Paraqitja gjeometrike e bashkësisë së numrave realë. Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks
NUMRAT REAL II
§ 44 Paraqitja gjeometrike e numrave realë
Numrat gjeometrikisht realë, si numrat racionalë, përfaqësohen me pika në një drejtëz.
Le l është një vijë e drejtë arbitrare, dhe O është disa nga pikat e saj (Fig. 58). Çdo numër real pozitiv α le të lidhim pikën A, e shtrirë në të djathtë të O në një distancë prej α njësitë e gjatësisë.
Nëse, për shembull, α = 2,1356..., atëherë
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
etj. Natyrisht, pika A në këtë rast duhet të jetë në vijë të drejtë l në të djathtë të pikave që korrespondojnë me numrat
2; 2,1; 2,13; ... ,
por në të majtë të pikave që i përgjigjen numrave
3; 2,2; 2,14; ... .
Mund të tregohet se këto kushte përcaktohen në vijë l pika e vetme A, të cilën e konsiderojmë si imazh gjeometrik të një numri real α = 2,1356... .
Po kështu, për çdo numër real negativ β le të lidhim pikën B që shtrihet në të majtë të O në një distancë prej | β | njësitë e gjatësisë. Së fundi, ne e lidhim numrin "zero" me pikën O.
Pra, numri 1 do të përshkruhet në një vijë të drejtë l pika A, e vendosur në të djathtë të O në një distancë prej një njësie gjatësie (Fig. 59), numri - √2 - nga pika B, e vendosur në të majtë të O në një distancë prej √2 njësi gjatësie, etj. .
Le të tregojmë se si në një vijë të drejtë l duke përdorur një busull dhe një vizore, mund të gjeni pika që korrespondojnë me numrat realë √2, √3, √4, √5, etj. Për ta bërë këtë, para së gjithash, ne do të tregojmë se si mund të ndërtoni segmente gjatësitë e të cilëve janë të shprehura me këto shifra. Le të jetë AB një segment i marrë si njësi gjatësie (Fig. 60).
Në pikën A, ndërtojmë një pingul me këtë segment dhe vizatojmë mbi të një segment AC të barabartë me segmentin AB. Pastaj, duke zbatuar teoremën e Pitagorës në trekëndëshin kënddrejtë ABC, marrim; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2
Prandaj, segmenti BC ka gjatësi √2. Tani le të ndërtojmë një pingul me segmentin BC në pikën C dhe zgjedhim pikën D në të në mënyrë që segmenti CD të jetë i barabartë me një njësi të gjatësisë AB. Pastaj nga trekëndëshi kënddrejtë BCD gjejmë:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
Prandaj, segmenti BD ka gjatësi √3. Duke vazhduar më tej procesin e përshkruar, mund të marrim segmentet BE, BF, ..., gjatësitë e të cilave shprehen me numrat √4, √5, etj.
Tani në një vijë të drejtë l është e lehtë të gjesh ato pika që shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave √2, √3, √4, √5, etj.
Duke hequr, për shembull, segmentin BC në të djathtë të pikës O (Fig. 61), marrim pikën C, e cila shërben si imazh gjeometrik i numrit √2. Në të njëjtën mënyrë, duke vendosur segmentin BD në të djathtë të pikës O, marrim pikën D”, që është imazhi gjeometrik i numrit √3, etj.
Sidoqoftë, nuk duhet menduar se përdorimi i një busull dhe vizore në vijën numerike l mund të gjendet pika që i përgjigjet çdo numri real të dhënë. Është vërtetuar, për shembull, se, duke pasur vetëm një busull dhe një vizore në dispozicionin tuaj, është e pamundur të ndërtoni një segment, gjatësia e të cilit shprehet me numrin. π = 3,14 ... . Prandaj, në vijën numerike l Me ndihmën e konstruksioneve të tilla është e pamundur të tregohet pika që i përgjigjet këtij numri. Megjithatë, një pikë e tillë ekziston.
Pra, për çdo numër real α është e mundur që një pikë e përcaktuar mirë të lidhet me një vijë të drejtë l . Kjo pikë do të jetë në një distancë prej | α | njësitë e gjatësisë dhe të jetë në të djathtë të O nëse α > 0, dhe në të majtë të O, nëse α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . Në fakt, le numrin α pika A korrespondon dhe numri β - pika B. Atëherë, nëse α > β , atëherë A do të jetë në të djathtë të B (Fig. 62, a); nëse α < β , atëherë A do të shtrihet në të majtë të B (Fig. 62, b).
Duke folur në § 37 për imazhin gjeometrik të numrave racionalë, ne shtruam pyetjen: a mund të konsiderohet çdo pikë në një vijë si një imazh gjeometrik i disa racionale numrat? Ne nuk mund t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje atëherë; Tani mund t'i përgjigjemi plotësisht. Ka pika në vijë që shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave irracionalë (për shembull, √2). Prandaj, jo çdo pikë në një vijë paraqet një numër racional. Por në këtë rast, lind një pyetje tjetër: a mund të konsiderohet ndonjë pikë në vijën numerike si imazh gjeometrik i disa e vlefshme numrat? Kjo çështje tashmë është zgjidhur pozitivisht.
Në të vërtetë, le të jetë A një pikë arbitrare në vijë l , shtrirë në të djathtë të O (Fig. 63).
Gjatësia e segmentit OA shprehet me një numër real pozitiv α (shih § 41). Prandaj, pika A është një imazh gjeometrik i numrit α . Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se çdo pikë B e shtrirë në të majtë të O mund të konsiderohet si një imazh gjeometrik i një numri real negativ - β , Ku β - gjatësia e segmentit VO. Së fundi, pika O shërben si paraqitje gjeometrike e numrit zero. Është e qartë se dy pika të ndryshme të një vije të drejtë l nuk mund të jetë një imazh gjeometrik i të njëjtit numër real.
Për arsyet e përmendura më sipër, një vijë e drejtë në të cilën një pikë e caktuar O tregohet si pika "fillestare" (për një njësi të caktuar të gjatësisë) quhet rreshti numerik.
konkluzioni. Bashkësia e të gjithë numrave realë dhe grupi i të gjitha pikave në vijën numerike janë në një korrespondencë një me një.
Kjo do të thotë që çdo numër real korrespondon me një pikë të mirëpërcaktuar në vijën numerike dhe, anasjelltas, në secilën pikë të vijës numerike, me një korrespondencë të tillë, korrespondon një numër real i mirëpërcaktuar.
Ushtrime
320. Gjeni se cila nga dy pikat është majtas dhe cila djathtas në boshtin numerik, nëse këto pika u përgjigjen numrave:
a) 1.454545... dhe 1.455454...; c) 0 dhe - 1,56673...;
b) - 12.0003... dhe - 12.0002...; d) 13.24... dhe 13.00....
321. Zbulo se cila nga dy pikat ndodhet në vijën numerike më larg nga pika e nisjes O, nëse këto pika u përgjigjen numrave:
a) 5.2397... dhe 4.4996...; .. c) -0,3567... dhe 0,3557... .
d) - 15.0001 dhe - 15.1000...;
322. Në këtë seksion u tregua se për të ndërtuar një segment me gjatësi √ n duke përdorur një busull dhe një vizore, mund të veproni si më poshtë: së pari ndërtoni një segment me gjatësi √2, pastaj një segment me gjatësi √3, etj., derisa të arrijmë një segment me gjatësi √ n . Por për çdo rregullim P > 3 ky proces mund të përshpejtohet. Si, për shembull, do të fillonit të ndërtoni një segment me gjatësi √10?
323*. Si të përdorni një busull dhe vizore për të gjetur pikën në vijën numerike që korrespondon me numrin 1 / α , nëse pozicioni i pikës që i përgjigjet numrit α , a dihet?
Një paraqitje gjeometrike ekspresive e sistemit të numrave racionalë mund të merret si më poshtë.
Në një vijë të caktuar të drejtë, "boshti numerik", ne shënojmë segmentin nga O në 1 (Fig. 8). Kjo përcakton gjatësinë e një segmenti njësi, i cili, në përgjithësi, mund të zgjidhet në mënyrë arbitrare. Më pas, numrat e plotë pozitivë dhe negativë përfaqësohen nga një grup pikash të barabarta në boshtin e numrave, përkatësisht numrat pozitivë janë shënuar në të djathtë, dhe numrat negativë në të majtë të pikës 0. Për të përshkruar numrat me një emërues n, ne ndajmë secilin prej segmentet rezultuese të gjatësisë së njësisë në n pjesë të barabarta; Pikat e pjesëtimit do të paraqesin thyesa me emërues n. Nëse e bëjmë këtë për vlerat e n që korrespondojnë me të gjithë numrat natyrorë, atëherë çdo numër racional do të përshkruhet nga një pikë në boshtin e numrave. Ne do të biem dakord t'i quajmë këto pika "racionale"; Në përgjithësi, ne do të përdorim termat "numër racional" dhe "pikë racionale" si sinonime.
Në kapitullin I, § 1, lidhja e pabarazisë A u përcaktua për çdo çift pikash racionale, atëherë është e natyrshme të përpiqemi të përgjithësojmë lidhjen e pabarazisë aritmetike në atë mënyrë që të ruhet ky rend gjeometrik për pikat në shqyrtim. Kjo është e mundur nëse pranojmë përkufizimin e mëposhtëm: ata thonë se një numër racional A më pak, se numri racional B (A është më i madh se numri A (B>A), nëse diferenca B-A është pozitive. Ai vijon (për A ndërmjet A dhe B janë ato që janë edhe >A edhe një segment (ose segment) dhe shënohet me [A, B] (dhe bashkësia e pikave të ndërmjetme është vetëm intervali(ose në mes), shënohet (A, B)).
Distanca e një pike arbitrare A nga origjina 0, e konsideruar si numër pozitiv quhet vlere absolute A dhe tregohet me simbolin
Koncepti i "vlerës absolute" përcaktohet si më poshtë: nëse A≥0, atëherë |A| = A; nese nje
|A + B|≤|A| + |B|,
e cila është e vërtetë pavarësisht nga shenjat e A dhe B.
Një fakt me rëndësi thelbësore shprehet me fjalinë e mëposhtme: pikat racionale janë të vendosura dendur kudo në vijën numerike. Kuptimi i kësaj deklarate është se çdo interval, sado i vogël qoftë, përmban pika racionale. Për të verifikuar vlefshmërinë e pohimit të deklaruar, mjafton të merret numri n aq i madh sa që intervali të jetë më i vogël se intervali i dhënë (A, B); atëherë të paktën një nga pikat e shikimit do të jetë brenda këtij intervali. Pra, nuk ka një interval të tillë në vijën numerike (madje edhe më i vogli që mund të imagjinohet) brenda të cilit nuk do të kishte pika racionale. Kjo çon në një përfundim të mëtejshëm: çdo interval përmban një grup të pafund pikash racionale. Në të vërtetë, nëse një interval i caktuar përmban vetëm një numër të kufizuar pikash racionale, atëherë brenda intervalit të formuar nga dy pika të tilla fqinje nuk do të kishte më pika racionale, dhe kjo bie ndesh me atë që sapo u vërtetua.
BILETA 1
Racionale numrat – numrat e shkruar në formën p/q, ku q është numër natyror. numër, dhe p është një numër i plotë.
Dy numra a=p1/q1 dhe b=p2/q2 quhen të barabartë nëse p1q2=p2q1, dhe p2q1 dhe a>b nëse p1q2
BILETA 2
Numrat kompleks. Numrat kompleks
Një ekuacion algjebrik është një ekuacion i formës: P n ( x) = 0, ku P n ( x) - polinom n- Oh gradë. Nja dy numra realë x Dhe në Le ta quajmë të renditur nëse tregohet se cili prej tyre konsiderohet i pari dhe cili konsiderohet i dyti. Shënimi i çiftit të porositur: ( x, y). Një numër kompleks është një çift i renditur arbitrar i numrave realë. z = (x, y)-numër kompleks.
x-pjesa reale z, y-pjesa imagjinare z. Nëse x= 0 dhe y= 0, atëherë z= 0. Konsideroni z 1 = (x 1 , y 1) dhe z 2 = (x 2 , y 2).
Përkufizimi 1. z 1 = z 2 nëse x 1 = x 2 dhe y 1 = y 2.
Konceptet > dhe< для комплексных чисел не вводятся.
Paraqitja gjeometrike dhe forma trigonometrike e numrave kompleks.
M( x, y) « z = x + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(foto)
r quhet moduli i një numri kompleks z.
j quhet argument i një numri kompleks z. Përcaktohet me një saktësi prej ± 2p n.
X= rcosj, y= rsinj.
z= x+ iy= r(cosj + i sinj) është forma trigonometrike e numrave kompleks.
Deklarata 3.
= (cos + i mëkat),
= (cos + i mëkat), atëherë
= (cos( + ) + i mëkat ( + )),
= (cos( - )+ i sin( - )) në 10.
Deklarata 4.
Nëse z=r(cosj+ i sinj), pastaj “natyrore n:
= (cos nj + i mëkat nj),
BILETA 3
Le X- një grup numerik që përmban të paktën një numër (grup jo bosh).
xÎ X- x të përfshira në X. ; xÏ X- x nuk bëjnë pjesë X.
Përkufizimi: Një tufë me X quhet i kufizuar sipër (poshtë) nëse ka një numër M(m) të tillë që për ndonjë x Î X qëndron pabarazia x £ M (x ³ m), ndërsa numri M quhet kufiri i sipërm (i poshtëm) i grupit X. Një tufë me X thuhet se kufizohet më lart nëse $ M, " x Î X: x £ M. Përkufizimi set i pakufizuar nga lart. Një tufë me X thuhet se është i pakufizuar nga lart nëse " M $ x Î X: x> M. Përkufizimi një tufë me X quhet i kufizuar nëse është i kufizuar lart dhe poshtë, që është $ M, m sikurse " x Î X: m £ x £ M. Përkufizimi ekuivalent i ogre mn-va: Set X quhet i kufizuar nëse $ A > 0, " x Î X: ½ x½£ A. Përkufizim: Kufiri i sipërm më i vogël i një grupi të kufizuar më sipër X quhet supremum i saj dhe shënohet Sup X
(suprem). =Sup X. Në mënyrë të ngjashme, mund të përcaktohet saktë
buza e poshtme. Ekuivalente përkufizim kufiri i saktë i sipërm:
Numri quhet suprem i grupit X, Nëse: 1) " x Î X: X£ (ky kusht tregon se është një nga kufijtë e sipërm). 2) " < $ x Î X: X> (ky kusht tregon se -
më e vogla nga fytyrat e sipërme).
Sup X= :
1. " xÎ X: x £ .
2. " < $ xÎ X: x> .
inf X(infimum) është kufiri i saktë i poshtëm. Le të shtrojmë pyetjen: a ka çdo grup i kufizuar skajet e sakta?
Shembull: X= {x: x>0) nuk ka një numër më të vogël.
Teorema mbi ekzistencën e një fytyre të saktë të sipërme (të poshtme).. Çdo kufi i sipërm (i poshtëm) jo bosh xÎR ka një fytyrë ekzakte të sipërme (të poshtme).
Teorema mbi ndashmërinë e shumësit numerik:▀▀▄
BILETA 4
Nëse çdo numri natyror n (n=1,2,3..) i caktohet një numër përkatës Xn, atëherë ata thonë se është përcaktuar dhe dhënë. pasardhës x1, x2..., shkruani (Xn), (Xn Shembull: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Emri i limitit. nga lart (nga poshtë) nëse bashkësia e pikave x=x1,x2,...xn që shtrihen në boshtin numerik kufizohet nga lart (nga poshtë), d.m.th. $C:Xn£C" Kufiri i sekuencës: numri a quhet kufiri i sekuencës nëse për çdo ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N pabarazia |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
në n>N.
Unike e kufirit sekuencë e kufizuar dhe konvergjente
Vetia 1: Një sekuencë konvergjente ka vetëm një kufi.
Vërtetim: me kontradiktë le A Dhe b kufijtë e një sekuence konvergjente (x n), dhe a nuk është e barabartë me b. marrim parasysh sekuencat infiniteminale (α n )=(x n -a) dhe (β n )=(x n -b). Sepse të gjithë elementët b.m. sekuencat (α n -β n ) kanë të njëjtën vlerë b-a, pastaj nga vetia e b.m. sekuencat b-a=0 d.m.th. b=a dhe kemi arritur në një kontradiktë.
Vetia 2: Një sekuencë konvergjente është e kufizuar.
Vërtetim: Le të jetë a kufiri i një sekuence konvergjente (x n), atëherë α n =x n -a është një element i b.m. sekuencat. Le të marrim çdo ε>0 dhe ta përdorim për të gjetur N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Le të shënojmë me b më të madhin nga numrat ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε. Është e qartë se / x n /
Shënim: sekuenca e kufizuar mund të mos jetë konvergjente.
BILETA 6
Sekuenca a n quhet infinitezimale, që do të thotë se kufiri i kësaj sekuence pas është 0.
a n – Û lim(n ® + ¥)a n =0, për çdo ε>0 ekziston N i tillë që për çdo n>N |a n |<ε
Teorema. Shuma e një infinite vogël është një infinite vogël.
a n b n ®pafundësi i vogël Þ a n +b n – infinit i vogël.
Dëshmi.
a n - Û pafundësisht i vogël "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - Û pafundësisht i vogël "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Le të vendosim N=max(N 1 ,N 2 ), atëherë për çdo n>N Þ të dyja pabarazitë plotësohen njëkohësisht:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Le të vendosim "ε 1 >0, vendosim ε=ε 1 /2. Pastaj për çdo ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
është a n + b n – infinite vogël.
Teorema Prodhimi i një infinite vogël është një infinite vogël.
a n ,b n – pafundësisht i vogël Þ a n b n – pafundësisht i vogël.
Dëshmi:
Le të vendosim "ε 1 >0, vendosim ε=Öε 1, meqë a n dhe b n janë infiniteminale për këtë ε>0, atëherë ka N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Le të marrim N=max (N 1 ;N 2 ), pastaj "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – pafundësisht e vogël, që është ajo që duhej vërtetuar.
Teorema Produkti i një sekuence të kufizuar dhe një sekuence infinite vogël është një sekuencë infinite vogël
dhe n është një sekuencë e kufizuar
a n – sekuencë pafundësisht e vogël Þ a n a n – sekuencë infinite vogël.
Vërtetim: Meqenëse një n është e kufizuar Û $С>0: "nО NÞ |a n |£C
Le të vendosim "ε 1 >0; vendosim ε=ε 1 /C; meqenëse një n është infinite vogël, atëherë ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – pafundësisht Sekuenca quhet BBP(në sekuencë) nëse shkruajnë. Natyrisht, BBP nuk është i kufizuar. Deklarata e kundërt është përgjithësisht e rreme (shembull). Nëse për të mëdhenjtë n anëtarët, pastaj shkruani kjo do të thotë se sa më shpejt. Kuptimi i hyrjes përcaktohet në mënyrë të ngjashme Sekuenca pafundësisht të mëdha a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Përkufizimi(sekuenca pafundësisht të mëdha) 1) lim(n® ¥)a n =+¥, nëse "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε ku ε është arbitrarisht i vogël. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, nëse "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BILETA 7 Teorema “Për konvergjencën e monotonit. e fundit" Çdo sekuencë monotonike është konvergjente, d.m.th. ka kufij. Dokumenti Le të jetë sekuenca (xn) në rritje monotonike. dhe kufizohet nga lart. X – i gjithë grupi i numrave që pranon elementin e kësaj sekuence sipas konventës. Teoremat janë të kufizuara në numër, prandaj, sipas Teorema ajo ka një kufi të sipërm ekzakt të fundëm. fytyra supX xn®supX (supX e shënojmë me x*). Sepse x* maja e saktë. fytyrë, pastaj xn£x* "n. " e >0 nervi është jashtë $ xm (le të jetë m n me kapak): xm>x*-e me "n>m => nga 2 pabarazitë e treguara marrim pabarazia e dytë x*-e£xn£x*+e për n>m është ekuivalente me ½xn-x*1 BILETA 8 Eksponenti ose numri e Numri R-Romak sekuencë me një term të përbashkët xn=(1+1/n)^n (në fuqinë n)(1) . Rezulton se sekuenca (1) rritet në mënyrë monotone, kufizohet nga lart dhe është konvergjente, kufiri i këtij vargu quhet eksponencial dhe shënohet me simbolin e»2.7128; Numri e BILETA 9 Parimi i segmenteve të mbivendosur Le të jepet një rreshti numerik një sekuencë segmentesh ,,...,,... Për më tepër, këto segmente plotësojnë sa vijon. kusht: 1) secila pasardhëse është e futur në të mëparshmen, d.m.th. М, "n=1,2,...; 2) Gjatësia e segmenteve ®0 me rritjen n, d.m.th. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekuencat me vargjet e specifikuara quhen të mbivendosura. TeoremaÇdo sekuencë e segmenteve të mbivendosur përmban një pikë të vetme c që i përket të gjitha segmenteve të sekuencës njëkohësisht, me pikën e përbashkët të të gjithë segmenteve në të cilët janë kontraktuar. Dokumenti(an) - sekuenca e skajeve të majta të segmenteve të fenomeneve. monotonisht jozvogëlues dhe i kufizuar më sipër me numrin b1. (bn) - sekuenca e skajeve të djathta nuk është në rritje monotonike, prandaj këto sekuenca dukurish. konvergjente, d.m.th. ka numra c1=lim(n®¥)an dhe c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - vlera e tyre e përbashkët. Në të vërtetë, ai ka kufirin lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) për shkak të kushtit 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Është e qartë se t.c është e zakonshme për të gjitha segmentet, pasi "n an £ c£bn. Tani do të vërtetojmë se është një. Le të supozojmë se $ është një tjetër c' në të cilën janë kontraktuar të gjithë segmentet. Nëse marrim ndonjë segment jo të kryqëzuar c dhe c', atëherë në njërën anë i gjithë "bishti" i sekuencave (an), (bn) duhet të vendoset në afërsi të pikës c'' (pasi an dhe bn konvergojnë në c dhe c' njëkohësisht). Kontradikta është e vërtetë. BILETA 10 Teorema Bolzano-Weierstrass
Nga çdo prerje. Më pas mund të zgjidhni mbledhjen. Nënprogrami 1. Meqenëse sekuenca është e kufizuar, atëherë $ m dhe M, të tilla që " m£xn£ M, " n. D1= – segment në të cilin shtrihen të gjitha sekuencat t-ki. Le ta ndajmë përgjysmë. Të paktën njëra nga gjysmat do të përmbajë një numër të pafund të sekuencave t-k. D2 është gjysma ku shtrihet një numër i pafund i sekuencave t-k. E ndajmë përgjysmë. Të paktën në njërën nga gjysmat neg. D2 ka një numër të pafund sekuencash. Kjo gjysmë është D3. Ndani segmentin D3... etj. fitojmë një sekuencë segmentesh të mbivendosur, gjatësitë e të cilave priren në 0. Sipas rregullit për segmentet e mbivendosur, njësi $. t-ka S, mace. përkatësia të gjithë segmentet D1, çdo t-tu Dn1. Në segmentin D2 zgjedh pikën xn2, në mënyrë që n2>n1. Në segmentin D3... etj. Si rezultat, fjala e fundit është xnkÎDk. BILETA 11 BILETA 12 themelore Si përfundim, shqyrtojmë çështjen e kriterit për konvergjencën e një sekuence numerike. Le d.m.th.: Ne morëm deklaratën e mëposhtme: Nëse sekuenca konvergon, kushti është i kënaqur Cauchy: Një sekuencë numrash që plotëson kushtin Cauchy quhet themelore. Mund të vërtetohet se e kundërta është gjithashtu e vërtetë. Pra, kemi një kriter (kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm) për konvergjencën e sekuencës. Kriteri Cauchy. Në mënyrë që një sekuencë të ketë një kufi, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë themelore. Kuptimi i dytë i kriterit Cauchy. Anëtarët e sekuencës dhe ku n Dhe m– çdo afrim pa kufi në . BILETA 13 Kufijtë e njëanshëm. Përkufizimi 13.11. Numri A quhet kufiri i funksionit y = f(x) në X, duke u përpjekur për x 0 majtas (djathtas), nëse është e tillë që | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Emërtimet: Teorema 13.1 (përkufizimi i dytë i kufirit). Funksioni y=f(x) ka në X, duke u përpjekur për X 0, kufiri i barabartë me A, nëse dhe vetëm nëse të dy kufijtë e tij të njëanshëm në këtë pikë ekzistojnë dhe janë të barabartë A. Dëshmi. 1) Nëse , atëherë dhe për x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Nëse , atëherë ekziston δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Duke zgjedhur më të voglin nga numrat δ 1 dhe δ 2 dhe duke e marrë si δ, marrim se për | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentoni. Meqenëse është vërtetuar ekuivalenca e kërkesave që përmban përcaktimi i kufirit 13.7 dhe i kushteve për ekzistencën dhe barazinë e kufijve të njëanshëm, ky kusht mund të konsiderohet si përkufizimi i dytë i kufirit. Përkufizimi 4 (sipas Heine) Numri A quhet kufiri i një funksioni nëse ndonjë BBP e vlerave të argumentit, sekuenca e vlerave të funksionit përkatës konvergjon në A. Përkufizimi 4 (sipas Cauchy). Numri A thirret nëse . Është vërtetuar se këto përkufizime janë ekuivalente. BILETA 14 dhe 15 Vetitë e kufirit të funksionit në një pikë 1) Nëse ka një kufi, atëherë është i vetmi 2) Nëse në zonën x0 kufiri i funksionit f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> atëherë në këtë rast $ është kufiri i shumës, diferencës, produktit dhe koeficientit. Ndarja e këtyre 2 funksioneve. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Teorema 3. nese ( pergjegjes A ) pastaj $ lagjen në të cilën qëndron pabarazia >B (përkat Duke supozuar në teoremën 3 B=0, marrim: nëse ( respekt), pastaj $ , në të gjitha pikat, të cilat do të jenë >0 (përkat<0),
ato. funksioni ruan shenjën e kufirit të tij. Teorema 4(në kalimin në kufirin në pabarazi). Nëse në ndonjë lagje të një pike (përveç ndoshta vetë kësaj pike) kushti është i plotësuar dhe këto funksione kanë kufij në pikë, atëherë . Në gjuhën dhe. Le të prezantojmë funksionin. Është e qartë se në afërsi të t. Atëherë, me teoremën për ruajtjen e një funksioni, kemi vlerën e kufirit të tij, por Teorema 5.(në kufirin e një funksioni të ndërmjetëm). (1) Nëse BILETA 16 Përkufizimi 14.1. Funksioni y=α(x) quhet infinite vogël në x→x 0, Nëse Vetitë e infinitezimaleve. 1. Shuma e dy infinitezimaleve është infinite vogël. Dëshmi. Nëse α(x) Dhe β(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0, atëherë ekzistojnë δ 1 dhe δ 2 të tilla që | α(x)|<ε/2 и |β(x)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentoni. Nga kjo rrjedh se shuma e çdo numri të fundëm infinitezimalësh është infinite vogël. 2. Nëse α( X) – pafundësisht i vogël në x→x 0, A f(x) – funksion i kufizuar në një lagje të caktuar x 0, Kjo α(x)f(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0. Dëshmi. Le të zgjedhim një numër M e tillë që | f(x)| Përfundim 1. Prodhimi i një infinite vogël me një numër të fundëm është një infinite vogël. Përfundim 2. Prodhimi i dy ose më shumë infinitezimaleve është një infinitezimal. Përfundim 3. Një kombinim linear i infinitezimaleve është infinite vogël. 3. (Përkufizimi i tretë i kufirit). Nëse , atëherë kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për këtë është që funksioni f(x) mund të paraqitet në formë f(x)=A+α(x), Ku α(x) – pafundësisht i vogël në x→x 0. Dëshmi. 1)
Le Pastaj | f(x)-A|<ε при x→x 0, kjo eshte α(x)=f(x)-A– pafundësisht i vogël në x→x 0 . Prandaj , f(x)=A+α(x). 2) Le f(x)=A+α(x). Pastaj Komentoni. Kështu, fitohet një përkufizim tjetër i kufirit, i barabartë me dy të mëparshmet. Funksione pafundësisht të mëdha. Përkufizimi 15.1. Funksioni f(x) thuhet se është pafundësisht i madh për x x 0 nëse Për pafundësisht të mëdha, mund të prezantoni të njëjtin sistem klasifikimi si për pafundësisht të vogla, domethënë: 1. F(x) dhe g(x) pafundësisht të mëdha konsiderohen sasi të rendit të njëjtë nëse 2. Nëse , atëherë f(x) konsiderohet pafundësisht e madhe e rendit më të lartë se g(x). 3. Një f(x) pafundësisht i madh quhet një sasi e rendit kth në raport me një g(x) pafundësisht të madhe nëse . Komentoni. Vini re se një x është pafundësisht i madh (për a>1 dhe x) i një rend më të lartë se x k për çdo k, dhe log a x është pafundësisht i madh i rendit më të ulët se çdo fuqi e x k. Teorema 15.1. Nëse α(x) është pafundësisht e vogël sa x→x 0, atëherë 1/α(x) është pafundësisht e madhe sa x→x 0. Dëshmi. Le të vërtetojmë se për |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Kjo do të thotë se 1/α(x) është pafundësisht i madh sa x→x 0. BILETA 17 Teorema 14.7 (kufiri i parë i shquar). . Dëshmi. Konsideroni një rreth me rreze njësi me qendër në origjinë dhe supozoni se këndi AOB është i barabartë me x (radianët). Le të krahasojmë sipërfaqet e trekëndëshit AOB, sektorit AOB dhe trekëndëshit AOC, ku drejtëza OS është tangjente me rrethin që kalon në pikën (1;0). Është e qartë se. Duke përdorur formulat gjeometrike përkatëse për sipërfaqet e figurave, marrim nga kjo se Numrat gjeometrikisht realë, si numrat racionalë, përfaqësohen me pika në një drejtëz. Le l
është një vijë e drejtë arbitrare, dhe O është disa nga pikat e saj (Fig. 58). Çdo numër real pozitiv α
le të lidhim pikën A, e shtrirë në të djathtë të O në një distancë prej α
njësitë e gjatësisë. Nëse, për shembull, α
= 2,1356..., atëherë 2 < α
< 3 etj. Natyrisht, pika A në këtë rast duhet të jetë në vijë të drejtë l
në të djathtë të pikave që korrespondojnë me numrat 2; 2,1; 2,13; ... , por në të majtë të pikave që i përgjigjen numrave 3; 2,2; 2,14; ... . Mund të tregohet se këto kushte përcaktohen në vijë l
pika e vetme A, të cilën e konsiderojmë si imazh gjeometrik të një numri real α
= 2,1356... . Po kështu, për çdo numër real negativ β
le të lidhim pikën B që shtrihet në të majtë të O në një distancë prej | β |
njësitë e gjatësisë. Së fundi, ne e lidhim numrin "zero" me pikën O. Pra, numri 1 do të përshkruhet në një vijë të drejtë l
pika A, e vendosur në të djathtë të O në një distancë prej një njësie gjatësie (Fig. 59), numri - √2 - nga pika B, e vendosur në të majtë të O në një distancë prej √2 njësi gjatësie, etj. . Le të tregojmë se si në një vijë të drejtë l
duke përdorur një busull dhe një vizore, mund të gjeni pika që korrespondojnë me numrat realë √2, √3, √4, √5, etj. Për ta bërë këtë, para së gjithash, ne do të tregojmë se si mund të ndërtoni segmente gjatësitë e të cilëve janë të shprehura me këto shifra. Le të jetë AB një segment i marrë si njësi gjatësie (Fig. 60). Në pikën A, ndërtojmë një pingul me këtë segment dhe vizatojmë mbi të një segment AC të barabartë me segmentin AB. Pastaj, duke zbatuar teoremën e Pitagorës në trekëndëshin kënddrejtë ABC, marrim; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2 Prandaj, segmenti BC ka gjatësi √2. Tani le të ndërtojmë një pingul me segmentin BC në pikën C dhe zgjedhim pikën D në të në mënyrë që segmenti CD të jetë i barabartë me një njësi të gjatësisë AB. Pastaj nga trekëndëshi kënddrejtë BCD gjejmë: ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3 Prandaj, segmenti BD ka gjatësi √3. Duke vazhduar më tej procesin e përshkruar, mund të marrim segmentet BE, BF, ..., gjatësitë e të cilave shprehen me numrat √4, √5, etj. Tani në një vijë të drejtë l
është e lehtë të gjesh ato pika që shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave √2, √3, √4, √5, etj. Duke vizatuar, për shembull, segmentin BC në të djathtë të pikës O (Fig. 61), marrim pikën C, e cila shërben si imazh gjeometrik i numrit √2. Në të njëjtën mënyrë, duke vendosur segmentin BD në të djathtë të pikës O, marrim pikën D”, që është imazhi gjeometrik i numrit √3, etj. Sidoqoftë, nuk duhet menduar se përdorimi i një busull dhe vizore në vijën numerike l
mund të gjendet pika që i përgjigjet çdo numri real të dhënë. Është vërtetuar, për shembull, se, duke pasur vetëm një busull dhe një vizore në dispozicionin tuaj, është e pamundur të ndërtoni një segment, gjatësia e të cilit shprehet me numrin. π
= 3,14 ... . Prandaj, në vijën numerike l
Me ndihmën e konstruksioneve të tilla është e pamundur të tregohet pika që i përgjigjet këtij numri. Megjithatë, një pikë e tillë ekziston. Pra, për çdo numër real α
është e mundur që një pikë e përcaktuar mirë të lidhet me një vijë të drejtë l
. Kjo pikë do të jetë në një distancë prej | α
| njësitë e gjatësisë dhe të jetë në të djathtë të O nëse α
> 0, dhe në të majtë të O, nëse α
< 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l
. Në fakt, le numrin α
pika A korrespondon dhe numri β
- pika B. Atëherë, nëse α
> β
, atëherë A do të jetë në të djathtë të B (Fig. 62, a); nëse α
< β
, atëherë A do të shtrihet në të majtë të B (Fig. 62, b). Duke folur në § 37 për imazhin gjeometrik të numrave racionalë, ne shtruam pyetjen: a mund të konsiderohet çdo pikë në një vijë si një imazh gjeometrik i disa racionale numrat? Ne nuk mund t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje atëherë; Tani mund t'i përgjigjemi plotësisht. Ka pika në vijë që shërbejnë si paraqitje gjeometrike e numrave irracionalë (për shembull, √2). Prandaj, jo çdo pikë në një vijë paraqet një numër racional. Por në këtë rast, lind një pyetje tjetër: a mund të konsiderohet ndonjë pikë në vijën numerike si imazh gjeometrik i disa e vlefshme numrat? Kjo çështje tashmë është zgjidhur pozitivisht. Në të vërtetë, le të jetë A një pikë arbitrare në vijë l
, shtrirë në të djathtë të O (Fig. 63). Gjatësia e segmentit OA shprehet me një numër real pozitiv α
(shih § 41). Prandaj, pika A është një imazh gjeometrik i numrit α
. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se çdo pikë B e shtrirë në të majtë të O mund të konsiderohet si një imazh gjeometrik i një numri real negativ - β
, Ku β
- gjatësia e segmentit VO. Së fundi, pika O shërben si paraqitje gjeometrike e numrit zero. Është e qartë se dy pika të ndryshme të një vije të drejtë l
nuk mund të jetë një imazh gjeometrik i të njëjtit numër real. Për arsyet e përmendura më sipër, një vijë e drejtë në të cilën një pikë e caktuar O tregohet si pika "fillestare" (për një njësi të caktuar të gjatësisë) quhet rreshti numerik. konkluzioni. Bashkësia e të gjithë numrave realë dhe grupi i të gjitha pikave në vijën numerike janë në një korrespondencë një me një. Kjo do të thotë që çdo numër real korrespondon me një pikë të mirëpërcaktuar në vijën numerike dhe, anasjelltas, në secilën pikë të vijës numerike, me një korrespondencë të tillë, korrespondon një numër real i mirëpërcaktuar.
Së bashku me një numër natyror, ju mund të zëvendësoni një numër tjetër natyror në pabarazinë e fundit 
, Pastaj
dhe në ndonjë fqinjësi të pikës (përveç ndoshta vetë pikës) kushti (2) është i plotësuar, atëherë funksioni ka një kufi në pikë dhe ky kufi është i barabartë me A. sipas kushtit (1) $ për (këtu është lagja më e vogël e pikës ). Por më pas, për shkak të kushtit (2), vlera do të vendoset edhe në afërsi të pikës A, ato. .
, kjo eshte α(x)+β(x) – pafundësisht i vogël.
do të thotë | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ose sinx
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës
Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve