Ndërtoni një kënd të barabartë me atë të dhënë. Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë

kjo - Problemi më i vjetër gjeometrik.

Udhëzime hap pas hapi

Metoda 1. - Përdorimi i trekëndëshit "të artë" ose "egjiptian".. Brinjët e këtij trekëndëshi kanë raportin e pamjes 3:4:5, dhe këndi është rreptësisht 90 gradë. Kjo cilësi u përdor gjerësisht nga egjiptianët e lashtë dhe kulturat e tjera të lashta.

I sëmurë.1. Ndërtimi i Artë, ose Trekëndëshi egjiptian

• Ne prodhojmë tre matje (ose busulla me litar - një litar në dy gozhda ose kunja) me gjatësi 3; 4; 5 metra. Të lashtët shpesh përdornin metodën e lidhjes së nyjeve me distanca të barabarta mes tyre. Njësia e gjatësisë - " nodul».
• Ne drejtojmë një kunj në pikën O dhe i bashkojmë masën "R3 - 3 nyje".
• Ne e shtrijmë litarin përgjatë kufirit të njohur - drejt pikës së propozuar A.
• Në momentin e tensionit në vijën kufitare - pika A, ne ngasim me kunj.
• Pastaj - përsëri nga pika O, shtrini masën R4 - përgjatë kufirit të dytë. Ne nuk e fusim kunjin ende.
• Pas kësaj, ne shtrijmë masën R5 - nga A në B.
• Ne drejtojmë një kunj në kryqëzimin e matjeve R2 dhe R3. - Kjo është pika e dëshiruar B - kulmi i tretë i trekëndëshit të artë, me faqet 3;4;5 dhe me kënd të drejtë në pikën O.

Metoda e 2-të. Duke përdorur një busull.

Busulla mund të jetë litar ose hapamatës. Cm:

Pedomometri ynë i busullës ka një hap prej 1 metër.

I sëmurë.2. Pedometri me busull

Ndërtimi - gjithashtu sipas Ill. 1.

• Nga pika e referencës - pika O - këndi i fqinjit, vizatoni një segment gjatësi arbitrare- por më shumë se rrezja e busullës = 1m – në çdo drejtim nga qendra (segmenti AB).
• Vendosim këmbën e busullës në pikën O.
• Vizatojmë një rreth me rreze (katrania e busullës) = 1 m. Mjafton të vizatoni harqe të shkurtra - 10-20 centimetra secila, në kryqëzimin me segmentin e shënuar (përmes pikave A dhe B). Me këtë veprim kemi gjetur pika të barabarta nga qendra- A dhe B. Distanca nga qendra nuk ka rëndësi këtu. Ju thjesht mund t'i shënoni këto pika me një masë shirit.
• Më pas, duhet të vizatoni harqe me qendra në pikat A dhe B, por me një rreze paksa (arbitrare) më të madhe se R=1m. Ju mund ta rikonfiguroni busullën tonë në një rreze më të madhe nëse ka një hap të rregullueshëm. Por për një detyrë kaq të vogël aktuale, nuk do të doja ta "tërheqja". Ose kur nuk ka rregullim. Mund të bëhet në gjysmë minutë busull me litar.
• Ne vendosim gozhdën e parë (ose këmbën e një busulle me rreze më të madhe se 1 m) në mënyrë alternative në pikat A dhe B. Dhe vizatojmë dy harqe me gozhdën e dytë - në një gjendje të tendosur të litarit - në mënyrë që ato të kryqëzohen me secilën tjera. Është e mundur në dy pika: C dhe D, por mjafton një - C. Dhe përsëri, serifet e shkurtra në kryqëzimin në pikën C do të mjaftojnë.
• Vizatoni një vijë të drejtë (segment) përmes pikave C dhe D.
• Të gjitha! Segmenti që rezulton, ose vija e drejtë, është drejtimin e saktë veri :). me fal - në një kënd të drejtë.
• Figura tregon dy raste të mospërputhjes së kufijve në pronën e një fqinji. Ill. 3a tregon një rast kur gardhi i një fqinji largohet nga drejtimin e duhur në dëmin tuaj. Në 3b - ai u ngjit në faqen tuaj. Në situatën 3a, është e mundur të ndërtohen dy pika "udhëzuese": si C ashtu edhe D. Në situatën 3b, vetëm C.
• Vendosni një kunj në këndin O dhe një kunj të përkohshëm në pikën C dhe shtrini një kordon nga C në kufirin e pasmë të vendit. - Kështu që kordoni mezi prek kunjin O. Duke matur nga pika O - në drejtimin D, gjatësinë e anës sipas planit të përgjithshëm, do të merrni një kënd të pasmë të djathtë të besueshëm të vendit.

I sëmurë.3. Ndërtimi kënd i drejtë– nga këndi i fqinjit, duke përdorur një hapamatës dhe një busull me litar

Nëse keni një busull-hapometër, atëherë ju mund të bëni pa litar fare. Në shembullin e mëparshëm, ne përdorëm litarin për të vizatuar harqe me rreze më të madhe se ato të hapometrit. Më shumë sepse këto harqe duhet të kryqëzohen diku. Në mënyrë që harqet të vizatohen me një pedometër me të njëjtën rreze - 1m me garanci për kryqëzimin e tyre, është e nevojshme që pikat A dhe B të jenë brenda rrethit me R = 1m.

• Pastaj matni këto pika të barabarta ruletë- V anët e ndryshme nga qendra, por gjithmonë përgjatë vijës AB (vija e gardhit të fqinjit). Sa më afër qendrës të jenë pikat A dhe B, aq më larg nga ajo pikat udhëzuese: C dhe D, dhe aq më shumë matje më të sakta. Në figurë, kjo distancë është marrë rreth një e katërta e rrezes së hapometrit = 260 mm.

I sëmurë.4. Ndërtimi i një këndi të drejtë duke përdorur një pedometër dhe matës shiriti

• Kjo skemë veprimesh nuk është më pak e rëndësishme kur ndërtoni ndonjë drejtkëndësh, në veçanti konturin e një themeli drejtkëndor. Do ta merrni perfekte. Natyrisht, diagonalet e tij duhet të kontrollohen, por a nuk ulet mundi? – Krahasuar me kohën kur diagonalet, qoshet dhe anët e konturit të themelit lëvizen përpara dhe mbrapa derisa këndet të takohen..

Në fakt, ne vendosëm problemi gjeometrik në tokë. Për t'i bërë veprimet tuaja më të sigurta në sit, praktikoni në letër - duke përdorur një busull të rregullt. E cila në thelb nuk është e ndryshme.

Shpesh është e nevojshme të vizatoni ("ndërtoni") një kënd që do të ishte i barabartë me një kënd të caktuar, dhe ndërtimi duhet të bëhet pa ndihmën e një raportuesi, por duke përdorur vetëm një busull dhe një vizore. Duke ditur se si të ndërtojmë një trekëndësh në tre anët, ne mund ta zgjidhim këtë problem. Le të jetë në një vijë të drejtë MN(Fig. 60 dhe 61) kërkohet të ndërtohet në pikë K kënd i barabartë me kënd B. Kjo do të thotë se është e nevojshme nga pika K vizatoni një vijë të drejtë me një komponent MN kënd i barabartë me B.

Për ta bërë këtë, shënoni në secilën anë këndi i dhënë sipas pikës, për shembull A Dhe ME, dhe lidheni A Dhe ME vijë e drejtë. Ne marrim një trekëndësh ABC. Tani le të ndërtojmë në një vijë të drejtë MN ky trekëndësh në mënyrë që kulmi i tij NË ishte në pikën TE: atëherë në këtë pikë do të ndërtohet një kënd i barabartë me këndin NË. Ndërtoni një trekëndësh duke përdorur tre brinjë VS, VA Dhe AC dimë si: shtyjmë (Fig. 62) nga pika TE segment KL, të barabartë dielli; marrim një pikë L; përreth K, si afër qendrës, përshkruajmë një rreth me rreze VA, dhe përreth L - rreze SA. Ndalesa e plotë R lidhim kryqëzimet e rrathëve me TE dhe Z, marrim një trekëndësh KPL, e barabartë me një trekëndësh ABC; ka një cep në të TE= ug. NË.

Ky ndërtim kryhet më shpejt dhe me lehtësi nëse nga lart NË vendosni segmente të barabarta (me një shpërbërje të busullës) dhe, pa lëvizur këmbët, përshkruani një rreth rreth pikës me të njëjtën rreze TE, si afër qendrës.

Si të ndani një cep në gjysmë

Supozoni se duhet të ndajmë një kënd A(Fig. 63) në dy pjesë të barabarta duke përdorur një busull dhe vizore, pa përdorur një raportor. Ne do t'ju tregojmë se si ta bëni atë.

Nga lart A lini mënjanë në anët e qoshes segmente të barabarta AB Dhe AC(Diagrami 64; kjo bëhet thjesht duke shpërndarë busullën). Pastaj vendosim majën e busullës në pikat NË Dhe ME dhe të përshkruajnë harqe me rreze të barabarta që kryqëzohen në pikë D. Lidhja e drejtë A dhe D ndan këndin A në gjysmë.

Le të shpjegojmë pse është kjo. Nëse pika D lidheni me NË dhe C (Fig. 65), atëherë ju merrni dy trekëndësha ADC Dhe ADB, y nga të cilat ka anën e përbashkët pas Krishtit; anësor AB e barabartë me anën AC, A VD e barabartë me CD. Trekëndëshat janë të barabartë në tre anët, që do të thotë se këndet janë të barabarta. KEQ Dhe DAC, duke gënjyer kundër anët e barabarta VD Dhe CD. Prandaj, drejt pas Krishtit ndan këndin JU në gjysmë.

Aplikacionet

12. Ndërtoni një kënd 45° pa raportor. Në 22°30’. Në 67°30'.

Zgjidhja: Duke e ndarë këndin e duhur përgjysmë, marrim një kënd prej 45°. Duke e ndarë këndin 45° në gjysmë, marrim një kënd prej 22°30'. Duke ndërtuar shumën e këndeve 45° + 22°30', marrim një kënd prej 67°30'.

Si të ndërtoni një trekëndësh duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre

Supozoni se duhet të zbuloni në terren distancën midis dy piketa A Dhe NË(Djalli 66), i ndarë nga një moçal i pakalueshëm.

Si ta bëni këtë?

Ne mund ta bëjmë këtë: të zgjedhim një pikë larg kënetës ME, nga ku janë të dukshme të dy piketa dhe mund të maten distancat AC Dhe dielli. Këndi ME matim duke përdorur një pajisje të veçantë gonometrike (që quhet str o l b i e). Sipas këtyre të dhënave, d.m.th., sipas anëve të matura A.C. Dhe dielli dhe qoshe ME mes tyre, le të ndërtojmë një trekëndësh ABC diku në një vend të përshtatshëm si më poshtë. Duke matur një anë të njohur në një vijë të drejtë (Fig. 67), për shembull AC, ndërto me të në pikën ME qoshe ME; në anën tjetër të këtij këndi matet brinja e njohur dielli. përfundon partitë e njohura, pra pikë A Dhe NË lidhur me një vijë të drejtë. Rezultati është një trekëndësh në të cilin dy anët dhe këndi ndërmjet tyre kanë përmasat e përcaktuara paraprakisht.

Nga mënyra e ndërtimit është e qartë se vetëm një trekëndësh mund të ndërtohet duke përdorur dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre. prandaj, nëse dy brinjët e një trekëndëshi janë të barabarta me dy brinjët e një tjetri dhe këndet ndërmjet këtyre brinjëve janë të njëjtë, atëherë trekëndëshat e tillë mund të mbivendosen me njëri-tjetrin nga të gjitha pikat, pra brinjët e tyre të treta dhe këndet e tjera duhet të jenë të barabarta. Kjo do të thotë se barazia e dy brinjëve të trekëndëshave dhe këndi ndërmjet tyre mund të shërbejë si shenjë e barazisë së plotë të këtyre trekëndëshave. Shkurt:

Trekëndëshat janë të barabartë në të dy anët dhe këndet ndërmjet tyre.

Kur ndërtoni ose zhvilloni projekte të projektimit të shtëpisë, shpesh është e nevojshme të ndërtoni një kënd të barabartë me një ekzistues. Modelet vijnë në shpëtim njohuritë shkollore gjeometria.

Udhëzimet

• Një kënd formohet nga dy vija të drejta që dalin nga një pikë. Kjo pikë do të quhet kulm i këndit, dhe vijat do të jenë anët e këndit.
• Përdorni tre shkronja për të paraqitur qoshet: një në krye, dy në anët. Këndi emërtohet duke filluar me shkronjën që qëndron në njërën anë, më pas emërtohet shkronja që qëndron në majë dhe më pas shkronja në anën tjetër. Përdorni mënyra të tjera për të treguar këndet nëse preferoni ndryshe. Ndonjëherë emërtohet vetëm një shkronjë, e cila është në krye. Mund të shënoni këndet? Shkronjat greke, për shembull, α, β, γ.
• Ka situata kur është e nevojshme të vizatoni një kënd në mënyrë që të jetë i barabartë me një kënd tashmë të dhënë. Nëse nuk është e mundur të përdorni një raportor kur ndërtoni një vizatim, mund të kaloni vetëm me një vizore dhe busull. Le të themi se në një vijë të drejtë të shënuar në vizatim me shkronjat MN, duhet të ndërtoni një kënd në pikën K në mënyrë që të jetë i barabartë me këndin B. Pra, nga pika K duhet të vizatoni një vijë të drejtë që formon një kënd me drejtëz MN që do të jetë i barabartë me këndin B.
• Së pari, shënoni një pikë në secilën anë të një këndi të caktuar, për shembull, pikat A dhe C, pastaj lidhni pikat C dhe A me një vijë të drejtë. Merrni trekëndëshi ABC.
• Tani ndërto të njëjtin trekëndësh në vijën MN në mënyrë që kulmi i tij B të jetë në vijën në pikën K. Përdorni rregullin për ndërtimin e një trekëndëshi në tre anët. Hiqeni segmentin KL nga pika K. Ai duhet të jetë e barabartë me segmentin dielli. Merrni pikën L.
• Nga pika K vizatoni një rreth me rreze të barabartë me segmentin BA. Nga L, vizatoni një rreth me rreze CA. Lidhni pikën rezultuese (P) të kryqëzimit të dy rrathëve me K. Merrni trekëndëshin KPL, i cili do të jetë i barabartë me trekëndëshin ABC. Në këtë mënyrë do të merrni këndin K. Do të jetë i barabartë me këndin B. Për ta bërë këtë ndërtim më të përshtatshëm dhe më të shpejtë, vendosni segmente të barabarta nga kulmi B, duke përdorur një hapje busull, pa lëvizur këmbët, përshkruani një rreth me të njëjtën rreze. nga pika K.

Objektivat e mësimit:

• Formimi i aftësisë për të analizuar materialin e studiuar dhe aftësitë e zbatimit të tij për zgjidhjen e problemeve;
• Tregoni rëndësinë e koncepteve që studiohen;
• Zhvillimi aktiviteti njohës dhe pavarësinë në marrjen e njohurive;
• Kultivimi i interesit për temën dhe një ndjenjë e bukurisë.

Objektivat e mësimit:

• Zhvilloni aftësi në ndërtimin e një këndi të barabartë me një të dhënë duke përdorur një vizore peshore, busull, raportor dhe trekëndësh vizatimi.
• Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit:

1. Përsëritje.
2. Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.
3. Analiza.
4. Shembulli i ndërtimit së pari.
5. Shembulli i dytë i ndërtimit.

Përsëritje.

Këndi.

Këndi i sheshtë- e pakufizuar figura gjeometrike, i formuar nga dy rreze (anët e një këndi) që dalin nga një pikë (kulmi i një këndi).

Këndi quhet edhe figura e formuar nga të gjitha pikat e rrafshit të mbyllura ndërmjet këtyre rrezeve (Në përgjithësi, dy rreze të tilla korrespondojnë me dy kënde, pasi ato e ndajnë rrafshin në dy pjesë. Njëri prej këtyre këndeve quhet konvencionalisht i brendshëm, dhe të tjera - të jashtme.
Ndonjëherë, për shkurtësi, këndi quhet masë këndore.

Ekziston një simbol i pranuar përgjithësisht për të treguar një kënd: , propozuar në 1634 Matematikan francez Pierre Erigon.

Këndiështë një figurë gjeometrike (Fig. 1), e formuar nga dy rreze OA dhe OB (anët e këndit), që burojnë nga një pikë O (kulmi i këndit).

Një kënd shënohet me një simbol dhe tre shkronja që tregojnë skajet e rrezeve dhe kulmin e këndit: AOB (dhe shkronja e kulmit është ajo e mesme). Këndet maten me sasinë e rrotullimit të rrezes OA rreth kulmit O derisa rrezja OA të zhvendoset në pozicionin OB. Ekzistojnë dy njësi të përdorura gjerësisht për matjen e këndeve: radianet dhe shkallët. Për matjen me rreze të këndeve, shihni më poshtë në paragrafin "Gjatësia e harkut", si dhe në kapitullin "Trigonometria".

Sistemi i shkallës për matjen e këndeve.

Këtu njësia e matjes është një shkallë (përcaktimi i saj është °) - ky është një rrotullim i rrezes me 1/360 të një rrotullimi të plotë. Kështu, kthesë e plotë rrezja është e barabartë me 360 ​​o. Një shkallë ndahet në 60 minuta (simboli '); një minutë – përkatësisht për 60 sekonda (përcaktimi “). Një kënd prej 90° (Fig. 2) quhet i drejtë; një kënd më i vogël se 90° (Fig. 3) quhet akut; një kënd më i madh se 90° (Fig. 4) quhet i mpirë.

Vijat e drejta që formojnë një kënd të drejtë quhen reciprokisht pingul. Nëse drejtëzat AB dhe MK janë pingule, atëherë kjo shënohet: AB MK.

Ndërtimi i një këndi të barabartë me një të dhënë.

Para fillimit të ndërtimit ose zgjidhjes së ndonjë problemi, pavarësisht nga lënda, duhet të kryeni analiza. Kuptoni se çfarë thotë detyra, lexoni me mend dhe ngadalë. Nëse pas herës së parë keni dyshime ose diçka nuk ishte e qartë ose e qartë, por jo plotësisht, rekomandohet ta lexoni përsëri. Nëse jeni duke bërë një detyrë në klasë, mund ta pyesni mësuesin. NË ndryshe detyra juaj, të cilën e keni keqkuptuar, mund të mos zgjidhet siç duhet, ose mund të gjeni diçka që nuk është ajo që kërkohet prej jush dhe do të konsiderohet e pasaktë dhe do t'ju duhet ta ribëni. Sa per mua - Është më mirë të shpenzosh pak më shumë kohë duke studiuar detyrën sesa ta ribësh detyrën nga e para.

Analiza.

Le të jetë a rrezja e dhënë me kulmin A dhe këndi (ab) ai i dëshiruar. Le të zgjedhim pikat B dhe C në rrezet a dhe b, përkatësisht. Duke lidhur pikat B dhe C, marrim trekëndëshi ABC. NË trekëndësha të barabartë këndet përkatëse janë të barabarta, prandaj vijon metoda e ndërtimit. Nëse në anët e një këndi të caktuar zgjedhim pikat C dhe B në një mënyrë të përshtatshme, ndërtoni një trekëndësh AB 1 C 1 nga një rreze e caktuar në një gjysmëplan të caktuar, e barabartë me ABC(dhe kjo mund të bëhet nëse i njihni të gjitha anët e trekëndëshit), atëherë problemi do të zgjidhet.

Gjatë kryerjes së ndonjë ndërtimet Jini jashtëzakonisht të kujdesshëm dhe përpiquni t'i kryeni të gjitha ndërtimet me kujdes. Meqenëse çdo mospërputhje mund të rezultojë në disa lloj gabimesh, devijimesh, të cilat mund të çojnë në një përgjigje të pasaktë. Dhe nëse detyra të këtij lloji kryhet për herë të parë, gabimi do të jetë shumë i vështirë për t'u gjetur dhe rregulluar.

Shembulli i ndërtimit së pari.

Le të vizatojmë një rreth me qendër në kulmin e këtij këndi. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me brinjët e këndit. Me rreze AB vizatojmë një rreth me qendër në pikën A 1 - pikënisje të këtij trau. Le ta shënojmë pikën e kryqëzimit të këtij rrethi me këtë rreze si B 1 . Le të përshkruajmë një rreth me qendër në B 1 dhe rreze BC. Pika e kryqëzimit C 1 e rrathëve të ndërtuar në gjysmëplanin e treguar shtrihet në anën e këndit të dëshiruar.

Trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabartë në tre brinjë. Këndet A dhe A 1 janë këndet përkatëse të këtyre trekëndëshave. Prandaj, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Për qartësi më të madhe, mund të konsideroni të njëjtat ndërtime në më shumë detaje.

Shembulli i dytë i ndërtimit.

Detyra mbetet që gjithashtu të caktohet një kënd nga një gjysmëdrejtëzë e caktuar në një gjysmërrafsh të caktuar të barabartë me një kënd të caktuar.

Ndërtimi.

Hapi 1. Le të vizatojmë një rreth me një rreze arbitrare dhe qendra në kulmin A të një këndi të caktuar. Le të jenë B dhe C pikat e prerjes së rrethit me brinjët e këndit. Dhe le të vizatojmë segmentin BC.

Hapi 2. Le të vizatojmë një rreth me rreze AB me qendër në pikën O - pika e fillimit të kësaj gjysmëdrejtëze. Le ta shënojmë pikën e prerjes së rrethit me rreze si B 1 .

Hapi 3. Tani përshkruajmë një rreth me qendër B 1 dhe rreze BC. Le të jetë pika C 1 kryqëzimi i rrathëve të ndërtuar në gjysmërrafshin e treguar.

Hapi 4. Le të vizatojmë një rreze nga pika O deri në pikën C 1. Këndi C 1 OB 1 do të jetë këndi i dëshiruar.

Dëshmi.

Trekëndëshat ABC dhe OB 1 C 1 janë trekëndësha kongruentë me brinjë përkatëse. Prandaj, këndet CAB dhe C 1 OB 1 janë të barabarta.

Fakt interesant:

Në numra.

Në objektet e botës përreth, para së gjithash vëreni vetitë e tyre individuale që dallojnë një objekt nga tjetri.

Bollëku i privatëve pronat individuale errëson vetitë e përgjithshme të qenësishme në absolutisht të gjitha objektet, dhe për këtë arsye është gjithmonë më e vështirë të zbulohen veti të tilla.

Një nga vetitë më të rëndësishme të përgjithshme të objekteve është se të gjitha objektet mund të numërohen dhe maten. Ne e reflektojmë këtë pronë e përgjithshme objektet në konceptin e numrit.

Njerëzit e zotëruan procesin e numërimit, domethënë konceptin e numrit, shumë ngadalë, gjatë shekujve, në një luftë të vazhdueshme për ekzistencën e tyre.

Për të numëruar, jo vetëm që duhet të ketë objekte që mund të numërohen, por gjithashtu duhet të ketë tashmë aftësinë për të abstraguar kur merren parasysh këto objekte nga të gjitha vetitë e tyre të tjera përveç numrit, dhe kjo aftësi është rezultat i një zhvillimi të gjatë historik të bazuar në përvojën. .

Çdo njeri tani mëson të numërojë me ndihmën e numrave në mënyrë të padukshme në fëmijëri, pothuajse njëkohësisht me kohën kur fillon të flasë, por ky numërim, i njohur për ne, ka kaluar një rrugë të gjatë zhvillimi dhe ka marrë forma të ndryshme.

Ishte një kohë kur vetëm dy numra përdoreshin për të numëruar objektet: një dhe dy. Në procesin e zgjerimit të mëtejshëm të sistemit të numrave, u përfshinë pjesë trupin e njeriut dhe para së gjithash gishtat, dhe nëse nuk mjaftonte ky lloj “numri”, atëherë edhe shkopinjtë, gurët dhe gjëra të tjera.

N. N. Miklouho-Maclay në librin e tij "Udhëtime" flet për një metodë qesharake të numërimit të përdorur nga vendasit e Guinesë së Re:

Pyetje:

1. Përcaktoni këndin?
2. Çfarë lloje këndesh ekzistojnë?
3. Cili është ndryshimi midis diametrit dhe rrezes?

Lista e burimeve të përdorura:

1. Mazur K. I. “Zgjidhja e problemeve kryesore të konkursit në matematikë të koleksionit të redaktuar nga M. I. Skanavi”
2. Njohur matematike. B.A. Kordemsky. Moska.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Gjeometria, 7 - 9: tekst shkollor për institucionet arsimore"

Punoi në mësim:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Bëj një pyetje rreth arsimi modern, shprehni një ide ose zgjidhni një problem urgjent, mundeni forum arsimor, ku një këshill arsimor i mendimit dhe veprimit të freskët mblidhet ndërkombëtarisht. Duke krijuar blog, Ju jo vetëm që do të përmirësoni statusin tuaj si mësues kompetent, por gjithashtu do të jepni një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e shkollës së së ardhmes. Guildi i Drejtuesve Arsimor hap dyert për specialistët gradën më të lartë dhe ju fton të bashkëpunoni në krijimin e shkollave më të mira në botë.