Funksioni çift y f x. Funksionet çift dhe tek

Varësia e një ndryshoreje y nga një ndryshore x, në të cilën çdo vlerë e x korrespondon me një vlerë të vetme të y, quhet funksion. Për emërtim përdorni shënimin y=f(x). Secili funksion ka një sërë veçorish themelore, si monotonia, barazia, periodiciteti dhe të tjera.

Shikoni më nga afër pronën e barazisë.

Një funksion y=f(x) thirret edhe nëse i plotëson dy kushtet e mëposhtme:

2. Vlera e funksionit në pikën x, që i përket fushës së përcaktimit të funksionit, duhet të jetë e barabartë me vlerën e funksionit në pikën -x. Domethënë, për çdo pikë x, nga fusha e përkufizimit të funksionit duhet të plotësohet barazia e mëposhtme: f(x) = f(-x).

Grafiku i një funksioni çift

Nëse vizatoni një grafik të një funksioni çift, ai do të jetë simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Për shembull, funksioni y=x^2 është çift. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=3 arbitrare. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prandaj f(x) = f(-x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është i barabartë. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^2.

Figura tregon se grafiku është simetrik në lidhje me boshtin Oy.

Grafiku i një funksioni tek

Një funksion y=f(x) quhet tek nëse plotëson dy kushtet e mëposhtme:

1. Fusha e përkufizimit të një funksioni të caktuar duhet të jetë simetrike në lidhje me pikën O. Kjo do të thotë, nëse një pikë a i përket fushës së përkufizimit të funksionit, atëherë edhe pika përkatëse -a duhet t'i përkasë domenit të përkufizimit. të funksionit të dhënë.

2. Për çdo pikë x, nga fusha e përcaktimit të funksionit duhet të plotësohet barazia e mëposhtme: f(x) = -f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me pikën O - origjina e koordinatave. Për shembull, funksioni y=x^3 është tek. Le ta kontrollojmë. Fusha e përkufizimit është i gjithë boshti numerik, që do të thotë se është simetrik në lidhje me pikën O.

Le të marrim një x=2 arbitrare. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prandaj f(x) = -f(x). Kështu, të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se funksioni është tek. Më poshtë është një grafik i funksionit y=x^3.

Figura tregon qartë se funksioni tek y=x^3 është simetrik në lidhje me origjinën.

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

• të formulojë konceptin e funksioneve çift dhe tek, të mësojë aftësinë për të përcaktuar dhe përdorur këto veti gjatë studimit të funksioneve dhe ndërtimit të grafikëve;
• të zhvillojë veprimtarinë krijuese të studentëve, të menduarit logjik, aftësinë për të krahasuar dhe përgjithësuar;
• kultivojnë punën e palodhur dhe kulturën matematikore; zhvillojnë aftësitë e komunikimit .

Pajisjet: instalim multimedial, tabelë interaktive, fletëpalosje.

Format e punës: frontale dhe grupore me elemente të veprimtarive të kërkimit dhe kërkimit.

Burimet e informacionit:

1. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libër mësuesi.
2. Algjebra klasa e 9-të A.G. Mordkovich. Libri i problemeve.
3. Algjebër klasa e 9-të. Detyrat për mësimin dhe zhvillimin e nxënësve. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

GJATË KLASËVE

1. Momenti organizativ

Përcaktimi i qëllimeve dhe objektivave për mësimin.

2. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

Nr. 10.17 (libër me problematika të klasës së 9-të. A.G. Mordkovich).

A) në = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 në X ~ 0,4
4. f(X) > 0 në X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksioni rritet me X € [– 2; + ∞)
6. Funksioni është i kufizuar nga poshtë.
7. në naim = – 3, në naib nuk ekziston
8. Funksioni është i vazhdueshëm.

(A keni përdorur një algoritëm të eksplorimit të funksionit?) Rrëshqitje.

2. Le të kontrollojmë tabelën që ju kërkuan nga rrëshqitja.

Plotësoni tabelën
	Domeni	Funksioni zero	Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjave		Koordinatat e pikave të prerjes së grafikut me Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Përditësimi i njohurive

– Janë dhënë funksionet.
– Përcaktoni fushën e përkufizimit për secilin funksion.
– Krahasoni vlerën e secilit funksion për çdo çift vlerash argumentesh: 1 dhe – 1; 2 dhe – 2.
– Për cilin nga këto funksione në fushën e përkufizimit vlejnë barazitë f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (futni të dhënat e marra në tabelë) Rrëshqitje

		f(1) dhe f(– 1)	f(2) dhe f(– 2)	grafike	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		dhe jo të përcaktuara

4. Material i ri

– Gjatë kryerjes së kësaj pune, djema, identifikuam një veçori tjetër të funksionit, të panjohur për ju, por jo më pak të rëndësishme se të tjerat - kjo është njëtrajtshmëria dhe çuditshmëria e funksionit. Shkruani temën e mësimit: "Funksionet çift dhe tek", detyra jonë është të mësojmë të përcaktojmë barazinë dhe çuditshmërinë e një funksioni, të zbulojmë rëndësinë e kësaj vetie në studimin e funksioneve dhe vizatimin e grafikëve.
Pra, le të gjejmë përkufizimet në tekst dhe të lexojmë (f. 110) . Rrëshqitje

Def. 1 Funksioni në = f (X), i përcaktuar në bashkësinë X quhet madje, nëse për ndonjë vlerë XЄ X ekzekutohet barazi f(–x)= f(x). Jep shembuj.

Def. 2 Funksioni y = f(x), i përcaktuar në bashkësinë X quhet i çuditshëm, nëse për ndonjë vlerë XЄ X vlen barazia f(–х)= –f(х). Jep shembuj.

Ku i takuam termat “çift” dhe “tek”?
Cili nga këto funksione do të jetë çift, mendoni ju? Pse? Cilat janë të çuditshme? Pse?
Për çdo funksion të formës në= x n, Ku n– një numër i plotë, mund të argumentohet se funksioni është tek kur n– tek dhe funksioni është çift kur n- madje.
– Shikoni funksionet në= dhe në = 2X– 3 nuk janë as çift e as tek, sepse barazitë nuk janë të kënaqura f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studimi nëse një funksion është çift apo tek quhet studimi i një funksioni për barazi. Rrëshqitje

Në përkufizimet 1 dhe 2 ne po flisnim për vlerat e funksionit në x dhe - x, kështu supozohet se funksioni është përcaktuar edhe në vlerë X, dhe në - X.

Def 3. Nëse një bashkësi numerike, së bashku me secilin prej elementeve të tij x, përmban edhe elementin e kundërt –x, atëherë bashkësia X quhet bashkësi simetrike.

Shembuj:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) janë bashkësi simetrike dhe , [–5;4] janë asimetrike.

– A kanë edhe funksionet një fushë përkufizimi që është një bashkësi simetrike? Të çuditshmet?
- Nëse D( f) është një bashkësi asimetrike, atëherë cili është funksioni?
– Kështu, nëse funksioni në = f(X) – çift ose tek, atëherë domeni i përkufizimit të tij është D( f) është një grup simetrik. A është i vërtetë pohimi i kundërt: nëse fusha e përkufizimit të një funksioni është një bashkësi simetrike, atëherë është çift apo tek?
– Kjo do të thotë se prania e një grupi simetrik të fushës së përkufizimit është një kusht i domosdoshëm, por jo i mjaftueshëm.
– Pra, si e shqyrtoni një funksion për barazi? Le të përpiqemi të krijojmë një algoritëm.

Rrëshqitje

Algoritmi për studimin e një funksioni për barazi

1. Përcaktoni nëse fusha e përcaktimit të funksionit është simetrike. Nëse jo, atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek. Nëse po, atëherë shkoni në hapin 2 të algoritmit.

2. Shkruani një shprehje për f(–X).

3. Krahasoni f(–X).Dhe f(X):

• Nëse f(–X).= f(X), atëherë funksioni është çift;
• Nëse f(–X).= – f(X), atëherë funksioni është tek;
• Nëse f(–X) ≠ f(X) Dhe f(–X) ≠ –f(X), atëherë funksioni nuk është as çift dhe as tek.

Shembuj:

Shqyrtoni funksionin a) për paritetin në= x 5 +; b) në= ; V) në= .

Zgjidhje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), bashkësi simetrike.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funksion h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

në = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), një bashkësi asimetrike, që do të thotë se funksioni nuk është as çift dhe as tek.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opsioni 2

1. A është simetrike bashkësia e dhënë: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Shqyrtoni funksionin për barazi:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Në Fig. është ndërtuar një grafik në = f(X), per te gjithe X, duke plotesuar kushtin X? 0.
Grafikoni funksionin në = f(X), Nëse në = f(X) është një funksion i barabartë.

3. Në Fig. është ndërtuar një grafik në = f(X), për të gjitha x që plotësojnë kushtin x? 0.
Grafikoni funksionin në = f(X), Nëse në = f(X) është një funksion tek.

Kontroll i ndërsjellë rrëshqitje.

6. Detyrë shtëpie: №11.11, 11.21,11.22;

Vërtetimi i kuptimit gjeometrik të vetive të barazisë.

***(Caktimi i opsionit të Provimit të Unifikuar të Shtetit).

1. Funksioni tek y = f(x) përcaktohet në të gjithë vijën numerike. Për çdo vlerë jo negative të ndryshores x, vlera e këtij funksioni përkon me vlerën e funksionit g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Gjeni vlerën e funksionit h( X) = në X = 3.

7. Përmbledhje

Edhe funksionin.

Madjeështë një funksion, shenja e të cilit nuk ndryshon kur shenja ndryshon x.

x barazia vlen f(–x) = f(x). Shenjë x nuk ndikon në shenjë y.

Grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ (Fig. 1).

Shembuj të një funksioni çift:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Shpjegim:
Le të marrim funksionin y = x 2 ose y = –x 2 .
Për çdo vlerë x funksioni është pozitiv. Shenjë x nuk ndikon në shenjë y. Grafiku është simetrik në lidhje me boshtin koordinativ. Ky është një funksion i barabartë.

Funksioni tek.

E çuditshmeështë një funksion, shenja e të cilit ndryshon kur shenja ndryshon x.

Me fjalë të tjera, për çdo vlerë x barazia vlen f(–x) = –f(x).

Grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën (Fig. 2).

Shembuj të funksionit tek:

y= mëkat x

y = x 3

y = –x 3

Shpjegim:

Le të marrim funksionin y = – x 3 .
Të gjitha kuptimet në do të ketë një shenjë minus. Kjo është një shenjë x ndikon në shenjë y. Nëse ndryshorja e pavarur është numër pozitiv, atëherë funksioni është pozitiv, nëse ndryshorja e pavarur është numër negativ, atëherë funksioni është negativ: f(–x) = –f(x).
Grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën. Ky është një funksion i rastësishëm.

Vetitë e funksioneve çift dhe tek:

SHËNIM:

Jo të gjitha funksionet janë çift ose tek. Ka funksione që nuk i binden një gradimi të tillë. Për shembull, funksioni rrënjë në = √X nuk zbatohet as për funksionet çift, as për tek (Fig. 3). Kur renditni vetitë e funksioneve të tilla, duhet të jepet një përshkrim i duhur: as çift, as tek.

Funksionet periodike.

Siç e dini, periodiciteti është përsëritja e proceseve të caktuara në një interval të caktuar. Funksionet që përshkruajnë këto procese quhen funksionet periodike. Domethënë, këto janë funksione në grafikët e të cilëve ka elementë që përsëriten në intervale të caktuara numerike.

. Për ta bërë këtë, përdorni letër grafik ose një kalkulator grafik. Zgjidhni çdo numër vlerash të ndryshoreve të pavarura x (\displaystyle x) dhe futini ato në funksion për të llogaritur vlerat e ndryshores së varur y (\displaystyle y). Vizatoni koordinatat e gjetura të pikave në planin koordinativ dhe më pas lidhni këto pika për të ndërtuar një grafik të funksionit.

• Zëvendësoni vlerat numerike pozitive në funksion x (\displaystyle x) dhe vlerat numerike negative përkatëse. Për shembull, duke pasur parasysh funksionin f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Zëvendësoni vlerat e mëposhtme në të x (\displaystyle x):

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me boshtin Y. Simetri nënkupton një imazh pasqyrë të grafikut në lidhje me boshtin e ordinatave. Nëse pjesa e grafikut në të djathtë të boshtit Y (vlerat pozitive të ndryshores së pavarur) është e njëjtë me pjesën e grafikut në të majtë të boshtit Y (vlerat negative të ndryshores së pavarur ), grafiku është simetrik rreth boshtit Y Nëse funksioni është simetrik në lidhje me boshtin y, funksioni është çift.

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit është simetrik me origjinën. Origjina është pika me koordinata (0,0). Simetria rreth origjinës do të thotë se një vlerë pozitive y (\displaystyle y)(me vlerë pozitive x (\displaystyle x)) korrespondon me një vlerë negative y (\displaystyle y)(me vlerë negative x (\displaystyle x)), dhe anasjelltas. Funksionet teke kanë simetri rreth origjinës.

Kontrolloni nëse grafiku i funksionit ka ndonjë simetri. Lloji i fundit i funksionit është një funksion, grafiku i të cilit nuk ka simetri, domethënë, nuk ka imazh pasqyrë si në lidhje me boshtin e ordinatave ashtu edhe në lidhje me origjinën. Për shembull, duke pasur parasysh funksionin .

• Zëvendësoni disa vlera pozitive dhe negative përkatëse në funksion x (\displaystyle x):
• Sipas rezultateve të marra, nuk ka simetri. vlerat y (\displaystyle y) për vlera të kundërta x (\displaystyle x) nuk përkojnë dhe nuk janë të kundërta. Kështu funksioni nuk është as çift dhe as tek.
• Ju lutemi vini re se funksioni f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) mund të shkruhet kështu: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Kur shkruhet në këtë formë, funksioni shfaqet edhe sepse ka një eksponent çift. Por ky shembull dëshmon se lloji i funksionit nuk mund të përcaktohet shpejt nëse ndryshorja e pavarur është e mbyllur në kllapa. Në këtë rast, duhet të hapni kllapat dhe të analizoni eksponentët e marrë.

Të cilat ishin të njohura për ju në një shkallë ose në një tjetër. Aty u vu re gjithashtu se stoku i pronave të funksionit do të rimbushet gradualisht. Dy prona të reja do të diskutohen në këtë seksion.

Përkufizimi 1.

Funksioni y = f(x), x є X, thirret edhe nëse për ndonjë vlerë x nga bashkësia X vlen barazia f (-x) = f (x).

Përkufizimi 2.

Funksioni y = f(x), x є X, quhet tek nëse për ndonjë vlerë x nga bashkësia X vlen barazia f (-x) = -f (x).

Vërtetoni se y = x 4 është një funksion çift.

Zgjidhje. Kemi: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Por (-x) 4 = x 4. Kjo do të thotë se për çdo x vlen barazia f(-x) = f(x), d.m.th. funksioni është i barabartë.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohet se funksionet y - x 2, y = x 6, y - x 8 janë çift.

Vërtetoni se y = x 3 ~ një funksion tek.

Zgjidhje. Kemi: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Por (-x) 3 = -x 3. Kjo do të thotë se për çdo x vlen barazia f (-x) = -f (x), d.m.th. funksioni është tek.

Në mënyrë të ngjashme, mund të vërtetohet se funksionet y = x, y = x 5, y = x 7 janë tek.

Ne kemi parë tashmë më shumë se një herë që termat e rinj në matematikë më së shpeshti kanë një origjinë "tokësore", d.m.th. ato mund të shpjegohen disi. Ky është rasti me funksionet çift dhe tek. Shih: y - x 3, y = x 5, y = x 7 janë funksione tek, ndërsa y = x 2, y = x 4, y = x 6 janë funksione çift. Dhe në përgjithësi, për çdo funksion të formës y = x" (më poshtë do t'i studiojmë në mënyrë specifike këto funksione), ku n është një numër natyror, mund të konkludojmë: nëse n është një numër tek, atëherë funksioni y = x" është tek; nëse n është numër çift, atëherë funksioni y = xn është çift.

Ka edhe funksione që nuk janë as çift e as tek. I tillë, për shembull, është funksioni y = 2x + 3. Në të vërtetë, f(1) = 5, dhe f (-1) = 1. Siç mund ta shihni, këtu, pra, as identiteti f(-x) = f ( x), as identitetin f(-x) = -f(x).

Pra, një funksion mund të jetë çift, tek ose asnjëra.

Studimi nëse një funksion i caktuar është çift apo tek zakonisht quhet studimi i barazisë.

Përkufizimet 1 dhe 2 i referohen vlerave të funksionit në pikat x dhe -x. Kjo supozon se funksioni është përcaktuar si në pikën x ashtu edhe në pikën -x. Kjo do të thotë se pika -x i përket fushës së përcaktimit të funksionit njëkohësisht me pikën x. Nëse një bashkësi numerike X, së bashku me secilin element të tij x, përmban edhe elementin e kundërt -x, atëherë X quhet bashkësi simetrike. Le të themi, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) janë bashkësi simetrike, ndërsa )

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve