Nxjerrja e formulës për sinusin e një këndi të dyfishtë. Trigonometria: si të llogaritet këndi i dyfishtë i sinusit

Trigonometria është një nga degët e matematikës, studimi i së cilës fokusohet në këndet dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre. Themelet e shkencës hidhen në vitet e shkollës, kur futen përkufizimet e funksioneve të këndit. Në të ardhmen, baza që rezulton përdoret në zhvillimin e astronomisë, bërjes së instrumenteve, arkitekturës dhe fushave të tjera të njohurive. Si çdo shkencë ekzakte, trigonometria nuk mund të bëjë pa formula. Shprehjet për përcaktimin e një argumenti të dyfishtë kanë gjetur zbatim praktik. Për shembull, duke përdorur ekuacionin e duhur, mund të zbuloni lehtësisht këndin e dyfishtë të sinusit.

Shprehje trigonometrike për llogaritje

Shprehja thjesht shkruhet dhe mbahet mend: sinusi i një këndi të dyfishtë llogaritet si prodhim i dyfishtë i sinusit dhe kosinusit të një argumenti të vetëm.

Kjo formulë rrjedh nga shprehja për sinusin e shumës së këndeve ( P 1 + P 2 ) :

mëkat ( P 1 + P 2) = mëkat P 1*cos P 1 + mëkat P 2*cos P 2 .

Duke supozuar se këndet e dhëna janë të barabarta me njëri-tjetrin, formula shkruhet në formën e zakonshme.

Shprehja mund të përdoret për çdo vlerë të argumentit të funksionit. Është mjaft e thjeshtë për të llogaritur këndin e dyfishtë të sinusit prej tij, shembujt e mëposhtëm do t'ju ndihmojnë ta verifikoni këtë;

Shembull përdorimi

Këtu janë disa ilustrime të aplikimit të formulës që rezulton. Le t'ju duhet të llogarisni vlerën e funksionit trigonometrik të sinusit të një këndi të barabartë me 60 gradë. Këndi i vetëm përkatës do të ishte 30 gradë. Meqenëse vlerat e sinusit dhe kosinusit të një këndi prej 30 gradë janë të njohura, këndi i dyfishtë i sinusit do të jetë sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30.

Formula përdoret jo vetëm për llogaritjet manuale, mund të gjenden edhe duke përdorur paketat matematikore ose tabelat MS Excel.

Pavarësisht thjeshtësisë së identitetit trigonometrik, ai shkakton vështirësi për maturantët. Kjo është pikërisht ajo në të cilën po mbështeten zhvilluesit e detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit kur ofrojnë teste për të kontrolluar formulat bazë. Përfundim - për të llogaritur këndin e dyfishtë të sinusit, duhet ta dini përmendësh!

– sigurisht që do të ketë detyra për trigonometrinë. Trigonometria shpesh nuk është e pëlqyer për nevojën për të grumbulluar një numër të madh formulash të vështira, të mbushura me sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjentë. Sajti tashmë një herë dha këshilla se si të mbani mend një formulë të harruar, duke përdorur shembullin e formulave Euler dhe Peel.

Dhe në këtë artikull ne do të përpiqemi të tregojmë se mjafton të njihni me vendosmëri vetëm pesë formula të thjeshta trigonometrike dhe të keni një ide të përgjithshme për pjesën tjetër dhe t'i nxirrni ato ndërsa shkoni. Është si me ADN-në: molekula nuk ruan planet e plota të një qenieje të gjallë të përfunduar. Përkundrazi, ai përmban udhëzime për grumbullimin e tij nga aminoacidet e disponueshme. Pra, në trigonometri, duke ditur disa parime të përgjithshme, do të marrim të gjitha formulat e nevojshme nga një grup i vogël i atyre që duhen mbajtur parasysh.

Ne do të mbështetemi në formulat e mëposhtme:

Nga formulat për shumat e sinusit dhe kosinusit, duke ditur për paritetin e funksionit të kosinusit dhe rastësinë e funksionit të sinusit, duke zëvendësuar -b në vend të b, marrim formula për dallimet:

1. Sinusi i ndryshimit: mëkat(a-b) = mëkatacos(-b)+cosamëkat(-b) = mëkatacosb-cosamëkatb
2. Kosinusi i diferencës: cos(a-b) = cosacos(-b)-mëkatamëkat(-b) = cosacosb+mëkatamëkatb

Duke vendosur a = b në të njëjtat formula, marrim formulat për sinusin dhe kosinusin e këndeve të dyfishta:

1. Sinus i këndit të dyfishtë: mëkat2a = mëkat(a+a) = mëkatacosa+cosamëkata = 2mëkatacosa
2. Kosinus i këndit të dyfishtë: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-mëkatamëkata = cos2 a-mëkat2 a

Formulat për kënde të tjera të shumëfishta janë marrë në mënyrë të ngjashme:

1. Sinus i një këndi të trefishtë: mëkat3a = mëkat(2a+a) = mëkat2acosa+cos2amëkata = (2mëkatacosa)cosa+(cos2 a-mëkat2 a)mëkata = 2mëkatacos2 a+mëkatacos2 a-mëkat 3 a = 3 mëkatacos2 a-mëkat 3 a = 3 mëkata(1-mëkat2 a)-mëkat 3 a = 3 mëkata-4mëkat 3a
2. Kosinusi i këndit të trefishtë: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-mëkat2amëkata = (cos2 a-mëkat2 a)cosa-(2mëkatacosa)mëkata = cos 3 a- mëkat2 acosa-2mëkat2 acosa = cos 3 a-3 mëkat2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Para se të vazhdojmë, le të shohim një problem.
Jepet: këndi është i mprehtë.
Gjeni kosinusin e tij nëse
Zgjidhja e dhënë nga një student:
Sepse , Kjo mëkata= 3,a cosa = 4.
(Nga humori i matematikës)

Pra, përkufizimi i tangjentes e lidh këtë funksion si me sinusin ashtu edhe me kosinusin. Por ju mund të merrni një formulë që lidh tangjentën vetëm me kosinusin. Për ta nxjerrë atë, marrim identitetin kryesor trigonometrik: mëkat 2 a+cos 2 a= 1 dhe ndaje me cos 2 a. Ne marrim:

Pra, zgjidhja e këtij problemi do të ishte:

(Për shkak se këndi është i mprehtë, gjatë nxjerrjes së rrënjës merret shenja +)

Formula për tangjenten e një shume është një tjetër që është e vështirë të mbahet mend. Le ta nxjerrim si kjo:

Shfaqet menjëherë dhe

Nga formula e kosinusit për një kënd të dyfishtë, mund të merrni formulat e sinusit dhe kosinusit për gjysmëkëndësh. Për ta bërë këtë, në anën e majtë të formulës së kosinusit me kënd të dyfishtë:
cos2 a = cos 2 a-mëkat 2 a
ne shtojmë një, dhe në të djathtë - një njësi trigonometrike, d.m.th. shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit.
cos2a+1 = cos2 a-mëkat2 a+cos2 a+mëkat2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Duke shprehur cosa përmes cos2 a dhe duke kryer një ndryshim të variablave, marrim:

Shenja merret në varësi të kuadratit.

Në mënyrë të ngjashme, duke zbritur një nga ana e majtë e barazisë dhe shumën e katrorëve të sinusit dhe kosinusit nga e djathta, marrim:
cos2a-1 = cos2 a-mëkat2 a-cos2 a-mëkat2 a
2mëkat 2 a = 1-cos2 a

Dhe së fundi, për të kthyer shumën e funksioneve trigonometrike në një produkt, ne përdorim teknikën e mëposhtme. Le të themi se duhet të përfaqësojmë shumën e sinuseve si produkt mëkata+mëkatb. Le të prezantojmë variablat x dhe y të tillë që a = x+y, b+x-y. Pastaj
mëkata+mëkatb = mëkat(x+y)+ mëkat(x-y) = mëkat x cos y+ cos x mëkat y+ mëkat x cos y- cos x mëkat y=2 mëkat x cos y. Tani le të shprehim x dhe y në termat e a dhe b.

Meqenëse a = x+y, b = x-y, atëherë . Kjo është arsyeja pse

Ju mund të tërhiqeni menjëherë

1. Formula për ndarje produktet e sinusit dhe kosinusit V shuma: mëkatacosb = 0.5(mëkat(a+b)+mëkat(a-b))

Ne ju rekomandojmë që të praktikoni dhe të nxirrni formulat për shndërrimin e diferencës së sinuseve dhe shumës dhe diferencës së kosinuseve në prodhim, si dhe për ndarjen e produkteve të sinuseve dhe kosinuseve në shumë. Pasi të keni përfunduar këto ushtrime, ju do të zotëroni plotësisht aftësinë e nxjerrjes së formulave trigonometrike dhe nuk do të humbni as në testin, olimpiadën apo testimin më të vështirë.

Formulat e këndit të dyfishtë përdoren për të shprehur sinuset, kosinuset, tangjentet, kotangjentet e një këndi me vlerë 2 α duke përdorur funksionet trigonometrike të këndit α. Ky artikull do t'ju prezantojë me të gjitha formulat me kënde të dyfishta me prova. Do të shqyrtohen shembuj të aplikimit të formulave. Në pjesën e fundit do të shfaqen formulat për këndet e trefishta dhe katërfishtë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lista e formulave të këndit të dyfishtë

Për të kthyer formulat e këndit të dyfishtë, duhet të mbani mend se këndet në trigonometri kanë formën n α, ku n është një numër natyror, vlera e shprehjes shkruhet pa kllapa. Kështu, shënimi sin n α konsiderohet të ketë të njëjtin kuptim si sin (n α) . Kur shënojmë sin n α, kemi një shënim të ngjashëm (sin α) n. Përdorimi i shënimit është i zbatueshëm për të gjitha funksionet trigonometrike me fuqi n.

Më poshtë janë formulat e këndit të dyfishtë:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Vini re se këto formula sin dhe cos janë të zbatueshme me çdo vlerë të këndit α. Formula tangjente e këndit të dyfishtë është e vlefshme për çdo vlerë të α, ku t g 2 α ka kuptim, domethënë α ≠ π 4 + π 2 · z, z është çdo numër i plotë. Kotangjenti i këndit të dyfishtë ekziston për çdo α, ku c t g 2 α përcaktohet në α ≠ π 2 z.

Kosinusi i një këndi të dyfishtë ka një shënim të trefishtë të këndit të dyfishtë. Të gjitha ato janë të zbatueshme.

Vërtetimi i formulave të këndit të dyfishtë

Vërtetimi i formulave nis nga formulat e mbledhjes. Le të zbatojmë formulat për sinusin e shumës:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β dhe kosinusi i shumës cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Le të supozojmë se β = α, atëherë marrim atë

sin (α + α) = mëkat α · cos α + cos α · mëkat α = 2 · mëkat α · cos α dhe cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - mëkat 2 α

Kështu, vërtetohen formulat për sinusin dhe kosinusin e këndit të dyfishtë sin 2 α = 2 · sin α · cos α dhe cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α.

Formulat e mbetura cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α dhe cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 çojnë në formën cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, kur zëvendësohet 1 me shuma e katrorëve sipas identitetit kryesor sin 2 α + cos 2 α = 1 . Marrim se sin 2 α + cos 2 α = 1. Pra 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α dhe 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

Për të vërtetuar formulat për këndin e dyfishtë të tangjentes dhe kotangjentes, zbatojmë barazitë t g 2 α = sin 2 α cos 2 α dhe c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Pas transformimit, marrim se t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α dhe c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Pjesëtojmë shprehjen me cos 2 α, ku cos 2 α ≠ 0 me çdo vlerë të α kur përcaktohet t g α. Një shprehje tjetër e ndajmë me sin 2 α, ku sin 2 α ≠ 0 me çdo vlerë të α, kur c t g 2 α ka kuptim. Për të vërtetuar formulën e këndit të dyfishtë për tangjenten dhe kotangjenten, ne zëvendësojmë dhe marrim:

Pyetjet më të shpeshta

A është e mundur të bëhet një vulë në një dokument sipas mostrës së dhënë? Përgjigju Po, është e mundur. Dërgoni një kopje ose foto të skanuar në adresën tonë të emailit cilësi të mirë, dhe ne do të bëjmë dublikatën e nevojshme.

Çfarë lloje pagese pranoni? Përgjigju Ju mund të paguani për dokumentin pas marrjes nga korrieri, pasi të kontrolloni korrektësinë e përfundimit dhe cilësinë e ekzekutimit të diplomës. Kjo mund të bëhet edhe në zyrat e kompanive postare që ofrojnë shërbime me para në dorë.
Të gjitha kushtet e dorëzimit dhe pagesës për dokumentet përshkruhen në seksionin "Pagesa dhe Dorëzimi". Ne jemi gjithashtu të gatshëm të dëgjojmë sugjerimet tuaja në lidhje me kushtet e dorëzimit dhe pagesës për dokumentin.

A mund të jem i sigurt që pas vendosjes së një porosie nuk do të zhdukesh me paratë e mia? Përgjigju Ne kemi një përvojë mjaft të gjatë në fushën e prodhimit të diplomave. Ne kemi disa faqe interneti që përditësohen vazhdimisht. Specialistët tanë punojnë në pjesë të ndryshme të vendit, duke prodhuar mbi 10 dokumente në ditë. Gjatë viteve, dokumentet tona kanë ndihmuar shumë njerëz të zgjidhin problemet e punësimit ose të kalojnë në punë me paga më të larta. Ne kemi fituar besimin dhe njohjen midis klientëve, kështu që nuk ka absolutisht asnjë arsye që ne ta bëjmë këtë. Për më tepër, kjo është thjesht e pamundur të bëhet fizikisht: ju paguani për porosinë tuaj në momentin që e merrni në duart tuaja, nuk ka asnjë parapagesë.

A mund të porosis një diplomë nga ndonjë universitet? Përgjigju Në përgjithësi, po. Ne kemi punuar në këtë fushë për gati 12 vjet. Gjatë kësaj kohe u formua një bazë pothuajse e plotë e dokumenteve të lëshuara nga pothuajse të gjitha universitetet e vendit dhe për vite të ndryshme lëshimi. Gjithçka që ju nevojitet është të zgjidhni një universitet, specialitet, dokument dhe të plotësoni formularin e porosisë.

Çfarë duhet të bëni nëse gjeni gabime shtypi dhe gabime në një dokument? Përgjigju Kur merrni një dokument nga korrieri ose kompania jonë postare, ju rekomandojmë që të kontrolloni me kujdes të gjitha detajet. Nëse zbulohet një gabim shtypi, gabim ose pasaktësi, ju keni të drejtë të mos e merrni diplomën, por defektet e zbuluara duhet t'i tregoni personalisht korrierit ose me shkrim duke dërguar një email.
Do ta korrigjojmë dokumentin sa më shpejt të jetë e mundur dhe do ta ridërgojmë në adresën e specifikuar. Natyrisht, transporti do të paguhet nga kompania jonë.
Për të shmangur keqkuptime të tilla, përpara se të plotësoni formularin origjinal, ne i dërgojmë klientit një model të dokumentit të ardhshëm me email për kontroll dhe miratim të versionit përfundimtar. Përpara dërgimit të dokumentit me korrier ose postë, ne bëjmë gjithashtu foto dhe video shtesë (përfshirë dritën ultravjollcë) në mënyrë që të keni një ide të qartë se çfarë do të merrni në fund.

Çfarë duhet të bëj për të porositur një diplomë nga kompania juaj? Përgjigju Për të porositur një dokument (certifikatë, diplomë, certifikatë akademike, etj.), duhet të plotësoni formularin e porosisë online në faqen tonë të internetit ose të jepni emailin tuaj në mënyrë që ne t'ju dërgojmë një formular aplikimi, të cilin duhet ta plotësoni dhe ta dërgoni përsëri. tek ne.
Nëse nuk dini çfarë të tregoni në ndonjë fushë të formularit/pyetësorit të porosisë, lini ato bosh. Prandaj, ne do t'i sqarojmë të gjitha informacionet që mungojnë përmes telefonit.

Vlerësimet e fundit

Alexei:

Më duhej të merrja një diplomë për të gjetur një punë si menaxher. Dhe më e rëndësishmja është se kam përvojë dhe aftësi, por nuk mund të gjej punë pa dokument. Sapo takova faqen tuaj, më në fund vendosa të blej një diplomë. Diploma u perfundua per 2 dite!! Tani kam një punë që nuk e kam ëndërruar më parë!! Faleminderit!