Shpjegimi i formulës së probabilitetit dhe vetvetes. Teoria e Probabilitetit dhe Statistikat Matematikore

Seksioni 12. Teoria e probabilitetit.

1. Hyrje

2. Konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit

3. Algjebra e ngjarjeve

4. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

5. Probabilitete gjeometrike

6. Probabilitetet klasike. Formulat e kombinatorikës.

7. Probabiliteti i kushtëzuar. Pavarësia e ngjarjeve.

8. Formula probabilitet të plotë dhe formulat e Bayes

9. Skema e testimit të përsëritur. Formula e Bernulit dhe asimptotika e saj

10. Variablat e rastësishëm (RV)

11. Seritë e shpërndarjes DSV

12. Funksioni i shpërndarjes kumulative

13. Funksioni i shpërndarjes NSV

14. Dendësia e probabilitetit të NSV

15. Karakteristikat numerike variablat e rastësishëm

16. Shembuj shpërndarje të rëndësishme NE

16.1. Shpërndarja binomiale DSV.

16.2. Shpërndarja Poisson

16.3. Shpërndarja uniforme e NSV.

16.4. Shpërndarja normale.

17. Teorema kufitare teoria e probabilitetit.

Prezantimi

Teoria e probabilitetit, si shumë disiplina të tjera matematikore, u zhvillua nga nevojat e praktikës. Në të njëjtën kohë, gjatë studimit të një procesi real, ishte e nevojshme të krijohej një model matematik abstrakt i procesit real. Zakonisht kryesore, më domethënëse forcat lëvizëse proces real, duke hequr nga konsiderata ato dytësore, të cilat quhen të rastësishme. Natyrisht, ajo që konsiderohet kryesore dhe ajo që është dytësore është një detyrë më vete. Zgjidhja e kësaj pyetje përcakton nivelin e abstraksionit, thjeshtësisë ose kompleksitetit modeli matematik dhe niveli i përshtatshmërisë së modelit proces real. Në thelb, çdo model abstrakt është rezultat i dy aspiratave të kundërta: thjeshtësisë dhe përshtatshmërisë ndaj realitetit.

Për shembull, në teorinë e qitjes, formula mjaft të thjeshta dhe të përshtatshme janë zhvilluar për përcaktimin e rrugës së fluturimit të një predhe nga një armë e vendosur në një pikë (Fig. 1).

NË kushte të caktuara teoria e përmendur është e mjaftueshme, për shembull, gjatë bombardimeve masive të artilerisë.

Megjithatë, është e qartë se nëse nga një armë në të njëjtat kushte gjuaj disa të shtëna, trajektoret do të jenë të afërta, por ende të ndryshme. Dhe nëse madhësia e synuar është e vogël në krahasim me zonën e shpërndarjes, atëherë lindin pyetje specifike që lidhen veçanërisht me ndikimin e faktorëve që nuk merren parasysh në modelin e propozuar. Në të njëjtën kohë, marrja parasysh e faktorëve shtesë do të çojë në një model tepër kompleks që është pothuajse i pamundur për t'u përdorur. Përveç kësaj, ka shumë nga këta faktorë të rastësishëm, natyra e tyre më së shpeshti është e panjohur.

Në shembullin e mësipërm, pyetje të tilla specifike që shkojnë përtej model përcaktues, janë, për shembull, sa vijon: sa të shtëna duhet të bëhen për të besim të caktuar(për shembull, në) garantojnë humbjen e objektivit? si të kryeni gjuajtje në mënyrë që të shpenzoni për të goditur objektivin sasia më e vogël predha? e kështu me radhë.

Siç do ta shohim më vonë, fjalët "të rastësishme" dhe "probabilitet" do të bëhen të rrepta termat matematikore. Megjithatë, ato janë shumë të zakonshme në jetën e përditshme të folurit bisedor. Besohet se mbiemri "i rastësishëm" është e kundërta e "natyrshme". Megjithatë, kjo nuk është kështu, sepse natyra është projektuar në atë mënyrë që proceset e rastësishme të zbulojnë modele, por në kushte të caktuara.

Kushti kryesor quhet karakter masiv.

Për shembull, nëse hidhni një monedhë, nuk mund të parashikoni se çfarë do të dalë, një stemë apo një numër, mund të merrni vetëm me mend. Sidoqoftë, nëse e ktheni këtë monedhë numër i madh herë që përqindja e braktisjes së stemës nuk do të ndryshojë shumë nga një numër i caktuar afër 0.5 (në vijim do ta quajmë këtë numër probabilitet). Për më tepër, me një rritje të numrit të hedhjeve, devijimi nga ky numër do të ulet. Kjo pronë quhet stabiliteti treguesit mesatarë (në në këtë rast- aksionet e stemave). Duhet thënë se në hapat e parë të teorisë së probabilitetit, kur u desh të verifikohej në praktikë prania e vetive të qëndrueshmërisë, edhe shkencëtarët e mëdhenj nuk e patën të vështirë të kryenin verifikimin e tyre. Kështu, eksperimenti i njohur i Bufonit, i cili hodhi një monedhë 4040 herë dhe stema doli 2048 herë, pra, fraksioni (ose frekuencë relative) e stemës është 0,508, që është intuitivisht afër numrit të pritur prej 0,5.

Prandaj, zakonisht jepet përkufizimi lënda e teorisë së probabilitetit si degë e matematikës që studion ligjet e masës procese të rastësishme.

Duhet thënë se, pavarësisht se arritjet më të mëdha të teorisë së probabilitetit datojnë në fillim të shekullit të kaluar, veçanërisht falë ndërtim aksiomatik teoritë në veprat e A.N. Kolmogorov (1903-1987), interesi për studimin e aksidenteve u shfaq shumë kohë më parë.

Interesat fillestare ishin në përpjekjen për të aplikuar një qasje numerike për lojërat e fatit. Rezultatet e para mjaft interesante të teorisë së probabilitetit zakonisht lidhen me veprat e L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) dhe N. Tartaglia (1556).

Më vonë B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) hodhën themelet teoria klasike probabilitetet. Në fillim të shekullit të 18-të, J. Bernoulli (1654-1705) formoi konceptin e probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme si raport i numrit të shanseve të favorshme me numrin e të gjitha të mundshmeve. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) ndërtuan teoritë e tyre mbi përdorimin e konceptit të masës së një grupi.

Pikëpamja teorike e grupeve u prezantua në formën e saj më të plotë në 1933. A.N. Kolmogorov në monografinë e tij "Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit". Është që nga ky moment që teoria e probabilitetit bëhet një shkencë e rreptë matematikore.

Kontribut i madh Matematikanët rusë P.L. kontribuan në zhvillimin e teorisë së probabilitetit. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) dhe të tjerë.

Teoria e probabilitetit po zhvillohet me shpejtësi në kohën e tanishme.

Konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit

Si çdo disiplinë matematikore, teoria e probabilitetit fillon me prezantimin e koncepteve më të thjeshta që nuk përcaktohen, por vetëm shpjegohen.

Një nga konceptet kryesore kryesore është përvojë. Përvoja kuptohet si një grup i caktuar kushtesh që mund të riprodhohen një numër të pakufizuar herë. Çdo zbatim të këtij kompleksi do ta quajmë përvojë ose test. Rezultatet e eksperimentit mund të jenë të ndryshme, dhe këtu shfaqet elementi i rastësisë. Rezultatet ose rezultatet e ndryshme të një përvoje quhen ngjarjet(ose më mirë ngjarje të rastësishme). Kështu, gjatë zbatimit të eksperimentit, mund të ndodhë një ose një ngjarje tjetër. Me fjalë të tjera, një ngjarje e rastësishme është një rezultat i një eksperimenti që mund të ndodhë (shfaqet) ose të mos ndodhë gjatë zbatimit të eksperimentit.

Përvoja do të shënohet me shkronjën , dhe ngjarjet e rastësishme zakonisht shënohen me shkronja të mëdha

Shpesh në një eksperiment është e mundur të identifikohen paraprakisht rezultatet e tij, të cilat mund të quhen më të thjeshtat, të cilat nuk mund të zbërthehen në më të thjeshta. Ngjarje të tilla quhen ngjarje elementare(ose raste).

Shembulli 1. Lëreni monedhën të hedhë. Rezultatet e eksperimentit janë: humbja e stemës (këtë ngjarje e shënojmë me shkronjën ); humbja e numrave (e shënuar me ). Më pas mund të shkruajmë: përvoja = (hedhja e monedhës), rezultatet: Është e qartë se ngjarjet elementare në këtë eksperiment. Me fjalë të tjera, renditja e të gjitha ngjarjeve elementare të përvojës e përshkruan plotësisht atë. Lidhur me këtë do të themi se përvoja është hapësira e ngjarjeve elementare dhe në rastin tonë përvoja mund të shkruhet shkurt në formën: = (hedhja e monedhës) = (G; C).

Shembulli 2. =(monedha hidhet dy herë)= Këtu është një përshkrim verbal i përvojës dhe një renditje e të gjitha ngjarjeve elementare: kjo do të thotë se së pari, në hedhjen e parë të një monedhe, ra një stemë, në të dytën, ra edhe stema; do të thotë që në hedhjen e parë të monedhës doli stema, në të dytën numri etj.

Shembulli 3. Në sistemin e koordinatave, pikat hidhen në një katror. Në këtë shembull, ngjarjet elementare janë pika me koordinata që plotësojnë pabarazitë e dhëna. Shkurtimisht kjo është shkruar në mënyrën e mëposhtme:

Një dy pika në kllapa kaçurrelë do të thotë se përbëhet nga pika, por jo ndonjë, por vetëm ato që plotësojnë kushtin (ose kushtet) të specifikuara pas dy pikave (në shembullin tonë, këto janë pabarazi).

Shembulli 4. Monedha hidhet derisa të shfaqet stema e parë. Me fjalë të tjera, hedhja e monedhës vazhdon derisa koka të ulet. Në këtë shembull, ngjarjet elementare mund të renditen, megjithëse ato numër i pafund:

Vini re se në shembujt 3 dhe 4, hapësira e ngjarjeve elementare ka një numër të pafund rezultatesh. Në shembullin 4 ato mund të renditen, d.m.th. rillogarit. Një grup i tillë quhet i numërueshëm. Në shembullin 3 hapësira është e panumërueshme.

Le të prezantojmë dy ngjarje të tjera që janë të pranishme në çdo përvojë dhe që kanë një rëndësi të madhe teorike.

Le ta quajmë ngjarjen e pamundur, përveç nëse, si rezultat i përvojës, domosdoshmërisht nuk ndodh. Do ta shënojmë me shenjë grup bosh. Përkundrazi, quhet një ngjarje që është e sigurt se do të ndodhë si rezultat i përvojës të besueshme. Një ngjarje e besueshme përcaktohet në të njëjtën mënyrë si vetë hapësira e ngjarjeve elementare - me shkronjë.

Për shembull, kur hedh zare një ngjarje (rrokullisje më pak se 9 pikë) është e besueshme, dhe një ngjarje (që rrotullohet saktësisht 9 pikë) është e pamundur.

Pra, mund të jepet hapësira e ngjarjeve elementare përshkrim verbal, duke renditur të gjitha ngjarjet e tij elementare, duke specifikuar rregullat ose kushtet me të cilat fitohen të gjitha ngjarjet e tij elementare.

Algjebra e ngjarjeve

Deri tani kemi folur vetëm për ngjarje elementare si rezultate të drejtpërdrejta të përvojës. Megjithatë, në kuadër të përvojës, mund të flasim për ngjarje të tjera të rastësishme, përveç atyre elementare.

Shembulli 5. Gjatë hedhjes së zarit, përveç ngjarjeve elementare të rënies së një, dy,..., gjashtë, përkatësisht, mund të flasim për ngjarje të tjera: (rënia nga një numër çift), (rënia nga një numër tek) , (heqja e një numri që është shumëfish i treshit), (heqja e një numri më të vogël se 4 ) dhe kështu me radhë. NË në këtë shembull Këto ngjarje, përveç detyrës verbale, mund të specifikohen duke renditur ngjarjet elementare:

Formimi i ngjarjeve të reja nga elementare, si dhe nga ngjarje të tjera, kryhet duke përdorur operacione (ose veprime) mbi ngjarje.

Përkufizimi. Produkti i dy ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në faktin se si rezultat i një eksperimenti do të ndodhë Dhe ngjarje, Dhe ngjarje, pra të dyja ngjarjet do të ndodhin së bashku (njëkohësisht).

Shenja e produktit (pika) shpesh hiqet:

Përkufizimi. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në faktin se si rezultat i eksperimentit do të ndodhë ose ngjarje, ose ngjarje, ose të dyja bashkë (në të njëjtën kohë).

Në të dy përkufizimet ne theksuam qëllimisht lidhëzat Dhe Dhe ose- për të tërhequr vëmendjen e lexuesit në fjalimin tuaj kur zgjidhni probleme. Nëse shqiptojmë lidhëzën "dhe", atëherë po flasim për për ndodhjen e ngjarjeve; Nëse lidhja "ose" shqiptohet, atëherë ngjarjet duhet të shtohen. Në të njëjtën kohë, vërejmë se lidhja "ose" në fjalimi i përditshëm shpesh përdoret në kuptimin e përjashtimit të njërit nga dy: "vetëm ose vetëm". Në teorinë e probabilitetit, një përjashtim i tillë nuk supozohet: dhe , dhe , dhe do të thotë ndodhja e një ngjarjeje

Nëse jepet nga një listë e ngjarjeve elementare, atëherë ngjarje komplekse duke përdorur operacionet e mësipërme është e lehtë për t'u marrë. Për të marrë, ju duhet të gjeni të gjitha ngjarjet elementare që u përkasin të dyja ngjarjeve, nëse nuk ka asnjë, atëherë shuma e ngjarjeve është gjithashtu e lehtë për t'u kompozuar: duhet të merrni ndonjë nga dy ngjarjet dhe t'i shtoni asaj ato ngjarje elementare nga; ngjarjen tjetër që nuk përfshihen në të parën.

Në shembullin 5 marrim, në veçanti

Veprimet e prezantuara quhen binare, sepse të përcaktuara për dy ngjarje. Operacioni i mëposhtëm unar (i përcaktuar për një ngjarje të vetme) ka një rëndësi të madhe: ngjarja quhet e kundërt ngjarje nëse konsiston në faktin se në një përvojë të caktuar ngjarja nuk ka ndodhur. Nga përkufizimi është e qartë se çdo ngjarje dhe e kundërta e saj kanë vetitë e mëposhtme: Operacioni i futur thirret shtesë ngjarjet A.

Nga kjo rrjedh se nëse jepet nga një listë e ngjarjeve elementare, atëherë, duke ditur specifikimin e ngjarjes, është e lehtë të përftohet ai përbëhet nga të gjitha ngjarjet elementare të hapësirës që nuk i përkasin në veçanti, për shembull 5 ngjarjes

Nëse nuk ka kllapa, atëherë në kryerjen e veprimeve vendoset përparësia e mëposhtme: mbledhje, shumëzim, mbledhje.

Pra, me ndihmën e operacioneve të prezantuara, hapësira e ngjarjeve elementare plotësohet me ngjarje të tjera të rastësishme që formojnë të ashtuquajturat. algjebra e ngjarjeve.

Shembulli 6. Qitësi qëlloi tre të shtëna në objektiv. Merrni parasysh ngjarjet = (qitësi goditi objektivin kur gjuajtja e i-të), i = 1,2,3.

Le të kompozojmë disa ngjarje nga këto ngjarje (të mos harrojmë edhe të kundërtat). Ne nuk japim komente të gjata; Besojmë se lexuesi do t'i drejtojë në mënyrë të pavarur.

Ngjarja B = (të tre të shtënat goditën objektivin). Më shumë detaje: B = ( Dhe së pari, Dhe e dyta, Dhe gjuajtja e tretë goditi objektivin). Bashkimi i përdorur Dhe, prandaj, ngjarjet shumëfishohen:

Po kështu:

C = (asnjë nga të shtënat nuk goditi objektivin)

E = (një e shtënë arriti në objektiv)

D = (goditja e objektivit në goditjen e dytë) = ;

F = (shënjestër e goditur nga dy të shtëna)

N = (të paktën një goditje do të godasë objektivin)

Siç dihet, në matematikë rëndësi të madhe ka një interpretim gjeometrik të objekteve, koncepteve dhe formulave analitike.

Në teorinë e probabilitetit është i përshtatshëm paraqitje vizuale(interpretimi gjeometrik) i përvojës, ngjarjeve të rastësishme dhe operacioneve mbi to në formën e të ashtuquajturave Diagramet Euler-Venn. Thelbi është se çdo përvojë identifikohet (interpretohet) me hedhjen e pikëve në një shesh të caktuar. Pikat hidhen në mënyrë të rastësishme, në mënyrë që të gjitha pikat të kenë një shans të barabartë për t'u ulur kudo në atë katror. Sheshi përcakton kornizën e përvojës në fjalë. Çdo ngjarje brenda përvojës identifikohet me një zonë të caktuar të sheshit. Me fjalë të tjera, shfaqja e një ngjarjeje do të thotë që një pikë e rastësishme bie brenda zonës së treguar nga shkronja, atëherë operacionet mbi ngjarjet interpretohen lehtësisht gjeometrikisht (Fig. 2).

A + B: çdo

çelja

Në figurën 2 a) për qartësi, ngjarja A theksohet me hijezim vertikal, ngjarja B me hije horizontale. Pastaj operacioni i shumëzimit korrespondon me një çelës të dyfishtë - ngjarja korrespondon me atë pjesë të katrorit që është e mbuluar me një çelës të dyfishtë. Për më tepër, nëse ato quhen ngjarje të papajtueshme. Prandaj, funksionimi i shtimit korrespondon me çdo çelje - ngjarja nënkupton një pjesë të sheshit të hijezuar nga çdo çelje - vertikale, horizontale dhe dyshe. Në Fig. 2 b) ngjarja është paraqitur me të pjesa e hijezuar e katrorit - gjithçka që nuk përfshihet në zonën Operacionet e futura kanë si më poshtë; vetitë kryesore, disa prej të cilave janë të vlefshme për veprimet me të njëjtin emër në numra, por ka edhe të veçanta.

10 . komutativiteti i shumëzimit;

20 . komutativiteti i shtimit;

tridhjetë . asociativiteti i shumëzimit;

4 0 . asociativiteti shtesë,

50 . shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen,

6 0 . shpërndarja e mbledhjes në raport me shumëzimin;

9 0 . Ligjet e dualitetit të de Morganit,

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Shembulli 7. Ivan dhe Pjetri ranë dakord të takoheshin në një interval kohor prej T orë, për shembull, (0,T). Në të njëjtën kohë, ata ranë dakord që secili prej tyre, me të ardhur në takim, të priste tjetrin jo më shumë se një orë.

Le t'i japim këtij shembulli një interpretim gjeometrik. Le të shënojmë: kohën e mbërritjes së Ivanit në takim; Ora e mbërritjes së Pjetrit për takimin. Siç është rënë dakord: 0 . Pastaj në sistemin e koordinatave marrim: = Është e lehtë të vërehet se në shembullin tonë hapësira e ngjarjeve elementare është katror. 1

0 x korrespondon me atë pjesë të katrorit që ndodhet mbi këtë drejtëz Në mënyrë të ngjashme, me pabarazinë e dytë y≤x+ dhe; dhe nuk funksionon nëse nuk funksionojnë të gjithë elementët, d.m.th. .Kështu, ligji i dytë i dualitetit të de Morgan: zbatohet kur elementët janë të lidhur paralelisht.

Shembulli i mësipërm tregon pse teoria e probabilitetit përdoret gjerësisht në fizikë, në veçanti, në llogaritjen e besueshmërisë së pajisjeve teknike reale.

Shumë, kur përballen me konceptin e "teorisë së probabilitetit", tremben, duke menduar se është diçka dërrmuese, shumë komplekse. Por në fakt gjithçka nuk është aq tragjike. Sot do të shikojmë konceptin bazë të teorisë së probabilitetit dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim problemet duke përdorur shembuj specifikë.

Shkenca

Çfarë studion një degë e tillë e matematikës si "teoria e probabilitetit"? Ajo shënon modele dhe sasi. Shkencëtarët u interesuan për herë të parë për këtë çështje në shekullin e tetëmbëdhjetë, kur ata studiuan kumar. Koncepti themelor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Është çdo fakt që vërtetohet nga përvoja ose vëzhgimi. Por çfarë është përvoja? Një tjetër koncept bazë i teorisë së probabilitetit. Do të thotë se ky grup rrethanash është krijuar jo rastësisht, por me qellim specifik. Sa i përket vëzhgimit, këtu vetë studiuesi nuk merr pjesë në eksperiment, por është thjesht dëshmitar i këtyre ngjarjeve, ai nuk ndikon në asnjë mënyrë në atë që po ndodh.

Ngjarjet

Mësuam se koncepti bazë i teorisë së probabilitetit është një ngjarje, por nuk e morëm parasysh klasifikimin. Të gjithë ata ndahen në kategoritë e mëposhtme:

E besueshme.
E pamundur.
E rastësishme.

Pavarësisht se çfarë lloj ngjarjesh janë, të vëzhguara ose të krijuara gjatë përvojës, të gjitha ato i nënshtrohen këtij klasifikimi. Ju ftojmë të njiheni me secilin lloj veç e veç.

Ngjarje e besueshme

Kjo është një rrethanë për të cilën janë marrë masat e nevojshme. Për të kuptuar më mirë thelbin, është më mirë të japim disa shembuj. Fizika, kimia, ekonomia dhe matematikë e lartë. Teoria e probabilitetit përfshin këtë koncept i rëndësishëm si një ngjarje e besueshme. Ketu jane disa shembuj:

Ne punojmë dhe marrim kompensim në formën e pagave.
Ne i kaluam mirë provimet, e kaluam konkursin, për këtë marrim një shpërblim në formën e pranimit në institucion arsimor.
Ne kemi investuar para në bankë dhe nëse është e nevojshme, do t'i kthejmë.

Ngjarje të tilla janë të besueshme. Nëse kemi përfunduar gjithçka kushtet e nevojshme, atëherë patjetër do të marrim rezultatin e pritur.

Ngjarje të pamundura

Tani po shqyrtojmë elementet e teorisë së probabilitetit. Ne propozojmë të kalojmë në një shpjegim të llojit tjetër të ngjarjes, domethënë të pamundurës. Për të filluar, le të përcaktojmë më së shumti rregull i rëndësishëm- probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero.

Nuk mund të shmanget nga ky formulim gjatë zgjidhjes së problemeve. Për sqarim, këtu janë shembuj të ngjarjeve të tilla:

Uji ngriu në një temperaturë prej plus dhjetë (kjo është e pamundur).
Mungesa e energjisë elektrike nuk ndikon në prodhimin në asnjë mënyrë (po aq e pamundur si në shembullin e mëparshëm).

Nuk ia vlen të jepen më shumë shembuj, pasi ato të përshkruara më sipër pasqyrojnë shumë qartë thelbin e kësaj kategorie. Një ngjarje e pamundur nuk do të ndodhë kurrë gjatë një eksperimenti në asnjë rrethanë.

Ngjarje të rastësishme

Studimi i elementeve të teorisë së probabilitetit, Vëmendje e veçantë ia vlen t'i kushtohet vëmendje kjo specie ngjarjet. Këta janë ata që studion këtë shkencë. Si rezultat i përvojës, diçka mund të ndodhë ose jo. Përveç kësaj, testi mund të kryhet sasi e pakufizuar një herë. Shembuj të gjallë mund të shërbejë:

Hedhja e një monedhe është një përvojë ose provë, ulja e kokave është një ngjarje.
Tërheqja e një topi nga një qese verbërisht është një provë marrja e një topi të kuq është një ngjarje, e kështu me radhë.

Mund të ketë një numër të pakufizuar shembujsh të tillë, por, në përgjithësi, thelbi duhet të jetë i qartë. Për të përmbledhur dhe sistemuar njohuritë e marra rreth ngjarjeve, jepet një tabelë. Teoria e probabilitetit studion vetëm llojin e fundit nga të gjitha të paraqitura.

Emri	përkufizimi
E besueshme	Ngjarjet që ndodhin me garanci 100% nëse plotësohen disa kushte.	Pranimi në një institucion arsimor pas dhënies së mirë të provimit pranues.
E pamundur	Ngjarje që nuk do të ndodhin kurrë në asnjë rrethanë.	Bie borë në temperaturën e ajrit plus tridhjetë gradë Celsius.
E rastësishme	Një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë gjatë një eksperimenti/testi.	Një goditje ose humbje kur hedh një top basketbolli në një rreth.

Ligjet

Teoria e probabilitetit është një shkencë që studion mundësinë e ndodhjes së një ngjarjeje. Ashtu si të tjerët, ai ka disa rregulla. Ekzistojnë ligjet e mëposhtme të teorisë së probabilitetit:

Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit.
Ligji i numrave të mëdhenj.

Kur llogaritni mundësinë e diçkaje komplekse, mund të përdorni një kompleks ngjarjesh të thjeshta për të arritur një rezultat më të lehtë dhe më të lehtë. mënyrë të shpejtë. Vini re se ligjet mund të vërtetohen lehtësisht duke përdorur teorema të caktuara. Ju sugjerojmë që fillimisht të njiheni me ligjin e parë.

Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit

Vini re se ka disa lloje të konvergjencës:

Sekuenca e ndryshoreve të rastësishme konvergon në probabilitet.
Pothuajse e pamundur.
Konvergjenca mesatare katrore.
Konvergjenca e shpërndarjes.

Pra, menjëherë, është shumë e vështirë të kuptosh thelbin. Këtu janë përkufizimet që do t'ju ndihmojnë të kuptoni këtë temë. Le të fillojmë me pamjen e parë. Sekuenca quhet konvergjente në probabilitet, nëse plotësohet kushti tjetër: n tenton në pafundësi, numri drejt të cilit priret sekuenca, Mbi zero dhe është afër unitetit.

Le të kalojmë në pamje tjetër,pothuajse me siguri. Sekuenca thuhet se konvergjon pothuajse me siguri te një ndryshore e rastësishme ku n priret drejt pafundësisë dhe P priret drejt një vlere afër unitetit.

Lloji tjetër është konvergjenca mesatare katrore. Kur përdorni konvergjencën SC, studimi i proceseve të rastësishme vektoriale reduktohet në studimin e proceseve të tyre të rastësishme koordinative.

Mbetet lloji i fundit, le ta shohim shkurtimisht që të kalojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemeve. Konvergjenca në shpërndarje ka një emër tjetër - "i dobët", dhe ne do të shpjegojmë pse më vonë. Konvergjenca e dobëtështë konvergjenca e funksioneve të shpërndarjes në të gjitha pikat e vazhdimësisë së funksionit të shpërndarjes kufizuese.

Ne patjetër do ta mbajmë premtimin tonë: konvergjenca e dobët ndryshon nga të gjitha sa më sipër në këtë vlerë e rastësishme nuk është përcaktuar për hapësirë probabiliteti. Kjo është e mundur sepse gjendja formohet ekskluzivisht duke përdorur funksionet e shpërndarjes.

Ligji i numrave të mëdhenj

Teoremat e teorisë së probabilitetit, të tilla si:

Pabarazia e Chebyshev.
Teorema e Chebyshev.
Teorema e përgjithësuar e Chebyshev.
Teorema e Markovit.

Nëse marrim parasysh të gjitha këto teorema, atëherë kjo pyetje mund të zgjasë për disa dhjetëra fletë. Detyra jonë kryesore është të zbatojmë teorinë e probabilitetit në praktikë. Ne ju sugjerojmë ta bëni këtë menjëherë. Por para kësaj, le të shohim aksiomat e teorisë së probabilitetit, ata do të jenë asistentët kryesorë në zgjidhjen e problemeve.

Aksiomat

Të parën e takuam tashmë kur folëm për një ngjarje të pamundur. Le të kujtojmë: probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Ne dhamë një shembull shumë të gjallë dhe të paharrueshëm: bora ra në një temperaturë ajri prej tridhjetë gradë Celsius.

E dyta është si vijon: një ngjarje e besueshme ndodh me një probabilitet e barabartë me një. Tani do të tregojmë se si ta shkruajmë këtë duke përdorur gjuhën matematikore: P(B)=1.

Së treti: Një ngjarje e rastësishme mund ose nuk mund të ndodhë, por mundësia shkon gjithmonë nga zero në një. Sa më afër të jetë vlera me një, aq më të mëdha janë shanset; nëse vlera i afrohet zeros, probabiliteti është shumë i ulët. Le ta shkruajmë këtë gjuha matematikore: 0<Р(С)<1.

Le të shqyrtojmë aksiomën e fundit, të katërt, e cila tingëllon kështu: probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. E shkruajmë në gjuhën matematikore: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomat e teorisë së probabilitetit janë rregullat më të thjeshta që nuk janë të vështira për t'u mbajtur mend. Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme bazuar në njohuritë që kemi marrë tashmë.

Biletë lotarie

Së pari, le të shohim shembullin më të thjeshtë - një llotari. Imagjinoni që keni blerë një biletë lotarie për fat të mirë. Sa është probabiliteti që të fitoni të paktën njëzet rubla? Në total, një mijë bileta janë përfshirë në qarkullim, njëra prej të cilave ka një çmim prej pesëqind rubla, dhjetë prej tyre kanë njëqind rubla, pesëdhjetë kanë një çmim prej njëzet rubla dhe njëqind kanë një çmim prej pesë. Problemet e probabilitetit bazohen në gjetjen e mundësisë së fatit. Tani së bashku do të analizojmë zgjidhjen e detyrës së mësipërme.

Nëse përdorim shkronjën A për të treguar një fitore prej pesëqind rubla, atëherë probabiliteti për të marrë A do të jetë i barabartë me 0,001. Si e kemi marrë këtë? Thjesht duhet të ndani numrin e biletave "me fat" me numrin e tyre total (në këtë rast: 1/1000).

B është një fitore prej njëqind rubla, probabiliteti do të jetë 0.01. Tani kemi vepruar në të njëjtin parim si në veprimin e mëparshëm (10/1000)

C - fitimet janë njëzet rubla. Ne gjejmë probabilitetin, është i barabartë me 0.05.

Ne nuk jemi të interesuar për biletat e mbetura, pasi fondi i tyre i çmimeve është më i vogël se ai i përcaktuar në kusht. Le të zbatojmë aksiomën e katërt: Probabiliteti për të fituar të paktën njëzet rubla është P(A)+P(B)+P(C). Shkronja P tregon probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar, ne i kemi gjetur tashmë ato në veprimet e mëparshme. Mbetet vetëm të mbledhim të dhënat e nevojshme dhe përgjigja që marrim është 0.061. Ky numër do të jetë përgjigjja e pyetjes së detyrës.

Kuvertë kartash

Problemet në teorinë e probabilitetit mund të jenë më komplekse, për shembull, le të marrim detyrën e mëposhtme. Para jush është një kuvertë me tridhjetë e gjashtë letra. Detyra juaj është të vizatoni dy letra me radhë pa e përzier pirgun, letrat e para dhe të dyta duhet të jenë ace, kostumi nuk ka rëndësi.

Së pari, le të gjejmë probabilitetin që letra e parë të jetë një ACE, për këtë ne ndajmë katër me tridhjetë e gjashtë. E lanë mënjanë. Ne nxjerrim kartën e dytë, do të jetë një ACE me një probabilitet prej tre tridhjetë e pesta. Probabiliteti i ngjarjes së dytë varet nga ajo kartë që kemi tërhequr së pari, pyesim veten nëse ishte një as apo jo. Nga kjo rrjedh se ngjarja B varet nga ngjarja A.

Hapi tjetër është gjetja e probabilitetit të ndodhjes së njëkohshme, domethënë shumëzojmë A dhe B. Produkti i tyre gjendet si më poshtë: shumëzojmë probabilitetin e një ngjarjeje me probabilitetin e kushtëzuar të një tjetre, të cilën e llogarisim, duke supozuar se e para ndodhi ngjarja, domethënë tërhoqëm një as me kartonin e parë.

Për të bërë gjithçka të qartë, le t'i japim një përcaktim një elementi të tillë si ngjarjet. Ajo llogaritet duke supozuar se ngjarja A ka ndodhur. Ai llogaritet si më poshtë: P(B/A).

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemin tonë: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ose P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabiliteti është i barabartë me (4/36) * ((3/35)/(4/36). Ne llogarisim duke rrumbullakosur në të qindtën më të afërt. Kemi: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Probabiliteti që do të vizatojmë dy ace me radhë është nëntëqindta. Vlera është shumë e vogël, që do të thotë se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është jashtëzakonisht i vogël.

Numri i harruar

Ne propozojmë të analizojmë disa variante të tjera të detyrave që studiohen nga teoria e probabilitetit. Ju keni parë tashmë shembuj të zgjidhjes së disa prej tyre në këtë artikull Le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: djali harroi shifrën e fundit të numrit të telefonit të shokut të tij, por duke qenë se telefonata ishte shumë e rëndësishme, ai filloi të thërriste gjithçka një nga një. . Ne duhet të llogarisim probabilitetin që ai të telefonojë jo më shumë se tre herë. Zgjidhja e problemit është më e thjeshtë nëse njihen rregullat, ligjet dhe aksiomat e teorisë së probabilitetit.

Përpara se të shikoni zgjidhjen, përpiquni ta zgjidhni vetë. Ne e dimë që shifra e fundit mund të jetë nga zero në nëntë, domethënë dhjetë vlera në total. Probabiliteti për të marrë atë të duhurin është 1/10.

Tjetra, duhet të shqyrtojmë opsionet për origjinën e ngjarjes, supozojmë se djali mendoi saktë dhe menjëherë shtypi të duhurin, probabiliteti i një ngjarje të tillë është 1/10. Opsioni i dytë: telefonata e parë humbet, dhe e dyta është në shënjestër. Le të llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: shumëzojmë 9/10 me 1/9, dhe si rezultat marrim gjithashtu 1/10. Opsioni i tretë: telefonatat e para dhe të dyta doli të ishin në adresën e gabuar, vetëm me të tretën djali arriti atje ku donte. Ne llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: 9/10 shumëzuar me 8/9 dhe 1/8, duke rezultuar në 1/10. Nuk na interesojnë opsionet e tjera sipas kushteve të problemit, ndaj duhet vetëm të mbledhim rezultatet, në fund kemi 3/10. Përgjigje: probabiliteti që djali të telefonojë jo më shumë se tre herë është 0.3.

Kartat me numra

Para jush keni nëntë letra, në secilën prej të cilave është shkruar një numër nga një në nëntë, numrat nuk përsëriten. Ata u vendosën në një kuti dhe u përzien plotësisht. Ju duhet të llogarisni probabilitetin që

do të shfaqet një numër çift;
dyshifrore.

Përpara se të kalojmë te zgjidhja, le të përcaktojmë që m është numri i rasteve të suksesshme dhe n është numri total i opsioneve. Le të gjejmë probabilitetin që numri të jetë çift. Nuk do të jetë e vështirë të llogaritet se janë katër numra çift, ky do të jetë m-ja jonë, janë gjithsej nëntë opsione të mundshme, domethënë m=9. Atëherë probabiliteti është 0.44 ose 4/9.

Le të shqyrtojmë rastin e dytë: numri i opsioneve është nëntë, dhe nuk mund të ketë fare rezultate të suksesshme, domethënë, m është zero. Probabiliteti që karta e tërhequr të përmbajë një numër dyshifror është gjithashtu zero.

Ngjarjet që ndodhin në realitet ose në imagjinatën tonë mund të ndahen në 3 grupe. Këto janë ngjarje të caktuara që do të ndodhin patjetër, ngjarje të pamundura dhe ngjarje të rastësishme. Teoria e probabilitetit studion ngjarje të rastësishme, d.m.th. ngjarje që mund të ndodhin ose jo. Ky artikull do të paraqesë shkurtimisht teorinë e formulave të probabilitetit dhe shembujt e zgjidhjes së problemave në teorinë e probabilitetit, që do të jenë në detyrën 4 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (niveli i profilit).

Pse na duhet teoria e probabilitetit?

Historikisht, nevoja për të studiuar këto probleme lindi në shekullin e 17-të në lidhje me zhvillimin dhe profesionalizimin e lojërave të fatit dhe shfaqjen e kazinove. Ky ishte një fenomen real që kërkonte studimin dhe hulumtimin e vet.

Loja me letra, zare dhe ruletë krijuan situata ku mund të ndodhte ndonjë nga një numër i kufizuar ngjarjesh po aq të mundshme. Kishte nevojë për të dhënë vlerësime numerike të mundësisë së ndodhjes së një ngjarje të caktuar.

Në shekullin e 20-të, u bë e qartë se kjo shkencë në dukje joserioze luan një rol të rëndësishëm në kuptimin e proceseve themelore që ndodhin në mikrokozmos. U krijua teoria moderne e probabilitetit.

Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit

Objekti i studimit të teorisë së probabilitetit janë ngjarjet dhe probabilitetet e tyre. Nëse një ngjarje është komplekse, atëherë ajo mund të ndahet në komponentë të thjeshtë, probabilitetet e të cilave janë të lehta për t'u gjetur.

Shuma e ngjarjeve A dhe B quhet ngjarja C, e cila konsiston në faktin se ose ngjarja A, ose ngjarja B, ose ngjarjet A dhe B kanë ndodhur njëkohësisht.

Produkti i ngjarjeve A dhe B është një ngjarje C, që do të thotë se ngjarja A dhe ngjarja B kanë ndodhur.

Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin njëkohësisht.

Një ngjarje A quhet e pamundur nëse nuk mund të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Një ngjarje A quhet e sigurt nëse është e sigurt se do të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Le të shoqërohet çdo ngjarje A me një numër P(A). Ky numër P(A) quhet probabiliteti i ngjarjes A nëse plotësohen kushtet e mëposhtme me këtë korrespondencë.

Një rast i veçantë i rëndësishëm është situata kur ka rezultate elementare po aq të mundshme, dhe arbitrare nga këto rezultate nga ngjarjet A. Në këtë rast, probabiliteti mund të futet duke përdorur formulën. Probabiliteti i paraqitur në këtë mënyrë quhet probabilitet klasik. Mund të vërtetohet se në këtë rast plotësohen pronat 1-4.

Problemet në teorinë e probabilitetit që shfaqen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë lidhen kryesisht me probabilitetin klasik. Detyra të tilla mund të jenë shumë të thjeshta. Problemet në teorinë e probabilitetit në versionet e demonstrimit janë veçanërisht të thjeshta. Është e lehtë të llogaritet numri i rezultateve të favorshme;

Përgjigjen e marrim duke përdorur formulën.

Një shembull i një problemi nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për përcaktimin e probabilitetit

Në tryezë ka 20 byrekë - 5 me lakër, 7 me mollë dhe 8 me oriz. Marina dëshiron të marrë byrekun. Sa është probabiliteti që ajo të marrë tortën me oriz?

Zgjidhje.

Janë 20 rezultate elementare po aq të mundshme, domethënë Marina mund të marrë ndonjë nga 20 byrekët. Por duhet të vlerësojmë probabilitetin që Marina të marrë byrekun me oriz, pra ku A është zgjedhja e byrekut me oriz. Kjo do të thotë që kemi vetëm 8 rezultate të favorshme (zgjedhja e byrekut të orizit), atëherë probabiliteti do të përcaktohet nga formula:

Ngjarje të pavarura, të kundërta dhe arbitrare

Megjithatë, detyra më komplekse filluan të gjenden në bankën e detyrave të hapura. Prandaj, le të tërheqim vëmendjen e lexuesit në çështje të tjera të studiuara në teorinë e probabilitetit.

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarura nëse probabiliteti i secilës nuk varet nga fakti nëse ndodh ngjarja tjetër.

Ngjarja B është ajo ngjarje A nuk ka ndodhur, d.m.th. ngjarja B është e kundërt me ngjarjen A. Probabiliteti i ngjarjes së kundërt është i barabartë me një minus probabilitetin e ngjarjes së drejtpërdrejtë, d.m.th. .

Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit, formula

Për ngjarjet arbitrare A dhe B, probabiliteti i shumës së këtyre ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre pa probabilitetin e ngjarjes së tyre të përbashkët, d.m.th. .

Për ngjarjet e pavarura A dhe B, probabiliteti i ndodhjes së këtyre ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, d.m.th. në këtë rast .

2 pohimet e fundit quhen teorema të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve.

Numërimi i numrit të rezultateve nuk është gjithmonë aq i thjeshtë. Në disa raste është e nevojshme të përdoren formulat e kombinatorikës. Gjëja më e rëndësishme është të numëroni numrin e ngjarjeve që plotësojnë disa kushte. Ndonjëherë këto lloj llogaritjesh mund të bëhen detyra të pavarura.

Në sa mënyra mund të ulen 6 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Kanë mbetur 4 vende të lira për nxënësin e tretë, 3 për të katërtin, 2 për të pestin dhe i gjashti do të zërë vendin e vetëm të mbetur. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin, i cili shënohet me simbolin 6! dhe lexohet "gjashtë faktorial".

Në rastin e përgjithshëm, përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e permutacioneve të n elementeve.

Le të shqyrtojmë tani një rast tjetër me studentët tanë. Në sa mënyra mund të ulen 2 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin.

Në përgjithësi, përgjigjen për këtë pyetje e jep formula për numrin e vendosjeve të n elementeve mbi k elemente

Në rastin tonë.

Dhe rasti i fundit në këtë seri. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 studentë nga 6? Studenti i parë mund të zgjidhet në 6 mënyra, i dyti - në 5 mënyra, i treti - në katër mënyra. Por midis këtyre opsioneve, të njëjtët tre studentë shfaqen 6 herë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të llogarisni vlerën: . Në përgjithësi, përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e kombinimeve të elementeve sipas elementit:

Në rastin tonë.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për të përcaktuar probabilitetin

Detyra 1. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në pjatë ka 30 byrekë: 3 me mish, 18 me lakër dhe 9 me qershi. Sasha zgjedh një byrek rastësisht. Gjeni probabilitetin që ai të përfundojë me një qershi.

Përgjigje: 0.3.

Detyra 2. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në çdo grup prej 1000 llambash, mesatarisht, 20 janë me defekt. Gjeni probabilitetin që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë.

Zgjidhja: Numri i llambave të punës është 1000-20=980. Atëherë probabiliteti që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë:

Përgjigje: 0.98.

Probabiliteti që nxënësi U të zgjidhë saktë më shumë se 9 problema gjatë një testi matematike është 0,67. Probabiliteti që U. të zgjidhë saktë më shumë se 8 problema është 0,73. Gjeni probabilitetin që U të zgjidhë saktë 9 problema.

Nëse imagjinojmë një vijë numerike dhe shënojmë pikat 8 dhe 9 në të, atëherë do të shohim se kushti “U. do të zgjidhë saktë 9 problema” përfshihet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme”, por nuk vlen për kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme.”

Megjithatë, kushti “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” gjendet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme.” Kështu, nëse caktojmë ngjarje: “U. do të zgjidhë saktësisht 9 probleme" - përmes A, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme" - përmes B, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” përmes C. Kjo zgjidhje do të duket kështu:

Përgjigje: 0.06.

Në një provim gjeometrie, një student i përgjigjet një pyetjeje nga një listë pyetjesh provimi. Probabiliteti që kjo është një pyetje trigonometrike është 0.2. Probabiliteti që kjo është një pyetje në këndet e jashtme është 0.15. Nuk ka pyetje që lidhen njëkohësisht me këto dy tema. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një pyetje në një nga këto dy tema në provim.

Le të mendojmë se çfarë ngjarjesh kemi. Na janë dhënë dy ngjarje të papajtueshme. Kjo do të thotë, ose pyetja do të lidhet me temën "Trigonometria" ose me temën "Këndet e jashtme". Sipas teoremës së probabilitetit, probabiliteti i ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të secilës ngjarje, duhet të gjejmë shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, domethënë:

Përgjigje: 0.35.

Dhoma ndriçohet nga një fanar me tre llamba. Probabiliteti që një llambë të digjet brenda një viti është 0.29. Gjeni probabilitetin që të paktën një llambë të mos digjet gjatë vitit.

Le të shqyrtojmë ngjarjet e mundshme. Ne kemi tre llamba, secila prej të cilave mund ose jo të digjet pavarësisht nga çdo llambë tjetër. Këto janë ngjarje të pavarura.

Pastaj do të tregojmë opsionet për ngjarje të tilla. Le të përdorim shënimet e mëposhtme: - llamba është ndezur, - llamba është djegur. Dhe menjëherë më pas ne llogarisim probabilitetin e ngjarjes. Për shembull, ka ndodhur probabiliteti i një ngjarjeje në të cilën tre ngjarje të pavarura "llamba është djegur", "llamba është ndezur", "llamba është ndezur": , ku probabiliteti i ngjarjes "llamba e dritës është ndezur” llogaritet si probabiliteti i ngjarjes së kundërt me ngjarjen “llamba nuk është ndezur”, përkatësisht: .

Vini re se ka vetëm 7 ngjarje të papajtueshme të favorshme për ne. Probabiliteti i ngjarjeve të tilla është i barabartë me shumën e probabiliteteve të secilës prej ngjarjeve.

Përgjigje: 0.975608.

Ju mund të shihni një problem tjetër në figurë:

Kështu, ne kemi kuptuar se çfarë është teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve që mund të hasni në versionin e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Kursi i matematikës përgatit shumë surpriza për nxënësit e shkollës, njëra prej të cilave është një problem në teorinë e probabilitetit. Nxënësit kanë probleme në zgjidhjen e detyrave të tilla pothuajse në njëqind për qind të rasteve. Për të kuptuar dhe kuptuar këtë çështje, duhet të dini rregullat, aksiomat dhe përkufizimet bazë. Për të kuptuar tekstin në libër, duhet të dini të gjitha shkurtesat. Ne ofrojmë të mësojmë të gjitha këto.

Shkenca dhe zbatimi i saj

Meqenëse po ofrojmë një kurs përplasjeje në "teorinë e probabilitetit për dummies", fillimisht duhet të prezantojmë konceptet bazë dhe shkurtesat e shkronjave. Për të filluar, le të përcaktojmë vetë konceptin e "teorisë së probabilitetit". Çfarë lloji i shkencës është kjo dhe pse është e nevojshme? Teoria e probabilitetit është një nga degët e matematikës që studion dukuritë dhe sasitë e rastësishme. Ajo gjithashtu merr në konsideratë modelet, vetitë dhe operacionet e kryera me këto variabla të rastit. Për çfarë është? Shkenca është bërë e përhapur në studimin e fenomeneve natyrore. Çdo proces natyror dhe fizik nuk mund të bëjë pa praninë e rastësisë. Edhe nëse rezultatet janë regjistruar sa më saktë që të jetë e mundur gjatë eksperimentit, nëse përsëritet i njëjti test, ka shumë të ngjarë që rezultati të mos jetë i njëjtë.

Ne patjetër do të shohim shembuj të detyrave, ju mund ta shihni vetë. Rezultati varet nga shumë faktorë të ndryshëm që është pothuajse e pamundur të merren parasysh ose të regjistrohen, por megjithatë ata kanë një ndikim të madh në rezultatin e eksperimentit. Shembuj të gjallë përfshijnë detyrën e përcaktimit të trajektores së planetëve ose përcaktimin e parashikimit të motit, probabilitetin për të takuar një person të njohur gjatë udhëtimit për në punë dhe përcaktimin e lartësisë së kërcimit të një atleti. Teoria e probabilitetit gjithashtu ofron një ndihmë të madhe për agjentët në bursat. Një problem në teorinë e probabilitetit, zgjidhja e të cilit më parë kishte shumë probleme, do të bëhet thjesht një gjë e vogël për ju pas tre ose katër shembujve të dhënë më poshtë.

Ngjarjet

Siç u tha më herët, shkenca studion ngjarjet. Teoria e probabilitetit, ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve pak më vonë, studion vetëm një lloj - të rastësishëm. Por megjithatë, duhet të dini se ngjarjet mund të jenë tre llojesh:

E pamundur.
E besueshme.
E rastësishme.

Ne propozojmë të diskutojmë pak për secilën prej tyre. Një ngjarje e pamundur nuk do të ndodhë kurrë, në asnjë rrethanë. Shembujt përfshijnë: ngrirjen e ujit në temperatura mbi zero, tërheqjen e një kubi nga një qese me topa.

Një ngjarje e besueshme ndodh gjithmonë me një garanci 100% nëse plotësohen të gjitha kushtet. Për shembull: keni marrë një rrogë për punën e bërë, keni marrë një diplomë të arsimit të lartë profesional nëse keni studiuar me ndërgjegje, keni dhënë provime dhe keni mbrojtur diplomën tuaj, etj.

Gjithçka është pak më e ndërlikuar: gjatë eksperimentit mund të ndodhë ose jo, për shembull, tërheqja e një asi nga një kuvertë letrash pasi të keni bërë jo më shumë se tre përpjekje. Ju mund të merrni rezultatin ose në provën e parë ose aspak. Është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje që e studion shkenca.

Probabiliteti

Ky është, në një kuptim të përgjithshëm, një vlerësim i mundësisë së një rezultati të suksesshëm të një përvoje në të cilën ndodh një ngjarje. Probabiliteti vlerësohet në nivel cilësor, veçanërisht nëse vlerësimi sasior është i pamundur ose i vështirë. Një problem në teorinë e probabilitetit me një zgjidhje, ose më saktë me një vlerësim, përfshin gjetjen e asaj pjese shumë të mundshme të një rezultati të suksesshëm. Probabiliteti në matematikë është karakteristika numerike e një ngjarjeje. Merr vlera nga zero në një, të shënuara me shkronjën P. Nëse P është e barabartë me zero, atëherë ngjarja nuk mund të ndodhë nëse është një, atëherë ngjarja do të ndodhë me një probabilitet qind për qind; Sa më shumë që P i afrohet një, aq më e madhe është probabiliteti i një rezultati të suksesshëm dhe anasjelltas, nëse është afër zeros, atëherë ngjarja do të ndodhë me probabilitet të ulët.

Shkurtesat

Problemi i probabilitetit me të cilin do të përballeni së shpejti mund të përmbajë shkurtesat e mëposhtme:

P dhe P(X);
A, B, C, etj;

Disa të tjera janë gjithashtu të mundshme: do të bëhen shpjegime shtesë sipas nevojës. Ne sugjerojmë, së pari, të sqarojmë shkurtesat e paraqitura më sipër. I pari në listën tonë është faktorial. Për ta bërë të qartë, japim shembuj: 5!=1*2*3*4*5 ose 3!=1*2*3. Më pas, grupet e dhëna shkruhen në kllapa kaçurrelë, për shembull: (1;2;3;4;..;n) ose (10;140;400;562). Shënimi i mëposhtëm është grupi i numrave natyrorë, i cili gjendet mjaft shpesh në detyrat e teorisë së probabilitetit. Siç u përmend më herët, P është një probabilitet, dhe P(X) është probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje X. Shkronjat e mëdha të alfabetit latin tregojnë ngjarje, për shembull: A - u kap një top i bardhë, B - blu, C - e kuqe ose, përkatësisht, . Shkronja e vogël n është numri i të gjitha rezultateve të mundshme, dhe m është numri i atyre të suksesshme. Prej këtu marrim rregullin për gjetjen e probabilitetit klasik në problemat elementare: P = m/n. Teoria e probabilitetit "për dummies" është ndoshta e kufizuar në këtë njohuri. Tani, për t'u konsoliduar, le të kalojmë te zgjidhja.

Problemi 1. Kombinatorika

Grupi studentor përbëhet nga tridhjetë persona, nga të cilët duhet të zgjidhet një drejtues, zëvendësi i tij dhe një drejtues sindikal. Është e nevojshme të gjesh numrin e mënyrave për ta bërë këtë veprim. Një detyrë e ngjashme mund të shfaqet në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Teoria e probabilitetit, zgjidhja e problemeve të së cilës po shqyrtojmë tani, mund të përfshijë probleme nga kursi i kombinatorikës, gjetja e probabilitetit klasik, probabilitetit gjeometrik dhe problemeve në formulat bazë. Në këtë shembull, ne po zgjidhim një detyrë nga një kurs i kombinatorikës. Le të kalojmë tek zgjidhja. Kjo detyrë është më e thjeshta:

n1=30 - prefektë të mundshëm të grupit të studentëve;
n2=29 - ata që mund të marrin postin e deputetit;
Për pozicionin sindikalist aplikojnë n3=28 persona.

Gjithçka që duhet të bëjmë është të gjejmë numrin e mundshëm të opsioneve, domethënë të shumëzojmë të gjithë treguesit. Si rezultat, marrim: 30*29*28=24360.

Kjo do të jetë përgjigja e pyetjes së shtruar.

Problemi 2. Rirregullimi

Janë 6 pjesëmarrës që flasin në konferencë, radha përcaktohet me short. Ne duhet të gjejmë numrin e opsioneve të mundshme të tërheqjes. Në këtë shembull, ne po shqyrtojmë një ndërrim të gjashtë elementeve, domethënë duhet të gjejmë 6!

Në paragrafin e shkurtesave, ne kemi përmendur tashmë se çfarë është dhe si llogaritet. Në total, rezulton se ka 720 opsione vizatimi. Në pamje të parë, një detyrë e vështirë ka një zgjidhje shumë të shkurtër dhe të thjeshtë. Këto janë detyrat që merr në konsideratë teoria e probabilitetit. Ne do të shikojmë se si të zgjidhim problemet e nivelit më të lartë në shembujt e mëposhtëm.

Problemi 3

Një grup prej njëzet e pesë studentësh duhet të ndahet në tre nëngrupe me gjashtë, nëntë dhe dhjetë persona. Kemi: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Mbetet për të zëvendësuar vlerat në formulën e kërkuar, marrim: N25(6,9,10). Pas llogaritjeve të thjeshta, marrim përgjigjen - 16,360,143,800 Nëse detyra nuk thotë se është e nevojshme të merret një zgjidhje numerike, atëherë ajo mund të jepet në formën e faktorëve.

Problemi 4

Tre persona morën me mend numrat nga një në dhjetë. Gjeni probabilitetin që numrat e dikujt të përputhen. Së pari duhet të zbulojmë numrin e të gjitha rezultateve - në rastin tonë është një mijë, domethënë dhjetë në fuqinë e tretë. Tani le të gjejmë numrin e opsioneve kur të gjithë kanë hamendësuar numra të ndryshëm, për ta bërë këtë shumëzojmë dhjetë, nëntë dhe tetë. Nga erdhën këto shifra? I pari merr me mend një numër, ai ka dhjetë opsione, i dyti tashmë ka nëntë dhe i treti duhet të zgjedhë nga tetë të mbetura, kështu që marrim 720 opsione të mundshme. Siç kemi llogaritur tashmë më herët, ka gjithsej 1000 opsione, dhe pa përsëritje janë 720, prandaj, ne jemi të interesuar për 280 të mbetura. Tani na duhet një formulë për të gjetur probabilitetin klasik: P = . Morëm përgjigjen: 0.28.

PREZANTIMI

Shumë gjëra janë të pakuptueshme për ne jo sepse konceptet tona janë të dobëta;
por për shkak se këto gjëra nuk përfshihen në gamën e koncepteve tona.
Kozma Prutkov

Qëllimi kryesor i studimit të matematikës në institucionet arsimore të mesme të specializuara është t'u japë studentëve një grup njohurish dhe aftësish matematikore të nevojshme për të studiuar disiplina të tjera programore që përdorin matematikën në një shkallë ose në një tjetër, për aftësinë për të kryer llogaritjet praktike, për formimin dhe zhvillimin të të menduarit logjik.

Në këtë punë, të gjitha konceptet themelore të seksionit të matematikës "Bazat e teorisë së probabilitetit dhe statistikave matematikore", të parashikuara nga programi dhe Standardet Arsimore Shtetërore të Arsimit të Mesëm Profesional (Ministria e Arsimit e Federatës Ruse. M., 2002 ), prezantohen vazhdimisht, formulohen teoremat kryesore, shumica e të cilave nuk janë të vërtetuara. Shqyrtohen problemet dhe metodat kryesore për zgjidhjen e tyre dhe teknologjitë për zbatimin e këtyre metodave për zgjidhjen e problemeve praktike. Prezantimi shoqërohet me komente të hollësishme dhe shembuj të shumtë.

Udhëzimet metodologjike mund të përdoren për njohjen fillestare me materialin që studiohet, kur mbani shënime për leksionet, për t'u përgatitur për klasa praktike, për të konsoliduar njohuritë, aftësitë dhe aftësitë e fituara. Përveç kësaj, manuali do të jetë gjithashtu i dobishëm për studentët e diplomuar si një mjet referimi, duke i lejuar ata të kujtojnë shpejt atë që është studiuar më parë.

Në fund të punës jepen shembuj dhe detyra që nxënësit mund të kryejnë në modalitetin e vetëkontrollit.

Udhëzimet janë të destinuara për studentët me kohë të pjesshme dhe me kohë të plotë.

KONCEPTET THEMELORE

Teoria e probabilitetit studion modelet objektive të ngjarjeve të rastësishme masive. Është baza teorike për statistikat matematikore, e cila merret me zhvillimin e metodave për mbledhjen, përshkrimin dhe përpunimin e rezultateve të vëzhgimit. Nëpërmjet vëzhgimeve (testeve, eksperimenteve), d.m.th. përvoja në kuptimin e gjerë të fjalës, ndodh njohja e dukurive të botës reale.

Në aktivitetet tona praktike, shpesh ndeshemi me dukuri, rezultati i të cilave nuk mund të parashikohet, rezultati i të cilave varet nga rastësia.

Një fenomen i rastësishëm mund të karakterizohet nga raporti i numrit të dukurive të tij me numrin e provave në secilën prej të cilave, në të njëjtat kushte të të gjitha sprovave, mund të ndodhte ose të mos ndodhte.

Teoria e probabilitetit është një degë e matematikës në të cilën studiohen dukuritë (ngjarjet) e rastësishme dhe identifikohen modelet kur ato përsëriten në masë.

Statistikat matematikore janë një degë e matematikës, lënda e së cilës është studimi i metodave për mbledhjen, sistemimin, përpunimin dhe përdorimin e të dhënave statistikore për të marrë përfundime të bazuara shkencërisht dhe për të marrë vendime.

Në këtë rast, të dhënat statistikore kuptohen si një grup numrash që përfaqësojnë karakteristikat sasiore të karakteristikave të objekteve në studim që na interesojnë. Të dhënat statistikore janë marrë si rezultat i eksperimenteve dhe vëzhgimeve të krijuara posaçërisht.

Të dhënat statistikore në thelb varen nga shumë faktorë të rastësishëm, prandaj statistikat matematikore janë të lidhura ngushtë me teorinë e probabilitetit, e cila është baza teorike e saj.

I. PROBABILITETI. TEOREMA E MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT TË PROBABILITETEVE

1.1. Konceptet themelore të kombinatorikës

Në degën e matematikës, e cila quhet kombinatorikë, zgjidhen disa probleme që lidhen me shqyrtimin e bashkësive dhe përbërjen e kombinimeve të ndryshme të elementeve të këtyre bashkësive. Për shembull, nëse marrim 10 numra të ndryshëm 0, 1, 2, 3,: , 9 dhe bëjmë kombinime të tyre, do të marrim numra të ndryshëm, për shembull 143, 431, 5671, 1207, 43, etj.

Ne shohim se disa nga këto kombinime ndryshojnë vetëm në rendin e shifrave (për shembull, 143 dhe 431), të tjerët - në shifrat e përfshira në to (për shembull, 5671 dhe 1207), dhe të tjerët gjithashtu ndryshojnë në numrin e shifrave (për shembull, 143 dhe 43).

Kështu, kombinimet që rezultojnë plotësojnë kushte të ndryshme.

Në varësi të rregullave të përbërjes, mund të dallohen tre lloje kombinimesh: permutacione, vendosje, kombinime.

Le të njihemi së pari me konceptin faktorial.

Quhet prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n n-faktorial dhe shkruani.

Njehsoni: a) ; b) ; V) .

Zgjidhje. A) .

b) Meqenëse , atëherë mund ta vendosim jashtë kllapave

Pastaj marrim

V) .

Rirregullimet.

Një kombinim i n elementeve që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në renditjen e elementeve quhet ndërrim.

Permutacionet tregohen nga simboli P n , ku n është numri i elementeve të përfshirë në çdo ndërrim. ( R- shkronja e parë e një fjale franceze ndërrim- rirregullim).

Numri i permutacioneve mund të llogaritet duke përdorur formulën

ose duke përdorur faktorial:

Le ta kujtojmë atë 0!=1 dhe 1!=1.

Shembulli 2. Në sa mënyra mund të vendosen gjashtë libra të ndryshëm në një raft?

Zgjidhje. Numri i kërkuar i mënyrave është i barabartë me numrin e permutacioneve të 6 elementeve, d.m.th.

Vendosjet.

Postimet nga m elementet në n në secilën quhen komponime të tilla që ndryshojnë nga njëri-tjetri ose nga vetë elementët (të paktën një), ose nga radha e renditjes së tyre.

Vendosjet tregohen me simbolin, ku m- numri i të gjithë elementëve të disponueshëm, n- numri i elementeve në çdo kombinim. ( A- shkronja e parë e një fjale franceze marrëveshje, që do të thotë "vendosje, vënie në rregull").

Në të njëjtën kohë, besohet se nm.

Numri i vendosjeve mund të llogaritet duke përdorur formulën

ato. numri i të gjitha vendosjeve të mundshme nga m elementet nga n barazohet me produktin n numra të plotë të njëpasnjëshëm, nga të cilët më i madhi është m.

Le ta shkruajmë këtë formulë në formë faktoriale:

Shembulli 3. Sa opsione për shpërndarjen e tre kuponave në sanatoriume të profileve të ndryshme mund të përpilohen për pesë aplikantë?

Zgjidhje. Numri i kërkuar i opsioneve është i barabartë me numrin e vendosjeve të 5 elementeve të 3 elementeve, d.m.th.

Kombinimet.

Kombinimet janë të gjitha kombinimet e mundshme të m elementet nga n, të cilat ndryshojnë nga njëra-tjetra për të paktën një element (këtu m Dhe n- numrat natyrorë dhe n m).

Numri i kombinimeve të m elementet nga n shenohen me ( ME- shkronja e parë e një fjale franceze kombinim- kombinim).

Në përgjithësi, numri i m elementet nga n e barabartë me numrin e vendosjeve nga m elementet nga n, pjesëtuar me numrin e permutacioneve nga n elementet:

Duke përdorur formulat faktoriale për numrat e vendosjeve dhe permutacioneve, marrim:

Shembulli 4. Në një ekip prej 25 personash, ju duhet të ndani katër për të punuar në një zonë të caktuar. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Meqenëse rendi i katër personave të zgjedhur nuk ka rëndësi, ka mënyra për ta bërë këtë.

Ne gjejmë duke përdorur formulën e parë

Përveç kësaj, gjatë zgjidhjes së problemeve, përdoren formulat e mëposhtme, duke shprehur vetitë themelore të kombinimeve:

(sipas përkufizimit ata supozojnë dhe);

1.2. Zgjidhja e problemeve të kombinuara

Detyra 1. Në fakultet studiohen 16 lëndë. Ju duhet të vendosni 3 lëndë në programin tuaj për të hënën. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Ka po aq mënyra për të planifikuar tre artikuj nga 16 sa mund të organizoni vendosjen e 16 artikujve me 3.

Detyra 2. Nga 15 objekte, ju duhet të zgjidhni 10 objekte. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Detyra 3. Në garë morën pjesë katër skuadra. Sa opsione për shpërndarjen e vendeve ndërmjet tyre janë të mundshme?

Problemi 4. Në sa mënyra mund të formohet një patrullë prej tre ushtarësh dhe një oficeri nëse ka 80 ushtarë dhe 3 oficerë?

Zgjidhje. Ju mund të zgjidhni një ushtar në patrullë

mënyra, dhe oficerët në mënyra. Meqenëse çdo oficer mund të shkojë me çdo ekip ushtarësh, ka vetëm kaq shumë mënyra.

Detyra 5. Gjeni , nëse dihet se .

Që , ne marrim

Nga përkufizimi i një kombinimi rrjedh se , . Se. .

1.3. Koncepti i një ngjarjeje të rastësishme. Llojet e ngjarjeve. Probabiliteti i ngjarjes

Çdo veprim, fenomen, vëzhgim me disa rezultate të ndryshme, i realizuar në një grup të caktuar kushtesh, do të quhet provë.

Rezultati i këtij veprimi ose vëzhgimi quhet ngjarje .

Nëse një ngjarje në kushte të caktuara mund ose nuk mund të ndodhë, atëherë quhet e rastit . Kur një ngjarje është e sigurt se do të ndodhë, ajo quhet të besueshme , dhe në rastin kur padyshim nuk mund të ndodhë, - e pamundur.

Ngjarjet quhen të papajtueshme , nëse vetëm njëri prej tyre është i mundur të shfaqet çdo herë.

Ngjarjet quhen të përbashkët , nëse, në kushte të dhëna, ndodhja e njërës prej këtyre ngjarjeve nuk përjashton ndodhjen e një tjetri gjatë të njëjtit test.

Ngjarjet quhen e kundërt , nëse në kushtet e testimit ato, duke qenë rezultatet e vetme të tij, janë të papajtueshme.

Ngjarjet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin: A, B, C, D, : .

Një sistem i plotë ngjarjesh A 1 , A 2 , A 3 , : , A n është një grup ngjarjesh të papajtueshme, shfaqja e të paktën njërës prej të cilave është e detyrueshme gjatë një testi të caktuar.

Nëse një sistem i plotë përbëhet nga dy ngjarje të papajtueshme, atëherë ngjarje të tilla quhen të kundërta dhe caktohen A dhe .

Shembull. Kutia përmban 30 topa të numëruar. Përcaktoni se cilat nga ngjarjet e mëposhtme janë të pamundura, të besueshme ose të kundërta:

nxori një top të numëruar (A);

mori një top me numër çift (NË);

mori një top me një numër tek (ME);

mori një top pa numër (D).

Cili prej tyre përbën një grup të plotë?

Zgjidhje . A- ngjarje e besueshme; D- ngjarje e pamundur;

Në dhe ME- ngjarje të kundërta.

Grupi i plotë i ngjarjeve përbëhet nga A Dhe D, V Dhe ME.

Probabiliteti i një ngjarjeje konsiderohet si masë e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje të rastësishme.

1.4. Përkufizimi klasik i probabilitetit

Një numër që shpreh masën e mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarje quhet probabiliteti kjo ngjarje dhe tregohet me simbolin R(A).

Përkufizimi. Probabiliteti i ngjarjes Aështë raporti i numrit të rezultateve m që favorizojnë ndodhjen e një ngjarjeje të caktuar A, në numrin n të gjitha rezultatet (jo konsistente, vetëm të mundshme dhe po aq të mundshme), d.m.th. .

Prandaj, për të gjetur probabilitetin e një ngjarjeje, është e nevojshme, duke marrë parasysh rezultatet e ndryshme të testit, të llogariten të gjitha rezultatet e mundshme të paqëndrueshme n, zgjidhni numrin e rezultateve m që na interesojnë dhe llogarisni raportin m te n.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga ky përkufizim:

Probabiliteti i çdo testi është një numër jo negativ që nuk e kalon një.

Në të vërtetë, numri m i ngjarjeve të kërkuara është brenda . Duke i ndarë të dyja pjesët në n, marrim

2. Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një, sepse .

3. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero, pasi .

Problemi 1. Në një short me 1000 bileta, janë 200 fituese. Një biletë nxirret në mënyrë të rastësishme. Sa është probabiliteti që kjo biletë të jetë fituese?

Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i rezultateve të ndryshme është n= 1000. Numri i rezultateve të favorshme për të fituar është m=200. Sipas formulës, marrim

Problemi 2. Në një grup prej 18 pjesësh ka 4 të dëmtuara. 5 pjesë zgjidhen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që dy nga këto 5 pjesë të jenë me defekt.

Zgjidhje. Numri i të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme n e barabartë me numrin e kombinimeve 18 me 5 d.m.th.

Le të numërojmë numrin m që favorizon ngjarjen A. Ndër 5 pjesët e marra në mënyrë të rastësishme, duhet të jenë 3 të mira dhe 2 me të meta. Numri i mënyrave për të zgjedhur dy pjesë me defekt nga 4 defekte ekzistuese është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 2:

Numri i mënyrave për të zgjedhur tre pjesë cilësore nga 14 pjesë cilësore të disponueshme është i barabartë me

Çdo grup pjesësh të mira mund të kombinohet me çdo grup pjesësh me defekt, pra numri i përgjithshëm i kombinimeve m arrin në

Probabiliteti i kërkuar i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve m të favorshme për këtë ngjarje me numrin n të të gjitha rezultateve të pavarura po aq të mundshme:

Shuma e një numri të kufizuar ngjarjesh është një ngjarje që përbëhet nga ndodhja e të paktën një prej tyre.

Shuma e dy ngjarjeve shënohet me simbolin A+B dhe me shumën n ngjarje me simbolin A 1 +A 2 + : +A n.

Teorema e shtimit të probabilitetit.

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Përfundim 1. Nëse ngjarja A 1, A 2, :,A n formojnë një sistem të plotë, atëherë shuma e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve është e barabartë me një.

Përfundim 2. Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta dhe është e barabartë me një.

Problemi 1. Janë 100 bileta lotarie. Dihet që 5 bileta fitojnë 20,000 rubla secila, 10 bileta fitojnë 15,000 rubla, 15 bileta fitojnë 10,000 rubla, 25 bileta fitojnë 2,000 rubla. dhe asgjë për pjesën tjetër. Gjeni probabilitetin që bileta e blerë të marrë një fitim prej të paktën 10,000 rubla.

Zgjidhje. Le të jenë A, B dhe C ngjarje që konsistojnë në faktin se bileta e blerë merr një fitim të barabartë me përkatësisht 20,000, 15,000 dhe 10,000 rubla. meqenëse ngjarjet A, B dhe C janë të papajtueshme, atëherë

Detyra 2. Departamenti i korrespondencës së një shkolle teknike merr teste në matematikë nga qytetet A, B Dhe ME. Mundësia për të marrë një fletë testimi nga qyteti A barabartë me 0.6, nga qyteti NË- 0.1. Gjeni probabilitetin që testi tjetër të vijë nga qyteti ME.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve