Niveli i parë

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Pse nevojiten diploma? Ku do t'ju duhen? Pse duhet të merrni kohë për t'i studiuar ato?

Për të mësuar gjithçka rreth diplomave, për çfarë shërbejnë, si të përdorni njohuritë tuaja në Jeta e përditshme lexoni këtë artikull.

Dhe, sigurisht, njohja e diplomave do t'ju sjellë më afër përfundim me sukses OGE ose Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe pranimi në universitetin e ëndrrave tuaja.

Le të shkojmë ... (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm! Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd + R (në Mac).

NIVELI I PARË

Ngritja në një pushtet është e njëjtë operacion matematik si mbledhja, zbritja, shumëzimi ose pjesëtimi.

Tani do të shpjegoj gjithçka gjuha njerëzore shumë shembuj të thjeshtë. Bej kujdes. Shembujt janë elementarë, por shpjegojnë gjëra të rëndësishme.

Le të fillojmë me shtimin.

Këtu nuk ka asgjë për të shpjeguar. Ju tashmë dini gjithçka: ne jemi tetë. Të gjithë kanë dy shishe kola. Sa kola ka? Kjo është e drejtë - 16 shishe.

Tani shumëzimi.

I njëjti shembull me cola mund të shkruhet ndryshe: . Matematikanët janë njerëz dinakë dhe dembelë. Ata fillimisht vërejnë disa modele dhe më pas gjejnë një mënyrë për t'i "numëruar" më shpejt. Në rastin tonë, ata vunë re se secili nga tetë personat kishte të njëjtin numër shishe kola dhe dolën me një teknikë të quajtur shumëzim. Pajtohem, konsiderohet më e lehtë dhe më e shpejtë se.

Pra, për të numëruar më shpejt, më lehtë dhe pa gabime, thjesht duhet të mbani mend tabela e shumëzimit. Sigurisht, çdo gjë mund ta bëni më ngadalë, më të vështirë dhe me gabime! Por…

Këtu është tabela e shumëzimit. Përsëriteni.

Dhe një tjetër, më e bukur:

Çfarë truke të tjera të zgjuara numërimi kanë gjetur matematikanët dembelë? E drejta - ngritja e një numri në një fuqi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Nëse ju duhet të shumëzoni një numër me vete pesë herë, atëherë matematikanët thonë se ju duhet ta ngrini atë numër në fuqinë e pestë. Për shembull, . Matematikanët kujtojnë se dy deri në fuqinë e pestë është... Dhe ata zgjidhin probleme të tilla në kokën e tyre - më shpejt, më lehtë dhe pa gabime.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është mbani mend çfarë është theksuar me ngjyra në tabelën e fuqive të numrave. Më besoni, kjo do ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë.

Meqë ra fjala, pse quhet shkalla e dytë? katrore numrat, dhe e treta - kubik? Çfarë do të thotë? Shumë pyetje e mirë. Tani do të keni si katrorë ashtu edhe kube.

Shembulli numër 1 i jetës reale

Le të fillojmë me katrorin ose fuqinë e dytë të numrit.

Imagjinoni këtë pishinë katrore metër për metër në madhësi. Pishina është në shtëpinë tuaj. Është vapë dhe unë me të vërtetë dua të notoj. Por... pishina nuk ka fund! Ju duhet të mbuloni pjesën e poshtme të pishinës me pllaka. Sa pllaka ju duhen? Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini zonën e poshtme të pishinës.

Ju thjesht mund të llogaritni duke treguar gishtin se fundi i pishinës përbëhet nga kube metër pas metër. Nëse keni pllaka një metër me një metër, do t'ju duhen copa. Është e lehtë... Por ku keni parë pllaka të tilla? Tjegull ka shumë të ngjarë të jetë cm për cm Dhe pastaj do të torturoheni duke "numëruar me gisht". Atëherë ju duhet të shumëzoni. Pra, në njërën anë të pjesës së poshtme të pishinës do të vendosim pllaka (copa) dhe në anën tjetër, gjithashtu, pllaka. Shumëzoni me dhe merrni pllaka ().

A e keni vënë re që për të përcaktuar sipërfaqen e fundit të pishinës kemi shumëzuar të njëjtin numër në vetvete? Çfarë do të thotë? Duke qenë se po shumëzojmë të njëjtin numër, mund të përdorim teknikën e "përhapjes". (Sigurisht, kur keni vetëm dy numra, duhet t'i shumëzoni ose t'i ngrini në një fuqi. Por nëse keni shumë prej tyre, atëherë ngritja e tyre në një fuqi është shumë më e lehtë dhe gjithashtu ka më pak gabime në llogaritje Për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kjo është shumë e rëndësishme).
Pra, tridhjetë në fuqinë e dytë do të jetë (). Ose mund të themi se do të jetë tridhjetë në katror. Me fjalë të tjera, fuqia e dytë e një numri mund të përfaqësohet gjithmonë si një katror. Dhe anasjelltas, nëse shihni një katror, ​​ai është GJITHMONË fuqia e dytë e një numri. Një katror është një imazh i fuqisë së dytë të një numri.

Shembulli i jetës reale numër 2

Këtu është një detyrë për ju: numëroni sa katrorë ka në tabelën e shahut duke përdorur katrorin e numrit... Në njërën anë të qelizave dhe në anën tjetër gjithashtu. Për të llogaritur numrin e tyre, ju duhet të shumëzoni tetë me tetë ose ... nëse vëreni se një tabelë shahu është një katror me një anë, atëherë mund të vendosni tetë në katror. Do të merrni qeliza. () Kështu që?

Shembulli i jetës reale numër 3

Tani kubi ose fuqia e tretë e një numri. E njëjta pishinë. Por tani ju duhet të zbuloni se sa ujë do të duhet të derdhet në këtë pishinë. Ju duhet të llogaritni volumin. (Vëllimet dhe lëngjet, meqë ra fjala, maten në metra kub. E papritur, apo jo?) Vizatoni një pishinë: një fund që mat një metër dhe një thellësi metër dhe përpiquni të numëroni sa kube që matin një metër me një metër do të futen në pishinën tuaj.

Thjesht drejto gishtin dhe numëro! Një, dy, tre, katër...njëzet e dy, njëzet e tre...Sa keni marrë? Nuk ka humbur? A është e vështirë të numërosh me gisht? Kështu që! Merrni një shembull nga matematikanët. Ata janë dembelë, kështu që vunë re se për të llogaritur vëllimin e pishinës, duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj me njëra-tjetrën. Në rastin tonë, vëllimi i pishinës do të jetë i barabartë me kube... Më e lehtë, apo jo?

Tani imagjinoni sa dembelë dhe dinak janë matematikanët nëse e thjeshtojnë edhe këtë. Ne reduktuam gjithçka në një veprim. Ata vunë re se gjatësia, gjerësia dhe lartësia janë të barabarta dhe se i njëjti numër shumëzohet në vetvete... Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që ju mund të përfitoni nga diploma. Pra, atë që keni numëruar dikur me gishtin tuaj, ata e bëjnë me një veprim: tre kubikë janë të barabartë. Është shkruar kështu: .

Gjithçka që mbetet është mbani mend tabelën e shkallëve. Nëse, sigurisht, nuk jeni aq dembel dhe dinak sa matematikanët. Nëse ju pëlqen të punoni shumë dhe të bëni gabime, mund të vazhdoni të numëroni me gisht.

Epo, për t'ju bindur më në fund se diplomat janë shpikur nga dorëheqësit dhe njerëzit dinakë për të zgjidhur të tyren problemet e jetës, dhe për të mos ju krijuar probleme, ja disa shembuj të tjerë nga jeta.

Shembulli i jetës reale numër 4

Ju keni një milion rubla. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që bëni, fitoni një milion tjetër. Domethënë, çdo milion që keni dyfishohet në fillim të çdo viti. Sa para do të keni në vite? Nëse jeni ulur tani dhe "po numëroni me gisht", do të thotë se jeni shumë njeri punëtor dhe.. budallaqe. Por ka shumë të ngjarë që ju të jepni një përgjigje brenda disa sekondash, sepse jeni të zgjuar! Pra, në vitin e parë - dy shumëzuar me dy... në vitin e dytë - çfarë ndodhi, me dy të tjera, në vitin e tretë... Ndal! Keni vënë re se numri shumëzohet me shumë herë. Pra, dy deri në fuqinë e pestë është një milion! Tani imagjinoni se keni një konkurs dhe ai që mund të numërojë më shpejt do t'i marrë këto miliona... Ja vlen të kujtoni fuqitë e numrave, a nuk mendoni?

Shembulli i jetës reale numër 5

Ju keni një milion. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që fitoni, fitoni dy të tjera. E mrekullueshme apo jo? Çdo milion është trefishuar. Sa para do të keni në një vit? Le të numërojmë. Viti i parë - shumëzoni me, pastaj rezultatin me një tjetër ... Tashmë është e mërzitshme, sepse tashmë keni kuptuar gjithçka: tre shumëzohen me herë në vetvete. Pra, fuqia e katërt është e barabartë me një milion. Thjesht duhet të mbani mend se fuqia tre në të katërt është ose.

Tani e dini se duke e ngritur një numër në një fuqi, do ta bëni jetën tuaj shumë më të lehtë. Le të hedhim një vështrim më tej se çfarë mund të bëni me diploma dhe çfarë duhet të dini rreth tyre.

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Pra, së pari, le të përcaktojmë konceptet. cfare mendoni ju, çfarë është një eksponent? Është shumë e thjeshtë - është numri që është "në krye" të fuqisë së numrit. Jo shkencore, por e qartë dhe e lehtë për t'u mbajtur mend...

Epo, në të njëjtën kohë, çfarë një bazë e tillë diplome? Edhe më e thjeshtë - ky është numri që ndodhet më poshtë, në bazë.

Këtu është një vizatim për masë të mirë.

Epo brenda pamje e përgjithshme, për të përgjithësuar dhe mbajtur mend më mirë... Një shkallë me bazë “ ” dhe eksponent “ ” lexohet “deri në shkallë” dhe shkruhet si më poshtë:

Fuqia e numrit c tregues natyror

Me siguri e keni marrë me mend tashmë: sepse eksponenti është një numër natyror. Po, por çfarë është numri natyror? Elementare! Numrat natyrorë janë ata numra që përdoren në numërim kur renditen objektet: një, dy, tre... Kur numërojmë objektet, nuk themi: “minus pesë”, “minus gjashtë”, “minus shtatë”. Ne gjithashtu nuk themi: "një e treta", ose "zero pikë pesë". Këta nuk janë numra natyrorë. Çfarë numrash mendoni se janë këto?

Numrat si "minus pesë", "minus gjashtë", "minus shtatë" i referohen numra të plotë. Në përgjithësi, numrat e plotë përfshijnë të gjithë numrat natyrorë, numrat e kundërt me numrat natyrorë (d.m.th., të marrë me një shenjë minus) dhe numrin. Zero është e lehtë për t'u kuptuar - është kur nuk ka asgjë. Çfarë nënkuptojnë numrat negativë (“minus”)? Por ato u shpikën kryesisht për të treguar borxhet: nëse keni një bilanc në telefonin tuaj në rubla, kjo do të thotë që i keni borxh operatorit rubla.

Të gjitha thyesat janë numrat racionalë. Si lindën, mendoni ju? Shume e thjeshte. Disa mijëra vjet më parë, paraardhësit tanë zbuluan se u mungonin numrat natyrorë për matjen e gjatësisë, peshës, sipërfaqes etj. Dhe ata dolën me numrat racionalë... Interesante, apo jo?

A ka më shumë numrat irracionalë. Cilat janë këto numra? Me pak fjalë, është një thyesë dhjetore e pafundme. Për shembull, nëse ndani perimetrin e një rrethi me diametrin e tij, merrni një numër irracional.

Përmbledhje:

Le të përcaktojmë konceptin e një shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

1. Çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten:
2. Të kufizosh një numër në katror do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten:
3. Të kubikesh një numër do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten tre herë:

Përkufizimi. Ngritja e një numri në një fuqi natyrore do të thotë të shumëzosh numrin me vete herë:
.

Vetitë e gradave

Nga kanë ardhur këto prona? Unë do t'ju tregoj tani.

Le të shohim: çfarë është Dhe ?

A-parësore:

Sa shumëzues ka gjithsej?

Është shumë e thjeshtë: kemi shtuar shumëzues faktorëve dhe rezultati është shumëzues.

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, domethënë: , që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye!
Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

vetëm për produktin e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

2. kaq fuqia e një numri

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por ju kurrë nuk mund ta bëni këtë në total:

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë?

Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm se cili duhet të jetë eksponenti.

Por cila duhet të jetë baza?

Në kompetencat e tregues natyror baza mund të jetë çdo numër. Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift.

Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë fuqi të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ? Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me, funksionon.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

A ia dolët?

Këtu janë përgjigjet: Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv.

Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë!

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

E tërë ne i quajmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën " ") dhe numrin.

e tërë numër pozitiv , dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, le të pyesim veten: pse është kështu?

Le të shqyrtojmë një shkallë me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte - . Me cilin numër duhet të shumëzoni në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Do të thotë.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh se sa shumë e shumëzoni zeron me vetveten, prapë do të merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër me fuqinë zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, sa nga kjo është e vërtetë? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zeron në fuqinë zero. Kjo do të thotë, tani nuk mund të ndajmë jo vetëm me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të vazhdojmë. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë edhe numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një shkallë negative, le të bëjmë si në Herën e fundit: shumoj disa numër normal në të njëjtën masë në një shkallë negative:

Nga këtu është e lehtë të shprehësh atë që po kërkon:

Tani le ta zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë një rregull:

Një numër me fuqi negative është reciprociteti i të njëjtit numër me fuqi pozitive. Por në të njëjtën kohë Baza nuk mund të jetë nule:(sepse nuk mund të ndahesh me).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk është e përcaktuar në rasën. Nese atehere.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Numri, jo e barabartë me zero, në një shkallë negative është inversi i të njëjtit numër në një shkallë pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për vendim i pavarur:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të jesh i përgatitur për çdo gjë! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjet e tyre nëse nuk mund t'i zgjidhnit dhe do të mësoni t'i përballoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani le të shqyrtojmë numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: çdo gjë që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, dhe.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme", merrni parasysh thyesën:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani le të kujtojmë rregullin rreth "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë me.

Kjo do të thotë, rrënja e fuqisë së th është operacioni i kundërt i ngritjes në një fuqi: .

Rezulton se. Natyrisht kjo rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtojmë numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë duke përdorur rregullin fuqi në fuqi:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnje!

Mbani mend rregullin: çdo numër i ngritur në madje shkallë- numri është pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren edhe rrënjë nga numrat negativë!

Kjo do të thotë që numra të tillë nuk mund të ngrihen në një fuqi thyesore me një emërues çift, domethënë, shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Numri mund të përfaqësohet në formën e thyesave të tjera, të reduktueshme, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, por këto janë vetëm dy hyrje të ndryshme të njëjtin numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por nëse e shkruajmë treguesin ndryshe, përsëri do të futemi në telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, ne konsiderojmë vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Keshtu nese:

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Eksponentët racionalë janë shumë të dobishëm për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Epo, tani vjen pjesa më e vështirë. Tani do ta kuptojmë shkallë me eksponent irracional.

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim

Në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...numër në fuqinë zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur - prandaj rezultati është vetëm një "numër bosh" i caktuar. , përkatësisht një numër;

...shkallë me eksponent negativ të numrit të plotë- është sikur diçka ka ndodhur” procesi i kundërt“, pra numri nuk është shumëzuar në vetvete, por është pjesëtuar.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real.

Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin e zakonshëm për ngritjen e një pushteti në një pushtet:

Tani shikoni treguesin. Nuk ju kujton gjë? Le të kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

NË në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. Thyesat në eksponentë i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetoret ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Një shkallë është një shprehje e formës: , ku:

• — bazë e shkallës;
• - eksponent.

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Shkallë me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

Ndërtimi në shkallën zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse nuk mund të ndahesh me).

Edhe një herë për zero: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nese atehere.

Shembuj:

Fuqia me eksponent racional

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Vetitë e gradave

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

A-parësore:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje marrim produktin e mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit është fuqia e një numri me një eksponent, domethënë:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye. Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

Një tjetër shënim i rëndësishëm: ky rregull - vetëm për produkt fuqie!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta riorganizojmë këtë punë si kjo:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por kurrë nuk mund ta bëni këtë në total: !

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë ne kemi diskutuar vetëm se si duhet të jetë indeks gradë. Por cila duhet të jetë baza? Në kompetencat e natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë fuqi të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim - .

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues shenja do të ndryshojë. Mund të formulojmë sa vijon rregulla të thjeshta:

1. madje shkallë, - numër pozitive.
2. Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negativ.
3. Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
4. Zero për çdo fuqi është e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e kujtojmë këtë, bëhet e qartë se, që do të thotë se baza është më e vogël se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë me njëri-tjetrin, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se të shohim rregullin e fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni shprehjet:

Zgjidhjet :

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve!

Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse ato anuloheshin, rregulli 3 mund të zbatohej. Rezulton se është shumë e lehtë: shkalla e barabartë e emëruesit na ndihmon këtu.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani rezulton kështu:

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: Të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Nuk mund ta zëvendësoni me duke ndryshuar vetëm një disavantazh që nuk na pëlqen!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe ta thjeshtojmë atë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja ka gjithsej? herë nga shumëzuesit - çfarë ju kujton kjo? Ky nuk është gjë tjetër veçse një përkufizim i një operacioni shumëzimi: Aty kishte vetëm shumëzues. Kjo do të thotë, kjo, sipas përkufizimit, është një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një eksponent irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç numrave racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në fuqinë zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë ata nuk kanë filluar ende ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur akoma - prandaj rezultati është vetëm një i caktuar “numër bosh”, përkatësisht një numër; një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë - është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë ​​4-dimensionale). Është mjaft e pastër objekt matematikor, të cilin matematikanët e krijuan për të shtrirë konceptin e shkallës në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real. Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim tregues irracional gradë? Ne po mundohemi ta heqim qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

1)

2)

3)

Përgjigjet:

1. Le të kujtojmë ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
2. Thyesat i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

Diplomë quhet një shprehje e formës: , ku:

Shkallë me një eksponent numër të plotë

një shkallë, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Fuqia me eksponent racional

shkallë, eksponenti i së cilës janë numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

një shkallë, eksponenti i së cilës është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Vetitë e gradave

Karakteristikat e gradave.

• Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
• Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negativ.
• Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
• Zero është e barabartë me çdo fuqi.
• Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI FJALEN...

Si ju pëlqen artikulli? Shkruani më poshtë në komente nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj duke përdorur veçoritë e diplomës.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë në provimet tuaja!

SHKALLA ME TREGUES RACIONAL,

FUNKSIONI FUQIOR IV

§ 71. Fuqitë me eksponentë zero dhe negativ

Në § 69 ne vërtetuam (shih Teoremën 2) se për t > fq

(a =/= 0)

Është krejt e natyrshme të dëshirojmë ta zgjerojmë këtë formulë në rastin kur T < P . Por pastaj numri t - fq do të jetë ose negative ose e barabartë me zero. A. Deri tani kemi folur vetëm për shkallë me eksponentë natyrorë. Kështu, ne jemi përballur me nevojën për të futur diploma numra realë me tregues zero dhe negativ.

Përkufizimi 1. Çdo numër A , jo e barabartë me zero, me fuqinë zero të barabartë me një, pra kur A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Për shembull, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Numri 0 nuk ka shkallë zero, pra shprehja 0 0 nuk është e përcaktuar.

Përkufizimi 2. Nëse A=/= 0 dhe P atëherë është një numër natyror

A - n = 1 /a n (2)

kjo eshte fuqia e çdo numri jo e barabartë me zero me një eksponent negativ të numrit të plotë është e barabartë me një fraksion, numëruesi i së cilës është një, dhe emëruesi është një fuqi e të njëjtit numër a, por me një eksponent të kundërt me eksponentin e kësaj fuqie. .

Për shembull,

Duke i pranuar këto përkufizime, mund të vërtetohet se kur a =/= 0, formula

e vërtetë për çdo numër natyror T Dhe n , dhe jo vetëm për t > fq . Për ta vërtetuar këtë, mjafton të kufizohemi në shqyrtimin e dy rasteve: t = n Dhe T< .п , që nga rasti m > n diskutuar tashmë në § 69.

Le t = n ; Pastaj . Do të thotë, ana e majte barazia (3) është e barabartë me 1. Ana e djathtë në t = n bëhet

A m - n = A n - n = A 0 .

Por sipas definicionit A 0 = 1. Kështu, pjesa e djathtë barazia (3) është gjithashtu e barabartë me 1. Prandaj, kur t = n formula (3) është e saktë.

Tani supozoni se T< п . Ndajeni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me A m , marrim:

Sepse n > t , Kjo . Kjo është arsyeja pse. Duke përdorur përkufizimin e fuqisë me një eksponent negativ, mund të shkruajmë .

Kështu që kur , që ishte ajo që duhej vërtetuar. Formula (3) tani është vërtetuar për çdo numër natyror T Dhe P .

Koment. Eksponentët negativë ju lejojnë të shkruani thyesa pa emërues. Për shembull,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; fare, a / b = a b - 1

Sidoqoftë, nuk duhet të mendoni se me këtë shënim thyesat kthehen në numra të plotë. Për shembull, 3 - 1 është e njëjta thyesë si 1/3, 2 5 - 1 është e njëjta thyesë si 2/5, etj.

Ushtrime

529. Njehso:

530. Shkruaj një thyesë pa emërues:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Të dhëna dhjetore shkruani si shprehje me numra të plotë duke përdorur tregues negativ:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Ekziston një rregull që çdo numër tjetër përveç zeros i ngritur në fuqinë zero do të jetë i barabartë me një:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Megjithatë, pse është kështu?

Kur një numër ngrihet në një fuqi me një eksponent natyror, do të thotë se ai shumëzohet në vetvete aq herë sa eksponenti:
43 = 4...

0 0

Në algjebër, ngritja në fuqinë zero është e zakonshme. Çfarë është shkalla 0? Cilët numra mund të ngrihen në fuqinë zero dhe cilët jo?

Përkufizimi.

Çdo numër në fuqinë zero, përveç zeros, është i barabartë me një:

Kështu, pavarësisht se cili numër është ngritur në fuqinë 0, rezultati do të jetë gjithmonë i njëjtë - një.

Dhe 1 në fuqinë e 0, dhe 2 në fuqinë e 0, dhe çdo numër tjetër - numër i plotë, thyesor, pozitiv, negativ, racional, irracional - kur ngrihet në fuqinë zero jep një.

Përjashtimi i vetëm është zero.

Zero në fuqinë zero nuk është përcaktuar, një shprehje e tillë nuk ka kuptim.

Kjo do të thotë, çdo numër përveç zeros mund të rritet në fuqinë zero.

Nëse, kur thjeshtoni një shprehje me fuqi, rezultati është një numër me fuqinë zero, ai mund të zëvendësohet me një:

Nëse...

0 0

Brenda kurrikula shkollore Shprehja $%0^0$% konsiderohet të jetë e papërcaktuar.

Nga pikëpamja e matematikës moderne, është e përshtatshme të supozohet se $%0^0=1$%. Ideja këtu është e mëposhtme. Le të ketë një produkt prej $%n$% numrash të formës $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Për të gjitha $%n\ge2$% vlen barazia $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$%. Është e përshtatshme që kjo barazi të konsiderohet kuptimplotë edhe për $%n=1$%, duke supozuar $%p_0=1$%. Logjika këtu është kjo: kur llogaritim produktet, së pari marrim 1, dhe më pas shumëzojmë në mënyrë sekuenciale me $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ky është algoritmi që përdoret për të gjetur produkte kur shkruhen programe. Nëse për ndonjë arsye shumëzimet nuk ndodhin, atëherë produkti mbetet i barabartë me një.

Me fjalë të tjera, është e përshtatshme që një koncept i tillë si "produkti i 0 faktorëve" të ketë kuptim, duke e konsideruar atë të barabartë me 1 sipas përkufizimit, në këtë rast, mund të flasim edhe për "produktin bosh". Nëse shumëzojmë një numër me këtë...

0 0

Zero - është zero. Përafërsisht, çdo fuqi e një numri është prodhim i një dhe eksponenti shumëfishuar këtë numër. Dy në të tretën, le të themi, janë 1*2*2*2, dy në minus të së parës është 1/2. Dhe atëherë është e nevojshme që të mos ketë vrimë gjatë kalimit nga gradë pozitive në negative dhe anasjelltas.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

kjo është e gjithë çështja.

e thjeshtë dhe e qartë, faleminderit

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

për shembull, ju vetëm duhet formula të caktuara, të cilat janë të vlefshme për eksponentë pozitivë - për shembull x^n*x^m=x^(m+n) - ishin ende të vlefshme.
Nga rruga, e njëjta gjë vlen edhe për përcaktimin e një shkalle negative, si dhe të një racionale (d.m.th., 5 në fuqinë e 3/4)

> dhe pse është e nevojshme kjo?
Për shembull, në statistika dhe teori ata shpesh luajnë me fuqi zero.

A ju shqetësojnë gradat negative?
...

0 0

Ne vazhdojmë të shqyrtojmë vetitë e shkallëve, të marrim për shembull 16:8 = 2. Meqenëse 16=24 dhe 8=23, pra, pjesëtimi mund të shkruhet në formë eksponenciale si 24:23=2, por nëse zbresim eksponentët, atëherë 24:23=21. Kështu, duhet të pranojmë se 2 dhe 21 janë e njëjta gjë, pra 21 = 2.

I njëjti rregull vlen për çdo tjetër numër eksponencial, pra, rregulli mund të formulohet në formë të përgjithshme:

çdo numër i ngritur në fuqinë e parë mbetet i pandryshuar

Ky përfundim mund t'ju ketë lënë të habitur. Ju ende mund ta kuptoni disi kuptimin e shprehjes 21 = 2, megjithëse shprehja "një numër dy shumëzuar në vetvete" tingëllon mjaft e çuditshme. Por shprehja 20 do të thotë "asnjë numër i vetëm dy,...

0 0

Përkufizimet e diplomës:

1. shkallë zero

Çdo numër tjetër përveç zeros i ngritur në fuqinë zero është i barabartë me një. Zero në fuqinë zero është e papërcaktuar

2. shkallë natyrore të ndryshme nga zero

Çdo numër x i ngritur në një fuqi natyrore n përveç zeros është i barabartë me shumëzimin e n numrave x së bashku

3.1 edhe rrënjë shkallë natyrore, të ndryshme nga zero

Rrënja e një fuqie natyrale çift n, përveç zeros, e çdo numri pozitiv x është një numër pozitiv y që, kur ngrihet në fuqinë n, jep numrin origjinal x

3.2 rrënja e shkallës së çuditshme natyrore

Rrënja e një fuqie natyrore teke n të çdo numri x është një numër y që, kur ngrihet në fuqinë n, jep numrin origjinal x

3.3 rrënja e çdo fuqie natyrore si një fuqi thyesore

Nxjerrja e rrënjës së çdo fuqie natyrore n, përveç zeros, nga çdo numër x është e njëjtë me ngritjen e këtij numri x në fuqinë thyesore 1/n

0 0

Përshëndetje, i dashur RUSSEL!

Gjatë prezantimit të konceptit të shkallës, ekziston hyrja e mëposhtme: “Vlera e shprehjes a^0 =1” ! Kjo hyn në fuqi koncept logjik diploma dhe asgjë tjetër!
Është e lavdërueshme kur një i ri përpiqet t'i arrijë gjërat në fund! Por ka disa gjëra që thjesht duhen marrë si të mirëqena!
Ju mund të ndërtoni matematikë të re vetëm kur të keni studiuar tashmë hapur prej shekujsh mbrapa!
Sigurisht, nëse përjashtojmë që ju "nuk jeni nga kjo botë" dhe ju është dhënë shumë më tepër se ne të tjerët mëkatarët!

Shënim: Anna Misheva u përpoq të provonte të paprovueshmen! Gjithashtu e lavdërueshme!
Por ka një "POR" të madh - ai mungon në provat e saj element thelbësor: Rasti i pjesëtimit me ZERO!

Shihni vetë se çfarë mund të ndodhë: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Por ju NUK MUND TË PJETOHET ME ZERO!

Ju lutemi të jeni më të kujdesshëm!

Me masë Urimet më të mira dhe lumturi ne jeten tuaj personale...

0 0

Përgjigjet:

Pa emer

nëse marrim parasysh se a^x=e^x*ln(a), atëherë rezulton se 0^0=1 (kufi, për x->0)
edhe pse përgjigja “pasiguri” është gjithashtu e pranueshme

Zero në matematikë nuk është zbrazëti, është një numër shumë afër "asgjësë", ashtu si pafundësia vetëm në të kundërt

Shkruani:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Rezulton se në këtë rast ne po pjesëtojmë me zero, dhe ky operacion në fushën e numrave realë nuk është i përcaktuar.

6 vjet më parë

RPI.su është databaza më e madhe e pyetjeve dhe përgjigjeve në gjuhën ruse. Projekti ynë u zbatua si vazhdimësi e shërbimit popullor otvety.google.ru, i cili u mbyll dhe u fshi më 30 prill 2015. Ne vendosëm të ringjallim shërbimin e dobishëm Google Answers, në mënyrë që çdokush të mund të gjejë publikisht përgjigjen e pyetjes së tij nga komuniteti i Internetit.

Të gjitha pyetjet e shtuara në faqen e Përgjigjeve të Google janë kopjuar dhe ruajtur këtu. Emrat e vjetër të përdoruesve shfaqen gjithashtu siç kanë ekzistuar më parë. Thjesht duhet të regjistroheni përsëri për të qenë në gjendje të bëni pyetje ose t'u përgjigjeni të tjerëve.

Për të na kontaktuar me çdo pyetje RRETH FAQIT (reklamim, bashkëpunim, komente rreth shërbimit), shkruani në [email i mbrojtur]. Vetëm gjithçka çështje të përgjithshme postimi në faqen e internetit, ata nuk do të marrin përgjigje me postë.

Me çfarë do të jetë e barabartë zeroja nëse ajo ngrihet në fuqinë zero?

Pse një numër në fuqinë 0 është i barabartë me 1? Ekziston një rregull që çdo numër tjetër përveç zeros i ngritur në fuqinë zero do të jetë i barabartë me një: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Megjithatë, pse është kështu? Kur një numër ngrihet në një fuqi me një eksponent natyror, do të thotë se ai shumëzohet në vetvete aq herë sa eksponenti: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Kur eksponenti është i barabartë me 1, atëherë gjatë ndërtimit ekziston vetëm një faktor (nëse mund të flasim fare për faktorë), dhe rrjedhimisht rezultati i ndërtimit e barabartë me bazën gradë: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Por, ç’të themi për treguesin zero në këtë rast? Çfarë shumëzohet me çfarë? Le të përpiqemi të shkojmë në një mënyrë tjetër. Dihet se nëse dy shkallë kanë baza të njëjta, por tregues të ndryshëm, atëherë baza mund të lihet e njëjtë dhe eksponentët ose mund t'i shtohen njëri-tjetrit (nëse fuqitë janë shumëzuar), ose eksponenti i pjesëtuesit mund të zbritet nga eksponenti i dividentit (nëse fuqitë ndahen) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Dhe tani merrni parasysh këtë shembull: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Po sikur të mos përdorim pronësinë e pushteteve me të njëjtën bazë dhe le t'i kryejmë llogaritjet sipas radhës në të cilën ato shfaqen: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Pra, kemi marrë njësinë e çmuar. Kështu, eksponenti zero duket se tregon se numri nuk shumëzohet me vetveten, por pjesëtohet me vetveten. Dhe nga këtu bëhet e qartë pse shprehja 00 nuk ka kuptim. Në fund të fundit, ju nuk mund të pjesëtoni me 0. Ju mund të arsyetoni ndryshe. Nëse ka, për shembull, një shumëzim të fuqive prej 52 × 50 = 52+0 = 52, atëherë rrjedh se 52 është shumëzuar me 1. Prandaj, 50 = 1.

Nga vetitë e fuqive: a^n / a^m = a^(n-m) nëse n=m, rezultati do të jetë një me përjashtim të natyrshëm a=0, në këtë rast (pasi zero për çdo fuqi do të jetë zero) pjesëtimi me zero do të ndodhte, kështu që 0^0 nuk ekziston

Kontabiliteti në gjuhë të ndryshme

Emrat e numrave nga 0 deri në 9 gjuhët popullore paqen.

Gjuhe	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
anglisht	zero	një	dy	tre	katër	pesë	gjashtë	shtatë	tetë	nëntë
bullgare	zero	nje gje	dy	tre	katër	kafshë shtëpiake	shtyllë	po behemi gati	sëpata	devet
hungareze	nulla	egji	kettõ	harom	négy	ot	kapelë	het	nyolc	kilenc
holandeze	nul	een	twee	thahen	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
daneze	nul	sq	te	tre	zjarrit	fem	shek	syv	otte	ni
Spanjisht	cero	uno	dos	tres	kuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
italisht	zero	uno	për shkak	tre	quattro	cinque	sei	sete	otto	nove
Lituanisht	nullis	viena	du	përpiqet	keturi	penki	ðeði	septini	aðtuoni	devyni
gjermanisht	i pavlefshëm	ein	zwei	drei	vier	funf	sechs	sieben	acht	neun
ruse	zero	një	dy	tre	katër	pesë	gjashtë	shtatë	tetë	nëntë
polonisht	zero	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portugeze	um	dois	três	quatro	cinco	seis	sete	oito	nove
frëngjisht	zero	un	deux	trois	kater	cinq	gjashtë	shtator	kasolle	neuf
çeke	nula	jedna	dva	toi	ètyøi	pìt	¹est	sedm	osm	devìt
suedeze	noll	etj	tva	tre	fyra	fem	seksi	sju	ata	jo
estoneze	i pavlefshëm	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Fuqitë negative dhe zero të një numri

Fuqitë zero, negative dhe thyesore

Treguesi zero

I ngritur numri i dhënë në një farë mase do të thotë ta përsërisësh me një faktor aq herë sa ka njësi në eksponent.

Sipas këtij përkufizimi, shprehja: a 0 nuk ka kuptim. Por që rregulli i pjesëtimit të fuqive të të njëjtit numër të jetë i vlefshëm edhe në rastin kur eksponenti i pjesëtuesit e barabartë me treguesin për dividentin, është paraqitur një përkufizim:

Fuqia zero e çdo numri do të jetë e barabartë me një.

Treguesi negativ

Shprehje jam, në vetvete nuk ka asnjë kuptim. Por në mënyrë që rregulli i fuqive pjesëtuese të të njëjtit numër të ketë kuptim edhe në rastin kur eksponenti i pjesëtuesit është më i madh se eksponenti i dividentit, është futur një përkufizim:

Shembulli 1. Nëse një numër i caktuar përbëhet nga 5 qindëshe, 7 dhjetëshe, 2 njësi dhe 9 të qindta, atëherë ai mund të përshkruhet si më poshtë:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Shembulli 2. Nëse një numër i dhënë përbëhet nga një dhjetëshe, b njësi, c të dhjeta dhe d të mijta, atëherë ai mund të përfaqësohet si më poshtë:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Veprimet mbi fuqitë me eksponentë negativë

Kur shumëzohen fuqitë e të njëjtit numër, eksponentët mblidhen.

Kur pjesëtohen fuqitë e të njëjtit numër, eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividentit.

Për të ngritur një produkt në fuqi, mjafton të ngrini secilin faktor veç e veç në këtë fuqi:

Për të ngritur një fraksion në një fuqi, mjafton të ngrini të dy termat e fraksionit veçmas në këtë fuqi:

Kur një fuqi ngrihet në një fuqi tjetër, eksponentët shumëzohen.

Treguesi thyesor

Nëse k nuk është shumëfish i n, pastaj shprehja: nuk ka kuptim. Por në mënyrë që rregulli për nxjerrjen e rrënjës së një shkalle të zbatohet për çdo vlerë të eksponentit, është futur një përkufizim:

Falë prezantimit të një simboli të ri, nxjerrja e rrënjës gjithmonë mund të zëvendësohet me fuqizim.

Veprimet mbi fuqitë me eksponentë thyesorë

Veprimet mbi fuqitë me eksponentë thyesorë kryhen sipas të njëjtave rregulla që përcaktohen për eksponentët e numrave të plotë.

Kur vërtetojmë këtë propozim, fillimisht do të supozojmë se termat e thyesave: dhe , që shërbejnë si eksponentë, janë pozitive.

Në një rast të veçantë n ose q mund të jetë e barabartë me një.

Kur shumëzohen fuqitë e të njëjtit numër, shtohen eksponentë thyesorë:

Kur pjesëtohen fuqitë e të njëjtit numër me eksponentë thyesorë, eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividentit:

Për të ngritur një fuqi në një fuqi tjetër në rastin e eksponentëve thyesorë, mjafton të shumëzoni eksponentët:

Për të nxjerrë rrënjën e një fuqie thyesore, mjafton të ndani eksponentin me eksponentin e rrënjës:

Rregullat e veprimit vlejnë jo vetëm për pozitive tregues të pjesshëm, por edhe të negativ.

Ekziston një rregull që çdo numër tjetër përveç zeros i ngritur në fuqinë zero do të jetë i barabartë me një:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Megjithatë, pse është kështu?
Kur një numër ngrihet në një fuqi me një eksponent natyror, do të thotë se ai shumëzohet në vetvete aq herë sa eksponenti:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Kur eksponenti është i barabartë me 1, atëherë gjatë ndërtimit ekziston vetëm një faktor (nëse mund të flasim për faktorë këtu fare), dhe për këtë arsye rezultati i ndërtimit është i barabartë me bazën e shkallës:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Por, çfarë ndodh me treguesin zero në këtë rast? Çfarë shumëzohet me çfarë?
Le të përpiqemi të shkojmë në një mënyrë tjetër.

Pse një numër në fuqinë 0 është i barabartë me 1?

Dihet se nëse dy fuqi kanë baza të njëjta, por eksponentë të ndryshëm, atëherë baza mund të lihet e njëjtë, dhe eksponentët ose mund t'i shtohen njëri-tjetrit (nëse fuqitë janë shumëzuar), ose eksponenti i pjesëtuesit mund të të zbritet nga eksponenti i dividentit (nëse fuqitë janë të pjestueshme):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Tani le të shohim këtë shembull:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Po sikur të mos përdorim vetinë e fuqive me të njëjtën bazë dhe të kryejmë llogaritjet në rendin në të cilin ato shfaqen:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Pra morëm njësinë e lakmuar. Kështu, eksponenti zero duket se tregon se numri nuk shumëzohet me vetveten, por pjesëtohet me vetveten.
Dhe nga këtu bëhet e qartë pse shprehja 0 0 nuk ka kuptim. Ju nuk mund të pjesëtoni me 0.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve