Prezantim për një orë mësimi algjebër (klasa e 9-të) me temë: Prezantim për një orë mësimi: "Identitetet bazë trigonometrike. Zgjidhja e problemit"

Në këtë artikull do të bëjmë një vështrim gjithëpërfshirës. bazë identitetet trigonometrike përfaqësojnë barazitë që krijojnë një lidhje midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi dhe lejojnë që dikush të gjejë cilindo nga këto funksione trigonometrike përmes një tjetrit të njohur.

Le të rendisim menjëherë identitetet kryesore trigonometrike që do të analizojmë në këtë artikull. Le t'i shkruajmë ato në një tabelë dhe më poshtë do të japim rezultatet e këtyre formulave dhe do të japim shpjegimet e nevojshme.

Navigimi i faqes.

Lidhja midis sinusit dhe kosinusit të një këndi

Ndonjëherë ata nuk flasin për identitetet kryesore trigonometrike të renditura në tabelën e mësipërme, por për një të vetme identiteti bazë trigonometrik lloj . Shpjegimi për këtë fakt është mjaft i thjeshtë: barazitë përftohen nga identiteti kryesor trigonometrik pas pjesëtimit të të dy pjesëve të tij me dhe përkatësisht, dhe barazitë. Dhe vijoni nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit. Ne do të flasim për këtë më në detaje në paragrafët e mëposhtëm.

Kjo do të thotë, është barazia që paraqet interes të veçantë, të cilës i është dhënë emri i identitetit kryesor trigonometrik.

Para se të vërtetojmë identitetin kryesor trigonometrik, japim formulimin e tij: shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi është identikisht e barabartë me një. Tani le ta vërtetojmë.

Identiteti bazë trigonometrik përdoret shumë shpesh kur transformimi shprehjet trigonometrike . Ai lejon që shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të një këndi të zëvendësohet me një. Jo më pak shpesh përdoret identiteti bazë trigonometrik në rend i kundërt: njësia zëvendësohet nga shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit të çdo këndi.

Tangjente dhe kotangjente përmes sinusit dhe kosinusit

Identitetet që lidhin tangjenten dhe kotangjenten me sinusin dhe kosinusin e një këndi të shikimit dhe ndiqen menjëherë nga përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentit. Në të vërtetë, sipas përkufizimit, sinusi është ordinata e y, kosinusi është abshisa e x, tangjentja është raporti i ordinatës me abshisën, d.m.th. , dhe kotangjentja është raporti i abshisës me ordinatën, d.m.th. .

Falë dukshmërisë së tillë të identiteteve dhe Tangjentja dhe kotangjentja shpesh përcaktohen jo përmes raportit të abshisës dhe ordinatës, por përmes raportit të sinusit dhe kosinusit. Pra, tangjentja e një këndi është raporti i sinusit me kosinusin e këtij këndi, dhe kotangjentja është raporti i kosinusit me sinusin.

Në përfundim të këtij paragrafi, duhet theksuar se identitetet dhe zënë vend për të gjitha këndet në të cilat funksionet trigonometrike të përfshira në to kanë kuptim. Pra formula është e vlefshme për çdo , përveç (përndryshe emëruesi do të ketë zero, dhe ne nuk e kemi përcaktuar ndarjen me zero), dhe formula - për të gjitha , të ndryshme nga , ku z është çdo .

Marrëdhënia midis tangjentes dhe kotangjentes

Një identitet trigonometrik edhe më i dukshëm se dy të mëparshmet është identiteti që lidh tangjenten dhe kotangjenten e një këndi të formës. . Është e qartë se ajo zhvillohet për çdo kënd tjetër përveç , në ndryshe ose tangjente ose kotangjente nuk është përcaktuar.

Vërtetim i formulës shumë e thjeshtë. Sipas definicionit dhe prej nga . Prova mund të ishte kryer pak më ndryshe. Që nga viti , Kjo .

Pra, tangjentja dhe kotangjentja e të njëjtit kënd në të cilin kanë kuptim janë .

Kjo është e fundit dhe më e shumta mësimi kryesor, e nevojshme për zgjidhjen e problemave B11. Ne tashmë dimë se si t'i shndërrojmë këndet nga një masë radian në një masë shkallë (shiko mësimin "Masa radian dhe shkallë e një këndi"), dhe ne gjithashtu dimë se si të përcaktojmë shenjën funksioni trigonometrik, duke u fokusuar në tremujorët e koordinatave (shih mësimin “Shenjat e funksioneve trigonometrike”).

E vetmja gjë që mbetet për të bërë është llogaritja e vlerës së vetë funksionit - vetë numri që është shkruar në përgjigje. Këtu vjen në shpëtim identiteti bazë trigonometrik.

Identiteti bazë trigonometrik. Për çdo kënd α, pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Kjo formulë lidh sinusin dhe kosinusin e një këndi. Tani, duke ditur sinusin, ne mund ta gjejmë lehtësisht kosinusin - dhe anasjelltas. Mjafton të marrësh rrënjën katrore:

Vini re shenjën "±" përpara rrënjëve. Fakti është se nga identiteti bazë trigonometrik nuk është e qartë se cili ishte sinusi dhe kosinusi origjinal: pozitiv apo negativ. Në fund të fundit, katrori - madje funksion, e cila "djegon" të gjitha disavantazhet (nëse ka pasur).

Kjo është arsyeja pse në të gjitha problemet B11, të cilat gjenden në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, ka domosdoshmërisht kushte shtesë që ndihmojnë në heqjen e pasigurisë me shenja. Zakonisht ky është një tregues i tremujorit koordinativ, me të cilin mund të përcaktohet shenja.

Një lexues i vëmendshëm ndoshta do të pyesë: "Po në lidhje me tangjentën dhe kotangjenten?" Është e pamundur të llogariten drejtpërdrejt këto funksione nga formulat e mësipërme. Megjithatë, ka pasoja të rëndësishme nga identiteti bazë trigonometrik, të cilat tashmë përmbajnë tangjente dhe kotangjente. Gjegjësisht:

Një përfundim i rëndësishëm: për çdo kënd α mund të rishkruajmë identitetin bazë trigonometrik si më poshtë:

Këto ekuacione rrjedhin lehtësisht nga identiteti kryesor - mjafton që të dy anët të ndahen me cos 2 α (për të marrë tangjenten) ose me sin 2 α (për të marrë kotangjenten).

Le të shohim të gjitha këto në shembuj specifikë. Më poshtë janë problemet reale të B11 të cilat janë marrë nga ato tallëse Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë 2012.

Ne e dimë kosinusin, por nuk e dimë sinusin. Identiteti kryesor trigonometrik (në formën e tij "të pastër") lidh pikërisht këto funksione, kështu që ne do të punojmë me të. Ne kemi:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Për të zgjidhur problemin, mbetet për të gjetur shenjën e sinusit. Meqë këndi α ∈ (π /2; π ), atëherë në masë shkallë shkruhet si më poshtë: α ∈ (90°; 180°).

Prandaj, këndi α shtrihet në II tremujori koordinativ- të gjitha sinuset atje janë pozitive. Prandaj sin α = 0,1.

Pra, ne e dimë sinusin, por duhet të gjejmë kosinusin. Të dy këto funksione janë në identitetin bazë trigonometrik. Le të zëvendësojmë:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Mbetet të merremi me shenjën përballë thyesës. Çfarë të zgjidhni: plus apo minus? Sipas kushtit, këndi α i përket intervalit (π 3π /2). Le t'i kthejmë këndet nga masat radiane në gradë - marrim: α ∈ (180°; 270°).

Natyrisht, ky është tremujori i koordinatave III, ku të gjithë kosinuset janë negativë. Prandaj cos α = -0,5.

Detyrë. Gjeni tan α nëse dihet sa vijon:

Tangjentja dhe kosinusi lidhen me ekuacionin që vijon nga identiteti bazë trigonometrik:

Marrim: tan α = ±3. Shenja e tangjentes përcaktohet nga këndi α. Dihet se α ∈ (3π /2; 2π ). Le t'i kthejmë këndet nga masat radiane në gradë - marrim α ∈ (270°; 360°).

Natyrisht, ky është tremujori i koordinatave IV, ku të gjitha tangjentet janë negative. Prandaj tan α = −3.

Detyrë. Gjeni cos α nëse dihet sa vijon:

Sërish sinusi njihet dhe kosinusi është i panjohur. Le të shkruajmë identitetin kryesor trigonometrik:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Shenja përcaktohet nga këndi. Kemi: α ∈ (3π /2; 2π ). Le të konvertojmë këndet nga masë shkallë në një radian: α ∈ (270°; 360°) është tremujori i koordinatave IV, kosinuset atje janë pozitive. Prandaj, cos α = 0.6.

Detyrë. Gjeni sin α nëse dihet sa vijon:

Le të shkruajmë një formulë që rrjedh nga identiteti bazë trigonometrik dhe që lidh drejtpërdrejt sinusin dhe kotangjentin:

Nga këtu marrim se sin 2 α = 1/25, d.m.th. sin α = ±1/5 = ±0,2. Dihet se këndi α ∈ (0; π /2). Në masën e shkallës, kjo shkruhet si më poshtë: α ∈ (0°; 90°) - I koordinoj tremujorin.

Pra, këndi është në kuadrantin e koordinatave I - të gjitha funksionet trigonometrike atje janë pozitive, kështu që sin α = 0,2.

Funksionet trigonometrike- Kërkesa "mëkat" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "sek" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera. Kërkesa "Sine" ridrejtohet këtu; shih edhe kuptime të tjera... Wikipedia

Tan

Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Pamja e funksioneve trigonometrike funksionet elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Kosinusi- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangjente- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Sekante- Oriz. 1 Grafikët e funksioneve trigonometrike: sinus, kosinus, tangent, sekant, kosekant, kotangjent Funksionet trigonometrike janë një lloj funksionesh elementare. Zakonisht këto përfshijnë sinusin (sin x), kosinusin (cos x), tangjentën (tg x), kotangjentën (ctg x), ... ... Wikipedia

Historia e trigonometrisë- Matjet gjeodezike (shek. XVII) ... Wikipedia

Tangjentja e formulës së gjysmëkëndit- Në trigonometri, formula tangjente gjysmë këndi lidh tangjentën e një gjysmë këndi me funksionet trigonometrike kënd i plotë: Variacione të ndryshme të kësaj formule janë si më poshtë... Wikipedia

Trigonometria- (nga greqishtja τρίγονο (trekëndësh) dhe greqishtja μετρειν (masë), domethënë matja e trekëndëshave) një degë e matematikës në të cilën studiohen funksionet trigonometrike dhe aplikimet e tyre në gjeometri. Ky term u shfaq për herë të parë në 1595 si... ... Wikipedia

Zgjidhja e trekëndëshave- (lat. solutio triangulorum) term historik, që do të thotë zgjidhja e kryesore problem trigonometrik: duke përdorur të dhëna të njohura për trekëndëshin (brinjët, këndet, etj.), gjeni karakteristikat e tij të mbetura. Trekëndëshi mund të gjendet në... ... Wikipedia

libra

• Set tavolinash. Algjebra dhe fillimet e analizës. klasa e 10-të. 17 tabela + metodologji, . Tabelat janë të printuara në karton të trashë të printuar me përmasa 680 x 980 mm. Kompleti përfshin një broshurë me rekomandimet metodologjike
• për mësuesin. Album edukativ 17 fletësh... Blini 3944 RUR Tables of Integrals and Other Mathematical Formulas, Dwight G.B. Edicioni i dhjetë i librit të famshëm të referencës përmban një shumë tabela të detajuara e pasigurt dhe integrale të përcaktuara, dhe gjithashtu numër i madh të tjerët

formulat matematikore

: zgjerimet e serive,...

Anglishtja le të jetë e dashur për disa, Për disa, kimia është e rëndësishme, Pa matematikë, për të gjithë ne, por as këtu e as atje Për ne, ekuacionet janë si poezitë dhe sinuset na mbështesin shpirtin Për ne, kosinuset janë si këngët, dhe formulat e trigonometrisë Përkëdheli veshët tanë!

Tema e mësimit: “Identitetet bazë trigonometrike. Zgjidhja e problemeve.” Di: Të jetë i aftë: Objektivi i orës së mësimit:

E DI! MUND! UNË DO TË VENDOSJ! I

Si quhet rrethi njësi? x y α R

Cilat drejtime të rrotullimit të një rreze njësi janë të njohura? x y α R

Me cilat njësi matet këndi i rrotullimit të rrezes njësi? x y α R

Sa është një kënd prej një radian? Përafërsisht sa gradë përmban një kënd prej 1 radian? x y α R

Formuloni rregullat për shndërrimin nga një masë shkallë e një këndi në një masë radian dhe anasjelltas.

Formuloni rregullat për shndërrimin nga një masë shkallë e një këndi në një masë radian dhe anasjelltas. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Cilat funksione trigonometrike dini?

Cilat funksione trigonometrike dini? Çfarë e përcakton kuptimin e funksioneve trigonometrike?

Cili çerek kënd është këndi α nëse: α =15° α =190° α =100°

Cili çerek kënd është këndi α nëse: α =-20° α =-110° α =289°

Puna në grup Rregullat e punës në grup: Grupi diskuton dhe vendos së bashku, parashtron ide ose i hedh poshtë ato. Secili anëtar i grupit duhet të punojë sa më mirë që mundet. Ndërsa punoni, trajtojini kolegët tuaj me respekt: ​​pranoni ose refuzoni një ide, bëjeni me edukatë. Mos harroni se të gjithë kanë të drejtë të bëjnë gabime. Mos harroni se suksesi i grupit varet nga mënyra se si të gjithë demonstrojnë pikat e tyre të forta.

Punë në grup

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Tabela e vlerave të funksionit trigonometrik

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 deri në K 8 L 9 deri dhe M 10 deri dhe N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteret e vlerësimit: 10 detyra - nota “5”. 8-9 detyra - rezultati "4". 5-7 detyra - rezultati "3". 1-4 detyra - rezultati "2". Vendosni një korrespodencë midis të majtës dhe anën e djathtë identitetet.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 deri A 8 K 9 deri dhe H 10 deri dhe D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Kriteret e vlerësimit: 10 detyra - nota “5”. 8-9 detyra - rezultati "4". 5-7 detyra - rezultati "3". 1-4 detyra - rezultati "2". Vendosni një korrespondencë midis anës së majtë dhe të djathtë të identitetit.

Identiteti bazë trigonometrik "njësi trigonometrike"

Identiteti bazë trigonometrik “njësi trigonometrike” Kosinusi katror Shumë i kënaqur. Sheshi Vëlla Sine po vjen ta shohë! Kur të takohen Rrethi do të habitet: Do të dalë gjithë familjen, Kjo është një!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) në α =90° 3. 1- sin 2 40 0 ​​4. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α dhe s t P deri në 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Merrni emrin e matematikanit në librin e të cilit shfaqet për herë të parë termi "trigonometri". 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i c k u s 2-2 cos(-60 0)

Pitiscus

El-Batuni El-Kuarizmi

Bhaskara Nasireddin Tusi

Leonard Euler

Nga vlera e vendosur funksioni trigonometrik, gjeni vlerën e një funksioni tjetër Tremujori Jepet: Gjeni: Zgjidhje: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

Jepet vlera e funksionit trigonometrik, gjej vlerën e një funksioni tjetër Tremujori Jepet: Gjeni: Zgjidhje: I sinα= 0,6

Jepet vlera e funksionit trigonometrik, gjej vlerën e një funksioni tjetër Tremujori Jepet: Gjeni: Zgjidhje: II cosα= sinα = =

Jepet vlera e funksionit trigonometrik, gjej vlerën e një funksioni tjetër Tremujori Jepet: Gjeni: Zgjidhje: III tgα= ctgα ctgα = = =

Duke pasur parasysh vlerën e funksionit trigonometrik, gjeni vlerën e një funksioni tjetër Tremujori Jepet: Gjeni: Zgjidhje: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Zbatimi i trigonometrisë në jetën e njeriut.

Detyrë shtëpie Mesazhi: “Trigonometria në jetën e njeriut” Nr 304 f

y=sinx Faleminderit për mësimin!

1 mëkat 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 mëkat 70° 10 mëkat 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 mëkat (- 140°) 13 mëkat 7 cos- 300 °) 14 tg Përcaktoni shenjën e shprehjes - - - - - - + + + + + + + + +

Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime

Prezantimi paraqet zgjidhje detyrat kryesore kursi shkollor matematika për të gjetur të gjitha llojet e distancave dhe këndeve në hapësirë ​​duke përdorur një algoritëm, i cili lejon që ajo të përdoret si në...

Prezantimi për mësimin: "Këndi midis planeve. Zgjidhja e problemit duke përdorur metoda të ndryshme"

Ky prezantim mund të përdoret për qartësi në mësimet e rishikimit, për t'u përgatitur për Provimin e Unifikuar të Shtetit gjatë zgjidhjes së problemeve të tipit C-2.