Rregullat themelore matematikore. Të gjitha formulat në matematikë

Kjo faqe përmban të gjitha formulat e nevojshme për kalimin e testeve dhe punës së pavarur, provimet në algjebër, gjeometri, trigonometri, stereometri dhe fusha të tjera të matematikës.

Këtu mund të shkarkoni ose shikoni në internet të gjitha formulat bazë trigonometrike, formulën për sipërfaqen e një rrethi, formulat e shkurtuara të shumëzimit, formulat për perimetrin, formulat e reduktimit dhe shumë të tjera.

Ju gjithashtu mund të printoni koleksionet e nevojshme të formulave matematikore.

Suksese në studimet tuaja!

Formulat aritmetike:

Formulat e algjebrës:

Formulat gjeometrike:

Formulat aritmetike:

Ligjet e veprimeve mbi numrat

Ligji komutativ i shtimit: a + b = b + a.

Ligji i kombinuar i shtimit: (a + b) + c = a + (b + c).

Ligji i shumëzimit komutativ: ab = ba.

Ligji i kombinimit të shumëzimit: (ab)c = a(bc).

Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me mbledhjen: (a + b)c = ac + bc.

Ligji shpërndarës i shumëzimit në lidhje me zbritjen: (a - b)c = ac - bc.

Disa shënime dhe shkurtesa matematikore:

Shenjat e pjesëtueshmërisë

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "2"

Quhet një numër i pjesëtueshëm me "2" pa mbetje madje, jo i zbërthyeshëm - i çuditshëm. Një numër pjesëtohet me "2" pa mbetje nëse shifra e fundit e tij është çift (2, 4, 6, 8) ose zero.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "4"

Një numër pjesëtohet me "4" pa mbetje nëse dy shifrat e tij të fundit janë zero ose nëse shuma mblidhet në një numër të pjesëtueshëm me "4" pa mbetje.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "8"

Një numër pjesëtohet me "8" pa mbetje nëse tre shifrat e tij të fundit janë zero ose nëse shumat totale formojnë një numër të pjesëtueshëm me "8" pa mbetje. (shembull: 1000 është tre shifrat e fundit “00”, dhe pjesëtimi i 1000 me 8 jep 125; 104 - dy shifrat e fundit të "12" ndahen me 4, dhe pjesëtimi i 112 me 4 rezulton në 28; etj.)

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "3" dhe "9"

Vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve pjesëtohet me “3” pa mbetje, pjesëtohen me “3”; me "9" - vetëm ata, shuma e shifrave të të cilëve është e pjesëtueshme me "9" pa mbetje

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "5"

Numrat, shifra e fundit e të cilëve është "0" ose "5" pjesëtohen pa mbetje me "5".

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "25"

Numrat pjesëtohen pa mbetje me "25", dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero ose shuma e të cilëve formon një numër të plotpjesëtueshëm pa mbetje me "25" (d.m.th. numrat që mbarojnë me "00", "25", "50 ”, “75” »

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "10", "100" dhe "1000"

Pa mbetje, vetëm ata numra, shifra e fundit e të cilëve është zero, pjesëtohen me "10", vetëm ata numra, dy shifrat e fundit të të cilëve janë zero, pjesëtohen me "100", dhe vetëm ata numra, tre shifrat e fundit të të cilëve janë zero, pjesëtohen me "1000". “.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me "11"

Vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve që zënë vende tek është ose e barabartë me shumën e shifrave që zënë vende çift ose ndryshon prej saj me një numër të pjesëtueshëm me "11", pjesëtohen me "11" pa mbetje.

Vlera absolute - formula (moduli)

|a| ? 0, dhe |a| = 0 vetëm nëse a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, po b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Formulat Veprimet me thyesa

Formula për shndërrimin e një thyese dhjetore përfundimtare në një thyesë racionale është:

proporcionet

Formohen dy raporte të barabarta proporcioni:

Vetia themelore e proporcionit

Gjetja e termave të një proporcioni

proporcionet, ekuivalente përmasat : Derivat proporcioni- pasojë e kësaj përmasat si

Vlerat mesatare

Mesatare

Dy madhësi: n sasitë:

Mesatarja gjeometrike (mesatarja proporcionale)

Dy madhësi: n sasitë:

Sheshi mesatar

Dy madhësi: n sasitë:

Mesatarja harmonike

Dy madhësi: n sasitë:

Disa seri me numra të fundëm

Vetitë e mosbarazimeve numerike

1) Nëse a< b , pastaj për ndonjë c: a + c< b + с .

2) Nëse a< b Dhe c > 0, Kjo ac< bс .

3) Nëse a< b Dhe c< 0 , Kjo ac > bс.

4) Nëse a< b , a Dhe b atëherë një shenjë 1/a > 1/b.

5) Nëse a< b Dhe c< d , Kjo a + c< b + d , a - d< b — c .

6) Nëse a< b , c< d , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, Kjo ac< bd .

7) Nëse a< b , a > 0, b > 0, Kjo

8) Nëse , atëherë

• Formulat e progresit:

• 

• Derivat

• Logaritmet:
• Koordinatat dhe vektorët

  1. Distanca ndërmjet pikave A1(x1;y1) dhe A2(x2;y2) gjendet me formulën:

  2. Koordinatat (x;y) të mesit të segmentit me skajet A1(x1;y1) dhe A2(x2;y2) gjenden duke përdorur formulat:

  

  3. Ekuacioni i drejtëzës me koeficient këndor dhe ordinatë fillestare ka formën:

  Koeficienti këndor k është vlera e tangjentes së këndit të formuar nga një drejtëz me drejtim pozitiv të boshtit Ox, dhe ordinata fillestare q është vlera e ordinatës së pikës së prerjes së drejtëzës me boshtin Oy.

  4. Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës ka formën: sëpatë + me + c = 0.

  5. Ekuacionet e drejtëzave përkatësisht paralele me boshtet Oy dhe Ox kanë formën:

  Ax + nga + c = 0.

  6. Kushtet për paralelizëm dhe pingulitet të drejtëzave përkatësisht y1=kx1+q1 dhe y2=kx2+q2 kanë formën:

  

  7. Ekuacionet e rrathëve me rreze R dhe qendër përkatësisht në pikat O(0;0) dhe C(xo;yo) kanë formën:

  8. Ekuacioni:

  është ekuacioni i një parabole me kulmin e saj në pikën e së cilës është abshisa

• Sistemi koordinativ kartezian drejtkëndor në hapësirë

  1. Distanca ndërmjet pikave A1(x1;y1;z1) dhe A2(x2;y2;z2) gjendet me formulën:

  2. Koordinatat (x;y;z) të mesit të segmentit me skajet A1(x1;y1;z1) dhe A2(x2;y2;z2) gjenden duke përdorur formulat:

  3. Moduli i vektorit i dhënë nga koordinatat e tij gjendet me formulën:

  

  4. Me rastin e mbledhjes së vektorëve, shtohen koordinatat e tyre përkatëse dhe kur një vektor shumëzohet me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen me këtë numër, d.m.th. formulat e mëposhtme janë të vlefshme:

  5. Vektori njësi bashkëdrejtues me vektorin gjendet me formulën:

  6. Prodhimi skalar i vektorëve është numri:

  

  ku është këndi ndërmjet vektorëve.

  7. Prodhimi pikash i vektorëve

  

  8. Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve dhe gjendet me formulën:

  9. Kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm për pingulitetin e vektorëve dhe ka formën:

  10. Ekuacioni i përgjithshëm i një rrafshi pingul me një vektor ka formën:

  Ax + nga + cz + d = 0.

  11. Ekuacioni i një rrafshi pingul me vektorin dhe që kalon në pikën (xo;yo;zo) ka formën:

  A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. Ekuacioni i sferës me qendër O(0;0;0) shkruhet në formë.

Koka ime po rrotullohet me kaq shumë formula matematikore që duhet të di. Mbushja dhe fletët e mashtrimit janë për të dobëtit. Por për ata që duan të bëhen më të fortë në matematikë, ne do t'ju japim disa këshilla se si të mësoni përmendësh formulat në matematikë, në mënyrë që ato të mos ju zhduken nga koka përpara një testi, provimi ose CT.

Kuptoni formulën

Nëse mësoni vetëm një sekuencë variablash, rrezikoni të "humbni" të gjithë formulën kur harroni një simbol ose shenjë.

Përdorni të gjitha llojet e memories

Lexoni formulat me zë të lartë, shkruani në një copë letër disa herë derisa t'i mbani mend. Përdorni të gjitha llojet e memories, duke u fokusuar në atë kryesore. Kujtesa vizuale dhe motorike së bashku japin efekt më të madh. Sigurisht, potenciali i të gjithëve për memorizimin është i ndryshëm. Ka teknika të veçanta që ndihmojnë .

Këtu janë disa këshilla të tjera se si të mbani mend formulat

Sigurohuni që formulat t'i bëni vizuale: rrethoni formulën në një kornizë, shkruani me një ngjyrë të ndryshme. Kjo do ta bëjë më të lehtë gjetjen dhe kujtesën në shënimet tuaja. Është më mirë të shkruani formulat në një fletore të veçantë, duke i strukturuar ato sipas temës. Vini re në çfarë lloj problemesh kjo apo ajo formulë është e dobishme, cila është veçantia e saj. Bëhuni zakon të shtoni në listën tuaj të formulave. Një "ditar vëzhgimi i formulës" i tillë do t'ju ndihmojë të rifreskoni kujtesën tuaj për informacione të rëndësishme përpara një testi, provimi ose CT në matematikë.

Shumë nxënës e bëjnë këtë: kur shpërndajnë skica të stampuara, ju merrni dhe shkruani menjëherë mbi to formula të rëndësishme që janë të vështira për ju. Gjysmë ore para CT, ju i memorizonit vizualisht këto formula dhe më pas i shkruani shpejt. Kjo kursen kohë. Ky hack jetësor është veçanërisht i mirë për trigonometrinë. Sa më shumë formula të dini, aq më mirë.

Kontrolloni veten

Ju duhet t'i ktheheni vazhdimisht materialit që keni mësuar për të mos e harruar. Provoni metodën "Dy letra", është e përshtatshme për të memorizuar formulat e reduktimit, shumëzimin e shkurtuar dhe formulat trigonometrike. Merrni dy pirgje letrash me ngjyra të ndryshme, shkruani anën e majtë të formulës në njërën dhe anën e djathtë në anën tjetër. Ndani të gjitha formulat që duhet të mbani mend në këtë mënyrë, më pas përzieni të dy grumbujt. Tërhiqeni kartën me anën e majtë të formulës në rend dhe zgjidhni vazhdimin e saj nga "e djathta" dhe anasjelltas.

Kartat janë gjithashtu të mira në gjeometri

Për të mësuar përmendësh formulat e gjeometrisë, merrni vetes karta për tema ("Formulat e zonës", "Formulat për një trekëndësh", "Formulat për një katror", etj.) dhe shkruani informacionin mbi to si më poshtë.

Ju mund t'i regjistroni formulat në një fletore të veçantë dhe t'i keni gjithmonë në dorë - sa më të përshtatshme për ju

Behu pozitiv

Nëse mëson diçka nën presion, vetë truri dëshiron të heqë qafe barrën e dijes. Mendoni për memorizimin e formulave si një ushtrim i mirë për trajnimin e kujtesës. Dhe humori juaj ngrihet kur kujtoni formulën e nevojshme për zgjidhjen.Dhe sigurisht, zgjidhni sa më shumë teste dhe probleme për t'u përgatitur për një test, provim ose CT!

CT-të në matematikë janë probleme tipike: sa më shumë teste të zgjidhni, aq më e lartë është mundësia për të hasur diçka të ngjashme me CT-të. Është e pamundur të përgatitesh për CT bazuar në një detyrë. Por kur keni zgjidhur 100 probleme, atëherë 101 probleme nuk do të shkaktojnë asnjë vështirësi.

Dmitry Sudnik, mësues i matematikës në

Nëse materiali ishte i dobishëm për ju, mos harroni ta "pëlqeni" atë në rrjetet tona sociale

Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse dëshironi të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!

Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe këto janë më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student 100 pikësh dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.

E gjithë teoria e nevojshme. Zgjidhje të shpejta, gracka dhe sekrete të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.

Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.

Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Kuptimi në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Kërkoni manualin e inxhinierisë DPVA. Shkruani kërkesën tuaj:

Informacion shtesë nga Manuali i Inxhinierisë DPVA, përkatësisht nënseksione të tjera të këtij seksioni:

Ju jeni këtu tani: Fletë mashtrimi për matematikë, algjebër dhe gjeometri

Tabela e mbledhjes nga 1 në 10. Tabela e mbledhjes deri në 20. Tabela e mbledhjes brenda 10.

Tabela e zbritjes nga 1 në 10. Tabela e zbritjes deri në 20. Tabela e zbritjes deri në dhjetë.

Njësitë (matjet) e gjatësisë cm-dm-m, njësitë e sipërfaqes cm 2 -dm 2. Përafërsisht klasa e 3-të (8-9 vjeç).

Aksionet dhe thyesat. Veprimet aritmetike me thyesa. Reduktimi i një fraksioni. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave me numra natyrorë. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave. Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.

Varësia ndërmjet sasive: shpejtësi-kohë-distanca, çmim-sasi-kosto, punë-produktivitet-kohë. Masat e gjatësisë. Masat e sipërfaqes. Masat e vëllimit. Masat e masës. Përafërsisht klasa e 5-të (9-10 vjeç)

Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm. Reduktimi i thyesave në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët. Përafërsisht klasa e 6-të (11-12 vjeç)

Shumëzimi i thyesave dhe i numrave të përzier. Pjesëtimi i thyesave dhe numrave të përzier. Përafërsisht klasa e 6-të (11-12 vjeç)

Thyesat dhe përqindjet bazë. Thyesë/dhjetore/përqindje. Mirë për të kujtuar. Përafërsisht klasa e 6-të (11-12 vjeç)

Intervalet numerike. Intervalet në një vijë numërore (koordinative). Imazhi gjeometrik. Emërtimi. Regjistrimi duke përdorur pabarazitë. Përafërsisht klasa e 6-të (11-12 vjeç).

Ligjet e mbledhjes dhe shumëzimit. Ligjet komutative, asociative dhe distributive. Ato janë: ligjet komutative, asociative dhe distributive. Përafërsisht klasa e 5-të (10-11 vjeç)

N natyrore, numër i plotë Z, racional Q, real R, irracional I. Veprime aritmetike me thyesa (mbledhje, zvogëlim, zbritje, shumëzim). Vlera absolute e një numri. Karakteristikat e modulit.

Bashkësia e numrave natyrorë - N, bashkësia e numrave të plotë Z, bashkësia e numrave racionalë Q, bashkësia e numrave irracionalë, bashkësia e numrave real = real R. Koncepte dhe shënime, rusisht dhe anglisht = qasje ndërkombëtare. Emërtimet

Llojet dhe llojet e këndeve. Këndi akut, i mpirë, i drejtë. Kënde vertikale. Këndet ngjitur. Përafërsisht klasa 5-9 (10-14 vjeç)

Transformimet e formës. Transferimi paralel. Kthehuni. Shndërrimet e simetrisë në lidhje me një pikë dhe një drejtëz. Homoteiteti. Ngjashmëria. Përafërsisht klasa 5-9 (10-14 vjeç)

Pjesëtueshmëria e numrave. Të shumëfishta. Ndarëse. NOC. GCD. Numrat e thjeshtë. Numrat e përbërë. Numrat reciprokisht të thjeshtë. Shenjat e pjesëtueshmërisë.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 pa mbetje. + Shenjat e pjesëtueshmërisë me 11,13,25,36.

Sekuencat numerike, anëtarët, metodat e caktimit. Progresionet aritmetike dhe gjeometrike. Formulat për diferencën dhe emëruesin, formulat për termin e n-të. Formulat për shumën e n termave të parë. Vetitë karakteristike.

Vlera absolute e një numri. proporcionet. Karakteristikat e modulit. Vetitë e proporcionit. Përafërsisht klasa e 7-të (13 vjeç)

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCD) dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët (GCD) të numrave natyrorë. Përafërsisht klasa e 6-të (11-12 vjeç)

Vendndodhjet gjeometrike të pikave. Koncepti i vendndodhjes gjeometrike të pikave. Shembuj në rrafsh: Rreth, pingul mesatar, drejtëza, përgjysmues, harqe. Përafërsisht klasa 5-9 (10-14 vjeç)

Vija dhe kënde të drejta. Vetitë e vijave të drejta. Pozicioni relativ i vijave në një plan. Aksioma e paralelizmit dhe vetitë e drejtëzave paralele. pingul dhe i zhdrejtë. Llojet e këndeve, vetitë e këndeve, shenjat e paralelizmit të drejtëzave, Teorema e Talesit.

Vetitë e rrathëve. Linjat e drejta, segmentet dhe këndet e lidhura me një rreth. Pozicioni relativ i një rrethi dhe një drejtëze, një rrethi dhe një pikë, dy rrathë. Vetitë e këndeve të lidhura me një rreth. Raportet metrikë në një rreth

Rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar. Rrathët e rrethuar dhe të brendashkruar në një trekëndësh, katërkëndësh, romb, drejtkëndësh, katror, ​​trapez dhe shumëkëndësh të rregullt.

Koncepti i funksionit. Vetitë themelore të funksioneve. Shtrirja dhe kuptimi. Çift dhe tek. Periodiciteti, funksioni zero, intervalet e shenjës konstante, monotonia (rritje, ulje), ekstreme (maksimum, minimum), asimptota

Funksionet e fuqisë y=x n dhe y=x 1/n , n∈Z. Vetitë, grafika. Funksioni kuadratik. Vetitë e gradave. Vetitë e rrënjëve aritmetike. Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Shembuj të kuptimit të funksioneve të fuqisë.

Grafikët e funksioneve më të thjeshta - lineare, parabola, hiperbola, eksponenciale, eksponenciale, fuqi, logaritmike, sinus, kosinus, tangjentë, kotangjente të studiuara në shkollë. Përafërsisht klasa 7-9 (13-15 vjeç)

Funksioni kuadratik. Fusha e përkufizimit/vlerave. Pjesa e sipërme e grafikut të një funksioni. Zero. Vetitë e gradave. Shenjtorët e rrënjëve aritmetike. Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Pabarazi, koncepte, zgjidhje strikte, jo strikte. Vetitë e pabarazive. Zgjidhja e pabarazive lineare. Zgjidhja e pabarazive kuadratike. Metoda e intervalit për zgjidhjen e pabarazive.

Ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë. Algoritme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe pabarazive. Formulat për diskriminuesin dhe rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Teorema e Vietës. Përafërsisht klasa e 7-të (13 vjeç)

Vetitë e katërkëndëshave. Llojet e katërkëndëshave. Vetitë e katërkëndëshave arbitrare. Vetitë e një paralelogrami. Vetitë e një rombi. Vetitë e një drejtkëndëshi. Vetitë e një katrori. Vetitë e një trapezi. Përafërsisht klasa 7-9 (13-15 vjeç)

Sipërfaqja dhe vëllimi i trupave gjeometrikë. Prizma të drejta. Piramidat e sakta. Cilindra rrethore. Kone rrethore. Topi dhe pjesët e tij. Përafërsisht klasa e 8-të (14 vjeç)

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Diferenca e katrorëve, shuma e kubeve dhe diferenca e kubeve dhe diferenca e fuqive të katërta. Shuma në katror dhe diferenca në katror dhe shuma kubike dhe diferenca në kubi.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale. Zgjidhja e ekuacioneve logaritmike. Shembuj të vlerave të funksioneve logaritmike dhe eksponenciale.

Zgjidhja e pabarazive eksponenciale. Zgjidhja e pabarazive logaritmike. Zgjidhja e pabarazive irracionale. Zgjidhja e inekuacioneve me modul. Pabarazitë e përdorura shpesh.

Funksionet trigonometrike tangjente dhe kotangjente tg dhe ctg. Vetitë. Formulat themelore, formulat për argumente të shumëfishta dhe gjysmë, mbledhje, konvertim i një shume në një produkt, konvertim i një produkti në një shumë

Funksionet trigonometrike të anasjellta arcsix, arccos, arctg, arcctg. Vetitë. Ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Shembuj të vlerave të funksioneve trigonometrike të anasjellta

Formulat trigonometrike. Vetitë e funksioneve, identitetet bazë, shuma e këndeve. Shuma e funksioneve, formulat e reduktimit, rastet e veçanta, fuqitë, këndet gjysmë, dyfishtë dhe trefishtë. Funksionet e anasjellta.

Derivat i një funksioni. Koncepti i derivatit. Kuptimi gjeometrik i derivatit. Kuptimi fizik i derivatit. Rregullat e diferencimit. Derivat i një funksioni kompleks. Një kusht i mjaftueshëm për monotoninë e një funksioni. Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një ekstrem.

Integrimi i funksioneve. Koncepti dhe vetia kryesore e një antiderivati. Integrali i pacaktuar. Rregullat e integrimit. Integral i caktuar. Formula Njuton-Leibniz. Vetitë, kuptimi gjeometrik dhe fizik i një integrali të caktuar

Matematikani Henri Poincaré shkroi në librin e tij Shkenca dhe Metoda: “Nëse natyra nuk do të ishte e bukur, nuk do të ia vlente ta njihje, jeta nuk do të ia vlente të përjetohej. E kam fjalën këtu, natyrisht, jo për bukurinë që bie në sy... e kam fjalën për atë bukurinë më të thellë që shpaloset në harmoninë e pjesëve, të cilën e kupton vetëm mendja. Është ajo që krijon terrenin, krijon kornizën për lojën e ngjyrave të dukshme që përkëdhelin shqisat tona dhe pa këtë mbështetje bukuria e përshtypjeve kalimtare do të ishte e papërsosur, si çdo gjë e paqartë dhe kalimtare. Përkundrazi, bukuria intelektuale të jep kënaqësi në vetvete.”

P.A.M. Diraku shkroi: “Fizika teorike ka një tjetër rrugë të saktë zhvillimi që ligjet më themelore fizike përshkruhen nga një teori matematikore, aparati i së cilës ka fuqi dhe bukuri të jashtëzakonshme për të kuptuar këtë teori Një kualifikim jashtëzakonisht i lartë matematikor Ju mund të pyesni: pse natyra është e strukturuar në këtë mënyrë. Ka vetëm një përgjigje për këtë: sipas njohurive tona moderne, natyra është e strukturuar në këtë mënyrë.

Shtatë vjet më parë, fizikantja (dhe artistja) ukrainase Natalia Kondratyeva pyeti një numër të matematikanëve kryesorë në botë me pyetjen: "Cilat tre formula matematikore mendoni se janë më të bukurat?"
Në bisedën për bukurinë e formulave matematikore morën pjesë Sir Michael Atiyah dhe David Elvarsi nga Britania, Yakov Sinai dhe Alexander Kirillov nga SHBA, Friedrich Herzebruch dhe Yuri Manin nga Gjermania, David Ruel nga Franca, Anatoly Vershik dhe Robert Minlos nga Rusia dhe matematikanë të tjerë nga vende të ndryshme Midis ukrainasve, akademikët e NASU Vladimir Korolyuk dhe Anatoli Skorokhod morën pjesë në diskutim. Disa nga materialet e marra në këtë mënyrë formuan bazën për veprën shkencore "Tre formulat matematikore më të bukura" të botuar nga Natalya Kondratyeva.
— Cili ishte qëllimi juaj kur pyetët matematikanët për formula të bukura?
— Çdo shekull i ri sjell një rinovim të paradigmës shkencore. Në fillim të shekullit, me ndjenjën se po qëndronim në pragun e një shkence të re, rolin e saj të ri në jetën e shoqërisë njerëzore, iu drejtova matematikanëve me një pyetje për bukurinë e ideve pas simboleve matematikore. d.m.th. për bukurinë e formulave matematikore.
Tashmë mund të vëmë re disa veçori të shkencës së re. Nëse në shkencën e shekullit të njëzetë “miqësia” e matematikës me fizikën luajti një rol shumë të rëndësishëm, tani matematika bashkëpunon efektivisht me biologjinë, gjenetikën, sociologjinë, ekonominë... Për rrjedhojë, shkenca do të eksplorojë korrespondencat. Strukturat matematikore do të eksplorojnë korrespodencën midis ndërveprimeve të elementeve të zonave dhe rrafsheve të ndryshme. Dhe shumë nga ato që kemi marrë më parë besimin si thënie filozofike do të konfirmohen nga shkenca si njohuri konkrete.
Ky proces filloi tashmë në shekullin e njëzetë. Pra, Kolmogorov tregoi matematikisht se nuk ka asnjë shans, por ka një kompleksitet shumë të madh. Gjeometria fraktale konfirmoi parimin e unitetit në diversitet, etj.
— Cilat formula u quajtën më të bukurat?
- Unë do të them menjëherë se nuk kishte asnjë qëllim për të organizuar një konkurs për formula. Në letrën time drejtuar matematikanëve, kam shkruar: “Njerëzit që duan të kuptojnë se cilat ligje qeverisin botën, marrin rrugën për të gjetur harmoninë e botës. Kjo rrugë shkon deri në pafundësi (sepse lëvizja është e përjetshme), por njerëzit ende e ndjekin atë, sepse... ka një gëzim të veçantë në takimin me një ide apo ide tjetër. Nga përgjigjet e pyetjes rreth formulave të bukura, mund të jetë e mundur të sintetizohet një aspekt i ri i bukurisë së botës. Përveç kësaj, kjo punë mund të jetë e dobishme për shkencëtarët e ardhshëm si një ide për harmoninë e madhe të botës dhe matematikën si një mënyrë për të gjetur këtë bukuri.”
Sidoqoftë, midis formulave kishte të preferuara të qarta: formula e Pitagorës dhe formula Euler.
Pas tyre ishin formulat fizike dhe jo ato matematikore që në shekullin e njëzetë ndryshuan kuptimin tonë për botën - Maxwell, Schrödinger, Ajnshtajni.
Gjithashtu ndër më të bukurat ishin formula që janë ende në fazën e diskutimit, si p.sh., ekuacionet e vakumit fizik. U përmendën edhe formula të tjera të bukura matematikore.
— Pse mendoni, në kapërcyellin e mijëvjeçarit të dytë dhe të tretë, formula e Pitagorës u emërua si një nga më të bukurat?
— Në kohën e Pitagorës, kjo formulë u perceptua si një shprehje e parimit të evolucionit kozmik: dy parime të kundërta (dy katrorë që prekin në mënyrë ortogonale) gjenerojnë një të tretë, të barabartë me shumën e tyre. Gjeometrikisht mund të jepen interpretime shumë të bukura.
Ndoshta ekziston një lloj kujtese nënndërgjegjeshëm, gjenetike e atyre kohërave kur koncepti i "matematikës" nënkuptonte "shkencë", dhe aritmetika, piktura, muzika dhe filozofia u studiuan në sintezë.
Rafail Khasminsky shkroi në letrën e tij se në shkollë ai ishte i mahnitur nga bukuria e formulës së Pitagorës dhe se kjo përcaktoi kryesisht fatin e tij si matematikan.
- Çfarë mund të thoni për formulën e Euler-it?
— Disa matematikanë tërhoqën vëmendjen për faktin se "të gjithë u mblodhën" në të, d.m.th. të gjithë numrat matematikorë më të mrekullueshëm, dhe njëri është i mbushur me pafundësi! - kjo ka një kuptim të thellë filozofik.
Nuk është çudi që Euler zbuloi këtë formulë. Matematikani i madh bëri shumë për të futur bukurinë në shkencë, ai madje futi konceptin e "shkallës së bukurisë" në matematikë. Më saktësisht, ai e futi këtë koncept në teorinë e muzikës, të cilën e konsideroi si pjesë të matematikës.
Euler besonte se ndjenja estetike mund të zhvillohet dhe se kjo ndjenjë është e nevojshme për një shkencëtar.
Do t'u referohem autoriteteve... Grothendieck: "Të kuptosh një gjë të veçantë në matematikë është aq e përsosur sa është e mundur të ndjesh bukurinë e saj."
Poincaré: "Në matematikë ka ndjenjë." Ai e krahasoi ndjenjën estetike në matematikë me një filtër, i cili nga shumë zgjidhje të mundshme, zgjedh atë më harmonike, e cila, si rregull, është e sakta. Bukuria dhe harmonia janë sinonime, dhe manifestimi më i lartë i harmonisë është ligji botëror i ekuilibrit. Matematika e eksploron këtë ligj në plane të ndryshme të ekzistencës dhe në aspekte të ndryshme. Nuk është më kot që çdo formulë matematikore përmban një shenjë të barabartë.
Unë mendoj se harmonia më e lartë njerëzore është harmonia e mendimit dhe ndjenjës. Ndoshta kjo është arsyeja pse Ajnshtajni tha se shkrimtari Dostojevski i dha atij më shumë se matematikani Gauss.
Unë e mora formulën e Dostojevskit "Bukuria do të shpëtojë botën" si një epigraf të punës sime për bukurinë në matematikë. Dhe u diskutua edhe nga matematikanët.
- Dhe ata ranë dakord me këtë deklaratë?
- Matematikanët as e konfirmuan dhe as e kundërshtuan këtë deklaratë. Ata e sqaruan: "Ndërgjegjësimi për bukurinë do të shpëtojë botën". Këtu m'u kujtua menjëherë puna e Eugene Wigner mbi rolin e ndërgjegjes në matjet kuantike, shkruar prej tij gati pesëdhjetë vjet më parë. Në këtë vepër, Wigner tregoi se vetëdija njerëzore ndikon në mjedis, domethënë se ne jo vetëm marrim informacion nga jashtë, por gjithashtu dërgojmë mendimet dhe ndjenjat tona si përgjigje. Kjo punë është ende aktuale dhe ka si përkrahës ashtu edhe kundërshtarë. Unë me të vërtetë shpresoj që në shekullin e 21-të shkenca do të provojë se ndërgjegjësimi për bukurinë kontribuon në harmonizimin e botës sonë.

1. Formula e Euler-it. Shumë panë në këtë formulë një simbol të unitetit të të gjithë matematikës, sepse në të "-1 përfaqëson aritmetikën, i - algjebër, π - gjeometri dhe e - analizë".

2. Kjo barazi e thjeshtë tregon se vlera 0.999 (dhe kështu me radhë ad infinitum) është ekuivalente me një. Shumë njerëz nuk besojnë se kjo mund të jetë e vërtetë, megjithëse ka disa prova të bazuara në teorinë e kufirit. Megjithatë, barazia tregon parimin e pafundësisë.


3. Ky ekuacion u formulua nga Ajnshtajni si pjesë e teorisë së tij pioniere të relativitetit të përgjithshëm në 1915. Ana e djathtë e këtij ekuacioni përshkruan energjinë që përmbahet në Universin tonë (duke përfshirë "energjinë e errët"). Ana e majtë përshkruan gjeometrinë e hapësirë-kohës. Barazia pasqyron faktin se në teorinë e përgjithshme të relativitetit të Ajnshtajnit, masa dhe energjia përcaktojnë gjeometrinë, dhe në të njëjtën kohë lakimin, që është një manifestim i gravitetit. Ajnshtajni tha se ana e majtë e ekuacioneve të gravitetit në teorinë e përgjithshme të relativitetit, që përmban fushën gravitacionale, është e bukur dhe si e gdhendur nga mermeri, ndërsa ana e djathtë e ekuacioneve, që përshkruan materien, është ende e shëmtuar, sikur prej druri të zakonshëm.


4. Një tjetër teori mbizotëruese e fizikës, Modeli Standard, përshkruan ndërveprimet elektromagnetike, të dobëta dhe të forta të të gjitha grimcave elementare. Disa fizikanë besojnë se ajo pasqyron të gjitha proceset që ndodhin në Univers, përveç materies së errët, energjisë së errët dhe nuk përfshin gravitetin. Bozoni Higgs, i cili ishte i pakapshëm deri vitin e kaluar, gjithashtu përshtatet në Modelin Standard, megjithëse jo të gjithë ekspertët janë të sigurt për ekzistencën e tij.


5. Teorema e Pitagorës është një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, duke vendosur marrëdhëniet midis brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Ne e kujtojmë atë nga shkolla dhe besojmë se autori i teoremës është Pitagora. Në fakt, kjo formulë u përdor në Egjiptin e Lashtë gjatë ndërtimit të piramidave.


6. Teorema e Euler-it. Kjo teoremë hodhi themelet për një degë të re të matematikës - topologjinë. Ekuacioni vendos marrëdhënien midis numrit të kulmeve, skajeve dhe faqeve për shumëkëndëshat që topologjikisht janë ekuivalente me një sferë.


7. Teoria speciale e relativitetit përshkruan lëvizjen, ligjet e mekanikës dhe marrëdhëniet hapësirë-kohë me shpejtësi arbitrare të lëvizjes më të vogla se shpejtësia e dritës në vakum, duke përfshirë ato afër shpejtësisë së dritës. Ajnshtajni krijoi një formulë që përshkruan se si koha dhe hapësira nuk janë koncepte absolute, por janë relative në varësi të shpejtësisë së vëzhguesit. Ekuacioni tregon se si zgjerohet ose ngadalësohet koha në varësi të mënyrës dhe vendit ku lëviz një person.


8. Ekuacioni është nxjerrë në vitet 1750 nga Euler dhe Lagrange gjatë zgjidhjes së problemit të izokronit. Ky është problemi i përcaktimit të kurbës që çon një grimcë të rëndë në një pikë fikse në një kohë të caktuar, pavarësisht nga pika e fillimit. Në terma të përgjithshëm, nëse sistemi juaj ka simetri, ekziston një ligj përkatës i ruajtjes së simetrisë.


9. Ekuacioni Callan-Symanzik. Është një ekuacion diferencial që përshkruan evolucionin e funksionit të korrelacionit n si shkalla e energjisë në të cilën është përcaktuar teoria ndryshon dhe përfshin funksionet beta të teorisë dhe dimensionet anormale. Ky ekuacion ndihmoi për të kuptuar më mirë fizikën kuantike.


10. Ekuacioni i sipërfaqes minimale. Kjo barazi shpjegon formimin e flluskave të sapunit.


11. Drejtëza e Euler-it. Teorema e Euler u vërtetua në 1765. Ai zbuloi se mesi i brinjëve të një trekëndëshi dhe bazat e lartësive të tij shtrihen në të njëjtin rreth.


12. Në vitin 1928 P.A.M. Diraku propozoi versionin e tij të ekuacionit të Shrodingerit - i cili korrespondonte me teorinë e A. Ajnshtajnit. Bota shkencore u trondit - Diraku zbuloi ekuacionin e tij për elektronin përmes manipulimeve thjesht matematikore të objekteve më të larta matematikore të njohura si spinorë. Dhe ishte një ndjesi - deri më tani, të gjitha zbulimet e mëdha në fizikë duhet të qëndrojnë në një bazë solide të të dhënave eksperimentale. Por Diraku besonte se matematika e pastër, nëse është mjaft e bukur, është një kriter i besueshëm për korrektësinë e përfundimeve. “Bukuria e ekuacioneve është më e rëndësishme se pajtueshmëria e tyre me të dhënat eksperimentale. … Duket se nëse përpiqeni të arrini bukurinë në ekuacione dhe keni intuitë të shëndetshme, atëherë jeni në rrugën e duhur.” Ishte falë llogaritjeve të tij që u zbulua pozitroni, një antielektron, dhe ai parashikoi praninë e një "spin" në një elektron - rrotullimin e një grimce elementare.


13. J. Maxwell përftoi ekuacione të mahnitshme që bashkonin të gjitha dukuritë e elektricitetit, magnetizmit dhe optikës. Fizikani i shquar gjerman, një nga krijuesit e fizikës statistikore, Ludwig Boltzmann, tha për ekuacionet e Maxwell: "A nuk i ka shkruar Zoti këto letra?"


14. Ekuacioni i Schrödinger-it Një ekuacion që përshkruan ndryshimin në hapësirë ​​dhe kohë të gjendjes së pastër të specifikuar nga funksioni valor në sistemet kuantike Hamiltoniane. Luan të njëjtin rol të rëndësishëm në mekanikën kuantike si ekuacioni i ligjit të dytë të Njutonit në mekanikën klasike.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve