Sipërfaqja kanonike. Seksione konike

Me ndryshimin që në vend të grafikëve "të sheshtë", ne do të shqyrtojmë sipërfaqet hapësinore më të zakonshme, dhe gjithashtu do të mësojmë se si t'i ndërtojmë ato me kompetencë me dorë. Kalova mjaft kohë duke zgjedhur mjete softuerike për krijimin e vizatimeve tredimensionale dhe gjeta disa aplikacione të mira, por me gjithë lehtësinë e përdorimit, këto programe nuk zgjidhin mirë një çështje të rëndësishme praktike. Fakti është se në të ardhmen e parashikueshme historike, studentët do të jenë akoma të armatosur me një vizore dhe një laps, dhe madje duke pasur një vizatim "makine" me cilësi të lartë, shumë nuk do të jenë në gjendje ta transferojnë saktë atë në letër me kuadrate. Prandaj, në manual i kushtohet vëmendje e veçantë teknikës së ndërtimit manual, dhe një pjesë e konsiderueshme e ilustrimeve të faqeve është një produkt i punuar me dorë.

Si ndryshon ky material referimi nga analogët?

Duke pasur përvojë të mirë praktike, e di shumë mirë se me cilat sipërfaqe duhet të merremi më shpesh në problemet reale të matematikës së lartë dhe shpresoj se ky artikull do t'ju ndihmojë të rimbushni shpejt bagazhin tuaj me njohuritë përkatëse dhe aftësitë e aplikuara, të cilat përbëjnë 90 -95% duhet të ketë raste të mjaftueshme.

Çfarë duhet të jeni në gjendje të bëni në këtë moment?

Më themelore:

Së pari, ju duhet të jeni në gjendje ndërtoni saktë sistemi hapësinor i koordinatave karteziane (shiko fillimin e artikullit Grafikët dhe vetitë e funksioneve) .

Çfarë do të fitoni pasi të lexoni këtë artikull?

Shishe Pasi të keni zotëruar materialet e mësimit, do të mësoni të përcaktoni shpejt llojin e sipërfaqes sipas funksionit dhe/ose ekuacionit të saj, të imagjinoni se si ndodhet në hapësirë dhe, natyrisht, të bëni vizatime. Është në rregull nëse nuk keni gjithçka në kokën tuaj pas leximit të parë - gjithmonë mund të ktheheni në çdo paragraf më vonë sipas nevojës.

Informacioni është në fuqinë e të gjithëve - për ta zotëruar atë nuk keni nevojë për ndonjë super njohuri, talent të veçantë artistik apo vizion hapësinor.

Filloni!

Në praktikë zakonisht jepet sipërfaqja hapësinore funksioni i dy variablave ose një ekuacion të formës (konstantja në anën e djathtë është më shpesh e barabartë me zero ose një). Emërtimi i parë është më tipik për analizën matematikore, i dyti - për gjeometria analitike. Ekuacioni është në thelb dhënë në mënyrë implicite një funksion prej 2 ndryshoresh, të cilat në raste tipike mund të reduktohen lehtësisht në formën . Më lejoni t'ju kujtoj shembullin më të thjeshtë c:

–ekuacioni i rrafshët lloj .

– funksioni i aeroplanit në në mënyrë eksplicite .

Le të fillojmë me të:

Ekuacionet e zakonshme të planeve

Opsionet tipike për rregullimin e avionëve në një sistem koordinativ drejtkëndor diskutohen në detaje në fillim të artikullit. Ekuacioni i planit. Megjithatë, le të ndalemi edhe një herë në ekuacionet që kanë një rëndësi të madhe për praktikën.

Para së gjithash, ju duhet të njihni plotësisht automatikisht ekuacionet e planeve që janë paralele me rrafshet koordinuese. Fragmentet e planeve përshkruhen në mënyrë standarde si drejtkëndësha, të cilët në dy rastet e fundit duken si paralelogramë. Si parazgjedhje, ju mund të zgjidhni çdo dimension (brenda kufijve të arsyeshëm, natyrisht), por është e dëshirueshme që pika në të cilën boshti i koordinatave "shpëton" rrafshin të jetë qendra e simetrisë:

Në mënyrë të rreptë, boshtet e koordinatave duhet të përshkruhen me vija me pika në disa vende, por për të shmangur konfuzionin ne do ta neglizhojmë këtë nuancë.

– (vizatimi majtas) pabarazia specifikon gjysmëhapësirën më të largët prej nesh, duke përjashtuar vetë rrafshin;

– (vizatim i mesëm) pabarazia specifikon gjysmëhapësirën e djathtë, duke përfshirë rrafshin;

– (vizatim djathtas) pabarazia e dyfishtë përcakton një "shtresë" të vendosur midis planeve, duke përfshirë të dy rrafshet.

Për vetë-ngrohje:

Shembulli 1

Vizatoni një trup të kufizuar nga aeroplanët
Krijo një sistem pabarazish që përcaktojnë një trup të caktuar.

Një i njohur i vjetër duhet të dalë nën drejtimin e lapsit tuaj. kuboid. Mos harroni se skajet dhe fytyrat e padukshme duhet të vizatohen me një vijë me pika. Vizatimi përfundoi në fund të mësimit.

Ju lutem, MOS LËSHKONI detyrat e të mësuarit, edhe nëse duken shumë të thjeshta. Përndryshe, mund të ndodhë që ta humbisni një herë, ta humbisni dy herë dhe më pas të kaloni një orë të qëndrueshme duke u përpjekur të kuptoni një vizatim tredimensional në ndonjë shembull real. Për më tepër, puna mekanike do t'ju ndihmojë të mësoni materialin në mënyrë shumë më efektive dhe të zhvilloni inteligjencën tuaj! Nuk është rastësi që në kopsht dhe në shkollën fillore fëmijët ngarkohen me vizatim, modelim, lodra ndërtimi dhe detyra të tjera për aftësitë e shkëlqyera motorike të gishtave. Më falni për digresionin, por dy fletoret e mia mbi psikologjinë e zhvillimit nuk duhet të mungojnë =)

Ne do ta quajmë me kusht grupin tjetër të avionëve "proporcionalitet i drejtpërdrejtë" - këto janë aeroplanë që kalojnë nëpër boshtet koordinative:

2) një ekuacion i formës specifikon një plan që kalon nëpër bosht;

3) një ekuacion i formës specifikon një plan që kalon nëpër bosht.

Edhe pse shenja formale është e dukshme (cila variabël i mungon ekuacionit - rrafshi kalon nëpër atë bosht), është gjithmonë e dobishme për të kuptuar thelbin e ngjarjeve që ndodhin:

Shembulli 2

Ndërtoni aeroplan

Cila është mënyra më e mirë për të ndërtuar? Unë propozoj algoritmin e mëposhtëm:

Së pari, le të rishkruajmë ekuacionin në formën , nga e cila shihet qartë se "y" mund të marrë ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë vlerën, domethënë do të shqyrtojmë planin koordinativ. Ekuacionet e vendosura linjë hapësinore, i shtrirë në një plan të caktuar koordinativ. Le ta përshkruajmë këtë linjë në vizatim. Vija e drejtë kalon nëpër origjinën e koordinatave, kështu që për ta ndërtuar atë mjafton të gjesh një pikë. Le . Lini mënjanë një pikë dhe vizatoni një vijë të drejtë.

Tani kthehemi te ekuacioni i aeroplanit. Meqenëse "Y" pranon ndonjë vlerat, atëherë vija e drejtë e ndërtuar në rrafsh "përsëritet" vazhdimisht majtas dhe djathtas. Pikërisht kështu është formuar avioni ynë, duke kaluar nëpër bosht. Për të përfunduar vizatimin, vendosim dy vija paralele majtas dhe djathtas të vijës së drejtë dhe "mbyllim" paralelogramin simbolik me segmente horizontale tërthore:

Meqenëse gjendja nuk impononte kufizime shtesë, një fragment i aeroplanit mund të përshkruhej në përmasa pak më të vogla ose pak më të mëdha.

Le të përsërisim edhe një herë kuptimin e pabarazisë lineare hapësinore duke përdorur shembullin. Si të përcaktohet gjysma e hapësirës që përcakton? Le të marrim një pikë që nuk i përket rrafshoni, për shembull, një pikë nga gjysma e hapësirës më afër nesh dhe zëvendësoni koordinatat e saj në pabarazinë:

Marrë pabarazi e vërtetë, që do të thotë se pabarazia specifikon gjysmëhapësirën e poshtme (në raport me rrafshin), ndërsa vetë rrafshi nuk përfshihet në zgjidhje.

Shembulli 3

Ndërtoni aeroplanë
A) ;
b) .

Këto janë detyra për vetë-ndërtim në rast vështirësish, përdorni arsyetime të ngjashme; Udhëzime dhe vizatime të shkurtra në fund të mësimit.

Në praktikë, aeroplanët paralel me boshtin janë veçanërisht të zakonshëm. Rasti i veçantë kur avioni kalon nëpër bosht u diskutua vetëm në paragrafin "be", dhe tani do të analizojmë një problem më të përgjithshëm:

Shembulli 4

Ndërtoni aeroplan

Zgjidhje: ndryshorja “z” nuk përfshihet shprehimisht në ekuacion, që do të thotë se rrafshi është paralel me boshtin aplikativ. Le të përdorim të njëjtën teknikë si në shembujt e mëparshëm.

Le të rishkruajmë ekuacionin e rrafshit në formë nga e cila është e qartë se “zet” mund të marrë ndonjë kuptimet. Le ta rregullojmë atë dhe të vizatojmë një vijë të rregullt "të sheshtë" në rrafshin "amtare". Për ta ndërtuar atë, është e përshtatshme të merren pika referimi.

Meqenëse "Z" pranon Të gjitha vlerat, atëherë vija e drejtë e ndërtuar vazhdimisht "shumohet" lart e poshtë, duke formuar kështu planin e dëshiruar. . Ne hartojmë me kujdes një paralelogram të një madhësie të arsyeshme:

Gati.

Ekuacioni i një rrafshi në segmente

Shumëllojshmëria më e rëndësishme e aplikuar. Nëse Të gjitha shanset ekuacioni i përgjithshëm i aeroplanit jo zero, atëherë mund të paraqitet në formë që quhet ekuacioni i rrafshit në segmente. Është e qartë se aeroplani kryqëzon boshtet e koordinatave në pikat , dhe avantazhi i madh i një ekuacioni të tillë është lehtësia e ndërtimit të një vizatimi:

Shembulli 5

Ndërtoni aeroplan

Zgjidhje: Së pari, le të krijojmë një ekuacion të rrafshit në segmente. Le ta hedhim termin e lirë djathtas dhe t'i ndajmë të dyja anët me 12:

Jo, këtu nuk ka asnjë gabim shtypi dhe të gjitha gjërat ndodhin në hapësirë! Ne ekzaminojmë sipërfaqen e propozuar duke përdorur të njëjtën metodë që është përdorur kohët e fundit për aeroplanët. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë , nga ku del se “zet” merr ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë dhe ndërtojmë një elips në rrafsh. Meqenëse "zet" pranon Të gjitha vlerat, atëherë elipsa e ndërtuar "përsëritet" vazhdimisht lart e poshtë. Është e lehtë të kuptohet se sipërfaqja e pafundme:

Kjo sipërfaqe quhet cilindër eliptik. Një elipsë (në çdo lartësi) quhet udhërrëfyes cilindër dhe quhen vija paralele që kalojnë nëpër secilën pikë të elipsës duke formuar cilindër (që fjalë për fjalë e formojnë atë). Boshti është boshti i simetrisë sipërfaqe (por jo pjesë e saj!).

Koordinatat e çdo pike që i përket një sipërfaqeje të caktuar domosdoshmërisht plotësojnë ekuacionin .

Hapësinor pabarazia përcakton "brenda" e "tubit" të pafund, duke përfshirë vetë sipërfaqen cilindrike, dhe, në përputhje me rrethanat, pabarazia e kundërt përcakton grupin e pikave jashtë cilindrit.

Në problemet praktike, rasti i veçantë më popullor është kur udhërrëfyes cilindër është rrethi:

Shembulli 8

Ndërtoni sipërfaqen e dhënë nga ekuacioni

Është e pamundur të përshkruhet një "tub" i pafund, kështu që arti zakonisht kufizohet në "zvogëlimin".

Së pari, është e përshtatshme të ndërtoni një rreth me rreze në aeroplan, dhe më pas disa rrathë të tjerë sipër dhe poshtë. Rrathët që rezultojnë ( udhërrëfyes cilindër) lidheni me kujdes me katër vija të drejta paralele ( duke formuar cilindër):

Mos harroni të përdorni vija me pika për linjat që janë të padukshme për ne.

Koordinatat e çdo pike që i përket një cilindri të caktuar plotësojnë ekuacionin . Koordinatat e çdo pike që shtrihet rreptësisht brenda "tubit" plotësojnë pabarazinë , dhe pabarazia përcakton një grup pikash të pjesës së jashtme. Për një kuptim më të mirë, unë rekomandoj të konsideroni disa pika specifike në hapësirë dhe të shihni vetë.

Shembulli 9

Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionin e saj në rrafsh

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë nga ku del se “x” merr ndonjë kuptimet. Le të rregullojmë dhe përshkruajmë në aeroplan rrethi– me qendër në origjinë, rreze njësi. Meqenëse "x" pranon vazhdimisht Të gjitha vlerat, atëherë rrethi i ndërtuar gjeneron një cilindër rrethor me bosht simetrie. Vizatoni një rreth tjetër ( udhërrëfyes cilindër) dhe i lidhni me kujdes me vija të drejta ( duke formuar cilindër). Në disa vende kishte mbivendosje, por çfarë mund të bëni, ka një pjerrësi të tillë:

Këtë herë u kufizova në një pjesë të cilindrit në hendek, dhe kjo nuk është e rastësishme. Në praktikë, shpesh është e nevojshme të përshkruhet vetëm një fragment i vogël i sipërfaqes.

Këtu, nga rruga, ka 6 gjeneratorë - dy vija të drejta shtesë "mbulojnë" sipërfaqen nga këndi i sipërm i majtë dhe i poshtëm i djathtë.

Tani le të shohim projeksionin e një cilindri në një aeroplan. Shumë lexues e kuptojnë se çfarë është projeksioni, por, megjithatë, le të bëjmë një tjetër ushtrim fizik pesë-minutësh. Ju lutemi qëndroni dhe përkulni kokën mbi vizatim në mënyrë që pika e boshtit të jetë pingul me ballin tuaj. Ajo që duket të jetë një cilindër nga ky kënd është projeksioni i tij në një plan. Por duket se është një rrip i pafund, i mbyllur mes vijave të drejta, duke përfshirë vetë linjat e drejta. Ky projeksion është pikërisht domain funksionet ("ulluku" i sipërm i cilindrit), ("ulluku" i poshtëm).

Nga rruga, le të sqarojmë situatën me projeksionet në plane të tjera koordinative. Lërini rrezet e diellit të shkëlqejnë në cilindër nga maja dhe përgjatë boshtit. Hija (projeksioni) i një cilindri mbi një aeroplan është një shirit i ngjashëm i pafund - një pjesë e planit të kufizuar nga vija të drejta (- çdo), duke përfshirë vetë linjat e drejta.

Por projeksioni në aeroplan është disi i ndryshëm. Nëse e shikoni cilindrin nga maja e boshtit, atëherë ai do të projektohet në një rreth me rreze njësi , me të cilin filluam ndërtimin.

Shembulli 10

Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionet e saj në plane koordinative

Kjo është një detyrë që ju duhet ta zgjidhni vetë. Nëse gjendja nuk është shumë e qartë, katrore të dyja anët dhe analizoni rezultatin; zbuloni se cila pjesë e cilindrit specifikohet nga funksioni. Përdorni teknikën e ndërtimit të përdorur në mënyrë të përsëritur më lart. Një zgjidhje e shkurtër, vizatim dhe komente në fund të orës së mësimit.

Sipërfaqet eliptike dhe të tjera cilindrike mund të kompensohen në lidhje me boshtet e koordinatave, për shembull:

(bazuar në motivet e njohura të artikullit rreth Linjat e rendit të dytë) – një cilindër me rreze njësi me një vijë simetrie që kalon nëpër një pikë paralele me boshtin. Sidoqoftë, në praktikë, cilindra të tillë hasen mjaft rrallë, dhe është absolutisht e pabesueshme të hasësh një sipërfaqe cilindrike që është "e zhdrejtë" në raport me boshtet e koordinatave.

Cilindra parabolikë

Siç sugjeron emri, udhërrëfyes një cilindër i tillë është parabolë.

Shembulli 11

Ndërtoni një sipërfaqe dhe gjeni projeksionet e saj në plane koordinative.

Nuk mund t'i rezistoja këtij shembulli =)

Zgjidhje: Të ecim në rrugën e rrahur. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën, nga e cila rezulton se "zet" mund të marrë çdo vlerë. Le të rregullojmë dhe ndërtojmë një parabolë të zakonshme në aeroplan, duke shënuar më parë pikat e parëndësishme të referencës. Meqenëse "Z" pranon Të gjitha vlerat, atëherë parabola e ndërtuar vazhdimisht "përsëritet" lart e poshtë deri në pafundësi. Ne shtrojmë të njëjtën parabolë, të themi, në një lartësi (në aeroplan) dhe i lidhim me kujdes me vija të drejta paralele ( duke formuar cilindrin):

po ju kujtoj teknikë e dobishme: nëse fillimisht nuk jeni të sigurt për cilësinë e vizatimit, atëherë është më mirë që fillimisht të vizatoni vijat shumë hollë me laps. Më pas vlerësojmë cilësinë e skicës, zbulojmë zonat ku sipërfaqja fshihet nga sytë tanë dhe vetëm atëherë bëjmë presion në majë shkruese.

Projeksionet.

1) Projeksioni i një cilindri në një aeroplan është një parabolë. Duhet të theksohet se në këtë rast është e pamundur të flitet domeni i përkufizimit të një funksioni të dy variablave– për arsye se ekuacioni i cilindrit nuk është i reduktueshëm në formë funksionale.

2) Projeksioni i një cilindri në një aeroplan është një gjysmë plani, duke përfshirë boshtin

3) Dhe së fundi, projeksioni i cilindrit në aeroplan është i gjithë rrafshi.

Shembulli 12

Ndërtoni cilindra parabolikë:

a) kufizoni veten në një fragment të sipërfaqes në gjysmë-hapësirën afër;

b) në interval

Në rast vështirësish, ne nuk nxitojmë dhe arsyetojmë me analogji me shembujt e mëparshëm, për fat të mirë, teknologjia është zhvilluar plotësisht. Nuk është kritike nëse sipërfaqet dalin pak të ngathët - është e rëndësishme të shfaqni saktë pamjen themelore. Unë vetë nuk shqetësohem vërtet me bukurinë e vijave nëse marr një vizatim të kalueshëm me notë C, zakonisht nuk e ribëj. Nga rruga, zgjidhja e mostrës përdor një teknikë tjetër për të përmirësuar cilësinë e vizatimit ;-)

Cilindra hiperbolike

Udhëzues cilindra të tillë janë hiperbola. Ky lloj sipërfaqeje, sipas vëzhgimeve të mia, është shumë më pak i zakonshëm se llojet e mëparshme, kështu që unë do të kufizohem në një vizatim të vetëm skematik të një cilindri hiperbolik:

Parimi i arsyetimit këtu është saktësisht i njëjtë - i zakonshëm hiperbola e shkollës nga rrafshi vazhdimisht “shumohet” lart e poshtë deri në pafundësi.

Cilindrat e konsideruar i përkasin të ashtuquajturve sipërfaqet e rendit të dytë, dhe tani do të vazhdojmë të njihemi me përfaqësues të tjerë të këtij grupi:

Elipsoid. Sferë dhe top

Ekuacioni kanonik i një elipsoidi në një sistem koordinativ drejtkëndor ka formën , ku janë numrat pozitivë ( boshtet e boshteve elipsoid), i cili në rastin e përgjithshëm të ndryshme. Një elipsoid quhet sipërfaqe, kështu që trupi, i kufizuar nga një sipërfaqe e caktuar. Trupi, siç kanë menduar shumë, përcaktohet nga pabarazia dhe koordinatat e çdo pike të brendshme (si dhe çdo pike sipërfaqësore) domosdoshmërisht e plotësojnë këtë pabarazi. Dizajni është simetrik në lidhje me boshtet e koordinatave dhe planet koordinative:

Origjina e termit "elipsoid" është gjithashtu e qartë: nëse sipërfaqja "prehet" nga plane koordinative, atëherë seksionet do të rezultojnë në tre të ndryshme (në rastin e përgjithshëm)

Sipërfaqet e rendit të dytë- këto janë sipërfaqe që, në një sistem koordinativ drejtkëndor, përcaktohen nga ekuacionet algjebrike të shkallës së dytë.

1. Elipsoid.

Një elipsoid është një sipërfaqe që, në një sistem të caktuar koordinativ drejtkëndor, përcaktohet nga ekuacioni:

Ekuacioni (1) quhet ekuacioni kanonik i elipsoidit.

Le të vendosim formën gjeometrike të elipsoidit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh seksionet e këtij elipsoidi sipas planeve paralele me rrafshin Oksi. Secili prej këtyre planeve përcaktohet nga një ekuacion i formës z=h, Ku h– çdo numër, dhe drejtëza që fitohet në seksion përcaktohet nga dy ekuacione

(2)

Le të studiojmë ekuacionet (2) për vlera të ndryshme h .

> c(c>0), atëherë ekuacionet (2) përcaktojnë një elipsë imagjinare, d.m.th., pikat e kryqëzimit të rrafshit z=h nuk ekziston me këtë elipsoid. , Kjo dhe rreshti (2) degjeneron në pika (0; 0; + c) dhe (0; 0; - c) (aeroplanët prekin elipsoidin). , atëherë ekuacionet (2) mund të paraqiten si

prej nga rezulton se avioni z=h kryqëzon elipsoidin përgjatë një elipse me gjysmëboshte

Dhe . Ndërsa vlerat e dhe zvogëlohen, ato rriten dhe arrijnë vlerat e tyre më të larta në , d.m.th., në seksionin e elipsoidit nga plani koordinativ Oksi fitohet elipsa më e madhe me gjysmëboshte.

Një pamje e ngjashme fitohet kur një sipërfaqe e caktuar kryqëzohet me plane paralele me rrafshet koordinative Oxz Dhe Oyz.

Kështu, seksionet e konsideruara bëjnë të mundur paraqitjen e elipsoidit si një sipërfaqe ovale e mbyllur (Fig. 156). Sasitë a, b, c quhen boshtet e boshteve elipsoid. Kur a=b=c elipsoid është sferëth.

2. Hiperboloid me një shirit.

Një hiperboloid me një shirit është një sipërfaqe që, në një sistem koordinativ drejtkëndor, përcaktohet nga ekuacioni (3)

Ekuacioni (3) quhet ekuacioni kanonik i hiperboloidit me një shirit.

Le të vendosim llojin e sipërfaqes (3). Për ta bërë këtë, merrni parasysh një pjesë të planeve të tij koordinative Oksi (y=0)DheOyx (x=0). Ne marrim, në përputhje me rrethanat, ekuacionet

Dhe

Tani konsideroni seksionet e këtij hiperboloidi sipas planeve z=h paralel me planin koordinativ Oksi. Linja që rezulton në seksion përcaktohet nga ekuacionet

ose (4)

nga e cila rezulton se rrafshi z=h e pret hiperboloidin përgjatë një elipse me gjysmë boshte

Dhe,

duke arritur vlerat e tyre më të ulëta në h=0, d.m.th. në seksionin e këtij hiperboloidi, boshti koordinativ Oxy prodhon elipsin më të vogël me gjysmëboshte a*=a dhe b*=b. Me rritje të pafundme

sasitë a* dhe b* rriten pafundësisht.

Kështu, seksionet e konsideruara bëjnë të mundur përshkrimin e një hiperboloidi me një shirit në formën e një tubi të pafund, duke u zgjeruar pafundësisht ndërsa largohet (në të dy anët) nga rrafshi Oxy.

Madhësitë a, b, c quhen gjysmë boshtet e një hiperboloidi me një shirit.

3. Hiperboloid me dy fletë.

Një hiperboloid me dy fletë është një sipërfaqe që, në një sistem koordinativ drejtkëndor, përcaktohet nga ekuacioni

Ekuacioni (5) quhet ekuacioni kanonik i një hiperboloidi me dy fletë.

Le të vendosim pamjen gjeometrike të sipërfaqes (5). Për ta bërë këtë, merrni parasysh seksionet e tij sipas planeve koordinative Oxy dhe Oyz. Ne marrim, në përputhje me rrethanat, ekuacionet

Dhe

nga ku del se hiperbolat fitohen në seksione.

Tani shqyrtoni seksionet e këtij hiperboloidi sipas planeve z=h paralel me planin koordinativ Oxy. Linja e marrë në seksion përcaktohet nga ekuacionet

ose (6)

nga ku del se kur

>c (c>0) rrafshi z=h pret hiperboloidin përgjatë një elipse me gjysmëboshte dhe . Ndërsa vlerat e a* dhe b* rriten, ato gjithashtu rriten. ekuacionet (6) plotësohen nga koordinatat e vetëm dy pikave: (0;0;+с) dhe (0;0;-с) (aeroplanët prekin sipërfaqen e dhënë). ekuacionet (6) përcaktojnë një elips imagjinare, d.m.th. Nuk ka pika të prerjes së rrafshit z=h me këtë hiperboloid.

Madhësitë a, b dhe c quhen gjysmë boshtet e një hiperboloidi me dy fletë.

4. Paraboloid eliptik.

Një paraboloid eliptik është një sipërfaqe që, në një sistem koordinativ drejtkëndor, përcaktohet nga ekuacioni

(7)

ku p>0 dhe q>0.

Ekuacioni (7) quhet ekuacioni kanonik i një paraboloidi eliptik.

Le të shqyrtojmë seksionet e kësaj sipërfaqeje sipas planeve koordinative Oxy dhe Oyz. Ne marrim, në përputhje me rrethanat, ekuacionet

Dhe

nga ku rezulton se seksionet japin parabola që janë simetrike rreth boshtit Oz, me kulme në origjinë. (8)

nga e cila rrjedh se në . Ndërsa rritet h, rriten edhe vlerat e a dhe b; në h=0 elipsa degjeneron në një pikë (rrafshi z=0 prek hiperboloidin e dhënë). Në h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Kështu, seksionet e konsideruara bëjnë të mundur përshkrimin e një paraboloidi eliptik në formën e një tasi pafundësisht konveks.

Pika (0;0;0) quhet kulm i paraboloidit; numrat p dhe q janë parametrat e tij.

Në rastin e p=q, ekuacioni (8) përcakton një rreth me qendër në boshtin Oz, d.m.th. një paraboloid eliptik mund të konsiderohet si një sipërfaqe e formuar nga rrotullimi i një parabole rreth boshtit të saj (paraboloidi i rrotullimit).

5. Paraboloid hiperbolik.

Një paraboloid hiperbolik është një sipërfaqe që, në një sistem koordinativ drejtkëndor, përcaktohet nga ekuacioni

(9)

Përkufizimi 1. Një sipërfaqe konike ose kon me kulm në pikën M 0 është një sipërfaqe e formuar nga të gjitha vijat e drejta, secila prej të cilave kalon nëpër pikën M 0 dhe nëpër një pikë të drejtëzës γ. Pika M 0 quhet kulm i konit, drejtëza γ quhet udhëzues. Vijat e drejta që kalojnë nëpër kulmin e konit dhe që shtrihen mbi të quhen gjeneratorë të konit.

Teorema. Një sipërfaqe e rendit të dytë me ekuacionin kanonik

është një kon me një kulm në origjinë, udhëzuesi i të cilit është një elips

Dëshmi.

Le të jetë M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) një pikë në sipërfaqe α, e ndryshme nga origjina; ?=ОM 1 – drejtëza, M (x; y; z) i përket?. Që nga | | , atëherë, e tillë që

Meqenëse, atëherë koordinatat e tij janë x 1; y 1 ; z 1 plotëson ekuacionin (1). Duke marrë parasysh kushtet (3) kemi, ku t ≠ 0. Pjesëtimi i të dyja anët e ekuacionit me t 2 ≠ 0, marrim se koordinatat e një pike arbitrare M (x; y; z) të drejtëzës m=ОM 1 plotësojnë ekuacionin (1). Ai plotësohet edhe nga koordinatat e pikës O(0,0,0).

Kështu, çdo pikë M (x; y; z) e drejtëzës m=ОМ 1 shtrihet në sipërfaqen α me ekuacionin (1), pra, drejtëza ОМ 1 =m është një gjenerues drejtvizor i sipërfaqes α.

Le të shqyrtojmë tani një pjesë të sipërfaqes α nga një rrafsh paralel me rrafshin Oxy me ekuacionin z = c ≠ 0:

Ky seksion është një elips me gjysmë boshte A Dhe b. Prandaj, ajo kryqëzon këtë elipsë. Sipas përkufizimit 1, sipërfaqja α është një kon me kulm RRETH(0,0,0) (Të gjitha vijat m kalojnë nëpër origjinë); gjeneratorët e këtij koni janë vija të drejta m, udhëzuesi është elipsi i lartpërmendur.

Teorema është vërtetuar.

Përkufizimi 2. Një sipërfaqe e rendit të dytë me ekuacionin kanonik (1) quhet kon i rendit të dytë.

Vetitë e një koni të rendit të dytë.

1º Koni me ekuacionin (1) është simetrik në lidhje me të gjitha planet koordinative, të gjitha boshtet e koordinatave dhe origjinën (pasi të gjitha variablat përmbahen në ekuacionin (1) deri në shkallën e dytë).

2º Të gjitha boshtet e koordinatave kanë një pikë të vetme të përbashkët me konin (1) - origjinën e koordinatave, e cila shërben si kulm dhe qendër e saj në të njëjtën kohë

3º Seksioni i një koni (1) nga aeroplanët Oxz Dhe Oyz– çiftet e drejtëzave që kryqëzohen në origjinë; aeroplan Oksi- pika RRETH(0,0,0).

4º Seksionet e konit (1) me rrafshe paralele me planet koordinative, por që nuk përkojnë me to, janë ose elipse ose hiperbola.

5º Nëse A = b, atëherë këto elipse janë rrathë, dhe vetë koni është një sipërfaqe revolucioni. Në këtë rast quhet kon rrethor.

Përkufizimi 3: një seksion konik është një vijë përgjatë së cilës një kon rrethor kryqëzohet me një plan arbitrar që nuk kalon nga kulmi i tij. Kështu, seksionet kanonike janë elipsa, hiperbola dhe parabola.

Nxënësit më së shpeshti ndeshen me sipërfaqe të rendit të dytë në vitin e parë. Në fillim, problemet në këtë temë mund të duken të thjeshta, por ndërsa studioni matematikën e lartë dhe gërmoni më thellë në anën shkencore, më në fund mund të humbni gjurmët e asaj që po ndodh. Në mënyrë që kjo të mos ndodhë, ju duhet jo vetëm të mësoni përmendësh, por të kuptoni se si merret kjo ose ajo sipërfaqe, si ndikojnë ndryshimet në koeficientët dhe vendndodhjen e tij në lidhje me sistemin origjinal të koordinatave dhe si të gjeni një sistem të ri (një në të cilën qendra e tij përkon me koordinatat e origjinës, por paralel me një nga boshtet koordinative). Le të fillojmë nga fillimi.

Përkufizimi

Një sipërfaqe e rendit të dytë quhet GMT, koordinatat e së cilës plotësojnë ekuacionin e përgjithshëm të formës së mëposhtme:

Është e qartë se çdo pikë që i përket sipërfaqes duhet të ketë tre koordinata në një bazë të caktuar. Edhe pse në disa raste vendndodhja e pikave mund të degjenerojë, për shembull, në një aeroplan. Kjo do të thotë vetëm se njëra nga koordinatat është konstante dhe e barabartë me zero në të gjithë gamën e vlerave të lejueshme.

Forma e plotë e shkruar e barazisë së mësipërme duket kështu:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

Një nm janë disa konstante, x, y, z janë variabla që korrespondojnë me koordinatat afinale të një pike. Në këtë rast, të paktën një nga faktorët konstant nuk duhet të jetë i barabartë me zero, domethënë asnjë pikë nuk do të korrespondojë me ekuacionin.

Në shumicën dërrmuese të shembujve, shumë faktorë numerikë janë ende identikisht të barabartë me zero, dhe ekuacioni është thjeshtuar ndjeshëm. Në praktikë, përcaktimi nëse një pikë i përket një sipërfaqeje nuk është e vështirë (mjafton të zëvendësoni koordinatat e saj në ekuacion dhe të kontrolloni nëse identiteti qëndron). Pika kyçe në një punë të tillë është sjellja e kësaj të fundit në formën kanonike.

Ekuacioni i shkruar më sipër përcakton çdo sipërfaqe (të gjitha të listuara më poshtë) të rendit të dytë. Le të shohim shembujt më poshtë.

Llojet e sipërfaqeve të rendit të dytë

Ekuacionet e sipërfaqeve të rendit të dytë ndryshojnë vetëm në vlerat e koeficientëve A nm. Nga forma e përgjithshme, në vlera të caktuara të konstanteve, mund të përftohen sipërfaqe të ndryshme, të klasifikuara si më poshtë:

Cilindrat.
Lloji eliptik.
Lloji hiperbolik.
Lloji konik.
Lloji parabolik.
Avionët.

Secili nga llojet e listuara ka një formë natyrore dhe imagjinare: në formën imagjinare, vendndodhja e pikave reale ose degjeneron në një figurë më të thjeshtë ose mungon fare.

Cilindrat

Ky është lloji më i thjeshtë, pasi kurba relativisht komplekse shtrihet vetëm në bazë, duke vepruar si udhëzues. Gjeneratorët janë vija të drejta pingul me rrafshin në të cilin shtrihet baza.

Grafiku tregon një cilindër rrethor, një rast i veçantë i një cilindri eliptik. Në rrafshin XY, projeksioni i tij do të jetë një elips (në rastin tonë, një rreth) - një udhëzues, dhe në XZ - një drejtkëndësh - pasi gjeneratorët janë paralelë me boshtin Z Për ta marrë atë nga ekuacioni i përgjithshëm e nevojshme për t'u dhënë vlerat e mëposhtme koeficientëve:

Në vend të shënimeve të zakonshme x, y, z, x përdoren me një numër serial - kjo nuk ka asnjë kuptim.

Në fakt, 1/a 2 dhe konstantat e tjera të treguara këtu janë të njëjtët koeficientë të treguar në ekuacionin e përgjithshëm, por është e zakonshme t'i shkruani ato saktësisht në këtë formë - ky është përfaqësimi kanonik. Në vijim, kjo hyrje do të përdoret ekskluzivisht.

Kjo përcakton një cilindër hiperbolik. Skema është e njëjtë - hiperbola do të jetë udhëzuesi.

Një cilindër parabolik përcaktohet pak më ndryshe: forma e tij kanonike përfshin një koeficient p, të quajtur parametër. Në fakt, koeficienti është q=2p, por është zakon që të ndahet në dy faktorët e paraqitur.

Ekziston një lloj tjetër cilindri: imagjinar. Asnjë pikë e vërtetë nuk i përket një cilindri të tillë. Ai përshkruhet nga ekuacioni i një cilindri eliptik, por në vend të një ka -1.

Lloji eliptik

Elipsoidi mund të shtrihet përgjatë njërit prej akseve (përgjatë të cilit varet nga vlerat e konstanteve a, b, c të treguara më lart; padyshim, boshti më i madh do të korrespondojë me një koeficient më të madh).

Ekziston edhe një elipsoid imagjinar - me kusht që shuma e koordinatave të shumëzuara me koeficientët të jetë e barabartë me -1:

Hiperboloidet

Kur shfaqet një minus në njërën nga konstantet, ekuacioni i elipsoidit kthehet në ekuacion të një hiperboloidi me një fletë. Ju duhet të kuptoni se ky minus nuk duhet të jetë i vendosur përpara koordinatës x3! Ai përcakton vetëm se cili nga boshtet do të jetë boshti i rrotullimit të hiperboloidit (ose paralel me të, pasi kur termat shtesë shfaqen në katror (për shembull, (x-2) 2), qendra e figurës zhvendoset, si si rezultat, sipërfaqja lëviz paralelisht me boshtet e koordinatave). Kjo vlen për të gjitha sipërfaqet e rendit të dytë.

Përveç kësaj, duhet të kuptoni se ekuacionet janë paraqitur në formë kanonike dhe ato mund të ndryshohen duke ndryshuar konstantet (duke ruajtur shenjën!); në të njëjtën kohë, pamja e tyre (hiperboloid, kon, e kështu me radhë) do të mbetet e njëjtë.

Një ekuacion i tillë jepet nga një hiperboloid me dy fletë.

Sipërfaqe konike

Në ekuacionin e konit, nuk ka unitet - është e barabartë me zero.

Vetëm një sipërfaqe konike e kufizuar quhet kon. Fotografia më poshtë tregon se, në fakt, do të ketë dy të ashtuquajtur kone në tabelë.

Shënim i rëndësishëm: në të gjitha ekuacionet kanonike të konsideruara, konstantet supozohen si pozitive si parazgjedhje. Përndryshe, shenja mund të ndikojë në grafikun përfundimtar.

Planet koordinative bëhen rrafshe të simetrisë së konit, qendra e simetrisë ndodhet në origjinë.

Në ekuacionin e një koni imagjinar ka vetëm pluse; zotëron një pikë të vetme reale.

Paraboloidet

Sipërfaqet e rendit 2 në hapësirë mund të marrin forma të ndryshme edhe me ekuacione të ngjashme. Për shembull, paraboloidet vijnë në dy lloje.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Një paraboloid eliptik, kur boshti Z është pingul me vizatimin, do të projektohet në një elips.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Paraboloid hiperbolik: në seksionet me rrafshe paralele me ZY do të fitohen parabola dhe në seksionet me plane paralele me XY hiperbola.

Planet kryqëzuese

Ka raste kur sipërfaqet e rendit të dytë degjenerojnë në rrafsh. Këto avionë mund të organizohen në mënyra të ndryshme.

Së pari, le të shohim aeroplanët që kryqëzohen:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Me këtë modifikim të ekuacionit kanonik, ne thjesht marrim dy plane të kryqëzuara (imagjinare!); të gjitha pikat reale janë në boshtin e koordinatës që mungon në ekuacion (në atë kanonik - boshti Z).

Planet paralele

Nëse ka vetëm një koordinatë, sipërfaqet e rendit të dytë degjenerojnë në një palë planesh paralele. Mos harroni, çdo variabël tjetër mund të zërë vendin e lojtarit; atëherë do të fitohen plane paralele me boshtet e tjera.

Në këtë rast ato bëhen imagjinare.

Aeroplanë të rastësishëm

Me një ekuacion kaq të thjeshtë, një palë avionësh degjenerojnë në një - ato përkojnë.

Mos harroni se në rastin e një baze tredimensionale, ekuacioni i mësipërm nuk specifikon drejtëzën y=0! Mungojnë dy variablat e tjerë, por kjo thjesht do të thotë se vlera e tyre është konstante dhe e barabartë me zero.

Ndërtimi

Një nga detyrat më të vështira për një student është pikërisht ndërtimi i sipërfaqeve të rendit të dytë. Është edhe më e vështirë të kalosh nga një sistem koordinativ në tjetrin, duke marrë parasysh këndet e prirjes së kurbës në lidhje me boshtet dhe zhvendosjen e qendrës. Le të përsërisim se si të përcaktojmë vazhdimisht pamjen e ardhshme të një vizatimi në një mënyrë analitike.

Për të ndërtuar një sipërfaqe të rendit të dytë, ju duhet:

të sjellë ekuacionin në formën kanonike;
të përcaktojë llojin e sipërfaqes në studim;
ndërtoni në bazë të vlerave të koeficientëve.

Më poshtë janë të gjitha llojet e konsideruara:

Për ta përforcuar këtë, ne do të përshkruajmë në detaje një shembull të këtij lloji të detyrës.

Shembuj

Le të themi se kemi ekuacionin:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Le ta sjellim në formën kanonike. Le të zgjedhim katrorë të plotë, domethënë do t'i rregullojmë termat e disponueshëm në atë mënyrë që ato të jenë një zbërthim i katrorit të shumës ose diferencës. Për shembull: nëse (a+1) 2 =a 2 +2a+1, atëherë a 2 +2a+1=(a+1) 2. Ne do të kryejmë një operacion të dytë. Në këtë rast, nuk është e nevojshme të hapni kllapat, pasi kjo vetëm do të komplikojë llogaritjet, por është e nevojshme të hiqni faktorin e përbashkët 6 (në kllapa me katrorin e plotë të lojës):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Ndryshorja zet shfaqet në këtë rast vetëm një herë - mund ta lini të qetë tani për tani.

Le të analizojmë ekuacionin në këtë fazë: të gjitha të panjohurat kanë një shenjë plus përpara tyre; Duke e ndarë me gjashtë e lë një. Rrjedhimisht, kemi para nesh një ekuacion që përcakton një elipsoid.

Vini re se 144 u faktorizua në 150-6, dhe më pas -6 u zhvendos në të djathtë. Pse duhej të bëhej në këtë mënyrë? Natyrisht, pjesëtuesi më i madh në këtë shembull është -6, prandaj, në mënyrë që një njësi të mbetet në të djathtë pas pjesëtimit me të, është e nevojshme të "lihet mënjanë" saktësisht 6 nga 144 (fakti që njësia duhet të jetë në e drejta tregohet nga prania e një termi të lirë - një konstante e pa shumëzuar në të panjohurën).

Le të ndajmë gjithçka me gjashtë dhe të marrim ekuacionin kanonik të elipsoidit:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Në klasifikimin e përdorur më parë të sipërfaqeve të rendit të dytë, një rast i veçantë konsiderohet kur qendra e figurës është në origjinën e koordinatave. Në këtë shembull është kompensuar.

Supozojmë se çdo kllapë me të panjohura është një ndryshore e re. Domethënë: a=x-1, b=y+5, c=z. Në koordinatat e reja qendra e elipsoidit përkon me pikën (0,0,0), pra a=b=c=0, prej nga: x=1, y=-5, z=0. Në koordinatat fillestare, qendra e figurës shtrihet në pikën (1,-5,0).

Elipsoidi do të merret nga dy elipsa: e para në rrafshin XY dhe e dyta në planin XZ (ose YZ - nuk ka rëndësi). Koeficientët me të cilët ndahen variablat janë në katror në ekuacionin kanonik. Prandaj, në shembullin e mësipërm, do të ishte më e saktë të ndahej me rrënjën e dy, një dhe rrënjën e tre.

Boshti i vogël i elipsit të parë, paralel me boshtin Y, është i barabartë me dy. Boshti kryesor është paralel me boshtin X - dy rrënjë nga dy. Boshti i vogël i elipsit të dytë, paralel me boshtin Y, mbetet i njëjtë - është i barabartë me dy. Dhe boshti kryesor, paralel me boshtin Z, është i barabartë me dy rrënjët e tre.

Duke përdorur të dhënat e marra nga ekuacioni origjinal duke e kthyer atë në formë kanonike, mund të vizatojmë një elipsoid.

Duke përmbledhur

Tema e trajtuar në këtë artikull është mjaft e gjerë, por në fakt, siç mund ta shihni tani, nuk është shumë e ndërlikuar. Zhvillimi i tij, në fakt, përfundon në momentin kur mësoni përmendësh emrat dhe ekuacionet e sipërfaqeve (dhe, natyrisht, si duken ato). Në shembullin e mësipërm, ne shqyrtuam çdo hap në detaje, por sjellja e ekuacionit në formën kanonike kërkon njohuri minimale të matematikës së lartë dhe nuk duhet të shkaktojë ndonjë vështirësi për studentin.

Analiza e planit të ardhshëm bazuar në barazinë ekzistuese është një detyrë më e vështirë. Por për ta zgjidhur me sukses, mjafton të kuptojmë se si janë ndërtuar kthesat përkatëse të rendit të dytë - elipsat, parabolat dhe të tjerët.

Rastet e degjenerimit janë një seksion edhe më i thjeshtë. Për shkak të mungesës së disa variablave, jo vetëm llogaritjet janë thjeshtuar, siç u përmend më herët, por edhe vetë ndërtimi.

Sapo të mund të emërtoni me siguri të gjitha llojet e sipërfaqeve, të ndryshoni konstante, duke e kthyer një grafik në një formë ose në një tjetër, tema do të zotërohet.

Suksese në studimet tuaja!

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve