend të fjalëve "ekziston", "është në dispozicion". Përdoret edhe kombinimi i simboleve ∃, i cili lexohet sikur ka vetëm një.

Vendosni operacionet

Dy grupet A dhe B janë të barabarta(A=B) nëse përbëhen nga të njëjtat elementë.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) atëherë A=B.

Sipas bashkimit (shumës) grupet A dhe B është një bashkësi A ∪ B, elementët e të cilit i përkasin të paktën njërës prej këtyre bashkësive.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atëherë A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Sipas kryqëzimit (produkti) bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A ∩ B, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A dhe bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atëherë A ∩ B = (2,4)

Nga dallimi Bashkësitë A dhe B quhen bashkësia AB, elementet e së cilës i përkasin bashkësisë A, por nuk i përkasin bashkësisë B.
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atëherë AB = (1,2)

Dallimi simetrik bashkësitë A dhe B quhet bashkësia A Δ B, e cila është bashkimi i dallimeve të bashkësive AB dhe BA, pra A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Për shembull, nëse A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atëherë A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

Vetitë e operacioneve të grupit

Karakteristikat e ndërrueshmërisë

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Pronë që përputhet

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Komplete të numërueshme dhe të panumërueshme

Për të krahasuar çdo dy grupe A dhe B, krijohet një korrespondencë midis elementeve të tyre.

Nëse kjo korrespodencë është një me një, atëherë grupet quhen ekuivalente ose po aq të fuqishme, A B ose B A.

Shembulli 1

Bashkësia e pikave në këmbën BC dhe hipotenuza AC e trekëndëshit ABC janë me fuqi të barabartë.

Koncepti i numrit. Llojet e numrave.

Numri është një abstraksion që përdoret për të përcaktuar sasinë e objekteve. Numrat u ngritën në shoqërinë primitive në lidhje me nevojën e njerëzve për të numëruar objektet. Me kalimin e kohës, me zhvillimin e shkencës, numri u shndërrua në konceptin më të rëndësishëm matematikor.

Për të zgjidhur problemet dhe për të vërtetuar teorema të ndryshme, duhet të kuptoni se çfarë lloje numrash ekzistojnë. Llojet bazë të numrave përfshijnë: numrat natyrorë, numrat e plotë, numrat racionalë, numrat realë.

Numrat natyrorë- këta janë numra të përftuar nga numërimi natyror i objekteve, ose më mirë me numërimin e tyre (“i pari”, “i dyti”, “i tretë”...). Bashkësia e numrave natyrorë shënohet me shkronjë latine N (mund të mbahet mend bazuar në fjalën angleze natural). Mund të thuhet se N ={1,2,3,....}

Numrat e plotë– këta janë numra nga bashkësia (0, 1, -1, 2, -2, ....). Ky grup përbëhet nga tre pjesë - numra natyrorë, numra të plotë negativë (e kundërta e numrave natyrorë) dhe numri 0 (zero). Numrat e plotë shënohen me shkronjë latine Z . Mund të thuhet se Z ={1,2,3,....}.

Numrat racionalë janë numra të paraqitur si një thyesë, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Shkronja latine përdoret për të treguar numra racionalë P . Të gjithë numrat natyrorë dhe numrat e plotë janë racionalë.

Numrat realë janë numra që përdoren për të matur sasitë e vazhdueshme. Bashkësia e numrave realë shënohet me shkronjën latine R. Numrat real përfshijnë numrat racionalë dhe numrat irracionalë. Numrat irracionalë janë numra që përftohen si rezultat i kryerjes së veprimeve të ndryshme me numra racionalë (për shembull, marrja e rrënjëve, llogaritja e logaritmeve), por nuk janë racionalë.

1. Sistemet e numrave.

Një sistem numrash është një mënyrë për të emërtuar dhe shkruar numra. Në varësi të metodës së paraqitjes së numrave, ato ndahen në pozicionale - dhjetore dhe jo pozicionale - romake.

Kompjuterët përdorin sisteme numrash 2-shifror, 8-shifror dhe 16-shifror.

Dallimet: regjistrimi i një numri në sistemin e numrave të 16-të është shumë më i shkurtër në krahasim me një regjistrim tjetër, d.m.th. kërkon më pak kapacitet bit.

Në një sistem numrash pozicional, çdo shifër ruan vlerën e saj konstante pavarësisht nga pozicioni i saj në numër. Në një sistem numrash pozicional, çdo shifër përcakton jo vetëm kuptimin e saj, por varet edhe nga pozicioni që zë në numër. Çdo sistem numrash karakterizohet nga një bazë. Baza është numri i shifrave të ndryshme që përdoren për të shkruar numra në një sistem numrash të caktuar. Baza tregon se sa herë ndryshon vlera e së njëjtës shifër kur lëviz në një pozicion ngjitur. Kompjuteri përdor një sistem me 2 numra. Baza e sistemit mund të jetë çdo numër. Veprimet aritmetike mbi numrat në çdo pozicion kryhen sipas rregullave të ngjashme me sistemin e numrave 10. Numri 2 përdor aritmetikë binare, e cila zbatohet në një kompjuter për të kryer llogaritjet aritmetike.

Mbledhja e numrave binare:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10

Zbritja:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1

Shumëzimi:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1

Kompjuteri përdor gjerësisht sistemin me 8 numra dhe sistemin me 16 numra. Ato përdoren për të shkurtuar numrat binarë.

2. Koncepti i grupit.

Koncepti i "bashkësisë" është një koncept themelor në matematikë dhe nuk ka përkufizim. Natyra e gjenerimit të çdo grupi është e larmishme, në veçanti, objektet përreth, natyra e gjallë, etj.

Përkufizimi 1: Quhen objektet nga të cilat formohet një bashkësi elementet e këtij grupi. Për të treguar një grup, përdoren shkronja të mëdha të alfabetit latin: për shembull, X, Y, Z dhe elementët e tij shkruhen me shkronja të vogla në kllapa kaçurrela të ndara me presje, për shembull: (x,y,z).

Një shembull i shënimit për një grup dhe elementet e tij:

X = (x 1, x 2,…, x n) - një grup i përbërë nga n elementë. Nëse elementi x i përket bashkësisë X, atëherë duhet të shkruhet: xÎX, përndryshe elementi x nuk i përket bashkësisë X, e cila shkruhet: xÏX. Elementet e një grupi abstrakt mund të jenë, për shembull, numra, funksione, shkronja, forma, etj. Në matematikë, në çdo seksion, përdoret koncepti i grupit. Në veçanti, ne mund të japim disa grupe specifike numrash realë. Bashkësia e numrave realë x që plotëson pabarazitë:

· quhet a ≤ x ≤ b segment dhe shënohet me ;

a ≤ x< b или а < x ≤ b называется gjysmë segmenti dhe shënohet me: ;

· A< x < b называется intervali dhe shënohet me (a,b).

Përkufizimi 2: Një bashkësi që ka një numër të kufizuar elementësh quhet i fundëm. Shembull. X = (x 1 , x 2 , x 3 ).

Përkufizimi 3: Kompleti quhet pafund, nëse përbëhet nga një numër i pafund elementësh. Për shembull, bashkësia e të gjithë numrave realë është e pafundme. Shembull hyrje. X = (x 1, x 2, ...).

Përkufizimi 4: Një bashkësi që nuk ka një element të vetëm quhet bashkësi boshe dhe shënohet me simbolin Æ.

Një karakteristikë e një grupi është koncepti i fuqisë. Fuqia është numri i elementeve të tij. Bashkësia Y=(y 1 , y 2 ,...) ka të njëjtin kardinalitet si bashkësia X=(x 1 , x 2 ,...) nëse ka një korrespondencë një me një y= f(x ) ndërmjet elementeve të këtyre grupeve. Komplete të tilla kanë të njëjtin kardinalitet ose janë të barabartë. Një grup bosh ka zero kardinalitet.

3. Metodat për specifikimin e grupeve.

Besohet se një grup përcaktohet nga elementët e tij, d.m.th. kompleti jepet, nëse mund të themi për ndonjë objekt: i përket këtij grupi ose nuk i përket. Ju mund të specifikoni një grup në mënyrat e mëposhtme:

1) Nëse një grup është i fundëm, atëherë ai mund të përcaktohet duke renditur të gjithë elementët e tij. Pra, nëse grupi A përbëhet nga elementë 2, 5, 7, 12 , pastaj shkruajnë A = (2, 5, 7, 12). Numri i elementeve të grupit A barazohet 4 , shkruajnë ata n(A) = 4.

Por nëse grupi është i pafund, atëherë elementët e tij nuk mund të numërohen. Është e vështirë të përkufizosh një bashkësi me numërim dhe një bashkësi të fundme me një numër të madh elementësh. Në raste të tilla, përdoret një metodë tjetër e specifikimit të grupit.

2) Një grup mund të specifikohet duke treguar vetinë karakteristike të elementeve të tij. Veti karakteristike- Kjo është një veti që ka çdo element që i përket një grupi dhe jo një element i vetëm që nuk i përket. Konsideroni, për shembull, një bashkësi X të numrave dyshifrorë: vetia që ka secili element i këtij grupi është "të jetë një numër dyshifror". Kjo veti karakteristike bën të mundur vendosjen nëse një objekt i përket grupit X apo nuk i përket. Për shembull, numri 45 gjendet në këtë grup, sepse është dyshifror dhe numri 4 nuk i përket grupit X, sepse është e paqartë dhe jo me dy vlera. Ndodh që i njëjti grup mund të përcaktohet duke treguar vetitë e ndryshme karakteristike të elementeve të tij. Për shembull, një grup katrorësh mund të përkufizohet si një grup drejtkëndëshash me brinjë të barabarta dhe si një grup rombesh me kënde të drejta.

Në rastet kur vetia karakteristike e elementeve të një grupi mund të përfaqësohet në formë simbolike, një shënim përkatës është i mundur. Nëse grupi NË përbëhet nga të gjithë numrat natyrorë më të vegjël se 10, pastaj ata shkruajnë B = (x N | x<10}.

Metoda e dytë është më e përgjithshme dhe ju lejon të specifikoni grupe të fundme dhe të pafundme.

4. Bashkësi numerike.

Numerike - një grup elementet e të cilit janë numra. Bashkësitë numerike specifikohen në boshtin e numrave realë R. Në këtë bosht zgjidhet shkalla dhe tregohet origjina dhe drejtimi. Grupet më të zakonshme të numrave:

· - grup numrash natyrorë;

· - grup i numrave të plotë;

· - bashkësi numrash racionalë ose thyesorë;

· - grup numrash realë.

5. Fuqia e kompletit. Jepni shembuj të bashkësive të fundme dhe të pafundme.

Grupet quhen po aq të fuqishme, ekuivalente, nëse ka një korrespodencë një-me-një ose një-për-një midis tyre, domethënë një korrespondencë e tillë në çift. kur çdo element i një grupi shoqërohet me një element të vetëm të një grupi tjetër dhe anasjelltas, ndërsa elementë të ndryshëm të një grupi shoqërohen me elementë të ndryshëm të një grupi tjetër.

Për shembull, le të marrim një grup prej tridhjetë studentësh dhe të lëshojmë bileta provimi, një biletë për secilin student nga një pirg që përmban tridhjetë bileta, një korrespondencë e tillë në çift prej 30 studentësh dhe 30 biletash do të jetë një-për-një.

Dy grupe kardinaliteti të barabartë me të njëjtin grup të tretë janë me kardinalitet të barabartë. Nëse bashkësitë M dhe N janë me kardinalitet të barabartë, atëherë bashkësitë e të gjitha nëngrupeve të secilës prej këtyre bashkësive M dhe N janë gjithashtu me kardinalitet të barabartë.

Një nëngrup i një grupi të caktuar është një grup i tillë që çdo element i tij është një element i grupit të caktuar. Pra grupi i makinave dhe grupi i kamionëve do të jenë nëngrupe të grupit të makinave.

Fuqia e bashkësisë së numrave realë quhet fuqia e vazhdimësisë dhe shënohet me shkronjën "alef" א . Fusha më e vogël e pafundme është kardinaliteti i grupit të numrave natyrorë. Kardinaliteti i bashkësisë së të gjithë numrave natyrorë zakonisht shënohet me (alef-zero).

Fuqitë shpesh quhen numra kardinal. Ky koncept u prezantua nga matematikani gjerman G. Cantor. Nëse grupet shënohen me shkronja simbolike M, N, atëherë numrat kardinal shënohen me m, n. G. Cantor vërtetoi se bashkësia e të gjitha nëngrupeve të një bashkësie të caktuar M ka një kardinalitet më të madh se vetë bashkësia M.

Një bashkësi e barabartë me bashkësinë e të gjithë numrave natyrorë quhet bashkësi e numërueshme.

6. Nënbashkësi të grupit të specifikuar.

Nëse zgjedhim disa elementë nga grupi ynë dhe i grupojmë veçmas, atëherë kjo do të jetë një nëngrup i grupit tonë. Ka shumë kombinime nga të cilat mund të merret një nëngrup, numri i kombinimeve varet vetëm nga numri i elementeve në grupin origjinal.

Le të kemi dy bashkësi A dhe B. Nëse çdo element i grupit B është një element i bashkësisë A, atëherë bashkësia B quhet një nënbashkësi e A. Shënohet: B ⊂ A. Shembull.

Sa nëngrupe të bashkësisë A=1;2;3 ka?

Zgjidhje. Nënbashkësi të përbëra nga elementë të grupit tonë. Pastaj kemi 4 opsione për numrin e elementeve në nëngrup:

Një nëngrup mund të përbëhet nga 1 element, 2, 3 elementë dhe mund të jetë bosh. Le të shkruajmë elementët tanë në mënyrë sekuenciale.

Nëngrup i 1 elementi: 1,2,3

Nënbashkësi prej 2 elementësh: 1,2,1,3,2,3.

Nënbashkësi prej 3 elementesh: 1;2;3

Të mos harrojmë se grupi bosh është gjithashtu një nëngrup i grupit tonë. Pastaj gjejmë se kemi 3+3+1+1=8 nënbashkësi.

7. Operacionet në grupe.

Disa veprime mund të kryhen në grupe, të ngjashme në disa aspekte me veprimet mbi numrat realë në algjebër. Prandaj, mund të flasim për algjebër të vendosur.

Shoqata(lidhja) e kompleteve A Dhe NËështë një grup (simbolikisht shënohet me ), i përbërë nga të gjithë ata elementë që i përkasin të paktën njërës prej grupeve A ose NË. Në formë nga X bashkimi i bashkësive shkruhet si më poshtë

Në hyrje thuhet: “Bashkimi A Dhe NË"ose" A, e kombinuar me NË».

Operacionet e grupit paraqiten vizualisht grafikisht duke përdorur rrathët e Euler (nganjëherë përdoret termi "diagramet Venn-Euler"). Nëse të gjithë elementët e grupit A do të përqendrohet brenda rrethit A, dhe elementet e grupit NË- brenda një rrethi NË, operacioni i unifikimit duke përdorur rrathët Euler mund të përfaqësohet në formën e mëposhtme

Shembulli 1. Bashkimi i shumë A= (0, 2, 4, 6, 8) shifra dhe grupe çift NË= (1, 3, 5, 7, 9) shifrat tek është bashkësia = =(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e të gjitha shifrave të sistemit të numrave dhjetorë.

8. Paraqitja grafike e grupeve. Diagramet Euler-Venn.

Diagramet Euler-Venn janë paraqitje gjeometrike të bashkësive. Ndërtimi i diagramit konsiston në vizatimin e një drejtkëndëshi të madh që përfaqëson grupin universal U, dhe brenda tij - rrathë (ose disa figura të tjera të mbyllura) që përfaqësojnë grupe. Format duhet të kryqëzohen në mënyrën më të përgjithshme të kërkuar nga problemi dhe duhet të etiketohen në përputhje me rrethanat. Pikat që ndodhen brenda zonave të ndryshme të diagramit mund të konsiderohen si elemente të grupeve përkatëse. Me diagramin e ndërtuar, ju mund të hijeni zona të caktuara për të treguar grupe të sapoformuara.

Operacionet e grupeve konsiderohen për të marrë grupe të reja nga ato ekzistuese.

Përkufizimi. Shoqata grupet A dhe B është një grup i përbërë nga të gjithë ata elementë që i përkasin të paktën njërit prej grupeve A, B (Fig. 1):

Përkufizimi. Duke kaluar grupet A dhe B është një grup i përbërë nga të gjithë ata dhe vetëm ata elementë që i përkasin njëkohësisht grupit A dhe grupit B (Fig. 2):

Përkufizimi. Nga dallimi grupet A dhe B është bashkësia e të gjithë atyre dhe vetëm atyre elementeve të A që nuk përmbahen në B (Fig. 3):

Përkufizimi. Dallimi simetrik grupe A dhe B është bashkësia e elementeve të këtyre grupeve që i përkasin ose vetëm grupit A ose vetëm grupit B (Fig. 4):

Produkt kartezian (ose i drejtpërdrejtë) i grupeveA Dhe B një grup i tillë rezultues i çifteve të formës ( x,y) i ndërtuar në atë mënyrë që elementi i parë nga bashkësia A, dhe elementi i dytë i çiftit është nga grupi B. Emërtimi i zakonshëm:

A× B={(x,y)|x∈A,y∈B}

Produktet e tre ose më shumë grupeve mund të ndërtohen si më poshtë:

A× B× C={(x,y,z)|x∈A,y∈B,z∈C}

Produktet e formës A× A,A× A× A,A× A× A× A etj. Është e zakonshme të shkruhet si diplomë: A 2 ,A 3 ,A 4 (baza e shkallës është grupi i shumëzuesit, eksponenti është numri i produkteve). Ata lexojnë një hyrje të tillë si një "katror kartezian" (kub, etj.). Ka lexime të tjera për grupet kryesore. Për shembull, R nËshtë zakon të lexohet si "er nnoe".

Vetitë

Le të shqyrtojmë disa veti të produktit kartezian:

1. Nëse A,B atëherë janë grupe të fundme A× B- përfundimtar. Dhe anasjelltas, nëse një nga grupet e faktorëve është i pafund, atëherë rezultati i produktit të tyre është një grup i pafund.

2. Numri i elementeve në një prodhim kartezian është i barabartë me prodhimin e numrit të elementeve të bashkësive të faktorëve (nëse janë të fundme, sigurisht): | A× B|=|A|⋅|B| .

3. Një np ≠(Një n) fq- në rastin e parë, këshillohet të merret parasysh rezultati i produktit kartezian si një matricë me dimensione 1× n.p., në të dytën - si një matricë e madhësive n× fq .

4. Ligji komutativ nuk është i plotësuar, sepse renditen çiftet e elementeve të rezultatit të një produkti kartezian: A× B≠B× A .

5. Ligji asociativ nuk është përmbushur: ( A× B)× C≠A×( B× C) .

6. Ekziston shpërndarje në lidhje me operacionet bazë në grupe: ( A∗B)× C=(A× C)∗(B× C),∗∈{∩,∪,∖}

10. Koncepti i shqiptimit. Pohime elementare dhe të përbëra.

Deklaratëështë një deklaratë ose fjali deklarative që mund të thuhet se është e vërtetë (I-1) ose e gabuar (F-0), por jo të dyja.

Për shembull, "Po bie shi sot", "Ivanov përfundoi punën laboratorike nr. 2 në fizikë".

Nëse kemi disa deklarata fillestare, atëherë prej tyre, duke përdorur bashkimet logjike ose grimcat ne mund të formojmë pohime të reja, vlera e së vërtetës së të cilave varet vetëm nga vlerat e vërtetësisë së pohimeve origjinale dhe nga lidhjet dhe grimcat specifike që marrin pjesë në ndërtimin e pohimit të ri. Fjalët dhe shprehjet "dhe", "ose", "jo", "nëse..., atëherë", "prandaj", "atëherë dhe vetëm atëherë" janë shembuj të lidhjeve të tilla. Deklaratat origjinale quhen thjeshtë , dhe deklarata të reja të ndërtuara prej tyre me ndihmën e lidhjeve të caktuara logjike - të përbëra . Natyrisht, fjala "e thjeshtë" nuk ka të bëjë fare me thelbin ose strukturën e deklaratave origjinale, të cilat në vetvete mund të jenë mjaft komplekse. Në këtë kontekst, fjala "e thjeshtë" është sinonim i fjalës "origjinale". Ajo që ka rëndësi është që vlerat e vërteta të pohimeve të thjeshta supozohen të njihen ose të jepen; në çdo rast nuk diskutohen në asnjë mënyrë.

Edhe pse një thënie si "Sot nuk është e enjte" nuk përbëhet nga dy pohime të ndryshme të thjeshta, për uniformitetin e ndërtimit ai konsiderohet gjithashtu si një kompleks, pasi vlera e tij e vërtetë përcaktohet nga vlera e së vërtetës së pohimit tjetër "Sot është e enjte. ”

Shembulli 2. Deklaratat e mëposhtme konsiderohen si përbërës:

Kam lexuar Moskovsky Komsomolets dhe kam lexuar Kommersant.

Nëse e ka thënë, atëherë është e vërtetë.

Dielli nuk është një yll.

Nëse ka diell dhe temperatura i kalon 25 0, do të arrij me tren ose makinë

Deklaratat e thjeshta të përfshira në komponime mund të jenë në vetvete krejtësisht arbitrare. Në veçanti, ato vetë mund të jenë të përbëra. Llojet bazë të pohimeve të përbëra të përshkruara më poshtë përcaktohen në mënyrë të pavarur nga pohimet e thjeshta që i formojnë ato.

11. Operacionet mbi deklaratat.

1. Operacioni i mohimit.

Duke mohuar deklaratën A ( lexohet "jo A", "Nuk është e vërtetë kjo A"), e cila është e vërtetë kur A false dhe false kur A– e vërtetë.

Deklarata që mohojnë njëra-tjetrën A Dhe quhen përballë.

2. Operacioni i lidhjes.

Lidhëza deklaratat A Dhe NË quhet një deklaratë e shënuar me A B(lexon " A Dhe NË"), vlerat e vërteta të të cilave përcaktohen nëse dhe vetëm nëse të dyja deklaratat A Dhe NË janë të vërteta.

Lidhja e pohimeve quhet produkt logjik dhe shpesh shënohet AB.

Le të jepet një deklaratë A- “Në mars temperatura e ajrit është nga 0 C te + 7 C" dhe duke thënë NË- "Po bie shi në Vitebsk." Pastaj A B do të jetë si më poshtë: “në muajin mars temperatura e ajrit është nga 0 C te + 7 C dhe po bie shi në Vitebsk.” Kjo lidhje do të jetë e vërtetë nëse ka deklarata A Dhe NË e vërtetë. Nëse rezulton se temperatura ishte më e ulët 0 C ose nuk kishte shi në Vitebsk, atëherë A B do të jetë false.

3 . Operacioni i ndarjes.

Disjunksion deklaratat A Dhe NË thirri një deklaratë A B (A ose NË), e cila është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse të paktën një nga pohimet është e vërtetë dhe e gabuar - kur të dy pohimet janë të rreme.

Ndarja e pohimeve quhet gjithashtu një shumë logjike A+B.

deklarata " 4<5 ose 4=5 "është e vërtetë. Që nga deklarata " 4<5 "është e vërtetë, dhe deklarata" 4=5 » – e rreme, pra A B përfaqëson deklaratën e vërtetë " 4 5 ».

4 . Operacioni i implikimit.

Me nënkuptim deklaratat A Dhe NË thirri një deklaratë A B("Nëse A, Kjo NË", "nga A duhet NË"), vlera e të cilit është false nëse dhe vetëm nëse A e vërtetë, por NË e rreme.

Në nënkuptim A B deklaratë A thirrur bazë, ose premisa, dhe deklarata NË – pasojë, ose përfundimi.

12. Tabelat e vërtetësisë së pohimeve.

Një tabelë e vërtetësisë është një tabelë që vendos një korrespondencë midis të gjitha grupeve të mundshme të ndryshoreve logjike të përfshira në një funksion logjik dhe vlerave të funksionit.

Tabelat e së vërtetës përdoren për:

Llogaritja e së vërtetës së pohimeve komplekse;

Përcaktimi i ekuivalencës së deklaratave;

Përkufizimet e tautologjive.

Institucion arsimor shtetëror

arsimi i mesëm profesional

Rajoni i Tulës

"Kolegji i Inxhinierisë Mekanike Aleksinsky"

Numerike

grupe

Projektuar nga

mësuesi

matematikanët

Khristoforova M.Yu.

Numri - koncepti bazë , përdoret për karakteristikat, krahasimet, dhe pjesët e tyre. Shenjat e shkruara për të treguar numrat janë , dhe gjithashtu matematikore .

Koncepti i numrit lindi në kohët e lashta nga nevojat praktike të njerëzve dhe u zhvillua në procesin e zhvillimit njerëzor. Shtrirja e veprimtarisë njerëzore u zgjerua dhe, në përputhje me rrethanat, u rrit nevoja për përshkrim dhe hulumtim sasior. Në fillim, koncepti i numrit u përcaktua nga nevojat e numërimit dhe matjes që u ngritën në veprimtarinë praktike njerëzore, duke u bërë gjithnjë e më komplekse. Më vonë, numri bëhet koncepti bazë i matematikës dhe nevojat e kësaj shkence përcaktojnë zhvillimin e mëtejshëm të këtij koncepti.

Bashkësitë elementet e të cilave janë numra quhen numerike.

Shembuj të grupeve të numrave janë:

N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - bashkësi numrash natyrorë;

Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - grup i numrave të plotë jo negativë;

Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - grup i numrave të plotë;

Q=(m/n: m Z,n N) është bashkësia e numrave racionalë.

R-bashkësi numrash realë.

Ekziston një marrëdhënie midis këtyre grupeve

N Zo Z P R.

Numrat e formularitN = (1, 2, 3, ....) quhennatyrore . Numrat natyrorë u shfaqën në lidhje me nevojën për të numëruar objekte.

Çdo , më i madh se një, mund të paraqitet si produkt i fuqive të numrave të thjeshtë dhe në mënyrë unike, deri në rendin e faktorëve. Për shembull, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2

Nësem, n, k - numrat natyrorë, atëherë kurm - n = k ata thonë sem - minuend, n - subtrahend, k - ndryshim; nëm: n = k ata thonë sem - divident, n - pjesëtues, k - herës, numrim quajtur edheshumëfisha numratn, dhe numrin - pjesëtues numratm, Nëse numrim- shumëfish i një numrin, atëherë ka një numër natyrork, të tilla qëm = kn.

Nga numrat që përdorin shenja aritmetike dhe kllapa, ato përbëhenshprehjet numerike. Nëse i kryeni veprimet e treguara në shprehje numerike, duke respektuar rendin e pranuar, do të merrni një numër të quajturvlera e shprehjes .

Rendi i veprimeve aritmetike: veprimet në kllapa kryhen së pari; Brenda çdo kllapa, së pari kryhen shumëzimi dhe pjesëtimi, dhe më pas mbledhja dhe zbritja.

Nëse një numër natyrorm i papjesëtueshëm me një numër natyrorn, ato. nuk ka nje gje te tillenumri natyror k, Çfarëm = kn, atëherë ata konsiderojnëpjesëtimi me mbetje: m = np + r, Kum - divident, n - pjesëtues (m>n), p - herës, r - mbetje .

Nëse një numër ka vetëm dy pjesëtues (vetë numri dhe një), atëherë thirretthjeshtë : nëse një numër ka më shumë se dy pjesëtues, atëherë ai quhettë përbëra.

Çdo numër natyror i përbërë mund të jetëfaktorizoj , dhe vetëm një mënyrë. Kur faktorizoni numrat në faktorë të thjeshtë, përdornishenjat e pjesëtueshmërisë .

a Dheb mund të gjendetpjesëtuesi më i madh i përbashkët. Është caktuarD(a,b). Nëse numrata Dheb janë të tilla qëD(a,b) = 1, pastaj numrata Dheb quhene thjeshtë reciprokisht.

Për çdo numër natyror të dhënëa Dheb mund të gjendetshumëfishi më pak i zakonshëm. Është caktuarK(a,b). Çdo shumëfish i përbashkët i numravea Dheb ndarë ngaK(a,b).

Nëse numrata Dheb relativisht kryeministër , d.m.th.D(a,b) = 1, SeK(a,b) = ab.

Numrat e formularit:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) quhen numra të plotë , ato. Numrat e plotë janë numrat natyrorë, e kundërta e numrave natyrorë dhe numri 0.

Numrat natyrorë 1, 2, 3, 4, 5... quhen edhe numra të plotë pozitiv. Numrat -1, -2, -3, -4, -5, ..., të kundërt të numrave natyrorë, quhen numra të plotë negativ.

Numra të rëndësishëm një numër është të gjitha shifrat e tij, përveç zerot kryesore.

Një grup shifrash që përsëriten në mënyrë sekuenciale pas pikës dhjetore në shënimin dhjetor të një numri quhetperiudhë, dhe quhet një thyesë dhjetore e pafundme që ka një periudhë të tillë në shënimin e sajperiodike . Nëse periudha fillon menjëherë pas presjes dhjetore, atëherë thyesa quhetperiodike e pastër ; nëse ka vende të tjera dhjetore midis presjes dhjetore dhe pikës, atëherë thyesa quhetperiodike të përziera .

Numrat që nuk janë numra të plotë ose thyesa quhenirracionale .

Çdo numër irracional paraqitet si një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

Bashkësia e të gjitha thyesave dhjetore të fundme dhe të pafundme quhetshumë numra realë : racional dhe irracional.

Bashkësia R e numrave realë ka vetitë e mëposhtme.

1. Është renditur: për çdo dy numra të ndryshëm α dhe b, vlen një nga dy relacionet: a

2. Bashkësia R është e dendur: ndërmjet çdo dy numrash të ndryshëm a dhe b ka një grup të pafundëm numrash realë x, pra numra që plotësojnë pabarazinë a.<х

Pra, nëse a

(a 2a< A+bA+b<2b  2 A A<(a+b)/2

Numrat real mund të paraqiten si pika në një vijë numerike. Për të vendosur një vijë numerike, duhet të shënoni një pikë në vijë, e cila do të korrespondojë me numrin 0 - origjinën, dhe më pas zgjidhni një segment njësi dhe tregoni drejtimin pozitiv.

Çdo pikë në vijën koordinative i korrespondon një numri, i cili përcaktohet si gjatësia e segmentit nga origjina në pikën në fjalë, me një segment njësi të marrë si njësi matëse. Ky numër është koordinata e pikës. Nëse një pikë merret në të djathtë të origjinës, atëherë koordinata e saj është pozitive, dhe nëse në të majtë, ajo është negative. Për shembull, pikat O dhe A kanë koordinatat 0 dhe 2, përkatësisht, të cilat mund të shkruhen si më poshtë: 0(0), A(2).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve