Sistemi i ekuacioneve me tre të panjohura. Gjetja e punës së bërë nga një forcë konstante në një pjesë të drejtë të shtegut

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura nuk ka zgjidhje në të gjitha rastet, pavarësisht nje numer i madh i ekuacionet. Si rregull, ky lloj sistemi zgjidhet duke përdorur metodën e zëvendësimit ose duke përdorur metodën Cramer. Metoda e dytë bën të mundur që në fazat e para të përcaktohet nëse sistemi ka një zgjidhje.

Le të themi se na është dhënë sistemi i mëposhtëm i tre ekuacioneve me tre të panjohura:

\[\majtas\(\fillimi(matrica) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \fund (matrica)\djathtas.\]

Është e mundur të zgjidhet kjo sistem heterogjen lineare ekuacionet algjebrike Ax = B duke përdorur metodën e Cramer:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Përcaktori i sistemit \ nuk është i barabartë me zero. Ne do të gjejmë kualifikues ndihmës\ nëse nuk janë të barabarta me zero, atëherë nuk ka zgjidhje, nëse janë të barabarta, atëherë ka zgjidhje grup i pafund

\[\Delta _1\fillimi(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\fillimi(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Sistemi 3 ekuacionet lineare me 3 të panjohura, përcaktorja e të cilave është jo zero, është gjithmonë konsistente dhe ka një zgjidhje unike, të llogaritur me formulat:

Përgjigje: ka një zgjidhje

\[\majtas\(\fillimi(matrica) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \fund (matrica)\djathtas.\]

Ku mund të zgjidh në internet një sistem ekuacionesh me tre të panjohura?

Ju mund ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Sistemet e tre ekuacioneve lineare në tre të panjohura

Ekuacione lineare (ekuacione të shkallës së parë) me dy të panjohura

Përkufizimi 1. Ekuacion linear (ekuacion i shkallës së parë) me dy të panjohura x dhe y emërtojnë një ekuacion të formës

Zgjidhje . Le të shprehim nga barazia (2) ndryshoren y përmes ndryshores x:

Nga formula (3) rrjedh se zgjidhjet e ekuacionit (2) janë të gjitha çifte numrash të formës

ku x është çdo numër.

Shënim. Siç mund të shihet nga zgjidhja e Shembullit 1, ekuacioni (2) ka pafundësisht shumë zgjidhje. Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se jo ndonjë çift numrash (x; y) është një zgjidhje për këtë ekuacion. Për të marrë ndonjë zgjidhje të ekuacionit (2), numri x mund të merret si çdo, dhe numri y mund të llogaritet më pas duke përdorur formulën (3).

Sistemet e dy ekuacioneve lineare në dy të panjohura

Përkufizimi 3. Një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura x dhe y quajnë një sistem ekuacionesh të formës

Ku a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – numrat e dhënë.

Përkufizimi 4. Në sistemin e ekuacioneve (4) numrat a 1 , b 1 , a 2 , b 2 thirrur dhe numrat c 1 , c 2 – anëtarë të lirë.

Përkufizimi 5. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (4) telefononi një çift numrash ( x; y) që është vendim si njërin ashtu edhe tjetrin ekuacion të sistemit (4).

Përkufizimi 6. Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalent (ekuivalent), nëse të gjitha zgjidhjet e sistemit të parë të ekuacioneve janë zgjidhje të sistemit të dytë, dhe të gjitha zgjidhjet e sistemit të dytë janë zgjidhje të sistemit të parë.

Ekuivalenca e sistemeve të ekuacioneve tregohet duke përdorur simbolin ""

Sistemet e ekuacioneve lineare zgjidhen duke përdorur , të cilat do t'i ilustrojmë me shembuj.

Shembulli 2. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje . Për të zgjidhur sistemin (5) eliminojnë të panjohurën nga ekuacioni i dytë i sistemit X .

Për këtë qëllim, ne fillimisht e transformojmë sistemin (5) në një formë në të cilën koeficientët për të panjohurën x në ekuacionin e parë dhe të dytë të sistemit bëhen të njëjtë.

Nëse ekuacioni i parë i sistemit (5) shumëzohet me koeficientin në x në ekuacionin e dytë (numri 7), dhe ekuacioni i dytë shumëzohet me koeficientin në x në ekuacionin e parë (numri 2), atëherë sistemi (5) do të marrë formën

Tani le të kryejmë transformimet e mëposhtme në sistemin (6):

nga ekuacioni i dytë zbresim ekuacionin e parë dhe zëvendësojmë ekuacionin e dytë të sistemit me diferencën që rezulton.

Si rezultat, sistemi (6) shndërrohet në ekuivalente sistemin e saj

Nga ekuacioni i dytë gjejmë y= 3, dhe duke e zëvendësuar këtë vlerë në ekuacionin e parë, marrim

Përgjigje . (-2 ; 3) .

Shembulli 3. Gjeni të gjitha vlerat e parametrit p për të cilin sistemi i ekuacioneve

A) ka një zgjidhje unike;

b) ka pafundësisht shumë zgjidhje;

V) nuk ka zgjidhje.

Zgjidhje . Duke shprehur x përmes y nga ekuacioni i dytë i sistemit (7) dhe duke zëvendësuar shprehjen që rezulton në vend të x në ekuacionin e parë të sistemit (7), marrim

Le të studiojmë zgjidhjet e sistemit (8) në varësi të vlerave të parametrit p. Për ta bërë këtë, së pari merrni parasysh ekuacionin e parë të sistemit (8):

y (2 - fq) (2 + fq) = 2 + fq

(9)

Nëse , atëherë ekuacioni (9) ka një zgjidhje unike

Kështu, në rastin kur , sistemi (7) ka një zgjidhje unike

Nëse fq= - 2, atëherë ekuacioni (9) merr formën

dhe zgjidhja e tij është çdo numër . Prandaj, zgjidhja për sistemin (7) është grup i pafund të gjithë çifte numrash

ku y është çdo numër.

Nëse fq= 2, atëherë ekuacioni (9) merr formën

dhe nuk ka zgjidhje, gjë që nënkupton atë sistem (7) nuk ka zgjidhje.

Sistemet e tre ekuacioneve lineare në tre të panjohura

Përkufizimi 7. Një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura x, y dhe z quajnë një sistem ekuacionesh që kanë formën

Ku a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – numrat e dhënë.

Përkufizimi 8. Në sistemin e ekuacioneve (10) numrat a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 thirrur koeficientët për të panjohurat, dhe numrat d 1 , d 2 , d 3 – anëtarë të lirë.

Përkufizimi 9. Duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve (10) emërtoni tre numra (x; y ; z) , kur i zëvendësojmë në secilin nga tre ekuacionet e sistemit (10), fitohet barazia e saktë.

Shembulli 4. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje . Ne do të zgjidhim sistemin (11) duke përdorur metodë eliminim sekuencial i panjohur.

Për ta bërë këtë së pari përjashtojmë të panjohurën nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit y duke kryer transformimet e mëposhtme në sistemin (11):

Ekuacionin e parë të sistemit do ta lëmë të pandryshuar;
ekuacionit të dytë i shtojmë ekuacionin e parë dhe zëvendësojmë ekuacionin e dytë të sistemit me shumën që rezulton;
nga ekuacioni i tretë zbresim ekuacionin e parë dhe zëvendësojmë ekuacionin e tretë të sistemit me diferencën që rezulton.

Si rezultat, sistemi (11) shndërrohet në ekuivalente sistemin e saj

Tani përjashtojmë të panjohurën nga ekuacioni i tretë i sistemit x duke kryer transformimet e mëposhtme në sistemin (12):

Ekuacionet e para dhe të dyta të sistemit do t'i lëmë të pandryshuara;
nga ekuacioni i tretë zbresim ekuacionin e dytë dhe zëvendësojmë ekuacionin e tretë të sistemit me diferencën që rezulton.

Si rezultat, sistemi (12) shndërrohet në ekuivalente sistemin e saj

Nga sistemi (13) ne vazhdimisht gjejmë

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Përgjigje . (1; 2; -2) .

Shembulli 5. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje . Vini re se nga ky sistem mund të merret një i përshtatshëm pasojë, duke shtuar të tre ekuacionet e sistemit:

Përmbajtja e mësimit

Ekuacionet lineare në dy ndryshore

Një nxënës shkolle ka 200 rubla për të ngrënë drekë në shkollë. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe mund të blini për 200 rubla?

Le të shënojmë numrin e ëmbëlsirave me x, dhe numri i filxhanëve të kafesë y. Pastaj kostoja e ëmbëlsirave do të shënohet me shprehjen 25 x, dhe kostoja e filxhanëve të kafesë në 10 y .

25x -çmimi xëmbëlsira
10y -çmimi y filxhanë kafeje

Shuma totale duhet të jetë 200 rubla. Pastaj marrim një ekuacion me dy ndryshore x Dhe y

25x+ 10y= 200

Sa rrënjë ka? ekuacioni i dhënë?

E gjitha varet nga oreksi i studentit. Nëse ai blen 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe, atëherë rrënjët e ekuacionit do të jenë numrat 6 dhe 5.

Çifti i vlerave 6 dhe 5 thuhet se janë rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Shkruhet si (6; 5), ku numri i parë është vlera e ndryshores x, dhe e dyta - vlera e ndryshores y .

6 dhe 5 nuk janë të vetmet rrënjë që ndryshojnë ekuacionin 25 x+ 10y= 200 për identitetin. Nëse dëshironi, për të njëjtat 200 rubla një student mund të blejë 4 ëmbëlsira dhe 10 filxhanë kafe:

Në e në atë rast rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 është një palë vlerash (4; 10).

Për më tepër, një nxënës shkolle mund të mos blejë fare kafe, por të blejë ëmbëlsira për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 do të jenë vlerat 8 dhe 0

Ose anasjelltas, mos blini ëmbëlsira, por blini kafe për të gjitha 200 rubla. Pastaj rrënjët e ekuacionit 25 x+ 10y= 200 vlerat do të jenë 0 dhe 20

Le të përpiqemi të rendisim të gjitha rrënjët e mundshme të ekuacionit 25 x+ 10y= 200 . Le të biem dakord që vlerat x Dhe y i përkasin grupit të numrave të plotë. Dhe le të jenë këto vlera më të mëdha se ose të barabarta me zero:

x∈Z y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Kjo do të jetë e përshtatshme për vetë studentin. Është më i përshtatshëm për të blerë ëmbëlsira të plota sesa, për shembull, disa ëmbëlsira të plota dhe gjysmë tortë. Është gjithashtu më i përshtatshëm për të marrë kafe në filxhanë të plotë sesa, për shembull, disa filxhanë të plotë dhe gjysmë filxhani.

Vini re se për të rastësishme xështë e pamundur të arrihet barazia në asnjë rrethanë y. Pastaj vlerat x numrat e mëposhtëm do të jenë 0, 2, 4, 6, 8. Dhe duke ditur x mund të përcaktohet lehtësisht y

Kështu, morëm çiftet e mëposhtme të vlerave (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Këto çifte janë zgjidhje ose rrënjë të ekuacionit 25 x+ 10y= 200. Ata e kthejnë këtë ekuacion në një identitet.

Ekuacioni i formës sëpatë + nga = c thirrur ekuacion linear me dy ndryshore. Zgjidhja ose rrënjët e këtij ekuacioni janë një palë vlerash ( x; y), që e kthen atë në identitet.

Vini re gjithashtu se nëse një ekuacion linear me dy ndryshore është shkruar në formë sëpatë + b y = c, pastaj thonë se është shkruar në kanonike formë (normale).

Disa ekuacione lineare në dy ndryshore mund të reduktohen në formë kanonike.

Për shembull, ekuacioni 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) mund të sillen në mendje sëpatë + nga = c. Le të hapim kllapat në të dy anët e këtij ekuacioni dhe të marrim 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ne grupojmë termat që përmbajnë të panjohura në anën e majtë të ekuacionit, dhe termat pa të panjohura - në të djathtë. Pastaj marrim 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Le të sjellim terma të ngjashëm në të dyja anët, marrim ekuacionin 16 x+ 8y= 32. Ky ekuacion reduktohet në formë sëpatë + nga = c dhe është kanonike.

Ekuacioni 25 i diskutuar më parë x+ 10y= 200 është gjithashtu një ekuacion linear me dy ndryshore në formë kanonike. Në këtë ekuacion parametrat a , b Dhe c janë të barabarta me vlerat përkatësisht 25, 10 dhe 200.

Në fakt ekuacioni sëpatë + nga = c ka zgjidhje të panumërta. Zgjidhja e ekuacionit 25x+ 10y= 200, ne i kërkuam rrënjët e tij vetëm në grupin e numrave të plotë. Si rezultat, ne morëm disa palë vlerash që e kthyen këtë ekuacion në një identitet. Por në shumë numrat racionalë ekuacioni 25 x+ 10y= 200 do të ketë pafundësisht shumë zgjidhje.

Për të marrë çifte të reja vlerash, duhet të merrni një vlerë arbitrare për x, pastaj shpreh y. Për shembull, le të marrim për ndryshoren x vlera 7. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 25×7 + 10y= 200 në të cilën mund të shprehet y

Le x= 15. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × 15 + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −17,5

Le x= −3. Pastaj ekuacioni 25x+ 10y= 200 bëhet 25 × (−3) + 10y= 200. Nga këtu e gjejmë atë y = −27,5

Sistemi i dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore

Për ekuacionin sëpatë + nga = c ju mund të merrni vlera arbitrare për sa herë të doni x dhe gjeni vlera për y. Marrë veçmas, një ekuacion i tillë do të ketë zgjidhje të panumërta.

Por ndodh edhe që variablat x Dhe y i lidhur jo me një, por me dy ekuacione. Në këtë rast ato formojnë të ashtuquajturat sistemi i ekuacioneve lineare në dy ndryshore. Një sistem i tillë ekuacionesh mund të ketë një palë vlerash (ose me fjalë të tjera: "një zgjidhje").

Mund të ndodhë gjithashtu që sistemi të mos ketë fare zgjidhje. Një sistem ekuacionesh lineare mund të ketë zgjidhje të panumërta në raste të rralla dhe të jashtëzakonshme.

Dy ekuacione lineare formojnë një sistem kur vlerat x Dhe y futni në secilin prej këtyre ekuacioneve.

Le të kthehemi te ekuacioni i parë 25 x+ 10y= 200 . Një nga çiftet e vlerave për këtë ekuacion ishte çifti (6; 5). Ky është një rast kur për 200 rubla mund të blini 6 ëmbëlsira dhe 5 filxhanë kafe.

Le ta formulojmë problemin në mënyrë që çifti (6; 5) të bëhet e vetmja zgjidhje për ekuacionin 25 x+ 10y= 200 . Për ta bërë këtë, le të krijojmë një ekuacion tjetër që do të lidhte të njëjtën gjë xëmbëlsira dhe y filxhanë kafeje.

Le ta paraqesim tekstin e problemit si më poshtë:

“Studenti bleu disa ëmbëlsira dhe disa filxhanë kafe për 200 rubla. Një tortë kushton 25 rubla, dhe një filxhan kafe kushton 10 rubla. Sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe ka blerë nxënësi nëse dihet se numri i ëmbëlsirave për njësi më shumë sasi filxhanë kafeje?

Ne tashmë kemi ekuacionin e parë. Ky është ekuacioni 25 x+ 10y= 200 . Tani le të krijojmë një ekuacion për kushtin "Numri i ëmbëlsirave është një njësi më i madh se numri i filxhanëve të kafesë" .

Numri i ëmbëlsirave është x, dhe numri i filxhanëve të kafesë është y. Ju mund ta shkruani këtë frazë duke përdorur ekuacionin x−y= 1. Ky ekuacion do të thotë se ndryshimi midis ëmbëlsirave dhe kafesë është 1.

x = y+ 1 . Ky ekuacion do të thotë që numri i ëmbëlsirave është një më shumë se numri i filxhanëve të kafesë. Prandaj, për të fituar barazi, një i shtohet numrit të filxhanëve të kafesë. Kjo mund të kuptohet lehtësisht nëse përdorim modelin e shkallëve që kemi marrë parasysh kur studiojmë problemet më të thjeshta:

Ne morëm dy ekuacione: 25 x+ 10y= 200 dhe x = y+ 1. Që nga vlerat x Dhe y, përkatësisht 6 dhe 5 përfshihen në secilin prej këtyre ekuacioneve, pastaj së bashku formojnë një sistem. Le ta shkruajmë këtë sistem. Nëse ekuacionet formojnë një sistem, atëherë ato inkuadrohen nga shenja e sistemit. Simboli i sistemit është një mbajtës kaçurrelë:

Le të vendosim këtë sistem. Kjo do të na lejojë të shohim se si arrijmë në vlerat 6 dhe 5. Ka shumë metoda për zgjidhjen e sistemeve të tilla. Le të shohim më të njohurit prej tyre.

Metoda e zëvendësimit

Emri i kësaj metode flet vetë. Thelbi i tij është të zëvendësojë një ekuacion në një tjetër, duke shprehur më parë një nga variablat.

Në sistemin tonë nuk ka nevojë të shprehet asgjë. Në ekuacionin e dytë x = y+ 1 ndryshore x tashmë të shprehura. Kjo ndryshore është e barabartë me shprehjen y+ 1 . Atëherë mund ta zëvendësoni këtë shprehje në ekuacionin e parë në vend të ndryshores x

Pas zëvendësimit të shprehjes y+ 1 në ekuacionin e parë në vend x, marrim ekuacionin 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ky është një ekuacion linear me një ndryshore. Ky ekuacion është mjaft i lehtë për t'u zgjidhur:

Ne gjetëm vlerën e ndryshores y. Tani le ta zëvendësojmë këtë vlerë në një nga ekuacionet dhe të gjejmë vlerën x. Për këtë është e përshtatshme të përdoret ekuacioni i dytë x = y+ 1 . Le të zëvendësojmë vlerën në të y

Kjo do të thotë se çifti (6; 5) është një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve, siç synuam. Ne kontrollojmë dhe sigurohemi që çifti (6; 5) plotëson sistemin:

Shembulli 2

Le të zëvendësojmë ekuacionin e parë x= 2 + y në ekuacionin e dytë 3 x− 2y= 9. Në ekuacionin e parë ndryshorja x e barabartë me shprehjen 2 + y. Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e dytë në vend të x

Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, le të zëvendësojmë vlerën y në ekuacionin e parë x= 2 + y

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është vlera e çiftit (5; 3)

Shembulli 3. Zgjidheni me zëvendësim sistemin e mëposhtëm ekuacionet:

Këtu, ndryshe nga shembujt e mëparshëm, një nga variablat nuk shprehet në mënyrë eksplicite.

Për të zëvendësuar një ekuacion në një tjetër, së pari ju duhet .

Këshillohet që të shprehet ndryshorja që ka koeficientin një. Variabla ka një koeficient prej një x, e cila gjendet në ekuacionin e parë x+ 2y= 11. Le ta shprehim këtë variabël.

Pas shprehjes së ndryshueshme x, sistemi ynë do të marrë formën e mëposhtme:

Tani le të zëvendësojmë ekuacionin e parë me të dytin dhe të gjejmë vlerën y

Le të zëvendësojmë y x

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (3; 4)

Sigurisht, ju gjithashtu mund të shprehni një ndryshore y. Kjo nuk do të ndryshojë rrënjët. Por nëse shpreheni y, Rezultati nuk është një ekuacion shumë i thjeshtë, i cili do të marrë më shumë kohë për t'u zgjidhur. Do të duket kështu:

Ne e shohim atë në në këtë shembull për të shprehur x shumë më i përshtatshëm sesa të shprehesh y .

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x. Ju mund të përdorni ekuacionin origjinal 7 x+ 9y= 8, ose përdorni ekuacionin në të cilin shprehet ndryshorja x. Ne do ta përdorim këtë ekuacion sepse është i përshtatshëm:

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (5; -3)

Metoda e shtimit

Metoda e mbledhjes konsiston në shtimin e ekuacioneve të përfshira në sistem term pas termi. Kjo shtesë rezulton në një ekuacion të ri me një ndryshore. Dhe zgjidhja e një ekuacioni të tillë është mjaft e thjeshtë.

Le të zgjidhim sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. A anën e djathtë ekuacioni i parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë. Ne marrim barazinë e mëposhtme:

Le të shohim terma të ngjashëm:

Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 3 x= 27 rrënja e të cilit është 9. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e dytë x−y= 3. Ne marrim 9 − y= 3. Nga këtu y= 6 .

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (9; 6)

Shembulli 2

Le të shtojmë anën e majtë të ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë. Dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë. Në barazinë që rezulton ne paraqesim terma të ngjashëm:

Si rezultat, morëm ekuacionin më të thjeshtë 5 x= 20, rrënja e së cilës është 4. Njohja e vlerës x ju mund të gjeni vlerën y. Le të zëvendësojmë vlerën x në ekuacionin e parë 2 x+y= 11. Le të marrim 8+ y= 11. Nga këtu y= 3 .

Kjo do të thotë që zgjidhja e sistemit është një palë vlerash (4;3)

Procesi i shtimit nuk përshkruhet në detaje. Duhet të bëhet mendërisht. Kur shtoni, të dy ekuacionet duhet të reduktohen në formën kanonike. Kjo është, meqë ra fjala ac + nga = c .

Nga shembujt e shqyrtuar, është e qartë se qëllimi kryesor i shtimit të ekuacioneve është të heqësh qafe një nga variablat. Por nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet menjëherë një sistem ekuacionesh duke përdorur metodën e mbledhjes. Më shpesh, sistemi fillimisht sillet në një formë në të cilën mund të shtohen ekuacionet e përfshira në këtë sistem.

Për shembull, sistemi mund të zgjidhet menjëherë me shtim. Kur shtoni të dy ekuacionet, termat y Dhe −y do të zhduket sepse shuma e tyre është zero. Si rezultat, formohet ekuacioni më i thjeshtë 11 x= 22, rrënja e së cilës është 2. Më pas do të jetë e mundur të përcaktohet y e barabartë me 5.

Dhe sistemi i ekuacioneve Metoda e shtimit nuk mund të zgjidhet menjëherë, pasi kjo nuk do të çojë në zhdukjen e njërës prej variablave. Mbledhja do të rezultojë në ekuacionin 8 x+ y= 28, e cila ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Nëse të dyja anët e një ekuacioni shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, e barabartë me zero, atëherë marrim një ekuacion të barabartë me këtë. Ky rregull është gjithashtu i vërtetë për një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. Një nga ekuacionet (ose të dyja ekuacionet) mund të shumëzohet me çdo numër. Rezultati do të jetë një sistem ekuivalent, rrënjët e të cilit do të përkojnë me atë të mëparshëm.

Le të kthehemi te sistemi i parë, i cili përshkruante sa ëmbëlsira dhe filxhanë kafe bleu një nxënës. Zgjidhja për këtë sistem ishte një palë vlerash (6; 5).

Le të shumëzojmë të dy ekuacionet e përfshira në këtë sistem me disa numra. Le të themi se e shumëzojmë ekuacionin e parë me 2 dhe të dytin me 3

Si rezultat, ne kemi një sistem
Zgjidhja për këtë sistem është ende çifti i vlerave (6; 5)

Kjo do të thotë që ekuacionet e përfshira në sistem mund të reduktohen në një formë të përshtatshme për aplikimin e metodës së mbledhjes.

Le të kthehemi te sistemi , të cilën nuk mund ta zgjidhnim duke përdorur metodën e mbledhjes.

Shumëzoni ekuacionin e parë me 6, dhe të dytin me −2

Pastaj marrim sistemin e mëposhtëm:

Le të mbledhim ekuacionet e përfshira në këtë sistem. Shtimi i komponentëve 12 x dhe -12 x do të rezultojë në 0, shtesa 18 y dhe 4 y do të japë 22 y, dhe duke mbledhur 108 dhe −20 jepet 88. Pastaj marrim ekuacionin 22 y= 88, nga këtu y = 4 .

Nëse në fillim është e vështirë të shtoni ekuacione në kokën tuaj, atëherë mund të shkruani se si mblidhet ana e majte i ekuacionit të parë me anën e majtë të ekuacionit të dytë dhe ana e djathtë e ekuacionit të parë me anën e djathtë të ekuacionit të dytë:

Duke ditur se vlera e ndryshores yështë e barabartë me 4, ju mund të gjeni vlerën x. Le të zëvendësojmë y në një nga ekuacionet, për shembull në ekuacionin e parë 2 x+ 3y= 18. Pastaj marrim një ekuacion me një ndryshore 2 x+ 12 = 18. Le të lëvizim 12 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën, marrim 2 x= 6, nga këtu x = 3 .

Shembulli 4. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me −1. Pastaj sistemi do të marrë formën e mëposhtme:

Le të shtojmë të dy ekuacionet. Shtimi i komponentëve x Dhe −x do të rezultojë në 0, shtesa 5 y dhe 3 y do të japë 8 y, dhe duke mbledhur 7 dhe 1 jepet 8. Rezultati është ekuacioni 8 y= 8 rrënja e të cilit është 1. Duke ditur se vlera yështë e barabartë me 1, ju mund të gjeni vlerën x .

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim x+ 5 = 7, pra x= 2

Shembulli 5. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Është e dëshirueshme që termat që përmbajnë të njëjtat variabla të vendosen njëri poshtë tjetrit. Prandaj, në ekuacionin e dytë termat 5 y dhe −2 x Le të shkëmbejmë vendet. Si rezultat, sistemi do të marrë formën:

Le të shumëzojmë ekuacionin e dytë me 3. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes marrim ekuacionin 8 y= 16, rrënja e së cilës është 2.

Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë, marrim 6 x− 14 = 40. Le ta zhvendosim termin −14 në anën e djathtë, duke ndryshuar shenjën dhe të marrim 6 x= 54 . Nga këtu x= 9.

Shembulli 6. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le të heqim qafe thyesat. Shumëzoni ekuacionin e parë me 36 dhe të dytin me 12

Në sistemin që rezulton ekuacioni i parë mund të shumëzohet me −5 dhe i dyti me 8

Le të mbledhim ekuacionet në sistemin që rezulton. Pastaj marrim ekuacionin më të thjeshtë −13 y= −156 . Nga këtu y= 12. Le të zëvendësojmë y në ekuacionin e parë dhe gjeni x

Shembulli 7. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Le t'i reduktojmë të dy ekuacionet në pamje normale. Këtu është e përshtatshme të zbatohet rregulli i proporcionit në të dy ekuacionet. Nëse në ekuacionin e parë ana e djathtë paraqitet si , dhe ana e djathtë e ekuacionit të dytë si , atëherë sistemi do të marrë formën:

Ne kemi një proporcion. Le të shumëzojmë termat e saj ekstremë dhe të mesëm. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me -3 dhe hapim kllapat në të dytin:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i shtimit të këtyre ekuacioneve, marrim një barazi me zero në të dyja anët:

Rezulton se sistemi ka zgjidhje të panumërta.

Por ne nuk mund të marrim vetëm vlera arbitrare nga qielli x Dhe y. Ne mund të specifikojmë njërën nga vlerat, dhe tjetra do të përcaktohet në varësi të vlerës që specifikojmë. Për shembull, le x= 2. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:

Si rezultat i zgjidhjes së njërit prej ekuacioneve, vlera për y, i cili do të plotësojë të dy ekuacionet:

Çifti i vlerave që rezulton (2; −2) do të kënaqë sistemin:

Le të gjejmë një çift tjetër vlerash. Le x= 4. Le ta zëvendësojmë këtë vlerë në sistem:

Ju mund ta dalloni me sy se vlera y barazohet me zero. Pastaj marrim një palë vlerash (4; 0) që kënaqin sistemin tonë:

Shembulli 8. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e mbledhjes:

Ekuacioni i parë shumëzohet me 6 dhe i dyti me 12

Le të rishkruajmë atë që ka mbetur:

Le të shumëzojmë ekuacionin e parë me −1. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të shtojmë të dy ekuacionet. Si rezultat i mbledhjes, formohet ekuacioni 6 b= 48, rrënja e të cilit është 8. Zëvendëso b në ekuacionin e parë dhe gjeni a

Sistemi i ekuacioneve lineare me tre ndryshore

Një ekuacion linear me tre ndryshore përfshin tre variabla me koeficientë, si dhe anëtar i lirë. Në formë kanonike mund të shkruhet si më poshtë:

sëpatë + nga + cz = d

Ky ekuacion ka zgjidhje të panumërta. Dhënia e dy variablave kuptime të ndryshme, mund të gjendet një vlerë e tretë. Zgjidhja në këtë rast është një trefish i vlerave ( x; y; z) që e kthen ekuacionin në një identitet.

Nëse variablat x, y, z janë të ndërlidhura nga tre ekuacione, atëherë formohet një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre ndryshore. Për të zgjidhur një sistem të tillë, mund të përdorni të njëjtat metoda që zbatohen për ekuacionet lineare me dy ndryshore: metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Shembulli 1. Zgjidheni sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve duke përdorur metodën e zëvendësimit:

Le të shprehemi në ekuacionin e tretë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Tani le të bëjmë zëvendësimin. E ndryshueshme xështë e barabartë me shprehjen 3 − 2y − 2z . Le ta zëvendësojmë këtë shprehje në ekuacionin e parë dhe të dytë:

Le të hapim kllapat në të dy ekuacionet dhe të paraqesim terma të ngjashëm:

Kemi arritur në një sistem ekuacionesh lineare me dy ndryshore. NË në këtë rastËshtë i përshtatshëm për të përdorur metodën e shtimit. Si rezultat, ndryshorja y do të zhduket dhe ne mund të gjejmë vlerën e ndryshores z

Tani le të gjejmë vlerën y. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdoret ekuacioni − y+ z= 4. Zëvendësoni vlerën në të z

Tani le të gjejmë vlerën x. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdorni ekuacionin x= 3 − 2y − 2z . Le të zëvendësojmë vlerat në të y Dhe z

Kështu, trefishi i vlerave (3; −2; 2) është një zgjidhje për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:

Shembulli 2. Zgjidheni sistemin duke përdorur metodën e mbledhjes

Le të shtojmë ekuacionin e parë me të dytin, shumëzuar me −2.

Nëse ekuacioni i dytë shumëzohet me -2, ai merr formën −6x+ 6y − 4z = −4 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e parë:

Ne e shohim këtë si rezultat transformimet elementare, përcaktohet vlera e ndryshores x. Është e barabartë me një.

Le të kthehemi në sistemi kryesor. Le të shtojmë ekuacionin e dytë me të tretën, shumëzuar me −1. Nëse ekuacioni i tretë shumëzohet me -1, ai merr formën −4x + 5y − 2z = −1 . Tani le ta shtojmë atë në ekuacionin e dytë:

Ne morëm ekuacionin x− 2y= −1. Le të zëvendësojmë vlerën në të x të cilën e gjetëm më herët. Atëherë mund të përcaktojmë vlerën y

Tani ne i dimë kuptimet x Dhe y. Kjo ju lejon të përcaktoni vlerën z. Le të përdorim një nga ekuacionet e përfshira në sistem:

Kështu, trefishi i vlerave (1; 1; 1) është zgjidhja për sistemin tonë. Duke kontrolluar, sigurohemi që këto vlera të kënaqin sistemin:

Probleme mbi kompozimin e sistemeve të ekuacioneve lineare

Detyra e kompozimit të sistemeve të ekuacioneve zgjidhet duke futur disa ndryshore. Më pas, ekuacionet përpilohen bazuar në kushtet e problemit. Nga ekuacionet e përpiluara ata formojnë një sistem dhe e zgjidhin atë. Pasi të keni zgjidhur sistemin, është e nevojshme të kontrolloni nëse zgjidhja e tij i plotëson kushtet e problemit.

Problemi 1. Një makinë Volga u largua nga qyteti për në fermën kolektive. Ajo u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para. Në total, makina përshkoi 35 km vajtje-ardhje. Sa kilometra është gjatësia e secilës rrugë?

Zgjidhje

Le x - gjatësia e rrugës së parë, y- gjatësia e sekondës. Nëse makina ka udhëtuar 35 km vajtje-ardhje, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+ y= 35. Ky ekuacion përshkruan shumën e gjatësive të të dy rrugëve.

Thuhet se makina u kthye në një rrugë që ishte 5 km më e shkurtër se e para. Atëherë ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x− y= 5. Ky ekuacion tregon se diferenca ndërmjet gjatësive të rrugës është 5 km.

Ose ekuacioni i dytë mund të shkruhet si x= y+ 5. Ne do të përdorim këtë ekuacion.

Sepse variablat x Dhe y në të dy ekuacionet shënojmë të njëjtin numër, atëherë mund të formojmë një sistem prej tyre:

Le ta zgjidhim këtë sistem duke përdorur disa nga metodat e studiuara më parë. Në këtë rast, është e përshtatshme të përdoret metoda e zëvendësimit, pasi në ekuacionin e dytë ndryshorja x tashmë të shprehura.

Zëvendësoni ekuacionin e dytë me të parën dhe gjeni y

Le të zëvendësojmë vlerën e gjetur y në ekuacionin e dytë x= y+ 5 dhe ne do të gjejmë x

Gjatësia e rrugës së parë u caktua përmes variablit x. Tani kemi gjetur kuptimin e saj. E ndryshueshme xështë e barabartë me 20. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së parë është 20 km.

Dhe gjatësia e rrugës së dytë tregohej nga y. Vlera e kësaj variabël është 15. Kjo do të thotë se gjatësia e rrugës së dytë është 15 km.

Le të kontrollojmë. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:

Tani le të kontrollojmë nëse zgjidhja (20; 15) i plotëson kushtet e problemit.

Thuhej se makina ka bërë gjithsej 35 km vajtje-ardhje. Shtojmë gjatësitë e të dy rrugëve dhe sigurohemi që zgjidhja (20; 15) të kënaqë këtë gjendje: 20 km + 15 km = 35 km

Kushti i mëposhtëm: makina u kthye në një rrugë tjetër, e cila ishte 5 km më e shkurtër se e para . Ne shohim se zgjidhja (20; 15) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 15 km është më e shkurtër se 20 km me 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Kur hartoni një sistem, është e rëndësishme që variablat të përfaqësojnë të njëjtët numra në të gjitha ekuacionet e përfshira në këtë sistem.

Pra, sistemi ynë përmban dy ekuacione. Këto ekuacione nga ana e tyre përmbajnë variabla x Dhe y, që paraqesin numra të njëjtë në të dy ekuacionet, përkatësisht gjatësinë e rrugës prej 20 km dhe 15 km.

Problemi 2. Në platformë u ngarkuan traversa dushku dhe pishe, gjithsej 300 traversa. Dihet se të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë gjuajtësit e pishës. Përcaktoni se sa traversa dushku dhe pishe kishte veçmas, nëse secila shtrojë dushku peshonte 46 kg dhe secila shtrojë pishe 28 kg.

Zgjidhje

Le x lisi dhe y trarët e pishave u ngarkuan në platformë. Nëse gjithsej kishte 300 gjumë, atëherë ekuacioni i parë mund të shkruhet si x+y = 300 .

Të gjithë ata që flenë lisi peshonin 46 x kg, dhe ato me pisha peshonin 28 y kg. Meqenëse traversat e dushkut peshonin 1 ton më pak se ato me pisha, ekuacioni i dytë mund të shkruhet si 28y − 46x= 1000 . Ky ekuacion tregon se diferenca në masë midis traversave të lisit dhe pishës është 1000 kg.

Tonelatat u shndërruan në kilogramë, pasi masa e trarëve të lisit dhe pishës matej në kilogramë.

Si rezultat, marrim dy ekuacione që formojnë sistemin

Le ta zgjidhim këtë sistem. Le të shprehemi në ekuacionin e parë x. Atëherë sistemi do të marrë formën:

Zëvendësoni ekuacionin e parë me të dytin dhe gjeni y

Le të zëvendësojmë y në ekuacion x= 300 − y dhe zbuloni se çfarë është x

Kjo do të thotë se 100 traversa dushku dhe 200 pishe u ngarkuan në platformë.

Le të kontrollojmë nëse zgjidhja (100; 200) i plotëson kushtet e problemit. Së pari, le të sigurohemi që sistemi është zgjidhur saktë:

Thuhej se kishte gjithsej 300 fjetje. Ne mbledhim numrin e shtruesve të lisit dhe pishës dhe sigurohemi që zgjidhja (100; 200) të plotësojë këtë kusht: 100 + 200 = 300.

Kushti i mëposhtëm: të gjithë shtretërit e dushkut peshonin 1 ton më pak se të gjithë shtretërit e pishave . Ne shohim se zgjidhja (100; 200) gjithashtu e plotëson këtë kusht, pasi 46 × 100 kg traversa lisi është më e lehtë se 28 × 200 kg traversa pishe: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problemi 3. Ne morëm tre pjesë aliazh bakri-nikel në raportet 2: 1, 3: 1 dhe 5: 1 sipas peshës. Një copë me peshë 12 kg u shkri prej tyre me një raport të përmbajtjes së bakrit dhe nikelit 4: 1. Gjeni masën e secilës pjesë origjinale nëse masa e së parës dyfishohet më shumë masë e dyta.

Përdorimi i ekuacioneve është i përhapur në jetën tonë. Ato përdoren në shumë llogaritje, ndërtime strukturash dhe madje edhe sporte. Njeriu përdorte ekuacione në kohët e lashta, dhe që atëherë përdorimi i tyre vetëm është rritur. Ekuacionet me tre të panjohura janë një dukuri e zakonshme në matematikë. Ka mjaft mënyra për të zgjidhur këtë lloj ekuacionesh, dhe në shumicën e rasteve pjesa e luanit të tyre plotësohet me 2 ekuacione/kushte të tjera. Zgjedhja e metodës së zgjidhjes varet drejtpërdrejt nga ekuacioni specifik.

Nëse sistemi juaj ka vetëm 2 të panjohura nga 3, atëherë me shumë mundësi një zgjidhje e përshtatshme për këtë sistem do të jetë shprehja e disa variablave në terma të të tjerëve dhe zëvendësimi i tyre në një ekuacion me 3 të panjohura. E gjithë kjo bëhet për ta shndërruar atë në një ekuacion të zakonshëm me vetëm 1 të panjohur, zgjidhja e të cilit do të japë një numër që mund të zëvendësohet në vend të të panjohurës dhe të marrë rezultatin përfundimtar për të gjitha të panjohurat e tjera.

Ka sisteme ekuacionesh që mund të zgjidhen duke zbritur një tjetër nga një ekuacion. Kjo është e mundur nëse është e mundur të shumëzohet një nga shprehjet me një ndryshore/vlerë, e cila lejon zbritjen për të reduktuar disa të panjohura. Sidoqoftë, ia vlen të kujtojmë se kur shumëzoni dhe zbritni me një numër, duhet të kryeni veprime në të dy anët e shprehjes.

Ku të zgjidhim një ekuacion me 3 të panjohura në internet?

Ju mund të zgjidhni një ekuacion me tre zgjidhës të panjohur në internet në faqen tonë të internetit https://site. Zgjidhësi falas në internet do t'ju lejojë të zgjidhni ekuacionet në internet të çdo kompleksiteti në disa sekonda. E tëra çfarë ju duhet të bëni është thjesht të futni të dhënat tuaja në zgjidhës. Ju gjithashtu mund të shikoni udhëzime video dhe të mësoni se si ta zgjidhni ekuacionin në faqen tonë të internetit. Dhe nëse keni ende pyetje, mund t'i bëni ato në grupin tonë VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Bashkohuni me grupin tonë, ne jemi gjithmonë të lumtur t'ju ndihmojmë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve