Koncepti i një serie të shpërndarjes statistikore. Seritë statistikore

Tona tabela simplexështë një matricë e sistemit të kufizimit të zgjeruar me disa kolona dhe rreshta shtesë. Le të shqyrtojmë një shembull të një tabele simplex për problemin e mëposhtëm:

Gjeni vlerat e variablave x 1 ... x 5, për të cilin funksioni:

Q =

5

x 1

+

7

x 2

+

2

pranon maksimale vlera, subjekt i kufizimeve të mëposhtme:

2

x 1

+

4

x 2

+

x 3

=

64

(1)

x 1

+

2

x 2

+

x 4

=

70

(2)

-

x 2

+

x 5

=

18

(3)

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0

Tabela simplex duket si kjo:

PB	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	Zgjidhje	Qëndrimi
x 3	2	4	1	0	0	64	64 / 4 = 16
x 4	1	2	0	1	0	70	70 / 2 = 35
x 5	0	-1	0	0	1	18	--
P	5	7	0	0	0	-2	--

Rreshti më i lartë është thjesht informativ, ai tregon qëllimin e kolonave. Kolona "BP" është gjithashtu informative, çdo qelizë e kësaj kolone përmban emrin e një ndryshoreje që është në ekuacionin përkatës të sistemit të kufizimeve. Në shembullin tonë, në ekuacioni i parë, ndryshorja X 3, në të dytën X 4, në të tretën X 5.

Kolonat X 1...X 5 përmbajnë koeficientë për variablat përkatëse në ekuacionet e sistemit të kufizimeve (çdo ekuacion ka një vijë të veçantë). Kolona "Zgjidhja" përmban fillimisht termat e lirë të ekuacioneve përkatëse. Ata gjithashtu tregojnë vlerat për zgjidhjen aktuale, të shfaqura nga tabela simplex, në një hap (përsëritje) të caktuar të zgjidhjes së problemit.

Koeficientët e funksionit objektiv janë pasqyruar në tabelën e thjeshtë në rreshtin “Q” termi i lirë, si në rastin e ekuacioneve të sistemit të kufizimeve, shkruhet fillimisht në kolonën “Zgjidhja”. Është gjithashtu vlera e funksionit objektiv, por e shkruar me shenjën e kundërt (kjo është e përshtatshme për metodën simplex).

Në shembullin tonë, tabela simplex e treguar korrespondon me një zgjidhje të caktuar në të cilën variablat X 3, X 4, X 5 janë përkatësisht të barabarta me 64, 70, 18 (shih kolonën "Zgjidhja"), dhe variablat e mbetur janë të barabartë në zero. Vlera e funksionit objektiv "Q" është e barabartë me dy (që është e lehtë për t'u kontrolluar duke zëvendësuar vlerat e variablave në shprehjen për funksionin objektiv).

Në shembullin tonë, termi i lirë është i barabartë me -2 (minus dy) sepse në regjistrimin e funksionit objektiv shkruhet së bashku me variablat në njërën anë të shenjës së barazimit dhe termat e lirë në ekuacionet e sistemit të kufizimeve nga ana tjetër. Prandaj, para se ta shkruani atë në tabelë, duhet të zhvendoset në të djathtë të shenjës së barazimit. Rreshti "Q" në në këtë shembull të ndara, kjo do të thotë se do të përdoret për të marrë një vendim në lidhje me zgjedhjen e një kolone rezolucioni (nganjëherë quhet kolonë udhëzuese). Kolona e zgjidhjes korrespondon me një variabël që do të futet në bazë (në listë) në përsëritjen tjetër të zgjidhjes së problemit. Qëllimi i një zëvendësimi të tillë të bazës është të përmirësojë vlerën e funksionit objektiv. Kriteri për zgjedhjen e një kolone zgjidhëse është koeficienti maksimal pozitiv në rreshtin "Q" kur zgjidhet një problem në maksimum, ose koeficienti minimal negativ kur zgjidhet një problem në minimum. Nëse pas përsëritjes së radhës nuk ka koeficientë pozitivë (gjatë maksimizimit) ose negativ (gjatë minimizimit) në rresht, atëherë është arritur zgjidhja optimale. Në shembullin tonë, kolona e zgjidhjes zgjidhet me koeficientin 7 (maksimumi pozitiv pasi problemi është për maksimumin), korrespondon me variablin X 2, është kjo që do të futet në bazë në përsëritjen tjetër. Numrat në kolonën udhëzuese janë me ngjyrë të kuqe.

Linja zgjidhëse (udhëzuese) është gjithashtu me ngjyrë të kuqe, ajo korrespondon me një variabël që do të hiqet nga baza (lista) në përsëritjen e ardhshme. Për ta përcaktuar atë, llogaritet dhe plotësohet kolona "Raporti". Elementet e tij përfaqësojnë marrëdhëniet e elementeve të kolonës "Zgjidhja" me elementët përkatës të kolonës udhëzuese (përveç rreshtit "Q"). Zgjedhja e rreshtit zgjidhës bëhet në bazë të vlerës minimale të të gjitha marrëdhënieve. E rëndësishme është që këto raporte të llogariten vetëm për elementët pozitivë të kolonës udhëzuese. Nëse në disa përsëritje nuk ka koeficientë pozitivë në kolonën udhëzuese, atëherë
funksion objektiv

problemi origjinal është i pakufizuar, problemi nuk ka zgjidhje.

Në shembullin tonë, linja udhëzuese zgjidhet sipas raportit minimal prej 16, korrespondon me X 3, dhe është kjo rresht që do të hiqet nga baza në përsëritjen tjetër (vendin e saj do ta zërë X 2).

Rreshti i parë tregon të gjithë pa përjashtim (si kryesor ashtu edhe shtesë) treguesit e kriterit të optimalitetit, d.m.th. të gjithë koeficientët me të cilët përfshihen të panjohurat në funksionin objektiv.

Kolona e parë përfshin vetëm një pjesë të koeficientëve për të panjohurat në funksionin objektiv, sepse numri i rreshtave në matricë është i barabartë me numrin e të panjohurave shtesë. Kjo pjesë përbëhet nga tregues, numrat e të cilëve tregohen në kolonën e dytë (p k).

Kolona e dytë

– p k (turqia k – numri i përsëritjes).

3. Kjo kolonë tregon numrat e të panjohurave të përfshira në zgjidhjen bazë. Këta numra përdoren për të numëruar rreshtat përkatës të matricës. Në tabelën e parë simplex, kolona p 0 tregon numrat e të gjitha variablave shtesë.

Kolona e tretë – x 0 ..

4. Në tabelën e parë të Simpleksit ajo është e mbushur me terma të lira ekuacionesh nga sistemi i kufizimeve. Në procesin e llogaritjes përsëritëse, këta tregues shndërrohen në zgjidhjen e dëshiruar. Prandaj, kjo kolonë quhet kolona totale

Vlera e funksionit objektiv Fk. Në kryqëzimin e kolonës që rezulton në rreshtin e synuar, vlera e funksionit F k korrespondon me

në këtë fazë

zgjidhje e dhënë në përsëritje k.

Kolonat "Baza e matricës".

Në mënyrë tipike, kolonat për të panjohurat kryesore vendosen së pari, të ndjekura nga kolonat për të panjohurat shtesë. Në këto kolona në tabelën e parë Simplex jepen koeficientët për të panjohurat nga ekuacionet e kushteve fillestare. 6. Tri kolonat vijuese të tabelës (, , ) kanë

kuptimi ndihmës

. Ju mund të bëni pa këto kolona, ​​por ato i bëjnë llogaritjet shumë më të lehta. Përmbajtja e këtyre kolonave do të diskutohet më në detaje më poshtë.

Shembull

Le të shqyrtojmë një problem simplex të shkruar në formë të përgjithshme:

Le ta reduktojmë problemin në formë kanonike. Për ta bërë këtë, ne futim një të panjohur (shtesë) në secilën nga pabarazitë e sistemit - x 4, x 5. x 6. Pastaj

F = 15x 1 + 20x 2 +5x 3  max.

Le të plotësojmë tabelën e parë simplex.

Ne do të plotësojmë të gjitha qelizat në bazë të kushteve të problemit.

Për të plotësuar qelizën F 0 në tabelën e parë, duhet të përmblidhni produktet e elementeve të kolonës x 0 me elementët e kolonës c 0, d.m.th.

F 0 = 600∙0 + 520∙0 +600∙0 =0.

(0∙80+0∙15+0∙5) – 15=-15;

Për të mbushur rreshtin e synuar në tabelën e parë, duhet të zbritni vlerën përkatëse c j nga shuma e produkteve të elementeve të kolonës x j nga elementët e kolonës c 0.

Për kolonën x 1, do të përcaktohet vlera e vlerësimit të dyfishtë

Si rezultat, tabela e parë simplex do të duket kështu:

Tabela 1

Para se të vazhdohet me zgjidhjen, është e nevojshme të kontrollohet nëse plani (zgjidhja) e propozuar në tabelë është optimale.

Përkufizimi

Vendimi konsiderohet optimale nëse të gjitha vlerat e numrave në vargun e synuar janë pozitive.

Nëse zgjidhja që rezulton nuk është optimale, ajo mund të përmirësohet. Për ta bërë këtë ju duhet:

1. Zgjidhni vlerën maksimale negative të numrit në vijën e synuar në vlerë absolute.

Në shembullin tonë, ky numër do të jetë (-20), i vendosur në kolonën "x 2". Kjo është vlera që vendos kolona kryesore.

Ju lutemi vini re:

Kolona kryesore tregon se cili nga x j do të përfshihet në zgjidhjen e re të problemit. Në rastin tonë, e panjohura është x 2.

Ju lutemi vini re:

Për të përfshirë një të panjohur x j në një zgjidhje të re që përmirëson këtë zgjidhje, është e nevojshme të nxirret një nga x j të përfshirë në të nga zgjidhja bazë.

2. Zgjidhni vlerën minimale të herësit të elementeve të kolonës x 0 te elementet e kolonës kryesore. Rezultatet e këtyre llogaritjeve futen në kolonën “” të tabelës Simplex.

Në shembullin tonë, këto raporte janë të barabarta:

Vlera minimale korrespondon me x 5 dhe është e barabartë me 8.67. Kjo marrëdhënie vendos varg çelësi.

Zgjidhni elementin që ndodhet në kryqëzimin e kolonës kryesore dhe rreshtit kyç, i cili quhetelement kyç .

Në shembullin tonë, elementi kryesor është 60 dhe ndodhet në kryqëzimin e kolonës x 2 dhe rreshtit x 5.

Ju lutemi vini re:

Një kolonë kyçe nuk mund të jetë një kolonë elementet e së cilës janë të gjitha negative ose zero.

Shuma e elementeve të matricës sipas rreshtave(duke filluar nga kolona x 0 dhe duke përfunduar me kolonën x 6).

Shumat e marra regjistrohen në kolonën “”. Konvertoni vargun e çelësit

1. .

Për këtë

Çdo element i rreshtit kyç është i ndarë në një element kyç, duke filluar me elementin e kolonës "x0";

Fragment

Në kolonën p 1, x 2 është shkruar në vend të x 5; Në kolonën j shkruhet vlera e kriterit të optimalitetit për x 2, d.m.th. 20..

.

Të gjithë elementët e tjerë të tabelës Simplex rillogariten, duke iu bindur rregullit bazë. Ky rregull quhet

.

rregullat diagonale ose rregullat e trekëndëshit

Kur rillogaritni vlerën e funksionit të qëllimit, marrim:

Ne vazhdojmë në të njëjtën mënyrë me të gjithë elementët e tjerë të tabelës. Si rezultat, marrim një tabelë të re simplex.

Tabela 2.

Kolona "" përdoret për të kontrolluar ecurinë e zgjidhjes rresht pas rreshti. Shuma e vlerave të reja të elementeve të rreshtit duhet të jetë e barabartë me vlerën e elementit të këtij rreshti dhe kolonës "", e transformuar sipas rregullit diagonal.

Shënim 2.

Vlera e funksionit të qëllimit duhet të jetë e barabartë me shumën e produkteve të elementeve të kolonës j nga elementet e kolonës x0.

Përfundoni këtë detyrë vetë. Rezultati duhet të jetë:

F=236.7; x 1 =3,31; x 2 =7,8; x 3 =6,05.

Shënim 3.

Në kolonën “” shkruhen herësit e pjesëtimit të elementit në kolonën kryesore dhe rreshtin i me elementin kyç.

Shënim 4.

Në tabelën e mëposhtme, filloni llogaritjet duke përdorur rregullin diagonal nga rreshti i synuar. Nëse të gjitha vlerësimet janë pozitive, atëherë zgjidhja optimale është gjetur dhe ajo që mbetet është të plotësohet kolona x0. Në këtë rast, nuk është e nevojshme të rillogaritni bazën e matricës.

Një nga metodat për zgjidhjen e problemeve të optimizimit ( zakonisht shoqërohet me gjetjen e minimumit ose maksimumit) programimi linear thirrur . Metoda e thjeshtë përfshin një grup të tërë algoritmesh dhe metodash për zgjidhjen e problemeve të programimit linear. Një nga këto metoda, e cila përfshin regjistrimin e të dhënave burimore dhe rillogaritjen e tyre në një tabelë të veçantë, quhet metoda tabelare simplex.

Le të shqyrtojmë algoritmin e metodës së thjeshtë tabelare duke përdorur shembullin e zgjidhjes detyrë prodhimi, e cila zbret në gjetjen e një plani prodhimi që siguron fitim maksimal.

Të dhëna hyrëse për problemin e metodës simplex

Kompania prodhon 4 lloje produktesh, duke i përpunuar në 3 makina.

Standardet kohore (min./copë) për përpunimin e produkteve në makineri janë të specifikuara nga matrica A:

Fondi i kohës së funksionimit të makinës (min.) është specifikuar në matricën B:

Fitimi nga shitja e çdo njësie produkti (RUB/copë) jepet nga matrica C:

Qëllimi i detyrës së prodhimit

Hartoni një plan prodhimi që do të maksimizojë fitimin e ndërmarrjes.

Zgjidhja e problemit duke përdorur metodën e thjeshtë tabelare

(1) Le të shënojmë me X1, X2, X3, X4 numrin e planifikuar të produkteve të secilit lloj. Pastaj plani i dëshiruar: ( X1, X2, X3, X4)

(2) Le të shkruajmë kufizimet e planit në formën e një sistemi ekuacionesh:

(3) Atëherë fitimi i synuar është:

Domethënë, fitimi nga përmbushja e planit të prodhimit duhet të jetë maksimal.

(4) Për të zgjidhur problemin që rezulton në ekstrem i kushtëzuar, ne zëvendësojmë sistemin e pabarazive me sistemin ekuacionet lineare duke futur në të ndryshore shtesë jo negative ( X5, X6, X7).

(5) Le të pranojmë sa vijon plan referencë:

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) Le të fusim të dhënat në tabela simplex:

Në rreshtin e fundit futim koeficientët e funksionit objektiv dhe vetë vlerën e tij me shenjën e kundërt;

(7) Zgjidhni në rreshtin e fundit më i madhi (modul) është një numër negativ.

Le të llogarisim b = N / Items_of_the_selected_colone

Ndër vlerat e llogaritura të b-së ne zgjedhim më së paku.

Kryqëzimi i kolonës dhe rreshtit të zgjedhur do të na japë elementin zgjidhës. Ne ndryshojmë bazën në një variabël që korrespondon me elementin zgjidhës ( X5 deri në X1).

• Vetë elementi zgjidhës kthehet në 1.
• Për elementët e linjës së rezolucionit - a ij (*) = a ij / RE ( dmth secili element e ndajmë me vlerën e elementit zgjidhës dhe marrim të dhëna të reja).
• Për elementët e kolonës së rezolucionit, ato thjesht rivendosen në zero.
• Ne rillogaritim elementët e mbetur të tabelës duke përdorur rregullin drejtkëndësh.

a ij (*) = a ij – (A * B / RE)

Siç mund ta shihni, marrim qelizën aktuale që rillogaritet dhe qelizën me elementin zgjidhës. Ato formohen kënde të kundërta drejtkëndësh. Më pas, ne shumëzojmë vlerat nga qelizat e 2 qosheve të tjera të këtij drejtkëndëshi. kjo pune ( A * B) pjesëto me elementin zgjidhës ( RE). Dhe zbres nga qeliza aktuale që rillogaritet ( një ij) çfarë ndodhi. Ne marrim një vlerë të re - një ij (*).

(9) Kontrollo sërish rreshtin e fundit ( c) në prania e numrave negativë. Nëse nuk janë aty, plani optimal është gjetur, shkoni te fazën e fundit zgjidhjen e problemit. Nëse ka, plani nuk është ende optimal dhe tabela simplex duhet të rillogaritet përsëri.

Që në rreshtin e fundit përsëri kemi numra negativ, ne fillojmë një përsëritje të re të llogaritjeve.

(10) Duke qenë se nuk ka elementë negativë në rreshtin e fundit, kjo do të thotë se ne kemi gjetur planin optimal të prodhimit! Gjegjësisht: ne do të prodhojmë ato produkte që kanë kaluar në kolonën "Baza" - X1 dhe X2. Ne e dimë fitimin nga prodhimi i secilës njësi të prodhimit ( matrica C). Mbetet të shumëzojmë vëllimet e gjetura të prodhimit të produkteve 1 dhe 2 me fitim për 1 copë, marrim finalen ( maksimale! ) fitimi për një plan të caktuar prodhimi.

PËRGJIGJE:

X1 = 32 copë, X2 = 20 copë, X3 = 0 copë, X4 = 0 copë.

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2,196 fshij.

Galyautdinov R.R.

© Kopjimi i materialit lejohet vetëm nëse një lidhje direkte me

Nëse deklarata e problemit përmban kufizime me shenjën ≥, atëherë ato mund të reduktohen në formën ∑a ji b j duke shumëzuar të dyja anët e pabarazisë me -1. Le të prezantojmë m variabla shtesë x n+j ≥0(j =1,m) dhe t'i transformojmë kufizimet në formën e barazive

(2)

Le të supozojmë se të gjitha variablat fillestare të problemit x 1 , x 2 ,..., x n janë jo bazë. Atëherë variablat shtesë do të jenë bazë, dhe një zgjidhje e veçantë për sistemin e kufizimeve ka formën

x 1 = x 2 = ... = x n = 0, x n+ j = b j, j =1,m. (3)

Meqenëse në këtë rast vlera e funksionit të qëllimit F 0 = 0, ne mund të përfaqësojmë F(x) si më poshtë:

F(x)=∑c i x i +F 0 =0 (4)

Tabela fillestare e simpleksit (tabela e thjeshtë 1) përpilohet bazuar në ekuacionet (2) dhe (4). Nëse variablave shtesë x n+j paraprihen nga një shenjë “+”, si në (2), atëherë të gjithë koeficientët para variablave x i dhe termi i lirë b j futen në tabelën e simpleksit pa ndryshime. Kur maksimizon funksionin e qëllimit, koeficientët futen në rreshtin e poshtëm të tabelës simplex me shenja të kundërta. Termat e lira në tabelën Simplex përcaktojnë zgjidhjen e problemit.

Algoritmi për zgjidhjen e problemit është si më poshtë:

hapi 1.

Anëtarët e kolonës anëtarë të lirë janë parë. Nëse janë të gjitha pozitive, atëherë është gjetur një zgjidhje bazë e pranueshme dhe duhet të vazhdohet me hapin 5 të algoritmit, i cili korrespondon me gjetjen e zgjidhjes optimale. Nëse tabela fillestare e Simpleksit ka terma negativë të lirë, atëherë zgjidhja nuk është e vlefshme dhe duhet të shkoni në hapin 2.

hapi i 2-të.

x 2

Për të gjetur një zgjidhje të pranueshme, ajo kryhet dhe është e nevojshme të vendoset se cili nga variablat jo bazë të përfshihet në bazë dhe cili variabël të hiqet nga baza.	Tabela 1.	variablat bazë
		Anëtarë të lirë nën kufizime	Variabla jo-bazë	...	x 1	...
x l	x n	x n+1	b 1	...	një 11	...	një 12
një 1l	një 1n	x n+2	b 2	...	një 21	...	një 22
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
një 2l	një 2n	x n+r	b2	...	një r1	...	një r2
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
një rl	arn	x n+m	b m	...	një m1	...	një m2
një ml	një min	F(x) max	F 0	...	F(x) max	...	-c 1

-c 2

-c n

Për ta bërë këtë, zgjidhni cilindo nga elementet negative të kolonës së termave të lirë (le të jetë b 2 kryesor, ose zgjidhës. Nëse nuk ka elemente negative në rreshtin me një term negativ negativ, atëherë sistemi i kufizimeve është i paqëndrueshëm dhe problemi nuk ka zgjidhje. Në të njëjtën kohë, variabla që është e para që ndryshon shenjën kur rritet NP x l e zgjedhur përjashtohet nga BP. Kjo do të jetë x n+r, indeksi r i të cilit përcaktohet nga kushti

ato. ndryshorja që ka raportin më të vogël të termit të lirë me elementin e kolonës kryesore të zgjedhur. Kjo marrëdhënie quhet relacioni i thjeshtë. Duhet të merren parasysh vetëm marrëdhëniet pozitive të Simpleksit. Vija që i përgjigjet ndryshores x n+r thirret

hapi i 3-të.

Llogaritet një tabelë e re simplex, elementët e së cilës rillogariten nga elementet e tabelës së thjeshtë të hapit të mëparshëm dhe shënohen me një kryetar, d.m.th. b" j, a" ji, c" i, F" 0. Elementet rillogariten duke përdorur formulat e mëposhtme:

Së pari, tabela e re simplex do të plotësojë rreshtin dhe kolonën që ishin në krye në tabelën e mëparshme simplex. Shprehja (5) do të thotë që elementi a" rl në vend të elementit kryesor është i barabartë me reciprocitetin e elementit të tabelës së mëparshme simplex. Elementet e rreshtit a ri ndahen me elementin kryesor dhe elementet e kolona a jl ndahen edhe me elementin drejtues, por janë marrë me shenjën e kundërt Elementet b" r dhe c" l llogariten sipas të njëjtit parim.

Pjesa tjetër e formulave mund të shkruhen lehtësisht duke përdorur .

Drejtkëndëshi është ndërtuar sipas tabelës së vjetër simplex në atë mënyrë që një nga diagonalet e tij të formohet nga elementët e rillogaritur (a ji) dhe drejtues (a rl) (Fig. 1). Diagonalja e dytë përcaktohet në mënyrë unike. Për të gjetur një element të ri a" ji, produkti i elementeve të diagonales së kundërt i ndarë me elementin kryesor i zbritet elementit a ji (kjo tregohet me shenjën "-" pranë qelizës). Elementet b" j, (j≠r) dhe c" i rillogariten në të njëjtën mënyrë. (i≠l).

hapi i 4-të.

Analiza e tabelës së re Simplex fillon me hapin e parë të algoritmit. Veprimi vazhdon derisa të gjendet një zgjidhje bazë e realizueshme, d.m.th. të gjithë elementët e kolonës së anëtarëve të lirë duhet të jenë pozitivë.

hapi i 5-të. Ne besojmë se është gjetur një zgjidhje bazë e pranueshme. Shikojmë koeficientët e drejtëzës së funksionit të qëllimit F(x) . Një shenjë e optimalitetit të një tabele Simplex është jonegativiteti i koeficientëve për variablat jo-bazë në rreshtin F. Oriz. 1. Rregulli drejtkëndësh Nëse midis koeficientëve të rreshtit F ka negativë (me përjashtim të anëtar i lirë ), atëherë duhet të kaloni në një zgjidhje tjetër themelore. Kur maksimizon funksionin objektiv, baza përfshin një nga variablat jo bazë (për shembull x l), kolona e së cilës korrespondon me maksimumin vlerë absolute

koeficienti negativ c l in fundi

hapi i 6-të.

sipas rregullave të përshkruara në hapin 3. Procedura vazhdon derisa të gjendet një zgjidhje optimale ose të konstatohet se ajo nuk ekziston.

Gjatë optimizimit të zgjidhjes, nëse të gjithë elementët në kolonën kryesore janë jopozitive, atëherë rreshti kryesor nuk mund të zgjidhet. Në këtë rast, funksioni në rajonin e zgjidhjeve të realizueshme të problemit nuk kufizohet më lart dhe F max ->&∞. Nëse, në hapin tjetër të kërkimit për një ekstrem, bëhet një nga variablat bazë e barabartë me zero

, atëherë zgjidhja bazë përkatëse quhet e degjeneruar. Në këtë rast, ndodh i ashtuquajturi çiklizëm, i karakterizuar nga fakti se i njëjti kombinim i BP-ve fillon të përsëritet me një frekuencë të caktuar (vlera e funksionit F ruhet) dhe është e pamundur të kalohet në një zgjidhje të re bazë të pranueshme. . Looping është një nga disavantazhet kryesore të metodës simplex, por është relativisht e rrallë. Në praktikë, në raste të tilla, ata zakonisht refuzojnë të fusin në bazë variablin, kolona e së cilës korrespondon me vlerën maksimale absolute të koeficientit negativ në funksionin e qëllimit dhe zgjedhin rastësisht një zgjidhje të re bazë.

Shembulli 1. Zgjidh problemin

max(F(x) = -2x 1 + 5x 2 | 2x 1 + x 2 ≤7; x 1 + 4x 2 ≥8; x 2 ≤4; x 1,2 ≥0)

Duke përdorur metodën simplex dhe jepni një interpretim gjeometrik të procesit të zgjidhjes.

Një interpretim grafik i zgjidhjes së problemit është paraqitur në Fig. 2. Vlera maksimale e funksionit të qëllimit arrihet në kulmin e ODZP me koordinata . Le ta zgjidhim problemin duke përdorur tabela simplex. Le të shumëzojmë kufizimin e dytë me (-1) dhe të prezantojmë variabla shtesë për t'i sjellë pabarazitë në formën e barazive, pastaj

Ne i marrim variablat fillestare x 1 dhe x 2 si jo bazë, dhe i konsiderojmë x 3, x 4 dhe x 5 shtesë si bazë dhe përpilojmë një tabelë simplex (tabela e thjeshtë 2). Zgjidhja që i përgjigjet tabelës Simplex. 2, nuk është e vlefshme; përvijohet dhe përzgjidhet elementi kryesor në përputhje me hapin 2 të algoritmit të mëparshëm. Tabela e mëposhtme Simplex. 3 përcakton një zgjidhje bazë të pranueshme, kulmi i ODZP në Fig. 1 korrespondon me të. 2 Elementi kryesor përvijohet dhe përzgjidhet në përputhje me hapin e 5-të të algoritmit të zgjidhjes së problemit. Tabela 4 korrespondon me zgjidhjen optimale të problemit, prandaj: x 1 = x 5 = 0; x 2 = 4; x 3 = 3; x 4 = 8; F max = 20. Oriz. 2. Zgjidhje grafike

detyrat

. Algoritmi i metodës së thjeshtë Shembulli 5.1.

Zgjidheni problemin e mëposhtëm të programimit linear duke përdorur metodën simplex:

Zgjidhja: I

përsëritje:, x3, x4, x5 x6,x1 x2

Le të reduktojmë funksionin e synuar në pamje tjetër:

Bazuar në problemin e marrë, do të formojmë tabelën fillestare të Simpleksit:

Tabela 5.3

Tabela origjinale simplex

				Marrëdhëniet vlerësuese

Sipas përcaktimit të zgjidhjes bazë, ndryshoret e lira janë të barabarta me zero, dhe vlerat e variablave bazë janë të barabarta me vlerat përkatëse të numrave të lirë, d.m.th.

Faza 3: kontrollimi i përputhshmërisë së sistemit të kufizimeve PAP.

Në këtë përsëritje (në tabelën 5.3), shenja e mospërputhjes së sistemit të kufizimit (shenja 1) nuk identifikohet (d.m.th. nuk ka asnjë rresht me një numër të lirë negativ (përveç vijës së funksionit objektiv) në të cilin nuk do të të jetë të paktën një element negativ (d.m.th. koeficient negativ për një variabël të lirë)).

Në këtë përsëritje (në tabelën 5.3), shenja e pakufishmërisë së funksionit objektiv (shenja 2) nuk u identifikua (d.m.th., nuk ka asnjë kolonë me një element negativ në rreshtin e funksionit objektiv (përveç kolonës së numrave të lirë ) në të cilën nuk do të kishte të paktën një element pozitiv) .

Meqenëse zgjidhja bazë e gjetur nuk përmban përbërës negativë, është e pranueshme.

Faza 6: kontrolli i optimalitetit.

Zgjidhja bazë e gjetur nuk është optimale, pasi sipas kriterit të optimalitetit (shenja 4) nuk duhet të ketë elemente negative në vijën e funksionit objektiv (numri i lirë i kësaj rreshti nuk merret parasysh kur merret parasysh ky kriter). Prandaj, sipas algoritmit të metodës simplex, kalojmë në fazën 8.

Meqenëse zgjidhja bazë e gjetur është e pranueshme, kolonën zgjidhëse do ta kërkojmë sipas skemës së mëposhtme: përcaktojmë kolonat me elemente negative në rreshtin e funksionit objektiv (përveç kolonës së numrave të lirë). Sipas tabelës 5.3, ekzistojnë dy kolona të tilla: kolona " x6"dhe kolona" x1" Nga kolonat e tilla, zgjidhni atë që përmban elementi më i vogël në linjën e funksionit të synuar. Ajo do të jetë lejuese. kolona " x1"përmban elementin më të vogël (–3) në krahasim me kolonën" x6

Për të përcaktuar vijën zgjidhëse, gjejmë raportet pozitive të vlerësuara të numrave të lirë ndaj elementeve të kolonës zgjidhëse, vija që korrespondon me raportin më të vogël të vlerësimit pozitiv pranohet si i zgjidhur.

Tabela 5.4

Tabela origjinale simplex

Në tabelën 5.4, marrëdhënia më e vogël vlerësuese pozitive korrespondon me linjën " x4", prandaj, do të jetë lejuese.

Elementi i vendosur në kryqëzimin e kolonës së aktivizimit dhe rreshtit aktivizues pranohet si aktivizues. Në shembullin tonë, ky është elementi që ndodhet në kryqëzimin e linjës " x4"dhe kolonat" x1».

Elementi zgjidhës tregon një bazë dhe një variabël të lirë që duhet të ndërrohen në tabelën simplex për të kaluar në një zgjidhje të re bazë "të përmirësuar". NË në këtë rast këto janë variabla x5 Dhe x1, në tabelën e re simplex (Tabela 5.5) i ndërrojmë ato.

9.1. Transformimi i elementit zgjidhës.

Elementi i rezolucionit të Tabelës 5.4 konvertohet si më poshtë:

Ne e fusim rezultatin që rezulton në një qelizë të ngjashme në Tabelën 5.5.

9.2. Konvertimi i vargut të rezolucionit.

Ne i ndajmë elementet e rreshtit zgjidhës të tabelës 5.4 me elementin zgjidhës të kësaj tabele simplex, rezultatet përshtaten në qeliza të ngjashme të tabelës së re simplex (tabela 5.5). Transformimet e elementeve të vargut të rezolucionit janë dhënë në tabelën 5.5.

9.3. Konvertimi i kolonës së rezolucionit.

Elementet e kolonës së rezolucionit të tabelës 5.4 i ndajmë me elementin e rezolucionit të kësaj tabele simplex dhe rezultati merret me shenjën e kundërt. Rezultatet e marra përshtaten në qeliza të ngjashme të tabelës së re Simplex (Tabela 5.5). Transformimet e elementeve të kolonës së rezolucionit janë dhënë në tabelën 5.5.

9.4. Transformimi i elementeve të mbetur të tabelës Simplex.

Transformimi i elementeve të mbetur të tabelës Simplex (d.m.th., elementët që nuk ndodhen në rreshtin zgjidhës dhe në kolonën zgjidhëse) kryhet sipas rregullit "drejtkëndësh".

Për shembull, merrni parasysh transformimin e një elementi të vendosur në kryqëzimin e vijës " përsëritje:" dhe kolonat "", le ta shënojmë me kusht " përsëritje:" Në tabelën 5.4, ne vizatojmë mendërisht një drejtkëndësh, një kulm i të cilit ndodhet në qelizën vlerën e së cilës po e transformojmë (d.m.th. në qelizën " përsëritje:"), dhe tjetra (kulmi diagonal) është në një qelizë me një element zgjidhës. Dy kulmet e tjera (të diagonales së dytë) përcaktohen në mënyrë unike. Pastaj vlera e transformuar e qelizës " përsëritje:" do të jetë e barabartë me vlerën e mëparshme të kësaj qelize minus fraksionin, në emëruesin e së cilës është elementi zgjidhës (nga tabela 5.4), dhe në numërues është prodhimi i dy kulmeve të tjera të papërdorura, d.m.th.

« përsëritje:»: .

Vlerat e qelizave të tjera konvertohen në mënyrë të ngjashme:

« x3 x1»: ;

« x3»: ;

« x4 x1»: ;

« x5»: ;

« x6 x1»: ;

«»: ;

« x6»: .

Si rezultat i këtyre transformimeve, u përftua një tabelë e re simplex (Tabela 5.5).

II I

Faza 1: hartimi i një tabele simplex.

Tabela 5.5

Tabela e thjeshtëII përsëritjet

				e vlerësuar marrëdhënie

Faza 2: përcaktimi i zgjidhjes bazë.

Si rezultat i transformimeve Simplex, u mor një zgjidhje e re bazë (Tabela 5.5):

Siç mund ta shihni, me këtë zgjidhje bazë vlera e funksionit objektiv = 15, e cila është më e madhe se me zgjidhjen bazë të mëparshme.

Mospërputhja e sistemit të kufizimeve në përputhje me tiparin 1 në Tabelën 5.5 nuk është identifikuar.

Faza 4: kontrollimi i kufijve të funksionit objektiv.

Pakufishmëria e funksionit objektiv në përputhje me kriterin 2 në tabelën 5.5 nuk zbulohet.

Faza 5: kontrollimi i pranueshmërisë së zgjidhjes bazë të gjetur.

Zgjidhja bazë e gjetur në përputhje me kriterin 4 nuk është optimale, pasi vija e funksionit objektiv të tabelës simplex (Tabela 5.5) përmban një element negativ: -2 (numri i lirë i kësaj rreshti nuk merret parasysh kur merret parasysh kjo karakteristike). Prandaj, kalojmë në fazën 8.

Faza 8: përcaktimi i elementit zgjidhës.

8.1. Përkufizimi i kolonës së rezolucionit.

Zgjidhja bazë e gjetur është e pranueshme përcaktojmë kolonat me elemente negative në rreshtin e funksionit objektiv (përveç kolonës së numrave të lirë). Sipas tabelës 5.5, ekziston vetëm një kolonë e tillë: " x6" Prandaj, ne e pranojmë atë siç lejohet.

8.2. Përkufizimi i një vargu aktivizues.

Sipas vlerave të marra të marrëdhënieve vlerësuese pozitive në tabelën 5.6, minimumi është relacioni që korrespondon me rreshtin " përsëritje:" Prandaj, ne e pranojmë atë siç lejohet.

Tabela 5.6

Tabela e thjeshtëII përsëritjet

				e vlerësuar marrëdhënie
				3/1=3 – min

Faza 9: transformimi i tabelës Simplex.

Transformimet e tabelës simplex (Tabela 5.6) kryhen në të njëjtën mënyrë si në përsëritjen e mëparshme. Rezultatet e shndërrimeve të elementeve të tabelës Simplex jepen në tabelën 5.7.

III përsëritje

Bazuar në rezultatet e transformimeve të Simpleksit të përsëritjes së mëparshme, ne përpilojmë një tabelë të re Simplex:

Tabela 5.7

Tabela e thjeshtëIII përsëritjet

				e vlerësuar marrëdhënie

Faza 2: përcaktimi i zgjidhjes bazë.

Si rezultat i transformimeve Simplex, u mor një zgjidhje e re bazë (Tabela 5.7):

Faza 3: kontrollimi i përputhshmërisë së sistemit të kufizimeve.

Mospërputhja e sistemit të kufizimeve në përputhje me tiparin 1 në Tabelën 5.7 nuk është identifikuar.

Faza 4: kontrollimi i kufijve të funksionit objektiv.

Pakufishmëria e funksionit objektiv në përputhje me kriterin 2 në Tabelën 5.7 nuk zbulohet.

Faza 5: kontrollimi i pranueshmërisë së zgjidhjes bazë të gjetur.

Zgjidhja bazë e gjetur në përputhje me kriterin 3 është e pranueshme, pasi nuk përmban përbërës negativë.

Faza 6: kontrollimi i optimalitetit të zgjidhjes bazë të gjetur.

Zgjidhja bazë e gjetur në përputhje me kriterin 4 nuk është optimale, pasi vija e funksionit objektiv të tabelës Simplex (Tabela 5.7) përmban një element negativ: -3 (numri i lirë i kësaj rreshti nuk merret parasysh kur merret parasysh kjo karakteristike). Prandaj, kalojmë në fazën 8.

Faza 8: përcaktimi i elementit zgjidhës.

8.1. Përkufizimi i kolonës së rezolucionit.

Zgjidhja bazë e gjetur është e pranueshme përcaktojmë kolonat me elemente negative në rreshtin e funksionit objektiv (përveç kolonës së numrave të lirë). Sipas tabelës 5.7, ekziston vetëm një kolonë e tillë: “ x4" Prandaj, ne e pranojmë atë siç lejohet.

8.2. Përkufizimi i një vargu aktivizues.

Sipas vlerave të marra të marrëdhënieve vlerësuese pozitive në tabelën 5.8, minimumi është relacioni që korrespondon me rreshtin " x3" Prandaj, ne e pranojmë atë siç lejohet.

Tabela 5.8

Tabela e thjeshtëIII përsëritjet

				e vlerësuar marrëdhënie
				5/5=1 – min

Faza 9: transformimi i tabelës Simplex.

Transformimet e tabelës simplex (Tabela 5.8) kryhen në të njëjtën mënyrë si në përsëritjen e mëparshme. Rezultatet e shndërrimeve të elementeve të tabelës Simplex jepen në tabelën 5.9.

IV përsëritje

Faza 1: ndërtimi i një tabele të re simplex.

Bazuar në rezultatet e transformimeve të Simpleksit të përsëritjes së mëparshme, ne përpilojmë një tabelë të re Simplex:

Tabela 5.9

Tabela e thjeshtëIV përsëritjet

				e vlerësuar marrëdhënie
			–(–3/5)=3/5
			–(1/5)=–1/5
			–(9/5)=–9/5
			–(–3/5)=3/5

Faza 2: përcaktimi i zgjidhjes bazë.

Si rezultat i transformimeve Simplex, është marrë një zgjidhje e re bazë sipas tabelës 5.9, zgjidhja është si më poshtë:

Faza 3: kontrollimi i përputhshmërisë së sistemit të kufizimeve.

Mospërputhja e sistemit të kufizimeve në përputhje me tiparin 1 në Tabelën 5.9 nuk është identifikuar.

Faza 4: kontrollimi i kufijve të funksionit objektiv.

Pakufishmëria e funksionit objektiv në përputhje me kriterin 2 në tabelën 5.9 nuk zbulohet.

Faza 5: kontrollimi i pranueshmërisë së zgjidhjes bazë të gjetur.

Zgjidhja bazë e gjetur në përputhje me kriterin 3 është e pranueshme, pasi nuk përmban përbërës negativë.

Faza 6: kontrollimi i optimalitetit të zgjidhjes bazë të gjetur.

Zgjidhja bazë e gjetur në përputhje me tiparin 4 është optimale, pasi nuk ka elementë negativë në vijën e funksionit objektiv të tabelës simplex (Tabela 5.9) (numri i lirë i kësaj rreshti nuk merret parasysh kur merret parasysh kjo veçori) .

Faza 7: kontrollimi i alternativës së zgjidhjes.

Zgjidhja e gjetur është unike, pasi nuk ka elemente zero në vijën e funksionit objektiv (Tabela 5.9) (numri i lirë i kësaj rreshti nuk merret parasysh kur merret parasysh kjo karakteristikë).

Përgjigje: vlera optimale e funksionit objektiv të problemit në shqyrtim =24, e cila arrihet në.

Shembulli 5.2. Zgjidheni problemin e mësipërm të programimit linear me kusht që funksioni objektiv të minimizohet:

Zgjidheni problemin e mëposhtëm të programimit linear duke përdorur metodën simplex:

Zgjidhja: I

Faza 1: formimi i tabelës fillestare të Simpleksit.

Problemi origjinal i programimit linear është dhënë në formë standarde. Le ta sjellim në formë kanonike duke futur në secilin prej kufizimeve të pabarazisë një ndryshore shtesë jo negative, d.m.th.

Në sistemin rezultues të ekuacioneve marrim si variabla të lejuar (bazë). përsëritje:, x3, x4, x5, atëherë variablat e lirë do të jenë x6,x1. Le të shprehim variablat bazë në terma të atyre të lirë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve