Gjeni kulmin e një parabole. Llogaritja e koeficientëve dhe pikave kryesore të një parabole

Parabola është grafiku i një funksioni kuadratik. Kjo linjë ka një rëndësi të madhe fizike. Për ta bërë më të lehtë gjetjen e majës së parabolës, duhet ta vizatoni atë. Atëherë mund ta shihni lehtësisht majën e saj në tabelë. Por për të ndërtuar një parabolë, duhet të dini se si të gjeni pikat e parabolës dhe si të gjeni koordinatat e parabolës.

Gjetja e pikave dhe kulmit të parabolës

Në paraqitjen e përgjithshme, funksioni kuadratik ka këtë formë: y = ax 2 + bx + c. Grafiku i këtij ekuacioni është një parabolë. Kur vlera është a › 0, degët e tij drejtohen lart, dhe kur vlera është ‹ 0, ato drejtohen poshtë. Për të ndërtuar një parabolë në një grafik, duhet të dini tre pika nëse ajo shkon përgjatë boshtit të ordinatave. Përndryshe, duhet të njihen katër pika ndërtimi.

Kur gjeni abshisën (x), duhet të merrni koeficientin e (x) nga formula e dhënë polinom, dhe më pas të ndani me koeficientin e dyfishtë të (x 2), dhe më pas të shumëzoni me numrin - 1.

Për të gjetur ordinatën, duhet të gjeni diskriminuesin, pastaj ta shumëzoni me – 1 dhe më pas të pjesëtoni me koeficientin në (x 2), pasi ta shumëzoni me 4.

Më pas, duke zëvendësuar vlerat numerike, llogaritet kulmi i parabolës. Për të gjitha llogaritjet, këshillohet të përdorni një kalkulator inxhinierik, dhe kur vizatoni grafikë dhe parabola, përdorni një vizore dhe një lumograf, kjo do të rrisë ndjeshëm saktësinë e llogaritjeve tuaja.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm për të na ndihmuar të kuptojmë se si të gjejmë kulmin e një parabole.

x 2 -9=0. Në këtë rast, koordinatat e kulmit llogariten si më poshtë: pika 1 (-0/(2*1); pika 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)) . Kështu, koordinatat e kulmit janë vlerat (0; 9).

Gjetja e abshisës së kulmit

Pasi të dini se si të gjeni një parabolë dhe mund të llogarisni pikat e saj të kryqëzimit me boshtin e koordinatave (x), mund të llogaritni lehtësisht abshisën e kulmit.

Le të jenë (x 1) dhe (x 2) rrënjët e parabolës. Rrënjët e një parabole janë pikat e kryqëzimit të saj me boshtin x. Këto vlera zhduken ekuacionin kuadratik të formës së mëposhtme: sëpatë 2 + bx + c.

Për më tepër |x 2 | > |x 1 |, që do të thotë kulmi i parabolës ndodhet në mes ndërmjet tyre. Kështu, mund të gjendet duke përdorur shprehjen e mëposhtme: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Gjetja e sipërfaqes së figurës

Për të gjetur sipërfaqen e një figure në planin koordinativ, duhet të dini integralin. Dhe për ta zbatuar atë, mjafton të njihni algoritme të caktuara. Për të gjetur zonën e kufizuar nga parabolat, është e nevojshme ta imazhoni atë në një sistem koordinativ kartezian.

Së pari, sipas metodës së përshkruar më sipër, përcaktohet koordinata e kulmit të boshtit (x), pastaj boshti (y), pas së cilës gjendet kulmi i parabolës. Tani duhet të përcaktojmë kufijtë e integrimit. Si rregull, ato tregohen në deklaratën e problemit duke përdorur variablat (a) dhe (b). Këto vlera duhet të vendosen përkatësisht në pjesët e sipërme dhe të poshtme të integralit. Më pas, duhet të futni vlerën e funksionit në formë të përgjithshme dhe ta shumëzoni atë me (dx). Në rastin e një parabole: (x 2)dx.

Pastaj ju duhet të llogaritni vlerën antiderivative të funksionit në formë të përgjithshme. Për ta bërë këtë, duhet të përdorni një tabelë të veçantë vlerash. Duke zëvendësuar kufijtë e integrimit atje, diferenca gjendet. Ky ndryshim do të jetë zona.

Si shembull, merrni parasysh sistemin e ekuacioneve: y = x 2 +1 dhe x + y = 3.

Gjenden abshisat e pikave të kryqëzimit: x 1 = -2 dhe x 2 = 1.

Supozojmë se y 2 = 3 dhe y 1 = x 2 + 1, zëvendësojmë vlerat në formulën e mësipërme dhe marrim një vlerë të barabartë me 4.5.

Tani kemi mësuar se si të gjejmë një parabolë, dhe gjithashtu, bazuar në këto të dhëna, të llogarisim sipërfaqen e figurës që ajo kufizon.

Një funksion i formës ku quhet funksion kuadratik.

Grafiku i një funksioni kuadratik - parabolë.

Le të shqyrtojmë rastet:

I RASTI, PARABOLA KLASIKE

Kjo është,

Për të ndërtuar, plotësoni tabelën duke zëvendësuar vlerat x në formulën:

Shënoni pikët (0;0); (1;1); (-1;1), etj. në planin koordinativ (sa më i vogël të jetë hapi që marrim vlerat x (në këtë rast, hapi 1), dhe sa më shumë vlera x të marrim, aq më e qetë do të jetë kurba), marrim një parabolë:

Është e lehtë të shihet se nëse marrim rastin , , , domethënë, atëherë marrim një parabolë që është simetrike rreth boshtit (oh). Është e lehtë ta verifikosh këtë duke plotësuar një tabelë të ngjashme:

RASTI II, “a” ËSHTË TË NDRYSHME NGA NJËSIA

Çfarë do të ndodhë nëse marrim , , ? Si do të ndryshojë sjellja e parabolës? Me title="Renderuar nga QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Në foton e parë (shih më lart) shihet qartë se pikat nga tabela për parabolën (1;1), (-1;1) janë shndërruar në pika (1;4), (1;-4), pra me vlera të njëjta, ordinata e secilës pikë shumëzohet me 4. Kjo do të ndodhë me të gjitha pikat kyçe të tabelës origjinale. Ngjashëm arsyetojmë në rastet e figurave 2 dhe 3.

Dhe kur parabola "bëhet më e gjerë" se parabola:

Le të përmbledhim:

1)Shenja e koeficientit përcakton drejtimin e degëve. Me title="Renderuar nga QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Vlera absolute koeficienti (moduli) është përgjegjës për "zgjerimin" dhe "ngjeshjen" e parabolës. Sa më e madhe, aq më e ngushtë të jetë parabola, aq më e vogël |a|, aq më e gjerë është parabola.

III RASTI, “C” SHFAQET

Tani le të futemi në lojë (d.m.th., të shqyrtojmë rastin kur), do të shqyrtojmë parabolat e formës . Nuk është e vështirë të merret me mend (mund t'i referoheni gjithmonë tabelës) që parabola do të zhvendoset lart ose poshtë përgjatë boshtit në varësi të shenjës:

IV RASTI, “b” SHFAQET

Kur do të "shkëputet" parabola nga boshti dhe më në fund "të ecë" përgjatë gjithë planit koordinativ? Kur do të pushojë së qeni i barabartë?

Këtu kemi nevojë për të ndërtuar një parabolë formula për llogaritjen e kulmit: , .

Pra, në këtë pikë (si në pikën (0;0) të sistemit të ri të koordinatave) do të ndërtojmë një parabolë, të cilën tashmë mund ta bëjmë. Nëse kemi të bëjmë me rastin, atëherë nga kulmi vendosim një segment njësi në të djathtë, një lart, - pika që rezulton është e jona (në mënyrë të ngjashme, një hap në të majtë, një hap lart është pika jonë); nëse kemi të bëjmë, për shembull, atëherë nga kulmi vendosim një segment njësi në të djathtë, dy - lart, etj.

Për shembull, kulmi i një parabole:

Tani gjëja kryesore për të kuptuar është se në këtë kulm do të ndërtojmë një parabolë sipas modelit të parabolës, sepse në rastin tonë.

Kur ndërtohet një parabolë pas gjetjes së koordinatave të kulmit shumëËshtë e përshtatshme të merren parasysh pikat e mëposhtme:

1) parabolë patjetër do të kalojë përmes pikës . Në të vërtetë, duke zëvendësuar x=0 në formulë, marrim se . Domethënë, ordinata e pikës së prerjes së parabolës me boshtin (oy) është . Në shembullin tonë (sipër), parabola kryqëzon ordinatën në pikën , pasi .

2) boshti i simetrisë parabola është një vijë e drejtë, kështu që të gjitha pikat e parabolës do të jenë simetrike rreth saj. Në shembullin tonë, marrim menjëherë pikën (0; -2) dhe e ndërtojmë atë në mënyrë simetrike në lidhje me boshtin e simetrisë së parabolës, marrim pikën (4; -2) nëpër të cilën do të kalojë parabola.

3) Duke u barazuar me , gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin (oh). Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin. Në varësi të diskriminuesit, do të marrim një (, ), dy ( title=" Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Në shembullin e mëparshëm, rrënja jonë e diskriminuesit nuk është një numër i plotë kur ndërtojmë, nuk ka shumë kuptim që ne të gjejmë rrënjët, por ne e shohim qartë se do të kemi dy pika kryqëzimi me boshtin (oh); (që nga titulli="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pra, le ta përpunojmë

Algoritmi për ndërtimin e një parabole nëse është dhënë në formë

1) përcaktoni drejtimin e degëve (a>0 – lart, a<0 – вниз)

2) gjejmë koordinatat e kulmit të parabolës duke përdorur formulën , .

3) gjejmë pikën e kryqëzimit të parabolës me boshtin (oy) duke përdorur termin e lirë, ndërtojmë një pikë simetrike në këtë pikë në lidhje me boshtin e simetrisë së parabolës (duhet të theksohet se ndodh që është e padobishme të shënohet kjo pikë, për shembull, sepse vlera është e madhe... ne e kapërcejmë këtë pikë...)

4) Në pikën e gjetur - kulmin e parabolës (si në pikën (0;0) të sistemit të ri të koordinatave) ndërtojmë një parabolë. Nëse title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Pikat e prerjes së parabolës me boshtin (oy) i gjejmë (nëse nuk kanë dalë ende në sipërfaqe) duke zgjidhur ekuacionin

Shembulli 1

Shembulli 2

Shënim 1. Nëse parabola fillimisht na jepet në formën , ku janë disa numra (për shembull, ), atëherë do të jetë edhe më e lehtë ta ndërtojmë atë, sepse tashmë na janë dhënë koordinatat e kulmit. Pse?

Le të marrim një trinom kuadratik dhe të izolojmë katrorin e plotë në të: Shikoni, e morëm atë , . Ju dhe unë më parë e quajtëm kulmin e një parabole, domethënë tani, .

Për shembull,. Shënojmë kulmin e parabolës në rrafsh, kuptojmë që degët janë të drejtuara poshtë, parabola është zgjeruar (në lidhje me ). Kjo do të thotë, ne kryejmë pikat 1; 3; 4; 5 nga algoritmi për ndërtimin e një parabole (shih më lart).

Shënim 2. Nëse parabola jepet në një formë të ngjashme me këtë (pra paraqitet si prodhim i dy faktorëve linearë), atëherë menjëherë shohim pikat e kryqëzimit të parabolës me boshtin (kasin). Në këtë rast - (0;0) dhe (4;0). Për pjesën tjetër, ne veprojmë sipas algoritmit, duke hapur kllapat.

Parabola është e pranishme në botën e matematikës, fizikës dhe shkencave të tjera. Satelitët artificialë lëvizin përgjatë trajektores së parabolës, të cilët tentojnë të largohen nga sistemi diellor kur luan volejboll, përshkruan gjithashtu trajektoren e tij. Ju duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një parabolë. Dhe që kjo të jetë e lehtë, ju duhet të dini se si të gjeni kulmin e një parabole.

Grafiku i funksionit y = ax 2 + bx + c, ku a është koeficienti i parë, b është koeficienti i dytë, c është termi i lirë, quhet parabolë. Por kushtojini vëmendje faktit që një ≠0.

Çdo pikë e parabolës ka simetrike me të, përveç një pike, dhe kjo pikë quhet kulm. Për të gjetur një pikë që është një kulm, duhet të vendosni se cila është një pikë në grafik. Një pikë në një grafik është një koordinatë specifike përgjatë boshtit të abshisës dhe ordinatave. Ajo shënohet si (x; y). Le të kuptojmë se si të gjejmë numrat e çmuar.

Mënyra e parë

Nëse doni të dini se si të llogaritni saktë koordinatat e një kulmi, atëherë duhet të mësoni vetëm formulën x0 = -b/2a. Duke zëvendësuar numrin që rezulton në funksion, marrim y0.

Për shembull, y =x 2 –8 x +15;

gjeni koeficientin e parë, të dytë dhe termin e lirë;

a =1, b =-8, c =15;

zëvendësoni vlerat e a dhe b në formulë;

x0=8/2=4;

llogarit vlerat y;

y0 = 16–32+15 = -1;

Kjo do të thotë se kulmi është në pikën (4;-1).

Degët e parabolës janë simetrike rreth boshtit të simetrisë, i cili kalon nëpër kulmin e parabolës. Duke ditur rrënjët e ekuacionit, mund të llogaritni lehtësisht abshisën e kulmit të parabolës. Le të supozojmë se k dhe n janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Atëherë pika x0 është e barabartë nga pikat k dhe n, dhe mund të llogaritet duke përdorur formulën: x0 = (k + n)/2.

Le të shohim shembullin y =x 2 –6x+5

1) Barazohet me zero:

x 2 –6x+5=0.

2) Gjeni diskriminuesin duke përdorur formulën: D = b 2 –4 ac:

D =36–20=16.

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit duke përdorur formulën (-b±√ D)/2a:

1 - rrënja e parë;
5 është rrënja e dytë.

4) Llogaritni:

x0 =(5+1)/2=3

Mënyra e dytë

Plotësimi në një katror të plotë është një mënyrë e shkëlqyer për të gjetur se ku ndodhet kulmi. Duke përdorur këtë metodë, ju mund të llogaritni pikat x dhe y në të njëjtën kohë, pa pasur nevojë të zëvendësoni x në shembullin fillestar. Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e funksionit: y=x 2 +8 x +10.

1. Së pari ju duhet të barazoni shprehjen me variablin me 0. Më pas zhvendoseni c në anën e djathtë me shenjën e kundërt, domethënë, marrim shprehjen x 2 + 8x = -10.

2. Tani në anën e majtë ju duhet të bëni një katror të plotë. Për ta bërë këtë, llogaritni (b/2) 2 dhe rrisni të dyja anët e rezultatit të ekuacionit. Në këtë rast, ju duhet të zëvendësoni 8 në vend të b.

Ne marrim 16. Tani shtoni këtë numër në të dy anët e ekuacionit:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Mund të shihet se shprehja që rezulton është një katror i përsosur. Mund të paraqitet në formën: (x + 4) 2 = 6.

4. Përdorni këtë shprehje për të gjetur koordinatat e kulmit të një parabole. Për të llogaritur x, duhet ta barazoni me 0. Marrim x = -4. Koordinata y është e barabartë me atë që është në anën e djathtë, domethënë y =6. Kulmi i parabolës së këtij ekuacioni është (-4, 6).

Mënyra e tretë

Nëse e dini se çfarë është një derivat, atëherë ekziston një formulë tjetër për ju. Pavarësisht se ku janë "brirët" e pikës së parabolës, maja e saj është pika ekstreme. Për këtë metodë, duhet të aplikoni algoritmin e mëposhtëm:

1. Gjetja e derivatit të parë duke përdorur formulën f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Barazimi i derivatit me 0. Si rezultat, ju merrni 0 = 2ax + b, nga këtu mund të gjejmë atë që na intereson.

Le ta shqyrtojmë këtë metodë në më shumë detaje.

Jepet funksioni y = 4x²+16x-17;

E shkruajmë derivatin dhe e barazojmë me zero.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

Gjëja më e vështirë gjatë ndërtimit është gjetja e saktë e pikave të funksionit. Për një ndërtim të detajuar, duhet të llogaritni 5-7 pikë (kjo është e mjaftueshme për një kurs shkollor). Për ta bërë këtë, zgjidhni një vlerë x dhe zëvendësojeni atë në këtë funksion. Rezultati i llogaritjeve do të jetë numri i pikave përgjatë boshtit të ordinatave. Pas kësaj, pikat e marra i vendosim në planin koordinativ. Si rezultat, marrim një parabolë.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në çështjen e gjetjes së pikave që duhet të shënohen. Për shembull, le të marrim funksionin y =-x 2 +11 x -24 me kulmin në pikën (5.5;-6.25).

1) Ndërtoni një tabelë

Gjeni saktë shanset.

Shkruani llogaritjet e ndërmjetme në letër. Kjo jo vetëm që do ta bëjë më të lehtë gjetjen e majës, por gjithashtu do t'ju ndihmojë të gjeni gabimet tuaja.

Bëni gjithçka hap pas hapi. Ndiqni algoritmin.

Ju lutemi vini re se:

Ju duhet të kontrolloni nëse vendimi juaj është i saktë.
Duhet të qetësoheni. Zgjidhja e çdo problemi matematikor kërkon përvojë. Thjesht duhet të punoni në këtë temë, dhe atëherë me siguri do të keni sukses.

Video

Kjo video do t'ju ndihmojë të mësoni se si të gjeni kulmin e një parabole

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.

Ndoshta të gjithë e dinë se çfarë është parabola. Por ne do të shohim se si ta përdorim atë saktë dhe me kompetencë kur zgjidhim probleme të ndryshme praktike më poshtë.

Së pari, le të përshkruajmë konceptet bazë që algjebra dhe gjeometria i japin këtij termi. Le të shqyrtojmë të gjitha llojet e mundshme të këtij grafiku.

Le të zbulojmë të gjitha karakteristikat kryesore të këtij funksioni. Le të kuptojmë bazat e ndërtimit të kurbës (gjeometria). Le të mësojmë se si të gjejmë vlerat e sipërme dhe të tjera themelore të një grafiku të këtij lloji.

Le të zbulojmë se si të ndërtojmë saktë kurbën e dëshiruar duke përdorur ekuacionin, çfarë duhet t'i kushtoni vëmendje. Le të shohim zbatimin praktik kryesor të kësaj vlere unike në jetën e njeriut.

Çfarë është një parabolë dhe si duket?

Algjebër: Ky term i referohet grafikut të një funksioni kuadratik.

Gjeometria: kjo është një kurbë e rendit të dytë që ka një numër karakteristikash specifike:

Ekuacioni kanonik i parabolës

Figura tregon një sistem koordinativ drejtkëndor (XOY), një ekstrem, drejtimin e degëve të vizatimit të funksionit përgjatë boshtit të abshisës.

Ekuacioni kanonik është:

y 2 = 2 * p * x,

ku koeficienti p është parametri fokal i parabolës (AF).

Në algjebër do të shkruhet ndryshe:

y = a x 2 + b x + c (model i njohur: y = x 2).

Vetitë dhe grafiku i një funksioni kuadratik

Funksioni ka një bosht simetrie dhe një qendër (ekstrem). Fusha e përkufizimit janë të gjitha vlerat e boshtit të abshisës.

Gama e vlerave të funksionit - (-∞, M) ose (M, +∞) varet nga drejtimi i degëve të kurbës. Parametri M këtu nënkupton vlerën e funksionit në krye të rreshtit.

Si të përcaktohet se ku janë drejtuar degët e një parabole

Për të gjetur drejtimin e një lakore të këtij lloji nga një shprehje, duhet të përcaktoni shenjën përpara parametrit të parë të shprehjes algjebrike. Nëse a ˃ 0, atëherë ato drejtohen lart. Nëse është anasjelltas, poshtë.

Si të gjeni kulmin e një parabole duke përdorur formulën

Gjetja e ekstremit është hapi kryesor në zgjidhjen e shumë problemeve praktike. Sigurisht, ju mund të hapni kalkulatorë të veçantë në internet, por është më mirë të jeni në gjendje ta bëni vetë.

Si për të përcaktuar atë? Ekziston një formulë e veçantë. Kur b nuk është e barabartë me 0, duhet të kërkojmë koordinatat e kësaj pike.

Formulat për gjetjen e kulmit:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Shembull.

Ekziston një funksion y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Le të gjejmë kulmet e këtij funksioni.

Për një linjë si kjo:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Marrim koordinatat e kulmit (-2, -41).

Zhvendosja e parabolës

Rasti klasik është kur në një funksion kuadratik y = a x 2 + b x + c, parametrat e dytë dhe të tretë janë të barabartë me 0, dhe = 1 - kulmi është në pikën (0; 0).

Lëvizja përgjatë boshteve të abshisës ose të ordinatave është për shkak të ndryshimeve në parametrat b dhe c, përkatësisht. Vija në aeroplan do të zhvendoset saktësisht me numrin e njësive të barabartë me vlerën e parametrit.

Shembull.

Kemi: b = 2, c = 3.

Kjo do të thotë se forma klasike e lakores do të zhvendoset me 2 segmente njësi përgjatë boshtit të abshisës dhe me 3 përgjatë boshtit të ordinatave.

Si të ndërtoni një parabolë duke përdorur një ekuacion kuadratik

Është e rëndësishme që nxënësit e shkollës të mësojnë se si të vizatojnë saktë një parabolë sipas parametrave të dhënë.

Duke analizuar shprehjet dhe ekuacionet, mund të shihni sa vijon:

Pika e prerjes së drejtëzës së dëshiruar me vektorin e ordinatës do të ketë vlerë të barabartë me c.
Të gjitha pikat e grafikut (përgjatë boshtit x) do të jenë simetrike në raport me ekstremin kryesor të funksionit.

Për më tepër, pikat e kryqëzimit me OX mund të gjenden duke ditur diskriminuesin (D) të një funksioni të tillë:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Për ta bërë këtë, duhet të barazoni shprehjen me zero.

Prania e rrënjëve të një parabole varet nga rezultati:

D ˃ 0, pastaj x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, pastaj x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, atëherë nuk ka pika të kryqëzimit me vektorin OX.

Marrim algoritmin për ndërtimin e një parabole:

përcaktoni drejtimin e degëve;
gjeni koordinatat e kulmit;
gjeni kryqëzimin me boshtin e ordinatave;
gjeni kryqëzimin me boshtin x.

Shembulli 1.

Jepet funksioni y = x 2 - 5 * x + 4. Është e nevojshme të ndërtohet një parabolë. Ne ndjekim algoritmin:

a = 1, prandaj, degët janë të drejtuara lart;
koordinatat ekstreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
kryqëzohet me boshtin e ordinatës në vlerën y = 4;
le të gjejmë diskriminuesin: D = 25 - 16 = 9;
duke kërkuar rrënjë:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Shembulli 2.

Për funksionin y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 ju duhet të ndërtoni një parabolë. Ne veprojmë sipas algoritmit të dhënë:

a = 3, prandaj, degët janë të drejtuara lart;
koordinatat ekstreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
do të kryqëzohet me boshtin y në vlerën y = -1;
le të gjejmë diskriminuesin: D = 4 + 12 = 16. Pra, rrënjët janë:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Duke përdorur pikat e marra, mund të ndërtoni një parabolë.

Drejtoriksi, ekscentriciteti, fokusi i një parabole

Bazuar në ekuacionin kanonik, fokusi i F ka koordinata (p/2, 0).

Vija e drejtë AB është një drejtim (një lloj korde i një parabole me një gjatësi të caktuar). Ekuacioni i tij: x = -p/2.

Ekscentricitet (konstante) = 1.

konkluzioni

Ne shikuam një temë që studiojnë studentët në shkollën e mesme. Tani ju e dini, duke parë funksionin kuadratik të një parabole, si të gjeni kulmin e saj, në cilin drejtim do të drejtohen degët, nëse ka një zhvendosje përgjatë boshteve dhe, duke pasur një algoritëm ndërtimi, mund të vizatoni grafikun e saj.

Udhëzimet

Një funksion kuadratik në formë të përgjithshme shkruhet nga ekuacioni: y = ax² + bx + c. Grafiku i këtij ekuacioni është , degët e të cilit janë të drejtuara lart (për një > 0) ose poshtë (për një< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Për njerëzit e njohur me konceptin e derivatit, është e lehtë të gjesh kulmin e një parabole. Pavarësisht nga pozicioni i degëve të një parabole, kulmi i saj është një pikë (minimumi nëse degët janë të drejtuara lart, ose kur degët drejtohen poshtë). Për të gjetur pikat e supozuara ekstreme të çdo , ju duhet të llogarisni derivatin e tij të parë dhe ta barazoni atë me zero. Në përgjithësi, derivati është i barabartë me f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Duke u barazuar me zero, ju merrni 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Parabola është një vijë simetrike. Boshti kalon nëpër kulmin e parabolës. Duke ditur pikat e parabolës me boshtin e koordinatave X, mund të gjeni lehtësisht abshisën e kulmit x0. Le të jenë x1 dhe x2 rrënjët e parabolës (të ashtuquajturat pika të kryqëzimit të parabolës me boshtin x, pasi këto vlera bëjnë që ekuacioni kuadratik ax² + bx + c të zhduket). Për më tepër, le të |x2| > |x1|, atëherë kulmi i parabolës shtrihet në gjysmë të rrugës ndërmjet tyre dhe mund të gjendet nga shprehja e mëposhtme: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Video mbi temën

Burimet:

Funksioni kuadratik
formula për gjetjen e kulmit të një parabole

Parabola është grafiku i një funksioni kuadratik në përgjithësi, ekuacioni i një parabole shkruhet y=ax^2+bx+c, ku a≠0. Kjo është një kurbë universale e rendit të dytë që përshkruan shumë dukuri në jetë, për shembull, lëvizjen e një trupi të hedhur dhe më pas në rënie, formën e një ylberi, kështu që aftësia për të gjetur parabolë mund të jetë shumë i dobishëm në jetë.

Do t'ju duhet

- formula e ekuacionit kuadratik;
- një fletë letre me një rrjet koordinativ;
- laps, gomë;
- kompjuter dhe program Excel.

Udhëzimet

Para së gjithash, gjeni kulmin e parabolës. Për të gjetur abshisën e kësaj pike, merrni koeficientin e x, pjesëtojeni me dyfishin e koeficientit të x^2 dhe shumëzojeni me -1 (x=-b/2a). Gjeni ordinatën duke zëvendësuar vlerën që rezulton në ekuacion ose duke përdorur formulën y=(b^2-4ac)/4a. Ju keni marrë koordinatat e pikës kulmore të parabolës.

Kulmi i një parabole mund të gjendet në një mënyrë tjetër. Meqenëse është ekstremi i funksionit, për ta llogaritur atë, llogaritni derivatin e parë dhe barazoni atë me zero. Në përgjithësi, do të merrni formulën f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. Dhe duke e barazuar me zero, do të vini në të njëjtën formulë - x=-b/2a.

Zbuloni nëse degët e parabolës tregojnë lart apo poshtë. Për ta bërë këtë, shikoni koeficientin përpara x^2, domethënë a. Nëse a>0, atëherë degët janë të drejtuara lart, nëse a

Koordinatat majat janë gjetur parabola. Shkruajini ato si koordinata të një pike të vetme (x0,y0).

Video mbi temën

Për funksionet (më saktë, grafikët e tyre), përdoret koncepti i vlerës më të madhe, duke përfshirë një maksimum lokal. Koncepti i "kulmit" lidhet më tepër me figura gjeometrike. Pikat maksimale të funksioneve të lëmuara (që kanë një derivat) janë të lehta për t'u përcaktuar duke përdorur zerot e derivatit të parë.

Udhëzimet

Për pikat në të cilat funksioni nuk është i diferencueshëm, por i vazhdueshëm, vlera më e madhe në interval mund të ketë formën e një maje (në y=-|x|). Në pika të tilla funksionet Mund të vizatoni sa më shumë tangjente të doni, tangjentet thjesht nuk ekzistojnë për të. Samiu funksionet Ky lloj zakonisht specifikohet në segmente. Pikat në të cilat derivati funksionet e barabartë me zero ose nuk ekziston quhen kritike.

Rheaning. y=x+3 për x≤-1 dhe y=((x^2)^(1/3)) –x për x>-1. Funksioni specifikohet në segmente qëllimisht, pasi në këtë rast qëllimi është të shfaqni gjithçka në një shembull. Është e lehtë që për x=-1 funksioni të mbetet i vazhdueshëm.y'=1 për x≤-1 dhe y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3))/(x^(1/3)) për x>-1'=0 për x=8/27 y' nuk ekziston për x=-1. Në këtë rast, y '>0 nëse x

Video mbi temën

Një parabolë është një nga kthesat e rendit të dytë; Gjëja kryesore në ndërtimin e kësaj kurbë është gjetja krye parabola. Kjo mund të bëhet në disa mënyra.

Udhëzimet

Për të gjetur koordinatat e një kulmi parabola, përdorni formulën e mëposhtme: x=-b/2a, ku a është koeficienti përpara x në dhe b është koeficienti përpara x. Futni vlerat tuaja në prizë dhe llogaritni ato. Pastaj zëvendësoni vlerën që rezulton për x në ekuacion dhe llogarisni ordinatën e kulmit. Për shembull, nëse ju jepet ekuacioni y=2x^2-4x+5, atëherë gjeni abshisën si më poshtë: x=-(-4)/2*2=1. Duke zëvendësuar x=1 në ekuacion, llogaritni vlerën y për kulmin parabola: y=2*1^2-4*1+5=3. Pra në krye parabola ka koordinata (1;3).

Vlera e ordinatës parabola mund të gjendet pa llogaritur më parë abshisën. Për ta bërë këtë, përdorni formulën y=-b^2/4ac+c.

Nëse jeni njohur me konceptin e derivatit, gjeni krye parabola duke përdorur derivate, duke përdorur vetinë e mëposhtme të çdo: derivati i parë i një funksioni, i barabartë me zero, tregon për. Që në krye parabola, pavarësisht nëse degët e tij janë të drejtuara lart apo poshtë, pikë , llogaritni derivatin për funksionin tuaj. Në përgjithësi, do të duket si f(x)=2ax+b. Barazoni me zero dhe merrni koordinatat e kulmit parabola, që korrespondon me funksionin tuaj.

Mundohuni të gjeni krye parabola, duke përfituar nga vetia e tij si simetria. Për ta bërë këtë, gjeni pikat e kryqëzimit parabola me boshtin x, duke barazuar funksionin me zero (duke zëvendësuar y = 0). Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik, do të gjeni x1 dhe x2. Meqenëse parabola është simetrike në lidhje me drejtimin që kalon krye, këto pika do të jenë në distancë të barabartë nga abshisa e kulmit. Për ta gjetur, ne ndajmë

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve