Cili është emëruesi më i ulët i përbashkët. Gjetja e emëruesit të përbashkët të thyesave algjebrike: algoritmi i veprimeve

Shumica e veprimeve me thyesa algjebrike, si mbledhja dhe zbritja, kërkojnë fillimisht konvertimin e këtyre thyesave në emërues të njëjtë. Emërues të tillë shpesh quhen edhe "emërues të përbashkët". Në këtë temë do të shikojmë përkufizimin e konceptit të "emëruesit të përbashkët" thyesat algjebrike" dhe "emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrike (LCD)", do të shqyrtojmë algoritmin për gjetjen e emëruesit të përbashkët pikë për pikë dhe do të zgjidhim disa probleme në këtë temë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike

Nëse flasim për thyesat e zakonshme, atëherë emëruesi i përbashkët është numri që pjesëtohet me cilindo nga emëruesit e thyesave origjinale. Për fraksionet e zakonshme 1 2 Dhe 5 9 numri 36 mund të jetë një emërues i përbashkët, pasi ndahet me 2 dhe 9 pa mbetje.

Emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike përcaktohet në mënyrë të ngjashme, në vend të numrave përdoren vetëm polinomet, pasi ata janë numëruesit dhe emëruesit e thyesës algjebrike.

Përkufizimi 1

Emëruesi i përbashkët i një thyese algjebrikeështë një polinom që pjesëtohet me emëruesin e çdo thyese.

Për shkak të veçorive të thyesave algjebrike, të cilat do të diskutohen më poshtë, ne shpesh do të merremi me emërues të përbashkët të përfaqësuar si prodhim dhe jo si polinom standard.

Shembulli 1

Polinom i shkruar si produkt 3 x 2 (x + 1), i përgjigjet polinomit pamje standarde 3 x 3 + 3 x 2. Ky polinom mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike 2 x, - 3 x y x 2 dhe y + 3 x + 1, për faktin se është i pjesëtueshëm me x, në x 2 dhe me radhë x+1. Informacioni mbi pjesëtueshmërinë e polinomeve është i disponueshëm në temën përkatëse të burimit tonë.

Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD)

Për thyesat e dhëna algjebrike, numri i emëruesve të përbashkët mund të jetë grup i pafund.

Shembulli 2

Le të marrim si shembull thyesat 1 2 x dhe x + 1 x 2 + 3. Emëruesi i përbashkët i tyre është 2 x (x 2 + 3), si dhe − 2 x (x 2 + 3), si dhe x (x 2 + 3), si dhe 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), si dhe − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, etj.

Kur zgjidhni probleme, mund ta lehtësoni punën tuaj duke përdorur një emërues të përbashkët, i cili ka formën më të thjeshtë midis të gjithë grupit të emëruesve. Ky emërues shpesh përmendet si emëruesi më i ulët i përbashkët.

Përkufizimi 2

Emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave algjebrikeështë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike, i cili ka formën më të thjeshtë.

Nga rruga, termi "emëruesi më i ulët i përbashkët" nuk pranohet përgjithësisht, kështu që është më mirë të kufizohemi në termin "emëruesi i përbashkët". Dhe ja pse.

Më herët ne e përqendroëm vëmendjen tuaj në frazën "emëruesi i llojit më të thjeshtë". Kuptimi kryesor i kësaj fraze është si vijon: emëruesi i formës më të thjeshtë duhet të ndahet pa mbetje me ndonjë emërues tjetër të përbashkët të të dhënave në kushtin e problemit të thyesave algjebrike. Në këtë rast, në produktin, i cili është emëruesi i përbashkët i thyesave, mund të përdoren koeficientë të ndryshëm numerikë.

Shembulli 3

Le të marrim thyesat 1 2 · x dhe x + 1 x 2 + 3 . Ne kemi zbuluar tashmë se do të jetë më e lehtë për ne të punojmë me një emërues të përbashkët të formës 2 · x · (x 2 + 3). Gjithashtu, emëruesi i përbashkët për këto dy thyesa mund të jetë x (x 2 + 3), i cili nuk përmban një koeficient numerik. Pyetja është se cili nga këta dy emërues të përbashkët konsiderohet si emëruesi më i vogël i përbashkët i thyesave. Nuk ka asnjë përgjigje të caktuar, prandaj është më e saktë të flasim thjesht për emëruesin e përbashkët dhe të punojmë me opsionin me të cilin do të jetë më i përshtatshëm për të punuar. Pra, ne mund të përdorim emërues të tillë të përbashkët si x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) ose − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 që kanë më shumë pamje komplekse, por mund të jetë më e vështirë për të ndërmarrë veprime me ta.

Gjetja e emëruesit të përbashkët të thyesave algjebrike: algoritmi i veprimeve

Supozoni se kemi disa thyesa algjebrike për të cilat duhet të gjejmë një emërues të përbashkët. Për të zgjidhur këtë problem mund të përdorim algoritmin e mëposhtëm të veprimeve. Së pari duhet të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Më pas ne hartojmë një vepër në të cilën përfshijmë në mënyrë sekuenciale:

• të gjithë faktorët nga emëruesi i thyesës së parë së bashku me fuqitë;
• të gjithë faktorët e pranishëm në emëruesin e thyesës së dytë, por që nuk janë në prodhimin e shkruar ose shkalla e tyre është e pamjaftueshme;
• të gjithë faktorët që mungojnë nga emëruesi i thyesës së tretë, e kështu me radhë.

Produkti që rezulton do të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave algjebrike.

Si faktorë të prodhimit, ne mund të marrim të gjithë emëruesit e thyesave të dhëna në deklaratën e problemit. Megjithatë, shumëzuesi që do të marrim në fund do të jetë larg NCD në kuptim dhe përdorimi i tij do të jetë irracional.

Shembulli 4

Përcaktoni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 x 2 y, 5 x + 1 dhe y - 3 x 5 y.

Zgjidhje

NË në këtë rast nuk kemi nevojë të faktorizojmë emëruesit e thyesave origjinale. Prandaj, do të fillojmë të zbatojmë algoritmin duke kompozuar veprën.

Nga emëruesi i thyesës së parë marrim shumëzuesin x 2 v, nga emëruesi i thyesës së dytë shumëzuesi x+1. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1).

Emëruesi i thyesës së tretë mund të na japë një shumëzues x 5 v, megjithatë, produkti që përpiluam më parë tashmë ka faktorë x 2 Dhe y. Prandaj, ne shtojmë më shumë x 5 − 2 = x 3. Ne marrim produktin x 2 y (x + 1) x 3, e cila mund të reduktohet në formë x 5 y (x + 1). Kjo do të jetë NOZ-ja jonë e thyesave algjebrike.

Përgjigje: x 5 · y · (x + 1) .

Tani le të shohim shembuj të problemeve ku emëruesit e thyesave algjebrike përmbajnë faktorë numerikë me numër të plotë. Në raste të tilla, ne ndjekim edhe algoritmin, pasi i kemi zbërthyer më parë faktorët numerikë të plotë në faktorët kryesorë.

Shembulli 5

Gjeni emëruesin e përbashkët të thyesave 1 12 x dhe 1 90 x 2.

Zgjidhje

Duke i ndarë numrat në emëruesit e thyesave në faktorë të thjeshtë, marrim 1 2 2 3 x dhe 1 2 3 2 5 x 2. Tani mund të kalojmë në përpilimin e një emëruesi të përbashkët. Për ta bërë këtë, nga emëruesi i fraksionit të parë marrim produktin 2 2 3 x dhe shtojini faktorët 3, 5 dhe x nga emëruesi i thyesës së dytë. marrim 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ky është emëruesi ynë i përbashkët.

Përgjigje: 180 x 2.

Nëse shikoni me vëmendje rezultatet e dy shembujve të analizuar, do të vini re se emëruesit e përbashkët të thyesave përmbajnë të gjithë faktorët e pranishëm në zgjerimet e emëruesve, dhe nëse një faktor i caktuar është i pranishëm në disa emërues, atëherë merret me eksponentin më të madh në dispozicion. Dhe nëse emëruesit kanë koeficientë të plotë, atëherë emëruesi i përbashkët përmban një faktor numerik të barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre koeficientëve numerik.

Shembulli 6

Emëruesit e të dy thyesave algjebrike 1 12 x dhe 1 90 x 2 kanë një faktor x. Në rastin e dytë, faktori x është në katror. Për të krijuar një emërues të përbashkët, duhet të marrim parasysh këtë faktor në masën më të madhe, d.m.th. x 2. Nuk ka shumëzues të tjerë me variabla. Koeficientët numerikë të plotë të thyesave origjinale 12 Dhe 90 , dhe shumëfishi i tyre më i vogël i përbashkët është 180 . Rezulton se emëruesi i përbashkët i dëshiruar ka formën 180 x 2.

Tani mund të shkruajmë një algoritëm tjetër për gjetjen e faktorit të përbashkët të thyesave algjebrike. Për këtë ne:

• faktorizoni emëruesit e të gjitha thyesave;
• ne hartojmë produktin e të gjithë faktorëve të shkronjave (nëse ka një faktor në disa zgjerime, marrim opsionin me treguesi më i lartë gradë);
• produktit që rezulton i shtojmë LCM-në e koeficientëve numerikë të zgjerimeve.

Algoritmet e dhëna janë ekuivalente, kështu që secili prej tyre mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve. Është e rëndësishme t'i kushtoni vëmendje detajeve.

Ka raste kur faktorët e përbashkët në emëruesit e thyesave mund të jenë të padukshëm pas koeficientëve numerikë. Këtu këshillohet që së pari të vendosen koeficientët numerikë në fuqi më të larta të variablave jashtë kllapave në secilin prej faktorëve të pranishëm në emërues.

Shembulli 7

Çfarë emëruesi të përbashkët kanë thyesat 3 5 - x dhe 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Zgjidhje

Në rastin e parë, minus një duhet të hiqet nga kllapat. Ne marrim 3 - x - 5 . Ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me - 1 për të hequr qafe minusin në emërues: - 3 x - 5.

Në rastin e dytë, i vendosim të dy jashtë kllapave. Kjo na lejon të marrim thyesën 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Është e qartë se emëruesi i përbashkët i këtyre thyesave algjebrike - 3 x - 5 dhe 5 - x · y 2 2 · x - 5 është 2 (x − 5).

Përgjigje:2 (x − 5).

Të dhënat në kushtin e problemit të fraksionit mund të kenë koeficientë thyesorë. Në këto raste, së pari duhet të shpëtoni nga koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me një numër të caktuar.

Shembulli 8

Thjeshtoni thyesat algjebrike 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 dhe më pas përcaktoni emëruesin e përbashkët të tyre.

Zgjidhje

Le të heqim qafe koeficientët thyesorë duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin në rastin e parë me 14, në rastin e dytë me 3. Ne marrim:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dhe - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Pas transformimeve, bëhet e qartë se emëruesi i përbashkët është 2 (x 2 + 2).

Përgjigje: 2 (x 2 + 2).

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Përmbajtja:

Për të mbledhur ose zbritur thyesa me emërues të ndryshëm(numrat poshtë prerë) së pari duhet të gjeni emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët (LCD). Ky numër do të jetë shumëfishi më i vogël që shfaqet në listën e shumëfishave të secilit emërues, domethënë një numër që është i pjesëtueshëm në mënyrë të barabartë me secilin emërues. Ju gjithashtu mund të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të dy ose më shumë emëruesve. Gjithsesi ne po flasim për rreth numrave të plotë, metodat për gjetjen e të cilave janë shumë të ngjashme. Pasi të keni përcaktuar NOS, mund t'i reduktoni fraksionet në emërues i përbashkët, e cila nga ana tjetër do t'ju lejojë t'i shtoni dhe zbritni ato.

Hapat

1 Listimi i shumëfishave

1. 1 Listoni shumëfishat e secilit emërues. Bëni një listë të shumëfishave të secilit emërues në ekuacion. Çdo listë duhet të përbëhet nga prodhimi i emëruesit me 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë.
   • Shembull: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • Shumëfisha nga 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; e kështu me radhë.
   • Shumëfisha nga 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; e kështu me radhë.
   • Shumëfisha nga 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; e kështu me radhë.
2. 2 Përcaktoni shumëfishin më të vogël të përbashkët. Kaloni nëpër secilën listë dhe vini re çdo shumëfish që është i përbashkët për të gjithë emëruesit. Pas identifikimit të shumëfishave të përbashkët, përcaktoni emëruesin më të ulët.
   • Vini re se nëse nuk gjendet një emërues i përbashkët, mund t'ju duhet të vazhdoni të shkruani shumëfisha derisa të shfaqet një shumëfish i përbashkët.
   • Është më mirë (dhe më e lehtë) të përdoret kjo metodë kur emëruesit përmbajnë numra të vegjël.
   • Në shembullin tonë, shumëfishi i përbashkët i të gjithë emëruesve është numri 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
   • NOZ = 30
3. 3 Për t'i sjellë thyesat në një emërues të përbashkët pa ndryshuar kuptimin e tyre, shumëzojeni çdo numërues (numrin mbi vijën e thyesës) me një numër të barabartë me herësin e NZ të pjesëtuar me emëruesin përkatës.
   • Shembull: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
   • Ekuacioni i ri: 15/30 + 10/30 + 6/30
4. 4 Zgjidheni ekuacionin që rezulton. Pas gjetjes së NOS dhe ndryshimit të thyesave përkatëse, thjesht zgjidhni ekuacionin që rezulton. Mos harroni të thjeshtoni përgjigjen tuaj (nëse është e mundur).
   • Shembull: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 Përdorimi i pjesëtuesit më të madh të përbashkët

1. 1 Listoni pjesëtuesit e secilit emërues. Një pjesëtues është një numër i plotë që ndahet me një të tërë numri i dhënë. Për shembull, pjesëtuesit e numrit 6 janë numrat 6, 3, 2, 1. Pjesëtuesi i çdo numri është 1, sepse çdo numër është i pjesëtueshëm me një.
   • Shembull: 3/8 + 5/12
   • Pjesëtuesit 8: 1, 2, 4 , 8
   • Pjesëtuesit 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2. 2 Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të të dy emëruesve. Pasi të renditni faktorët e secilit emërues, shënoni të gjithë faktorët e përbashkët. Faktori më i madh i përbashkët është faktori më i madh i përbashkët që ju nevojitet për të zgjidhur problemin.
   • Në shembullin tonë, pjesëtuesit e përbashkët për emëruesit 8 dhe 12 janë numrat 1, 2, 4.
   • GCD = 4.
3. 3 Shumëzoni emëruesit së bashku. Nëse dëshironi të përdorni GCD për të zgjidhur një problem, fillimisht shumëzoni emëruesit së bashku.
   • Shembull: 8 * 12 = 96
4. 4 Ndani vlerën që rezulton me GCD. Pasi të keni marrë rezultatin e shumëzimit të emërtuesve, ndajeni atë me gcd që keni llogaritur. Numri që rezulton do të jetë emëruesi më i ulët i përbashkët (LCD).
   • Shembull: 96 / 4 = 24
5. 5
   • Shembull: 24 / 8 = 3; 24/12 = 2
   • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24
6. 6 Zgjidheni ekuacionin që rezulton.
   • Shembull: 9/24 + 10/24 = 19/24

3 Faktorizimi i secilit emërues në faktorë të thjeshtë

1. 1 Faktoroni secilin emërues në faktorë të thjeshtë. Zbërtheni çdo emërues në faktorë të thjeshtë, domethënë numra të thjeshtë që, kur shumëzohen, japin emëruesin origjinal. Kujtojmë se faktorët e thjeshtë janë numra që pjesëtohen vetëm me 1 ose me veten e tyre.
   • Shembull: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • Faktorët kryesorë 4: 2 * 2
   • Faktorët kryesorë 5: 5
   • Faktorët kryesorë të 12: 2 * 2 * 3
2. 2 Numëroni sa herë është i pranishëm secili faktor kryesor në secilin emërues. Kjo do të thotë, përcaktoni sa herë çdo faktor kryesor shfaqet në listën e faktorëve të secilit emërues.
   • Shembull: Janë dy 2 për emëruesin 4; zero 2 për 5; dy 2 për 12
   • Ka një zero 3 për 4 dhe 5; një 3 për 12
   • Ka një zero 5 për 4 dhe 12; një 5 për 5
3. 3 Merrni vetëm numrin më të madh të herë për çdo faktor kryesor. Përcaktoni numrin më të madh të herëve që çdo faktor kryesor shfaqet në çdo emërues.
   • Për shembull: numri më i madh i herë për një shumëzues 2 - 2 herë; Për 3 – 1 herë; Për 5 – 1 herë.
4. 4 Shkruani me radhë faktorët kryesorë të gjetur në hapin e mëparshëm. Mos e shkruani numrin e herëve që çdo faktor kryesor shfaqet në të gjithë emëruesit origjinal - bëjeni këtë duke marrë parasysh numri më i madh herë (siç përshkruhet në hapin e mëparshëm).
   • Shembull: 2, 2, 3, 5
5. 5 Shumëzoni këta numra. Rezultati i prodhimit të këtyre numrave është i barabartë me NOS.
   • Shembull: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • NOZ = 60
6. 6 Ndani NOZ me emëruesin origjinal. Për të llogaritur shumëzuesin e kërkuar për të reduktuar thyesat në një emërues të përbashkët, ndani NCD-në që gjetët me emëruesin origjinal. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me këtë faktor. Do të merrni thyesa me një emërues të përbashkët.
   • Shembull: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60
7. 7 Zgjidheni ekuacionin që rezulton. NOZ gjetur; Tani mund të shtoni ose zbritni thyesa. Mos harroni të thjeshtoni përgjigjen tuaj (nëse është e mundur).
   • Shembull: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 Puna me numra të përzier

1. 1 Shndërroni çdo numër të përzier në një thyesë të papërshtatshme. Për ta bërë këtë, shumëzoni të gjithë pjesën numër i përzier në emërues dhe shtoni atë në numërues - ky do të jetë numëruesi thyesë e papërshtatshme. Shndërroje edhe numrin e plotë në thyesë (vetëm vendos 1 në emërues).
   • Shembull: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • Ekuacioni i rishkruar: 8/1 + 9/4 + 2/3
2. 2 Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Llogaritni NVA duke përdorur çdo metodë të përshkruar në seksionet e mëparshme. Për këtë shembull, ne do të përdorim metodën "listing multiples", në të cilën shumëfishat e secilit emërues shkruhen dhe NOC llogaritet në bazë të tyre.
   • Vini re se nuk keni nevojë të listoni shumëfisha për 1 , pasi çdo numër shumëzohet me 1 , e barabartë me vetveten; me fjalë të tjera, çdo numër është një shumëfish i 1 .
   • Shembull: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4 * 4 = 16; etj.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; etj.
   • NOZ = 12
3. 3 Rishkruaje ekuacionin origjinal. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave origjinale me një numër të barabartë me herësin e pjesëtimit të NZ me emëruesin përkatës.
   • Për shembull: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12
4. 4 Zgjidhe ekuacionin. NOZ gjetur; Tani mund të shtoni ose zbritni thyesa. Mos harroni të thjeshtoni përgjigjen tuaj (nëse është e mundur).
   • Shembull: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Çfarë do t'ju duhet

• Laps
• Letër
• Llogaritësi (opsionale)

Kjo metodë ka kuptim nëse shkalla e polinomit nuk është më e ulët se dy. Në këtë rast, faktori i përbashkët mund të jetë jo vetëm një binom i shkallës së parë, por edhe i shkallëve më të larta.

Për të gjetur një të përbashkët faktor termat e polinomit, është e nevojshme të kryhen një sërë transformimesh. Binomi ose monomi më i thjeshtë që mund të hiqet nga kllapat do të jetë një nga rrënjët e polinomit. Natyrisht, në rastin kur polinomi nuk ka anëtar i lirë, do të ketë një të panjohur në shkallën e parë - një polinom i barabartë me 0.

Më e vështirë për të gjetur një faktor të përbashkët është rasti kur termi i lirë nuk është e barabartë me zero. Pastaj zbatohen metodat e përzgjedhjes ose grupimit të thjeshtë. Për shembull, le të jenë racionale të gjitha rrënjët e një polinomi, dhe të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Shkruani të gjithë pjesëtuesit e plotë të termit të lirë. Nëse një polinom ka rrënjët racionale, atëherë ata janë në mesin e tyre. Si rezultat i përzgjedhjes, përftohen rrënjët 2 dhe -3. Kjo do të thotë se faktorët e përbashkët të këtij polinomi do të jenë binomet (y - 2) dhe (y + 3).

Metoda e zakonshme e faktorizimit është një nga komponentët e faktorizimit. Metoda e përshkruar më sipër është e zbatueshme nëse koeficienti i shkallës më të lartë është 1. Nëse nuk është kështu, atëherë fillimisht duhet të kryhen një sërë transformimesh. Për shembull: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Bëni një zëvendësim të formës t = 2³·y³. Për ta bërë këtë, shumëzojini të gjithë koeficientët e polinomit me 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pas zëvendësimit: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Tani, në gjeni faktorin e përbashkët, ne aplikojmë metodën e mësipërme.

Përveç kësaj, metodë efektive Gjetja e një faktori të përbashkët janë elementet e një polinomi. Është veçanërisht e dobishme kur metoda e parë nuk e bën këtë, d.m.th. Polinomi nuk ka rrënjë racionale. Megjithatë, grupimet nuk janë gjithmonë të dukshme. Për shembull: Polinomi y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nuk ka rrënjë të plota.

Përdorni grupimin: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1 Faktori i përbashkët i elementeve të këtij polinomi është (y² - 2).

Shumëzimi dhe pjesëtimi, ashtu si mbledhja dhe zbritja, janë themelore veprimet aritmetike. Pa mësuar të zgjidhë shembuj të shumëzimit dhe pjesëtimit, një person do të hasë shumë vështirësi jo vetëm kur studion degë më komplekse të matematikës, por edhe në punët më të zakonshme të përditshme. Shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura ngushtë, dhe komponentët e panjohur të shembujve dhe problemeve që përfshijnë njërin prej këtyre operacioneve llogariten duke përdorur operacionin tjetër. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të kuptohet qartë se kur zgjidhni shembuj, nuk ka absolutisht asnjë ndryshim se cilat objekte ndani ose shumëzoni.

Do t'ju duhet

• - tabela e shumëzimit;
• - makinë llogaritëse ose fletë letre dhe laps.

Udhëzimet

Shkruani shembullin që ju nevojitet. Etiketoni të panjohurën faktor si x. Një shembull mund të duket kështu: a*x=b. Në vend të faktorit a dhe prodhimit b në shembull, mund të ketë ndonjë ose numra. Mos harroni parimin bazë të shumëzimit: ndryshimi i vendeve të faktorëve nuk e ndryshon produktin. Kaq e panjohur faktor x mund të vendoset absolutisht kudo.

Për të gjetur të panjohurën faktor në një shembull ku ka vetëm dy faktorë, ju vetëm duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo është, kjo është bërë si më poshtë: x=b/a. Nëse e keni të vështirë të operoni me sasi abstrakte, përpiquni ta imagjinoni këtë problem në formën e objekteve konkrete. Ju, keni vetëm mollë dhe sa prej tyre do të hani, por nuk e dini sa mollë do të marrin të gjithë. Për shembull, ju keni 5 anëtarë të familjes dhe ka 15 mollë. Përcaktoni numrin e mollëve të destinuara për secilën si x. Atëherë ekuacioni do të duket kështu: 5(mollë)*x=15(mollë). E panjohur faktor gjendet njëlloj si në ekuacionin me shkronjat, pra ndani 15 mollë në pesë anëtarë të familjes, në fund rezulton se secili prej tyre ka ngrënë nga 3 mollë.

Në të njëjtën mënyrë gjendet e panjohura faktor me numrin e faktorëve. Për shembull, shembulli duket si a*b*c*x*=d. Në teori, gjeni me faktorështë e mundur në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëvonshëm: x=d/a*b*c. Por ekuacioni mund të reduktohet në më shumë pamje e thjeshtë, duke treguar produktin e faktorëve të njohur me një shkronjë tjetër - për shembull, m. Gjeni sa është m duke e shumëzuar numrat a,b dhe c: m=a*b*c. Atëherë i gjithë shembulli mund të paraqitet si m*x=d, dhe sasia e panjohur do të jetë e barabartë me x=d/m.

Nëse dihet faktor dhe prodhimi janë thyesa, shembulli zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si me . Por në këtë rast duhet të mbani mend veprimet. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen. Gjatë pjesëtimit të thyesave, numëruesi i dividentit shumëzohet me emëruesin e pjesëtuesit, dhe emëruesi i dividentit shumëzohet me numëruesin e pjesëtuesit. Kjo do të thotë, në këtë rast shembulli do të duket kështu: a/b*x=c/d. Për të gjetur një sasi të panjohur, duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo është, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Video mbi temën

Ju lutemi vini re

Kur zgjidhen shembuj me thyesa, thyesa e një faktori të njohur thjesht mund të kthehet mbrapsht dhe veprimi të kryhet si shumëzim i thyesave.

Një polinom është shuma e monomëve. Një monom është produkt i disa faktorëve, të cilët janë një numër ose një shkronjë. Diplomë i panjohur është numri i herëve që shumëzohet me vetveten.

Udhëzimet

Ju lutemi jepni nëse nuk është bërë tashmë. Monome të ngjashëm janë monomë të të njëjtit lloj, pra monome me të panjohura të njëjta në të njëjtën shkallë.

Merrni, për shembull, polinomin 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ky polinom ka dy të panjohura - x dhe y.

Lidhni monomë të ngjashëm. Monomet me fuqinë e dytë të y dhe fuqinë e tretë të x do të vijnë në formën y²*x³, dhe monomët me fuqinë e katërt të y do të anulohen. Rezulton y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Merrni atë si kryesore letër e panjohur y. Gjeni shkallën maksimale për y të panjohur. Ky është një monom y²*x³ dhe, në përputhje me rrethanat, shkalla 2.

Nxirrni një përfundim. Diplomë polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² në x është e barabartë me tre, dhe në y është e barabartë me dy.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y nga y. Është e barabartë me shkallën maksimale të y, domethënë një.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y në x. E panjohura x ndodhet, që do të thotë se shkalla e saj do të jetë një fraksion. Meqenëse rrënja është rrënjë katrore, fuqia e x është 1/2.

Nxirrni një përfundim. Për polinom√x+5*y fuqia x është 1/2 dhe fuqia y është 1.

Video mbi temën

Thjeshtimi shprehjet algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve gradat më të larta, diferencimi dhe integrimi. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor për kllapa.

Ky artikull shpjegon si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët Dhe si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët. Së pari jepen përkufizimet e emëruesit të përbashkët të thyesave dhe emëruesit më të vogël të përbashkët dhe tregohet se si të gjendet emëruesi i përbashkët i thyesave. Më poshtë është një rregull për reduktimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe shembuj të zbatimit të këtij rregulli. Si përfundim, shembuj të sjelljes së tre dhe më shumë thyesat në një emërues të përbashkët.

Navigimi i faqes.

Çfarë quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët?

Tani mund të themi se çfarë është të reduktosh thyesat në një emërues të përbashkët. Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët- Ky është shumëzimi i numëruesve dhe emëruesve të thyesave të dhëna me faktorë të tillë shtesë, saqë rezultati është thyesa me emërues të njëjtë.

Emëruesi i përbashkët, përkufizimi, shembuj

Tani është koha për të përcaktuar emëruesin e përbashkët të thyesave.

Me fjalë të tjera, emëruesi i përbashkët i një grupi të caktuar thyesash të zakonshme është cilido numri natyror, e cila është e pjesëtueshme me të gjithë emëruesit e këtyre thyesave.

Nga përkufizimi i dhënë rrjedh se një grup i caktuar thyesash ka pafundësisht shumë emërues të përbashkët, pasi ekziston një numër i pafundëm shumëfishësh të përbashkët të të gjithë emëruesve të grupit origjinal të thyesave.

Përcaktimi i emëruesit të përbashkët të thyesave ju lejon të gjeni emëruesit e përbashkët të thyesave të dhëna. Le të, për shembull, duke pasur parasysh thyesat 1/4 dhe 5/6, emëruesit e tyre janë përkatësisht 4 dhe 6. Shumëfisha të përbashkët pozitivë të numrave 4 dhe 6 janë numrat 12, 24, 36, 48, ... Secili nga këta numra është emërues i përbashkët i thyesave 1/4 dhe 5/6.

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e shembullit të mëposhtëm.

Shembull.

A mund të reduktohen thyesat 2/3, 23/6 dhe 7/12 në një emërues të përbashkët 150?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur pyetjes, duhet të zbulojmë nëse numri 150 është një shumëfish i përbashkët i emëruesve 3, 6 dhe 12. Për ta bërë këtë, le të kontrollojmë nëse 150 është i pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave (nëse është e nevojshme, shihni rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë, si dhe rregullat dhe shembujt e pjesëtimit të numrave natyrorë me një mbetje): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (6 të mbetura) .

Pra, 150 nuk është i plotpjesëtueshëm me 12, prandaj 150 nuk është shumëfish i përbashkët i 3, 6 dhe 12. Prandaj, numri 150 nuk mund të jetë emëruesi i përbashkët i thyesave origjinale.

Përgjigje:

është e ndaluar.

Emëruesi më i ulët i përbashkët, si ta gjejmë atë?

Në bashkësinë e numrave që janë emërues të përbashkët të thyesave të dhëna, ekziston një numër natyror më i vogël, i cili quhet emëruesi më i vogël i përbashkët. Le të formulojmë përkufizimin e emëruesit më të ulët të përbashkët të këtyre thyesave.

Përkufizimi.

Emëruesi më i ulët i përbashkët- Kjo numri më i vogël, nga të gjithë emëruesit e përbashkët të këtyre thyesave.

Mbetet të merremi me pyetjen se si të gjejmë pjesëtuesin më të vogël të përbashkët.

Pasi është pjesëtuesi i përbashkët më pak pozitiv këtë grup numrat, atëherë LCM e emëruesve të këtyre thyesave është emëruesi më i vogël i përbashkët i këtyre thyesave.

Kështu, gjetja e emëruesit më të vogël të përbashkët të thyesave zbret në emëruesit e atyre thyesave. Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave 3/10 dhe 277/28.

Zgjidhje.

Emëruesit e këtyre thyesave janë 10 dhe 28. Emëruesi i përbashkët më i ulët i dëshiruar gjendet si LCM e numrave 10 dhe 28. Në rastin tonë është e lehtë: pasi 10=2·5, dhe 28=2·2·7, atëherë LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Përgjigje:

140 .

Si të reduktohen thyesat në një emërues të përbashkët? Rregulla, shembuj, zgjidhje

Thyesat e zakonshme zakonisht rezultojnë në një emërues të përbashkët më të ulët. Tani do të shkruajmë një rregull që shpjegon se si t'i reduktojmë thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Rregulla për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët përbëhet nga tre hapa:

• Së pari, gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesave.
• Së dyti, një faktor shtesë llogaritet për çdo thyesë duke pjesëtuar emëruesin e përbashkët më të ulët me emëruesin e secilës thyesë.
• Së treti, numëruesi dhe emëruesi i secilës thyesë shumëzohen me faktorin shtesë të saj.

Le të zbatojmë rregullin e deklaruar për të zgjidhur shembullin e mëposhtëm.

Shembull.

Zvogëloni thyesat 5/14 dhe 7/18 në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët.

Zgjidhje.

Le të kryejmë të gjitha hapat e algoritmit për reduktimin e thyesave në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Së pari gjejmë emëruesin më të vogël të përbashkët, i cili është i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 14 dhe 18. Meqenëse 14=2·7 dhe 18=2·3·3, atëherë LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Tani ne llogarisim faktorë shtesë me ndihmën e të cilëve thyesat 5/14 dhe 7/18 do të reduktohen në emëruesin 126. Për thyesën 5/14 faktori shtesë është 126:14=9, kurse për thyesën 7/18 faktori shtesë është 126:18=7.

Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave 5/14 dhe 7/18 me faktorë shtesë përkatësisht 9 dhe 7. kemi dhe .

Pra, reduktimi i thyesave 5/14 dhe 7/18 në emëruesin më të ulët të përbashkët është i plotë. Fraksionet që rezultuan ishin 45/126 dhe 49/126.

Në këtë mësim do të shikojmë zvogëlimin e thyesave në një emërues të përbashkët dhe zgjidhjen e problemeve në këtë temë. Le të përcaktojmë konceptin e një emëruesi të përbashkët dhe një faktor shtesë, kujtojmë të ndërsjellë numrat e thjeshtë. Le të përcaktojmë konceptin e emëruesit më të ulët të përbashkët (LCD) dhe të zgjidhim një sërë problemesh për ta gjetur atë.

Tema: Mbledhja dhe zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Mësimi: Reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët

Përsëritje. Vetia kryesore e një thyese.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër natyror, fitohet një thyesë e barabartë.

Për shembull, numëruesi dhe emëruesi i një thyese mund të pjesëtohet me 2. Marrim thyesën. Ky operacion quhet reduktim fraksioni. Ju gjithashtu mund të bëni konvertim i anasjelltë, duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 2. Në këtë rast, themi se e kemi sjellë thyesën në një emërues të ri. Numri 2 quhet një faktor shtesë.

konkluzioni. Një thyesë mund të reduktohet në çdo emërues që është shumëfish i emëruesit të thyesës së dhënë. Për të sjellë një thyesë në një emërues të ri, numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me një faktor shtesë.

1. Zvogëloni thyesën në emëruesin 35.

Numri 35 është shumëfish i 7-së, domethënë 35 pjesëtohet me 7 pa mbetje. Kjo do të thotë se ky transformim është i mundur. Le të gjejmë një faktor shtesë. Për ta bërë këtë, ndani 35 me 7. Marrim 5. Shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës origjinale me 5.

2. Zvogëloni thyesën në emëruesin 18.

Le të gjejmë një faktor shtesë. Për ta bërë këtë, le të ndajmë emërues i ri tek origjinali. Marrim 3. Shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me 3.

3. Zvogëloni thyesën në një emërues 60.

Pjesëtimi 60 me 15 jep një faktor shtesë. Është e barabartë me 4. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 4.

4. Zvogëloni thyesën në emëruesin 24

Në raste të thjeshta, reduktimi në një emërues të ri kryhet mendërisht. Është e zakonshme të tregohet faktori shtesë pas një kllapa paksa djathtas dhe mbi fraksionin origjinal.

Një thyesë mund të reduktohet në një emërues 15 dhe një thyesë mund të reduktohet në një emërues 15. Thyesat gjithashtu kanë një emërues të përbashkët 15.

Emëruesi i përbashkët i thyesave mund të jetë çdo shumëfish i përbashkët i emëruesve të tyre. Për thjeshtësi, thyesat reduktohen në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët. Është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave të dhëna.

Shembull. Zvogëloni në emëruesin më të ulët të përbashkët të thyesës dhe .

Së pari, le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të këtyre thyesave. Ky numër është 12. Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë dhe të dytë. Për ta bërë këtë, ndani 12 me 4 dhe 6. Tre është një faktor shtesë për fraksionin e parë dhe dy është për të dytën. Le t'i sjellim thyesat në emëruesin 12.

Thyesat i sollëm në një emërues të përbashkët, domethënë gjetëm thyesa të barabarta që kanë të njëjtin emërues.

Rregulli. Për të reduktuar thyesat në emëruesin e tyre më të ulët të përbashkët, duhet

Së pari, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të këtyre thyesave, ai do të jetë emëruesi më i vogël i përbashkët i tyre;

Së dyti, ndani emëruesin e përbashkët më të ulët me emëruesit e këtyre thyesave, d.m.th. gjeni një faktor shtesë për secilën thyesë.

Së treti, shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë me faktorin e saj shtesë.

a) Zvogëloni thyesat dhe në një emërues të përbashkët.

Emëruesi më i ulët i përbashkët është 12. Shumëzues shtesë për thyesën e parë - 4, për të dytën - 3. I sjellim thyesat në emëruesin 24.

b) Zvogëloni thyesat dhe në një emërues të përbashkët.

Emëruesi më i ulët i përbashkët është 45. Pjestimi i 45 me 9 me 15 jep respektivisht 5 dhe 3 I reduktojmë thyesat në emëruesin 45.

c) Zvogëloni thyesat dhe në një emërues të përbashkët.

Emëruesi i përbashkët është 24. Faktorët shtesë janë përkatësisht 2 dhe 3.

Ndonjëherë mund të jetë e vështirë të gjesh verbalisht shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të thyesave të dhëna. Pastaj emëruesi i përbashkët dhe faktorët shtesë gjenden duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.

Zvogëloni thyesat dhe në një emërues të përbashkët.

Le të faktorizojmë numrat 60 dhe 168 në faktorë të thjeshtë. Le të shkruajmë zgjerimin e numrit 60 dhe të shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i dytë. Le të shumëzojmë 60 me 14 dhe të marrim një emërues të përbashkët 840. Faktori shtesë për thyesën e parë është 14. Faktori shtesë për thyesën e dytë është 5. Le t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët 840.

Referencat

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dhe të tjerët Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikë klasa e 6-të. - Gjimnazi, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Pas faqeve të një teksti matematike. - Iluminizmi, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Detyrat për lëndën e matematikës për klasat 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Manual për nxënësit e klasës së 6-të shkollë me korrespondencë MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. dhe të tjera Matematika: Libër mësuesi-bashkëbisedues për klasat 5-6 shkolla e mesme. Biblioteka e mësuesit të matematikës. - Iluminizmi, 1989.

Ju mund të shkarkoni librat e specifikuar në pikën 1.2. të këtij mësimi.

Detyrë shtëpie

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. dhe të tjerët Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (lidhja shih 1.2)

Detyrë shtëpie: nr 297, nr 298, nr 300.

Detyra të tjera: nr 270, nr 290

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve