Shembuj të pafundme thyesash jo periodike. Si shndërrohen thyesat në dhjetore? Vendet në numra dhjetorë

Ky artikull ka të bëjë me dhjetore. Këtu do të kuptojmë shënimin dhjetor të numrave thyesorë, do të prezantojmë konceptin e një thyese dhjetore dhe do të japim shembuj të thyesave dhjetore. Më pas do të flasim për shifrat e thyesave dhjetore dhe do të japim emrat e shifrave. Pas kësaj do të përqendrohemi në pafundësi dhjetore, le të flasim për thyesat periodike dhe jo periodike. Më pas rendisim veprimet bazë me thyesat dhjetore. Si përfundim, le të vendosim pozicionin e thyesave dhjetore në rrezen e koordinatave.

Navigimi i faqes.

Shënimi dhjetor i një numri thyesor

Leximi i numrave dhjetorë

Le të themi disa fjalë për rregullat e leximit të thyesave dhjetore.

Thyesat dhjetore që u përgjigjen atyre të sakta thyesat e zakonshme, lexohen në të njëjtën mënyrë si këto thyesa të zakonshme, së pari shtohen vetëm "zero numra të plotë". Për shembull, thyesa dhjetore 0.12 korrespondon me thyesën e zakonshme 12/100 (lexohet "dymbëdhjetë të qindtat"), prandaj, 0.12 lexohet si "pika zero dymbëdhjetë të qindtat".

Thyesat dhjetore që u përgjigjen numrave të përzier lexohen saktësisht njësoj si këta numra të përzier. Për shembull, thyesa dhjetore 56.002 korrespondon me numër i përzier, pra, thyesa dhjetore 56.002 lexohet si "pesëdhjetë e gjashtë pikë dymijtë".

Vendet në numra dhjetorë

Në shkrimin e thyesave dhjetore, si dhe në shkrimin e numrave natyrorë, kuptimi i secilës shifër varet nga pozicioni i saj. Në të vërtetë, numri 3 në thyesën dhjetore 0.3 do të thotë tre të dhjetat, në thyesën dhjetore 0.0003 - tre të dhjetë të mijëtat, dhe në thyesën dhjetore 30,000.152 - tre të dhjetë të mijtët. Kështu që ne mund të flasim për vende dhjetore, si dhe për shifrat në numrat natyrorë.

Emrat e numrave dhjetorë deri në pikë dhjetore përputhen plotësisht me emrat e shifrave në numra natyrorë. Dhe emrat e numrave dhjetorë pas presjes dhjetore mund të shihen nga tabela e mëposhtme.

Për shembull, në thyesën dhjetore 37.051, shifra 3 është në vendin e dhjetësheve, 7 është në vendin e njësheve, 0 është në vendin e dhjetë, 5 është në vendin e qindtave dhe 1 është në vendin e njëmijtë.

Vendet në thyesat dhjetore ndryshojnë gjithashtu në përparësi. Nëse me shkrimin e një thyese dhjetore kalojmë nga shifra në shifër nga e majta në të djathtë, atëherë do të lëvizim nga të moshuarit për të gradat e vogla. Për shembull, vendi i qindra është më i vjetër se vendi i dhjetës, dhe vendi i miliontë është më i ulët se vendi i qindëshit. Në një thyesë dhjetore përfundimtare të dhënë, mund të flasim për shifrat e mëdha dhe të vogla. Për shembull, në thyesën dhjetore 604.9387 i moshuar (më i larti) vendi është vendi i qindrave, dhe i vogël (më i ulëti)- shifra prej dhjetë mijëshe.

Për thyesat dhjetore, bëhet zgjerimi në shifra. Është e ngjashme me zgjerimin në shifra të numrave natyrorë. Për shembull, zgjerimi në numra dhjetore prej 45,6072 është si vijon: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Dhe vetitë e mbledhjes nga zbërthimi i një thyese dhjetore në shifra ju lejojnë të kaloni në paraqitjet e tjera të kësaj thyese dhjetore, për shembull, 45,6072=45+0,6072, ose 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ose 45,65,072= 0.6.

Dhjetore që mbarojnë

Deri në këtë pikë kemi folur vetëm për thyesat dhjetore, në shënimin e të cilave pas presjes dhjetore ka numri përfundimtar numrat Thyesat e tilla quhen dhjetore të fundme.

Përkufizimi.

Dhjetore që mbarojnë- Këto janë thyesa dhjetore, rekordet e të cilave përmbajnë një numër të kufizuar karakteresh (shifrash).

Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore përfundimtare: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

Megjithatë, jo çdo thyesë mund të përfaqësohet si dhjetore përfundimtare. Për shembull, thyesa 5/13 nuk mund të zëvendësohet me një thyesë të barabartë me një nga emëruesit 10, 100, ..., prandaj, nuk mund të shndërrohet në një thyesë dhjetore përfundimtare. Ne do të flasim më shumë për këtë në seksionin e teorisë, duke i kthyer thyesat e zakonshme në dhjetore.

Thyesat e pafundme: Thyesat periodike dhe thyesat jo periodike

Duke shkruar një thyesë dhjetore pas presjes dhjetore, mund të supozojmë mundësinë e të paturit numër i pafund numrat Në këtë rast, do të marrim parasysh të ashtuquajturat thyesa dhjetore të pafundme.

Përkufizimi.

Dhjetore të pafundme- këto janë thyesa dhjetore, regjistrimi i të cilave përmban demoni grup i kufizuar numrat

Është e qartë se ne nuk mund të shkruajmë thyesa dhjetore të pafundme në formë të plotë, kështu që në shkrimin e tyre kufizohemi vetëm në një numër të caktuar të fundëm të shifrave pas presjes dhjetore dhe vendosim një elipsë që tregon një sekuencë shifrash pafundësisht të vazhdueshme. Këtu janë disa shembuj të thyesave dhjetore të pafundme: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Nëse shikoni me vëmendje dy thyesat e fundit dhjetore të pafundme, atëherë në thyesën 2.111111111... shihet qartë numri 1 që përsëritet pafundësisht, dhe në thyesën 69.74152152152..., duke filluar nga numri i tretë dhjetor, një grup numrash përsëritës. 1, 5 dhe 2 janë qartë të dukshme. Thyesat dhjetore të tilla të pafundme quhen periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore periodike(ose thjesht thyesat periodike ) janë thyesa dhjetore të pafundme, në regjistrimin e të cilave, duke filluar nga një numër dhjetor i caktuar, përsëritet pafund një numër ose grup numrash, i cili quhet. periudha e fraksionit.

Për shembull, periudha e thyesës periodike 2.111111111... është shifra 1, dhe periudha e fraksionit 69.74152152152... është një grup shifrash të formës 152.

Për thyesat dhjetore periodike të pafundme pranohet formë të veçantë rekorde. Për shkurtësi, ne ramë dakord që të shënojmë periudhën një herë, duke e vendosur në kllapa. Për shembull, thyesa periodike 2.111111111... shkruhet si 2,(1) , dhe thyesa periodike 69.74152152152... shkruhet si 69.74(152) .

Vlen të përmendet se për të njëjtën thyesë dhjetore periodike mund të specifikoni periudha të ndryshme. Për shembull, thyesa periodike dhjetore 0,73333... mund të konsiderohet si një thyesë 0,7(3) me një periudhë 3, dhe gjithashtu si një thyesë 0,7(33) me një periudhë 33, dhe kështu me radhë 0,7(333), 0.7 (3333), ... Ju gjithashtu mund të shikoni thyesën periodike 0.73333 ... si kjo: 0.733 (3), ose si kjo 0.73 (333), etj. Këtu, për të shmangur paqartësitë dhe mospërputhjet, ne biem dakord të konsiderojmë si periodë të një thyese dhjetore më të shkurtër nga të gjitha sekuencat e mundshme të shifrave të përsëritura, dhe duke filluar nga pozicioni më i afërt në pikën dhjetore. Domethënë, perioda e thyesës dhjetore 0,73333... do të konsiderohet sekuencë me një shifër 3, dhe periodiciteti fillon nga pozicioni i dytë pas presjes dhjetore, pra 0,73333...=0,7(3). Shembull tjetër: thyesa periodike 4.7412121212... ka periodë 12, periodiciteti fillon nga shifra e tretë pas presjes dhjetore, pra 4.7412121212...=4.74(12).

Thyesat periodike dhjetore të pafundme fitohen duke i kthyer në thyesa dhjetore thyesat e zakonshme, emëruesit e të cilëve përmbajnë faktorët kryesorë, të ndryshme nga 2 dhe 5.

Këtu vlen të përmenden thyesat periodike me një periudhë 9. Le të japim shembuj të thyesave të tilla: 6.43(9) , 27, (9) . Këto thyesa janë një tjetër shënim për thyesat periodike me periudhë 0, dhe zakonisht zëvendësohen nga thyesat periodike me periodë 0. Për ta bërë këtë, periudha 9 zëvendësohet me periodën 0 dhe vlera e shifrës tjetër më të lartë rritet me një. Për shembull, një thyesë me pikën 9 të formës 7.24(9) zëvendësohet nga një thyesë periodike me pikën 0 të formës 7.25(0) ose një thyesë dhjetore përfundimtare e barabartë 7.25. Një shembull tjetër: 4,(9)=5,(0)=5. Barazia e një thyese me periodën 9 dhe e thyesës përkatëse me periodën 0 përcaktohet lehtësisht pasi të zëvendësohen këto thyesa dhjetore me thyesa të zakonshme të barabarta.

Së fundi, le t'i hedhim një vështrim më të afërt thyesave dhjetore të pafundme, të cilat nuk përmbajnë një sekuencë shifrash që përsëriten pafundësisht. Ato quhen jo periodike.

Përkufizimi.

Dhjetore jo të përsëritura(ose thjesht thyesat jo periodike ) janë thyesa dhjetore të pafundme që nuk kanë pikë.

Ndonjëherë thyesat jo periodike kanë një formë të ngjashme me atë të thyesave periodike, për shembull, 8.02002000200002... është një thyesë jo periodike. Në këto raste, duhet të jeni veçanërisht të kujdesshëm për të vënë re ndryshimin.

Vini re se thyesat joperiodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme të pafundme, jo periodike, paraqesin numra iracionalë.

Veprimet me dhjetore

Një nga veprimet me thyesat dhjetore është krahasimi, dhe janë përcaktuar edhe katër funksionet bazë aritmetike. veprimet me dhjetore: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim. Le të shqyrtojmë veçmas secilin nga veprimet me thyesa dhjetore.

Krahasimi i numrave dhjetorë në thelb bazuar në krahasimin e thyesave të zakonshme që korrespondojnë me thyesat dhjetore që krahasohen. Sidoqoftë, shndërrimi i thyesave dhjetore në thyesa të zakonshme është një proces mjaft i mundimshëm dhe fraksionet e pafundme jo periodike nuk mund të përfaqësohen si një fraksion i zakonshëm, kështu që është i përshtatshëm të përdoret një krahasim vend pas shifror i thyesave dhjetore. Krahasimi në vend i thyesave dhjetore është i ngjashëm me krahasimin e numrave natyrorë. Për informacion më të detajuar, ju rekomandojmë të studioni materialin në artikull: krahasimi i thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Le të kalojmë në hapin tjetër - duke shumëzuar numrat dhjetorë. Shumëzimi i thyesave dhjetore të fundme kryhet në mënyrë të ngjashme me zbritjen e thyesave dhjetore, rregullat, shembujt, zgjidhjet e shumëzimit me një kolonë numrash natyrorë. Në rastin e thyesave periodike, shumëzimi mund të reduktohet në shumëzim të thyesave të zakonshme. Nga ana tjetër, shumëzimi i thyesave dhjetore të pafundme jo periodike pas rrumbullakimit të tyre reduktohet në shumëzimin e thyesave dhjetore të fundme. Ne rekomandojmë për studim të mëtejshëm materialin në artikull: shumëzimin e thyesave dhjetore, rregulla, shembuj, zgjidhje.

Numrat dhjetorë në një rreze koordinative

Ekziston një korrespondencë një-për-një midis pikave dhe numrave dhjetorë.

Le të kuptojmë se si janë ndërtuar pikat në rrezen e koordinatave që korrespondojnë me një fraksion dhjetor të caktuar.

Mund të zëvendësojmë thyesat dhjetore të fundme dhe thyesat dhjetore periodike të pafundme me thyesa të zakonshme të barabarta, dhe më pas të ndërtojmë thyesat e zakonshme përkatëse në rrezen e koordinatave. Për shembull, thyesa dhjetore 1.4 korrespondon me thyesën e përbashkët 14/10, kështu që pika me koordinatë 1.4 hiqet nga origjina në drejtim pozitiv në 14 segmente të barabarta me një të dhjetën e një segmenti njësi.

Thyesat dhjetore mund të shënohen në një rreze koordinative, duke filluar nga zbërthimi i një thyese dhjetore të caktuar në shifra. Për shembull, le të na duhet të ndërtojmë një pikë me koordinatën 16.3007, pasi 16.3007=16+0.3+0.0007, pastaj në këtë pikë ju mund të arrini atje duke hequr në mënyrë sekuenciale nga origjina 16 segmente njësi, 3 segmente gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e një segmenti njësi dhe 7 segmente, gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e mijëtën e një segmenti njësi.

Kjo mënyrë ndërtimi numra dhjetorë në rreze koordinative ju lejon të afroheni sa të doni pikës që i korrespondon një thyese dhjetore të pafundme.

Ndonjëherë është e mundur të vizatohet saktësisht pika që korrespondon me një fraksion dhjetor të pafund. Për shembull, , atëherë kjo thyesë dhjetore e pafundme 1.41421... korrespondon me një pikë rreze koordinative, i hequr nga origjina nga gjatësia e diagonales së një katrori me brinjë prej 1 segmenti njësi.

Procesi i kundërt i marrjes së thyesës dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në një rreze koordinative është i ashtuquajturi matja dhjetore e një segmenti. Le të kuptojmë se si bëhet.

Le të jetë detyra jonë të arrijmë nga origjina në një pikë të caktuar të vijës së koordinatave (ose t'i afrohemi pafundësisht nëse nuk mund ta arrijmë atë). Me matjen dhjetore të një segmenti, në mënyrë sekuenciale mund të heqim nga origjina çdo numër segmentesh njësi, pastaj segmente gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të dhjetën e njësisë, pastaj segmentet gjatësia e të cilëve është e barabartë me një të qindtën e njësisë, etj. Duke regjistruar numrin e segmenteve të secilës gjatësi të vendosur mënjanë, marrim thyesën dhjetore që korrespondon me një pikë të caktuar në rrezen koordinative.

Për shembull, për të arritur në pikën M në figurën e mësipërme, duhet të lini mënjanë 1 segment njësi dhe 4 segmente, gjatësia e të cilave është e barabartë me një të dhjetën e njësisë. Kështu, pika M i përgjigjet thyesës dhjetore 1.4.

Është e qartë se pikat e rrezes së koordinatave që nuk mund të arrihen në procesin e matjes dhjetore korrespondojnë me thyesa dhjetore të pafundme.

Bibliografi.

Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për ata që hyjnë në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

Se nëse e njohin teorinë e serive, atëherë pa të nuk mund të futen koncepte metamatike. Për më tepër, këta njerëz besojnë se kushdo që nuk e përdor gjerësisht është injorant. Mendimet e këtyre njerëzve le t'ia lëmë ndërgjegjes së tyre. Le të kuptojmë më mirë se çfarë është një thyesë periodike e pafundme dhe si duhet ta trajtojmë ne, të paarsimuarit që nuk njohim kufij.

Le të ndajmë 237 me 5. Jo, nuk keni nevojë të hapni Llogaritësin. Le të kujtojmë më mirë shkollën e mesme (apo edhe fillore?) dhe thjesht ta ndajmë atë në një kolonë:

Epo, ju kujtohet? Atëherë mund të filloni biznesin.

Koncepti i "fraksionit" në matematikë ka dy kuptime:

Numër jo i plotë.
Forma jo e plotë.

Ekzistojnë dy lloje thyesash - në kuptimin, dy forma të shkrimit të numrave jo të plotë:

E thjeshtë (ose vertikale) thyesa, si 1/2 ose 237/5.
Thyesat dhjetore, të tilla si 0,5 ose 47,4.

Vini re se në përgjithësi vetë përdorimi i një shënimi thyese nuk do të thotë që ajo që shkruhet është një numër thyesash, për shembull 3/3 ose 7.0 - jo thyesa në kuptimin e parë të fjalës, por në të dytin, natyrisht. , thyesa.

Në matematikë, në përgjithësi, numërimi dhjetor është pranuar gjithmonë, dhe për këtë arsye thyesat dhjetore janë më të përshtatshme se ato të thjeshta, domethënë një thyesë me emërues dhjetor(Vladimir Dal. Fjalor të gjallë Gjuha e madhe ruse. "Dhjetë").

Dhe nëse po, atëherë unë dua ta bëj çdo thyesë vertikale një dhjetore ("horizontale"). Dhe për ta bërë këtë ju thjesht duhet të ndani numëruesin me emëruesin. Le të marrim, për shembull, thyesën 1/3 dhe të përpiqemi të bëjmë një dhjetore prej saj.

Edhe një person krejtësisht i paarsimuar do ta vërejë: sado kohë të zgjasë, nuk do të ndahet: trenjakët do të vazhdojnë të shfaqen pafundësisht. Pra, le ta shkruajmë atë: 0.33... Ne nënkuptojmë "numrin që fitohet kur pjesëtoni 1 me 3", ose, shkurt, "një e treta". Natyrisht, një e treta është një thyesë në kuptimin e parë të fjalës, dhe "1/3" dhe "0.33..." janë thyesa në kuptimin e dytë të fjalës, d.m.th. formularët e hyrjes një numër që ndodhet në vijën numerike në një distancë të tillë nga zero, saqë nëse e lini mënjanë tre herë, ju merrni një.

Tani le të përpiqemi të ndajmë 5 me 6:

Le ta shkruajmë përsëri: 0,833... Ne nënkuptojmë "numrin që merrni kur pjesëtoni 5 me 6", ose, shkurt, "pesë të gjashtat". Megjithatë, këtu lind konfuzioni: a do të thotë kjo 0.83333 (dhe më pas trinjakët përsëriten), apo 0.833833 (dhe më pas përsëritet 833). Prandaj, shënimi me një elipsë nuk na përshtatet: nuk është e qartë se ku fillon pjesa përsëritëse (quhet "periudhë"). Prandaj, do ta vendosim periudhën në kllapa, si kjo: 0,(3); 0.8 (3).

0, (3) jo e lehtë barazohet një e treta, kjo është ka një e treta, sepse ne e shpikëm posaçërisht këtë shënim për të paraqitur këtë numër si një thyesë dhjetore.

Kjo hyrje quhet thyesë periodike e pafundme, ose thjesht një fraksion periodik.

Sa herë që pjesëtojmë një numër me një tjetër, nëse nuk marrim një thyesë të fundme, marrim një thyesë periodike të pafundme, domethënë, një ditë sekuencat e numrave do të fillojnë patjetër të përsëriten. Pse është kështu, mund të kuptohet thjesht në mënyrë spekulative duke parë me kujdes algoritmin e ndarjes së kolonave:

Në vendet e shënuara me shenja, nuk mund të merrni rezultate gjatë gjithë kohës çifte të ndryshme numrat (sepse, në parim, ka një numër të kufizuar çiftesh të tilla). Dhe sapo të shfaqet një palë e tillë, e cila tashmë ekzistonte, ndryshimi do të jetë gjithashtu i njëjtë - dhe më pas i gjithë procesi do të fillojë të përsëritet. Nuk ka nevojë ta kontrolloni këtë, sepse është mjaft e qartë se nëse përsëritni të njëjtat veprime, rezultatet do të jenë të njëjta.

Tani që e kuptojmë mirë thelbi thyesë periodike, le të përpiqemi të shumëzojmë një të tretën me tre. Po, sigurisht, do të merrni një, por le ta shkruajmë këtë thyesë në formë dhjetore dhe ta shumëzojmë atë në një kolonë (paqartësia nuk lind këtu për shkak të elipsës, pasi të gjithë numrat pas presjes dhjetore janë të njëjtë):

Dhe përsëri vërejmë se nëntë, nëntë dhe nëntë do të shfaqen pas presjes dhjetore gjatë gjithë kohës. Kjo do të thotë, duke përdorur shënimin e kllapave të kundërta, marrim 0, (9). Meqenëse ne e dimë se prodhimi i një të tretës dhe tre është një, atëherë 0.(9) është një mënyrë kaq fantastike për të shkruar një. Megjithatë, është e papërshtatshme të përdoret kjo formë regjistrimi, sepse një njësi mund të shkruhet në mënyrë të përsosur pa përdorur një pikë, si kjo: 1.

Siç mund ta shihni, 0, (9) është një nga ato raste kur numri i plotë shkruhet në formë thyese, si 3/3 ose 7.0. Kjo do të thotë, 0,(9) është një thyesë vetëm në kuptimin e dytë të fjalës, por jo në të parën.

Pra, pa asnjë kufizim apo seri, ne kuptuam se çfarë është 0.(9) dhe si ta trajtojmë atë.

Por le të kujtojmë akoma se në fakt ne jemi analizë të zgjuar dhe të studiuar. Në të vërtetë, është e vështirë të mohohet se:

Por, ndoshta, askush nuk do të argumentojë me faktin se:

E gjithë kjo, natyrisht, është e vërtetë. Në të vërtetë, 0, (9) është edhe shuma e serisë së reduktuar dhe e sinusit të dyfishtë të këndit të treguar, dhe logaritmi natyror Numrat e Euler-it.

Por as njëra, as tjetra, as e treta nuk është përkufizim.

Të thuash se 0,(9) është shuma e serisë së pafundme 9/(10 n), me n të barabartë me një, është e njëjtë sikur të thuash se sinusi është shuma e serisë së pafundme të Taylor:

Kjo absolutisht e drejtë, dhe kjo është fakti më i rëndësishëm për matematikën llogaritëse, por ky nuk është një përkufizim dhe, më e rëndësishmja, nuk e afron një person më afër të kuptuarit në thelb sinusit Thelbi i sinusit të një këndi të caktuar është se ai vetëm gjithçka qëndrim këndi i kundërt këmbë në hipotenuzë.

Pra, një thyesë periodike është vetëm gjithçka një thyesë dhjetore që fitohet kur kur pjesëtohet me një kolonë i njëjti grup numrash do të përsëritet. Këtu nuk ka asnjë gjurmë analize.

Dhe këtu lind pyetja: nga vjen? fare morëm numrin 0,(9)? Çfarë ndajmë me çfarë me një kolonë për ta marrë atë? Në të vërtetë, nuk ka numra të tillë që kur ndahen në një kolonë, do të kishim nëntë që shfaqen pafundësisht. Por ne arritëm ta marrim këtë numër duke shumëzuar 0,(3) me 3 me një kolonë? Jo ne te vertete. Në fund të fundit, ju duhet të shumëzoni nga e djathta në të majtë në mënyrë që të merrni parasysh saktë transferimet e shifrave, dhe ne e bëmë këtë nga e majta në të djathtë, duke përfituar me dinakëri nga fakti që transferimet nuk ndodhin askund gjithsesi. Prandaj, ligjshmëria e shkrimit të 0,(9) varet nga fakti nëse e njohim ligjshmërinë e një shumëzimi të tillë me një kolonë apo jo.

Prandaj, në përgjithësi mund të themi se shënimi 0,(9) është i pasaktë - dhe në një masë të caktuar është i drejtë. Megjithatë, duke qenë se shënimi a ,(b ) pranohet, është thjesht e shëmtuar ta braktisësh atë kur b = 9; Është më mirë të vendosni se çfarë do të thotë një hyrje e tillë. Pra, nëse në përgjithësi pranojmë shënimin 0,(9), atëherë ky shënim, natyrisht, nënkupton numrin një.

Mbetet vetëm të shtojmë se nëse do të përdorim, të themi, sistemin e numrave tresh, atëherë kur pjesëtojmë me një kolonë prej një (1 3) me tre (10 3) do të merrnim 0.1 3 (lexoni "pika zero një e treta"), dhe kur pjesëtimi i një me dy do të ishte 0, (1) 3.

Pra, periodiciteti i një numri të fraksionit nuk është një karakteristikë objektive e një numri të fraksionit, por vetëm një efekt anësor i përdorimit të një ose një sistemi tjetër numrash.

Ekziston një paraqitje tjetër e numrit racional 1/2, e ndryshme nga paraqitjet e formës 2/4, 3/6, 4/8, etj. Ne kuptojmë paraqitjen në formën e një thyese dhjetore 0,5. Disa thyesa kanë paraqitje dhjetore të fundme, p.sh.

ndërsa paraqitjet dhjetore të thyesave të tjera janë të pafundme:

Këto dhjetore të pafundme mund të merren nga thyesat racionale përkatëse duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin. Për shembull, në rastin e thyesës 5/11, pjesëtimi i 5.000... me 11 jep 0.454545...

Cilat thyesa racionale kanë paraqitje dhjetore të fundme? Para se t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje në rastin e përgjithshëm, merrni parasysh shembull specifik. Le të marrim, të themi, thyesën dhjetore përfundimtare 0.8625. Ne e dimë atë

dhe se çdo thyesë dhjetore e fundme mund të shkruhet si një thyesë dhjetore racionale me emërues të barabartë me 10, 100, 1000 ose ndonjë fuqi tjetër prej 10.

Duke reduktuar thyesën në të djathtë në një thyesë të pakalueshme, marrim

Emëruesi 80 fitohet duke pjesëtuar 10,000 me 125 - më i madhi pjesëtues i përbashkët 10,000 dhe 8625. Prandaj, faktorizimi kryesor i numrit 80, ashtu si numri 10,000, përfshin vetëm dy faktorë të thjeshtë: 2 dhe 5. Nëse do të fillojmë jo me 0,8625, por me ndonjë thyesë tjetër dhjetore të fundme, atëherë rezulton një racional i pareduktueshëm fraksioni do ta kishte edhe këtë veti. Me fjalë të tjera, zgjerimi i emëruesit b në faktorët kryesorë mund të përfshijë vetëm numrat e thjeshtë 2 dhe 5, pasi b është pjesëtues i një fuqie prej 10, dhe . Kjo rrethanë rezulton të jetë vendimtare, domethënë, pohimi i përgjithshëm vijon:

Një thyesë racionale e pareduktueshme ka një të fundme paraqitje dhjetore nëse dhe vetëm nëse numri b nuk ka pjesëtues të thjeshtë të 2 dhe 5.

Vini re se b nuk duhet të ketë të dy numrat 2 dhe 5 midis faktorëve të tij të thjeshtë: ai mund të pjesëtohet vetëm me njërin prej tyre ose të mos pjesëtohet fare me ta. Për shembull,

Këtu b është e barabartë me 25, 16 dhe 1, përkatësisht ajo që është e rëndësishme është se b nuk ka pjesëtues të tjerë përveç 2 dhe 5.

Fjalia e mësipërme përmban shprehjen nëse dhe vetëm nëse. Deri më tani e kemi vërtetuar vetëm atë pjesë që ka të bëjë me qarkullimin. Ishim ne që treguam se zbërthimi i një numri racional në një thyesë dhjetore do të jetë i fundëm vetëm në rastin kur b nuk ka faktorë të thjeshtë përveç 2 dhe 5.

(Me fjalë të tjera, nëse b është i pjesëtueshëm me një numër të thjeshtë të ndryshëm nga 2 dhe 5, atëherë fraksion i pareduktueshëm nuk ka një shprehje dhjetore të fundme.)

Pjesa e atëhershme e fjalisë thotë se nëse numri i plotë b nuk ka faktorë të thjeshtë përveç 2 dhe 5, atëherë thyesa racionale e pareduktueshme mund të përfaqësohet nga një thyesë dhjetore e fundme. Për ta vërtetuar këtë, ne duhet të marrim një të pareduktueshme arbitrare thyesa racionale, për të cilin b nuk ka faktorë të thjeshtë përveç 2 dhe 5, dhe sigurohuni që thyesa dhjetore përkatëse të jetë e fundme. Le të shohim së pari një shembull. Le

Për të marrë zgjerimin dhjetor, ne e transformojmë këtë thyesë në një thyesë, emëruesi i së cilës është një fuqi numër i plotë dhjetë. Kjo mund të arrihet duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me:

Arsyetimi i mësipërm mund të shtrihet në rast i përgjithshëm në mënyrën e mëposhtme. Supozoni se b është i formës , ku lloji është numra të plotë jo negativ (d.m.th. numra pozitiv ose zero). Dy raste janë të mundshme: ose më pak se ose e barabartë (ky kusht është shkruar), ose më i madh (që shkruhet). Kur shumëzojmë me numëruesin dhe emëruesin e thyesës

Mbani mend se si në mësimin e parë për numrat dhjetorë thashë se ka thyesa numerike që nuk mund të paraqiten si dhjetore (shihni mësimin "Dhjetrat")? Mësuam gjithashtu se si të faktorizonim emëruesit e thyesave për të parë nëse kishte ndonjë numër tjetër përveç 2 dhe 5.

Pra: gënjeva. Dhe sot do të mësojmë se si të përkthejmë absolutisht çdo thyesë numerike në dhjetore. Në të njëjtën kohë, do të njihemi me një klasë të tërë thyesash me një pjesë domethënëse të pafundme.

Një dhjetore periodike është çdo dhjetore që:

Pjesa e rëndësishme përbëhet nga një numër i pafund shifrash;

Në intervale të caktuara, numrat në pjesën e rëndësishme përsëriten.

Një grup numrash të përsëritur që përbëjnë pjesë e rëndësishme, quhet pjesa periodike e thyesës dhe numri i shifrave në këtë bashkësi quhet periodë e thyesës. Segmenti i mbetur i pjesës domethënëse, i cili nuk përsëritet, quhet pjesa jo periodike.

Meqenëse ka shumë përkufizime, ia vlen të merren parasysh disa nga këto fraksione në detaje:

Ky fraksion shfaqet më shpesh në probleme. Pjesa jo periodike: 0; pjesa periodike: 3; kohëzgjatja e periudhës: 1.

Pjesa jo periodike: 0,58; pjesa periodike: 3; kohëzgjatja e periudhës: përsëri 1.

Pjesa jo periodike: 1; pjesa periodike: 54; kohëzgjatja e periudhës: 2.

Pjesa jo periodike: 0; pjesa periodike: 641025; kohëzgjatja e periudhës: 6. Për lehtësi, pjesët përsëritëse ndahen nga njëra-tjetra me një hapësirë - kjo nuk është e nevojshme në këtë zgjidhje.

Pjesa jo periodike: 3066; pjesa periodike: 6; kohëzgjatja e periudhës: 1.

Siç mund ta shihni, përkufizimi i një fraksioni periodik bazohet në koncept pjesë e rëndësishme e një numri. Prandaj, nëse keni harruar se çfarë është, ju rekomandoj ta përsërisni - shihni mësimin "".

Kalimi në thyesën dhjetore periodike

Konsideroni një pjesë të zakonshme të formës a /b. Le të faktorizojmë emëruesin e tij në faktorë të thjeshtë. Ka dy opsione:

Zgjerimi përmban vetëm faktorët 2 dhe 5. Këto thyesa konvertohen lehtësisht në dhjetore - shihni mësimin “Dhjetrat”. Ne nuk jemi të interesuar për njerëz të tillë;
Ka diçka tjetër në zgjerim përveç 2 dhe 5. Në këtë rast, thyesa nuk mund të paraqitet si dhjetore, por mund të shndërrohet në një dhjetor periodik.

Për të përcaktuar një thyesë dhjetore periodike, duhet të gjeni pjesët periodike dhe jo periodike të saj. Si? Shndërroni thyesën në një thyesë të papërshtatshme dhe më pas ndani numëruesin me emërues duke përdorur një kënd.

Do të ndodhë sa vijon:

Do të ndahet së pari pjesë e tërë, nëse ekziston;
Mund të ketë disa numra pas presjes dhjetore;
Pas një kohe numrat do të fillojnë përsëritni.

Kjo eshte e gjitha! Numrat që përsëriten pas presjes dhjetore shënohen me pjesën periodike, dhe ata përpara me pjesën jo periodike.

Detyrë. Shndërroni thyesat e zakonshme në dhjetore periodike:

Të gjitha thyesat pa një pjesë të plotë, kështu që ne thjesht e ndajmë numëruesin me emëruesin me një "qoshe":

Siç mund ta shihni, mbetjet përsëriten. Le ta shkruajmë thyesën në formën “e saktë”: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultati është një fraksion: 0,5833 ... = 0,58 (3).

Shkruani në formë normale: 4,0909 ... = 4,(09).

Marrim thyesën: 0.4141 ... = 0.(41).

Kalimi nga thyesa dhjetore periodike në thyesën e zakonshme

Konsideroni thyesën dhjetore periodike X = abc (a 1 b 1 c 1). Kërkohet ta shndërroni atë në një klasik "dykatësh". Për ta bërë këtë, ndiqni katër hapa të thjeshtë:

Gjeni periodën e thyesës, d.m.th. numëroni sa shifra ka në pjesën periodike. Le të jetë ky numri k;
Gjeni vlerën e shprehjes X · 10 k. Kjo është e barabartë me zhvendosjen e pikës dhjetore me periudhë e plotë në të djathtë - shihni mësimin "Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave dhjetorë";
Shprehja origjinale duhet të zbritet nga numri që rezulton. Në këtë rast, pjesa periodike "digjet" dhe mbetet thyesë e zakonshme;
Gjeni X në ekuacionin që rezulton. Të gjitha thyesat dhjetore i shndërrojmë në thyesa të zakonshme.

Detyrë. Reduktojeni në të zakonshme thyesë e papërshtatshme numrat:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Ne punojmë me thyesën e parë: X = 9, (6) = 9,666 ...

Kllapat përmbajnë vetëm një shifër, kështu që periudha është k = 1. Më pas, ne e shumëzojmë këtë thyesë me 10 k = 10 1 = 10. Kemi:

10X = 10 9,6666... = 96,666...

Zbrisni thyesën origjinale dhe zgjidhni ekuacionin:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Tani le të shohim fraksionin e dytë. Pra, X = 32, (39) = 32,393939...

Periudha k = 2, kështu që shumëzoni gjithçka me 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Zbrisni përsëri thyesën origjinale dhe zgjidhni ekuacionin:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Le të kalojmë në thyesën e tretë: X = 0.30(5) = 0.30555... Diagrami është i njëjtë, kështu që unë do të jap vetëm llogaritjet:

Periudha k = 1 ⇒ shumëzo çdo gjë me 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Së fundi, thyesa e fundit: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Përsëri, për lehtësi, pjesët periodike ndahen nga njëra-tjetra me hapësira. Ne kemi:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Tashmë në Shkolla fillore nxënësit ndeshen me thyesat. Dhe pastaj shfaqen në çdo temë. Ju nuk mund të harroni veprimet me këto numra. Prandaj, duhet të dini të gjitha informacionet për thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Këto koncepte nuk janë të komplikuara, gjëja kryesore është të kuptoni gjithçka në rregull.

Pse nevojiten thyesat?

Bota rreth nesh përbëhet nga objekte të tëra. Prandaj, nuk ka nevojë për aksione. Por jeta e përditshme vazhdimisht i shtyn njerëzit të punojnë me pjesë të sendeve dhe sendeve.

Për shembull, çokollata përbëhet nga disa pjesë. Konsideroni një situatë ku pllaka e tij formohet nga dymbëdhjetë drejtkëndësha. Nëse e ndani në dysh, merrni 6 pjesë. Mund të ndahet lehtësisht në tre. Por nuk do të jetë e mundur t'u jepni pesë personave një numër të plotë feta çokollate.

Nga rruga, këto feta janë tashmë fraksione. Dhe ndarja e tyre e mëtejshme çon në shfaqjen e numrave më kompleksë.

Çfarë është një "fraksion"?

Ky është një numër i përbërë nga pjesë të një njësie. Nga pamja e jashtme, duket si dy numra të ndarë nga një horizontale ose e pjerrët. Kjo veçori quhet fraksionale. Numri i shkruar në krye (majtas) quhet numërues. Ajo që është në fund (djathtas) është emëruesi.

Në thelb, prerja rezulton të jetë një shenjë ndarjeje. Kjo do të thotë, numëruesi mund të quhet divident, dhe emëruesi mund të quhet pjesëtues.

Cilat thyesa ka?

Në matematikë ekzistojnë vetëm dy lloje: thyesat e zakonshme dhe dhjetore. Nxënësit e shkollës takohen për herë të parë në Shkolla fillore, duke i quajtur thjesht "fraksione". Kjo e fundit do të mësohet në klasën e 5-të. Pikërisht atëherë shfaqen këta emra.

Thyesat e zakonshme janë të gjitha ato që shkruhen si dy numra të ndarë me një vijë. Për shembull, 4/7. Një dhjetor është një numër në të cilin pjesa thyesore ka një shënim pozicionor dhe ndahet nga numri i plotë me presje. Për shembull, 4.7. Nxënësit duhet të kuptojnë qartë se dy shembujt e dhënë janë numra krejtësisht të ndryshëm.

Çdo thyesë e thjeshtë mund të shkruhet në formë dhjetore. Kjo deklaratë është pothuajse gjithmonë e vërtetë në drejtim i kundërt. Ka rregulla që ju lejojnë të shkruani një thyesë dhjetore si një thyesë e zakonshme.

Çfarë nënllojesh kanë këto lloj thyesash?

Është më mirë të filloni në rendi kronologjik, pasi ato janë duke u studiuar. Thyesat e zakonshme janë të parat. Midis tyre, mund të dallohen 5 nënspecie.

E sakte. Numëruesi i tij është gjithmonë më i vogël se emëruesi i tij.

E gabuar. Numëruesi i tij është më i madh ose i barabartë me emëruesin e tij.

E reduktueshme/pa reduktueshme. Mund të dalë ose e drejtë ose e gabuar. Një tjetër gjë e rëndësishme është nëse numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët. Nëse ka, atëherë është e nevojshme të ndani të dy pjesët e fraksionit me to, domethënë ta zvogëloni atë.

Të përziera. Një numër i plotë i caktohet pjesës së tij të zakonshme të rregullt (të parregullt) thyesore. Për më tepër, është gjithmonë në të majtë.

Kompozit. Formohet nga dy fraksione të ndara me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë, ai përmban tre rreshta të pjesshëm në të njëjtën kohë.

Thyesat dhjetore kanë vetëm dy nëntipe:

i fundëm, pra ai, pjesa thyesore e të cilit është e kufizuar (ka fund);

i pafund - një numër, shifrat e të cilit pas presjes dhjetore nuk mbarojnë (ato mund të shkruhen pafundësisht).

Si të konvertohet një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme?

Nëse ky është një numër i fundëm, atëherë aplikohet një asociacion bazuar në rregullin - siç dëgjoj, kështu shkruaj. Kjo do të thotë, duhet ta lexoni saktë dhe ta shkruani, por pa presje, por me një shirit të pjesshëm.

Si një aluzion për emëruesin e kërkuar, duhet të mbani mend se është gjithmonë një dhe disa zero. Ju duhet të shkruani aq shumë nga këto të fundit sa shifra ka në pjesën thyesore të numrit në fjalë.

Si të konvertohen thyesat dhjetore në thyesa të zakonshme nëse pjesa e tyre e plotë mungon, domethënë e barabartë me zero? Për shembull, 0.9 ose 0.05. Pas aplikimit të rregullit të specifikuar, rezulton se ju duhet të shkruani zero numra të plotë. Por nuk tregohet. Mbetet vetëm të shënohen pjesët thyesore. Numri i parë do të ketë emërues 10, i dyti do të ketë emërues 100. Pra, shembujt e dhënë do të kenë si përgjigje numrat e mëposhtëm: 9/10, 5/100. Për më tepër, rezulton se kjo e fundit mund të reduktohet me 5. Prandaj, rezultati për të duhet të shkruhet si 1/20.

Si mund ta shndërroni një thyesë dhjetore në një thyesë të zakonshme nëse pjesa e saj e plotë është jo zero? Për shembull, 5.23 ose 13.00108. Në të dy shembujt lexohet e gjithë pjesa dhe shkruhet vlera e saj. Në rastin e parë është 5, në të dytën është 13. Pastaj duhet të kaloni në pjesën e pjesshme. I njëjti operacion supozohet të kryhet me ta. Numri i parë shfaqet 23/100, i dyti - 108/100000. Vlera e dytë duhet të reduktohet përsëri. Përgjigja duket si kjo thyesat e përziera: 5 23/100 dhe 13 27/25000.

Si të konvertohet një thyesë dhjetore e pafundme në një thyesë të zakonshme?

Nëse është jo periodike, atëherë një operacion i tillë nuk do të jetë i mundur. Ky fakt është për faktin se çdo thyesë dhjetore gjithmonë shndërrohet në një thyesë të fundme ose periodike.

E vetmja gjë që mund të bësh me një fraksion të tillë është ta rrumbullakosh atë. Por atëherë numri dhjetor do të jetë afërsisht i barabartë me atë të pafund. Ajo tashmë mund të kthehet në një të zakonshme. Por procesi i kundërt: konvertimi në dhjetor nuk do të japë kurrë vlerën fillestare. Kjo do të thotë, thyesat e pafundme jo periodike nuk shndërrohen në thyesa të zakonshme. Kjo duhet të mbahet mend.

Si të shkruhet një thyesë periodike e pafundme si një thyesë e zakonshme?

Në këta numra, ka gjithmonë një ose më shumë shifra pas presjes dhjetore që përsëriten. Ata quhen një periudhë. Për shembull, 0.3 (3). Këtu "3" është në periudhë. Ato klasifikohen si racionale sepse mund të shndërrohen në thyesa të zakonshme.

Ata që kanë hasur në thyesa periodike e dinë se ato mund të jenë të pastra ose të përziera. Në rastin e parë, pika fillon menjëherë nga presja. Në të dytën, pjesa thyesore fillon me disa numra dhe më pas fillon përsëritja.

Rregulli me të cilin duhet të shkruani një dhjetore të pafundme si një thyesë e zakonshme do të jetë i ndryshëm për dy llojet e numrave të treguar. Është mjaft e lehtë të shkruash thyesat periodike të pastra si thyesa të zakonshme. Ashtu si me ato të fundme, ato duhet të konvertohen: shkruani periudhën në numërues dhe emëruesi do të jetë numri 9, i përsëritur aq herë sa numri i shifrave që përmban perioda.

Për shembull, 0, (5). Numri nuk ka një pjesë të plotë, kështu që duhet të filloni menjëherë me pjesën thyesore. Shkruani 5 si numërues dhe 9 si emërues, domethënë, përgjigja do të jetë thyesa 5/9.

Rregulli se si të shkruhet një thyesë e zakonshme periodike dhjetore që është e përzier.

Shikoni gjatësinë e periudhës. Kaq 9 do të ketë emëruesi.

Shkruani emëruesin: fillimisht nëntë, pastaj zero.

Për të përcaktuar numëruesin, duhet të shkruani ndryshimin e dy numrave. Të gjithë numrat pas presjes dhjetore do të minimizohen, së bashku me pikën. E zbritshme - është pa periudhë.

Për shembull, 0.5 (8) - shkruani thyesën dhjetore periodike si një thyesë e zakonshme. Pjesa thyesore para pikës përmban një shifër. Pra, do të jetë një zero. Ekziston gjithashtu vetëm një numër në periudhën - 8. Kjo do të thotë, ka vetëm një nëntë. Kjo do të thotë, duhet të shkruani 90 në emërues.

Për të përcaktuar numëruesin, duhet të zbrisni 5 nga 58. Rezulton 53. Për shembull, përgjigja duhet të shkruhet si 53/90.

Si shndërrohen thyesat në dhjetore?

Opsioni më i thjeshtë është një numër, emëruesi i të cilit është numri 10, 100, etj. Atëherë emëruesi thjesht hidhet poshtë, dhe midis thyesore dhe e tërë në pjesë shtohet një presje.

Ka situata kur emëruesi kthehet lehtësisht në 10, 100, etj. Për shembull, numrat 5, 20, 25. Mjafton t'i shumëzoni me 2, 5 dhe 4, përkatësisht. Thjesht duhet të shumëzoni jo vetëm emëruesin, por edhe numëruesin me të njëjtin numër.

Për të gjitha rastet e tjera, një rregull i thjeshtë është i dobishëm: ndani numëruesin me emëruesin. Në këtë rast, mund të merrni dy përgjigje të mundshme: një thyesë dhjetore të fundme ose periodike.

Veprimet me thyesat e zakonshme

Mbledhja dhe zbritja

Nxënësit njihen me to më herët se të tjerët. Dhe së pari për thyesat emërues të njëjtë, dhe më pas të ndryshme. Rregulla të përgjithshme mund të reduktohet në një plan të tillë.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve.

Shkruani shumëzues shtesë për të gjitha thyesat e zakonshme.

Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit me faktorët e specifikuar për ta.

Shtoni (zbrisni) numëruesit e thyesave dhe lini emëruesin e përbashkët të pandryshuar.

Nëse numëruesi i minuend-it është më i vogël se nëntrupi, atëherë duhet të zbulojmë nëse kemi një numër të përzier apo një thyesë të duhur.

Në rastin e parë, duhet të huazoni një nga e gjithë pjesa. Shtoni emëruesin në numëruesin e thyesës. Dhe pastaj bëni zbritjen.

Në të dytën, është e nevojshme të zbatohet rregulli i zbritjes së një numri më të madh nga një numër më i vogël. Kjo do të thotë, nga moduli i subtrahend, zbrit modulin e minuend, dhe si përgjigje vendosni një shenjë "-".

Shikoni me kujdes rezultatin e mbledhjes (zbritjes). Nëse merrni një fraksion të papërshtatshëm, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën. Domethënë, ndani numëruesin me emëruesin.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Për t'i kryer ato, fraksionet nuk kanë nevojë të reduktohen në emërues i përbashkët. Kjo e bën më të lehtë kryerjen e veprimeve. Por ata ende kërkojnë që ju të ndiqni rregullat.

Kur shumëzoni thyesat, duhet të shikoni numrat në numërues dhe emërues. Nëse ka ndonjë numërues dhe emërues shumëzues i përbashkët, atëherë ato mund të reduktohen.

Shumëzoni numëruesit.

Shumëzoni emëruesit.

Nëse rezultati është një fraksion i reduktueshëm, atëherë ai duhet të thjeshtohet përsëri.

Gjatë pjesëtimit, së pari duhet të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim, dhe pjesëtuesin (pjesën e dytë) me thyesën reciproke (ndërroni numëruesin dhe emëruesin).

Pastaj vazhdoni si me shumëzim (duke filluar nga pika 1).

Në detyrat ku duhet të shumëzoni (pjestoni) me një numër të plotë, ky i fundit duhet të shkruhet si një thyesë e gabuar. Kjo do të thotë, me një emërues 1. Më pas veproni siç përshkruhet më sipër.

Veprimet me dhjetore

Mbledhja dhe zbritja

Natyrisht, gjithmonë mund të shndërroni një dhjetore në një thyesë. Dhe veproni sipas planit të përshkruar tashmë. Por ndonjëherë është më e përshtatshme të veprosh pa këtë përkthim. Atëherë rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e tyre do të jenë saktësisht të njëjta.

Barazoni numrin e shifrave në pjesën thyesore të numrit, domethënë pas presjes dhjetore. Shtoni numrin e zerave që mungojnë në të.

Shkruani thyesat në mënyrë që presja të jetë poshtë presjes.

Shtoni (zbrisni) si numra natyrorë.

Hiq presjen.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Është e rëndësishme që nuk keni nevojë të shtoni zero këtu. Thyesat duhet të lihen siç janë dhënë në shembull. Dhe pastaj shkoni sipas planit.

Për të shumëzuar, duhet të shkruani thyesat njëra nën tjetrën, duke injoruar presjet.

Shumëzoni si numra natyrorë.

Vendosni një presje në përgjigje, duke numëruar nga fundi i djathtë i përgjigjes aq shifra sa ka pjesë të pjesshme të dy shumëzuesit.

Për të ndarë fillimisht duhet të konvertoni pjesëtuesin: ta bëni atë numri natyror. Kjo do të thotë, shumëzojeni atë me 10, 100, etj., në varësi të numrit të shifrave në pjesën thyesore të pjesëtuesit.

Shumëzoni dividentin me të njëjtin numër.

Pjesëtoni një thyesë dhjetore me një numër natyror.

Vendosni presje në përgjigjen tuaj në momentin kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës.

Po sikur një shembull të përmbajë të dy llojet e thyesave?

Po, në matematikë ka shpesh shembuj në të cilët duhet të kryeni veprime në thyesa të zakonshme dhe dhjetore. Në detyra të tilla ka dy zgjidhje të mundshme. Ju duhet të peshoni në mënyrë objektive numrat dhe të zgjidhni atë optimalin.

Mënyra e parë: përfaqësoni numrat dhjetorë të zakonshëm

Është i përshtatshëm nëse, kur ndani ose përktheni, merrni thyesat përfundimtare. Nëse të paktën një numër jep një pjesë periodike, atëherë kjo teknikë është e ndaluar. Prandaj, edhe nëse nuk ju pëlqen të punoni me fraksione të zakonshme, do t'ju duhet t'i numëroni ato.

Mënyra e dytë: shkruaj thyesat dhjetore si të zakonshme

Kjo teknikë rezulton të jetë e përshtatshme nëse pjesa pas pikës dhjetore përmban 1-2 shifra. Nëse ka më shumë prej tyre, mund të merrni një fraksion të zakonshëm shumë të madh dhe shënimet dhjetore do t'ju lejojë të llogarisni detyrën më shpejt dhe më lehtë. Prandaj, gjithmonë duhet të vlerësoni me maturi detyrën dhe të zgjidhni metodën më të thjeshtë të zgjidhjes.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve