Sa është pjerrësia e një vije të drejtë? Si të gjeni shpatin

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Derivati ​​i një funksioni është një nga tema të vështira V kurrikula shkollore. Jo çdo i diplomuar do t'i përgjigjet pyetjes se çfarë është një derivat.

Ky artikull shpjegon në mënyrë të thjeshtë dhe të qartë se çfarë është një derivat dhe pse është i nevojshëm.. Tani nuk do të përpiqemi për rigorozitet matematikor në prezantim. Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni kuptimin.

Le të kujtojmë përkufizimin:

Derivati ​​është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni.

Figura tregon grafikët e tre funksioneve. Cili mendoni se po rritet më shpejt?

Përgjigja është e qartë - e treta. Ajo ka më shumë shpejtësi të lartë ndryshon, pra derivati ​​më i madh.

Ja një shembull tjetër.

Kostya, Grisha dhe Matvey morën punë në të njëjtën kohë. Le të shohim se si ndryshuan të ardhurat e tyre gjatë vitit:

Grafiku tregon gjithçka menjëherë, apo jo? Të ardhurat e Kostya u dyfishuan në gjashtë muaj. Dhe të ardhurat e Grishës gjithashtu u rritën, por vetëm pak. Dhe të ardhurat e Matvey u ulën në zero. Kushtet e fillimit janë të njëjta, por shkalla e ndryshimit të funksionit, d.m.th derivatore, - të ndryshme. Sa i përket Matvey-t, derivati ​​i tij i të ardhurave është përgjithësisht negativ.

Në mënyrë intuitive, ne vlerësojmë lehtësisht shkallën e ndryshimit të një funksioni. Por si ta bëjmë këtë?

Ajo që ne po shohim në të vërtetë është se sa pjerrësi rritet (ose poshtë) grafiku i një funksioni. Me fjalë të tjera, sa shpejt ndryshon y ndërsa x ndryshon? Natyrisht, i njëjti funksion në pika të ndryshme mund të ketë kuptim të ndryshëm derivat - domethënë mund të ndryshojë më shpejt ose më ngadalë.

Derivati ​​i një funksioni shënohet .

Ne do t'ju tregojmë se si ta gjeni atë duke përdorur një grafik.

Është vizatuar një grafik i disa funksioneve. Le të marrim një pikë me një abshisë mbi të. Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikë. Ne duam të vlerësojmë se sa pjerrësi rritet grafiku i funksionit. Një vlerë e përshtatshme për këtë është tangjente e këndit tangjent.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në këtë pikë.

Ju lutemi vini re - si kënd i prirjes së tangjentes marrim këndin midis tangjentes dhe drejtim pozitiv sëpata

Ndonjëherë studentët pyesin se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni. Kjo është një vijë e drejtë që ka këtë zonë i vetmi pikë e përbashkët me një grafik, dhe siç tregohet në figurën tonë. Duket si një tangjente me një rreth.

Le ta gjejmë. Ne e kujtojmë atë tangjente kënd akut V trekëndësh kënddrejtë e barabartë me raportin ana e kundërt me atë ngjitur. Nga trekëndëshi:

Derivatin e gjetëm duke përdorur një grafik pa e ditur as formulën e funksionit. Probleme të tilla shpesh gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë nën numrin.

Ekziston një marrëdhënie tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se drejtëza jepet nga ekuacioni

Sasia në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.

.

Ne e kuptojmë atë

Le të kujtojmë këtë formulë. Ajo shprehet kuptimi gjeometrik derivatore.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në atë pikë.

Me fjalë të tjera, derivati ​​është i barabartë me tangjenten e këndit tangjent.

Ne kemi thënë tashmë se i njëjti funksion mund të ketë derivate të ndryshëm në pika të ndryshme. Le të shohim se si derivati ​​lidhet me sjelljen e funksionit.

Le të vizatojmë një grafik të disa funksioneve. Le të rritet ky funksion në disa zona, dhe të ulet në të tjera, dhe me me shpejtësi të ndryshme. Dhe le që ky funksion të ketë pikë maksimale dhe minimale.

Në një moment funksioni rritet. Një tangjente me grafikun e vizatuar në pikë formon një kënd akut; me drejtim të boshtit pozitiv. Kjo do të thotë që derivati ​​në pikë është pozitiv.

Në atë pikë funksioni ynë zvogëlohet. Tangjentja në këtë pikë formon një kënd të mpirë; me drejtim të boshtit pozitiv. Që tangjente kënd i mpirëështë negative, në pikën derivati ​​është negativ.

Ja çfarë ndodh:

Nëse një funksion është në rritje, derivati ​​i tij është pozitiv.

Nëse zvogëlohet, derivati ​​i tij është negativ.

Çfarë do të ndodhë në pikët maksimale dhe minimale? Shohim që në pikat (pika maksimale) dhe (pika minimale) tangjentja është horizontale. Prandaj, tangjentja e këndit tangjent në këto pika e barabartë me zero, dhe derivati ​​është gjithashtu zero.

Pika - pikë maksimale. Në këtë pikë, rritja e funksionit zëvendësohet me një ulje. Rrjedhimisht, shenja e derivatit ndryshon në pikën nga "plus" në "minus".

Në pikën - pika minimale - derivati ​​është gjithashtu zero, por shenja e tij ndryshon nga "minus" në "plus".

Përfundim: duke përdorur derivatin mund të zbulojmë gjithçka që na intereson për sjelljen e një funksioni.

Nëse derivati ​​është pozitiv, atëherë funksioni rritet.

Nëse derivati ​​është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet.

Në pikën maksimale, derivati ​​është zero dhe ndryshon shenjën nga "plus" në "minus".

Në pikën minimale, derivati ​​është gjithashtu zero dhe ndryshon shenjën nga minus në plus.

Le t'i shkruajmë këto përfundime në formën e një tabele:

Le të bëjmë dy sqarime të vogla. Një prej tyre do t'ju duhet kur zgjidhni problemin. Një tjetër - në vitin e parë, me një studim më serioz të funksioneve dhe derivateve.

Është e mundur që derivati ​​i një funksioni në një moment të jetë i barabartë me zero, por funksioni nuk ka as një maksimum dhe as një minimum në këtë pikë. Ky është i ashtuquajturi :

Në një pikë, tangjentja me grafikun është horizontale dhe derivati ​​është zero. Sidoqoftë, para pikës funksioni u rrit - dhe pas pikës ai vazhdon të rritet. Shenja e derivatit nuk ndryshon - ajo mbetet pozitive siç ishte.

Ndodh gjithashtu që në pikën maksimale ose minimale derivati ​​të mos ekzistojë. Në grafik, kjo korrespondon me një thyerje të mprehtë, kur është e pamundur të vizatoni një tangjente në një pikë të caktuar.

Si të gjeni derivatin nëse funksioni nuk jepet nga një grafik, por nga një formulë? Në këtë rast zbatohet

Në matematikë, një nga parametrat që përshkruan pozicionin e një linje në Aeroplani kartezian koordinatat është shpat këtë vijë të drejtë. Ky parametër karakterizon pjerrësinë e vijës së drejtë në boshtin e abshisës. Për të kuptuar se si të gjeni pjerrësinë, fillimisht kujtoni formën e përgjithshme të ekuacionit të një vije të drejtë në sistemin e koordinatave XY.

NË pamje e përgjithshmeçdo drejtëz mund të përfaqësohet me shprehjen ax+by=c, ku a, b dhe c janë arbitrare numra realë, por domosdoshmërisht a 2 + b 2 ≠ 0.

Duke përdorur shndërrime të thjeshta, një ekuacion i tillë mund të sillet në formën y=kx+d, në të cilin k dhe d janë numra realë. Numri k është pjerrësia, dhe ekuacioni i një drejtëze të këtij lloji quhet ekuacion me një pjerrësi. Rezulton se për të gjetur shpatin, thjesht duhet të sillni ekuacioni origjinal në llojin e mësipërm. Për një kuptim më të plotë, merrni parasysh një shembull specifik:

Problemi: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës së dhënë nga ekuacioni 36x - 18y = 108

Zgjidhje: Le të transformojmë ekuacionin origjinal.

Përgjigje: Pjerrësia e kërkuar e kësaj linje është 2.

Nëse gjatë transformimit të ekuacionit kemi marrë një shprehje si x = konst dhe si rezultat nuk mund ta paraqesim y si funksion të x, atëherë kemi të bëjmë me një drejtëz paralele me boshtin X një vijë e drejtë është e barabartë me pafundësinë.

Për linjat e shprehura me një ekuacion si y = const, pjerrësia është zero. Kjo është tipike për linjat e drejta paralele me boshtin e abshisës. Për shembull:

Problemi: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës së dhënë nga ekuacioni 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Zgjidhje: Le ta sjellim ekuacionin origjinal në formën e tij të përgjithshme

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Është e pamundur të shprehet y nga shprehja që rezulton, prandaj koeficienti këndor i kësaj linje është i barabartë me pafundësinë, dhe vetë vija do të jetë paralele me boshtin Y.

Kuptimi gjeometrik

Për një kuptim më të mirë, le të shohim foton:

Në figurë shohim një grafik të një funksioni si y = kx. Për ta thjeshtuar, le të marrim koeficientin c = 0. Në trekëndëshin OAB, raporti i brinjës BA me AO do të jetë i barabartë me koeficientin këndor k. Në të njëjtën kohë, raporti BA/AO është tangjentja e këndit akut α në trekëndëshin kënddrejtë OAB. Rezulton se koeficienti këndor i drejtëzës është i barabartë me tangjentën e këndit që bën kjo drejtëz me boshtin e abshisave të rrjetit koordinativ.

Duke zgjidhur problemin se si të gjejmë koeficientin këndor të një vije të drejtë, gjejmë tangjentën e këndit midis saj dhe boshtit X të rrjetit koordinativ. Rastet kufitare, kur vija në fjalë është paralele me boshtet koordinative, vërtetojnë sa më sipër. Në të vërtetë, për një vijë të drejtë të përshkruar nga ekuacioni y=const, këndi ndërmjet saj dhe boshtit të abshisës është zero. Tangjentja e këndit zero është gjithashtu zero dhe pjerrësia është gjithashtu zero.

Për drejtëzat pingul me boshtin e abshisave dhe të përshkruara me ekuacionin x=const, këndi ndërmjet tyre dhe boshtit X është 90 gradë. Tangjente kënd i drejtëështë e barabartë me pafundësinë, dhe koeficienti këndor i drejtëzave të ngjashme është gjithashtu i barabartë me pafundësinë, gjë që konfirmon atë që u shkrua më sipër.

Pjerrësia tangjente

Një detyrë e zakonshme që haset shpesh në praktikë është gjithashtu gjetja e pjerrësisë së një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar. Një tangjente është një vijë e drejtë, prandaj koncepti i pjerrësisë është gjithashtu i zbatueshëm për të.

Për të kuptuar se si të gjejmë pjerrësinë e një tangjente, do të duhet të kujtojmë konceptin e derivatit. Derivati ​​i çdo funksioni në një pikë të caktuar është një konstante numerikisht e barabartë me tangjenten e këndit që formohet midis tangjentës në pikën e specifikuar në grafikun e këtij funksioni dhe boshtit të abshisës. Rezulton se për të përcaktuar koeficientin këndor të tangjentës në pikën x 0, duhet të llogarisim vlerën e derivatit funksioni origjinal në këtë pikë k = f"(x 0). Le të shohim shembullin:

Problem: Gjeni pjerrësinë e drejtëzës tangjente me funksionin y = 12x 2 + 2x x në x = 0,1.

Zgjidhje: Gjeni derivatin e funksionit origjinal në formë të përgjithshme

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Përgjigje: Pjerrësia e kërkuar në pikën x = 0.1 është 4.831

Pjerrësia është e drejtë. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet që lidhen me planin koordinativ të përfshirë në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë. Këto janë detyra për:

— përcaktimi i koeficientit këndor të një drejtëze kur dihen dy pika nëpër të cilat kalon ajo;
- përcaktimi i abshisës ose i ordinatës së pikës së kryqëzimit të dy drejtëzave në një rrafsh.

Çfarë është abshisa dhe ordinata e një pike u përshkrua në këtë seksion. Në të kemi shqyrtuar tashmë disa probleme që lidhen me planin koordinativ. Çfarë duhet të kuptoni për llojin e problemit në shqyrtim? Pak teori.

Ekuacioni i një linje në plan koordinativ ka formën:

Ku k – kjo është pjerrësia e vijës.

Momenti tjetër! Pjerrësia e drejtpërdrejtë e barabartë me tangjenten këndi i prirjes së një vije të drejtë. Ky është këndi midis një vije të caktuar dhe boshtitOh.

Ai varion nga 0 në 180 gradë.

Kjo do të thotë, nëse e reduktojmë ekuacionin e një drejtëze në formë y = kx + b, atëherë gjithmonë mund të përcaktojmë koeficientin k (koeficienti i pjerrësisë).

Gjithashtu, nëse në bazë të kushtit mund të përcaktojmë tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës, atëherë do të gjejmë në këtë mënyrë koeficientin këndor të saj.

Pika tjetër teorike!Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna.Formula duket si kjo:

Le të shqyrtojmë problemet (të ngjashme me problemet nga bankë e hapur detyra):

Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–6;0) dhe (0;6).

Në këtë problem, mënyra më racionale për të zgjidhur është gjetja e tangjentës së këndit midis boshtit x dhe drejtëzës së dhënë. Dihet se është e barabartë me pjerrësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një vijë e drejtë dhe boshtet x dhe oy:

Tangjenti i një këndi në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën fqinje:

*Të dyja këmbët janë të barabarta me gjashtë (këto janë gjatësitë e tyre).

Sigurisht, këtë detyrë mund të zgjidhet duke përdorur formulën për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Por kjo do të jetë një zgjidhje më e gjatë.

Përgjigje: 1

Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (5;0) dhe (0;5).

Pikat tona kanë koordinata (5;0) dhe (0;5). Mjetet,

Le ta sjellim formulën në formë y = kx + b

Ne konstatuam se pjerrësia k = – 1.

Përgjigje: -1

Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;6) dhe (8;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0;10) dhe është paralel me drejtëzën a b me bosht oh

Në këtë problem mund të gjeni ekuacionin e drejtëzës a, përcaktoni pjerrësinë për të. Në vijën e drejtë b pjerrësia do të jetë e njëjtë pasi ato janë paralele. Më pas mund të gjeni ekuacionin e vijës b. Dhe pastaj, duke zëvendësuar vlerën y = 0 në të, gjeni abshissa. POR!

NË në këtë rast, është më e lehtë të përdoret vetia e ngjashmërisë së trekëndëshave.

Trekëndëshat kënddrejtë të formuar nga këto drejtëza (paralele) dhe boshtet koordinative janë të ngjashëm, që do të thotë se raportet e brinjëve të tyre përkatëse janë të barabarta.

Abshisa e kërkuar është 40/3.

Përgjigje: 40/3

Drejt a kalon nëpër pika me koordinata (0;8) dhe (–12;0). Drejt b kalon nëpër pikën me koordinata (0; –12) dhe është paralel me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me bosht oh.

Për këtë problem, mënyra më racionale për ta zgjidhur atë është përdorimi i vetive të ngjashmërisë së trekëndëshave. Por ne do ta zgjidhim atë në një mënyrë tjetër.

Ne i dimë pikat nëpër të cilat kalon vija A. Mund të shkruajmë një ekuacion për një vijë të drejtë. Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:

Sipas kushtit, pikat kanë koordinata (0;8) dhe (–12;0). Mjetet,

Le ta sjellim në mendje y = kx + b:

E mori atë cep k = 2/3.

*Koeficienti i këndit mund të gjendet përmes tangjentës së këndit në një trekëndësh kënddrejtë me këmbët 8 dhe 12.

Dihet se drejtëzat paralele kanë koeficientë të barabartë këndi. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën (0;-12) ka formën:

Gjeni vlerën b ne mund të zëvendësojmë abshisën dhe ta ordinojmë në ekuacionin:

Kështu, vija e drejtë duket si kjo:

Tani, për të gjetur abshisën e dëshiruar të pikës së kryqëzimit të vijës me boshtin x, duhet të zëvendësoni y = 0:

Përgjigje: 18

Gjeni ordinatën e pikës së kryqëzimit të boshtit oh dhe një drejtëz që kalon nëpër pikën B(10;12) dhe paralele me një drejtëz që kalon nga origjina dhe pikën A(10;24).

Të gjejmë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika me koordinata (0;0) dhe (10;24).

Formula për ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër dy pika të dhëna ka formën:

Pikat tona kanë koordinata (0;0) dhe (10;24). Mjetet,

Le ta sjellim në mendje y = kx + b

Koeficientët e këndit të drejtëzave paralele janë të barabartë. Kjo do të thotë se ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër pikën B(10;12) ka formën:

Kuptimi b Le të gjejmë duke zëvendësuar koordinatat e pikës B(10;12) në këtë ekuacion:

Ne morëm ekuacionin e drejtëzës:

Të gjendet ordinata e pikës së prerjes së kësaj drejtëze me boshtin oh duhet të zëvendësohet në ekuacionin e gjetur X= 0:

*Zgjidhja më e thjeshtë. Me ndihmën transferim paralel zhvendoseni këtë vijë poshtë përgjatë boshtit oh në pikën (10;12). Zhvendosja ndodh me 12 njësi, domethënë pika A(10;24) "u zhvendos" në pikën B(10;12) dhe pika O(0;0) "u zhvendos" në pikën (0;–12). Kjo do të thotë që vija e drejtë që rezulton do të presë boshtin oh në pikën (0;–12).

Ordinata e kërkuar është –12.

Përgjigje: -12

Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzës, dhënë nga ekuacioni

3x + 2u = 6, me bosht Oy.

Koordinata e pikës së prerjes së një drejtëze të caktuar me një bosht oh ka formën (0; në). Le të zëvendësojmë abshisën në ekuacion X= 0 dhe gjeni ordinatat:

Ordinata e pikës së prerjes së drejtëzës dhe boshtit ohështë e barabartë me 3.

*Sistemi është i zgjidhur:

Përgjigje: 3

Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së drejtëzave të dhëna nga ekuacionet

3x + 2y = 6 Dhe y = – x.

Kur jepen dy drejtëza dhe pyetja ka të bëjë me gjetjen e koordinatave të pikës së kryqëzimit të këtyre drejtëzave, zgjidhet një sistem i këtyre ekuacioneve:

Në ekuacionin e parë zëvendësojmë - X në vend të në:

Ordinata është e barabartë me minus gjashtë.

Përgjigje: – 6

Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (–2;0) dhe (0;2).

Gjeni pjerrësinë e drejtëzës që kalon nëpër pikat me koordinata (2;0) dhe (0;2).

Drejtëza a kalon nëpër pika me koordinata (0;4) dhe (6;0). Drejtëza b kalon nëpër pikën me koordinata (0;8) dhe është paralele me drejtëzën a. Gjeni abshisën e pikës së prerjes së drejtëzës b me boshtin Ox.

Gjeni ordinatën e pikës së prerjes së boshtit oy dhe drejtëzës që kalon në pikën B (6;4) dhe paralele me drejtëzën që kalon nga origjina dhe pikën A (6;8).

1. Është e nevojshme të kuptohet qartë se koeficienti këndor i një vije të drejtë është i barabartë me tangjentën e këndit të prirjes së drejtëzës. Kjo do t'ju ndihmojë në zgjidhjen e shumë problemeve të këtij lloji.

2. Duhet kuptuar formula për gjetjen e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. Me ndihmën e saj, gjithmonë do të gjeni ekuacionin e një drejtëze nëse jepen koordinatat e dy pikave të saj.

3. Mos harroni se pjerrësia e drejtëzave paralele janë të barabarta.

4. Siç e kuptoni, në disa probleme është i përshtatshëm të përdoret testi i ngjashmërisë së trekëndëshit. Problemet zgjidhen praktikisht me gojë.

5. Problemet në të cilat jepen dy drejtëza dhe kërkohet të gjendet abshisa ose ordinata e pikës së kryqëzimit të tyre mund të zgjidhen. grafikisht. Kjo do të thotë, ndërtoni ato në një plan koordinativ (në një fletë letre në një katror) dhe përcaktoni vizualisht pikën e kryqëzimit. *Por kjo metodë nuk është gjithmonë e zbatueshme.

6. Dhe së fundi. Nëse jepet një vijë e drejtë dhe koordinatat e pikave të kryqëzimit të saj me boshtet e koordinatave, atëherë në probleme të tilla është e përshtatshme të gjendet koeficienti këndor duke gjetur tangjentën e këndit në trekëndëshin kënddrejtë të formuar. Si të "shihni" këtë trekëndësh me pozicione të ndryshme të vijave të drejta në aeroplan është treguar skematikisht më poshtë:

>> Këndi i drejtë nga 0 në 90 gradë<<

>> Këndi i drejtë nga 90 në 180 gradë<<

Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!

Përshëndetje, Aleksandër.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Drejtëza y=f(x) do të jetë tangjente me grafikun e paraqitur në figurë në pikën x0 nëse kalon nëpër pikën me koordinata (x0; f(x0)) dhe ka një koeficient këndor f"(x0). Gjeni një koeficient i tillë, Duke ditur tiparet e një tangjente, nuk është e vështirë.

Do t'ju duhet

• - libri referues matematikor;
• - një laps i thjeshtë;
• - fletore;
• - raportor;
• - busull;
• - stilolaps.

Udhëzimet

Nëse vlera f‘(x0) nuk ekziston, atëherë ose nuk ka tangjente, ose shkon vertikalisht. Në funksion të kësaj, prania e një derivati ​​të funksionit në pikën x0 është për shkak të ekzistencës së një tangjente jo vertikale me grafikun e funksionit në pikën (x0, f(x0)). Në këtë rast, koeficienti këndor i tangjentës do të jetë i barabartë me f "(x0). Kështu, kuptimi gjeometrik i derivatit bëhet i qartë - llogaritja e koeficientit këndor të tangjentes.

Vizatoni tangjente shtesë që do të ishin në kontakt me grafikun e funksionit në pikat x1, x2 dhe x3, si dhe shënoni këndet e formuara nga këto tangjente me boshtin x (ky kënd numërohet në drejtim pozitiv nga boshti në vijë tangjente). Për shembull, këndi, domethënë α1, do të jetë akut, i dyti (α2) do të jetë i mpirë dhe i treti (α3) do të jetë zero, pasi vija tangjente është paralele me boshtin OX. Në këtë rast, tangjentja e një këndi të mpirë është negative, tangjentja e një këndi akut është pozitive dhe në tg0 rezultati është zero.

Ju lutemi vini re

Përcaktoni saktë këndin e formuar nga tangjentja. Për ta bërë këtë, përdorni një raportor.

Këshilla të dobishme

Dy drejtëza të pjerrëta do të jenë paralele nëse koeficientët e tyre këndorë janë të barabartë me njëri-tjetrin; pingul nëse prodhimi i koeficientëve këndorë të këtyre tangjenteve është i barabartë me -1.

Burimet:

• Tangjente me grafikun e një funksioni

Kosinusi, si sinusi, klasifikohet si një funksion trigonometrik "i drejtpërdrejtë". Tangjentja (së bashku me kotangjenten) klasifikohet si një çift tjetër i quajtur "derivat". Ekzistojnë disa përkufizime të këtyre funksioneve që bëjnë të mundur gjetjen e tangjentës së dhënë nga një vlerë e njohur kosinusi me të njëjtën vlerë.

Udhëzimet

Zbrisni herësin e njësisë me vlerën e ngritur në kosinusin e këndit të dhënë dhe nxirrni rrënjën katrore nga rezultati - kjo do të jetë vlera tangjente e këndit, e shprehur me kosinusin e tij: tg(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Ju lutemi vini re se në formulë kosinusi është në emëruesin e thyesës. Pamundësia e pjesëtimit me zero përjashton përdorimin e kësaj shprehjeje për kënde të barabarta me 90°, si dhe ato që ndryshojnë nga kjo vlerë me numra që janë shumëfish të 180° (270°, 450°, -90°, etj.).

Ekziston një mënyrë alternative për të llogaritur tangjenten nga një vlerë e njohur kosinusi. Mund të përdoret nëse nuk ka kufizime në përdorimin e të tjerëve. Për të zbatuar këtë metodë, së pari përcaktoni vlerën e këndit nga një vlerë e njohur e kosinusit - kjo mund të bëhet duke përdorur funksionin e kosinusit të harkut. Pastaj thjesht llogaritni tangjenten për këndin e vlerës që rezulton. Në përgjithësi, ky algoritëm mund të shkruhet si më poshtë: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ekziston gjithashtu një opsion ekzotik duke përdorur përkufizimin e kosinusit dhe tangjentës përmes këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë. Në këtë përkufizim, kosinusi korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur me këndin në shqyrtim me gjatësinë e hipotenuzës. Duke ditur vlerën e kosinusit, mund të zgjidhni gjatësitë përkatëse të këtyre dy anëve. Për shembull, nëse cos(α) = 0,5, atëherë ngjitja mund të merret e barabartë me 10 cm, dhe hipotenuza - 20 cm. Numrat specifikë nuk kanë rëndësi këtu - do të merrni numrat e njëjtë dhe të saktë me çdo vlerë që ka të njëjtat. Pastaj, duke përdorur teoremën e Pitagorës, përcaktoni gjatësinë e anës që mungon - këmbën e kundërt. Do të jetë e barabartë me rrënjën katrore të diferencës ndërmjet gjatësive të hipotenuzës në katror dhe këmbës së njohur: √(20²-10²)=√300. Sipas përkufizimit, tangjentja korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbëve të kundërta dhe ngjitur (√300/10) - llogarisni atë dhe merrni vlerën tangjente të gjetur duke përdorur përkufizimin klasik të kosinusit.

Burimet:

• kosinusi përmes formulës tangjente

Një nga funksionet trigonometrike, më së shpeshti i shënuar me shkronjat tg, megjithëse përdoret gjithashtu tan. Mënyra më e lehtë për të paraqitur tangjenten është si një raport sinus këndi te kosinusi i tij. Ky është një funksion periodik i rastësishëm dhe jo i vazhdueshëm, çdo cikël i të cilit është i barabartë me numrin Pi, dhe pika e thyerjes korrespondon me gjysmën e këtij numri.