Ndërtoni një model gjeometrik të numrave kompleks. Argumenti kryesor i një numri kompleks

Imazhi gjeometrik numra komplekse. Forma trigonometrike numër kompleks.

2015-06-04

Bosht real dhe imagjinar
Argumenti i numrit kompleks
Argumenti kryesor numër kompleks
Forma trigonometrike e një numri kompleks

Përcaktimi i një numri kompleks $z = a+bi$ është i barabartë me specifikimin e dy numrave realë $a,b$ - pjesët reale dhe imagjinare të këtij numri kompleks. Por një çift i renditur i numrave $(a,b)$ është përshkruar në karteziane sistem drejtkëndor koordinon nga një pikë me koordinatat $(a, b)$. Kështu, kjo pikë mund të shërbejë si imazh për numrin kompleks $z$: ndërmjet numrave kompleksë dhe pikave plan koordinativ krijohet një korrespondencë një me një.

Kur përdoret plani koordinativ për të përfaqësuar numrat kompleks, zakonisht thirret boshti $Ox$ bosht real(sepse pjesë reale numri merret si abshisa e pikës), dhe boshti $Oy$ merret si bosht imagjinar (pasi pjesa imagjinare e numrit merret si ordinata e pikës).

Numri kompleks $z$ i përfaqësuar nga pika $M(a,b)$ quhet shtojcë e kësaj pike. Në këtë rast, numrat realë përfaqësohen nga pikat që shtrihen në boshtin real, dhe të gjithë numrat thjesht imagjinarë $bi$ (për $a = 0$) përfaqësohen nga pikat që shtrihen në boshtin imagjinar. Numri zero përfaqësohet nga pika O.

Fig.1
Në Fig. 1, imazhet e numrave $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Dy numra komplekse të konjuguar përfaqësohen nga pika simetrike rreth boshtit $Ox$ (pikat $z_(1)$ dhe $z_(8)$ në Fig. 1).

Oriz. 2
Shpesh i lidhur me një numër kompleks $z$ nuk është vetëm pika $M$ që përfaqëson këtë numër, por edhe vektori $\vec(OM)$ që çon nga $O$ në $M$; Paraqitja e numrit $z$ si vektor është i përshtatshëm nga pikëpamja e interpretimit gjeometrik të veprimit të mbledhjes dhe zbritjes së numrave kompleks. Në Fig. 2, dhe tregohet se vektori që përfaqëson shumën e numrave kompleks $z_(1), z_(2)$ është marrë si diagonale e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ që përfaqëson termat. Ky rregull për mbledhjen e vektorëve njihet si rregulli i paralelogramit (për shembull, për shtimin e forcave ose shpejtësive në një kurs fizikë). Zbritja mund të reduktohet në mbledhje me vektorin e kundërt (Fig. 2, b).

Oriz. 3
Siç dihet, pozicioni i një pike në një plan mund të specifikohet edhe nga koordinatat e saj polare $r, \phi$. Kështu, numri kompleks - shtesa e një pike - do të përcaktohet gjithashtu duke specifikuar $r$ dhe $\phi$. Nga Fig. 3 është e qartë se $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ është në të njëjtën kohë moduli i numrit kompleks $z$: rrezja polare e pikës që përfaqëson numrin $z$, e barabartë me modulin këtë numër.

Këndi polar i një pike $M$ quhet argument i numrit $z$ të përfaqësuar nga kjo pikë.

Argumenti i një numri kompleks (si këndi polar i një pike) nuk është i përcaktuar në mënyrë unike; nëse $\phi_(0)$ është një nga vlerat e tij, atëherë të gjitha vlerat e tij shprehen me formulën
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Të gjitha vlerat e argumentit shënohen kolektivisht me simbolin $Arg \: z$.

Pra, çdo numër kompleks mund të shoqërohet me një çift numrash realë: modul dhe argument numri i dhënë, dhe argumenti përkufizohet në mënyrë të paqartë. Përkundrazi, duke pasur parasysh modulin $|z| = r$ dhe korrespondon argumenti $\phi$ njëjës$z$ që ka modulin dhe argumentin e dhënë. Karakteristikat e veçanta ka numrin zero: modulin e tij e barabartë me zero, argumentit nuk i jepet ndonjë kuptim specifik.

Për të arritur paqartësi në përcaktimin e argumentit të një numri kompleks, mund të bini dakord të quani një nga vlerat e argumentit kryesore. Ajo shënohet me simbolin $arg \: z$. Në mënyrë tipike, vlera kryesore e argumentit zgjidhet të jetë një vlerë që plotëson pabarazitë
$0 \leq arg \: z (në raste të tjera pabarazitë $- \pi

Le t'i kushtojmë vëmendje edhe vlerave të argumentit të numrave realë dhe thjesht imagjinarë:
$arg \: a = \begin(rastet) 0, & \text(nëse) a>0, \\
\pi, & \text(nëse) a $arg \: bi = \begin(rastet) \frac(\pi)(2), & \text(nëse) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \tekst(nëse) b

Pjesë reale dhe imagjinare të një numri kompleks (si Koordinatat karteziane pikat) shprehen nëpërmjet modulit dhe argumentit të tij ( koordinatat polare pikë) sipas formulave:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
dhe një numër kompleks mund të shkruhet në formën e mëposhtme trigonometrike:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(shkrimin e një numri në formën $z = a + bi$ do ta quajmë rekord në formë algjebrike).

Kushti për barazinë e dy numrave të dhënë në formë trigonometrike është si vijon: dy numra $z_(1)$ dhe $z_(2)$ janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse modulët e tyre janë të barabartë, dhe argumentet janë të barabartë ose ndryshojnë nga një numër i plotë periodash $2 \pi $.

Kalimi nga shkrimi i një numri në formë algjebrike në shkrimin e tij në formë trigonometrike dhe anasjelltas bëhet sipas formulave (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac(b )(a)$ (3)
dhe formulat (1). Kur përcaktoni një argument (vlera e tij kryesore), mund të përdorni vlerën e njërit prej funksionet trigonometrike$\cos \phi$ ose $\sin \phi$ dhe merrni parasysh shenjën e së dytës.

Shembull. Shkruani numrat e mëposhtëm në formë trigonometrike:
a) 6$ + 6i$; b) $3i$; c) -10 dollarë.
Zgjidhje, a) Kemi
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
prej nga $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, dhe, prandaj,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \djathtas)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \majtas (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \djathtas)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Përcaktimi i një numri kompleks është i barabartë me specifikimin e dy numrave realë a, b - pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks të caktuar. Por një çift i renditur numrash përfaqësohet në sistemin e koordinatave drejtkëndëshe nga një pikë me koordinata. Kështu, kjo pikë mund të shërbejë edhe si imazh për numrin kompleks z: korrespondon një-për-një midis numrave kompleksë dhe pikave. të planit koordinativ. Kur përdoret plani koordinativ për të përshkruar numrat kompleks, boshti Ox zakonisht quhet bosht real (pasi pjesa reale e numrit merret si abshisa e pikës), dhe boshti Oy është boshti imagjinar (pasi pjesa imagjinare i numrit merret si ordinatë e pikës). Numri kompleks z i paraqitur nga pika (a, b) quhet shtojcë e kësaj pike. Në këtë rast, numrat realë përfaqësohen nga pikat që shtrihen në boshtin real, dhe të gjithë numrat thjesht imagjinarë (për a = 0) përfaqësohen nga pikat që shtrihen në boshtin imagjinar. Numri zero përfaqësohet nga pika O.

Në Fig. Ndërtohen 8 imazhe numrash.

Dy numra komplekse të konjuguar përfaqësohen nga pika simetrike rreth boshtit Ox (pikat në Fig. 8).

Shpesh e lidhur me një numër kompleks nuk është vetëm pika M, që përfaqëson këtë numër, por edhe vektori OM (shih paragrafin 93), që çon nga O në M; Paraqitja e një numri si vektor është i përshtatshëm nga pikëpamja e interpretimit gjeometrik të veprimit të mbledhjes dhe zbritjes së numrave kompleksë.

Në Fig. 9, a tregohet se vektori që përfaqëson shumën e numrave kompleks është marrë si diagonale e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë që përfaqësojnë termat.

Ky rregull për mbledhjen e vektorëve njihet si rregulli i paralelogramit (për shembull, për shtimin e forcave ose shpejtësive në një kurs fizikë). Zbritja mund të reduktohet në mbledhje me vektorin e kundërt (Fig. 9, b).

Siç dihet (pika 8), pozicioni i një pike në rrafsh mund të specifikohet edhe nga koordinatat e saj polare Kështu, numri kompleks - shtesa e pikës do të përcaktohet gjithashtu nga detyra Nga Fig. 10 është e qartë se në të njëjtën kohë moduli i një numri kompleks është: rrezja polare e pikës që përfaqëson numrin është e barabartë me modulin e këtij numri.

Këndi polar i një pike M quhet argumenti i numrit të paraqitur nga kjo pikë. Argumenti i një numri kompleks (si këndi polar i një pike) nuk është i përcaktuar në mënyrë unike; nëse është një nga vlerat e tij, atëherë të gjitha vlerat e tij shprehen me formulë

Të gjitha vlerat e argumentit shënohen kolektivisht me simbolin.

Pra, çdo numër kompleks mund të shoqërohet me një palë numrash realë: modulin dhe argumentin e numrit të dhënë, dhe argumenti përcaktohet në mënyrë të paqartë. Përkundrazi, një modul dhe argument i caktuar korrespondon me një numër të vetëm që ka modulin dhe argumentin e dhënë. Numri zero ka veti të veçanta: moduli i tij është i barabartë me zero dhe asnjë vlerë specifike nuk i është caktuar argumentit të tij.

Për të arritur paqartësi në përcaktimin e argumentit të një numri kompleks, mund të bini dakord të quani një nga vlerat e argumentit kryesore. Përcaktohet nga simboli. Në mënyrë tipike, vlera kryesore e argumentit zgjidhet të jetë një vlerë që plotëson pabarazitë

(në raste të tjera pabarazitë).

Le t'i kushtojmë vëmendje edhe vlerave të argumentit të numrave realë dhe thjesht imagjinarë:

Pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks (si koordinatat karteziane të një pike) shprehen përmes modulit dhe argumentit të tij (koordinatat polare të pikës) duke përdorur formulat (8.3):

dhe një numër kompleks mund të shkruhet në formën e mëposhtme trigonometrike.

Numrat kompleks

Konceptet Bazë

Të dhënat fillestare për numrin datojnë në epokën e gurit - epokën paleomelitike. Këto janë "një", "pak" dhe "shumë". Ato regjistroheshin në formën e pikave, nyjeve etj. Zhvillimi i proceseve të punës dhe shfaqja e pronës e detyruan njeriun të shpikë numrat dhe emrat e tyre. I pari që u shfaq numra të plotë N, i përftuar duke numëruar artikujt. Më pas, së bashku me nevojën për të numëruar, njerëzit kishin nevojë për të matur gjatësitë, sipërfaqet, vëllimet, kohën dhe sasitë e tjera, ku duhej të merrnin parasysh pjesë të masës së përdorur. Kështu u krijuan thyesat. Arsyetimi formal i koncepteve të thyesore dhe numër negativ u krye në shekullin e 19-të. Një grup numrash të plotë Z– këta janë numra natyrorë, numra natyrorë me shenjë minus dhe zero. E tërë dhe numrat thyesorë formoi një grup numrat racionalë P, por rezultoi i pamjaftueshëm edhe për studimin e variablave në ndryshim të vazhdueshëm. Zanafilla tregoi përsëri papërsosmërinë e matematikës: pamundësinë për të zgjidhur një ekuacion të formës X 2 = 3, kjo është arsyeja pse u shfaqën numrat irracionalë I. Bashkimi i bashkësisë së numrave racionalë P Dhe numrat irracionalë I– grup numrash realë (ose realë). R. Si rezultat, rreshti numerik u plotësua: çdo numër real korrespondonte me një pikë në të. Por në shumë R nuk ka asnjë mënyrë për të zgjidhur një ekuacion të formës X 2 = – A 2. Për rrjedhojë, lindi sërish nevoja për të zgjeruar konceptin e numrit. Kështu u shfaqën numrat kompleksë në 1545. Krijuesi i tyre J. Cardano i quajti ata "thjesht negativë". Emri "imagjinar" u prezantua në vitin 1637 nga francezi R. Descartes, në 1777 Euler propozoi përdorimin e shkronjës së parë të numrit francez. i për të treguar njësinë imagjinare. Ky simbol hyri në përdorim të përgjithshëm falë K. Gauss.

Gjatë shekujve 17 dhe 18, diskutimi i natyrës aritmetike të imagjinarëve dhe interpretimi i tyre gjeometrik vazhdoi. Danezi G. Wessel, francezi J. Argan dhe gjermani K. Gauss propozuan në mënyrë të pavarur të përfaqësonin një numër kompleks si një pikë në planin koordinativ. Më vonë doli se është edhe më i përshtatshëm të përfaqësosh një numër jo nga vetë pika, por nga një vektor që shkon në këtë pikë nga origjina.

Vetëm nga fundi i shekullit të 18-të dhe fillimi i shekullit të 19-të, numrat kompleksë zunë vendin e tyre të merituar në analiza matematikore. Përdorimi i tyre i parë është në teori ekuacionet diferenciale dhe në teorinë e hidrodinamikës.

Përkufizimi 1.Numri kompleks quhet shprehje e formës , ku x Dhe y janë numra realë, dhe i– njësi imagjinare, .

Dy numra kompleks dhe të barabartë nese dhe vetem nese , .

Nëse , atëherë thirret numri thjesht imagjinare; nëse , atëherë numri është një numër real, kjo do të thotë se bashkësia R ME, Ku ME– një grup numrash kompleksë.

Konjuguar për një numër kompleks quhet një numër kompleks.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks.

Çdo numër kompleks mund të përfaqësohet me një pikë M(x, y) aeroplan Oksi. Një çift numrash real shënon gjithashtu koordinatat e vektorit të rrezes , d.m.th. ndërmjet grupit të vektorëve në rrafsh dhe grupit të numrave kompleksë, mund të vendoset një korrespondencë një me një: .

Përkufizimi 2.Pjesa reale X.

Përcaktimi: x= Re z(nga latinishtja Realis).

Përkufizimi 3.Pjesë imagjinare numri kompleks është një numër real y.

Përcaktimi: y= Im z(nga latinishtja Imaginarius).

Re zështë depozituar në bosht ( Oh) Une jam zështë depozituar në bosht ( Oh), atëherë vektori që i përgjigjet numrit kompleks është vektori i rrezes së pikës M(x, y), (ose M(Re z Une jam z)) (Fig. 1).

Përkufizimi 4. Një rrafsh, pikat e të cilit lidhen me një grup numrash kompleksë quhet plan kompleks . Boshti i abshisave quhet bosht real, pasi përmban numra realë. Boshti y quhet bosht imagjinar, ai përmban numra komplekse thjesht imagjinarë. Shënohet bashkësia e numrave kompleksë ME.

Përkufizimi 5.Moduli numër kompleks z = (x, y) quhet gjatësia e vektorit: , d.m.th. .

Përkufizimi 6.Argumenti numri kompleks është këndi ndërmjet drejtim pozitiv sëpata ( Oh) dhe vektori: .

Shënim 3. Nëse pika z shtrihet në boshtin real ose imagjinar, atëherë mund ta gjeni drejtpërdrejt.

Numrat kompleks dhe
koordinoj
aeroplan

Modeli gjeometrik i bashkësisë R të numrave realë është vija numerike. Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme

në
vija numerike dhe çdo pikë në vijë
vetëm një ndeshje
numër real!

Duke shtuar një dimension tjetër në rreshtin numerik që korrespondon me grupin e të gjithë numrave realë - rreshtin që përmban grupin e numrave të pastër

Duke i shtuar vijës numerike që i përgjigjet grupit
e të gjithë numrave realë një dimension më shumë -
një vijë e drejtë që përmban një grup numrash thjesht imagjinarë -
marrim një plan koordinativ në të cilin secili
mund të shoqërohet numri kompleks a+bi
pika (a; b) e planit koordinativ.
i=0+1i korrespondon me pikën (0;1)
2+3i korrespondon me pikën (2;3)
-i-4 korrespondon me pikën (-4;-1)
5=5+1i korrespondon me melankolinë (5;0)

Kuptimi gjeometrik i veprimit të konjugimit

! Operacioni i çiftëzimit është boshtor
simetria rreth boshtit të abshisave.
!! Të lidhura me njëri-tjetrin
Numrat kompleksë janë të barabartë nga
origjinën.
!!! Vektorët që përshkruajnë
numrat e konjuguar, të prirur nga boshti
abscissa në të njëjtin kënd, por
të vendosura sipas anët e ndryshme nga
këtë aks.

Foto e numrave realë

Foto e numrave kompleksë

algjebrike
mënyrë
Imazhet:
Numri kompleks
përshkruhet a+bi
pikë e rrafshët
me koordinata
(a;b)

Shembuj të paraqitjes së numrave kompleksë në planin koordinativ

(Ne jemi të interesuar
numra komplekse
z=x+yi , për të cilën
x=-4. Ky është ekuacioni
drejt,
boshti paralel
ordinate)
në
X= - 4
E vlefshme
pjesa është -4
0
X

Vizatoni në planin koordinativ bashkësinë e të gjithë numrave kompleksë për të cilët:

Pjesë imagjinare
është i barabartë
të paqarta
natyrore
numri
(Ne jemi të interesuar
numra komplekse
z=x+yi, për të cilën
y=2,4,6,8.
Imazhi gjeometrik
përbëhet nga katër
drejt, paralel
boshti x)
në
8
6
4
2
0
X

Numrat kompleks, paraqitja e tyre në aeroplan. Veprimet algjebrike mbi numrat kompleks. Çiftim kompleks. Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Algjebrike dhe formë trigonometrike numër kompleks. Rrënjët e numrave kompleks. Funksioni eksponencial argument kompleks. formula e Euler-it. Forma eksponenciale e një numri kompleks.

Kur studiojmë një nga metodat themelore të integrimit: integrimin thyesat racionale– për të kryer prova rigoroze, kërkohet të merren parasysh polinomet në domenin kompleks. Prandaj, së pari le të studiojmë disa veti të numrave kompleksë dhe veprimet mbi to.

Përkufizimi 7.1. Një numër kompleks z është një çift i renditur i numrave realë (a,b) : z = (a,b) (termi "i renditur" do të thotë që në shkrimin e një numri kompleks renditja e numrave a dhe b është e rëndësishme: (a ,b)≠(b,a )). Në këtë rast, numri i parë a quhet pjesa reale e numrit kompleks z dhe shënohet a = Re z, dhe numri i dytë b quhet pjesa imagjinare e z: b = Im z.

Përkufizimi 7.2. Dy numra komplekse z 1 = (a 1 , b 1) dhe z 2 = (a 2 , b 2) janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse pjesët e tyre reale dhe imagjinare janë të barabarta, domethënë a 1 = a 2, b 1 = b 2 .

Veprimet me numra kompleks.

1. Shuma numra komplekse z 1 =(a 1, b 1) Dhe z 2 =(a 2, b 2 z =(a, b) sikurse a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Vetitë e shtimit: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) ekziston një numër kompleks 0 = (0,0): z + 0 =z për çdo numër kompleks z.

2. Puna numra komplekse z 1 =(a 1, b 1) Dhe z 2 =(a 2, b 2) quhet numër kompleks z =(a, b) sikurse a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Vetitë e shumëzimit: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Komentoni. Një nëngrup i grupit të numrave kompleks është bashkësia e numrave realë, të përcaktuar si numra kompleks të formës ( A, 0). Mund të shihet se përkufizimi i veprimeve në numrat kompleks ruan rregullat e njohura për veprimet përkatëse në numrat realë. Përveç kësaj, numri real 1 = (1,0) ruan vetinë e tij kur shumëzohet me çdo numër kompleks: 1∙ z = z.

Përkufizimi 7.3. Numri kompleks (0, b) quhet thjesht imagjinare. Në veçanti, thirret numri (0,1). njësi imagjinare dhe shënohet nga simboli i.

Vetitë e njësisë imagjinare:

1) i∙i=i² = -1; 2) të pastër numër imagjinar (0,b) mund të përfaqësohet si prodhim i një numri real ( b, 0) dhe i: (b, 0) = b∙i.

Prandaj, çdo numër kompleks z = (a,b) mund të paraqitet si: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Përkufizimi 7.4. Një shënim i formës z = a + ib quhet formë algjebrike shkrimi i një numri kompleks.

Komentoni. Shënimi algjebrik i numrave kompleks lejon veprimet mbi ta sipas rregullave të zakonshme të algjebrës.

Përkufizimi 7.5. Një numër kompleks quhet konjugat kompleks i z = a + ib.

3. Zbritja numrat kompleks përkufizohen si veprim i kundërt i mbledhjes: z =(a, b) quhet diferenca e numrave kompleks z 1 =(a 1, b 1) Dhe z 2 =(a 2, b 2), Nëse a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Divizioni numrat kompleks përkufizohen si veprim i kundërt i shumëzimit: numri z = a + ib quhet herësi i pjesëtimit z 1 = a 1 + ib 1 Dhe z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), nëse z 1 = z∙z 2 . Rrjedhimisht, pjesët reale dhe imagjinare të herësit mund të gjenden nga zgjidhja e sistemit të ekuacioneve: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Interpretimi gjeometrik i numrave kompleks.

Numri kompleks z =(a, b) mund të përfaqësohet si një pikë në një plan me koordinata ( a, b) ose një vektor me origjinë në origjinë dhe fund në pikën ( a, b).

Në këtë rast, quhet moduli i vektorit që rezulton modul numër kompleks, dhe këndi i formuar nga vektori me drejtim pozitiv të boshtit të abshisës është argument numrat. Duke pasur parasysh atë a = ρ cos φ, b = ρ mëkat φ, Ku ρ = |z| - modul z, dhe φ = arg z është argumenti i tij, mund të merrni një formë tjetër të shkrimit të një numri kompleks:

Përkufizimi 7.6. Lloji i regjistrimit

z = ρ(cos φ + i mëkat φ ) (7.1)

thirrur formë trigonometrike shkrimi i një numri kompleks.

Nga ana tjetër, moduli dhe argumenti i një numri kompleks mund të shprehen përmes A Dhe b: . Rrjedhimisht, argumenti i një numri kompleks nuk përcaktohet në mënyrë unike, por deri në një term që është shumëfish i 2π.

Është e lehtë të verifikohet se operacioni i mbledhjes së numrave kompleks korrespondon me veprimin e mbledhjes së vektorëve. Le të shqyrtojmë interpretimin gjeometrik të shumëzimit. Le pastaj

Prandaj, moduli i prodhimit të dy numrave kompleks është e barabartë me produktin modulet e tyre, dhe argumenti është shuma e argumenteve të tyre. Prandaj, gjatë pjesëtimit, moduli i herësit e barabartë me raportin modulet e dividendit dhe pjesëtuesit, dhe argumenti është ndryshimi i argumenteve të tyre.

Një rast i veçantë i operacionit të shumëzimit është fuqizimi:

- formula e Moivre.

Duke përdorur marrëdhëniet e marra, ne rendisim vetitë themelore numra komplekse të konjuguar:

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve