Sistemi homogjen i ekuacioneve lineare. Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare

Matricat e dhëna

Gjeni: 1) aA - bB,

Zgjidhje: 1) E gjejmë në mënyrë sekuenciale, duke përdorur rregullat e shumëzimit të një matrice me një numër dhe mbledhjes së matricave..

2. Gjeni A*B nëse

Zgjidhje: Ne përdorim rregullin e shumëzimit të matricës

Përgjigje:

3. Për një matricë të dhënë, gjeni minorin M 31 dhe llogarisni përcaktorin.

Zgjidhje: Minor M 31 është përcaktor i matricës që merret nga A

pasi kemi kaluar rreshtin 3 dhe kolonën 1. Gjejmë

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Le të transformojmë matricën A pa ndryshuar përcaktorin e saj (le të bëjmë zero në rreshtin 1)





-3, -, -4

-10			-15
-20			-25
-4			-5

Tani llogarisim përcaktuesin e matricës A duke u zgjeruar përgjatë rreshtit 1

Përgjigje: M 31 = 0, detA = 0

Zgjidheni duke përdorur metodën Gauss dhe metodën Cramer.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Zgjidhje: Le të kontrollojmë

Ju mund të përdorni metodën e Cramer

Zgjidhja e sistemit: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Le të zbatojmë metodën Gaussian.

Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

Për lehtësinë e llogaritjes, le të ndërrojmë rreshtat:

Shumëzoni rreshtin e dytë me (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) dhe shtoni në 3:



	1 / 2		7 / 2

Shumëzoni rreshtin e parë me (k = -2 / 2 = -1 ) dhe shtoni në të dytin:

Tani sistemi origjinal mund të shkruhet si:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

Nga rreshti i 2 shprehemi

Nga rreshti i 1 shprehemi

Zgjidhja është e njëjtë.

Përgjigje: (2; -5; 3)

Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit dhe FSR

13x 1 – 4x 2 – x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 – 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Zgjidhje: Le të zbatojmë metodën Gaussian. Le ta reduktojmë matricën e zgjeruar të sistemit në formë trekëndore.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3


x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Shumëzoni rreshtin e parë me (-11). Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (13). Le të shtojmë rreshtin e dytë në rreshtin e parë:


-2	-2	-3

Shumëzojeni rreshtin e dytë me (-5). Le të shumëzojmë rreshtin e 3-të me (11). Le të shtojmë rreshtin e tretë në rreshtin e dytë:

Shumëzoni rreshtin e tretë me (-7). Le të shumëzojmë rreshtin e 4-të me (5). Le të shtojmë rreshtin e 4-të në rreshtin e 3-të:

Ekuacioni i dytë është një kombinim linear i të tjerëve

Le të gjejmë gradën e matricës.

	-18	-24	-18	-27

x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Minorja e zgjedhur ka renditjen më të lartë (të minorave të mundshëm) dhe është jo zero (është e barabartë me prodhimin e elementeve në diagonalen e kundërt), prandaj rangu (A) = 2.

Ky minor është bazë. Ai përfshin koeficientët për të panjohurat x 1 , x 2 , që do të thotë se të panjohurat x 1 , x 2 janë të varura (bazë) dhe x 3 , x 4 , x 5 janë të lira.

Sistemi me koeficientët e kësaj matrice është i barabartë me sistemin origjinal dhe ka formën:

18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Duke përdorur metodën e eliminimit të të panjohurave, gjejmë zgjidhje e përgjithshme:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh (FSD), i cili përbëhet nga zgjidhje (n-r). Në rastin tonë, n=5, r=2, pra, sistemi themelor i zgjidhjeve përbëhet nga 3 zgjidhje dhe këto zgjidhje duhet të jenë linearisht të pavarura.

Që rreshtat të jenë linearisht të pavarur, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së përbërë nga elementët e rreshtit të jetë i barabartë me numrin e rreshtave, domethënë 3.

Mjafton të jepni vlerat e të panjohurave të lira x 3, x 4, x 5 nga rreshtat e përcaktorit të rendit të tretë, jo zero dhe të llogaritni x 1, x 2.

Përcaktori më i thjeshtë jo zero është matrica e identitetit.

Por është më i përshtatshëm për të marrë këtu

Ne gjejmë duke përdorur zgjidhjen e përgjithshme:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

Vendimi I i FSR: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

Zgjidhja II FSR: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

Vendimi III i FSR: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; - 9; 0; 0;6)

6. Jepen: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Gjeni: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Zgjidhje: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Përgjigje: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Në shkollë, secili prej nesh studionte ekuacionet dhe, ka shumë të ngjarë, sistemet e ekuacioneve. Por jo shumë njerëz e dinë se ka disa mënyra për t'i zgjidhur ato. Sot do të analizojmë në detaje të gjitha metodat për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare që përbëhen nga më shumë se dy barazi.

Histori

Sot dihet se arti i zgjidhjes së ekuacioneve dhe sistemeve të tyre e ka origjinën në Babiloninë e Lashtë dhe Egjiptin. Sidoqoftë, barazitë në formën e tyre të njohur u shfaqën pas shfaqjes së shenjës së barabartë "=", e cila u prezantua në 1556 nga matematikani anglez Record. Nga rruga, kjo shenjë u zgjodh për një arsye: do të thotë dy segmente të barabarta paralele. Në të vërtetë, nuk ka shembull më të mirë të barazisë.

Themeluesi i emërtimeve moderne të shkronjave për të panjohurat dhe shenjat e gradave është një matematikan francez, megjithatë, emërtimet e tij ishin dukshëm të ndryshme nga ato të sotme. Për shembull, ai shënoi një katror të një numri të panjohur me shkronjën Q (lat. "quadratus"), dhe një kub me shkronjën C (lat. "cubus"). Ky shënim duket i vështirë tani, por në atë kohë ishte mënyra më e kuptueshme për të shkruar sisteme të ekuacioneve algjebrike lineare.

Sidoqoftë, një e metë në metodat e zgjidhjes së asaj kohe ishte se matematikanët i konsideronin vetëm rrënjët pozitive. Kjo mund të jetë për shkak të faktit se vlerat negative nuk kishin përdorim praktik. Në një mënyrë apo tjetër, ishin matematikanët italianë Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dhe Raphael Bombelli të cilët ishin të parët që numëruan rrënjët negative në shekullin e 16-të. Dhe forma moderne, metoda kryesore e zgjidhjes (përmes diskriminuesit) u krijua vetëm në shekullin e 17-të falë punës së Dekartit dhe Njutonit.

Në mesin e shekullit të 18-të, matematikani zviceran Gabriel Cramer gjeti një mënyrë të re për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo metodë u emërua më vonë pas tij dhe ne e përdorim edhe sot e kësaj dite. Por ne do të flasim për metodën e Cramer pak më vonë, por tani për tani le të diskutojmë ekuacionet lineare dhe metodat për zgjidhjen e tyre veçmas nga sistemi.

Ekuacionet lineare

Ekuacionet lineare janë ekuacionet më të thjeshta me një ndryshore (ndryshore). Ato klasifikohen si algjebrike. shkruhet në formë të përgjithshme si më poshtë: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Ne do të na duhet t'i përfaqësojmë ato në këtë formë kur të përpilojmë sistemet dhe matricat më vonë.

Sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare

Përkufizimi i këtij termi është: është një grup ekuacionesh që kanë madhësi të përbashkëta të panjohura dhe një zgjidhje të përbashkët. Si rregull, në shkollë të gjithë zgjidhën sisteme me dy ose edhe tre ekuacione. Por ka sisteme me katër ose më shumë komponentë. Le të kuptojmë së pari se si t'i shkruajmë ato në mënyrë që të jetë e përshtatshme për t'u zgjidhur në të ardhmen. Së pari, sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare do të duken më mirë nëse të gjitha variablat shkruhen si x me nënshkrimin e duhur: 1,2,3 e kështu me radhë. Së dyti, të gjitha ekuacionet duhet të sillen në formën kanonike: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Pas gjithë këtyre hapave, ne mund të fillojmë të flasim se si të gjejmë zgjidhje për sistemet e ekuacioneve lineare. Matricat do të jenë shumë të dobishme për këtë.

Matricat

Një matricë është një tabelë që përbëhet nga rreshta dhe kolona, dhe në kryqëzimin e tyre janë elementët e saj. Këto mund të jenë ose vlera specifike ose variabla. Më shpesh, për të treguar elementë, nënshkrimet vendosen nën to (për shembull, një 11 ose një 23). Indeksi i parë nënkupton numrin e rreshtit, dhe i dyti - numrin e kolonës. Operacione të ndryshme mund të kryhen në matrica, si në çdo element tjetër matematikor. Kështu, ju mund të:

2) Shumëzoni një matricë me çdo numër ose vektor.

3) Transpozoni: ktheni rreshtat e matricës në kolona dhe kolonat në rreshta.

4) Shumëzoni matricat nëse numri i rreshtave të njërës prej tyre është i barabartë me numrin e kolonave të tjetrës.

Le të diskutojmë të gjitha këto teknika më në detaje, pasi ato do të jenë të dobishme për ne në të ardhmen. Zbritja dhe shtimi i matricave është shumë i thjeshtë. Meqenëse marrim matrica të së njëjtës madhësi, çdo element i njërës tabelë lidhet me secilin element të tjetrit. Kështu, ne i shtojmë (zbresim) këta dy elementë (është e rëndësishme që ato të qëndrojnë në të njëjtat vende në matricat e tyre). Kur shumëzoni një matricë me një numër ose vektor, ju thjesht shumëzoni çdo element të matricës me atë numër (ose vektor). Transpozimi është një proces shumë interesant. Është shumë interesante ta shohësh ndonjëherë në jetën reale, për shembull, kur ndryshoni orientimin e një tableti ose telefoni. Ikonat në desktop përfaqësojnë një matricë, dhe kur pozicioni ndryshon, ajo transpozohet dhe bëhet më e gjerë, por zvogëlohet në lartësi.

Le të shohim një proces tjetër si: Edhe pse nuk do të na nevojitet, do të jetë prapë e dobishme ta dimë atë. Ju mund të shumëzoni dy matrica vetëm nëse numri i kolonave në një tabelë është i barabartë me numrin e rreshtave në tjetrën. Tani le të marrim elementet e një rreshti të një matrice dhe elementet e kolonës përkatëse të një tjetre. Le t'i shumëzojmë me njëri-tjetrin dhe pastaj t'i mbledhim (d.m.th., prodhimi i elementeve a 11 dhe a 12 me b 12 dhe b 22 do të jetë i barabartë me: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Kështu, fitohet një element i tabelës dhe plotësohet më tej duke përdorur një metodë të ngjashme.

Tani mund të fillojmë të shqyrtojmë se si zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare.

Metoda e Gausit

Kjo temë fillon të trajtohet në shkollë. Ne e njohim mirë konceptin e "një sistemi me dy ekuacione lineare" dhe dimë t'i zgjidhim ato. Por çka nëse numri i ekuacioneve është më shumë se dy? Kjo do të na ndihmojë

Sigurisht, kjo metodë është e përshtatshme për t'u përdorur nëse bëni një matricë nga sistemi. Por ju nuk keni nevojë ta transformoni atë dhe ta zgjidhni atë në formën e tij të pastër.

Pra, si e zgjidh kjo metodë sistemin e ekuacioneve lineare Gaussian? Nga rruga, megjithëse kjo metodë është emëruar pas tij, ajo u zbulua në kohët e lashta. Gauss propozon si më poshtë: të kryhen operacione me ekuacione në mënyrë që përfundimisht të reduktohet i gjithë grupi në një formë hap pas hapi. Kjo do të thotë, është e nevojshme që nga lart poshtë (nëse është rregulluar saktë) nga ekuacioni i parë në të fundit të panjohur të zvogëlohet. Me fjalë të tjera, ne duhet të sigurohemi që të marrim, le të themi, tre ekuacione: në të parën ka tre të panjohura, në të dytën ka dy, në të tretën ka një. Pastaj nga ekuacioni i fundit gjejmë të panjohurën e parë, e zëvendësojmë vlerën e saj në ekuacionin e dytë ose të parë dhe më pas gjejmë dy variablat e mbetur.

Metoda Cramer

Për të zotëruar këtë metodë, është jetike të keni aftësitë e mbledhjes dhe zbritjes së matricave, dhe gjithashtu duhet të jeni në gjendje të gjeni përcaktues. Prandaj, nëse i bëni të gjitha këto dobët ose nuk dini fare se si, do t'ju duhet të mësoni dhe praktikoni.

Cili është thelbi i kësaj metode dhe si ta bëjmë atë në mënyrë që të merret një sistem ekuacionesh lineare Cramer? Është shumë e thjeshtë. Ne duhet të ndërtojmë një matricë të koeficientëve numerikë (pothuajse gjithmonë) të një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Për ta bërë këtë, ne thjesht marrim numrat përpara të panjohurave dhe i renditim në një tabelë sipas renditjes në të cilën janë shkruar në sistem. Nëse ka një shenjë "-" përpara numrit, atëherë shkruajmë një koeficient negativ. Pra, ne kemi përpiluar matricën e parë të koeficientëve për të panjohurat, duke mos përfshirë numrat pas shenjave të barabarta (natyrisht, ekuacioni duhet të reduktohet në formën kanonike, kur vetëm numri është në të djathtë, dhe të gjitha të panjohurat me koeficient janë në e majta). Pastaj ju duhet të krijoni disa matrica të tjera - një për secilën variabël. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë secilën kolonë me koeficientët në matricën e parë me radhë me një kolonë numrash pas shenjës së barabartë. Kështu, marrim disa matrica dhe më pas gjejmë përcaktuesit e tyre.

Pasi kemi gjetur përcaktuesit, është një çështje e vogël. Ne kemi një matricë fillestare, dhe ka disa matrica rezultuese që korrespondojnë me variabla të ndryshëm. Për të marrë zgjidhje për sistemin, ne ndajmë përcaktuesin e tabelës që rezulton me përcaktuesin e tabelës fillestare. Numri që rezulton është vlera e njërit prej variablave. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjitha të panjohurat.

Metoda të tjera

Ekzistojnë disa metoda të tjera për marrjen e zgjidhjeve të sistemeve të ekuacioneve lineare. Për shembull, e ashtuquajtura metodë Gauss-Jordan, e cila përdoret për të gjetur zgjidhje për një sistem ekuacionesh kuadratike dhe gjithashtu shoqërohet me përdorimin e matricave. Ekziston edhe metoda Jacobi për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare. Është më e lehtë për t'u përshtatur me një kompjuter dhe përdoret në kompjuter.

Raste komplekse

Kompleksiteti zakonisht lind kur numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i variablave. Atëherë mund të themi me siguri se ose sistemi është i paqëndrueshëm (d.m.th., nuk ka rrënjë), ose numri i zgjidhjeve të tij priret në pafundësi. Nëse kemi rastin e dytë, atëherë duhet të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit të ekuacioneve lineare. Ai do të përmbajë të paktën një variabël.

konkluzioni

Këtu kemi ardhur në fund. Le të përmbledhim: ne kuptuam se çfarë janë një sistem dhe një matricë dhe mësuam se si të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh lineare. Përveç kësaj, ne kemi shqyrtuar opsione të tjera. Zbuluam se si të zgjidhim një sistem ekuacionesh lineare: metodën e Gausit dhe folëm për raste komplekse dhe mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje.

Në fakt, kjo temë është shumë më e gjerë dhe nëse doni ta kuptoni më mirë, ju rekomandojmë të lexoni literaturë më të specializuar.

Sistemi homogjen i ekuacioneve lineare mbi një fushë

PËRKUFIZIM. Një sistem themelor zgjidhjesh për një sistem ekuacionesh (1) është një sistem linearisht i pavarur i zgjidhjeve të tij jo bosh, hapësira lineare e të cilit përkon me grupin e të gjitha zgjidhjeve të sistemit (1).

Vini re se një sistem homogjen ekuacionesh lineare që ka vetëm një zgjidhje zero nuk ka një sistem themelor zgjidhjesh.

PROPOZIM 3.11. Çdo dy sisteme themelore zgjidhjesh për një sistem homogjen ekuacionesh lineare përbëhen nga i njëjti numër zgjidhjesh.

Dëshmi. Në fakt, çdo dy sisteme themelore të zgjidhjeve të sistemit homogjen të ekuacioneve (1) janë ekuivalente dhe linearisht të pavarura. Prandaj, sipas propozimit 1.12, gradat e tyre janë të barabarta. Rrjedhimisht, numri i zgjidhjeve të përfshira në një sistem themelor është i barabartë me numrin e zgjidhjeve të përfshira në çdo sistem tjetër themelor të zgjidhjeve.

Nëse matrica kryesore A e sistemit homogjen të ekuacioneve (1) është zero, atëherë çdo vektor nga është zgjidhje për sistemin (1); në këtë rast, çdo grup vektorësh të pavarur linearisht nga është një sistem themelor zgjidhjesh. Nëse rangu i kolonës së matricës A është i barabartë me , atëherë sistemi (1) ka vetëm një zgjidhje - zero; prandaj, në këtë rast, sistemi i ekuacioneve (1) nuk ka një sistem themelor zgjidhjesh.

TEOREMA 3.12. Nëse rangu i matricës kryesore të një sistemi homogjen të ekuacioneve lineare (1) është më i vogël se numri i ndryshoreve, atëherë sistemi (1) ka një sistem zgjidhjesh themelore të përbërë nga zgjidhje.

Dëshmi. Nëse rangu i matricës kryesore A të sistemit homogjen (1) është i barabartë me zero ose , atëherë u tregua më lart se teorema është e vërtetë. Prandaj, më poshtë supozohet se Duke supozuar , do të supozojmë se kolonat e para të matricës A janë linearisht të pavarura. Në këtë rast, matrica A është ekuivalente në radhë me matricën e reduktuar hap pas hapi dhe sistemi (1) është ekuivalent me sistemin e mëposhtëm të reduktuar hap pas hapi të ekuacioneve:

Është e lehtë të kontrollohet që çdo sistem vlerash të ndryshoreve të lira të sistemit (2) korrespondon me një dhe vetëm një zgjidhje për sistemin (2) dhe, për rrjedhojë, për sistemin (1). Në veçanti, vetëm zgjidhja zero e sistemit (2) dhe sistemit (1) korrespondon me një sistem me vlera zero.

Në sistemin (2) do t'i caktojmë njërit prej variablave të lirë një vlerë të barabartë me 1, dhe variablave të mbetur - vlera zero. Si rezultat, marrim zgjidhje për sistemin e ekuacioneve (2), të cilat i shkruajmë në formën e rreshtave të matricës së mëposhtme C:

Sistemi i rreshtave të kësaj matrice është linearisht i pavarur. Në të vërtetë, për çdo shkallë nga barazia

vijon barazia

dhe, për rrjedhojë, barazia

Le të vërtetojmë se hapësira lineare e sistemit të rreshtave të matricës C përkon me bashkësinë e të gjitha zgjidhjeve të sistemit (1).

Zgjidhja arbitrare e sistemit (1). Pastaj vektori

është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (1), dhe

Sistemet homogjene të ekuacioneve algjebrike lineare

Si pjesë e mësimeve Metoda Gaussian Dhe Sisteme/sisteme të papajtueshme me një zgjidhje të përbashkët kemi konsideruar sistemet johomogjene të ekuacioneve lineare, Ku anëtar i lirë(që zakonisht është në të djathtë) të paktën një nga ekuacionet ishte ndryshe nga zero.
Dhe tani, pas një ngrohjeje të mirë me renditja e matricës, ne do të vazhdojmë të lustrojmë teknikën transformimet elementare në sistemi homogjen i ekuacioneve lineare.
Bazuar në paragrafët e parë, materiali mund të duket i mërzitshëm dhe mediokër, por kjo përshtypje është mashtruese. Përveç zhvillimit të mëtejshëm të teknikave, do të ketë shumë informacione të reja, kështu që ju lutemi përpiquni të mos lini pas dore shembujt në këtë artikull.

Çfarë është një sistem homogjen ekuacionesh lineare?

Përgjigja sugjeron vetë. Një sistem ekuacionesh lineare është homogjen nëse termi i lirë të gjithë ekuacioni i sistemit është zero. Për shembull:

Është absolutisht e qartë se një sistem homogjen është gjithmonë konsistent dmth ka gjithmone nje zgjidhje. Dhe, para së gjithash, ajo që ju bie në sy është e ashtuquajtura i parëndësishëm zgjidhje . Trivial, për ata që nuk e kuptojnë fare kuptimin e mbiemrit, do të thotë pa shfaqje. Jo akademike, sigurisht, por e kuptueshme =) ...Pse të rrahim rreth shkurret, le të zbulojmë nëse ky sistem ka ndonjë zgjidhje tjetër:

Shembulli 1

Zgjidhje: për të zgjidhur një sistem homogjen është e nevojshme të shkruhet matrica e sistemit dhe me ndihmën e shndërrimeve elementare e sjellin atë në një formë të shkallëzuar. Ju lutemi vini re se këtu nuk ka nevojë të shkruani shiritin vertikal dhe kolonën zero të termave të lirë - në fund të fundit, pavarësisht se çfarë bëni me zero, ato do të mbeten zero:

(1) Rreshtit të dytë iu shtua rreshti i parë, shumëzuar me –2. Rreshti i parë iu shtua rreshtit të tretë, shumëzuar me –3.

(2) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me –1.

Pjesëtimi i vijës së tretë me 3 nuk ka shumë kuptim.

Si rezultat i transformimeve elementare, fitohet një sistem homogjen ekuivalent , dhe, duke përdorur inversin e metodës Gaussian, është e lehtë të verifikohet se zgjidhja është unike.

Përgjigju:

Le të formulojmë një kriter të qartë: një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka vetëm një zgjidhje e parëndësishme, Nëse rangu i matricës së sistemit(në këtë rast 3) është e barabartë me numrin e variablave (në këtë rast - 3 copë).

Le të ngrohemi dhe të akordojmë radion tonë me valën e transformimeve elementare:

Shembulli 2

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Nga artikulli Si të gjeni gradën e një matrice? Le të kujtojmë teknikën racionale të zvogëlimit të njëkohshëm të numrave të matricës. Përndryshe, do t'ju duhet të prisni peshq të mëdhenj dhe shpesh kafshues. Një shembull i përafërt i një detyre në fund të mësimit.

Zerot janë të mira dhe të përshtatshme, por në praktikë rasti është shumë më i zakonshëm kur rreshtat e matricës së sistemit varur në mënyrë lineare. Dhe atëherë shfaqja e një zgjidhjeje të përgjithshme është e pashmangshme:

Shembulli 3

Zgjidh një sistem homogjen ekuacionesh lineare

Zgjidhje: le të shkruajmë matricën e sistemit dhe, duke përdorur transformimet elementare, ta sjellim atë në një formë hap pas hapi. Veprimi i parë synon jo vetëm marrjen e një vlere të vetme, por edhe zvogëlimin e numrave në kolonën e parë:

(1) Rreshtit të parë iu shtua një rresht i tretë, shumëzuar me –1. Rreshti i tretë iu shtua rreshtit të dytë, shumëzuar me –2. Në krye të majtë mora një njësi me një "minus", i cili shpesh është shumë më i përshtatshëm për transformime të mëtejshme.

(2) Dy rreshtat e parë janë të njëjtë, njëri prej tyre u fshi. Sinqerisht, unë nuk e shtyva zgjidhjen - doli kështu. Nëse kryeni transformime në një mënyrë shabllon, atëherë varësia lineare rreshtat do të ishin zbuluar pak më vonë.

(3) Rreshtit të tretë iu shtua rreshti i dytë, shumëzuar me 3.

(4) Shenja e rreshtit të parë u ndryshua.

Si rezultat i transformimeve elementare, u mor një sistem ekuivalent:

Algoritmi funksionon saktësisht njësoj si për sisteme heterogjene. Variablat "ulur në shkallë" janë ato kryesore, ndryshorja që nuk ka marrë "hap" është falas.

Le të shprehim variablat bazë përmes një ndryshoreje të lirë:

Përgjigju: zgjidhje e përgjithshme:

Zgjidhja e parëndësishme përfshihet në formulën e përgjithshme dhe është e panevojshme ta shkruajmë veçmas.

Kontrolli kryhet gjithashtu sipas skemës së zakonshme: zgjidhja e përgjithshme që rezulton duhet të zëvendësohet në anën e majtë të secilit ekuacion të sistemit dhe duhet të merret një zero ligjore për të gjitha zëvendësimet.

Do të ishte e mundur ta përfundonim këtë në heshtje dhe paqësi, por zgjidhja për një sistem homogjen ekuacionesh shpesh duhet të përfaqësohet në formë vektoriale duke përdorur sistemi themelor i zgjidhjeve. Ju lutemi harroni atë për momentin gjeometria analitike, pasi tani do të flasim për vektorët në kuptimin e përgjithshëm algjebrik, të cilin e hapa pak në artikullin rreth renditja e matricës. Nuk ka nevojë të fshihet terminologjia, gjithçka është mjaft e thjeshtë.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) është padyshim tema më e rëndësishme në një kurs të algjebrës lineare. Një numër i madh problemesh nga të gjitha degët e matematikës zbresin në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni

zgjidhni metodën optimale për zgjidhjen e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare duke marrë në konsideratë zgjidhje të detajuara për shembujt dhe problemet tipike.

Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.

Së pari, ne japim të gjitha përkufizimet, konceptet e nevojshme dhe prezantojmë shënimet.

Më pas, do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe të cilat kanë një zgjidhje unike. Së pari, ne do të përqendrohemi në metodën e Cramer-it, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve dhe së treti, do të analizojmë metodën e Gauss (metoda e eliminimit sekuencial të ndryshoreve të panjohura). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.

Pas kësaj, do të kalojmë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme, në të cilat numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është njëjës. Le të formulojmë teoremën Kronecker-Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE-ve. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (nëse ato janë të pajtueshme) duke përdorur konceptin e një baze minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.

Do të ndalemi patjetër në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemeve homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare. Le të japim konceptin e një sistemi themelor zgjidhjesh dhe të tregojmë se si zgjidhja e përgjithshme e një SLAE shkruhet duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.

Si përfundim, ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve që mund të reduktohen në ato lineare, si dhe probleme të ndryshme në zgjidhjen e të cilave lindin SLAE.

Navigimi i faqes.

Përkufizime, koncepte, emërtime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës

Variabla të panjohur, - koeficientë (disa numra realë ose kompleksë), - terma të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).

Kjo formë e regjistrimit të SLAE quhet koordinoj.

NË forma matrice shkrimi i këtij sistemi ekuacionesh ka formën,
Ku - matrica kryesore e sistemit, - një matricë kolone e ndryshoreve të panjohura, - një matricë kolone e termave të lirë.

Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Në mënyrë tipike, një matricë e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet me një vijë vertikale nga kolonat e mbetura, d.m.th.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura që i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të ndryshoreve të panjohura bëhet gjithashtu një identitet.

Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.

Nëse një sistem ekuacionesh nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.

Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.

Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero , atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.

Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.

Nëse numri i ekuacioneve të një sistemi është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është i barabartë me zero, atëherë SLAE të tilla do të quhen elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.

Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në shkollën e mesme. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një variabël të panjohur në terma të të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, pastaj morëm ekuacionin tjetër, shprehëm variablin tjetër të panjohur dhe e zëvendësuam me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, pra kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.

Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer.

Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare

në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .

Le të jetë përcaktuesi i matricës kryesore të sistemit, dhe - përcaktorët e matricave që fitohen nga A me zëvendësim 1, 2, …, e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë:

Me këtë shënim, ndryshoret e panjohura llogariten duke përdorur formulat e metodës Cramer si . Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.

Shembull.

Metoda e Cramer-it .

Zgjidhje.

Matrica kryesore e sistemit ka formën . Le të llogarisim përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është jozero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer.

Le të hartojmë dhe llogarisim përcaktorët e nevojshëm (përcaktorin e marrim duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë me terma të lirë, përcaktorin duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë dhe duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë me terma të lirë) :

Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula :

Përgjigje:

Disavantazhi kryesor i metodës Cramer (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve në sistem është më shumë se tre.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës (duke përdorur një matricë inverse).

Le të jepet një sistem ekuacionesh algjebrike lineare në formë matrice, ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.

Meqenëse , matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë me të majtën, marrim një formulë për gjetjen e një matrice-kolone të ndryshoreve të panjohura. Kështu kemi marrë një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës.

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare metoda e matricës.

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës:

Sepse

atëherë SLAE mund të zgjidhet duke përdorur metodën e matricës. Duke përdorur matricën e kundërt, zgjidhja për këtë sistem mund të gjendet si .

Le të ndërtojmë një matricë të kundërt duke përdorur një matricë nga shtimet algjebrike të elementeve të matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Mbetet për të llogaritur matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt në një kolonë matricë të anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Përgjigje:

ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problemi kryesor gjatë gjetjes së zgjidhjeve për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore të rendit më të lartë se e treta.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.

Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.

Thelbi i metodës Gauss përbëhet nga përjashtimi sekuencial i variablave të panjohur: së pari, x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa vetëm ndryshorja e panjohur x n mbetet në ekuacionin e fundit. Ky proces i transformimit të ekuacioneve të një sistemi për të eliminuar në mënyrë sekuenciale variablat e panjohur quhet Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian. Pas përfundimit të goditjes përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, duke përdorur këtë vlerë nga ekuacioni i parafundit, llogaritet x n-1 dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura gjatë lëvizjes nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari inversi i metodës Gaussian.

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.

Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke ndërruar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku, dhe .

Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.

Më pas, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë

Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , ekuacionin e katërt i shtojmë të dytin, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të dytin, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku, dhe . Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Më pas vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3, ndërkohë që veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë.

Pra, ne vazhdojmë përparimin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën

Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy anët e ekuacionit të dytë dhe të tretë shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuara me dhe me, përkatësisht:

Tani eliminojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në anën e majtë dhe të djathtë të tij anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit të dytë, shumëzuar me:

Kjo plotëson goditjen përpara të metodës së Gausit, ne fillojmë goditjen e kundërt.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve gjejmë x 3:

Nga ekuacioni i dytë marrim .

Nga ekuacioni i parë gjejmë variablin e mbetur të panjohur dhe në këtë mënyrë plotësojmë të kundërtën e metodës Gauss.

Përgjigje:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Në përgjithësi, numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:

SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe njëjës.

Teorema Kronecker–Capelli.

Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile dhe kur është jokonsistente jepet nga Teorema Kronecker–Capelli:
Në mënyrë që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th. , Rank(A)=Ranku(T).

Le të shqyrtojmë, si shembull, zbatimin e teoremës Kronecker-Capelli për të përcaktuar përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare.

Shembull.

Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka zgjidhjet.

Zgjidhje.

. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minor i rendit të dytë të ndryshme nga zero. Le të shohim të miturit e rendit të tretë në kufi me të:

Meqenëse të gjitha minoret kufitare të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është i barabartë me dy.

Nga ana tjetër, rangu i matricës së zgjeruar është e barabartë me tre, pasi i mituri është i rendit të tretë

të ndryshme nga zero.

Kështu, Rang(A), pra, duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.

Përgjigje:

Sistemi nuk ka zgjidhje.

Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e një sistemi duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.

Por si të gjesh një zgjidhje për një SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?

Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e një baze minor të një matrice dhe një teoremë për rangun e një matrice.

Minorja e rendit më të lartë të matricës A, e ndryshme nga zero, quhet bazë.

Nga përkufizimi i një baze minor del se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë jo-zero A mund të ketë disa minore bazë.

Për shembull, merrni parasysh matricën .

Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.

Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi ato janë jo zero

Të miturit nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.

Teorema e rangut të matricës.

Nëse renditja e një matrice të rendit p me n është e barabartë me r, atëherë të gjithë elementët e rreshtit (dhe kolonës) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve të rreshtit (dhe kolonës) përkatëse që formojnë bazë e vogël.

Çfarë na tregon teorema e renditjes së matricës?

Nëse, sipas teoremës Kronecker-Capelli, ne kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo bazë minore të matricës kryesore të sistemit (rendi i saj është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që bëjnë nuk formojnë bazën e zgjedhur minor. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).

Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të panevojshme të sistemit, dy raste janë të mundshme.

Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.

Shembull.

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemit është e barabartë me dy, pasi e vogla është e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Rank i zgjeruar i matricës është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është zero

dhe minorja e rendit të dytë e konsideruar më sipër është e ndryshme nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker–Capelli, mund të pohojmë përputhshmërinë e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2.

Si bazë minor ne marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë:

Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën mbi rangun e matricës:

Kështu kemi marrë një sistem elementar të ekuacioneve algjebrike lineare. Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer:

Përgjigje:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura n, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve i lëmë termat që formojnë bazën të vogla, dhe termat e mbetur i transferojmë në anët e djathta të ekuacionet e sistemit me shenjën e kundërt.

Ndryshoret e panjohura (r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.

Quhen variabla të panjohura (ka n - r pjesë) që janë në anët e djathta falas.

Tani ne besojmë se ndryshoret e panjohura të lira mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen përmes ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE që rezulton duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Zgjidh një sistem ekuacionesh algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor jozero i rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor jo zero të rendit të dytë që kufizohet me këtë minor:

Kështu gjetëm një minor jozero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë:

Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu i barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.

Ne marrim minorin e gjetur jozero të rendit të tretë si bazë.

Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël:

Ne i lëmë termat e përfshirë në bazë të vogël në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit dhe transferojmë pjesën tjetër me shenja të kundërta në anët e djathta:

Le t'u japim variablave të panjohur të lirë x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë pranojmë , ku janë numra arbitrarë. Në këtë rast, SLAE do të marrë formën

Le të zgjidhim sistemin elementar rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it:

Prandaj,.

Në përgjigjen tuaj, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.

Përgjigje:

Ku janë numrat arbitrarë.

Le të përmbledhim.

Për të zgjidhur një sistem të ekuacioneve të përgjithshme lineare algjebrike, së pari përcaktojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse renditja e matricës kryesore nuk është e barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm.

Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim një bazë minore dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e bazës së vogël të zgjedhur.

Nëse rendi i bazës minor është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, e cila mund të gjendet me çdo metodë të njohur për ne.

Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë termat me variablat kryesore të panjohura, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe i japim vlera arbitrare. variablat e panjohur të lirë. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare gjejmë variablat kryesore të panjohura duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Metoda e Gausit mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çdo lloji pa i testuar ato për pajtueshmëri. Procesi i eliminimit sekuencial të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për papajtueshmërinë e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.

Nga pikëpamja llogaritëse, metoda Gaussian është e preferueshme.

Shihni përshkrimin e tij të detajuar dhe shembujt e analizuar në artikullin Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve të përgjithshme lineare algjebrike.

Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemet algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.

Në këtë pjesë do të flasim për sisteme të njëkohshme homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë një numër të pafund zgjidhjesh.

Le të merremi së pari me sistemet homogjene.

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistemi homogjen i p ekuacioneve algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura është një koleksion (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.

Nëse shënojmë zgjidhje lineare të pavarura të një SLAE homogjene si X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë matrica kolone të dimensionit n me 1), atëherë zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me koeficientë konstante arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), pra .

Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?

Kuptimi është i thjeshtë: formula specifikon të gjitha zgjidhjet e mundshme të SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstanteve arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), duke përdorur formulën që ne do të merrni një nga tretësirat e SLAE origjinale homogjene.

Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i përkufizojmë të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .

Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.

Ne zgjedhim bazën minore të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta. Le t'u japim variablave të panjohura të lira vlerat 1,0,0,...,0 dhe të llogarisim të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, duke përdorur metodën Cramer. Kjo do të rezultojë në X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse caktojmë vlerat 0.0,…,0.1 variablave të panjohura të lira dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (n-r) . Në këtë mënyrë, do të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .

Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës dhe është zgjidhja e veçantë e SLAE inhomogjene origjinale, të cilën e marrim duke i dhënë vlerat të panjohurave të lira. 0,0,…,0 dhe llogaritja e vlerave të të panjohurave kryesore.

Le të shohim shembuj.

Shembull.

Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Si minor jo zero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Le të gjejmë minorin kufitar jozero të rendit të dytë:

Është gjetur një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero:

Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është i barabartë me dy. Le të marrim. Për qartësi, le të shënojmë elementet e sistemit që e formojnë atë:

Ekuacioni i tretë i SLAE origjinale nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, prandaj mund të përjashtohet:

Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anët e djathta të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:

Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE përbëhet nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura, dhe rendi i minorit bazë të tij është i barabartë me dy. Për të gjetur X (1), ne u japim ndryshoreve të panjohura të lira vlerat x 2 = 1, x 4 = 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve
.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve