Tabela e vlerave të funksionit y sin x. Funksioni y=sinx, vetitë kryesore dhe grafiku i tij

Funksioniy = mëkatx

Grafiku i funksionit është sinusoid.

Pjesa e plotë që nuk përsëritet i një vale sinus quhet valë sinus.

Gjysma e valës sinusore quhet gjysmë valë sinus (ose hark).

Vetitë e funksionity = mëkatx:

3) Ky është një funksion tek.

4) Ky është një funksion i vazhdueshëm.

- me bosht abshisash: (πn; 0),
- me bosht ordinate: (0; 0).

6) Në segmentin [-π/2; Funksioni π/2] rritet në intervalin [π/2; 3π/2] – zvogëlohet.

7) Në intervale funksioni merr vlera pozitive.
Në intervalet [-π + 2πn; Funksioni 2πn] merr vlera negative.

8) Intervalet e funksionit në rritje: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
Intervalet zvogëluese të funksionit: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) Pikat minimale të funksionit: -π/2 + 2πn.
Pikat maksimale të funksionit: π/2 + 2πn

vlera më e lartë është 1.

Për të grafikuar një funksion y= mëkat xËshtë i përshtatshëm për të përdorur shkallët e mëposhtme:

Në një fletë letre me një katror, marrim gjatësinë e dy katrorëve si njësi segmenti.

Në bosht x Le të masim gjatësinë π. Në të njëjtën kohë, për lehtësi, ne paraqesim 3.14 në formën e 3 - domethënë pa një fraksion. Pastaj në një fletë letre në një qelizë π do të jenë 6 qeliza (tre herë 2 qeliza). Dhe secila qelizë do të marrë emrin e saj natyror (nga e para në të gjashtën): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Këto janë kuptimet x.

Në boshtin y shënojmë 1, i cili përfshin dy qeliza.

Le të krijojmë një tabelë të vlerave të funksionit duke përdorur vlerat tona x:


			√3 - 2		√3 - 2

Më pas do të krijojmë një orar. Rezultati është një gjysmëvalë, pika më e lartë e së cilës është (π/2; 1). Ky është grafiku i funksionit y= mëkat x në segment. Le të shtojmë një gjysmëvalë simetrike në grafikun e ndërtuar (simetrik në lidhje me origjinën, domethënë në segmentin -π). Kreshta e kësaj gjysmëvale është nën boshtin x me koordinata (-1; -1). Rezultati do të jetë një valë. Ky është grafiku i funksionit y= mëkat x në segmentin [-π; π].

Mund ta vazhdoni valën duke e ndërtuar në segmentin [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etj. Në të gjitha këto segmente, grafiku i funksionit do të duket i njëjtë si në segmentin [-π; π]. Do të merrni një vijë të vazhdueshme të valëzuar me valë identike.

Funksioniy = cosx.

Grafiku i një funksioni është një valë sinus (nganjëherë quhet valë kosinus).

Vetitë e funksionity = cosx:

1) Fusha e përkufizimit të një funksioni është bashkësia e numrave realë.

2) Gama e vlerave të funksionit është segmenti [–1; 1]

3) Ky është një funksion i barabartë.

4) Ky është një funksion i vazhdueshëm.

5) Koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikut:
- me boshtin e abshisave: (π/2 + πn; 0),
- me boshtin e ordinatave: (0;1).

6) Në segment funksioni zvogëlohet, në segmentin [π; 2π] – rritet.

7) Në intervale [-π/2 + 2πn; Funksioni π/2 + 2πn] merr vlera pozitive.
Në intervalet [π/2 + 2πn; Funksioni 3π/2 + 2πn] merr vlera negative.

8) Intervale në rritje: [-π + 2πn; 2πn].
Intervale në rënie: ;

9) Pikat minimale të funksionit: π + 2πn.
Pikat maksimale të funksionit: 2πn.

10) Funksioni është i kufizuar nga lart dhe poshtë. Vlera më e vogël e funksionit është –1,
vlera më e lartë është 1.

11) Ky është një funksion periodik me një periudhë 2π (T = 2π)

Funksioniy = mf(x).

Le të marrim funksionin e mëparshëm y=cos x. Siç e dini tashmë, grafiku i tij është një valë sinus. Nëse e shumëzojmë kosinusin e këtij funksioni me një numër të caktuar m, atëherë vala do të zgjerohet nga boshti x(ose do të tkurret, në varësi të vlerës së m).
Kjo valë e re do të jetë grafiku i funksionit y = mf(x), ku m është çdo numër real.

Kështu, funksioni y = mf(x) është funksioni i njohur y = f(x) i shumëzuar me m.

Nësem< 1, то синусоида сжимается к оси x nga koeficientim. Nësem > 1, atëherë sinusoidi shtrihet nga boshtix nga koeficientim.

Kur kryeni shtrirje ose ngjeshje, fillimisht mund të vizatoni vetëm një gjysmë valë të një vale sinus, dhe më pas të plotësoni të gjithë grafikun.

Funksioniy= f(kx).

Nëse funksioni y=mf(x) çon në shtrirjen e sinusoidit nga boshti x ose ngjeshja drejt boshtit x, atëherë funksioni y = f(kx) çon në shtrirje nga boshti y ose ngjeshja drejt boshtit y.

Për më tepër, k është çdo numër real.

Në 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y nga koeficientik. Nësek > 1, atëherë sinusoidi është i ngjeshur drejt boshtity nga koeficientik.

Kur hartoni një grafik të këtij funksioni, fillimisht mund të ndërtoni një gjysmë valë të një vale sinus, dhe më pas ta përdorni për të plotësuar të gjithë grafikun.

Funksioniy = tgx.

Grafiku i funksionit y= tg xështë një tangjente.

Mjafton të ndërtoni një pjesë të grafikut në intervalin nga 0 në π/2, dhe më pas mund ta vazhdoni në mënyrë simetrike në intervalin nga 0 në 3π/2.

Vetitë e funksionity = tgx:

Funksioniy = ctgx

Grafiku i funksionit y=ctg xështë gjithashtu një tangentoid (nganjëherë quhet edhe kotangentoid).

Vetitë e funksionity = ctgx:

Zbuluam se sjellja e funksioneve trigonometrike dhe funksionet y = mëkat x në veçanti, në të gjithë vijën numerike (ose për të gjitha vlerat e argumentit X) përcaktohet plotësisht nga sjellja e tij në interval 0 < X < π / 2 .

Prandaj, para së gjithash, ne do të vizatojmë funksionin y = mëkat x pikërisht në këtë interval.

Le të bëjmë tabelën e mëposhtme të vlerave të funksionit tonë;

Duke shënuar pikat përkatëse në planin koordinativ dhe duke i lidhur ato me një vijë të lëmuar, marrim kurbën e treguar në figurë.

Kurba që rezulton mund të ndërtohet edhe në mënyrë gjeometrike, pa përpiluar një tabelë të vlerave të funksionit y = mëkat x .

1. Ndani çerekun e parë të një rrethi me rreze 1 në 8 pjesë të barabarta Ordinatat e pikave ndarëse të rrethit janë sinuset e këndeve përkatëse.

2. Çereku i parë i rrethit korrespondon me këndet nga 0 në π / 2 . Prandaj, në bosht X Marrim një segment dhe e ndajmë në 8 pjesë të barabarta.

3. Të vizatojmë vija të drejta paralele me boshtet X, dhe nga pikat e ndarjes ndërtojmë pingulet derisa të kryqëzohen me vija horizontale.

4. Lidhni pikat e kryqëzimit me një vijë të lëmuar.

Tani le të shohim intervalin π / 2 < X < π .
Çdo vlerë argumenti X nga ky interval mund të paraqitet si

x = π / 2 + φ

Ku 0 < φ < π / 2 . Sipas formulave të reduktimit

mëkat ( π / 2 + φ ) = cos φ = mëkat ( π / 2 - φ ).

Pikat e boshtit X me abshisa π / 2 + φ Dhe π / 2 - φ simetrike me njëra-tjetrën rreth pikës së boshtit X me abshisë π / 2 , dhe sinuset në këto pika janë të njëjta. Kjo na lejon të marrim një grafik të funksionit y = mëkat x në intervalin [ π / 2 , π ] thjesht duke shfaqur në mënyrë simetrike grafikun e këtij funksioni në intervalin në raport me vijën e drejtë X = π / 2 .

Tani duke përdorur pronën funksioni i barazisë tek y = mëkat x,

mëkat (- X) = - mëkat X,

është e lehtë të vizatohet ky funksion në intervalin [- π , 0].

Funksioni y = sin x është periodik me periodë 2π ;. Prandaj, për të ndërtuar të gjithë grafikun e këtij funksioni, mjafton të vazhdohet lakore e treguar në figurë majtas dhe djathtas në mënyrë periodike me një pikë. 2π .

Kurba që rezulton quhet sinusoid . Ky është grafiku i funksionit y = mëkat x.

Figura ilustron mirë të gjitha vetitë e funksionit y = mëkat x , të cilën e kemi vërtetuar më parë. Le të kujtojmë këto veti.

1) Funksioni y = mëkat x të përcaktuara për të gjitha vlerat X , pra domeni i tij është bashkësia e të gjithë numrave realë.

2) Funksioni y = mëkat x kufizuar. Të gjitha vlerat që pranon janë midis -1 dhe 1, duke përfshirë këta dy numra. Rrjedhimisht, diapazoni i variacionit të këtij funksioni përcaktohet nga pabarazia -1 < në < 1. Kur X = π / 2 + 2 mijë π funksioni merr vlerat më të mëdha të barabarta me 1, dhe për x = - π / 2 + 2 mijë π - vlerat më të vogla të barabarta me - 1.

3) Funksioni y = mëkat x është tek (vala sinus është simetrike në lidhje me origjinën).

4) Funksioni y = mëkat x periodike me periudhën 2 π .

5) Në intervale 2n π < x < π + 2n π (n është çdo numër i plotë) është pozitiv dhe në intervale π + 2 mijë π < X < 2π + 2 mijë π (k është çdo numër i plotë) është negativ. Në x = k π funksioni shkon në zero. Prandaj, këto vlera të argumentit x (0; ± π ; ±2 π ; ...) quhen zero të funksionit y = mëkat x

6) Në intervale - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funksionin y = mëkat x rritet në mënyrë monotone, dhe në intervale π / 2 + 2 mijë π < X < 3π / 2 + 2 mijë π zvogëlohet në mënyrë monotone.

Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtoni sjelljes së funksionit y = mëkat x pranë pikës X = 0 .

Për shembull, mëkati 0.012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

mëkat 2° = mëkat π 2 / 180 = mëkat π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Në të njëjtën kohë, duhet të theksohet se për çdo vlerë të x

| mëkat x| < | x | . (1)

Në të vërtetë, rrezja e rrethit të treguar në figurë le të jetë e barabartë me 1,
a / AOB = X.

Pastaj mëkat x= AC. Por AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Gjatësia e këtij harku është padyshim e barabartë me X, meqenëse rrezja e rrethit është 1. Pra, në 0< X < π / 2

mëkat x< х.

Prandaj, për shkak të çuditshmërisë së funksionit y = mëkat x është e lehtë të tregosh se kur - π / 2 < X < 0

| mëkat x| < | x | .

Më në fund, kur x = 0

| mëkat x | = | x |.

Kështu, për | X | < π / 2 është vërtetuar pabarazia (1). Në fakt, kjo pabarazi është e vërtetë edhe për | x | > π / 2 për faktin se | mëkat X | < 1, a π / 2 > 1

Ushtrime

1.Sipas grafikut të funksionit y = mëkat x përcaktoni: a) mëkatin 2; b) mëkati 4; c) mëkati (-3).

2.Sipas grafikut të funksionit y = mëkat x përcaktoni cili numër nga intervali
[ - π / 2 , π / 2 ] ka një sinus të barabartë me: a) 0,6; b) -0,8.

3. Sipas grafikut të funksionit y = mëkat x përcaktoni cilët numra kanë sinus,
e barabartë me 1/2.

4. Gjeni afërsisht (pa përdorur tabela): a) mëkat 1°; b) mëkati 0.03;
c) mëkat (-0,015); d) mëkat (-2°30").

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Hekuri ndryshket pa gjetur asnjë përdorim,
uji në këmbë kalbet ose ngrin në të ftohtë,
dhe mendja e një personi, duke mos gjetur dobi për vete, lëngon.
Leonardo da Vinçi

Teknologjitë e përdorura: mësimi i bazuar në problem, të menduarit kritik, komunikimi komunikues.

Qëllimet:

Zhvillimi i interesit kognitiv për të mësuar.
Studimi i vetive të funksionit y = sin x.
Formimi i aftësive praktike në ndërtimin e një grafiku të funksionit y = sin x bazuar në materialin teorik të studiuar.

Detyrat:

1. Përdorni potencialin ekzistues të njohurive për vetitë e funksionit y = sin x në situata specifike.

2. Zbatoni vendosjen e ndërgjegjshme të lidhjeve ndërmjet modeleve analitike dhe gjeometrike të funksionit y = sin x.

Zhvilloni iniciativën, një vullnet dhe interes të caktuar për të gjetur një zgjidhje; aftësia për të marrë vendime, për të mos u ndalur këtu dhe për të mbrojtur këndvështrimin tuaj.

Të nxisë te nxënësit aktivitetin njohës, ndjenjën e përgjegjësisë, respektin për njëri-tjetrin, mirëkuptimin reciprok, mbështetjen e ndërsjellë dhe vetëbesimin; kulturën e komunikimit.

Përparimi i mësimit

Faza 1. Përditësimi i njohurive bazë, motivimi i mësimit të materialit të ri

"Hyrja në mësim."

Janë 3 deklarata të shkruara në tabelë:

Ekuacioni trigonometrik sin t = a ka gjithmonë zgjidhje.
Grafiku i një funksioni tek mund të ndërtohet duke përdorur një transformim simetrie rreth boshtit Oy.
Një funksion trigonometrik mund të grafikohet duke përdorur një gjysmëvalë kryesore.

Nxënësit diskutojnë në dyshe: a janë të vërteta pohimet? (1 minutë). Rezultatet e diskutimit fillestar (po, jo) futen më pas në tabelën në kolonën "Përpara".

Mësuesi/ja vendos qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit.

2. Përditësimi i njohurive (frontalisht në një model të një rrethi trigonometrik).

Tashmë jemi njohur me funksionin s = sin t.

1) Çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja t. Cili është qëllimi i këtij funksioni?

2) Në çfarë intervali përmbahen vlerat e shprehjes sin t? Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit s = sin t.

3) Zgjidheni ekuacionin sin t = 0.

4) Çfarë ndodh me ordinatën e një pike ndërsa lëviz përgjatë tremujorit të parë? (ordinata rritet). Çfarë ndodh me ordinatën e një pike ndërsa lëviz përgjatë tremujorit të dytë? (ordinata zvogëlohet gradualisht). Si lidhet kjo me monotoninë e funksionit? (funksioni s = sin t rritet në segment dhe zvogëlohet në segment).

5) Le të shkruajmë funksionin s = sin t në formën y = sin x që është e njohur për ne (do ta ndërtojmë në sistemin e zakonshëm të koordinatave xOy) dhe të përpilojmë një tabelë të vlerave të këtij funksioni.

X	0
në	0			1			0

Faza 2. Perceptimi, të kuptuarit, konsolidimi parësor, memorizimi i pavullnetshëm

Faza 4. Sistematizimi parësor i njohurive dhe metodave të veprimtarisë, transferimi dhe zbatimi i tyre në situata të reja

6. Nr. 10.18 (b,c)

Faza 5. Kontrolli përfundimtar, korrigjimi, vlerësimi dhe vetëvlerësimi

7. Kthehuni te pohimet (fillimi i mësimit), diskutoni duke përdorur veçoritë e funksionit trigonometrik y = sin x dhe plotësoni kolonën “Pas” në tabelë.

8. D/z: klauzola 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Në këtë mësim do t'i hedhim një vështrim të detajuar funksionit y = sin x, vetitë themelore dhe grafikun e tij. Në fillim të mësimit do të japim përkufizimin e funksionit trigonometrik y = sin t në rrethin koordinativ dhe do të shqyrtojmë grafikun e funksionit në rreth dhe drejtëzë. Le të tregojmë periodicitetin e këtij funksioni në grafik dhe të shqyrtojmë vetitë kryesore të funksionit. Në fund të mësimit, ne do të zgjidhim disa probleme të thjeshta duke përdorur grafikun e një funksioni dhe vetitë e tij.

Tema: Funksionet trigonometrike

Mësimi: Funksioni y=sinx, vetitë themelore dhe grafiku i tij

Kur shqyrtohet një funksion, është e rëndësishme që çdo vlerë argumenti të lidhet me një vlerë të vetme funksioni. Kjo ligji i korrespondencës dhe quhet funksion.

Le të përcaktojmë ligjin e korrespondencës për .

Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme në rrethin njësi Një pikë ka një ordinatë të vetme, e cila quhet sinus i numrit (Fig. 1).

Çdo vlerë argumenti shoqërohet me një vlerë të vetme funksioni.

Vetitë e dukshme rrjedhin nga përkufizimi i sinusit.

Figura tregon se sepse është ordinata e një pike në rrethin njësi.

Merrni parasysh grafikun e funksionit. Le të kujtojmë interpretimin gjeometrik të argumentit. Argumenti është këndi qendror, i matur në radianë. Përgjatë boshtit do të vizatojmë numra realë ose kënde në radianë, përgjatë boshtit vlerat përkatëse të funksionit.

Për shembull, një kënd në rrethin e njësisë korrespondon me një pikë në grafik (Fig. 2)

Ne kemi marrë një grafik të funksionit në zonë, por duke ditur periodën e sinusit, ne mund të përshkruajmë grafikun e funksionit në të gjithë domenin e përkufizimit (Fig. 3).

Periudha kryesore e funksionit është Kjo do të thotë që grafiku mund të merret në një segment dhe më pas të vazhdohet në të gjithë domenin e përkufizimit.

Konsideroni vetitë e funksionit:

1) Fusha e përkufizimit:

2) Gama e vlerave:

3) Funksioni tek:

4) Periudha më e vogël pozitive:

5) Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me boshtin e abshisave:

6) Koordinatat e pikës së prerjes së grafikut me boshtin e ordinatave:

7) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera pozitive:

8) Intervalet në të cilat funksioni merr vlera negative:

9) Intervale në rritje:

10) Zvogëlimi i intervaleve:

11) Pikët minimale:

12) Funksionet minimale:

13) Pikët maksimale:

14) Funksionet maksimale:

Ne shikuam vetitë e funksionit dhe grafikun e tij. Karakteristikat do të përdoren në mënyrë të përsëritur gjatë zgjidhjes së problemeve.

Referencat

1. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algjebra dhe analiza matematikore për klasën e 10-të (libër shkollor për nxënësit e shkollave dhe klasave me studim të thelluar të matematikës - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studim i thelluar i algjebres dhe analizes matematikore.-M.: Edukimi, 1997.

5. Përmbledhje problemesh në matematikë për aplikantët në institucionet e arsimit të lartë (redaktuar nga M.I. Skanavi - M.: Shkolla e Lartë, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algjebrik.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemet mbi algjebrën dhe parimet e analizës (një manual për studentët në klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Përmbledhje problemash mbi algjebrën dhe parimet e analizës: tekst shkollor. shtesa për klasat 10-11. me thellësi studiuar Matematikë.-M.: Arsimi, 2006.

Detyrë shtëpie

Algjebra dhe fillimi i analizës, nota 10 (në dy pjesë). Libër me probleme për institucionet arsimore (niveli i profilit), bot.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Burime shtesë të internetit

3. Portali arsimor për përgatitjen e provimeve ().