Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme - si të përdorni një integral të caktuar për të llogaritur sipërfaqen e një figure të rrafshët. Më në fund, ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë - le ta gjejnë atë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

Në fakt, për të gjetur sipërfaqen e një figure, nuk ju nevojitet aq shumë njohuri për integralin e pacaktuar dhe të caktuar. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë tuaja dhe aftësitë e vizatimit do të jenë një çështje shumë më e ngutshme. Në këtë drejtim, është e dobishme të rifreskoni memorien tuaj për grafikët e funksioneve themelore elementare dhe, së paku, të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë. Kjo mund të bëhet (për shumë, është e nevojshme) me ndihmën e materialit metodologjik dhe një artikulli mbi transformimet gjeometrike të grafikëve.

Në fakt, të gjithë kanë qenë të njohur me detyrën e gjetjes së zonës duke përdorur një integral të caktuar që në shkollë, dhe ne nuk do të shkojmë shumë më larg se programi shkollor. Ky artikull mund të mos kishte ekzistuar fare, por fakti është se problemi shfaqet në 99 raste nga 100, kur një student vuan nga një shkollë e urryer dhe zotëron me entuziazëm një kurs për matematikën e lartë.

Materialet e këtij seminari janë paraqitur thjesht, në detaje dhe me një minimum teorie.

Le të fillojmë me një trapez të lakuar.

Trapezoid lakorështë një figurë e sheshtë e kufizuar nga një bosht, vija të drejta dhe grafiku i një funksioni të vazhdueshëm në një interval që nuk ndryshon shenjë në këtë interval. Le të gjendet kjo shifër jo më e ulët boshti x:

Pastaj sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar. Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në klasë Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh Thashë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA.

Kjo është, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Për shembull, merrni parasysh integralin e caktuar. Integrandi përcakton një kurbë në rrafshin e vendosur mbi bosht (ata që dëshirojnë mund të bëjnë një vizatim), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika e parë dhe më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i një vizatimi. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: në fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Është më fitimprurëse të ndërtosh grafikët e funksioneve pikë për pikë, teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.
Le të vizatojmë vizatimin (vini re se ekuacioni përcakton boshtin):

Nuk do ta bëj hije trapezin e lakuar, këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segment ndodhet grafiku i funksionit mbi bosht, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje:

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz , referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh.

Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, që duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija, , dhe bosht

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën bosht?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhje: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse gjendet një trapez i lakuar nën bosht(ose të paktën jo me lart boshti i dhënë), atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:
Në këtë rast:

Kujdes! Të dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

2) Nëse ju kërkohet të gjeni sipërfaqen e një figure duke përdorur një integral të caktuar, atëherë zona është gjithmonë pozitive! Kjo është arsyeja pse minus shfaqet në formulën e sapo diskutuar.

Në praktikë, më shpesh figura është e vendosur në gjysmë rrafshin e sipërm dhe të poshtëm, dhe për këtë arsye, nga problemet më të thjeshta të shkollës kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar nga vijat, .

Zgjidhje: Së pari ju duhet të plotësoni vizatimin. Në përgjithësi, kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës dhe vijës së drejtë. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit është, kufiri i sipërm i integrimit është.
Nëse është e mundur, është më mirë të mos përdorni këtë metodë..

Është shumë më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë, dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Teknika e ndërtimit pikë për pikë për grafikë të ndryshëm është diskutuar në detaje në ndihmë Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Dhe ne gjithashtu do të shqyrtojmë një shembull të tillë.

Le të kthehemi në detyrën tonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

E përsëris që kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti zbulohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës: Nëse ka ndonjë funksion të vazhdueshëm në segment më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme, atëherë zona e figurës e kufizuar nga grafikët e këtyre funksioneve dhe linjat , , mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, dhe, përafërsisht, ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye është e nevojshme të zbritet nga

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar kufizohet nga një parabolë sipër dhe një vijë e drejtë poshtë.
Në segment, sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin e thjeshtë nr. 3) është një rast i veçantë i formulës . Meqenëse boshti specifikohet nga ekuacioni, dhe grafiku i funksionit është i vendosur jo me lart sëpata, atëherë

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga vijat, .

Kur zgjidhni probleme që përfshijnë llogaritjen e sipërfaqes duke përdorur një integral të caktuar, ndonjëherë ndodh një incident qesharak. Vizatimi është bërë saktë, llogaritjet kanë qenë të sakta, por nga pakujdesia... u gjet zona e figurës së gabuar, kjo është pikërisht mënyra se si shërbëtori yt i përulur e ka prishur disa herë. Këtu është një rast real:

Shembulli 7

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat , , , .

Zgjidhje: Së pari, le të bëjmë një vizatim:

...Eh, vizatimi doli katrahurë, por gjithçka duket se është e lexueshme.

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është me hije blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, shpesh ndodh një "gabim" që ju duhet të gjeni zonën e një figure që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm në atë që llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një vije të drejtë;

2) Në segmentin mbi bosht ka një grafik të një hiperbole.

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Le të kalojmë në një detyrë tjetër kuptimplote.

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija,
Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë" dhe të bëjmë një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi duket qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": .
Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është? Mund të jetë? Por ku është garancia që vizatimi të jetë bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se... Ose rrënjën. Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të një drejtëze dhe një parabole.
Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

,

Vërtet,.

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme, gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja, llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat.

Në segmentin , sipas formulës përkatëse:

Përgjigje:

Epo, për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat, ,

Zgjidhje: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Dreqin, harrova të firmosa orarin dhe, më falni, nuk doja ta ribëja foton. Jo një ditë vizatimi, me pak fjalë, sot është dita =)

Për ndërtimin pikë për pikë, është e nevojshme të dihet pamja e një sinusoidi (dhe në përgjithësi është e dobishme të dihet grafikët e të gjitha funksioneve elementare), si dhe disa vlera sinus, ato mund të gjenden në tabelë trigonometrike. Në disa raste (si në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen në themel të saktë.

Këtu nuk ka probleme me kufijtë e integrimit, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti: "x" ndryshon nga zero në "pi". Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në segment, grafiku i funksionit ndodhet mbi bosht, prandaj:

Le të shqyrtojmë një trapez të lakuar të kufizuar nga boshti Ox, kurba y=f(x) dhe dy drejtëza: x=a dhe x=b (Fig. 85). Le të marrim një vlerë arbitrare të x (vetëm jo a dhe jo b). Le t'i japim një rritje h = dx dhe të konsiderojmë një shirit të kufizuar nga drejtëza AB dhe CD, boshti Ox dhe harku BD që i përket kurbës në shqyrtim. Ne do ta quajmë këtë shirit një shirit elementar. Sipërfaqja e një shiriti elementar ndryshon nga zona e drejtkëndëshit ACQB nga trekëndëshi lakor BQD, dhe sipërfaqja e këtij të fundit është më e vogël se sipërfaqja e drejtkëndëshit BQDM me anët BQ = =h= dx) QD=Ay dhe sipërfaqe e barabartë me hAy = Ay dx. Ndërsa ana h zvogëlohet, ana Du zvogëlohet gjithashtu dhe njëkohësisht me h priret në zero. Prandaj, zona e BQDM është infinite e vogël e rendit të dytë. Sipërfaqja e një shiriti elementar është rritja e zonës, dhe sipërfaqja e drejtkëndëshit ACQB, e barabartë me AB-AC ==/(x) dx> është diferenciali i zonës. Për rrjedhojë, ne e gjejmë vetë zonën duke integruar diferencialin e saj. Brenda figurës në shqyrtim, ndryshorja e pavarur l: ndryshon nga a në b, kështu që sipërfaqja e kërkuar 5 do të jetë e barabartë me 5= \f(x) dx. (I) Shembulli 1. Le të llogarisim sipërfaqen e kufizuar nga parabola y - 1 -x*, drejtëza X =--Fj-, x = 1 dhe boshti O* (Fig. 86). në Fig. 87. Fig. 86. 1 Këtu f(x) = 1 - l?, kufijtë e integrimit janë a = - dhe £ = 1, prandaj J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Shembulli 2. Le të llogarisim sipërfaqen e kufizuar nga sinusoidi y = sinXy, boshti Ox dhe drejtëza (Fig. 87). Duke zbatuar formulën (I), marrim A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Shembulli 3. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga harku i sinusoidit ^у = sin jc, i mbyllur ndërmjet dy pikave të kryqëzimit ngjitur me boshtin Ox (për shembull, midis origjinës dhe pikës me abshissa i). Vini re se nga konsideratat gjeometrike është e qartë se kjo zonë do të jetë dyfishi i sipërfaqes së shembullit të mëparshëm. Megjithatë, le të bëjmë llogaritjet: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Në të vërtetë, supozimi ynë doli i saktë. Shembulli 4. Llogaritni sipërfaqen e kufizuar nga sinusoidi dhe boshti Ox në një periudhë (Fig. 88). Llogaritjet paraprake sugjerojnë se zona do të jetë katër herë më e madhe se në shembullin 2. Megjithatë, pasi kemi bërë llogaritjet, marrim “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ky rezultat kërkon sqarim. Për të sqaruar thelbin e çështjes, ne llogarisim gjithashtu zonën e kufizuar nga i njëjti sinusoid y = sin l: dhe boshti Ox në rangun nga l në 2i. Duke aplikuar formulën (I), marrim 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kështu, shohim se kjo zonë rezultoi negative. Duke e krahasuar me sipërfaqen e llogaritur në ushtrimin 3, konstatojmë se vlerat e tyre absolute janë të njëjta, por shenjat janë të ndryshme. Nëse zbatojmë vetinë V (shih Kapitullin XI, § 4), marrim 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ajo që ndodhi në këtë shembull nuk është një aksident. Gjithmonë sipërfaqja e vendosur nën boshtin Ox, me kusht që ndryshorja e pavarur të ndryshojë nga e majta në të djathtë, merret kur llogaritet duke përdorur integrale. Në këtë kurs ne gjithmonë do të shqyrtojmë zonat pa shenja. Prandaj, përgjigja në shembullin e sapo diskutuar do të jetë: zona e kërkuar është 2 + |-2| = 4. Shembulli 5. Le të llogarisim sipërfaqen e BAB të treguar në Fig. 89. Kjo zonë kufizohet nga boshti Ox, parabola y = - xr dhe drejtëza y - = -x+\. Zona e një trapezi lakor Zona e kërkuar OAB përbëhet nga dy pjesë: OAM dhe MAV. Meqenëse pika A është pika e kryqëzimit të një parabole dhe një drejtëze, koordinatat e saj do t'i gjejmë duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve 3 2 Y = mx. (ne duhet të gjejmë vetëm abshisën e pikës A). Duke zgjidhur sistemin, gjejmë l; = ~. Prandaj, sipërfaqja duhet të llogaritet në pjesë, katrori i parë. OAM dhe më pas pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^х dhe nuk e ndryshon shenjën e saj në të (Fig. 1). Zona e një trapezi të lakuar mund të shënohet me S(G).

Integrali i caktuar ʃ a b f(x)dx për funksionin f(x), i cili është i vazhdueshëm dhe jo negativ në intervalin [a; b], dhe është zona e trapezit të lakuar përkatës.

Kjo do të thotë, për të gjetur sipërfaqen e një figure G të kufizuar nga linjat y = f(x), y = 0, x = a dhe x = b, është e nevojshme të llogaritet integrali i caktuar ʃ a b f(x)dx. .

Kështu, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Nëse funksioni y = f(x) nuk është pozitiv në [a; b], atëherë zona e një trapezi të lakuar mund të gjendet duke përdorur formulën S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Shembulli 1.

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = x 3; y = 1; x = 2.

Zgjidhje.

Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila tregohet duke u çelur oriz. 2.

Sipërfaqja e kërkuar është e barabartë me diferencën midis zonave të trapezit lakor DACE dhe katrorit DABE.

Duke përdorur formulën S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), gjejmë kufijtë e integrimit. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim një sistem prej dy ekuacionesh:

(y = x 3,
(y = 1.

Kështu, kemi x 1 = 1 - kufiri i poshtëm dhe x = 2 - kufiri i sipërm.

Pra, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (njësi katrore).

Përgjigje: 11/4 sq. njësi

Shembulli 2.

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = √x; y = 2; x = 9.

Zgjidhje.

Vijat e dhëna formojnë figurën ABC, e cila kufizohet më sipër nga grafiku i funksionit

y = √x, dhe më poshtë është një grafik i funksionit y = 2. Figura që rezulton tregohet duke u çelur në oriz. 3.

Zona e kërkuar është S = ʃ a b (√x – 2). Le të gjejmë kufijtë e integrimit: b = 9, për të gjetur a, zgjidhim një sistem me dy ekuacione:

(y = √x,
(y = 2.

Kështu, ne kemi se x = 4 = a - ky është kufiri i poshtëm.

Pra, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (njësi katrore).

Përgjigje: S = 2 2/3 sq. njësi

Shembulli 3.

Llogaritni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga vijat y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Zgjidhje.

Le të vizatojmë funksionin y = x 3 – 4x për x ≥ 0. Për ta bërë këtë, gjeni derivatin y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 në x = ±2/√3 ≈ 1.1 – pika kritike.

Nëse vizatojmë pikat kritike në vijën numerike dhe renditim shenjat e derivatit, gjejmë se funksioni zvogëlohet nga zero në 2/√3 dhe rritet nga 2/√3 në plus pafundësi. Atëherë x = 2/√3 është pika minimale, vlera minimale e funksionit y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të grafikut me boshtet e koordinatave:

nëse x = 0, atëherë y = 0, që do të thotë A(0; 0) është pika e kryqëzimit me boshtin Oy;

nëse y = 0, atëherë x 3 – 4x = 0 ose x(x 2 – 4) = 0, ose x(x – 2)(x + 2) = 0, prej nga x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (jo i përshtatshëm, sepse x ≥ 0).

Pikat A(0; 0) dhe B(2; 0) janë pikat e prerjes së grafikut me boshtin Ox.

Vijat e dhëna formojnë figurën OAB, e cila tregohet duke u çelur oriz. 4.

Meqenëse funksioni y = x 3 – 4x merr një vlerë negative në (0; 2), atëherë

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Kemi: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, prej nga S = 4 sq. njësi

Përgjigje: S = 4 sq. njësi

Shembulli 4.

Gjeni sipërfaqen e figurës të kufizuar nga parabola y = 2x 2 – 2x + 1, drejtëzat x = 0, y = 0 dhe tangjenten me këtë parabolë në pikën me abshisën x 0 = 2.

Zgjidhje.

Së pari, le të krijojmë një ekuacion për tangjenten me parabolën y = 2x 2 – 2x + 1 në pikën me abshisën x₀ = 2.

Meqenëse derivati y’ = 4x – 2, atëherë për x 0 = 2 marrim k = y’(2) = 6.

Le të gjejmë ordinatën e pikës tangjente: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Prandaj, ekuacioni tangjent ka formën: y - 5 = 6 (x - 2) ose y = 6x - 7.

Le të ndërtojmë një figurë të kufizuar me vija:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabolë. Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative: A(0; 1) – me boshtin Oy; me boshtin Ox - nuk ka pika të kryqëzimit, sepse ekuacioni 2x 2 – 2x + 1 = 0 nuk ka zgjidhje (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, domethënë, kulmi i pikës së parabolës B ka koordinatat B(1/2; 1/2).

Pra, figura, zona e së cilës duhet të përcaktohet, tregohet duke u çelur oriz. 5.

Kemi: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Le të gjejmë koordinatat e pikës D nga kushti:

6x – 7 = 0, d.m.th. x = 7/6, që do të thotë DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Ne gjejmë zonën e trekëndëshit DBC duke përdorur formulën S ADBC = 1/2 · DC · BC. Kështu,

S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 sq. njësi

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (njësi katrore).

Më në fund marrim: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (njësi katrore).

Përgjigje: S = 1 1/4 sq. njësi

Ne kemi parë shembuj gjetja e sipërfaqeve të figurave të kufizuara me vija të dhëna. Për të zgjidhur me sukses probleme të tilla, duhet të jeni në gjendje të vizatoni linja dhe grafikë funksionesh në një plan, të gjeni pikat e kryqëzimit të vijave, të aplikoni një formulë për të gjetur zonën, e cila nënkupton aftësinë për të llogaritur integrale të caktuara.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë aplikimet e llogaritjes integrale. Në këtë mësim do të analizojmë detyrën tipike dhe më të zakonshme llogaritja e sipërfaqes së një figure të rrafshët duke përdorur një integral të caktuar. Më në fund, le ta gjejnë të gjithë ata që kërkojnë kuptim në matematikën e lartë. Ju kurrë nuk e dini. Në jetën reale, do t'ju duhet të përafroni një komplot dacha duke përdorur funksione elementare dhe të gjeni zonën e saj duke përdorur një integral të caktuar.

Për të zotëruar me sukses materialin, duhet:

1) Kuptoni integralin e pacaktuar të paktën në një nivel të ndërmjetëm. Kështu, dummies duhet së pari të lexojnë mësimin Jo.

2) Të jetë në gjendje të zbatojë formulën Njuton-Leibniz dhe të llogarisë integralin e caktuar. Mund të krijoni marrëdhënie të ngrohta miqësore me integrale të caktuara në faqe Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Detyra "llogaritja e zonës duke përdorur një integral të caktuar" përfshin gjithmonë ndërtimin e një vizatimi, kështu që njohuritë dhe aftësitë tuaja në vizatim do të jenë gjithashtu një çështje e rëndësishme. Së paku, duhet të jeni në gjendje të ndërtoni një vijë të drejtë, parabolë dhe hiperbolë.

Le të fillojmë me një trapez të lakuar. Një trapez i lakuar është një figurë e sheshtë e kufizuar nga grafiku i një funksioni y = f(x), boshti OK dhe linjat x = a; x = b.

Sipërfaqja e një trapezi lakor është numerikisht e barabartë me një integral të caktuar

Çdo integral i caktuar (që ekziston) ka një kuptim shumë të mirë gjeometrik. Në klasë Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh thamë se një integral i caktuar është një numër. Dhe tani është koha për të theksuar një tjetër fakt të dobishëm. Nga pikëpamja e gjeometrisë, integrali i caktuar është SIPËRMARRJA. Kjo është, integrali i caktuar (nëse ekziston) korrespondon gjeometrikisht me sipërfaqen e një figure të caktuar. Merrni parasysh integralin e caktuar

Integrand

përcakton një kurbë në aeroplan (mund të vizatohet nëse dëshironi), dhe vetë integrali i caktuar është numerikisht i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor përkatës.

Shembulli 1

, , , .

Kjo është një deklaratë tipike e detyrës. Pika më e rëndësishme në vendim është ndërtimi i vizatimit. Për më tepër, vizatimi duhet të ndërtohet E DREJTË.

Kur ndërtoni një vizatim, unë rekomandoj rendin e mëposhtëm: në fillimështë më mirë të ndërtohen të gjitha vijat e drejta (nëse ekzistojnë) dhe vetëm Pastaj– parabola, hiperbola, grafikë të funksioneve të tjera. Teknika e ndërtimit pikë për pikë mund të gjendet në materialin referues Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Aty mund të gjeni gjithashtu material shumë të dobishëm për mësimin tonë - si të ndërtoni shpejt një parabolë.

Në këtë problem, zgjidhja mund të duket kështu.

Le të bëjmë vizatimin (vini re se ekuacioni y= 0 specifikon boshtin OK):

Ne nuk do të hijeshojmë trapezin e lakuar këtu është e qartë se për cilën zonë po flasim. Zgjidhja vazhdon kështu:

Në segmentin [-2; 1] grafiku i funksionit y = x 2 + 2 ndodhet mbi boshtOK, Kjo është arsyeja pse:

Përgjigje: .

Kush ka vështirësi në llogaritjen e integralit të caktuar dhe zbatimin e formulës Njuton-Leibniz

referojuni ligjëratës Integral i caktuar. Shembuj zgjidhjesh. Pas përfundimit të detyrës, është gjithmonë e dobishme të shikoni vizatimin dhe të kuptoni nëse përgjigja është e vërtetë. Në këtë rast, ne numërojmë numrin e qelizave në vizatim "me sy" - mirë, do të jenë rreth 9, që duket të jetë e vërtetë. Është absolutisht e qartë se nëse marrim, të themi, përgjigjen: 20 njësi katrore, atëherë është e qartë se diku është bërë një gabim - 20 qeliza padyshim nuk përshtaten në figurën në fjalë, më së shumti një duzinë. Nëse përgjigja është negative, atëherë edhe detyra është zgjidhur gabimisht.

Shembulli 2

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija xy = 4, x = 2, x= 4 dhe boshti OK.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Çfarë duhet të bëni nëse ndodhet trapezi i lakuar nën boshtOK?

Shembulli 3

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija y = e-x, x= 1 dhe boshtet e koordinatave.

Zgjidhja: Le të bëjmë një vizatim:

Nëse një trapez i lakuar të vendosura plotësisht nën bosht OK , atëherë zona e saj mund të gjendet duke përdorur formulën:

Në këtë rast:

Kujdes! Dy llojet e detyrave nuk duhet të ngatërrohen:

1) Nëse ju kërkohet të zgjidhni thjesht një integral të caktuar pa ndonjë kuptim gjeometrik, atëherë ai mund të jetë negativ.

Shembulli 4

Gjeni sipërfaqen e një figure të rrafshët të kufizuar me vija y = 2x – x 2 , y = -x.

Zgjidhja: Së pari ju duhet të bëni një vizatim. Kur ndërtojmë një vizatim në problemet e zonës, ne jemi më të interesuar në pikat e kryqëzimit të vijave. Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të parabolës y = 2x – x 2 dhe drejt y = -x. Kjo mund të bëhet në dy mënyra. Metoda e parë është analitike. Ne zgjidhim ekuacionin:

Kjo do të thotë se kufiri i poshtëm i integrimit a= 0, kufiri i sipërm i integrimit b= 3. Shpesh është më fitimprurëse dhe më e shpejtë të ndërtosh linja pikë për pikë dhe kufijtë e integrimit bëhen të qarta “vetëvetiu”. Sidoqoftë, metoda analitike e gjetjes së kufijve nganjëherë duhet të përdoret ende nëse, për shembull, grafiku është mjaft i madh, ose ndërtimi i detajuar nuk zbulon kufijtë e integrimit (ato mund të jenë të pjesshëm ose të paarsyeshëm). Le të kthehemi në detyrën tonë: është më racionale të ndërtojmë fillimisht një vijë të drejtë dhe vetëm më pas një parabolë. Le të bëjmë vizatimin:

Le të përsërisim se kur ndërtohet në drejtim të pikës, kufijtë e integrimit më së shpeshti përcaktohen "automatikisht".

Dhe tani formula e punës:

Nëse në segmentin [ a; b] disa funksione të vazhdueshme f(x) më i madh ose i barabartë me disa funksione të vazhdueshme g(x), atëherë zona e figurës përkatëse mund të gjendet duke përdorur formulën:

Këtu nuk keni më nevojë të mendoni se ku ndodhet figura - mbi bosht ose nën bosht, por ka rëndësi se cili grafik është MË I LARTË(në lidhje me një grafik tjetër), dhe cila është POSHTË.

Në shembullin në shqyrtim, është e qartë se në segment parabola ndodhet mbi vijën e drejtë, dhe për këtë arsye nga 2 x – x 2 duhet të zbritet - x.

Zgjidhja e përfunduar mund të duket si kjo:

Shifra e dëshiruar është e kufizuar nga një parabolë y = 2x – x 2 sipër dhe drejt y = -x më poshtë.

Në segmentin 2 x – x 2 ≥ -x. Sipas formulës përkatëse:

Përgjigje: .

Në fakt, formula e shkollës për sipërfaqen e një trapezi lakor në gjysmëplanin e poshtëm (shih shembullin nr. 3) është një rast i veçantë i formulës

Sepse boshti OK dhënë nga ekuacioni y= 0, dhe grafiku i funksionit g(x) ndodhet poshtë boshtit OK, Kjo

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj

Shembulli 5

Shembulli 6

Gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Shembulli 7

Së pari le të bëjmë një vizatim:

Figura, zona e së cilës duhet të gjejmë është me hije blu(Shikoni me kujdes gjendjen - si është e kufizuar shifra!). Por në praktikë, për shkak të pavëmendjes, njerëzit shpesh vendosin që duhet të gjejnë zonën e figurës që është e hijezuar në të gjelbër!

Ky shembull është gjithashtu i dobishëm sepse llogarit sipërfaqen e një figure duke përdorur dy integrale të përcaktuara. Vërtet:

1) Në segmentin [-1; 1] mbi bosht OK grafiku ndodhet drejt y = x+1;

2) Në një segment mbi bosht OK gjendet grafiku i hiperbolës y = (2/x).

Është mjaft e qartë se zonat mund (dhe duhet) të shtohen, prandaj:

Përgjigje:

Shembulli 8

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Le t'i paraqesim ekuacionet në formën "shkollë".

dhe bëni një vizatim pikë për pikë:

Nga vizatimi është e qartë se kufiri ynë i sipërm është "i mirë": b = 1.

Por cili është kufiri i poshtëm?! Është e qartë se ky nuk është një numër i plotë, por çfarë është?

Mund të jetë, a=(-1/3)? Por ku është garancia që vizatimi është bërë me saktësi të përsosur, mund të rezultojë se kjo a= (-1/4). Po sikur ta ndërtojmë grafikun gabimisht?

Në raste të tilla, duhet të shpenzoni kohë shtesë dhe të sqaroni kufijtë e integrimit në mënyrë analitike.

Le të gjejmë pikat e kryqëzimit të grafikëve

Për ta bërë këtë, ne zgjidhim ekuacionin:

Prandaj, a=(-1/3).

Zgjidhja e mëtejshme është e parëndësishme. Gjëja kryesore është të mos ngatërroheni në zëvendësime dhe shenja. Llogaritjet këtu nuk janë më të thjeshtat. Në segmentin

, ,

sipas formulës së duhur:

Përgjigje:

Për të përfunduar mësimin, le të shohim dy detyra më të vështira.

Shembulli 9

Llogaritni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija

Zgjidhja: Le ta përshkruajmë këtë figurë në vizatim.

Për të ndërtuar një vizatim pikë për pikë, duhet të dini pamjen e një sinusoidi. Në përgjithësi, është e dobishme të njihen grafikët e të gjitha funksioneve elementare, si dhe disa vlera të sinusit. Ato mund të gjenden në tabelën e vlerave funksionet trigonometrike. Në disa raste (për shembull, në këtë rast), është e mundur të ndërtohet një vizatim skematik, mbi të cilin grafikët dhe kufijtë e integrimit duhet të shfaqen thelbësisht saktë.

Nuk ka probleme me kufijtë e integrimit këtu, ato rrjedhin drejtpërdrejt nga kushti:

– “x” ndryshon nga zero në “pi”. Le të marrim një vendim të mëtejshëm:

Në një segment, grafiku i një funksioni y= mëkat 3 x ndodhet mbi bosht OK, Kjo është arsyeja pse:

(1) Mund të shihni se si sinuset dhe kosinuset janë integruar në fuqi teke në mësim Integrale të funksioneve trigonometrike. Ne heqim njërin sinus.

(2) Ne përdorim identitetin kryesor trigonometrik në formë

(3) Le të ndryshojmë variablin t=cos x, atëherë: ndodhet mbi bosht, pra:

Shënim: vini re se si merret integrali i kubit tangjent këtu përdoret një rrjedhim i identitetit bazë trigonometrik

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Gjeni zonën e trapezit të lakuar të kufizuar nga vijat y. Integral i caktuar

Integral i caktuar. Si të llogarisni sipërfaqen e një figure