Gjeni vektorin nëse është pingul. Gjetja e një vektori pingul me dy vektorë të dhënë duke përdorur prodhimin kryq

Vektori njësi është: , ku – moduli vektor.

Përgjigje:
.

Shënim. Koordinatat e vektorit njësi nuk duhet të jenë më shumë se një.

6.3. Gjeni gjatësinë dhe drejtimin e kosinusit të një vektori . Krahasoni me përgjigjen në paragrafin e mëparshëm. Nxirrni përfundime.

Gjatësia e një vektori është moduli i tij:

Dhe ne mund të gjejmë kosinuset e drejtimit duke përdorur formulën për një nga mënyrat për të specifikuar vektorët:

Nga kjo shohim se kosinuset e drejtimit janë koordinatat e vektorit njësi.

Përgjigje:
,
,
,
.

6.4. Gjej
.

Është e nevojshme të kryhen veprimet e shumëzimit të një vektori me një numër, duke shtuar dhe modulin.

Ne i shumëzojmë koordinatat e vektorëve me një numër term për term.

Bashkojmë koordinatat e vektorëve term pas termi.

Gjetja e modulit të vektorit.

Përgjigje:

6.5. Përcaktoni koordinatat vektoriale
, kolinear me vektorin , duke e ditur atë
dhe drejtohet në drejtim të kundërt me vektorin .

Vektor kolinear me vektorin , që do të thotë se vektori i tij njësi është i barabartë me vektorin njësi vetëm me një shenjë minus, sepse drejtuar në drejtim të kundërt.

Vektori njësi ka një gjatësi të barabartë me 1, që do të thotë se nëse e shumëzoni me 5, atëherë gjatësia e tij do të jetë e barabartë me pesë.

Ne gjejme

Përgjigje:

6.6. Llogaritni produktet me pika
Dhe
. A janë vektorët pingul? Dhe ,Dhe mes tyre?

Le të bëjmë prodhimin skalar të vektorëve.

Nëse vektorët janë pingul, ata produkt skalar barazohet me zero.

Ne shohim se në rastin tonë vektorët Dhe pingul.

Përgjigje:
,
, vektorët nuk janë pingul.

Shënim. Kuptimi gjeometrik i produktit skalar është pak i dobishëm në praktikë, por ende ekziston. Rezultati i një veprimi të tillë mund të përshkruhet dhe llogaritet gjeometrikisht.

6.7. Gjeni punën e bërë pikë materiale tek i cili zbatohet forca
, kur e zhvendosni atë nga pika B në pikën C.

Kuptimi fizik i produktit skalar është puna. Vektori i forcës është këtu , vektori i zhvendosjes është
. Dhe prodhimi i këtyre vektorëve do të jetë puna e kërkuar.

Gjetja e një pune

6.8. Gjeni këndin e brendshëm në një kulm A dhe këndi i kulmit të jashtëm C trekëndëshi ABC .

Nga përkufizimi i prodhimit skalar të vektorëve, marrim formulën për gjetjen e këndit: .

NË
Ne do të kërkojmë këndin e brendshëm si kënd midis vektorëve që burojnë nga një pikë.

Për të gjetur këndin e jashtëm, duhet të kombinoni vektorët në mënyrë që të dalin nga një pikë. Fotografia e shpjegon këtë.

Vlen të theksohet se
, thjesht keni koordinata të ndryshme fillestare.

Gjetja e vektorëve dhe këndeve të nevojshme

Përgjigje: këndi i brendshëm në kulmin A = , këndi i jashtëm në kulmin B = .

6.9. Gjeni projeksionet e vektorëve: dhe

Le të kujtojmë vektorët vektorë:
,
,
.

Projeksioni gjendet edhe nga produkti skalar

-projeksion b në a.

Vektorët e marrë më parë

,
,

Gjetja e projeksionit

Gjetja e projeksionit të dytë

Përgjigje:
,

Shënim. Shenja minus kur gjen një projeksion do të thotë që projeksioni nuk zbret në vetë vektorin, por në drejtim të kundërt, në vijën në të cilën shtrihet ky vektor.

6.10. Llogaritni
.

Le të bëjmë prodhimin vektorial të vektorëve

Le të gjejmë modulin

Sinusin e këndit ndërmjet vektorëve e gjejmë nga përkufizimi i produktit vektorial të vektorëve

Përgjigje:
,
,
.

6.11. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi ABC dhe gjatësia e lartësisë zbret nga pika C.

Kuptimi gjeometrik i modulit të një produkti vektori është se është zona e paralelogramit të formuar nga këta vektorë. Dhe sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së një paralelogrami.

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet edhe si prodhim i lartësisë dhe bazës së ndarë me dy, nga e cila mund të nxirret formula për gjetjen e lartësisë.

Kështu, ne gjejmë lartësinë

Përgjigje:
,
.

6.12. Gjeni vektorin njësi pingul me vektorët Dhe .

Rezultati i produktit me pika është një vektor që është pingul me dy ato origjinale. Dhe një vektor njësi është një vektor i ndarë me gjatësinë e tij.

Më parë kemi gjetur:

,

Përgjigje:
.

6.13. Përcaktoni kosinusin e madhësisë dhe të drejtimit të momentit të forcës
, aplikuar në A në lidhje me pikën C.

Kuptimi fizik i një produkti vektorial është momenti i forcës. Le të japim një ilustrim për këtë detyrë.

Gjetja e momentit të forcës

Përgjigje:
.

6.14. A gënjejnë vektorët ,Dhe në të njëjtin aeroplan? A munden këta vektorë të formojnë bazën e hapësirës? Pse? Nëse munden, zgjeroni vektorin në këtë bazë
.

Për të kontrolluar nëse vektorët shtrihen në të njëjtin rrafsh, është e nevojshme të kryhet një produkt i përzier i këtyre vektorëve.

Produkti i përzier nuk është i barabartë me zero, prandaj, vektorët nuk qëndrojnë në të njëjtin rrafsh (jo koplanar) dhe mund të formojnë një bazë. Le të shpërbëhemi mbi këtë bazë.

Le të zgjerojmë sipas bazës duke zgjidhur ekuacionin

Përgjigje: Vektorët ,Dhe mos shtrihuni në të njëjtin plan.
.

6.15. Gjej
. Pse e barabartë me vëllimin piramida me kulme A, B, C, D dhe lartësia e saj e ulur nga pika A në bazën BCD.

G kuptimi gjeometrik produkt i përzierështë se ky është vëllimi i paralelepipedit të formuar nga këta vektorë.

Vëllimi i piramidës është gjashtë herë më i vogël se vëllimi i paralelopipedit.

Vëllimi i piramidës mund të gjendet gjithashtu si ky:

Marrim formulën për gjetjen e lartësisë

Gjetja e lartësisë

Përgjigje: vëllimi = 2,5, lartësia = .

6.16. Llogaritni
Dhe
.

– Ju ftojmë ta mendoni vetë këtë detyrë.

- Le të kryejmë punën.

Marrë më parë

Përgjigje:
.

6.17. Llogaritni

Le t'i bëjmë hapat në pjesë

3)

Le të përmbledhim vlerat e marra

Përgjigje:
.

6.18. Gjeni vektorin
, duke ditur se është pingul me vektorët Dhe , dhe projeksioni i tij në vektor është e barabartë me 5.

Le ta ndajmë këtë detyrë në dy nëndetyra

1) Gjeni një vektor pingul me vektorët Dhe gjatësi arbitrare.

Ne marrim vektorin pingul si rezultat i prodhimit të vektorit

Më parë kemi gjetur:

Vektori i kërkuar ndryshon vetëm në gjatësi nga ai i marrë

2) Le të gjejmë përmes ekuacionit

6.19. Gjeni vektorin
, duke plotesuar kushtet
,
,
.

Le t'i shqyrtojmë këto kushte në më shumë detaje.

Ky është një sistem ekuacionesh lineare. Le të hartojmë dhe zgjidhim këtë sistem.

Përgjigje:

6.20. Përcaktoni koordinatat e një vektori
, në mënyrë të barabartë me vektorët Dhe , dhe pingul me vektorin
.

Në këtë detyrë ekzistojnë dy kushte: bashkëplanariteti i vektorëve dhe pinguliteti, së pari të plotësojmë kushtin e parë dhe më pas të dytin.

1) Nëse vektorët janë koplanarë, atëherë produkti i tyre i përzier është i barabartë me zero.

Nga këtu marrim njëfarë varësie të koordinatave të vektorit

Le të gjejmë vektorin .

2) Nëse vektorët janë pingul, atëherë produkti skalar i tyre është zero

Ne kemi marrë varësinë e dytë të koordinatave të vektorit të dëshiruar

Për çdo vlerë vektori do të plotësojë kushtet. Le të zëvendësojmë
.

Përgjigje:
.

Gjeometria analitike

Udhëzimet

Nëse vektori origjinal është paraqitur në vizatim në një sistem koordinativ dy-dimensional drejtkëndor dhe aty duhet të ndërtohet një pingul, vazhdoni nga përkufizimi i pingulitetit të vektorëve në një plan. Ai thotë se këndi midis një çifti të tillë segmentesh të drejtuar duhet të jetë i barabartë me 90°. Një numër i pafund i vektorëve të tillë mund të ndërtohet. Prandaj, vizatoni ndonjë vend i përshtatshëm plani pingul me vektorin origjinal, vendosni një segment mbi të, e barabartë me gjatësinë jepet një çift i renditur pikash dhe cakto një nga skajet e tij të jetë origjina e një vektori pingul. Bëni këtë duke përdorur një raportor dhe vizore.

Nëse vektori origjinal jepet nga koordinatat dydimensionale ā = (X1;Y1), supozojmë se prodhimi skalar i një çifti vektorësh pingul duhet të jetë i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ju duhet të zgjidhni për vektorin e dëshiruar ō = (X2,Y2) koordinata të tilla që barazia (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0 do të jetë kështu: zgjidhni cilindo vlerë jozero për koordinatën X2 dhe llogarisni koordinatën Y2 duke përdorur formulën Y2 = -(X1*X2)/Y1. Për shembull, për vektorin ā = (15;5) do të ketë një vektor ō, me një abshisë, e barabartë me një, dhe një ordinatë e barabartë me -(15*1)/5 = -3, d.m.th. ō = (1;-3).

Për një sistem koordinativ tredimensional dhe për çdo sistem tjetër ortogonal të koordinatave, i njëjti kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e vektorëve është i vërtetë - produkti skalar i tyre duhet të jetë i barabartë me zero. Prandaj, nëse segmenti i drejtuar fillestar jepet me koordinatat ā = (X1,Y1,Z1), zgjidhni për çiftin e renditur të pikave ō = (X2,Y2,Z2) pingul me të koordinata të tilla që plotësojnë kushtin (ā,ō ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Mënyra më e lehtë është të caktoni vlera të vetme për X2 dhe Y2, dhe të llogaritni Z2 nga barazia e thjeshtuar Z2 = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Për shembull, për vektorin ā = (3,5,4) kjo do të marrë formën e mëposhtme: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. Më pas merrni abshisën dhe ordinatat e vektor pingul si një, dhe në këtë rast do të jetë i barabartë me -(3+5)/4 = -2.

Burimet:

• gjeni vektorin nëse ai është pingul

Ato quhen pingule vektoriale, këndi ndërmjet të cilit është 90º. Vektorët pingul ndërtohen duke përdorur mjete vizatimi. Nëse dihen koordinatat e tyre, atëherë mund të kontrolloni ose gjeni pingulitetin e vektorëve metodat analitike.

Do t'ju duhet

• - raportor;
• - busull;
• - sundimtar.

Udhëzimet

Ndërtoni një vektor pingul me atë të dhënë. Për ta bërë këtë, në pikën që është fillimi i vektorit, rivendosni një pingul me të. Kjo mund të bëhet duke përdorur një raportor, duke lënë mënjanë një kënd prej 90º. Nëse nuk keni raportues, përdorni një busull për ta bërë atë.

Vendoseni atë në pikën fillestare të vektorit. Vizatoni një rreth me një rreze arbitrare. Më pas ndërtoni dy me qendra në pikat ku rrethi i parë preu vijën në të cilën shtrihet vektori. Rrezet e këtyre rrathëve duhet të jenë të barabarta me njëra-tjetrën dhe më të mëdha se rrethi i parë i ndërtuar. Në pikat e kryqëzimit të rrathëve, ndërtoni një vijë të drejtë që do të jetë pingul me vektorin fillestar në origjinë dhe vizatoni mbi të një vektor pingul me këtë.

Ky artikull zbulon kuptimin e pingulitetit të dy vektorëve në një plan në hapësirën tredimensionale dhe gjetjen e koordinatave të një vektori pingul me një ose një palë të tërë vektorësh. Tema është e zbatueshme për problemet që përfshijnë ekuacionet e drejtëzave dhe planeve.

Do të shqyrtojmë kushtin e nevojshëm dhe të mjaftueshëm për pingulitetin e dy vektorëve, do të zgjidhim metodën e gjetjes së një vektori pingul me një të dhënë dhe do të prekim situatat e gjetjes së një vektori që është pingul me dy vektorë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e dy vektorëve

Le të zbatojmë rregullin për vektorët pingul në rrafsh dhe në hapësirën tredimensionale.

Përkufizimi 1

Me kusht që këndi ndërmjet dy vektorëve jozero të jetë i barabartë me 90 ° (π 2 radian) quhet pingul.

Çfarë do të thotë kjo dhe në cilat situata është e nevojshme të dihet për pingulitetin e tyre?

Vendosja e pingulitetit është e mundur përmes vizatimit. Kur vizatoni një vektor në një plan nga pikë të dhëna ju mund të matni gjeometrikisht këndin midis tyre. Edhe nëse përcaktohet pinguliteti i vektorëve, ai nuk do të jetë plotësisht i saktë. Më shpesh, këto detyra nuk ju lejojnë ta bëni këtë duke përdorur një raportues, kështu që këtë metodë zbatohet vetëm kur nuk dihet asgjë tjetër për vektorët.

Shumica e rasteve të vërtetimit të pingulitetit të dy vektorëve jozero në një plan ose në hapësirë ​​bëhen duke përdorur kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e dy vektorëve.

Teorema 1

Prodhimi skalar i dy vektorëve jozero a → dhe b → i barabartë me zero për të përmbushur barazinë a → , b → = 0 është i mjaftueshëm për pingulitetin e tyre.

Dëshmia 1

Le të jenë pingul vektorët e dhënë a → dhe b →, atëherë do të vërtetojmë barazinë a ⇀, b → = 0.

Nga përkufizimi i produkt pikash i vektorëve ne e dimë se është e barabartë prodhimi i gjatësive të vektorëve të dhënë dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre. Sipas kushtit, a → dhe b → janë pingul, dhe, për rrjedhojë, bazuar në përkufizimin, këndi midis tyre është 90 °. Atëherë kemi një → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Pjesa e dytë e provës

Me kusht që a ⇀, b → = 0, vërtetojnë pingulësinë e a → dhe b →.

Në fakt, prova është e kundërta e asaj të mëparshme. Dihet se a → dhe b → janë jo zero, që do të thotë se nga barazia a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ gjejmë kosinusin. Pastaj marrim cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Që nga kosinusi e barabartë me zero, mund të konkludojmë se këndi a →, b → ^ i vektorëve a → dhe b → është i barabartë me 90 °. Sipas përkufizimit, kjo është një pronë e nevojshme dhe e mjaftueshme.

Kushti i pingulitetit në planin koordinativ

Kapitulli produkt skalar në koordinata demonstron pabarazinë (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , e vlefshme për vektorët me koordinata a → = (a x , a y) dhe b → = (b x , b y), në rrafsh dhe (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y për vektorët a → = (a x , a y , a z) dhe b → = (b x , b y , b z) në hapësirë. Një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e dy vektorëve në rrafshi koordinativ ka formën a x b x + a y b y = 0, për hapësirë ​​tredimensionale a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Le ta zbatojmë atë në praktikë dhe të shohim shembuj.

Shembulli 1

Kontrolloni vetinë e pingulitetit të dy vektorëve a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Zgjidhje

Për të zgjidhur këtë problem, ju duhet të gjeni produktin skalar. Nëse sipas kushtit është e barabartë me zero, atëherë ato janë pingule.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Kushti është plotësuar, që do të thotë se vektorët e dhënë janë pingul me rrafshin.

Përgjigje: po, vektorët e dhënë a → dhe b → janë pingul.

Shembulli 2

Janë dhënë vektorët e koordinatave i → , j → , k →. Kontrolloni nëse vektorët i → - j → dhe i → + 2 · j → + 2 · k → mund të jenë pingul.

Zgjidhje

Për të kujtuar se si përcaktohen koordinatat e vektorit, duhet të lexoni artikullin rreth koordinatat vektoriale në sistem drejtkëndor koordinatat Kështu, gjejmë se vektorët e dhënë i → - j → dhe i → + 2 · j → + 2 · k → kanë koordinatat përkatëse (1, - 1, 0) dhe (1, 2, 2). Le të zëvendësojmë vlerat numerike dhe marrim: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Shprehja nuk është e barabartë me zero, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, që do të thotë se vektorët i → - j → dhe i → + 2 j → + 2 k → nuk janë pingul, pasi kushti nuk plotësohet.

Përgjigje: jo, vektorët i → - j → dhe i → + 2 · j → + 2 · k → nuk janë pingul.

Shembulli 3

Jepen vektorët a → = (1, 0, - 2) dhe b → = (λ, 5, 1). Gjeni vlerën e λ në të cilën këta vektorë janë pingul.

Zgjidhje

Përdorim kushtin e pingulitetit të dy vektorëve në hapësirë ​​në formë katrore, atëherë marrim

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Përgjigje: vektorët janë pingul në vlerën λ = 2.

Ka raste kur çështja e pingulitetit është e pamundur edhe me të nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme. Duke pasur parasysh të dhënat e njohura në tre anët e një trekëndëshi në dy vektorë, është e mundur të gjendet këndi ndërmjet vektorëve dhe kontrollojeni.

Shembulli 4

Jepet një trekëndësh A B C me brinjë A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Kontrollo vektorët A B → dhe A C → për pingulje.

Zgjidhje

Nëse vektorët A B → dhe A C → janë pingul, trekëndëshi A B C konsiderohet drejtkëndor. Pastaj zbatojmë teoremën e Pitagorës, ku B C është hipotenuza e trekëndëshit. Barazia B C 2 = A B 2 + A C 2 duhet të jetë e vërtetë. Nga kjo rrjedh se 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Kjo do të thotë që A B dhe A C janë këmbë të trekëndëshit A B C, prandaj, A B → dhe A C → janë pingul.

Është e rëndësishme të mësoni se si të gjeni koordinatat e një vektori pingul me një të dhënë. Kjo është e mundur si në plan ashtu edhe në hapësirë, me kusht që vektorët të jenë pingul.

Gjetja e një vektori pingul me një të dhënë në një rrafsh.

Një vektor jozero a → mund të ketë numër i pafund vektorët pingul në rrafsh. Le ta përshkruajmë këtë në një vijë koordinative.

Jepet një vektor jozero a → i shtrirë në drejtëzën a. Atëherë një b → e dhënë, e vendosur në çdo drejtëz pingul me drejtëzën a, bëhet pingul me a →. Nëse vektori i → është pingul me vektorin j → ose ndonjë nga vektorët λ j → me λ të barabartë me ndonjë numër real përveç zeros, atëherë gjetja e koordinatave të vektorit b → pingul me a → = (a x , a y) reduktohet në një grup të pafund zgjidhjesh. Por është e nevojshme të gjenden koordinatat e vektorit pingul me a → = (a x , a y) . Për ta bërë këtë, është e nevojshme të shkruani kushtin e pingulitetit të vektorëve në formën e mëposhtme: a x · b x + a y · b y = 0. Kemi b x dhe b y, të cilat janë koordinatat e dëshiruara të vektorit pingul. Kur a x ≠ 0, vlera e b y është jo zero, dhe b x mund të llogaritet nga pabarazia a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Për një x = 0 dhe a y ≠ 0, i caktojmë b x çdo vlerë të ndryshme nga zero, dhe gjejmë b y nga shprehja b y = - a x · b x a y .

Shembulli 5

Jepet një vektor me koordinata a → = (- 2 , 2) . Gjeni një vektor pingul me këtë.

Zgjidhje

Le ta shënojmë vektorin e dëshiruar si b → (b x , b y) . Koordinatat e tij mund të gjenden nga kushti që vektorët a → dhe b → të jenë pingul. Atëherë marrim: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Le të caktojmë b y = 1 dhe të zëvendësojmë: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Prandaj, nga formula marrim b x = - 2 - 2 = 1 2. Kjo do të thotë se vektori b → = (1 2 , 1) është një vektor pingul me a → .

Përgjigje: b → = (1 2 , 1) .

Nëse shtrohet pyetja për hapësirën tredimensionale, problemi zgjidhet sipas të njëjtit parim. Për një vektor të dhënë a → = (a x , a y , a z) ekziston grup i pafund vektorë pingul. Do ta rregullojë këtë në një plan koordinativ tredimensional. Jepet një → shtrirë në vijën a. Rrafshi pingul me drejtin a shënohet me α. Në këtë rast, çdo vektor jo zero b → nga rrafshi α është pingul me a →.

Është e nevojshme të gjenden koordinatat e b → pingul me vektorin jozero a → = (a x , a y , a z) .

Le të jepet b → me koordinatat b x, b y dhe b z. Për t'i gjetur ato, është e nevojshme të zbatohet përkufizimi i kushtit të pingulitetit të dy vektorëve. Duhet të plotësohet barazia a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Nga kushti a → është jo zero, që do të thotë se njëra nga koordinatat ka një vlerë jo të barabartë me zero. Le të supozojmë se a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ose a z ≠ 0). Prandaj, ne kemi të drejtë të pjesëtojmë të gjithë pabarazinë a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 me këtë koordinatë, marrim shprehjen b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x. Ne caktojmë çdo vlerë për koordinatat b y dhe b x, llogarisim vlerën e b x bazuar në formulën, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vektori pingul i dëshiruar do të ketë vlerën a → = (a x, a y, a z).

Le të shohim provën duke përdorur një shembull.

Shembulli 6

Jepet një vektor me koordinata a → = (1, 2, 3) . Gjeni një vektor pingul me atë të dhënë.

Zgjidhje

Le ta shënojmë vektorin e dëshiruar me b → = (b x , b y , b z) . Bazuar në kushtin që vektorët të jenë pingul, produkti skalar duhet të jetë i barabartë me zero.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Nëse vlera është b y = 1, b z = 1, atëherë b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Nga kjo rrjedh se koordinatat e vektorit b → (- 5 , 1 , 1) . Vektori b → është një nga vektorët pingul me atë të dhënë.

Përgjigje: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Gjetja e koordinatave të një vektori pingul me dy vektorë të dhënë

Duhet të gjejmë koordinatat e vektorit në hapësirën tredimensionale. Është pingul me vektorët jokolinearë a → (a x , a y , a z) dhe b → = (b x , b y , b z) . Me kusht që vektorët a → dhe b → të jenë kolinear, do të jetë e mjaftueshme të gjejmë një vektor pingul me a → ose b → në problem.

Gjatë zgjidhjes, përdoret koncepti i produktit vektorial të vektorëve.

Prodhimi vektorial i vektorëve a → dhe b → është një vektor që është njëkohësisht pingul me a → dhe b →. Për të zgjidhur këtë problem përdoret produkt vektorial a → × b → . Për hapësirën tredimensionale ka formën a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Le ta shohim produktin vektorial në më shumë detaje duke përdorur një problem shembull.

Shembulli 7

Janë dhënë vektorët b → = (0, 2, 3) dhe a → = (2, 1, 0). Gjeni koordinatat e çdo vektori pingul me të dhënat në të njëjtën kohë.

Zgjidhje

Për të zgjidhur, ju duhet të gjeni produktin vektorial të vektorëve. (Ju lutemi referojuni paragrafit llogaritja e përcaktorit të një matrice për të gjetur vektorin). Ne marrim:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Përgjigje: (3 , - 6 , 4) - koordinatat e një vektori që është njëkohësisht pingul me a → dhe b → e dhënë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në seksionin mbi pyetjen, gjeni një vektor pingul me dy vektorë të dhënë të dhënë nga autori Anna Afanasyeva Përgjigja më e mirë është një Vektor pingul me dy jo vektorët paralelë gjendet si prodhimi vektorial i tyre xx, për ta gjetur atë duhet të kompozoni një përcaktor, rreshti i parë i së cilës do të përbëhet nga njësia vektorët I,j,k, e dyta është nga koordinatat e vektorit a, e treta është nga koordinatat e vektorit b. Përcaktori konsiderohet të jetë një zgjerim përgjatë vijës së parë, në rastin tuaj ju merrni akhv=20i-10k, ose ahv=(20,0,-10).

Përgjigje nga 22 përgjigje[guru]

Përshëndetje! Këtu është një përzgjedhje temash me përgjigje për pyetjen tuaj: gjeni një vektor pingul me dy vektorë të dhënë

Përgjigje nga shtrij[i ri]
Një vektor pingul me dy vektorë joparalelë gjendet si prodhimi vektorial i tyre xx, për ta gjetur atë duhet të kompozoni një përcaktor, rreshti i parë i të cilit do të përbëhet nga vektorë njësi I, j, k, e dyta është nga koordinatat e vektorit a, e treta është nga koordinatat e vektorit b. Përcaktori konsiderohet të jetë një zgjerim përgjatë vijës së parë, në rastin tuaj ju merrni akhv=20i-10k, ose ahv=(20,0,-10).

Përgjigje nga HAYKA[guru]
Zgjidheni përafërsisht kështu; Por së pari, lexoni gjithçka vetë!! !
Njehsoni prodhimin skalar të vektorëve d dhe r nëse d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Moduli i vektorit a është 4, moduli i vektorit b është 6. Këndi ndërmjet vektorëve a dhe b është 60 gradë, vektori c është pingul me vektorët a dhe b.
Pikat E dhe F shtrihen përkatësisht në anët AD dhe BC paralelogrami ABCD, dhe AE=ED, BF: FC = 4: 3. a) Shprehni vektorin EF në terma të vektorëve m = vektor AB dhe vektor n = vektor AD. b) A mund të qëndrojë vektori i barazisë EF = x i shumëzuar me vektorin CD për çdo vlerë të x? .

ohm Për ta bërë këtë, ne fillimisht prezantojmë konceptin e një segmenti.

Përkufizimi 1

Një segment do ta quajmë një pjesë të drejtëzës që kufizohet me pika në të dyja anët.

Përkufizimi 2

Skajet e një segmenti janë pikat që e kufizojnë atë.

Për të prezantuar përkufizimin e një vektori, ne e quajmë një nga skajet e segmentit fillimin e tij.

Përkufizimi 3

Një vektor (segment i drejtuar) do ta quajmë një segment, pika kufitare e të cilit është fillimi dhe fundi.

Shënim: \overline(AB) është një vektor AB që fillon në pikën A dhe përfundon në pikën B.

Përndryshe, me një shkronjë të vogël: \overline(a) (Fig. 1).

Përkufizimi 4

Vektorin zero do ta quajmë çdo pikë që i përket rrafshit.

Simboli: \overline(0) .

Tani le të prezantojmë drejtpërdrejt përkufizimin vektorët kolinearë.

Do të prezantojmë gjithashtu përkufizimin e një produkti skalar, i cili do të na nevojitet më vonë.

Përkufizimi 6

Prodhimi skalar i dy vektorëve të dhënë është një skalar (ose numër) që është i barabartë me prodhimin e gjatësive të këtyre dy vektorëve me kosinusin e këndit ndërmjet këtyre vektorëve.

Matematikisht mund të duket kështu në mënyrën e mëposhtme:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Produkti me pika mund të gjendet gjithashtu duke përdorur koordinatat e vektorëve si më poshtë

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Shenja e pingulitetit përmes proporcionalitetit

Teorema 1

Që vektorët jozero të jenë pingul me njëri-tjetrin, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që produkti i tyre skalar i këtyre vektorëve të jetë i barabartë me zero.

Dëshmi.

Domosdoshmëria: Le të na jepen vektorët \overline(α) dhe \overline(β) që kanë përkatësisht koordinatat (α_1,α_2,α_3) dhe (β_1,β_2,β_3), dhe ato janë pingul me njëra-tjetrën. Atëherë duhet të vërtetojmë barazinë e mëposhtme

Meqenëse vektorët \overline(α) dhe \overline(β) janë pingul, këndi ndërmjet tyre është 90^0. Le të gjejmë produktin skalar të këtyre vektorëve duke përdorur formulën nga Përkufizimi 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Mjaftueshmëria: Le të jetë e vërtetë barazia \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Le të vërtetojmë se vektorët \overline(α) dhe \overline(β) do të jenë pingul me njëri-tjetrin.

Sipas përkufizimit 6, barazia do të jetë e vërtetë

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Prandaj, vektorët \overline(α) dhe \overline(β) do të jenë pingul me njëri-tjetrin.

Teorema është e vërtetuar.

Shembulli 1

Vërtetoni se vektorët me koordinata (1,-5,2) dhe (2,1,3/2) janë pingul.

Dëshmi.

Le të gjejmë produktin skalar për këta vektorë duke përdorur formulën e dhënë më sipër

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Kjo do të thotë, sipas Teoremës 1, këta vektorë janë pingul.

Gjetja e një vektori pingul me dy vektorë të dhënë duke përdorur prodhimin kryq

Le të prezantojmë fillimisht konceptin e një produkti vektorial.

Përkufizimi 7

Produkti vektorial i dy vektorëve do të jetë një vektor që do të jetë pingul me të dy vektorët e dhënë dhe gjatësia e tij do të jetë e barabartë me prodhimin e gjatësive të këtyre vektorëve me sinusin e këndit ndërmjet këtyre vektorëve, si dhe ky vektor me dy ato fillestare kanë të njëjtin orientim si sistemi kartezian koordinatat

Përcaktimi: \mbivijë(α)x\mbivijë(β)x.

Për të gjetur produktin e vektorit, ne do të përdorim formulën

\overline(α)х\overline(β)=\fille(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\fund(vmatrix) x

Meqenëse vektori i prodhimit kryq të dy vektorëve është pingul me të dy këta vektorë, ai do të jetë vektori. Kjo do të thotë, për të gjetur një vektor pingul me dy vektorë, ju vetëm duhet të gjeni produktin e tyre vektorial.

Shembulli 2

Gjeni një vektor pingul me vektorët me koordinata \overline(α)=(1,2,3) dhe \overline(β)=(-1,0,3)

Le të gjejmë prodhimin vektorial të këtyre vektorëve.

\overline(α)х\overline(β)=\fille(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\mbi linjë(i)-(3+3)\mbi linjë(j)+(0+2)\mbivijë(k)=6\mbi linjë(i)-6\mbi linjë(j)+2\mbi linjë(k) =(6,6,2) x