Blini një diplomë të arsimit të lartë me çmim të ulët. Zëvendësimi universal trigonometrik, nxjerrja e formulave, shembuj

Marrëdhëniet midis funksioneve bazë trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent - janë specifikuar formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksione trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksione të një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të zvogëloni shkallën, e katërta - shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.

Në këtë artikull do të rendisim me radhë të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit dhe do t'i vendosim në tabela.

Navigimi i faqes.

Identitetet bazë trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike Përcaktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik në terma të çdo funksioni tjetër.

Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembujt e aplikimit, shihni artikullin.

Formulat e reduktimit

Formulat e reduktimit vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë, si dhe vetinë e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.

Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.

Formulat e shtimit

Formulat e mbledhjes trigonometrike tregojnë se si funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve shprehen në funksion të funksioneve trigonometrike të atyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (ato quhen edhe formula këndore të shumëfishta) tregojnë se si funksionet trigonometrike të dyfishit, trefishit, etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.

Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. këndi

Formulat e gjysmëkëndit

Formulat e gjysmëkëndit tregojnë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.

Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.

Formulat e reduktimit të shkallës

Formulat trigonometrike për reduktimin e shkallëve janë krijuar për të lehtësuar kalimin nga fuqitë natyrore të funksioneve trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por në kënde të shumëfishta. Me fjalë të tjera, ato ju lejojnë të zvogëloni fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

Qëllimi kryesor formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrikeështë të shkosh te produkti i funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pasi ato ju lejojnë të faktorizoni shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve.

Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus

Kalimi nga produkti i funksioneve trigonometrike në një shumë ose diferencë kryhet duke përdorur formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes së internetit, duke përfshirë materialet e brendshme dhe pamjen, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.

Konceptet e sinusit (), kosinusit (), tangjentes (), kotangjentës () janë të lidhura pazgjidhshmërisht me konceptin e këndit. Për t'i kuptuar mirë këto, në shikim të parë, koncepte komplekse (të cilat shkaktojnë një gjendje tmerri te shumë nxënës) dhe për t'u siguruar që "djalli nuk është aq i tmerrshëm sa është pikturuar", le të fillojmë nga në fillim dhe të kuptojë konceptin e një këndi.

Koncepti i këndit: radian, shkallë

Le të shohim foton. Vektori është "kthyer" në lidhje me pikën me një sasi të caktuar. Pra, masa e këtij rrotullimi në lidhje me pozicionin fillestar do të jetë qoshe.

Çfarë tjetër duhet të dini për konceptin e këndit? Epo, sigurisht, njësitë e këndit!

Këndi, si në gjeometri ashtu edhe në trigonometri, mund të matet në gradë dhe radianë.

Këndi (një shkallë) është këndi qendror në një rreth të nënshtruar nga një hark rrethor i barabartë me një pjesë të rrethit. Kështu, i gjithë rrethi përbëhet nga "copë" harqesh rrethore, ose këndi i përshkruar nga rrethi është i barabartë.

Kjo do të thotë, figura e mësipërme tregon një kënd të barabartë me, domethënë, ky kënd mbështetet në një hark rrethor me madhësinë e perimetrit.

Një kënd në radianë është këndi qendror në një rreth të nënshtruar nga një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit. Epo, e kuptove? Nëse jo, atëherë le ta kuptojmë nga vizatimi.

Pra, figura tregon një kënd të barabartë me një radian, domethënë, ky kënd mbështetet në një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit (gjatësia është e barabartë me gjatësinë ose rrezja është e barabartë me gjatësia e harkut). Kështu, gjatësia e harkut llogaritet me formulën:

Ku është këndi qendror në radianë.

Epo, duke e ditur këtë, a mund të përgjigjeni se sa radianë përmbahen në këndin e përshkruar nga rrethi? Po, për këtë ju duhet të mbani mend formulën për perimetrin. Këtu është:

Epo, tani le t'i lidhim këto dy formula dhe të gjejmë se këndi i përshkruar nga rrethi është i barabartë. Kjo do të thotë, duke korreluar vlerën në gradë dhe radianë, ne e marrim atë. Përkatësisht,. Siç mund ta shihni, ndryshe nga "gradat", fjala "radian" është lënë jashtë, pasi njësia e matjes zakonisht është e qartë nga konteksti.

Sa radianë ka? Kjo është e drejtë!

E kuptove? Pastaj vazhdoni dhe rregulloni:

Keni vështirësi? Pastaj shikoni përgjigjet:

Trekëndëshi kënddrejtë: sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjentja e këndit

Pra, ne kuptuam konceptin e një këndi. Por çfarë është sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi? Le ta kuptojmë. Për ta bërë këtë, një trekëndësh kënddrejtë do të na ndihmojë.

Si quhen brinjët e trekëndëshit kënddrejtë? Kjo është e drejtë, hipotenuza dhe këmbët: hipotenuza është ana që shtrihet përballë këndit të duhur (në shembullin tonë kjo është ana); këmbët janë dy anët e mbetura dhe (ato ngjitur me këndin e duhur), dhe nëse i konsiderojmë këmbët në lidhje me këndin, atëherë këmba është këmba ngjitur dhe këmba është e kundërta. Pra, tani le t'i përgjigjemi pyetjes: çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi?

Sinusi i këndit- ky është raporti i këmbës së kundërt (të largët) me hipotenuzën.

Në trekëndëshin tonë.

Kosinusi i këndit- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me hipotenuzën.

Në trekëndëshin tonë.

Tangjentja e këndit- ky është raporti i anës së kundërt (të largët) me atë ngjitur (të afërt).

Në trekëndëshin tonë.

Kotangjentja e këndit- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me të kundërtën (larg).

Në trekëndëshin tonë.

Këto përkufizime janë të nevojshme mbaj mend! Për ta bërë më të lehtë të mbani mend se cilën këmbë të ndani në çfarë, duhet ta kuptoni qartë këtë tangjente Dhe kotangjent vetëm këmbët ulen, dhe hipotenuza shfaqet vetëm në sinusit Dhe kosinusi. Dhe pastaj mund të dilni me një zinxhir shoqatash. Për shembull, ky:

Kosinus→prek→prek→ ngjitur;

Kotangjent→prek→prek→ ngjitur.

Para së gjithash, duhet të mbani mend se sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja pasi raportet e brinjëve të një trekëndëshi nuk varen nga gjatësitë e këtyre brinjëve (në të njëjtin kënd). Nuk më besoni? Pastaj sigurohuni duke parë foton:

Konsideroni, për shembull, kosinusin e një këndi. Sipas përkufizimit, nga një trekëndësh: , por mund të llogarisim kosinusin e një këndi nga një trekëndësh: . E shihni, gjatësitë e brinjëve janë të ndryshme, por vlera e kosinusit të një këndi është e njëjtë. Kështu, vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës varen vetëm nga madhësia e këndit.

Nëse i kuptoni përkufizimet, atëherë vazhdoni dhe konsolidoni ato!

Për trekëndëshin e paraqitur në figurën më poshtë, gjejmë.

Epo, e kuptove? Pastaj provojeni vetë: llogarisni të njëjtën gjë për këndin.

Rrethi njësi (trigonometrik).

Duke kuptuar konceptet e shkallës dhe radianit, ne konsideruam një rreth me një rreze të barabartë me. Një rreth i tillë quhet beqare. Do të jetë shumë e dobishme kur studioni trigonometrinë. Prandaj, le ta shohim atë pak më në detaje.

Siç mund ta shihni, ky rreth është ndërtuar në sistemin e koordinatave karteziane. Rrezja e rrethit është e barabartë me një, ndërsa qendra e rrethit qëndron në origjinën e koordinatave, pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është i fiksuar përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit (në shembullin tonë, kjo është rrezja).

Çdo pikë në rreth korrespondon me dy numra: koordinata e boshtit dhe koordinata e boshtit. Cilët janë këta numra koordinativ? Dhe në përgjithësi, çfarë lidhje kanë ato me temën në fjalë? Për ta bërë këtë, duhet të kujtojmë për trekëndëshin kënddrejtë të konsideruar. Në figurën e mësipërme, mund të shihni dy trekëndësha të tërë kënddrejtë. Konsideroni një trekëndësh. Ai është drejtkëndor sepse është pingul me boshtin.

Me çfarë është i barabartë trekëndëshi? Kjo është e drejtë. Përveç kësaj, ne e dimë se është rrezja e rrethit të njësisë, që do të thotë . Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në formulën tonë për kosinusin. Ja çfarë ndodh:

Me çfarë është i barabartë trekëndëshi? Epo sigurisht! Zëvendësoni vlerën e rrezes në këtë formulë dhe merrni:

Pra, a mund të thoni se çfarë koordinatash ka një pikë që i përket një rrethi? Epo, në asnjë mënyrë? Po sikur ta kuptoni këtë dhe të jeni vetëm numra? Cilës koordinatë i përgjigjet? Epo, sigurisht, koordinatat! Dhe çfarë koordinate korrespondon? Kjo është e drejtë, koordinatat! Kështu, periudha.

Atëherë me çfarë janë dhe të barabarta? Është e drejtë, le të përdorim përkufizimet përkatëse të tangjentes dhe kotangjentës dhe të marrim atë, a.

Po sikur këndi të jetë më i madh? Për shembull, si në këtë foto:

Çfarë ka ndryshuar në këtë shembull? Le ta kuptojmë. Për ta bërë këtë, le të kthehemi përsëri në një trekëndësh kënddrejtë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë: kënd (si ngjitur me një kënd). Cilat janë vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës për një kënd? Kjo është e drejtë, ne i përmbahemi përkufizimeve përkatëse të funksioneve trigonometrike:

Epo, siç mund ta shihni, vlera e sinusit të këndit ende korrespondon me koordinatat; vlera e kosinusit të këndit - koordinata; dhe vlerat e tangjentes dhe kotangjentes me raportet përkatëse. Kështu, këto marrëdhënie zbatohen për çdo rrotullim të vektorit të rrezes.

Është përmendur tashmë se pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit. Deri më tani ne e kemi rrotulluar këtë vektor në drejtim të kundërt të akrepave të orës, por çfarë ndodh nëse e rrotullojmë në drejtim të akrepave të orës? Asgjë e jashtëzakonshme, do të merrni edhe një kënd me një vlerë të caktuar, por vetëm ai do të jetë negativ. Kështu, kur rrotullojmë vektorin e rrezes në drejtim të kundërt të akrepave të orës, marrim kënde pozitive, dhe kur rrotullohet në drejtim të akrepave të orës - negative.

Pra, ne e dimë se një rrotullim i tërë i vektorit të rrezes rreth një rrethi është ose. A është e mundur të rrotullohet vektori i rrezes në ose në? Epo, sigurisht që mundesh! Prandaj, në rastin e parë, vektori i rrezes do të bëjë një rrotullim të plotë dhe do të ndalet në pozicionin ose.

Në rastin e dytë, domethënë, vektori i rrezes do të bëjë tre rrotullime të plota dhe do të ndalet në pozicionin ose.

Kështu, nga shembujt e mësipërm mund të konkludojmë se këndet që ndryshojnë nga ose (ku është ndonjë numër i plotë) korrespondojnë me të njëjtin pozicion të vektorit të rrezes.

Figura më poshtë tregon një kënd. I njëjti imazh korrespondon me këndin, etj. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto kënde mund të shkruhen me formulën e përgjithshme ose (ku është ndonjë numër i plotë)

Tani, duke ditur përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike dhe duke përdorur rrethin e njësisë, përpiquni të përgjigjeni se cilat janë vlerat:

Këtu është një rreth njësi për t'ju ndihmuar:

Keni vështirësi? Atëherë le ta kuptojmë. Pra, ne e dimë se:

Nga këtu, ne përcaktojmë koordinatat e pikave që korrespondojnë me masa të caktuara të këndit. Epo, le të fillojmë me radhë: këndi në korrespondon me një pikë me koordinata, prandaj:

Nuk ekziston;

Më tej, duke iu përmbajtur të njëjtës logjikë, zbulojmë se qoshet në korrespondojnë me pikat me koordinata, përkatësisht. Duke e ditur këtë, është e lehtë të përcaktohen vlerat e funksioneve trigonometrike në pikat përkatëse. Provojeni vetë fillimisht dhe më pas kontrolloni përgjigjet.

Përgjigjet:

Nuk ekziston

Nuk ekziston

Nuk ekziston

Nuk ekziston

Kështu, mund të bëjmë tabelën e mëposhtme:

Nuk ka nevojë të mbani mend të gjitha këto vlera. Mjafton të mbani mend korrespondencën midis koordinatave të pikave në rrethin e njësisë dhe vlerave të funksioneve trigonometrike:

Por vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve në dhe, të dhëna në tabelën më poshtë, duhet mbajtur mend:

Mos kini frikë, tani do t'ju tregojmë një shembull mjaft e thjeshtë për të mbajtur mend vlerat përkatëse:

Për të përdorur këtë metodë, është jetike të mbani mend vlerat e sinusit për të tre masat e këndit (), si dhe vlerën e tangjentës së këndit. Duke ditur këto vlera, është mjaft e thjeshtë të rivendosni të gjithë tabelën - vlerat e kosinusit transferohen në përputhje me shigjetat, domethënë:

Duke e ditur këtë, ju mund të rivendosni vlerat për. Numëruesi " " do të përputhet dhe emëruesi " " do të përputhet. Vlerat kotangjente transferohen në përputhje me shigjetat e treguara në figurë. Nëse e kuptoni këtë dhe mbani mend diagramin me shigjeta, atëherë do të jetë e mjaftueshme të mbani mend të gjitha vlerat nga tabela.

Koordinatat e një pike në një rreth

A është e mundur të gjesh një pikë (koordinatat e saj) në një rreth, njohja e koordinatave të qendrës së rrethit, rrezes dhe këndit të rrotullimit të tij?

Epo, sigurisht që mundesh! Le ta nxjerrim atë formula e përgjithshme për gjetjen e koordinatave të një pike.

Për shembull, këtu është një rreth para nesh:

Na jepet se pika është qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e një pike të përftuara duke rrotulluar pikën me gradë.

Siç shihet nga figura, koordinata e pikës korrespondon me gjatësinë e segmentit. Gjatësia e segmentit korrespondon me koordinatat e qendrës së rrethit, domethënë është e barabartë. Gjatësia e një segmenti mund të shprehet duke përdorur përkufizimin e kosinusit:

Pastaj e kemi atë për koordinatën e pikës.

Duke përdorur të njëjtën logjikë, gjejmë vlerën e koordinatave y për pikën. Kështu,

Pra, në përgjithësi, koordinatat e pikave përcaktohen nga formula:

Koordinatat e qendrës së rrethit,

Rrezja e rrethit,

Këndi i rrotullimit të rrezes vektoriale.

Siç mund ta shihni, për rrethin e njësisë që po shqyrtojmë, këto formula janë zvogëluar ndjeshëm, pasi koordinatat e qendrës janë të barabarta me zero dhe rrezja është e barabartë me një:

Epo, le t'i provojmë këto formula duke praktikuar gjetjen e pikave në një rreth?

1. Gjeni koordinatat e një pike në rrethin njësi të përftuar duke rrotulluar pikën në.

2. Gjeni koordinatat e një pike në rrethin njësi të përftuar duke rrotulluar pikën në.

3. Gjeni koordinatat e një pike në rrethin njësi të përftuar duke rrotulluar pikën.

4. Pika është qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës së fituar duke rrotulluar vektorin e rrezes fillestare me.

5. Pika është qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës së fituar duke rrotulluar vektorin e rrezes fillestare me.

Keni vështirësi në gjetjen e koordinatave të një pike në një rreth?

Zgjidhini këto pesë shembuj (ose bëhuni të mirë në zgjidhjen e tyre) dhe do të mësoni t'i gjeni!

1.

Ju mund ta vini re atë. Por ne e dimë se çfarë korrespondon me një revolucion të plotë të pikës fillestare. Kështu, pika e dëshiruar do të jetë në të njëjtin pozicion si kur kthehet në. Duke e ditur këtë, gjejmë koordinatat e kërkuara të pikës:

2. Rrethi i njësisë është i përqendruar në një pikë, që do të thotë se mund të përdorim formula të thjeshtuara:

Ju mund ta vini re atë. Ne e dimë se çfarë korrespondon me dy revolucione të plota të pikës së fillimit. Kështu, pika e dëshiruar do të jetë në të njëjtin pozicion si kur kthehet në. Duke e ditur këtë, gjejmë koordinatat e kërkuara të pikës:

Sinusi dhe kosinusi janë vlera të tabelës. Ne kujtojmë kuptimet e tyre dhe marrim:

Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.

3. Rrethi i njësisë është i përqendruar në një pikë, që do të thotë se mund të përdorim formula të thjeshtuara:

Ju mund ta vini re atë. Le të përshkruajmë shembullin në fjalë në figurë:

Rrezja bën kënde të barabarta me dhe me boshtin. Duke ditur që vlerat e tabelës së kosinusit dhe sinusit janë të barabarta dhe pasi kemi përcaktuar që kosinusi këtu merr një vlerë negative dhe sinusi një vlerë pozitive, kemi:

Shembuj të tillë diskutohen më në detaje gjatë studimit të formulave për reduktimin e funksioneve trigonometrike në temë.

Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.

4.

Këndi i rrotullimit të rrezes së vektorit (sipas kushteve)

Për të përcaktuar shenjat përkatëse të sinusit dhe kosinusit, ne ndërtojmë një rreth njësi dhe kënd:

Siç mund ta shihni, vlera, domethënë është pozitive, dhe vlera, domethënë është negative. Duke ditur vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike përkatëse, marrim se:

Le të zëvendësojmë vlerat e marra në formulën tonë dhe të gjejmë koordinatat:

Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.

5. Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formula në formë të përgjithshme, ku

Koordinatat e qendrës së rrethit (në shembullin tonë,

Rrezja e rrethit (sipas gjendjes)

Këndi i rrotullimit të rrezes së vektorit (sipas gjendjes).

Le të zëvendësojmë të gjitha vlerat në formulë dhe të marrim:

dhe - vlerat e tabelës. Le të kujtojmë dhe t'i zëvendësojmë ato në formulën:

Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.

PËRMBLEDHJE DHE FORMULA BAZË

Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (të largët) me hipotenuzën.

Kosinusi i një këndi është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me hipotenuzën.

Tangjenti i një këndi është raporti i anës së kundërt (të largët) me anën fqinje (të afërt).

Kotangjentja e një këndi është raporti i anës ngjitur (të afërt) me anën e kundërt (të largët).

Një nga fushat e matematikës me të cilën studentët luftojnë më shumë është trigonometria. Nuk është për t'u habitur: për të zotëruar lirshëm këtë fushë të njohurive, ju nevojitet të menduarit hapësinor, aftësia për të gjetur sinus, kosinus, tangjente, kotangjente duke përdorur formula, për të thjeshtuar shprehjet dhe për të qenë në gjendje të përdorni numrin pi në llogaritjet. Përveç kësaj, ju duhet të jeni në gjendje të përdorni trigonometrinë kur provoni teorema, dhe kjo kërkon ose një memorie të zhvilluar matematikore ose aftësi për të nxjerrë zinxhirë logjikë kompleksë.

Origjina e trigonometrisë

Njohja me këtë shkencë duhet të fillojë me përkufizimin e sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi, por së pari duhet të kuptoni se çfarë bën trigonometria në përgjithësi.

Historikisht, objekti kryesor i studimit në këtë degë të shkencës matematikore ishin trekëndëshat kënddrejtë. Prania e një këndi prej 90 gradë bën të mundur kryerjen e operacioneve të ndryshme që lejojnë përcaktimin e vlerave të të gjithë parametrave të figurës në fjalë duke përdorur dy anë dhe një kënd ose dy kënde dhe një anë. Në të kaluarën, njerëzit e vunë re këtë model dhe filluan ta përdorin atë në mënyrë aktive në ndërtimin e ndërtesave, navigimin, astronominë dhe madje edhe në art.

Faza fillestare

Fillimisht, njerëzit folën për marrëdhëniet midis këndeve dhe brinjëve duke përdorur vetëm shembullin e trekëndëshave kënddrejtë. Më pas u zbuluan formula të veçanta që bënë të mundur zgjerimin e kufijve të përdorimit në jetën e përditshme të kësaj dege të matematikës.

Studimi i trigonometrisë në shkollë sot fillon me trekëndëshat kënddrejtë, pas së cilës nxënësit përdorin njohuritë e marra në fizikë dhe zgjidhjen e ekuacioneve abstrakte trigonometrike, të cilat fillojnë në shkollën e mesme.

Trigonometria sferike

Më vonë, kur shkenca arriti nivelin tjetër të zhvillimit, formulat me sinus, kosinus, tangjente, kotangjente filluan të përdoren në gjeometrinë sferike, ku zbatohen rregulla të ndryshme dhe shuma e këndeve në një trekëndësh është gjithmonë më shumë se 180 gradë. Ky seksion nuk studiohet në shkollë, por është e nevojshme të dihet për ekzistencën e tij të paktën sepse sipërfaqja e tokës dhe sipërfaqja e çdo planeti tjetër është konveks, që do të thotë se çdo shenjë sipërfaqësore do të jetë "në formë harku" në tre. -hapësirë ​​dimensionale.

Merrni globin dhe fillin. Lidheni fillin në çdo dy pika të globit në mënyrë që të jetë e tendosur. Ju lutemi vini re - ka marrë formën e një harku. Gjeometria sferike merret me forma të tilla, e cila përdoret në gjeodezi, astronomi dhe fusha të tjera teorike dhe aplikative.

Trekëndësh kënddrejtë

Pasi mësuam pak për mënyrat e përdorimit të trigonometrisë, le të kthehemi në trigonometrinë bazë për të kuptuar më tej se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja, cilat llogaritje mund të kryhen me ndihmën e tyre dhe cilat formula të përdoren.

Hapi i parë është të kuptoni konceptet që lidhen me një trekëndësh kënddrejtë. Së pari, hipotenuza është ana përballë këndit 90 gradë. Është më i gjati. Kujtojmë se sipas teoremës së Pitagorës, vlera e saj numerike është e barabartë me rrënjën e shumës së katrorëve të dy anëve të tjera.

Për shembull, nëse të dy anët janë përkatësisht 3 dhe 4 centimetra, gjatësia e hipotenuzës do të jetë 5 centimetra. Nga rruga, egjiptianët e lashtë e dinin për këtë rreth katër mijë e gjysmë vjet më parë.

Dy anët e mbetura, të cilat formojnë një kënd të drejtë, quhen këmbë. Përveç kësaj, duhet të kujtojmë se shuma e këndeve në një trekëndësh në një sistem koordinativ drejtkëndor është e barabartë me 180 gradë.

Përkufizimi

Së fundi, me një kuptim të fortë të bazës gjeometrike, mund t'i drejtohemi përkufizimit të sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi.

Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (d.m.th., anës përballë këndit të dëshiruar) me hipotenuzën. Kosinusi i një këndi është raporti i anës ngjitur me hipotenuzën.

Mos harroni se as sinusi dhe as kosinusi nuk mund të jenë më të mëdhenj se një! Pse? Për shkak se hipotenuza është më e gjata pa marrë parasysh sa e gjatë është këmba, ajo do të jetë më e shkurtër se hipotenuza, që do të thotë se raporti i tyre do të jetë gjithmonë më i vogël se një. Kështu, nëse në përgjigjen tuaj për një problem ju merrni një sinus ose kosinus me një vlerë më të madhe se 1, kërkoni një gabim në llogaritjet ose arsyetimin. Kjo përgjigje është qartësisht e pasaktë.

Së fundi, tangjentja e një këndi është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Pjesëtimi i sinusit me kosinusin do të japë të njëjtin rezultat. Shikoni: sipas formulës, gjatësinë e anës e ndajmë me hipotenuzën, pastaj pjesëtojmë me gjatësinë e anës së dytë dhe shumëzojmë me hipotenuzën. Kështu, marrim të njëjtën marrëdhënie si në përkufizimin e tangjentes.

Kotangjenti, në përputhje me rrethanat, është raporti i anës ngjitur me këndin me anën e kundërt. Ne marrim të njëjtin rezultat duke pjesëtuar një me tangjenten.

Pra, ne kemi parë përkufizimet se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja dhe mund të kalojmë te formula.

Formulat më të thjeshta

Në trigonometri nuk mund të bësh pa formula - si të gjesh sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent pa to? Por kjo është pikërisht ajo që kërkohet kur zgjidhen problemet.

Formula e parë që duhet të dini kur filloni të studioni trigonometrinë thotë se shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është e barabartë me një. Kjo formulë është një pasojë e drejtpërdrejtë e teoremës së Pitagorës, por kursen kohë nëse duhet të dini madhësinë e këndit dhe jo anën.

Shumë studentë nuk mund ta mbajnë mend formulën e dytë, e cila është gjithashtu shumë e njohur gjatë zgjidhjes së problemeve të shkollës: shuma e një dhe katrorit të tangjentes së një këndi është e barabartë me një të ndarë me katrorin e kosinusit të këndit. Hidhni një vështrim më të afërt: kjo është e njëjta deklaratë si në formulën e parë, vetëm të dy anët e identitetit ndaheshin me katrorin e kosinusit. Rezulton se një veprim i thjeshtë matematikor e bën formulën trigonometrike plotësisht të panjohur. Mbani mend: duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja, rregullat e transformimit dhe disa formula themelore, në çdo kohë mund të nxirrni formulat më komplekse të kërkuara në një copë letër.

Formula për kënde të dyfishta dhe mbledhje argumentesh

Dy formula të tjera që duhet të mësoni lidhen me vlerat e sinusit dhe kosinusit për shumën dhe ndryshimin e këndeve. Ato janë paraqitur në figurën e mëposhtme. Ju lutemi vini re se në rastin e parë, sinusi dhe kosinusi shumëzohen të dyja herë, dhe në të dytën, shtohet prodhimi çift i sinusit dhe kosinusit.

Ekzistojnë gjithashtu formula që lidhen me argumentet me kënd të dyfishtë. Ato rrjedhin plotësisht nga ato të mëparshmet - si praktikë, përpiquni t'i merrni vetë duke marrë këndin alfa të barabartë me këndin beta.

Së fundi, vini re se formulat e këndit të dyfishtë mund të riorganizohen për të zvogëluar fuqinë e sinusit, kosinusit, alfa tangjente.

Teorema

Dy teoremat kryesore në trigonometrinë bazë janë teorema e sinusit dhe teorema e kosinusit. Me ndihmën e këtyre teoremave, mund të kuptoni lehtësisht se si të gjeni sinusin, kosinusin dhe tangjentën, dhe për këtë arsye sipërfaqen e figurës dhe madhësinë e secilës anë, etj.

Teorema e sinusit thotë se pjesëtimi i gjatësisë së secilës anë të një trekëndëshi me këndin e kundërt rezulton në të njëjtin numër. Për më tepër, ky numër do të jetë i barabartë me dy rreze të rrethit të rrethuar, domethënë rrethin që përmban të gjitha pikat e një trekëndëshi të caktuar.

Teorema e kosinusit përgjithëson teoremën e Pitagorës, duke e projektuar atë në çdo trekëndësh. Rezulton se nga shuma e katrorëve të dy anëve, zbritni produktin e tyre të shumëzuar me kosinusin e dyfishtë të këndit ngjitur - vlera që rezulton do të jetë e barabartë me katrorin e anës së tretë. Kështu, teorema e Pitagorës rezulton të jetë një rast i veçantë i teoremës së kosinusit.

Gabimet e pakujdesshme

Edhe duke ditur se çfarë janë sinusi, kosinusi dhe tangjentja, është e lehtë të bësh një gabim për shkak të mungesës së mendjes ose një gabimi në llogaritjet më të thjeshta. Për të shmangur gabime të tilla, le të hedhim një vështrim në ato më të njohurat.

Së pari, nuk duhet t'i konvertoni thyesat në dhjetore derisa të merrni rezultatin përfundimtar - gjithashtu mund ta lini përgjigjen si thyesë, përveç nëse përcaktohet ndryshe në kushte. Një transformim i tillë nuk mund të quhet gabim, por duhet mbajtur mend se në çdo fazë të problemit mund të shfaqen rrënjë të reja, të cilat, sipas idesë së autorit, duhet të zvogëlohen. Në këtë rast, ju do të humbni kohën tuaj në operacione të panevojshme matematikore. Kjo është veçanërisht e vërtetë për vlera të tilla si rrënja e tre ose rrënja e dy, sepse ato gjenden në probleme në çdo hap. E njëjta gjë vlen edhe për rrumbullakimin e numrave "të shëmtuar".

Më tej, vini re se teorema e kosinusit zbatohet për çdo trekëndësh, por jo për teoremën e Pitagorës! Nëse gabimisht harroni të zbrisni dyfishin e produktit të anëve të shumëzuar me kosinusin e këndit midis tyre, jo vetëm që do të merrni një rezultat krejtësisht të gabuar, por gjithashtu do të demonstroni një mungesë të plotë të të kuptuarit të temës. Kjo është më e keqe se një gabim i pakujdesshëm.

Së treti, mos i ngatërroni vlerat për këndet 30 dhe 60 gradë për sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet. Mos harroni këto vlera, sepse sinusi 30 gradë është i barabartë me kosinusin 60 dhe anasjelltas. Është e lehtë t'i ngatërroni ato, si rezultat i së cilës në mënyrë të pashmangshme do të merrni një rezultat të gabuar.

Aplikimi

Shumë studentë nuk nxitojnë të fillojnë të studiojnë trigonometrinë sepse nuk e kuptojnë kuptimin praktik të saj. Çfarë është sinusi, kosinusi, tangjenta për një inxhinier apo astronom? Këto janë koncepte me të cilat mund të llogarisni distancën nga yjet e largët, të parashikoni rënien e një meteori ose të dërgoni një sondë kërkimore në një planet tjetër. Pa to, është e pamundur të ndërtohet një ndërtesë, të projektohet një makinë, të llogaritet ngarkesa në një sipërfaqe ose trajektorja e një objekti. Dhe këta janë vetëm shembujt më të dukshëm! Në fund të fundit, trigonometria në një formë ose në një tjetër përdoret kudo, nga muzika te mjekësia.

Si përfundim

Pra, ju jeni sinus, kosinus, tangent. Ju mund t'i përdorni ato në llogaritjet dhe të zgjidhni me sukses problemet e shkollës.

E gjithë pika e trigonometrisë zbret në faktin se duke përdorur parametrat e njohur të një trekëndëshi ju duhet të llogaritni të panjohurat. Gjithsej janë gjashtë parametra: gjatësia e tre anëve dhe madhësia e tre këndeve. Dallimi i vetëm në detyra qëndron në faktin se jepen të dhëna të ndryshme hyrëse.

Tani e dini se si të gjeni sinusin, kosinusin, tangjentën bazuar në gjatësinë e njohur të këmbëve ose hipotenuzën. Meqenëse këto terma nuk nënkuptojnë asgjë më shumë se një raport, dhe një raport është një fraksion, qëllimi kryesor i një problemi të trigonometrisë është të gjejë rrënjët e një ekuacioni të zakonshëm ose një sistemi ekuacionesh. Dhe këtu matematika e rregullt e shkollës do t'ju ndihmojë.

Nuk do të përpiqem t'ju bind të mos shkruani fletë mashtrimi. Shkruaj! Përfshirë fletët e mashtrimit në trigonometri. Më vonë planifikoj të shpjegoj pse duhen fletët e mashtrimit dhe pse fletët e mashtrimit janë të dobishme. Dhe këtu ka informacion se si të mos mësoni, por të mbani mend disa formula trigonometrike. Pra - trigonometria pa një fletë mashtrimi Ne përdorim shoqata për memorizimin.

1. Formulat e shtimit:

Kosinuset gjithmonë "vijnë në çift": kosinus-kosinus, sinus-sinus. Dhe një gjë tjetër: kosinuset janë "të papërshtatshëm". "Gjithçka nuk është në rregull" për ta, kështu që ata ndryshojnë shenjat: "-" në "+", dhe anasjelltas.

Sinuset - "përzierje": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formulat e shumës dhe diferencës:

kosinuset gjithmonë "vijnë në çift". Duke shtuar dy kosinus - "koloboks", marrim një palë kosinus - "koloboks". Dhe duke zbritur, ne definitivisht nuk do të marrim asnjë koloboks. Ne marrim disa sinus. Gjithashtu me një minus përpara.

Sinuset - "përzierje" :

3. Formulat për shndërrimin e një produkti në një shumë dhe diferencë.

Kur marrim një çift kosinus? Kur shtojmë kosinus. Kjo është arsyeja pse

Kur marrim disa sinus? Kur zbriten kosinuset. Nga këtu:

"Përzierja" fitohet si kur shtohen ashtu edhe zbriten sinuset. Çfarë është më argëtuese: shtimi apo zbritja? Kjo është e drejtë, palos. Dhe për formulën ata marrin shtesë:

Në formulat e parë dhe të tretë, shuma është në kllapa. Rirregullimi i vendeve të termave nuk e ndryshon shumën. Rendi është i rëndësishëm vetëm për formulën e dytë. Por, për të mos u ngatërruar, për lehtësinë e kujtimit, në të tre formulat në kllapat e para marrim ndryshimin

dhe së dyti - shuma

Fletët e mashtrimit në xhepin tuaj ju japin paqe mendore: nëse harroni formulën, mund ta kopjoni atë. Dhe ato ju japin besim: nëse nuk arrini të përdorni fletën e mashtrimit, mund t'i mbani mend lehtësisht formulat.