Si të mbani mend? Formulat e reduktimit. Shpejt dhe lehtë

Formulat e trigonometrisë.

Formulat e reduktimit nuk kanë nevojë të mësohen; Të kuptojë algoritmin për nxjerrjen e tyre. Është shumë e lehtë!

Le të marrim rrethi njësi dhe vendosni të gjitha masat e shkallës (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) mbi të.

Le të analizojmë funksionet sin(a) dhe cos(a) në çdo tremujor.

Mos harroni se ne shikojmë funksionin sin(a) përgjatë boshtit Y dhe funksionin cos(a) përgjatë boshtit X.

Në tremujorin e parë është e qartë se funksioni sin(a)>0
Dhe funksioni cos(a)>0
Tremujori i parë mund të përshkruhet në terma të masë shkallë, si (90-α) ose (360+α).

Në tremujorin e dytë është e qartë se funksioni sin(a)>0, sepse boshti Y është pozitiv në këtë tremujor.
Një funksion cos(a) sepse boshti X është negativ në këtë kuadrat.
Tremujori i dytë mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (90+α) ose (180-α).

Në tremujorin e tretë është e qartë se funksionet mëkat (a) Tremujori i tretë mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (180+α) ose (270-α).

Në tremujorin e katërt është e qartë se funksioni sin(a) sepse boshti Y është negativ në këtë tremujor.
Një funksion cos(a)>0, sepse boshti X është pozitiv në këtë tremujor.
Tremujori i katërt mund të përshkruhet në terma të shkallëve, si (270+α) ose (360-α).

Tani le të shohim vetë formulat e reduktimit.

Le të kujtojmë thjeshtë algoritmi:
1. lagje.(Gjithmonë shikoni se në cilën lagje jeni).
2. Nënshkruani.(Për sa i përket tremujorit, shih pozitiv ose funksionet negative kosinus ose sinus).
3. Nëse keni (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë ndryshimet e funksionit.

Dhe kështu ne do të fillojmë ta analizojmë këtë algoritëm në tremujorë.

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(90-α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.


do cos(90-α) = mëkat (α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(90-α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.


do sin(90-α) = cos(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(360+α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
2. Në tremujorin e parë, shenja e funksionit të kosinusit është pozitive.

do cos(360+α) = cos(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(360+α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Tremujori i parë.
2. Në tremujorin e parë, shenja e funksionit sinus është pozitive.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do sin(360+α) = mëkat(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(90+α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.

3. Ka (90° ose π/2) në kllapa, më pas funksioni ndryshon nga kosinusi në sinus.
do cos(90+α) = -sin(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(90+α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.

3. Ka (90° ose π/2) në kllapa, më pas funksioni ndryshon nga sinusi në kosinus.
do sin(90+α) = cos(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja cos(180-α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
2. Në tremujorin e dytë, shenja e funksionit të kosinusit është negative.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do cos(180-α) = cos(α)

Gjeni se me çfarë do të jetë e barabartë shprehja sin(180-α).
Ne arsyetojmë sipas algoritmit:
1. Çereku i dytë.
2. Në tremujorin e dytë, shenja e funksionit sinus është pozitive.
3. Nuk ka (90° ose π/2) dhe (270° ose 3π/2) në kllapa, atëherë funksioni nuk ndryshon.
do sin(180-α) = mëkat (α)

E kam fjalën për tremujorin e tretë dhe të katërt në mënyrë të ngjashme Le të bëjmë një tabelë:

Abonohu në kanalin në YOUTUBE dhe shikoni videon, përgatituni për provimet në matematikë dhe gjeometri me ne.

Ato i përkasin seksionit të trigonometrisë së matematikës. Thelbi i tyre është të sjellin funksionet trigonometrike kënde për një pamje më "të thjeshtë". Mund të shkruhet shumë për rëndësinë e njohjes së tyre. Ka tashmë 32 nga këto formula!

Mos u shqetësoni, nuk keni nevojë t'i mësoni ato, si shumë formula të tjera në një kurs matematike. Nuk ka nevojë të mbushni kokën me informacione të panevojshme, duhet të mbani mend "çelësat" ose ligjet dhe të mbani mend ose të nxirrni formulën e kërkuar nuk do të jetë problem. Nga rruga, kur shkruaj në artikuj "... ju duhet të mësoni!!!" - kjo do të thotë që vërtet duhet të mësohet.

Nëse nuk jeni të njohur me formulat e reduktimit, atëherë thjeshtësia e derivimit të tyre do t'ju befasojë këndshëm - ekziston një "ligj" me ndihmën e të cilit kjo mund të bëhet lehtësisht. Dhe mund të shkruani ndonjë nga 32 formulat në 5 sekonda.

Do të listoj vetëm disa nga detyrat që do të jenë në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, ku pa njohuri për këto formula ka probabilitet të lartë dështojnë në një vendim. Për shembull:

– problema për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë, ku bëhet fjalë për këndin e jashtëm, si dhe problemet mbi qoshet e brendshme disa nga këto formula janë gjithashtu të nevojshme.

– probleme për llogaritjen e vlerave shprehjet trigonometrike; konvertimi i shprehjeve numerike trigonometrike; shndërrimi i shprehjeve të fjalëpërfjalshme trigonometrike.

– problemet mbi tangjentet dhe kuptimi gjeometrik tangjente, kërkohet një formulë reduktimi për tangjentën, si dhe probleme të tjera.

– problemet stereometrike, gjatë zgjidhjes shpesh është e nevojshme të përcaktohet sinusi ose kosinusi i një këndi që shtrihet në intervalin nga 90 në 180 gradë.

Dhe këto janë vetëm ato pika që kanë të bëjnë me Provimin e Bashkuar të Shtetit. Dhe në vetë kursin e algjebrës ka shumë probleme, zgjidhja e të cilave thjesht nuk mund të bëhet pa njohuri për formulat e reduktimit.

Pra, në çfarë çon kjo dhe si e bëjnë më të lehtë formulat e specifikuara zgjidhjen e problemeve?

Për shembull, ju duhet të përcaktoni sinusin, kosinusin, tangjentën ose kotangjentën e çdo këndi nga 0 në 450 gradë:

këndi alfa varion nga 0 në 90 gradë

* * *

Pra, është e nevojshme të kuptohet "ligji" që funksionon këtu:

1. Përcaktoni shenjën e funksionit në kuadrantin përkatës.

Më lejoni t'ju kujtoj:

2. Mbani mend sa vijon:

funksioni ndryshon në bashkëfunksionim

funksioni nuk ndryshon në bashkëfunksionim

Çfarë do të thotë koncepti - një funksion ndryshon në një bashkëfunksion?

Përgjigje: sinusi ndryshon në kosinus ose anasjelltas, tangjent në kotangjent ose anasjelltas.

Kjo është ajo!

Tani, sipas ligjit të paraqitur, ne do të shkruajmë vetë disa formula reduktimi:

Ky kënd qëndron në tremujorin e tretë, kosinusi në tremujorin e tretë është negativ. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 180 gradë, që do të thotë:

Këndi qëndron në tremujorin e parë, sinusi në tremujorin e parë është pozitiv. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 360 gradë, që do të thotë:

Ja disa konfirmime shtesë se sinuset qoshet ngjitur janë të barabarta:

Këndi qëndron në tremujorin e dytë, sinusi në tremujorin e dytë është pozitiv. Ne nuk e ndryshojmë funksionin në një bashkëfunksion, pasi kemi 180 gradë, që do të thotë:

Punoni me mend ose me shkrim çdo formulë dhe do të bindeni se nuk ka asgjë të komplikuar.

***

Në artikullin për zgjidhjen, u vu re fakti i mëposhtëm - sinusi i një kënd akut V trekëndësh kënddrejtë e barabartë me kosinusin një kënd tjetër i mprehtë në të.

Si të mbani mend formulat për reduktimin e funksioneve trigonometrike? Është e lehtë nëse përdor një shoqatë Kjo shoqatë nuk është shpikur nga unë. Siç u përmend tashmë, një shoqatë e mirë duhet të "kapë", domethënë të evokojë emocione të ndritshme. Nuk mund t'i quaj pozitive emocionet e shkaktuara nga kjo shoqëri. Por jep një rezultat - ju lejon të mbani mend formulat e reduktimit, që do të thotë se ka të drejtë të ekzistojë. Në fund të fundit, nëse nuk ju pëlqen, nuk keni pse ta përdorni, apo jo?

Formulat e reduktimit kanë formën: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Mos harroni se +α jep lëvizje në drejtim të akrepave të orës, - α jep lëvizje në drejtim të akrepave të orës.

Për të punuar me formulat e reduktimit, ju nevojiten dy pika:

1) vendos një shenjë që ka funksioni fillestar(në tekste shkruajnë: i reduktueshëm. Por për të mos u ngatërruar është më mirë ta quajmë fillestar), nëse α e konsiderojmë këndin e tremujorit të parë, pra të vogël.

2) Diametri horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - në përgjithësi, kur nuk ka thyesë, emri i funksionit nuk ndryshon. Π/2±α vertikale, 3π/2±α, 5π/2±α... - kur ka një thyesë, emri i funksionit ndryshon: sinus - në kosinus, kosinus - në sinus, tangjente - në kotangjent dhe cotangent - në tangent.

Tani, në fakt, shoqata:

diametri vertikal (ka një fraksion) -

duke qëndruar i dehur. Çfarë do të ndodhë me të herët?

apo eshte shume vone? Ashtu është, do të bjerë.

Emri i funksionit do të ndryshojë.

Nëse diametri është horizontal, i dehuri tashmë është shtrirë. Ai ndoshta është duke fjetur. Asgjë nuk do t'i ndodhë, ai tashmë e ka pranuar pozicion horizontal. Prandaj, emri i funksionit nuk ndryshon.

Domethënë sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) etj. jep ±cosα,

dhe sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.

Ne tashmë e dimë se si.

Si funksionon kjo? Le të shohim shembuj.

1) cos(π/2+α)=?

Bëhemi π/2. Meqenëse +α do të thotë që ne shkojmë përpara, në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ne e gjejmë veten në tremujorin e dytë, ku kosinusi ka një shenjë "-". Emri i funksionit ndryshon ("një person i dehur është në këmbë", që do të thotë se ai do të bjerë). Pra,

cos(π/2+α)=-sin α.

Le të arrijmë në 2π. Meqenëse -α - shkojmë prapa, domethënë në drejtim të akrepave të orës. Gjendemi në tremujorin e IV-të, ku tangjentja ka shenjën “-”. Emri i funksionit nuk ndryshon (diametri është horizontal, "i dehuri tashmë është shtrirë"). Kështu, tan(2π-α)=- tanα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Shembujt në të cilët një funksion është ngritur në një fuqi të barabartë janë edhe më të thjeshtë për t'u zgjidhur. Edhe diplomë"-" hiqet, domethënë, thjesht duhet të zbuloni nëse emri i funksionit ndryshon apo mbetet. Diametri është vertikal (ka një fraksion, "që qëndron i dehur", do të bjerë), emri i funksionit ndryshon. Marrim: ctg²(3π/2-α)= tan²α.