Piramida- një nga varietetet e një poliedri të formuar nga shumëkëndëshat dhe trekëndëshat që shtrihen në bazë dhe janë faqet e tij.

Për më tepër, në majë të piramidës (d.m.th. në një pikë) të gjitha fytyrat janë të bashkuara.

Për të llogaritur sipërfaqen e një piramide, vlen të përcaktohet se sipërfaqja e saj anësore përbëhet nga disa trekëndësha. Dhe ne mund t'i gjejmë lehtësisht zonat e tyre duke përdorur

formula të ndryshme. Në varësi të të dhënave që dimë për trekëndëshat, ne kërkojmë zonën e tyre.

Ne listojmë disa formula që mund të përdoren për të gjetur sipërfaqen e trekëndëshave:

1. S = (a*h)/2 . NË në këtë rast ne e dimë lartësinë e trekëndëshit h , e cila ulet anash a .
2. S = a*b*sinβ . Këtu janë anët e trekëndëshit a , b , dhe këndi ndërmjet tyre është β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Këtu janë anët e trekëndëshit a, b, c . Rrezja e një rrethi që është brendashkruar në një trekëndësh është r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi është R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Kjo formulë duhet të përdoret vetëm kur trekëndëshi është trekëndësh kënddrejtë.
6. S = (a²*√3)/4 . Ne e zbatojmë këtë formulë në një trekëndësh barabrinjës.

Vetëm pasi të llogarisim sipërfaqet e të gjithë trekëndëshave që janë faqet e piramidës sonë, mund të llogarisim sipërfaqen e sipërfaqes anësore të saj. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim formulat e mësipërme.

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide, nuk lindin vështirësi: duhet të zbuloni shumën e sipërfaqeve të të gjithë trekëndëshave. Le ta shprehim këtë me formulën:

Sp = ΣSi

Këtu Si është zona e trekëndëshit të parë dhe S n - zona e sipërfaqes anësore të piramidës.

Le të shohim një shembull. Duke pasur parasysh një piramidë të rregullt, është fytyrat anësore i formuar nga disa trekëndësha barabrinjës,

« Gjeometria është mjeti më i fuqishëm për të mprehur aftësitë tona mendore».

Galileo Galilei.

dhe katrori është baza e piramidës. Për më tepër, skaji i piramidës ka një gjatësi prej 17 cm, le të gjejmë sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Ne arsyetojmë kështu: ne e dimë se faqet e piramidës janë trekëndësha, ato janë barabrinjës. Ne gjithashtu e dimë se sa është gjatësia e skajit të kësaj piramide. Nga kjo rrjedh se të gjithë trekëndëshat janë të barabartë anët, gjatësia e tyre është 17 cm.

Për të llogaritur sipërfaqen e secilit prej këtyre trekëndëshave, mund të përdorni formulën e mëposhtme:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Pra, meqenëse e dimë se katrori shtrihet në bazën e piramidës, rezulton se kemi katër trekëndësha barabrinjës. Kjo do të thotë që sipërfaqja anësore e piramidës mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën e mëposhtme: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Përgjigja jonë është si më poshtë: 500.548 cm² - kjo është zona e sipërfaqes anësore të kësaj piramide.

- Kjo figurë shumëplanëshe, në bazën e të cilit shtrihet një shumëkëndësh, dhe faqet e mbetura përfaqësohen nga trekëndësha me një kulm të përbashkët.

Nëse baza është një katror, ​​atëherë piramida quhet katërkëndëshe, nëse një trekëndësh - atëherë trekëndëshi. Lartësia e piramidës është tërhequr nga maja e saj pingul me bazën. Përdoret gjithashtu për të llogaritur sipërfaqen apotemë– lartësia e faqes anësore, e ulur nga maja e saj.
Formula për sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide është shuma e sipërfaqeve të faqeve të saj anësore, të cilat janë të barabarta me njëra-tjetrën. Megjithatë, kjo metodë e llogaritjes përdoret shumë rrallë. Në thelb, zona e piramidës llogaritet përmes perimetrit të bazës dhe apotemës:

Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të një piramide.

Le të jepet një piramidë me bazën ABCDE dhe majën F. AB = BC = DE = EA = 3 cm A = 5 cm Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.
Le të gjejmë perimetrin. Meqenëse të gjitha skajet e bazës janë të barabarta, perimetri i pesëkëndëshit do të jetë i barabartë me:
Tani mund të gjeni zona anësore piramidat:

Zona e një piramide të rregullt trekëndore

Një piramidë e rregullt trekëndore përbëhet nga një bazë në të cilën shtrihet një trekëndësh i rregullt dhe tre faqe anësore që janë të barabarta në sipërfaqe.
Formula për sipërfaqen anësore është e saktë piramidë trekëndore mund të llogaritet në mënyra të ndryshme. Ju mund të aplikoni formulën e zakonshme të llogaritjes duke përdorur perimetrin dhe apotemën, ose mund të gjeni sipërfaqen e një fytyre dhe ta shumëzoni atë me tre. Meqenëse faqja e një piramide është një trekëndësh, ne aplikojmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Do të kërkojë një apotemë dhe gjatësinë e bazës. Le të shqyrtojmë një shembull të llogaritjes së sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt trekëndore.

Jepet një piramidë me apotemë a = 4 cm dhe faqe bazë b = 2 cm Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Së pari, gjeni zonën e njërës nga fytyrat anësore. Në këtë rast do të jetë:
Zëvendësoni vlerat në formulën:
Meqenëse në një piramidë të rregullt të gjitha anët janë të njëjta, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës do të jetë e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tre fytyrave. Përkatësisht:

Zona e një piramide të cunguar

I cunguar Një piramidë është një shumëfaqësh që formohet nga një piramidë dhe seksioni i saj kryq paralel me bazën.
Formula për sipërfaqen anësore të një piramide të cunguar është shumë e thjeshtë. Sipërfaqja është e barabartë me prodhimin e gjysmës së shumës së perimetrave të bazave dhe apotemës:

Çfarë figure quajmë piramidë? Së pari, është një poliedron. Së dyti, në bazën e këtij poliedri ka një shumëkëndësh arbitrar, dhe anët e piramidës (fytyrat anësore) domosdoshmërisht kanë formën e trekëndëshave që konvergojnë në një kulm të përbashkët. Tani, pasi kemi kuptuar termin, le të zbulojmë se si të gjejmë sipërfaqen e piramidës.

Është e qartë se sipërfaqja është e tillë trup gjeometrik do të përbëhet nga shuma e sipërfaqeve të bazës dhe e gjithë sipërfaqes anësore të saj.

Llogaritja e sipërfaqes së bazës së një piramide

Zgjedhja formula e llogaritjes varet nga forma e shumëkëndëshit që shtrihet në bazën e piramidës sonë. Mund të jetë i rregullt, domethënë me anë të së njëjtës gjatësi ose të parregullta. Le të shqyrtojmë të dyja opsionet.

Baza është një shumëkëndësh i rregullt

Nga kursi shkollor i njohur:

• sipërfaqja e sheshit do të jetë e barabartë me gjatësinë e anës së tij në katror;
• Sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës është e barabartë me katrorin e brinjës së tij pjesëtuar me 4 dhe shumëzuar me rrënjë katrore nga tre.

Por ka edhe formulë e përgjithshme, për të llogaritur sipërfaqen e çdo shumëkëndëshi të rregullt (Sn): duhet të shumëzoni perimetrin e këtij poligoni (P) me rrezen e rrethit të gdhendur në të (r), dhe më pas ta ndani rezultatin me dy: Sn= 1/2P*r.

Në bazë është një shumëkëndësh i parregullt

Skema për gjetjen e zonës së tij është që së pari të ndani të gjithë poligonin në trekëndësha, të llogarisni sipërfaqen e secilit prej tyre duke përdorur formulën: 1/2a*h (ku a është baza e trekëndëshit, h është lartësia e ulur në këtë bazë), shtoni të gjitha rezultatet.

Sipërfaqja anësore e piramidës

Tani le të llogarisim sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës, d.m.th. shuma e sipërfaqeve të të gjitha anëve të saj anësore. Këtu ka edhe 2 opsione.

1. Le të kemi një piramidë arbitrare, d.m.th. ai që bazohet në shumëkëndëshi i rregullt. Më pas duhet të llogarisni zonën e secilës fytyrë veç e veç dhe të shtoni rezultatet. Meqenëse brinjët e një piramide, sipas përkufizimit, mund të jenë vetëm trekëndësha, llogaritja kryhet duke përdorur formulën e sipërpërmendur: S=1/2a*h.
2. Piramida jonë le të jetë e saktë, d.m.th. në bazën e saj shtrihet një shumëkëndësh i rregullt dhe projeksioni i majës së piramidës është në qendër të saj. Pastaj, për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore (Sb), mjafton të gjejmë gjysmën e produktit të perimetrit të poligonit bazë (P) dhe lartësisë (h) të anës anësore (e njëjtë për të gjitha fytyrat. ): Sb = 1/2 P*h. Perimetri i një shumëkëndëshi përcaktohet duke shtuar gjatësitë e të gjitha brinjëve të tij.

Sipërfaqja totale piramida e rregullt gjendet duke mbledhur sipërfaqen e bazës së saj me sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes anësore.

Shembuj

Për shembull, le të llogarisim algjebrikisht sipërfaqet e disa piramidave.

Sipërfaqja e një piramide trekëndore

Në bazën e një piramide të tillë është një trekëndësh. Duke përdorur formulën So=1/2a*h gjejmë sipërfaqen e bazës. Ne përdorim të njëjtën formulë për të gjetur sipërfaqen e secilës faqe të piramidës, e cila gjithashtu ka një formë trekëndore, dhe marrim 3 zona: S1, S2 dhe S3. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është shuma e të gjitha sipërfaqeve: Sb = S1+ S2+ S3. Duke mbledhur sipërfaqet e anëve dhe bazës, marrim sipërfaqen totale të piramidës së dëshiruar: Sp= So+ Sb.

Sipërfaqja e një piramide katërkëndore

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore është shuma e 4 termave: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, secila prej të cilave llogaritet duke përdorur formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi. Dhe zona e bazës do të duhet të kërkohet, në varësi të formës së katërkëndëshit - të rregullt ose të parregullt. Sipërfaqja totale e piramidës përsëri fitohet duke shtuar sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqen totale të piramidës së dhënë.

Shkurtimisht për gjënë kryesore

Sipërfaqja (2019)

Sipërfaqja e prizmit

A ka një formulë të përgjithshme? Jo, në rast i përgjithshëm Nr. Thjesht duhet të kërkoni zonat e faqeve anësore dhe t'i përmbledhni ato.

Formula mund të shkruhet për prizëm i drejtë:

Ku është perimetri i bazës.

Por është akoma shumë më e thjeshtë për të gjithë rast specifik mblidhni të gjitha zonat në vend që të mësoni përmendësh formula shtesë. Për shembull, le të llogarisim sipërfaqe të plotë prizëm i rregullt gjashtëkëndor.

Të gjitha faqet anësore janë drejtkëndëshe. Mjetet.

Kjo është treguar tashmë gjatë llogaritjes së vëllimit.

Pra marrim:

Sipërfaqja e piramidës

Rregulli i përgjithshëm vlen edhe për piramidën:

Tani le të llogarisim sipërfaqen e piramidave më të njohura.

Sipërfaqja e një piramide të rregullt trekëndore

Lëreni anën e bazës të jetë e barabartë dhe brinjë anësore barazohet. Duhet të gjejmë dhe.

Le ta kujtojmë tani atë

Kjo është zona trekëndëshi i rregullt.

Dhe le të kujtojmë se si ta kërkojmë këtë zonë. Ne përdorim formulën e zonës:

Për ne " " është kjo, dhe " " është edhe kjo, eh.

Tani le ta gjejmë.

Duke përdorur formulën bazë të zonës dhe teoremën e Pitagorës, gjejmë

Kujdes: nëse keni tetraedron i rregullt(d.m.th.), atëherë formula është:

Sipërfaqja e një piramide të rregullt katërkëndore

Lëreni anën e bazës të jetë e barabartë dhe buza anësore e barabartë.

Baza është një katror, ​​dhe kjo është arsyeja pse.

Mbetet për të gjetur zonën e fytyrës anësore

Sipërfaqja e një piramide të rregullt gjashtëkëndore.

Lëreni anën e bazës të jetë e barabartë dhe buza anësore.

Si të gjeni? Një gjashtëkëndësh përbëhet nga saktësisht gjashtë trekëndësha të rregullt identikë. Ne kemi kërkuar tashmë sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt kur llogaritim sipërfaqen e një piramide të rregullt trekëndore këtu përdorim formulën që gjetëm.

Epo, ne kemi kërkuar tashmë dy herë zonën e fytyrës anësore.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më të mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për përfundim me sukses Provimi i Unifikuar i Shtetit, për pranim në kolegj me buxhet dhe, ME E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që morën arsim të mirë, fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, domosdoshmërisht me zgjidhje, analiza e detajuar dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Para se të studioni pyetje rreth kësaj figure gjeometrike dhe vetive të saj, duhet të kuptoni disa terma. Kur një person dëgjon për një piramidë, ai imagjinon ndërtesa të mëdha në Egjipt. Ja si duken më të thjeshtat. Por ato ndodhin lloje të ndryshme dhe forma, që do të thotë se formula e llogaritjes për format gjeometrike do të jetë e ndryshme.

Piramida - figura gjeometrike , që tregon dhe përfaqëson disa fytyra. Në thelb, ky është i njëjti poliedron, në bazën e të cilit shtrihet një shumëkëndësh, dhe në anët ka trekëndësha që lidhin në një pikë - kulmin. Shifra vjen në dy lloje kryesore:

• i saktë;
• i cunguar.

Në rastin e parë, baza është një shumëkëndësh i rregullt. Gjithçka është këtu sipërfaqet anësore të barabartë mes tyre dhe vetë figurës do të kënaqin syrin e një perfeksionisti.

Në rastin e dytë, ekzistojnë dy baza - një e madhe në fund dhe një e vogël midis sipërme, duke përsëritur formën e kryesores. Me fjalë të tjera, një piramidë e cunguar është një poliedron me një seksion kryq të formuar paralelisht me bazën.

Termat dhe simbolet

Termat kryesore:

• Trekëndësh i rregullt (barabrinjës).- një figurë me tre kënde të njëjta dhe anët e barabarta. Në këtë rast, të gjitha këndet janë 60 gradë. Figura është më e thjeshta e poliedrave të rregullt. Nëse kjo shifër qëndron në bazën, atëherë një shumëfaqësh i tillë do të quhet trekëndor i rregullt. Nëse baza është një katror, ​​piramida do të quhet një piramidë e rregullt katërkëndore.
• Kulmi– pika më e lartë ku takohen skajet. Lartësia e majës formohet nga një vijë e drejtë që shtrihet nga maja në bazën e piramidës.
• Buzë– një nga rrafshet e shumëkëndëshit. Mund të jetë në formën e një trekëndëshi në rastin e një piramide trekëndore ose në formën e një trapezi për piramidë e cunguar.
• Seksioni – figurë e sheshtë, i formuar si rezultat i diseksionit. Nuk duhet të ngatërrohet me një seksion, pasi një seksion tregon gjithashtu se çfarë është pas seksionit.
• Apotemë- një segment i tërhequr nga maja e piramidës në bazën e saj. Është gjithashtu lartësia e fytyrës ku ndodhet pika e dytë e lartësisë. Ky përkufizim vetëm e drejtë për të poliedri i rregullt. Për shembull, nëse kjo nuk është një piramidë e cunguar, atëherë fytyra do të jetë një trekëndësh. Në këtë rast, lartësia e këtij trekëndëshi do të bëhet apotemë.

Formulat e zonës

Gjeni sipërfaqen anësore të piramidësçdo lloj mund të bëhet në disa mënyra. Nëse figura nuk është simetrike dhe është shumëkëndësh me anët e ndryshme, atëherë në këtë rast është më e lehtë të llogaritet sipërfaqe totale sipërfaqet nëpër tërësinë e të gjitha sipërfaqeve. Me fjalë të tjera, duhet të llogarisni sipërfaqen e secilës fytyrë dhe t'i shtoni ato së bashku.

Në varësi të cilës parametra dihen, mund të kërkohen formula për llogaritjen e një katrori, trapezi, katërkëndëshi arbitrar etj. Vetë formulat raste të ndryshme do të ketë edhe dallime.

Në rastin e figura e duhur Gjetja e zonës është shumë më e lehtë. Mjafton të dimë vetëm disa parametra kyç. Në shumicën e rasteve, llogaritjet kërkohen posaçërisht për shifra të tilla. Prandaj, formulat përkatëse do të jepen më poshtë. NË ndryshe Do të më duhej të shkruaja gjithçka në disa faqe, të cilat vetëm do të ngatërronin dhe ngatërronin.

Formula bazë për llogaritjen sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt do të ketë pamje tjetër:

S=½ Pa (P është perimetri i bazës dhe është apotema)

Le të shohim një shembull. Shumëfaqëshi ka një bazë me segmente A1, A2, A3, A4, A5 dhe të gjitha janë të barabarta me 10 cm. Meqenëse të pesë fytyrat e bazës janë të njëjta, mund ta gjeni si kjo: P = 5 * 10 = 50 cm formula bazë: S =½*50*5=125 cm katror.

Sipërfaqja anësore e një piramide të rregullt trekëndore më e lehtë për t'u llogaritur. Formula duket si kjo:

S =½* ab *3, ku a është apotema, b është faqja e bazës. Faktori tre këtu nënkupton numrin e fytyrave të bazës, dhe pjesa e parë është zona e sipërfaqes anësore. Le të shohim një shembull. Jepet një figurë me apotemë 5 cm dhe buzë bazë 8 cm Llogaritim: S = 1/2*5*8*3=60 cm në katror.

Sipërfaqja anësore e një piramide të cunguarËshtë pak më e vështirë të llogaritet. Formula duket kështu: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, ku p_01 dhe p_02 janë perimetrat e bazave dhe është apotema. Le të shohim një shembull. Supozojmë se për një figurë katërkëndëshe përmasat e brinjëve të bazave janë 3 dhe 6 cm, apotema është 4 cm.

Këtu, fillimisht duhet të gjeni perimetrat e bazave: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Mbetet të zëvendësojmë vlerat në formulën kryesore dhe marrim: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm në katror.

Kështu, ju mund të gjeni sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt të çdo kompleksiteti. Duhet të jeni të kujdesshëm dhe të mos ngatërroni këto llogaritje me sipërfaqe të plotë i gjithë poliedri. Dhe nëse ende duhet ta bëni këtë, thjesht llogarisni zonën e bazës më të madhe të poliedrit dhe shtoni atë në zonën e sipërfaqes anësore të poliedrit.

Video

Konsolidoni informacionin se si të gjeni sipërfaqen anësore piramida të ndryshme, kjo video do t'ju ndihmojë.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.