Butësia e funksionit. Funksion i qetë

Mbi të gjithë grupin e përkufizimeve.

Bazat

Konsiderohet gjithashtu funksionet e lëmuara urdhra më të lartë, domethënë, një funksion me renditja e butësisë $r$ ka një derivat të vazhdueshëm të rendit $r$. Shumë funksione të tilla janë përcaktuar në zonë $\backslash Omega$ shënohet me $C^r(\backslash Omega)$. $f\backslash në\; C^\backslash infty(\backslash Omega)$ do të thotë se $f\backslash në\; C^r(\backslash Omega)$ për këdo $r$, A $f\backslash në\; C^\backslash omega(\backslash Omega)=C^a(\backslash Omega)$ do të thotë se $f$- analitike.

Për shembull, $C^0\; (\backslash Omega)$- grup i vazhdueshëm $\backslash Omega$ funksionet, dhe $C^1\; (\backslash Omega)$- një grup i vazhdueshëm i diferencueshëm në $\backslash Omega$ funksionet, d.m.th. funksionet që kanë një derivat të vazhdueshëm në çdo pikë të këtij rajoni.

Nëse rendi i butësisë nuk specifikohet, atëherë zakonisht supozohet se është i mjaftueshëm që të gjitha veprimet e kryera në funksion gjatë arsyetimit aktual të kenë kuptim.

Për analiza e imët Klasat e funksioneve të diferencueshme gjithashtu prezantojnë konceptin butësia e pjesshme në një pikë ose eksponenti i Mbajtësit, i cili përmbledh gjithçka më sipër konceptet e listuara butësi.

Funksioni $f$ i përket klasës $C^(r,\backslash ;\backslash alfa)$, Ku $r$- e tërë numër jo negativ Dhe , nëse ka derivate sipas porosisë $r$ përfshirëse dhe $f^((r))$është Mbajtës me eksponent $\backslash alfa$.

Në literaturën e përkthyer, së bashku me termin "eksponent mbajtës", përdoret termi "eksponent i Lipschitz".

Përafrimi i funksioneve vazhdimisht të diferencueshme nga ato analitike

Le $\backslash Omega$ hapur brenda $\backslash R^n$ Dhe $f\backslash në\; C^k(\backslash Omega)$, $0\backslash leqslant\; k\backslash leqslant\backslash infty$. Le $\backslash (K\_p\backslash )$- sekuenca e nëngrupeve kompakte $\backslash Omega$ të tilla që $K\_0=\backslash varnothing$, $K\_p\backslash nëngrupi\; K\_(p+1)$ Dhe $\backslash bigcup\; K\_p=\backslash Omega$. Le $\backslash (n\_p\backslash )$- një sekuencë arbitrare të numrave të plotë pozitivë dhe $m\_p=\backslash min(k,\backslash ;n\_p)$. Së fundi, le $\backslash (\backslash varepsilon\_p\backslash )$- një sekuencë arbitrare të numrave pozitivë. Pastaj ka $\backslash R$-funksioni analitik $g$ V $\backslash Omega$ e tillë që për të gjithë $p\backslash geqslant\; 0$:

Shihni gjithashtu

Shkruani një përmbledhje në lidhje me artikullin "Funksioni i qetë"

Një fragment që karakterizon funksionin e qetë

Kur Nikolushka u mor, Princesha Marya shkoi përsëri te vëllai i saj, e puthi dhe, duke mos mundur të rezistonte më, filloi të qante.
Ai e shikoi me vëmendje.
-E ke fjalen per Nikolushken? - tha ai.
Princesha Marya, duke qarë, uli kokën në mënyrë pozitive.
"Marie, ti e njeh Evan..." por ai papritmas heshti.
- Çfarë po thua?
- Asgjë. Nuk ka nevojë të qash këtu, - tha ai, duke e parë me të njëjtin shikim të ftohtë.

Kur Princesha Marya filloi të qante, ai kuptoi që ajo po qante që Nikolushka do të mbetej pa baba. Me shumë përpjekje u përpoq të kthehej në jetë dhe u transportua në këndvështrimin e tyre.
“Po, duhet t'u duket patetike! - mendoi ai. "Sa e thjeshtë është!"
"Zogjtë e qiellit as mbjellin, as korrin, por babai yt i ushqen", tha me vete dhe donte t'i thoshte të njëjtën gjë princeshës. “Por jo, ata do ta kuptojnë në mënyrën e tyre, nuk do ta kuptojnë! Ajo që ata nuk mund të kuptojnë është se të gjitha këto ndjenja që ata vlerësojnë janë të gjitha tonat, të gjitha këto mendime që na duken kaq të rëndësishme janë se ato nuk janë të nevojshme. Nuk mund ta kuptojmë njëri-tjetrin”. - Dhe ai heshti.

Djali i vogël i Princit Andrei ishte shtatë vjeç. Ai mezi lexonte, nuk dinte asgjë. Ai përjetoi shumë pas kësaj dite, duke marrë njohuri, vëzhgim dhe përvojë; por nëse do t'i kishte zotëruar atëherë të gjitha këto aftësi të fituara më vonë, ai nuk mund ta kuptonte më mirë, më thellë kuptimin e plotë të asaj skene që pa midis babait të tij, Princeshës Marya dhe Natasha sesa e kuptonte tani. Ai kuptoi gjithçka dhe, pa qarë, doli nga dhoma, iu afrua në heshtje Natasha, e cila e ndoqi jashtë dhe e pa me turp me sy të menduar e të bukur; buza e sipërme e ngritur dhe rozë u drodh, ai mbështeti kokën në të dhe filloi të qajë.
Që nga ajo ditë, ai shmangu Desalles, shmangu konteshën që e përkëdhelte dhe ose u ul vetëm ose iu afrua me ndrojtje Princeshës Marya dhe Natasha, të cilat dukej se i donte edhe më shumë se tezen e tij, dhe i përkëdhelte qetësisht dhe me turp.
Princesha Marya, duke lënë Princin Andrei, kuptoi plotësisht gjithçka që i tha fytyra e Natasha. Ajo nuk i foli më Natashës për shpresën për t'i shpëtuar jetën. Ajo alternohej me të në divanin e tij dhe nuk qante më, por lutej pandërprerë, duke e kthyer shpirtin e saj në atë të përjetshmen, të pakuptueshmen, prania e së cilës tani ishte kaq e dukshme mbi njeriun që po vdiste.

Princi Andrei jo vetëm që e dinte se do të vdiste, por ndjeu se po vdiste, se tashmë ishte gjysmë i vdekur. Ai përjetoi një vetëdije tjetërsimi nga gjithçka tokësore dhe një lehtësi të gëzueshme dhe të çuditshme të qenies. Ai, pa nxitim dhe pa merak, priste atë që i priste. Ajo kërcënuese, e përjetshme, e panjohur dhe e largët, prania e së cilës ai nuk pushoi së ndjeri gjatë gjithë jetës së tij, tani ishte pranë tij dhe - për shkak të lehtësisë së çuditshme të qenies që ai përjetoi - pothuajse e kuptueshme dhe e ndjente.

Mbi të gjithë grupin e përkufizimeve. Shumë shpesh nën e lëmuar Funksionet nënkuptojnë funksione që kanë derivate të vazhdueshme të të gjitha urdhrave.

Bazat[ | ]

Konsiderohen gjithashtu funksione të lëmuara të rendit më të lartë, përkatësisht, një funksion me renditja e butësisë r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) ka derivate të vazhdueshme të të gjitha urdhrave deri në r (\displaystyle r) përfshirëse (derivati ​​i rendit zero është vetë funksioni). Funksione të tilla quhen r (\displaystyle r)-e lëmuar. Shumë r (\displaystyle r)-funksionet e lëmuara të përcaktuara në domen shënohen me C r (Ω) (\style ekrani C^(r)(\Omega)). Regjistro f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) do të thotë se f ∈ C r (Ω) (\style ekrani f\në C^(r)(\Omega)) për këdo r (\displaystyle r), funksione të tilla quhen pafundësisht-e lëmuar(nganjëherë me funksione të lëmuara nënkuptojnë funksione pafundësisht të lëmuara). Ndonjëherë përdoret edhe shënimi f ∈ C ω (Ω) (\style ekrani f\in C^(\omega )(\Omega)) ose f ∈ C a (Ω) (\style ekrani f\në C^(a)(\Omega)), që do të thotë se f (\displaystyle f)- analitike.

Për shembull, C 0 (Ω) (\style ekrani C^(0)(\Omega))- grup i vazhdueshëm Ω (\displaystyle \Omega) funksionet, dhe C 1 (Ω) (\style ekrani C^(1)(\Omega))- një grup i vazhdueshëm i diferencueshëm në Ω (\displaystyle \Omega) funksione, pra funksione që kanë një derivat të vazhdueshëm në çdo pikë të këtij rajoni.

Nëse rendi i butësisë nuk specifikohet, atëherë zakonisht supozohet se është i mjaftueshëm që të gjitha veprimet e kryera në funksion gjatë arsyetimit aktual të kenë kuptim.

Përafrimi me funksione analitike[ | ]

Lëreni zonën Ω (\displaystyle \Omega) hapur në R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Dhe f ∈ C k (Ω) (\style ekrani f\në C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Le ( K p ) (\style ekrani \(K_(p)\))- sekuenca e nëngrupeve kompakte Ω (\displaystyle \Omega) të tilla që K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing), K p ⊂ K p + 1 (\shfaqja e stilit K_(p)\nëngrupi K_(p+1)) Dhe ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). Le ( n p ) (\displaystyle \(n_(p)\))- një sekuencë arbitrare të numrave të plotë pozitivë dhe m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Së fundi, le ( ε p ) (\displaystyle \(\varepsilon _(p)\))- një sekuencë arbitrare të numrave pozitivë. Pastaj ka një funksion real-analitik g (\displaystyle g), të përcaktuara në Ω (\displaystyle \Omega) e tillë që për të gjithë p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) pabarazia plotësohet

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Ku ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) tregon maksimumin e normave (në kuptimin e konvergjencës uniforme, domethënë maksimumin e modulit në grup K p + 1 ∖ K p (\stili i shfaqjes (K_(p+1)\pjesë e prapme K_(p)))) derivatet e funksionit f − g (\displaystyle f-g) të gjitha porositë nga zero në m p (\shfaqja e stilit (m_(p))) përfshirëse.

Pikat e diferencimit të tij janë të dendura mbi të dhe kanë një vazhdimësi. Ka funksione të vazhdueshme që janë të lëmuara në vijën numerike dhe nuk janë të diferencueshme. G. f. ka një derivat në çdo pikë të ekstremumit lokal dhe, për shkak të kësaj, teoremat bazë të llogaritjes diferenciale mbeten të vlefshme për funksionet e vazhdueshme të qetë - teoremat e Rolle, Lagrange, Cauchy,

Darboux dhe të tjerët V.F.

Enciklopedi matematikore. - M.: Enciklopedia Sovjetike.

I. M. Vinogradov.

1977-1985.

Shihni se çfarë është "FUNKSIONI I SMOUTH" në fjalorë të tjerë: Ose një funksion vazhdimisht i diferencueshëm është një funksion që ka një derivat të vazhdueshëm mbi të gjithë grupin e përkufizimit. Informacioni bazë Konsiderohen edhe funksionet e lëmuara të rendit më të lartë, domethënë, një funksion me një renditje të butësisë ka ... ... Wikipedia

Funksion i qetë- një funksion të gjithë derivatet e pjesshëm të të cilit, deri në rendin r përfshirë, janë të vazhdueshëm. Kjo do të thotë "butësi e rendit r." ... funksion të qetë

- Një funksion derivatet e pjesshme të të cilit, deri në rendin r përfshirë, janë të vazhdueshme. Kjo do të thotë "butësi e rendit r".

Temat: Ekonomia EN funksioni i qetë…

Udhëzues teknik i përkthyesit Një funksion i qetë pjesë-pjesë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave realë, i diferencueshëm në secilin nga intervalet që përbëjnë domenin e përkufizimit. Përkufizimi formal Le të jepen pikat e ndryshimit të formulave. Si çdo gjë pjesë-pjesë... ... Wikipedia

- është një funksion i qetë në një manifold që ka pika kritike jo të degjeneruara. Funksionet Morse e kanë origjinën dhe përdoren në teorinë Morse, një nga mjetet kryesore të topologjisë diferenciale. Përmbajtja 1 Përkufizimi 2 Vetitë ... Wikipedia

Një funksion i qetë që ka disa veti të veçanta. M. f. lindin dhe përdoren në teorinë Morse. Le të plotësojë një Hilbert i lëmuar (në lidhje me disa metrikë Riemannian) manifold (për shembull, me dimensione të fundme) kufiri i të cilit është... ... Një funksion i qetë pjesë-pjesë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave realë, i diferencueshëm në secilin nga intervalet që përbëjnë domenin e përkufizimit. Përkufizimi formal Le të jepen pikat e ndryshimit të formulave. Si çdo gjë pjesë-pjesë... ... Wikipedia

Një përgjithësim i konceptit të një funksioni të qetë, duke përfshirë funksione lineare të lëmuara, konvekse, pjesë-pjesë. Përkufizim Një funksion quhet gjysmë i lëmuar nëse në çdo pikë ka një nëngrup operatorësh linearë të tillë që për çdo sekuencë ... Wikipedia

Funksioni spline- Funksioni i qetë pjesë-pjesë i përdorur për të lidhur seritë kohore. Aplikimi i S. f. në vend të funksioneve të zakonshme të tendencës, është efektive kur tendenca dhe drejtimi i serisë ndryshon brenda periudhës së analizuar. S. f. ndihmon...... Fjalor ekonomik dhe matematikor

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve