Niveli i hyrjes

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Pse nevojiten diploma? Ku do t'ju duhen? Pse duhet të merrni kohë për t'i studiuar ato?

Për të mësuar gjithçka rreth diplomave, për çfarë shërbejnë, si të përdorni njohuritë tuaja në jetën e përditshme lexoni këtë artikull.

Dhe, sigurisht, njohja e diplomave do t'ju sjellë më afër përfundim me sukses OGE ose Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe pranimi në universitetin e ëndrrave tuaja.

Le të shkojmë ... (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm! Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd + R (në Mac).

NIVELI HYRËS

Ngritja në një pushtet është e njëjtë operacion matematik si mbledhja, zbritja, shumëzimi ose pjesëtimi.

Tani do të shpjegoj gjithçka gjuha njerëzore shumë shembuj të thjeshtë. Kini kujdes. Shembujt janë elementarë, por shpjegojnë gjëra të rëndësishme.

Le të fillojmë me shtimin.

Këtu nuk ka asgjë për të shpjeguar. Ju tashmë dini gjithçka: ne jemi tetë. Të gjithë kanë dy shishe kola. Sa kola ka? Kjo është e drejtë - 16 shishe.

Tani shumëzimi.

I njëjti shembull me cola mund të shkruhet ndryshe: . Matematikanët janë njerëz dinakë dhe dembelë. Ata fillimisht vërejnë disa modele dhe më pas gjejnë një mënyrë për t'i "numëruar" më shpejt. Në rastin tonë, ata vunë re se secili nga tetë personat kishte të njëjtin numër shishe kola dhe dolën me një teknikë të quajtur shumëzim. Pajtohem, konsiderohet më e lehtë dhe më e shpejtë se.

Pra, për të numëruar më shpejt, më lehtë dhe pa gabime, thjesht duhet të mbani mend tabela e shumëzimit. Sigurisht, çdo gjë mund ta bësh më ngadalë, më të vështirë dhe me gabime! Por…

Këtu është tabela e shumëzimit. Përsëriteni.

Dhe një tjetër, më e bukur:

Çfarë truke të tjera të zgjuara numërimi kanë gjetur matematikanët dembelë? E drejta - ngritja e një numri në një fuqi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Nëse ju duhet të shumëzoni një numër me vete pesë herë, atëherë matematikanët thonë se ju duhet ta ngrini atë numër në fuqinë e pestë. Për shembull,. Matematikanët kujtojnë se dy deri në fuqinë e pestë është... Dhe ata zgjidhin probleme të tilla në kokën e tyre - më shpejt, më lehtë dhe pa gabime.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është mbani mend çfarë është theksuar me ngjyra në tabelën e fuqive të numrave. Më besoni, kjo do ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë.

Meqë ra fjala, pse quhet shkalla e dytë? katrore numrat, dhe e treta - kubik? Çfarë do të thotë? Shumë pyetje e mirë. Tani do të keni si katrorë ashtu edhe kube.

Shembulli numër 1 i jetës reale

Le të fillojmë me katrorin ose fuqinë e dytë të numrit.

Imagjinoni pishinë katrore metër për metër në madhësi. Pishina është në shtëpinë tuaj. Është vapë dhe unë me të vërtetë dua të notoj. Por... pishina nuk ka fund! Ju duhet të mbuloni pjesën e poshtme të pishinës me pllaka. Sa pllaka ju duhen? Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini zonën e poshtme të pishinës.

Ju thjesht mund të llogaritni duke treguar gishtin se fundi i pishinës përbëhet nga kube metër pas metër. Nëse keni pllaka një metër me një metër, do t'ju duhen copa. Është e lehtë... Por ku keni parë pllaka të tilla? Tjegull ka shumë të ngjarë të jetë cm për cm Dhe pastaj do të torturoheni duke "numëruar me gisht". Atëherë ju duhet të shumëzoni. Pra, në njërën anë të pjesës së poshtme të pishinës do të vendosim pllaka (copa) dhe në anën tjetër, gjithashtu, pllaka. Shumëzoni me dhe merrni pllaka ().

A e keni vënë re që për të përcaktuar sipërfaqen e fundit të pishinës kemi shumëzuar të njëjtin numër në vetvete? Çfarë do të thotë? Duke qenë se po shumëzojmë të njëjtin numër, mund të përdorim teknikën e "përhapjes". (Sigurisht, kur keni vetëm dy numra, duhet t'i shumëzoni ose t'i ngrini në një fuqi. Por nëse keni shumë prej tyre, atëherë ngritja e tyre në një fuqi është shumë më e lehtë dhe gjithashtu ka më pak gabime në llogaritje Për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kjo është shumë e rëndësishme).
Pra, tridhjetë në fuqinë e dytë do të jetë (). Ose mund të themi se do të jetë tridhjetë në katror. Me fjalë të tjera, fuqia e dytë e një numri mund të përfaqësohet gjithmonë si një katror. Dhe anasjelltas, nëse shihni një katror, ​​ai është GJITHMONË fuqia e dytë e një numri. Një katror është një imazh i fuqisë së dytë të një numri.

Shembulli i jetës reale numër 2

Këtu është një detyrë për ju: numëroni sa katrorë ka në tabelën e shahut duke përdorur katrorin e numrit... Në njërën anë të qelizave dhe në anën tjetër gjithashtu. Për të llogaritur numrin e tyre, ju duhet të shumëzoni tetë me tetë ose... nëse vëreni se një tabelë shahu është një katror me një anë, atëherë mund të vendosni tetë në katrorë. Do të merrni qeliza. () Pra?

Shembulli numër 3 i jetës reale

Tani kubi ose fuqia e tretë e një numri. E njëjta pishinë. Por tani ju duhet të zbuloni se sa ujë do të duhet të derdhet në këtë pishinë. Ju duhet të llogaritni volumin. (Vëllimet dhe lëngjet, meqë ra fjala, maten në metra kub. E papritur, apo jo?) Vizatoni një pishinë: një fund që mat një metër dhe një thellësi metër dhe përpiquni të numëroni sa kube që matin një metër me një metër do të futen në pishinën tuaj.

Thjesht drejto gishtin dhe numëro! Një, dy, tre, katër...njëzet e dy, njëzet e tre...Sa keni marrë? Nuk ka humbur? A është e vështirë të numërosh me gisht? Kjo është ajo! Merrni një shembull nga matematikanët. Ata janë dembelë, kështu që vunë re se për të llogaritur vëllimin e pishinës, duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj me njëra-tjetrën. Në rastin tonë, vëllimi i pishinës do të jetë i barabartë me kube... Më e lehtë, apo jo?

Tani imagjinoni sa dembelë dhe dinak janë matematikanët nëse e thjeshtojnë edhe këtë. Ne reduktuam gjithçka në një veprim. Ata vunë re se gjatësia, gjerësia dhe lartësia janë të barabarta dhe se i njëjti numër shumëzohet në vetvete... Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që ju mund të përfitoni nga diploma. Pra, atë që keni numëruar dikur me gishtin tuaj, ata e bëjnë me një veprim: tre kubikë janë të barabartë. Është shkruar kështu: .

Gjithçka që mbetet është mbani mend tabelën e shkallëve. Nëse, sigurisht, nuk jeni aq dembel dhe dinak sa matematikanët. Nëse ju pëlqen të punoni shumë dhe të bëni gabime, mund të vazhdoni të numëroni me gisht.

Epo, për t'ju bindur përfundimisht se diplomat u shpikën nga dorëheqës dhe dinak për të zgjidhur të tyren problemet e jetës, dhe për të mos ju krijuar probleme, ja disa shembuj të tjerë nga jeta.

Shembulli numër 4 i jetës reale

Ju keni një milion rubla. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që bëni, fitoni një milion tjetër. Domethënë, çdo milion që keni dyfishohet në fillim të çdo viti. Sa para do të keni në vite? Nëse jeni ulur tani dhe "po numëroni me gisht", do të thotë se jeni shumë njeri punëtor dhe.. budallaqe. Por ka shumë të ngjarë që ju të jepni një përgjigje brenda disa sekondash, sepse jeni të zgjuar! Pra, në vitin e parë - dy shumëzuar me dy... në vitin e dytë - çfarë ndodhi, me dy të tjera, në vitin e tretë... Ndal! Keni vënë re se numri shumëzohet me shumë herë. Pra, dy deri në fuqinë e pestë është një milion! Tani imagjinoni se keni një konkurs dhe ai që mund të numërojë më shpejt do t'i marrë këto miliona... Ja vlen të kujtoni fuqitë e numrave, a nuk mendoni?

Shembulli i jetës reale numër 5

Ju keni një milion. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që fitoni, fitoni dy të tjera. E mrekullueshme apo jo? Çdo milion është trefishuar. Sa para do të keni në një vit? Le të numërojmë. Viti i parë - shumëzoni me, pastaj rezultatin me një tjetër ... Tashmë është e mërzitshme, sepse tashmë keni kuptuar gjithçka: tre shumëzohen me herë në vetvete. Pra, fuqia e katërt është e barabartë me një milion. Thjesht duhet të mbani mend se fuqia tre në të katërt është ose.

Tani e dini se duke e ngritur një numër në një fuqi, do ta bëni jetën tuaj shumë më të lehtë. Le të hedhim një vështrim më tej se çfarë mund të bëni me diploma dhe çfarë duhet të dini rreth tyre.

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Pra, së pari, le të përcaktojmë konceptet. A mendoni ju çfarë është një eksponent? Është shumë e thjeshtë - është numri që është "në krye" të fuqisë së numrit. Jo shkencore, por e qartë dhe e lehtë për t'u mbajtur mend...

Epo, në të njëjtën kohë, çfarë një bazë e tillë diplome? Edhe më e thjeshtë - ky është numri që ndodhet më poshtë, në bazë.

Këtu është një vizatim për masë të mirë.

Epo brenda pamje e përgjithshme, për të përgjithësuar dhe mbajtur mend më mirë... Një shkallë me bazë “ ” dhe eksponent “ ” lexohet “deri në shkallë” dhe shkruhet si më poshtë:

Fuqia e numrit c tregues natyror

Me siguri e keni marrë me mend tashmë: sepse eksponenti është një numër natyror. Po, por çfarë është numri natyror? Elementare! Numrat natyrorë janë ata numra që përdoren në numërim kur renditen objektet: një, dy, tre... Kur numërojmë objektet, nuk themi: “minus pesë”, “minus gjashtë”, “minus shtatë”. Ne gjithashtu nuk themi: "një e treta", ose "zero pikë pesë". Këta nuk janë numra natyrorë. Çfarë numrash mendoni se janë këto?

Numrat si "minus pesë", "minus gjashtë", "minus shtatë" i referohen numra të plotë. Në përgjithësi, numrat e plotë përfshijnë të gjithë numrat natyrorë, numrat e kundërt me numrat natyrorë (d.m.th., të marrë me një shenjë minus) dhe numrin. Zero është e lehtë për t'u kuptuar - është kur nuk ka asgjë. Çfarë nënkuptojnë numrat negativë (“minus”)? Por ato u shpikën kryesisht për të treguar borxhet: nëse keni një bilanc në telefonin tuaj në rubla, kjo do të thotë që i keni borxh operatorit rubla.

Të gjitha thyesat janë numrat racionalë. Si lindën, mendoni ju? Shumë e thjeshtë. Disa mijëra vjet më parë, paraardhësit tanë zbuluan se u mungonin numrat natyrorë për matjen e gjatësisë, peshës, sipërfaqes etj. Dhe ata dolën me numrat racionalë... Interesante, apo jo?

Ka edhe numra irracionalë. Cilat janë këto numra? Me pak fjalë, është një thyesë dhjetore e pafundme. Për shembull, nëse perimetri i një rrethi ndahet me diametrin e tij, atëherë marrim numër irracional.

Rezyme:

Le të përcaktojmë konceptin e një shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

1. Çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten:
2. Të kufizosh një numër në katror do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten:
3. Të kubesh një numër do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten tre herë:

Përkufizimi. Ngritni numrin në shkallë natyrore- nënkupton shumëzimin e një numri me vete herë:
.

Vetitë e gradave

Nga kanë ardhur këto prona? Unë do t'ju tregoj tani.

Le të shohim: çfarë është Dhe ?

Sipas përkufizimit:

Sa shumëzues ka gjithsej?

Është shumë e thjeshtë: kemi shtuar shumëzues faktorëve dhe rezultati është shumëzues.

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, domethënë: , që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye!
Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

vetëm për produktin e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

2. kaq fuqia e një numri

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por ju kurrë nuk mund ta bëni këtë në total:

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë?

Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm se cili duhet të jetë eksponenti.

Por cila duhet të jetë baza?

Në kompetencat e tregues natyror baza mund të jetë çdo numër. Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift.

Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ? Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me, funksionon.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

A ia dolët?

Këtu janë përgjigjet: Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv.

Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë!

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: këtu na ndihmon shkalla e barabartë e emëruesit.

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

E tërë ne i quajmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën " ") dhe numrin.

numër i plotë pozitiv, dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, le të pyesim veten: pse është kështu?

Le të shqyrtojmë një shkallë me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte - . Me cilin numër duhet të shumëzoni në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Mjetet.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh se sa shumë e shumëzoni zeron me vetveten, prapë do të merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër me fuqinë zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, sa nga kjo është e vërtetë? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zeron në fuqinë zero. Kjo do të thotë, tani nuk mund të ndajmë jo vetëm me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të vazhdojmë. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë edhe numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një shkallë negative, le të bëjmë si në herën e fundit: shumoj disa numër normal për të njëjtën në shkallë negative:

Nga këtu është e lehtë të shprehësh atë që po kërkon:

Tani le ta zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë një rregull:

Një numër me fuqi negative është reciprociteti i të njëjtit numër me fuqi pozitive. Por në të njëjtën kohë Baza nuk mund të jetë nule:(sepse nuk mund të ndahesh me).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk është e përcaktuar në rasën. Nëse, atëherë.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Një numër jo i barabartë me zero me një fuqi negative është e anasjellta e të njëjtit numër me një fuqi pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për zgjidhje të pavarura:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të jesh i përgatitur për çdo gjë! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjet e tyre nëse nuk mund t'i zgjidhnit dhe do të mësoni t'i përballoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani le të shqyrtojmë numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: çdo gjë që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, dhe.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme", merrni parasysh thyesën:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani le të kujtojmë rregullin rreth "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë me.

Kjo do të thotë, rrënja e fuqisë së th është operacioni i kundërt i ngritjes në një fuqi: .

Rezulton se. Natyrisht kjo rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtojmë numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë duke përdorur rregullin fuqi në fuqi:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnjë!

Mbani mend rregullin: çdo numër i ngritur në madje shkallë- numri është pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren edhe rrënjë nga numrat negativë!

Kjo do të thotë që numra të tillë nuk mund të ngrihen në një fuqi thyesore me një emërues çift, domethënë, shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Një numër mund të përfaqësohet si thyesa të tjera, të reduktueshme, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, por këto janë vetëm dy hyrje të ndryshme të njëjtin numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por nëse e shkruajmë treguesin ndryshe, do të futemi përsëri në telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, ne konsiderojmë vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Pra, nëse:

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Eksponentët racionalë janë shumë të dobishëm për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Epo, tani vjen pjesa më e vështirë. Tani do ta kuptojmë shkalla c tregues irracional .

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim

Në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...numër në fuqinë zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur - prandaj rezultati është vetëm një "numër bosh" i caktuar. , përkatësisht një numër;

...shkallë e plotë negative- është sikur diçka ka ndodhur” procesi i kundërt“, pra numri nuk është shumëzuar në vetvete, por është pjesëtuar.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real.

Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin e zakonshëm për ngritjen e një pushteti në një pushtet:

Tani shikoni treguesin. Nuk ju kujton gjë? Le të kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

Në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. Thyesat në eksponentë i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetoret ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Një shkallë është një shprehje e formës: , ku:

• — bazë e shkallës;
• - eksponent.

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Shkalla me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

Ndërtimi në shkallën zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse nuk mund të ndahesh me).

Edhe një herë për zero: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nëse, atëherë.

Shembuj:

Fuqia me eksponent racional

• - numri natyror;
• - numër i plotë;

Shembuj:

Vetitë e gradave

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

Sipas përkufizimit:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje marrim produktin e mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit është fuqia e një numri me një eksponent, domethënë:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye. Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

Një tjetër shënim i rëndësishëm: ky rregull - vetëm për produkt fuqie!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta rigrupojmë këtë punë si kjo:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por kurrë nuk mund ta bëni këtë në total: !

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë ne kemi diskutuar vetëm se si duhet të jetë tregues gradë. Por cila duhet të jetë baza? Në kompetencat e natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim - .

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues shenja do të ndryshojë. Mund të formulojmë sa vijon rregulla të thjeshta:

1. madje shkallë, - numër pozitive.
2. Numri negativ, i ndërtuar brenda i çuditshëm shkallë, - numër negative.
3. Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
4. Zero në çdo masë e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e kujtojmë këtë, bëhet e qartë se, që do të thotë se baza është më e vogël se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë me njëri-tjetrin, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se të shohim rregullin e fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni shprehjet:

Zgjidhjet :

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve!

Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli 3 mund të zbatohej. Rezulton se është shumë e lehtë: këtu na ndihmon shkalla e barabartë e emëruesit.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani rezulton kështu:

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: Të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Nuk mund ta zëvendësoni me duke ndryshuar vetëm një disavantazh që nuk na pëlqen!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe ta thjeshtojmë atë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja ka gjithsej? herë nga shumëzuesit - çfarë ju kujton kjo? Ky nuk është asgjë më shumë se një përkufizim i një operacioni shumëzimi: Aty kishte vetëm shumëzues. Kjo do të thotë, kjo, sipas përkufizimit, është një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një eksponent irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç numrave racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në fuqinë zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur ende - prandaj rezultati është vetëm një i caktuar “numër bosh”, përkatësisht një numër; një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë - është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë ​​4-dimensionale). Është mjaft e pastër objekt matematikor, të cilin matematikanët e krijuan për të shtrirë konceptin e shkallës në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real. Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim një eksponent irracional? Ne po mundohemi ta heqim qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

1)

2)

3)

Përgjigjet:

1. Le të kujtojmë ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
2. Thyesat i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

Diplomë quhet një shprehje e formës: , ku:

Shkallë me një eksponent numër të plotë

një shkallë, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Fuqia me eksponent racional

shkallë, eksponenti i së cilës janë numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

një shkallë, eksponenti i së cilës është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Vetitë e gradave

Karakteristikat e gradave.

• Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
• Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negative.
• Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
• Zero është e barabartë me çdo fuqi.
• Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI FJALEN...

Si ju pëlqen artikulli? Shkruani më poshtë në komente nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj duke përdorur veçoritë e diplomës.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë në provimet tuaja!

Duke vazhduar bisedën për fuqinë e një numri, është logjike të kuptojmë se si të gjejmë vlerën e fuqisë. Ky proces quhet eksponencë. Në këtë artikull do të studiojmë se si kryhet fuqizimi, ndërsa do të prekim të gjithë eksponentët e mundshëm - natyror, numër të plotë, racional dhe irracional. Dhe sipas traditës, ne do të shqyrtojmë në detaje zgjidhjet e shembujve të rritjes së numrave në fuqi të ndryshme.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë "përhapje"?

Le të fillojmë duke shpjeguar atë që quhet fuqizim. Këtu është përkufizimi përkatës.

Përkufizimi.

Eksponentimi- kjo është gjetja e vlerës së fuqisë së një numri.

Kështu, gjetja e vlerës së fuqisë së një numri a me eksponent r dhe ngritja e numrit a në fuqinë r janë e njëjta gjë. Për shembull, nëse detyra është "llogaritni vlerën e fuqisë (0.5) 5", atëherë ajo mund të riformulohet si më poshtë: "Ngrini numrin 0.5 në fuqinë 5".

Tani mund të shkoni drejtpërdrejt te rregullat me të cilat kryhet fuqizimi.

Ngritja e një numri në një fuqi natyrore

Në praktikë, barazia e bazuar në zakonisht zbatohet në formën . Kjo do të thotë, kur një numër a ngrihet në një fuqi thyesore m/n, së pari merret rrënja e n-të e numrit a, pas së cilës rezultati që rezulton ngrihet në një fuqi numër të plotë m.

Le të shohim zgjidhjet e shembujve të ngritjes në një fuqi thyesore.

Shembull.

Llogaritni vlerën e gradës.

Zgjidhje.

Ne do të tregojmë dy zgjidhje.

Mënyra e parë. Sipas përkufizimit të një shkalle me një eksponent thyesor. Ne llogarisim vlerën e shkallës nën shenjën e rrënjës dhe më pas nxjerrim rrënjën e kubit: .

Mënyra e dytë. Nga përkufizimi i një shkalle me një eksponent thyesor dhe bazuar në vetitë e rrënjëve, barazitë e mëposhtme janë të vërteta: . Tani nxjerrim rrënjën , më në fund, e ngremë atë në një fuqi numër të plotë .

Natyrisht, rezultatet e marra të ngritjes në një fuqi fraksionale përkojnë.

Përgjigje:

Vini re se një eksponent thyesor mund të shkruhet si një thyesë dhjetore ose një numër i përzier, në këto raste ai duhet të zëvendësohet me thyesën e zakonshme përkatëse dhe më pas të rritet në një fuqi.

Shembull.

Njehsoni (44,89) 2,5.

Zgjidhje.

Le të shkruajmë eksponentin në formën e një fraksioni të zakonshëm (nëse është e nevojshme, shihni artikullin): . Tani kryejmë ngritjen në një fuqi të pjesshme:

Përgjigje:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Duhet thënë gjithashtu se ngritja e numrave në fuqi racionale është një proces mjaft i mundimshëm (veçanërisht kur numëruesi dhe emëruesi i eksponentit thyesor përmbajnë mjaft numra të mëdhenj), e cila zakonisht kryhet duke përdorur teknologji kompjuterike.

Për të përfunduar këtë pikë, le të ndalemi në ngritjen e numrit zero në një fuqi thyesore. Fuqisë thyesore të zeros të formës i dhamë këtë kuptim: kur kemi , dhe në zero në fuqinë m/n nuk është përcaktuar. Pra, zero në një fuqi pozitive të pjesshme është zero, për shembull, . Dhe zero në një fuqi negative të pjesshme nuk ka kuptim, për shembull, shprehjet 0 -4.3 nuk kanë kuptim.

Ngritja në një fuqi irracionale

Ndonjëherë bëhet e nevojshme të zbulohet vlera e fuqisë së një numri me një eksponent irracional. Në të njëjtën kohë, në qëllime praktike Zakonisht mjafton të merret vlera e gradës deri në një shenjë të caktuar. Le të theksojmë menjëherë se kjo vlerë në praktikë llogaritet duke përdorur teknologjinë kompjuterike elektronike, që nga ngritja në ir shkallë racionale kërkon me dorë sasi e madhe llogaritje të rënda. Por prapë ne do të përshkruajmë në skicë e përgjithshme thelbi i veprimit.

Për të marrë një vlerë të përafërt të fuqisë së një numri a me një eksponent irracional, merret një përafrim dhjetor i eksponentit dhe llogaritet vlera e fuqisë. Kjo vlerë është një vlerë e përafërt e fuqisë së numrit a me një eksponent irracional. Sa më i saktë të merret fillimisht përafrimi dhjetor i një numri, aq më shumë vlerën e saktë diploma do të merret në fund.

Si shembull, le të llogarisim vlerën e përafërt të fuqisë së 2 1,174367... . Marrim përafrimin dhjetor të mëposhtëm të eksponentit irracional: . Tani e ngremë 2 në fuqinë racionale 1.17 (e kemi përshkruar thelbin e këtij procesi në paragrafin e mëparshëm), marrim 2 1.17 ≈2.250116. Kështu, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Nëse marrim një përafrim dhjetor më të saktë të eksponentit irracional, për shembull, atëherë marrim një vlerë më të saktë të eksponentit origjinal: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referencat.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Teksti mësimor i matematikës për klasën e 5-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: tekst shkollor për klasën e 7-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 9-të. institucionet arsimore.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Ne kuptuam se çfarë është në të vërtetë fuqia e një numri. Tani duhet të kuptojmë se si ta llogarisim saktë, d.m.th. ngriti numrat në fuqi. Në këtë material do të analizojmë rregullat bazë për llogaritjen e shkallëve në rastin e eksponentëve të plotë, natyrorë, thyesorë, racionalë dhe irracionalë. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncepti i fuqizimit

Le të fillojmë duke formuluar përkufizimet bazë.

Përkufizimi 1

Eksponentimiështë llogaritja e vlerës së fuqisë së një numri të caktuar.

Kjo do të thotë, fjalët "llogaritja e vlerës së një fuqie" dhe "rritja në një fuqi" nënkuptojnë të njëjtën gjë. Pra, nëse problemi thotë "Ngritni numrin 0, 5 në fuqinë e pestë", kjo duhet të kuptohet si "llogaritni vlerën e fuqisë (0, 5) 5.

Tani ne paraqesim rregullat bazë që duhet të ndiqen kur bëni llogaritje të tilla.

Le të kujtojmë se çfarë është fuqia e një numri me një eksponent natyror. Për një fuqi me bazë a dhe eksponent n, ky do të jetë prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Kjo mund të shkruhet kështu:

Për të llogaritur vlerën e një shkalle, duhet të kryeni një veprim shumëzimi, domethënë të shumëzoni bazat e shkallës numri i specifikuar një herë. Vetë koncepti i një shkalle me një eksponent natyror bazohet në aftësinë për të shumëzuar shpejt. Le të japim shembuj.

Shembulli 1

Gjendja: ngritja - 2 në fuqi 4.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, shkruajmë: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Më pas, ne vetëm duhet të ndjekim këto hapa dhe të marrim 16.

Le të marrim një shembull më të ndërlikuar.

Shembulli 2

Llogaritni vlerën 3 2 7 2

Zgjidhje

Kjo hyrje mund të rishkruhet si 3 2 7 · 3 2 7 . Më parë, ne shikuam se si të shumëzojmë saktë numrat e përzier të përmendur në kusht.

Le të kryejmë këto hapa dhe të marrim përgjigjen: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Nëse problemi tregon nevojën për të ngritur numrat irracionalë në një fuqi natyrore, do të na duhet së pari të rrumbullakosim bazat e tyre në një shifër që do të na lejojë të marrim një përgjigje të saktësisë së kërkuar. Le të shohim një shembull.

Shembulli 3

Kryeni katrorin e π.

Zgjidhje

Së pari, le ta rrumbullakojmë atë në të qindtat. Pastaj π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Nëse π ≈ 3. 14159 atëherë marrim më shumë rezultat i saktë: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vini re se nevoja për të llogaritur fuqitë e numrave irracionalë lind relativisht rrallë në praktikë. Më pas mund ta shkruajmë përgjigjen si vetë fuqia (ln 6) 3, ose të konvertojmë nëse është e mundur: 5 7 = 125 5 .

Më vete, duhet të tregohet se cila është fuqia e parë e një numri. Këtu thjesht mund të mbani mend se çdo numër i ngritur në fuqinë e parë do të mbetet vetë:

Kjo duket qartë nga regjistrimi .

Nuk varet nga shkalla.

Shembulli 4

Pra, (− 9) 1 = − 9, dhe 7 3 e ngritur në fuqinë e parë do të mbetet e barabartë me 7 3.

Për lehtësi, do të shqyrtojmë tre raste veç e veç: nëse eksponenti është një numër i plotë pozitiv, nëse është zero dhe nëse është një numër i plotë negativ.

Në rastin e parë, kjo është njësoj si ngritja në një fuqi natyrore: në fund të fundit, numrat e plotë pozitiv i përkasin grupit të numrave natyrorë. Ne kemi folur tashmë më lart se si të punojmë me diploma të tilla.

Tani le të shohim se si të ngrihet saktë në fuqinë zero. Për një bazë të ndryshme nga zero, kjo llogaritje jep gjithmonë 1. Ne kemi shpjeguar tashmë më herët se fuqia 0 e a mund të përcaktohet për çdo numër real, jo e barabartë me 0, dhe a 0 = 1.

Shembulli 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nuk është përcaktuar.

Na mbetet vetëm rasti i një shkalle me një eksponent negativ numër të plotë. Ne kemi diskutuar tashmë se fuqi të tilla mund të shkruhen si një thyesë 1 a z, ku a është çdo numër dhe z është një numër i plotë tregues negativ. Shohim se emëruesi i kësaj thyese nuk është gjë tjetër veçse shkallë e zakonshme me një tregues të plotë pozitiv, dhe ne kemi mësuar tashmë se si ta llogarisim atë. Le të japim shembuj të detyrave.

Shembulli 6

Ngrini 3 në fuqi - 2.

Zgjidhje

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, ne shkruajmë: 2 - 3 = 1 2 3

Le të llogarisim emëruesin e kësaj thyese dhe të marrim 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Atëherë përgjigja është: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Shembulli 7

Ngrini 1.43 në fuqinë -2.

Zgjidhje

Le të riformulojmë: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Njehsojmë katrorin në emërues: 1,43·1,43. Dhjetorët mund të shumëzohen në këtë mënyrë:

Si rezultat, morëm (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Gjithçka që duhet të bëjmë është ta shkruajmë këtë rezultat në formën e një thyese të zakonshme, për të cilën duhet ta shumëzojmë me 10 mijë (shiko materialin për shndërrimin e thyesave).

Përgjigje: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Një rast i veçantë është ngritja e një numri në fuqinë e parë minus. Vlera e kësaj shkalle është e barabartë me reciprocitetin e vlerës fillestare të bazës: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Shembulli 8

Shembull: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Si të ngrini një numër në një fuqi thyesore

Për të kryer këtë operacion duhet të mbajmë mend përkufizimi bazë fuqitë me një eksponent thyesor: a m n = a m n për çdo a pozitiv, numër të plotë m dhe n natyror.

Përkufizimi 2

Kështu, llogaritja e një fuqie thyesore duhet të kryhet në dy hapa: ngritja në një fuqi numër të plotë dhe gjetja e rrënjës së fuqisë së n-të.

Kemi barazinë a m n = a m n , e cila, duke marrë parasysh vetitë e rrënjëve, zakonisht përdoret për zgjidhjen e problemeve në formën a m n = a n m . Kjo do të thotë që nëse e ngremë një numër në një fuqi thyesore m / n, atëherë së pari marrim rrënjën e n-të të a, pastaj e ngremë rezultatin në një fuqi me një eksponent numër të plotë m.

Le ta ilustrojmë me një shembull.

Shembulli 9

Llogaritni 8 - 2 3 .

Zgjidhje

Metoda 1. Sipas përkufizimit bazë, mund ta paraqesim këtë si: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Tani le të llogarisim shkallën nën rrënjë dhe nxjerrim rrënjën e tretë nga rezultati: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformoni barazinë bazë: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pas kësaj, nxjerrim rrënjën 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dhe katrore rezultatin: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Ne shohim se zgjidhjet janë identike. Ju mund ta përdorni atë në çdo mënyrë që ju pëlqen.

Ka raste kur diploma ka një tregues të shprehur numër i përzier ose dhjetore. Për lehtësinë e llogaritjeve, është më mirë ta zëvendësoni atë fraksion i zakonshëm dhe numëroni si më sipër.

Shembulli 10

Ngrini 44, 89 në fuqinë 2, 5.

Zgjidhje

Le ta transformojmë vlerën e treguesit në thyesë e zakonshme - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Tani kryejmë me radhë të gjitha veprimet e treguara më sipër: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 1 = 25107 501, 25107

Përgjigje: 13 501, 25107.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i një eksponenti thyesor përmbajnë numra të mëdhenj, atëherë llogaritja e eksponentëve të tillë me tregues racional- mjaft punë e vështirë. Zakonisht kërkon teknologji kompjuterike.

Le të ndalemi veçmas te fuqitë me një bazë zero dhe një eksponent thyesor. Një shprehje e formës 0 m n mund t'i jepet kuptimi i mëposhtëm: nëse m n > 0, atëherë 0 m n = 0 m n = 0; nëse m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную shkallë pozitiveçon në zero: 0 7 12 = 0, 0 3 2 5 = 0, 0 0, 024 = 0, dhe në një numër të plotë negativ - nuk ka rëndësi: 0 - 4 3.

Si të ngrini një numër në një fuqi joracionale

Nevoja për të llogaritur vlerën e një fuqie, eksponenti i së cilës është një numër irracional nuk lind aq shpesh. Në praktikë, detyra zakonisht kufizohet në llogaritjen e një vlere të përafërt (deri në një numër të caktuar të numrave dhjetorë). Kjo zakonisht llogaritet në një kompjuter për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve të tilla, kështu që ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, ne do të tregojmë vetëm pikat kryesore.

Nëse duhet të llogarisim vlerën e një fuqie a me një eksponent irracional a, atëherë marrim përafrimin dhjetor të eksponentit dhe numërojmë prej tij. Rezultati do të jetë një përgjigje e përafërt. Sa më i saktë të jetë përafrimi dhjetor, aq më e saktë është përgjigja. Le të tregojmë me një shembull:

Shembulli 11

Llogaritni vlerën e përafërt të 21, 174367....

Zgjidhje

Le të kufizohemi në përafrimin dhjetor a n = 1, 17. Le të bëjmë llogaritjet duke përdorur këtë numër: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Nëse marrim, për shembull, përafrimin a n = 1, 1743, atëherë përgjigja do të jetë pak më e saktë: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Qëllimi kryesor

Të njohë nxënësit me vetitë e shkallëve me eksponentë natyrorë dhe t'i mësojë se si të kryejnë veprime me gradë.

Tema “Diploma dhe vetitë e saj” përfshin tre pyetje:

• Përcaktimi i shkallës me një tregues natyror.
• Shumëzimi dhe pjesëtimi i fuqive.
• Përhapja e produktit dhe shkallës.

Pyetje sigurie

1. Formuloni përkufizimin e një shkalle me një eksponent natyror më të madh se 1. Jepni një shembull.
2. Formuloni përkufizimin e shkallës me eksponentin 1. Jepni një shembull.
3. Cila është rendi i veprimeve kur llogaritet vlera e një shprehjeje që përmban fuqi?
4. Formuloni vetinë kryesore të një diplome.
5. Jep një shembull. Formuloni rregullën për shumëzimin e fuqive me në të njëjtat arsye
6. . Jep një shembull.
7. Formuloni një rregull për ndarjen e fuqive me të njëjtat baza. Jep një shembull.
8. Formuloni rregullin për ngritjen e një produkti në fuqi. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (ab) n = a n b n .

Formuloni rregullin për ngritjen e një pushteti në një pushtet. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (a m) n = a m n .

Përkufizimi i gradës. Fuqia e numrit a me tregues natyror n , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me A , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me. Fuqia e numrit , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me.

me eksponent 1 është vetë numri , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me Diplomë me bazë me tregues natyror dhe tregues është shkruar kështu: dhe n , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me. lexohet " me tregues natyror deri në një shkallë , më i madh se 1, është prodhimi i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me ”.

”; Fuqia e n-të e një numri

Sipas përcaktimit të gradës:

. . . . . . . . . . . .

a 4 = a a a a Gjetja e vlerës së një shkalle quhet .

me fuqizim

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

1. Shembuj të fuqizimit:

4. Gjeni kuptimet e shprehjeve:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

Opsioni 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Paraqisni numrin si katror:

1. Shembuj të fuqizimit:

3. Paraqisni numrat si kub:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Shumëzimi i fuqive. Për çdo numër a dhe numra arbitrar

a m a n = a m + n .

Dëshmi:

Rregulli : Kur shumëzohen fuqitë me baza të njëjta, bazat lihen të njëjta dhe shtohen eksponentët e fuqive.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën nga tabela:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Ndarja e gradave.

Për çdo numër a0 dhe numra natyrorë arbitrar m dhe n, të tillë që m>n vlen si vijon:

a m: a n = a m - n

Dëshmi:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

sipas përkufizimit të herësit:

a m: a n = a m - n .

Rregulli: Kur pjesëtohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e njëjtë dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividendit.

Përkufizimi: Fuqia e një numri a, jo i barabartë me zero, me një eksponent zero është i barabartë me një:

sepse a n: a n = 1 në a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) nga 5:nga 0 = nga 5:1 = nga 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

d)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Paraqisni herësin si fuqi:

2. Gjeni kuptimet e shprehjeve:

Ngritja në fuqinë e një produkti.

Për çdo a dhe b dhe një numër natyror arbitrar n:

(ab) n = a n b n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(ab)n=

Duke grupuar veçmas faktorët a dhe faktorët b, marrim:

=

Vetia e provuar e fuqisë së një produkti shtrihet në fuqinë e produktit të tre ose më shumë faktorëve.

Për shembull:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Rregulli: Kur rritet një produkt në një fuqi, çdo faktor ngrihet në atë fuqi dhe rezultati shumëzohet.

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Ngritja në një fuqi:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

b) (5 7 20) 2

Ngritja në një fuqi të një fuqie.

Për çdo numër a dhe numra natyrorë arbitrar m dhe n:

(a m) n = a m n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(a m) n =

Rregulli: Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen.

1. Ngritja në një fuqi:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Aplikimi

Formuloni rregullin për ngritjen e një pushteti në një pushtet. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (a m) n = a m n .

Opsioni 2

1. Shkruani produktin si fuqi:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Paraqisni numrin si katror:

1. Shembuj të fuqizimit:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opsioni 3

1. Shkruani produktin si fuqi:

a) 0,5 0,5 0,5

c) me me me me me me me me me me me

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

2. Paraqisni numrin në formë katrore: 100; 0,49; .

2. Paraqisni numrin si katror:

1. Shembuj të fuqizimit:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opsioni 4

1. Shkruani produktin si fuqi:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bс) (bс) (bс) (bc)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Paraqisni numrin si katror:

1. Shembuj të fuqizimit:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

e) 100 - 5 2 4

Opsioni 2

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën nga tabela:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opsioni 3

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën nga tabela:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opsioni 4

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën nga tabela:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Ndarja e gradave.

Opsioni 2

1. Paraqisni herësin si fuqi:

2. Gjeni kuptimet e shprehjeve.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve