Gjeni inversin e matricës a 1. Si të gjeni inversin e matricës

Konsideroni një matricë katrore. Le të tregojmë Δ = det A përcaktorin e saj. Katrori B është (OM) për katrorin A të të njëjtit rend nëse produkti i tyre A*B = B*A = E, ku E është matrica e identitetit të të njëjtit rend si A dhe B.

Një katror A quhet jo i degjeneruar, ose jo njëjës, nëse përcaktori i tij është jo zero, dhe i degjeneruar, ose i veçantë, nëse Δ = 0.

Teorema. Që A të ketë inversin e tij, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktorja e saj të jetë e ndryshme nga zero.

(OM) A, shënohet me A -1, pra B = A -1 dhe llogaritet me formulën

, (1)

ku A i j janë plotësues algjebrikë të elementeve a i j, Δ = detA.

Llogaritja e A -1 duke përdorur formulën (1) për matricat e rendit të lartë është shumë punë intensive, kështu që në praktikë është e përshtatshme për të gjetur A -1 duke përdorur metodën e transformimeve elementare (ET). Çdo A jo njëjës mund të reduktohet në një njësi E me anë të EP-së vetëm me kolona (ose vetëm rreshta) Nëse EP-të e përsosura mbi matricën A zbatohen në të njëjtin rend në njësinë E, atëherë rezultati do të jetë A -. 1. Është i përshtatshëm për të kryer EP në A dhe E në të njëjtën kohë, duke shkruar të dyja krah për krah përmes rreshtit A|E. Nëse keni nevojë të gjeni A -1, duhet të përdorni vetëm rreshta ose vetëm kolona gjatë procesit të transformimit.

Gjetja e inversit të një matrice duke përdorur shtesat algjebrike

Shembulli 1. Për gjeni A -1.

Zgjidhje. Së pari gjejmë përcaktorin A
Kjo do të thotë se (OM) ekziston dhe ne mund ta gjejmë atë duke përdorur formulën: , ku A i j (i,j=1,2,3) janë shtesa algjebrike të elementeve a i j të origjinalit A.

Komplementi algjebrik i një elementi a ij është përcaktor ose minor i M ij . Përftohet duke kryqëzuar kolonën i dhe rreshtin j. Atëherë minori shumëzohet me (-1) i+j , d.m.th. A ij =(-1) i+j M ij

ku .

Gjetja e matricës së kundërt duke përdorur shndërrimet elementare

Shembulli 2. Duke përdorur metodën e shndërrimeve elementare, gjeni A -1 për: A= .

Zgjidhje. Ne caktojmë një njësi të të njëjtit rend në origjinalin A në të djathtë: . Duke përdorur transformimet elementare të kolonave, ne do të zvogëlojmë "gjysmën" e majtë në njësinë e parë, ndërsa njëkohësisht do të kryejmë saktësisht të njëjtat transformime në "gjysmën" e djathtë.
Për ta bërë këtë, ndërroni kolonën e parë dhe të dytë: ~. Në kolonën e tretë shtojmë të parën, dhe të dytën - të parën, shumëzuar me -2: . Nga kolona e parë zbresim dyfishin e dytë, dhe nga e treta - e dyta shumëzuar me 6; . Le të shtojmë kolonën e tretë në të parën dhe të dytën: . Shumëzoni kolonën e fundit me -1: . Tabela katrore e marrë në të djathtë të shiritit vertikal është e anasjellta e A -1. Kështu që,
.

Ngjashëm me të kundërtën në shumë veti.

YouTube Enciklopedike

1 / 5

✪ Matrica e anasjelltë (2 mënyra për të gjetur)

✪ Si të gjeni inversin e një matrice - bezbotvy

✪ Matrica e anasjelltë #1

✪ Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh duke përdorur metodën e matricës së kundërt - bezbotvy

✪ Matrica e anasjelltë

Titra

Vetitë e një matrice të anasjelltë

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Ku det (\displaystyle \\det) tregon përcaktorin.
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) për dy matrica katrore të kthyeshme A (\displaystyle A) Dhe B (\displaystyle B).
(A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Ku (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tregon një matricë të transpozuar.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\shtili i shfaqjes \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) për çdo koeficient k ≠ 0 (\stil ekrani k\jo =0).
E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
Nëse është e nevojshme të zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare, (b është një vektor jo zero) ku x (\displaystyle x)është vektori i dëshiruar, dhe nëse A − 1 (\displaystyle A^(-1)) ekziston atëherë x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Përndryshe, ose dimensioni i hapësirës së zgjidhjes është më i madh se zero, ose nuk ka zgjidhje fare.

Metodat për gjetjen e matricës së kundërt

Nëse matrica është e kthyeshme, atëherë për të gjetur matricën e kundërt mund të përdorni një nga metodat e mëposhtme:

Metoda të sakta (të drejtpërdrejta).

Metoda Gauss-Jordan

Le të marrim dy matrica: A dhe beqare E. Le të paraqesim matricën A në matricën e identitetit duke përdorur metodën Gauss-Jordan, duke aplikuar transformime përgjatë rreshtave (mund të aplikoni gjithashtu transformime përgjatë kolonave, por jo të përziera). Pas aplikimit të çdo operacioni në matricën e parë, aplikoni të njëjtin operacion në të dytën. Kur të përfundojë reduktimi i matricës së parë në formën e njësisë, matrica e dytë do të jetë e barabartë me A−1.

Kur përdorni metodën Gaussian, matrica e parë do të shumëzohet në të majtë me një nga matricat elementare. Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(matrica e transveksionit ose diagonale me ato në diagonalen kryesore, përveç një pozicioni):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Shigjeta djathtas \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\fille(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\pika &&&\\0&\pika &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\pika &0\\0&\pika &0&1/a_(mm)&0&\pika &0\\0&\pika &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\pika &0\\&&&\pika &&&\\0&\pika &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\pika &1\fund(bmatriks))).

Matrica e dytë pas aplikimit të të gjitha operacioneve do të jetë e barabartë me Λ (\displaystyle \Lambda), domethënë do të jetë e dëshiruara. Kompleksiteti i algoritmit - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Përdorimi i matricës së komplementit algjebrik

Matrica e anasjelltë e matricës A (\displaystyle A), mund të paraqitet në formë

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Ku adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matricë adjoint;

Kompleksiteti i algoritmit varet nga kompleksiteti i algoritmit për llogaritjen e përcaktorit O det dhe është i barabartë me O(n²)·O det.

Përdorimi i zbërthimit LU/LUP

Ekuacioni i matricës A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) për matricën e anasjelltë X (\displaystyle X) mund të konsiderohet si një koleksion n (\displaystyle n) sistemet e formës A x = b (\displaystyle Ax=b). Le të shënojmë i (\displaystyle i) kolona e matricës X (\displaystyle X) përmes X i (\displaystyle X_(i)); Pastaj A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\lddots ,n),sepse i (\displaystyle i) kolona e matricës I n (\displaystyle I_(n))është vektori njësi e i (\displaystyle e_(i)). me fjalë të tjera, gjetja e matricës së kundërt zbret në zgjidhjen e n ekuacioneve me të njëjtën matricë dhe me anë të djathta të ndryshme. Pas kryerjes së zbërthimit të LUP (koha O(n³), zgjidhja e secilit prej n ekuacioneve kërkon kohë O(n²), kështu që kjo pjesë e punës kërkon edhe kohë O(n³).

Nëse matrica A është jo njëjës, atëherë për të mund të llogaritet zbërthimi i LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Le P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Pastaj nga vetitë e matricës së kundërt mund të shkruajmë: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Nëse e shumëzoni këtë barazi me U dhe L, mund të merrni dy barazi të formës U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Dhe D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). E para prej këtyre barazive është një sistem n² ekuacionesh lineare për n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) nga të cilat njihen anët e djathta (nga vetitë e matricave trekëndore). E dyta gjithashtu paraqet një sistem n² ekuacionesh lineare për n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) nga të cilat njihen anët e djathta (edhe nga vetitë e matricave trekëndore). Së bashku ato përfaqësojnë një sistem barazish n². Duke përdorur këto barazi, ne mund të përcaktojmë në mënyrë rekursive të gjithë elementët n² të matricës D. Pastaj nga barazia (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. fitojmë barazinë A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Në rastin e përdorimit të dekompozimit LU, nuk kërkohet ndryshim i kolonave të matricës D, por zgjidhja mund të ndryshojë edhe nëse matrica A është jo njëjës.

Kompleksiteti i algoritmit është O(n³).

Metodat përsëritëse

Metodat e Schultz-it

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\fillimi(rastet)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\shuma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\fund(rastet)))

Vlerësimi i gabimit

Zgjedhja e një përafrimi fillestar

Problemi i zgjedhjes së përafrimit fillestar në proceset e përmbysjes së matricës përsëritëse të konsideruara këtu nuk na lejon t'i trajtojmë ato si metoda të pavarura universale që konkurrojnë me metodat e përmbysjes direkte të bazuara, për shembull, në zbërthimin e LU të matricave. Ka disa rekomandime për zgjedhjen U 0 (\displaystyle U_(0)), duke siguruar përmbushjen e kushtit ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (rrezja spektrale e matricës është më e vogël se uniteti), e cila është e nevojshme dhe e mjaftueshme për konvergjencën e procesit. Megjithatë, në këtë rast, së pari, kërkohet të dihet nga lart vlerësimi për spektrin e matricës së kthyeshme A ose matricës A A T (\displaystyle AA^(T))(domethënë, nëse A është një matricë e caktuar pozitive simetrike dhe ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), atëherë mund të merrni U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alfa )E), Ku ; nëse A është një matricë arbitrare jo njëjës dhe ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), atëherë ata besojnë U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alfa )A^(T)), ku edhe α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alfa \në \left(0,(\frac (2)(\beta ))\djathtas)); Ju, sigurisht, mund ta thjeshtoni situatën dhe të përfitoni nga fakti që ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), vënë U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Së dyti, kur specifikohet matrica fillestare në këtë mënyrë, nuk ka asnjë garanci që ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) do të jetë i vogël (ndoshta edhe do të rezultojë të jetë ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), dhe një shkallë e lartë konvergjence nuk do të zbulohet menjëherë.

Shembuj

Matrica 2x2

I paaftë për të analizuar shprehjen (gabim sintaksor): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \fillim& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \fund(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ fillimi (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \fund (bmatrix).)

Përmbysja e një matrice 2x2 është e mundur vetëm me kushtin që a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Le të jetë një matricë katrore e rendit të n-të

Matrica A -1 quhet matricë e anasjelltë në raport me matricën A, nëse A*A -1 = E, ku E është matrica e identitetit të rendit të n-të.

Matrica e identitetit- një matricë e tillë katrore në të cilën të gjithë elementët përgjatë diagonales kryesore, duke kaluar nga këndi i sipërm i majtë në këndin e poshtëm të djathtë, janë njësh, dhe pjesa tjetër janë zero, për shembull:

matricë e anasjelltë mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore ato. për ato matrica në të cilat numri i rreshtave dhe kolonave përputhet.

Teorema për kushtin e ekzistencës së një matrice të anasjelltë

Në mënyrë që një matricë të ketë një matricë të anasjelltë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë jo njëjës.

Matrica A = (A1, A2,...A n) quhet jo i degjeneruar, nëse vektorët e kolonës janë linearisht të pavarur. Numri i vektorëve të kolonës linearisht të pavarur të një matrice quhet rangu i matricës. Prandaj, mund të themi se për të ekzistuar një matricë e kundërt, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës të jetë i barabartë me dimensionin e saj, d.m.th. r = n.

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Shkruani matricën A në tabelën për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën Gaussian dhe caktojeni matricën E në të djathtë (në vend të anëve të djathta të ekuacioneve).
Duke përdorur transformimet Jordan, reduktoni matricën A në një matricë të përbërë nga kolona njësi; në këtë rast, është e nevojshme të transformohet njëkohësisht matrica E.
Nëse është e nevojshme, riorganizoni rreshtat (ekuacionet) e tabelës së fundit në mënyrë që nën matricën A të tabelës origjinale të merrni matricën e identitetit E.
Shkruani matricën e kundërt A -1, e cila ndodhet në tabelën e fundit nën matricën E të tabelës origjinale.

Shembulli 1

Për matricën A, gjeni matricën e anasjelltë A -1

Zgjidhje: Ne shkruajmë matricën A dhe caktojmë matricën e identitetit E në të djathtë Duke përdorur transformimet e Jordanit, ne reduktojmë matricën A në matricën e identitetit E. Llogaritjet janë dhënë në tabelën 31.1.

Le të kontrollojmë korrektësinë e llogaritjeve duke shumëzuar matricën origjinale A dhe matricën e kundërt A -1.

Si rezultat i shumëzimit të matricës, u mor matrica e identitetit. Prandaj, llogaritjet janë bërë në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve të matricës

Ekuacionet e matricës mund të duken si:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ku A, B, C janë matricat e specifikuara, X është matrica e dëshiruar.

Ekuacionet e matricës zgjidhen duke shumëzuar ekuacionin me matricat e anasjellta.

Për shembull, për të gjetur matricën nga ekuacioni, duhet ta shumëzoni këtë ekuacion me në të majtë.

Prandaj, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin, duhet të gjeni matricën e kundërt dhe ta shumëzoni atë me matricën në anën e djathtë të ekuacionit.

Ekuacionet e tjera zgjidhen në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin AX = B nëse

Zgjidhje: Meqenëse matrica e kundërt është e barabartë me (shih shembullin 1)

Metoda e matricës në analizën ekonomike

Së bashku me të tjerat, ato përdoren edhe metodat e matricës. Këto metoda bazohen në algjebër lineare dhe me matricë vektoriale. Metoda të tilla përdoren për qëllime të analizimit të dukurive ekonomike komplekse dhe shumëdimensionale. Më shpesh, këto metoda përdoren kur është e nevojshme të bëhet një vlerësim krahasues i funksionimit të organizatave dhe ndarjeve strukturore të tyre.

Në procesin e aplikimit të metodave të analizës së matricës, mund të dallohen disa faza.

Në fazën e parëështë duke u formuar një sistem treguesish ekonomikë dhe mbi bazën e tij përpilohet një matricë e të dhënave fillestare, e cila është një tabelë në të cilën numrat e sistemit tregohen në rreshtat e tij individualë. (i = 1,2,....,n), dhe në kolonat vertikale - numrat e treguesve (j = 1,2,....,m).

Në fazën e dytë Për secilën kolonë vertikale, identifikohet vlera më e madhe e treguesit në dispozicion, e cila merret si një.

Pas kësaj, të gjitha shumat e pasqyruara në këtë kolonë ndahen me vlerën më të madhe dhe formohet një matricë e koeficientëve të standardizuar.

Në fazën e tretë të gjithë komponentët e matricës janë në katror. Nëse ato kanë rëndësi të ndryshme, atëherë çdo treguesi të matricës i caktohet një koeficient i caktuar peshe k. Vlera e kësaj të fundit përcaktohet nga ekspertiza.

Në të fundit, faza e katërt gjetur vlerat e vlerësimit Rj grupohen sipas rritjes ose uljes së tyre.

Metodat e matricës të përshkruara duhet të përdoren, për shembull, në një analizë krahasuese të projekteve të ndryshme investuese, si dhe në vlerësimin e treguesve të tjerë ekonomikë të aktiviteteve të organizatave.

Origjinali sipas formulës: A^-1 = A*/detA, ku A* është matrica e lidhur, detA është matrica origjinale. Matrica e bashkuar është një matricë e transpozuar e shtesave në elementët e matricës origjinale.

Para së gjithash, gjeni përcaktorin e matricës duhet të jetë i ndryshëm nga zero, pasi më vonë përcaktorja do të përdoret si pjesëtues. Le të jepet, për shembull, një matricë e tretë (e përbërë nga tre rreshta dhe tre kolona). Siç mund ta shihni, përcaktori i matricës nuk është i barabartë me zero, kështu që ekziston një matricë e kundërt.

Gjeni plotësuesit e secilit element të matricës A. Komplementi i A është përcaktor i nënmatricës që merret nga origjinali duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të dhe kjo përcaktor merret me shenjë. Shenja përcaktohet duke shumëzuar përcaktorin me (-1) me fuqinë i+j. Kështu, për shembull, komplementi i A-së do të jetë përcaktori i konsideruar në figurë. Shenja doli kështu: (-1)^(2+1) = -1.

Si rezultat do të merrni matricë shtesat, tani transpozoni atë. Transpozimi është një operacion që është simetrik në lidhje me diagonalen kryesore të një matrice, kolonat dhe rreshtat janë ndërruar. Kështu, ju keni gjetur matricën e bashkuar A*.

Matrica algjebra - Matricë e kundërt

matricë e anasjelltë

Matrica e anasjelltëështë një matricë që, kur shumëzohet si në të djathtë ashtu edhe në të majtë me një matricë të caktuar, jep matricën e identitetit.
Le të shënojmë matricën e kundërt të matricës A përmes , atëherë sipas përkufizimit marrim:

Ku E– matrica e identitetit.
Matrica katrore thirrur jo e veçantë (jo i degjeneruar) nëse përcaktorja e saj nuk është zero. Ndryshe quhet e veçantë (i degjeneruar) ose njëjës.

Teorema qëndron: Çdo matricë jo njëjës ka një matricë të kundërt.

Operacioni i gjetjes së matricës së kundërt quhet ankim matricat. Le të shqyrtojmë algoritmin e përmbysjes së matricës. Le të jepet një matricë jo njëjës n- urdhri:

ku Δ = det A ≠ 0.

Shtimi algjebrik i një elementi matricat n- urdhri A quhet përcaktor i një matrice të marrë me një shenjë të caktuar ( n–1) urdhri i marrë me fshirje i-linja e th dhe j kolona e matricës A:

Le të krijojmë të ashtuquajturat bashkangjitur matricë:

ku janë plotësimet algjebrike të elementeve përkatëse të matricës A.
Vini re se shtimet algjebrike të elementeve të rreshtit të matricës A vendosen në kolonat përkatëse të matricës Ã , domethënë, matrica është transpozuar në të njëjtën kohë.
Duke i ndarë të gjithë elementët e matricës Ã nga Δ – vlera e përcaktorit të matricës A, marrim matricën e anasjelltë si rezultat:

Le të vëmë re një numër karakteristikash të veçanta të matricës së kundërt:
1) për një matricë të caktuar A matricën e saj të kundërt është i vetmi;
2) nëse ka një matricë të kundërt, atëherë anasjelltas djathtas Dhe majtas anasjelltas matricat përkojnë me të;
3) një matricë katrore njëjës (njëjës) nuk ka matricë të kundërt.

Karakteristikat themelore të një matrice të anasjelltë:
1) përcaktori i matricës së kundërt dhe përcaktori i matricës origjinale janë reciproke;
2) matrica e kundërt e produktit të matricave katrore është e barabartë me produktin e matricës së kundërt të faktorëve, e marrë në rend të kundërt:

3) matrica e kundërt e transpozuar është e barabartë me matricën e kundërt të matricës së transpozuar të dhënë:

SHEMBULL Llogaritni inversin e matricës së dhënë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve