Përmbajtja e artikullit

EKUACIONET DIFERENCIALE. Shumë ligje fizike që rregullojnë fenomene të caktuara shkruhen në formën e një ekuacioni matematik që shpreh një marrëdhënie të caktuar midis sasive të caktuara. Shpesh ne po flasim për marrëdhënien midis sasive që ndryshojnë me kalimin e kohës, për shembull, efikasiteti i motorit, i matur me distancën që një makinë mund të përshkojë me një litër karburant, varet nga shpejtësia e makinës. Ekuacioni përkatës përmban një ose më shumë funksione dhe derivatet e tyre dhe quhet ekuacion diferencial. (Shpejtësia e ndryshimit të distancës me kalimin e kohës përcaktohet nga shpejtësia; prandaj, shpejtësia është një derivat i distancës; në mënyrë të ngjashme, nxitimi është një derivat i shpejtësisë, pasi nxitimi përcakton shkallën e ndryshimit të shpejtësisë me kohën.) Rëndësia e madhe e diferencialit ekuacionet për matematikën dhe veçanërisht për aplikimet e saj, shpjegohen me faktin se studimi i shumë problemeve fizike dhe teknike zbret në zgjidhjen e ekuacioneve të tilla. Ekuacionet diferenciale luajnë një rol të rëndësishëm edhe në shkencat e tjera, si biologjia, ekonomia dhe inxhinieria elektrike; në fakt, ato lindin kudo ku ka nevojë për një përshkrim sasior (numerik) të dukurive (përderisa bota përreth ndryshon me kalimin e kohës, dhe kushtet ndryshojnë nga një vend në tjetrin).

Shembuj.

Shembujt e mëposhtëm ofrojnë një kuptim më të mirë se si formulohen probleme të ndryshme në gjuhën e ekuacioneve diferenciale.

1) Ligji i zbërthimit të disa substancave radioaktive është se shkalla e kalbjes është proporcionale me sasinë e disponueshme të kësaj substance. Nëse x– sasia e substancës në një moment të caktuar kohor t, atëherë ky ligj mund të shkruhet si më poshtë:

Ku dx/dtështë shkalla e kalbjes, dhe k– disa konstante pozitive që karakterizojnë një substancë të caktuar. (Shenja minus në anën e djathtë tregon këtë x zvogëlohet me kalimin e kohës; një shenjë plus, e nënkuptuar gjithmonë kur shenja nuk shprehet në mënyrë eksplicite, do të thotë se x rritet me kalimin e kohës.)

2) Ena përmban fillimisht 10 kg kripë të tretur në 100 m 3 ujë. Nëse uji i pastër derdhet në një enë me një shpejtësi prej 1 m 3 në minutë dhe përzihet në mënyrë të barabartë me tretësirën, dhe tretësira që rezulton rrjedh nga ena me të njëjtën shpejtësi, atëherë sa kripë do të ketë në enë në çdo të mëvonshme koha? Nëse x– sasia e kripës (në kg) në enë në të njëjtën kohë t, pastaj në çdo kohë t 1 m 3 tretësirë ​​në enë përmban x/100 kg kripë; prandaj sasia e kripës zvogëlohet me shpejtësi x/100 kg/min, ose

3) Le të ketë masa në trup m e pezulluar nga fundi i sustës, një forcë rivendosëse vepron në përpjesëtim me sasinë e tensionit në sustë. Le x– sasia e devijimit të trupit nga pozicioni i ekuilibrit. Pastaj, sipas ligjit të dytë të Njutonit, i cili thotë se nxitimi (derivati ​​i dytë i x nga koha, e caktuar d 2 x/dt 2) proporcionale me forcën:

Ana e djathtë ka një shenjë minus sepse forca rivendosëse zvogëlon shtrirjen e sustës.

4) Ligji i ftohjes së trupave thotë se sasia e nxehtësisë në trup zvogëlohet në raport me ndryshimin e temperaturës midis trupit dhe mjedisit. Nëse një filxhan kafe e ngrohur në një temperaturë prej 90°C ndodhet në një dhomë ku temperatura është 20°C, atëherë

Ku T– temperatura e kafesë në kohë t.

5) Ministri i Jashtëm i shtetit të Blefuscu pretendon se programi i armëve i miratuar nga Lilliput e detyron vendin e tij të rrisë sa më shumë shpenzimet ushtarake. Deklarata të ngjashme bën edhe ministri i Jashtëm i Liliputit. Situata që rezulton (në interpretimin e saj më të thjeshtë) mund të përshkruhet me saktësi nga dy ekuacione diferenciale. Le x Dhe y- shpenzimet për armatimin e Liliputit dhe Blefuskut. Duke supozuar se Lilliput rrit shpenzimet e tij për armatimet në një normë proporcionale me shkallën e rritjes së shpenzimeve për armatimet e Blefuscu dhe anasjelltas, marrim:

ku janë anëtarët sëpatë Dhe - nga përshkruani shpenzimet ushtarake të çdo vendi, k Dhe l janë konstante pozitive. (Ky problem u formulua për herë të parë në këtë mënyrë në 1939 nga L. Richardson.)

Pasi të jetë shkruar problemi në gjuhën e ekuacioneve diferenciale, duhet të përpiqeni t'i zgjidhni ato, d.m.th. gjeni sasitë, ritmet e ndryshimit të të cilave përfshihen në ekuacione. Ndonjëherë zgjidhjet gjenden në formën e formulave të qarta, por më shpesh ato mund të paraqiten vetëm në formë të përafërt ose mund të merret informacion cilësor për to. Shpesh mund të jetë e vështirë të përcaktohet nëse ekziston një zgjidhje, e lëre më të gjendet një zgjidhje. Një pjesë e rëndësishme e teorisë së ekuacioneve diferenciale përbëhet nga të ashtuquajturat "teorema të ekzistencës", në të cilat vërtetohet ekzistenca e një zgjidhjeje për një ose një tjetër lloj ekuacioni diferencial.

Formulimi origjinal matematik i një problemi fizik zakonisht përmban supozime thjeshtuese; Kriteri i arsyeshmërisë së tyre mund të jetë shkalla e konsistencës së zgjidhjes matematikore me vëzhgimet e disponueshme.

Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale.

Ekuacioni diferencial, për shembull dy/dx = x/y, është i kënaqur jo nga një numër, por nga një funksion, në këtë rast të veçantë i tillë që grafiku i tij në çdo pikë, për shembull në një pikë me koordinata (2,3), të ketë një tangjente me një koeficient këndor të barabartë me raportin e koordinatat (në shembullin tonë, 2/3). Kjo është e lehtë për t'u verifikuar nëse ndërtoni një numër të madh pikash dhe vizatoni një segment të shkurtër nga secila me një pjerrësi përkatëse. Zgjidhja do të jetë një funksion, grafiku i të cilit prek secilën nga pikat e tij në segmentin përkatës. Nëse ka mjaft pika dhe segmente, atëherë përafërsisht mund të përvijojmë rrjedhën e kurbave të zgjidhjes (tre kurba të tilla janë paraqitur në Fig. 1). Ekziston saktësisht një kurbë zgjidhje që kalon nëpër secilën pikë me y Nr. 0. Çdo zgjidhje individuale quhet zgjidhje e pjesshme e një ekuacioni diferencial; nëse është e mundur të gjendet një formulë që përmban të gjitha zgjidhjet e veçanta (me përjashtim të disa zgjidhjeve të veçanta), atëherë ata thonë se është marrë një zgjidhje e përgjithshme. Një zgjidhje e veçantë përfaqëson një funksion, ndërsa një zgjidhje e përgjithshme përfaqëson një familje të tërë të tyre. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial do të thotë të gjesh zgjidhjen e tij të veçantë ose të përgjithshme. Në shembullin që po shqyrtojmë, zgjidhja e përgjithshme ka formën y 2 – x 2 = c, Ku c- çdo numër; një zgjidhje e veçantë që kalon në pikën (1,1) ka formën y = x dhe rezulton se kur c= 0; një zgjidhje e veçantë që kalon në pikën (2,1) ka formën y 2 – x 2 = 3. Kushti që kërkon që kurba e zgjidhjes të kalojë, për shembull, përmes pikës (2,1), quhet kusht fillestar (pasi specifikon pikën e fillimit në lakoren e zgjidhjes).

Mund të tregohet se në shembullin (1) zgjidhja e përgjithshme ka formën x = ce –kt, Ku c– një konstante që mund të përcaktohet, për shembull, duke treguar sasinë e substancës në t= 0. Ekuacioni nga shembulli (2) është një rast i veçantë i ekuacionit nga shembulli (1), që korrespondon k= 1/100. Gjendja fillestare x= 10 në t= 0 jep një zgjidhje të veçantë x = 10e –t/100 . Ekuacioni nga shembulli (4) ka një zgjidhje të përgjithshme T = 70 + ce –kt dhe zgjidhje private 70 + 130 - kt; për të përcaktuar vlerën k, nevojiten të dhëna shtesë.

Ekuacioni diferencial dy/dx = x/y quhet ekuacion i rendit të parë, pasi përmban derivatin e parë (rendi i një ekuacioni diferencial zakonisht konsiderohet të jetë rendi i derivatit më të lartë të përfshirë në të). Për shumicën (edhe pse jo të gjitha) ekuacionet diferenciale të llojit të parë që dalin në praktikë, vetëm një kurbë zgjidhjesh kalon nëpër secilën pikë.

Ekzistojnë disa lloje të rëndësishme të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë që mund të zgjidhen në formën e formulave që përmbajnë vetëm funksione elementare - fuqitë, eksponentët, logaritmet, sinuset dhe kosinuset, etj. Ekuacione të tilla përfshijnë sa vijon.

Ekuacione me ndryshore të ndashme.

Ekuacionet e formës dy/dx = f(x)/g(y) mund të zgjidhet duke e shkruar në diferenciale g(y)dy = f(x)dx dhe duke integruar të dyja pjesët. Në rastin më të keq, zgjidhja mund të përfaqësohet në formën e integraleve të funksioneve të njohura. Për shembull, në rastin e ekuacionit dy/dx = x/y ne kemi f(x) = x, g(y) = y. Duke e shkruar në formë ydy = xdx dhe duke u integruar, ne marrim y 2 = x 2 + c. Ekuacionet me ndryshore të ndashme përfshijnë ekuacione nga shembujt (1), (2), (4) (ato mund të zgjidhen në mënyrën e përshkruar më sipër).

Ekuacionet në diferencialet totale.

Nëse ekuacioni diferencial ka formën dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Ku M Dhe N janë dy funksione të dhëna, atëherë mund të paraqitet si M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Nëse ana e majtë është diferenciali i ndonjë funksioni F(x,y), atëherë ekuacioni diferencial mund të shkruhet si dF(x,y) = 0, që është ekuivalente me ekuacionin F(x,y) = konst. Kështu, kurbat e zgjidhjes së ekuacionit janë "vijat e niveleve konstante" të funksionit, ose vendndodhja e pikave që plotësojnë ekuacionet F(x,y) = c. Ekuacioni ydy = xdx(Fig. 1) - me ndryshore të ndashme, dhe të njëjtat - në diferenciale totale: për t'u siguruar për këtë të fundit, e shkruajmë në formën ydy – xdx= 0, d.m.th. d(y 2 – x 2) = 0. Funksioni F(x,y) në këtë rast është e barabartë me (1/2)( y 2 – x 2); Disa nga linjat e tij të nivelit konstant janë paraqitur në Fig. 1.

Ekuacionet lineare.

Ekuacionet lineare janë ekuacione të "shkallës së parë" - funksioni i panjohur dhe derivatet e tij shfaqen në ekuacione të tilla vetëm në shkallën e parë. Kështu, ekuacioni diferencial linear i rendit të parë ka formën dy/dx + fq(x) = q(x), Ku fq(x) Dhe q(x) – funksione që varen vetëm nga x. Zgjidhja e tij mund të shkruhet gjithmonë duke përdorur integrale të funksioneve të njohura. Shumë lloje të tjera të ekuacioneve diferenciale të rendit të parë zgjidhen duke përdorur teknika të veçanta.

Ekuacionet e rendit më të lartë.

Shumë ekuacione diferenciale që hasin fizikanët janë ekuacione të rendit të dytë (d.m.th., ekuacione që përmbajnë derivate të dyta, për shembull, është ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike nga shembulli (3). md 2 x/dt 2 = –kx. Në përgjithësi, mund të presim që një ekuacion i rendit të dytë të ketë zgjidhje të pjesshme që plotësojnë dy kushte; për shembull, mund të kërkohet që kurba e zgjidhjes të kalojë nëpër një pikë të caktuar në një drejtim të caktuar. Në rastet kur ekuacioni diferencial përmban një parametër të caktuar (një numër vlera e të cilit varet nga rrethanat), zgjidhjet e llojit të kërkuar ekzistojnë vetëm për vlera të caktuara të këtij parametri. Për shembull, merrni parasysh ekuacionin md 2 x/dt 2 = –kx dhe ne do ta kërkojmë atë y(0) = y(1) = 0. Funksioni yє 0 është padyshim një zgjidhje, por nëse është një shumëfish numër i plotë fq, d.m.th. k = m 2 n 2 fq 2, ku nështë një numër i plotë, por në realitet vetëm në këtë rast ka zgjidhje të tjera, përkatësisht: y= mëkat npx. Vlerat e parametrave për të cilat ekuacioni ka zgjidhje të veçanta quhen karakteristikë ose eigenvalues; ata luajnë një rol të rëndësishëm në shumë detyra.

Ekuacioni i lëvizjes së thjeshtë harmonike është një shembull i një klase të rëndësishme ekuacionesh, përkatësisht ekuacioneve diferenciale lineare me koeficientë konstante. Një shembull më i përgjithshëm (gjithashtu i rendit të dytë) është ekuacioni

Ku a Dhe b- konstante të dhëna, f(x) është një funksion i dhënë. Ekuacione të tilla mund të zgjidhen në mënyra të ndryshme, për shembull, duke përdorur transformimin integral të Laplace. E njëjta gjë mund të thuhet për ekuacionet lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante. Ekuacionet lineare me koeficientë të ndryshueshëm gjithashtu luajnë një rol të rëndësishëm.

Ekuacionet diferenciale jolineare.

Ekuacionet që përmbajnë funksione të panjohura dhe derivatet e tyre ndaj fuqive më të larta se të parat ose në një mënyrë më komplekse quhen jolineare. Vitet e fundit ata kanë tërhequr vëmendjen në rritje. Fakti është se ekuacionet fizike janë zakonisht lineare vetëm me një përafrim të parë; Hulumtimet e mëtejshme dhe më të sakta, si rregull, kërkojnë përdorimin e ekuacioneve jolineare. Për më tepër, shumë probleme janë të natyrës jolineare. Meqenëse zgjidhjet e ekuacioneve jolineare janë shpesh shumë komplekse dhe të vështira për t'u paraqitur me formula të thjeshta, një pjesë e rëndësishme e teorisë moderne i kushtohet analizës cilësore të sjelljes së tyre, d.m.th. zhvillimi i metodave që bëjnë të mundur, pa zgjidhur ekuacionin, të thuhet diçka domethënëse për natyrën e zgjidhjeve në tërësi: për shembull, që ato janë të gjitha të kufizuara, ose kanë një natyrë periodike, ose varen në një mënyrë të caktuar nga koeficientët.

Zgjidhjet e përafërta të ekuacioneve diferenciale mund të gjenden numerikisht, por kjo kërkon shumë kohë. Me ardhjen e kompjuterëve me shpejtësi të lartë, kjo kohë u reduktua shumë, gjë që hapi mundësi të reja për zgjidhjen numerike të shumë problemeve që më parë ishin të pazgjidhshme për një zgjidhje të tillë.

Teoremat e ekzistencës.

Teorema e ekzistencës është një teoremë që thotë se, në kushte të caktuara, një ekuacion diferencial i caktuar ka një zgjidhje. Ka ekuacione diferenciale që nuk kanë zgjidhje ose kanë më shumë se sa pritej. Qëllimi i një teoreme ekzistence është të na bindë se një ekuacion i caktuar ka në të vërtetë një zgjidhje dhe më shpesh të na sigurojë se ka saktësisht një zgjidhje të llojit të kërkuar. Për shembull, ekuacioni që kemi hasur tashmë dy/dx = –2y ka saktësisht një zgjidhje që kalon nëpër secilën pikë të planit ( x,y), dhe meqenëse ne kemi gjetur tashmë një zgjidhje të tillë, ne e kemi zgjidhur plotësisht këtë ekuacion. Nga ana tjetër, ekuacioni ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ka shumë zgjidhje. Midis tyre janë të drejta y = 1, y= –1 dhe kthesa y= mëkat ( x + c). Zgjidhja mund të përbëhet nga disa segmente të këtyre vijave të drejta dhe kthesave, që kalojnë në njëra-tjetrën në pikat e kontaktit (Fig. 2).

Ekuacionet diferenciale të pjesshme.

Një ekuacion diferencial i zakonshëm është një deklaratë në lidhje me derivatin e një funksioni të panjohur të një ndryshoreje. Një ekuacion diferencial i pjesshëm përmban një funksion të dy ose më shumë ndryshoreve dhe derivateve të atij funksioni në lidhje me të paktën dy ndryshore të ndryshme.

Në fizikë, shembuj të ekuacioneve të tilla janë ekuacioni i Laplace

X, y) brenda rrethit nëse vlerat u të specifikuara në secilën pikë të rrethit kufizues. Meqenëse problemet me më shumë se një ndryshore në fizikë janë rregull dhe jo përjashtim, është e lehtë të imagjinohet se sa e gjerë është tema e teorisë së ekuacioneve diferenciale të pjesshme.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Shembuj zgjidhjesh.
Ekuacione diferenciale me ndryshore të ndashme

Ekuacionet diferenciale (DE). Këto dy fjalë zakonisht tmerrojnë një person mesatar. Ekuacionet diferenciale duket se janë diçka penguese dhe e vështirë për t'u zotëruar për shumë studentë. Uuuuuu... ekuacione diferenciale, si mund t'i mbijetoj gjithë kësaj?!

Ky mendim dhe ky qëndrim është thelbësisht i gabuar, sepse në fakt EKUACIONET DIFERENCIALE - ESHTE E THJESHTE DHE EDHE ARGETUESE. Çfarë duhet të dini dhe të jeni në gjendje të bëni për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet diferenciale? Për të studiuar me sukses difuzionet, duhet të jeni të mirë në integrimin dhe diferencimin. Sa më mirë të studiohen temat Derivat i një funksioni të një ndryshoreje Dhe Integrali i pacaktuar, aq më e lehtë do të jetë për të kuptuar ekuacionet diferenciale. Unë do të them më shumë, nëse keni aftësi pak a shumë të mira integruese, atëherë tema është pothuajse e zotëruar! Sa më shumë integrale të llojeve të ndryshme që mund të zgjidhni, aq më mirë. Pse? Do të duhet të integroheni shumë. Dhe diferenconi. Gjithashtu rekomandoj shumë mësoni të gjeni.

Në 95% të rasteve, letrat e testimit përmbajnë 3 lloje ekuacionesh diferenciale të rendit të parë: ekuacionet e ndashme të cilat do t'i shikojmë në këtë mësim; ekuacionet homogjene Dhe ekuacionet lineare johomogjene. Për ata që fillojnë të studiojnë shpërndarësit, ju këshilloj të lexoni mësimet pikërisht në këtë mënyrë, dhe pasi të keni studiuar dy artikujt e parë, nuk do të dëmtojë të konsolidoni aftësitë tuaja në një punëtori shtesë - ekuacionet që reduktohen në homogjene.

Ekzistojnë lloje edhe më të rralla të ekuacioneve diferenciale: ekuacionet diferenciale totale, ekuacionet e Bernulit dhe disa të tjera. Më e rëndësishmja nga dy llojet e fundit janë ekuacionet në diferencialet totale, pasi përveç këtij ekuacioni diferencial po shqyrtoj materialin e ri - integrimin e pjesshëm.

Nëse ju kanë mbetur vetëm një ose dy ditë, Kjo për përgatitje ultra të shpejtë ka kurs blitz në format pdf.

Pra, pikë referimi janë vendosur - le të shkojmë:

Së pari, le të kujtojmë ekuacionet e zakonshme algjebrike. Ato përmbajnë variabla dhe numra. Shembulli më i thjeshtë: . Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion të zakonshëm? Kjo do të thotë të gjesh grup numrash, të cilat plotësojnë këtë ekuacion. Është e lehtë të vërehet se ekuacioni i fëmijëve ka një rrënjë të vetme: . Vetëm për argëtim, le të kontrollojmë dhe zëvendësojmë rrënjën e gjetur në ekuacionin tonë:

– fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Difuzorët janë projektuar pothuajse në të njëjtën mënyrë!

Ekuacioni diferencial rendit të parë në rastin e përgjithshëm përmban:
1) ndryshore e pavarur;
2) ndryshore e varur (funksion);
3) derivati ​​i parë i funksionit: .

Në disa ekuacione të rendit të parë mund të mos ketë "x" dhe/ose "y", por kjo nuk është e rëndësishme - e rëndësishme për të shkuar në dhomën e kontrollit ishte derivati ​​i parë, dhe nuk kishte derivatet e rendit më të lartë – , etj.

Çfarë do të thotë? Zgjidhja e një ekuacioni diferencial do të thotë të gjesh grup i të gjitha funksioneve, të cilat plotësojnë këtë ekuacion. Një grup i tillë funksionesh shpesh ka formën (– një konstante arbitrare), e cila quhet zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit diferencial.

Shembulli 1

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Municion i plotë. Ku të filloni zgjidhje?

Para së gjithash, ju duhet të rishkruani derivatin në një formë paksa të ndryshme. Kujtojmë emërtimin e rëndë, i cili ndoshta shumë prej jush dukej qesharak dhe i panevojshëm. Kjo është ajo që rregullon në difuzorët!

Në hapin e dytë, le të shohim nëse është e mundur variabla të ndara?Çfarë do të thotë të ndash variabla? E thënë përafërsisht, në anën e majtë ne duhet të largohemi vetëm "grekët", A në anën e djathtë organizojnë vetëm "X". Ndarja e variablave kryhet duke përdorur manipulime "shkollë": vendosja e tyre jashtë kllapave, transferimi i termave nga një pjesë në pjesë me një ndryshim të shenjës, transferimi i faktorëve nga pjesa në pjesë sipas rregullit të proporcionit, etj.

Diferenciale dhe janë shumëzues të plotë dhe pjesëmarrës aktivë në armiqësi. Në shembullin në shqyrtim, variablat ndahen lehtësisht duke hedhur faktorët sipas rregullit të proporcionit:

Variablat janë të ndara. Në anën e majtë ka vetëm "Y", në anën e djathtë - vetëm "X".

Faza tjetër është integrimi i ekuacionit diferencial. Është e thjeshtë, ne vendosim integrale në të dy anët:

Natyrisht, ne duhet të marrim integrale. Në këtë rast ato janë tabelare:

Siç e kujtojmë, çdo antiderivativ i caktohet një konstante. Këtu ka dy integrale, por mjafton të shkruhet një herë konstantja (pasi konstante + konstante është ende e barabartë me një konstante tjetër). Në shumicën e rasteve vendoset në anën e djathtë.

Në mënyrë strikte, pasi të merren integralet, ekuacioni diferencial konsiderohet i zgjidhur. E vetmja gjë është që "y"-ja jonë nuk shprehet përmes "x", domethënë paraqitet zgjidhja në një të nënkuptuar formë. Zgjidhja e një ekuacioni diferencial në formë të nënkuptuar quhet integrali i përgjithshëm i ekuacionit diferencial. Kjo është, ky është një integral i përgjithshëm.

Përgjigja në këtë formë është mjaft e pranueshme, por a ka një alternativë më të mirë? Le të përpiqemi të marrim zgjidhje e përgjithshme.

Ju lutem, mbani mend teknikën e parë, është shumë e zakonshme dhe përdoret shpesh në detyra praktike: nëse një logaritëm shfaqet në anën e djathtë pas integrimit, atëherë në shumë raste (por jo gjithmonë!) këshillohet gjithashtu të shkruhet konstantja nën logaritëm.

Kjo është, NË VEND TË hyrjet zakonisht shkruhen .

Pse është e nevojshme kjo? Dhe për ta bërë më të lehtë shprehjen e "lojës". Përdorimi i vetive të logaritmeve . Në këtë rast:

Tani logaritmet dhe modulet mund të hiqen:

Funksioni është paraqitur në mënyrë eksplicite. Kjo është zgjidhja e përgjithshme.

Përgjigju: zgjidhje e përgjithshme: .

Përgjigjet për shumë ekuacione diferenciale janë mjaft të lehta për t'u kontrolluar. Në rastin tonë, kjo bëhet mjaft thjesht, marrim zgjidhjen e gjetur dhe e diferencojmë:

Pastaj ne e zëvendësojmë derivatin në ekuacionin origjinal:

– fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja e përgjithshme plotëson ekuacionin, që është ajo që duhet të kontrollohet.

Duke dhënë një konstante vlera të ndryshme, mund të merrni një numër të pafund zgjidhje private ekuacioni diferencial. Është e qartë se ndonjë nga funksionet , etj. plotëson ekuacionin diferencial.

Ndonjëherë quhet zgjidhja e përgjithshme familja e funksioneve. Në këtë shembull, zgjidhja e përgjithshme është një familje funksionesh lineare, ose më saktë, një familje e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.

Pas një shqyrtimi të plotë të shembullit të parë, është e përshtatshme t'i përgjigjemi disa pyetjeve naive në lidhje me ekuacionet diferenciale:

1)Në këtë shembull, ne ishim në gjendje të veçonim variablat. A mund të bëhet gjithmonë kjo? Jo, jo gjithmonë. Dhe akoma më shpesh, variablat nuk mund të ndahen. Për shembull, në ekuacionet homogjene të rendit të parë, fillimisht duhet ta zëvendësoni. Në llojet e tjera të ekuacioneve, për shembull, në një ekuacion linear johomogjen të rendit të parë, duhet të përdorni teknika dhe metoda të ndryshme për të gjetur një zgjidhje të përgjithshme. Ekuacionet me ndryshore të ndashme, të cilat i shqyrtojmë në mësimin e parë, janë lloji më i thjeshtë i ekuacioneve diferenciale.

2) A është gjithmonë e mundur të integrohet një ekuacion diferencial? Jo, jo gjithmonë. Është shumë e lehtë të dalësh me një ekuacion "të zbukuruar" që nuk mund të integrohet, përveç kësaj, ka integrale që nuk mund të merren. Por DE të tilla mund të zgjidhen përafërsisht duke përdorur metoda speciale. D'Alembert dhe Cauchy garantojnë... ...po, përgjoj. Për të lexuar shumë vetëm tani, gati shtova "nga bota tjetër".

3) Në këtë shembull, ne morëm një zgjidhje në formën e një integrali të përgjithshëm . A është gjithmonë e mundur të gjesh një zgjidhje të përgjithshme nga një integral i përgjithshëm, domethënë të shprehësh "y" në mënyrë eksplicite? Jo, jo gjithmonë. Për shembull: . Epo, si mund të shprehesh “greqisht” këtu?! Në raste të tilla, përgjigja duhet të shkruhet si një integral i përgjithshëm. Për më tepër, ndonjëherë është e mundur të gjendet një zgjidhje e përgjithshme, por është shkruar aq e rëndë dhe e ngathët sa është më mirë të lihet përgjigja në formën e një integrali të përgjithshëm.

4) ...ndoshta kjo është e mjaftueshme tani për tani. Në shembullin e parë që hasëm një pikë tjetër e rëndësishme, por për të mos i mbuluar "bedelet" me një ortek informacionesh të reja, do ta lë deri në mësimin tjetër.

Ne nuk do të nxitojmë. Një tjetër telekomandë e thjeshtë dhe një zgjidhje tjetër tipike:

Shembulli 2

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që plotëson kushtin fillestar

Zgjidhje: sipas gjendjes, ju duhet të gjeni zgjidhje private DE që plotëson një kusht fillestar të caktuar. Ky formulim i pyetjes quhet edhe Problem cauchy.

Së pari gjejmë një zgjidhje të përgjithshme. Nuk ka asnjë ndryshore "x" në ekuacion, por kjo nuk duhet të ngatërrohet, gjëja kryesore është që ajo ka derivatin e parë.

Ne e rishkruajmë derivatin në formën e kërkuar:

Natyrisht, variablat mund të ndahen, djemtë në të majtë, vajzat në të djathtë:

Le të integrojmë ekuacionin:

Përftohet integrali i përgjithshëm. Këtu kam vizatuar një konstante me një yll, fakti është se shumë shpejt ajo do të kthehet në një konstante tjetër.

Tani ne përpiqemi të transformojmë integralin e përgjithshëm në një zgjidhje të përgjithshme (shprehni "y" në mënyrë eksplicite). Le të kujtojmë gjërat e vjetra të mira nga shkolla: . Në këtë rast:

Konstanta në tregues duket disi e paqartë, kështu që zakonisht zbret në tokë. Në detaje, kështu ndodh. Duke përdorur vetinë e shkallëve, ne e rishkruajmë funksionin si më poshtë:

Nëse është një konstante, atëherë është gjithashtu një konstante, le ta ripërcaktojmë atë me shkronjën:

Mos harroni se "shkatërrimi" i një konstante është teknikë e dytë, e cila përdoret shpesh gjatë zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale.

Pra, zgjidhja e përgjithshme është: . Kjo është një familje e bukur funksionesh eksponenciale.

Në fazën përfundimtare, ju duhet të gjeni një zgjidhje të veçantë që plotëson kushtin e dhënë fillestar. Kjo është gjithashtu e thjeshtë.

Cila është detyra? Nevoja për të marrë të tilla vlera e konstantës në mënyrë që kushti të plotësohet.

Mund të formatohet në mënyra të ndryshme, por kjo ndoshta do të jetë mënyra më e qartë. Në zgjidhjen e përgjithshme, në vend të "X" ne zëvendësojmë një zero, dhe në vend të "Y" ne zëvendësojmë një dy:



Kjo është,

Versioni standard i dizajnit:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur të konstantës në zgjidhjen e përgjithshme:
– kjo është zgjidhja e veçantë që na nevojitet.

Përgjigju: zgjidhje private:

Le të kontrollojmë. Kontrollimi i një zgjidhjeje private përfshin dy faza:

Së pari ju duhet të kontrolloni nëse zgjidhja e caktuar e gjetur përmbush vërtet kushtin fillestar? Në vend të "X" ne zëvendësojmë një zero dhe shohim se çfarë ndodh:
– Po, vërtet keni marrë një dy, që do të thotë se kushti fillestar është plotësuar.

Faza e dytë është tashmë e njohur. Marrim zgjidhjen e veçantë që rezulton dhe gjejmë derivatin:

Ne zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

– fitohet barazia e saktë.

Përfundim: zgjidhja e caktuar u gjet saktë.

Le të kalojmë në shembuj më kuptimplotë.

Shembulli 3

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhja: Ne e rishkruajmë derivatin në formën që na nevojitet:

Ne vlerësojmë nëse është e mundur të ndahen variablat? Mund. Ne e zhvendosim termin e dytë në anën e djathtë me një ndryshim të shenjës:

Dhe ne i transferojmë shumëzuesit sipas rregullit të proporcionit:

Variablat janë të ndara, le të integrojmë të dyja pjesët:

Më duhet t'ju paralajmëroj, dita e gjykimit po afron. Nëse nuk keni studiuar mirë integrale të pacaktuara, kanë zgjidhur disa shembuj, atëherë nuk ka ku të shkojë - do të duhet t'i zotëroni ato tani.

Integrali i anës së majtë është i lehtë për t'u gjetur, ne trajtojmë integralin e kotangjentës duke përdorur teknikën standarde që pamë në mësim Integrimi i funksioneve trigonometrike vitin e kaluar:

Në anën e djathtë kemi një logaritëm dhe, sipas rekomandimit tim të parë teknik, konstanta duhet të shkruhet edhe nën logaritëm.

Tani ne përpiqemi të thjeshtojmë integralin e përgjithshëm. Meqenëse kemi vetëm logaritme, është mjaft e mundur (dhe e nevojshme) t'i heqim qafe ato. Duke përdorur vetitë e njohura I “paketojmë” logaritmet sa më shumë që të jetë e mundur. Do ta shkruaj me shumë detaje:

Paketimi është përfunduar për t'u copëtuar barbarisht:

A është e mundur të shprehet "lojë"? Mund. Është e nevojshme që të dy pjesët të jenë katrore.

Por ju nuk keni nevojë ta bëni këtë.

Këshilla e tretë teknike: nëse për të marrë një zgjidhje të përgjithshme është e nevojshme të ngrihet në një fuqi ose të zërë rrënjë, atëherë në shumicën e rasteve duhet të përmbaheni nga këto veprime dhe ta lini përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm. Fakti është se zgjidhja e përgjithshme do të duket thjesht e tmerrshme - me rrënjë të mëdha, shenja dhe mbeturina të tjera.

Prandaj, ne e shkruajmë përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm. Konsiderohet praktikë e mirë ta paraqisni atë në formën , domethënë në anën e djathtë, nëse është e mundur, të lini vetëm një konstante. Nuk është e nevojshme ta bëni këtë, por është gjithmonë e dobishme për të kënaqur profesorin ;-)

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

! Shënim: Integrali i përgjithshëm i çdo ekuacioni mund të shkruhet në më shumë se një mënyrë. Kështu, nëse rezultati juaj nuk përkon me përgjigjen e njohur më parë, kjo nuk do të thotë se e keni zgjidhur gabim ekuacionin.

Integrali i përgjithshëm është gjithashtu mjaft i lehtë për t'u kontrolluar, gjëja kryesore është të jesh në gjendje të gjesh derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite. Le të dallojmë përgjigjen:

Ne i shumëzojmë të dy termat me:

Dhe ndajeni me:

Ekuacioni origjinal diferencial është marrë saktësisht, që do të thotë se integrali i përgjithshëm është gjetur saktë.

Shembulli 4

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial që plotëson kushtin fillestar. Kryeni kontrollin.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Më lejoni t'ju kujtoj se algoritmi përbëhet nga dy faza:
1) gjetja e një zgjidhjeje të përgjithshme;
2) gjetja e zgjidhjes së veçantë të kërkuar.

Kontrolli kryhet gjithashtu në dy hapa (shih mostrën në shembullin nr. 2), ju duhet:
1) sigurohuni që zgjidhja e caktuar e gjetur plotëson kushtin fillestar;
2) kontrolloni nëse një zgjidhje e caktuar në përgjithësi plotëson ekuacionin diferencial.

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Shembulli 5

Gjeni një zgjidhje të veçantë për ekuacionin diferencial , duke plotesuar kushtin fillestar. Kryeni kontrollin.

Zgjidhja: Së pari, le të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme. I ndajmë variablat:

Le të integrojmë ekuacionin:

Integrali në të majtë është tabelor, integrali në të djathtë është marrë Metoda e nënshtrimit të një funksioni nën shenjën diferenciale:

Është marrë integrali i përgjithshëm; Mund. I varim logaritmet në të dyja anët. Meqenëse janë pozitive, shenjat e modulit janë të panevojshme:

(Shpresoj që të gjithë ta kuptojnë transformimin, gjëra të tilla duhet të dihen tashmë)

Pra, zgjidhja e përgjithshme është:

Le të gjejmë një zgjidhje të veçantë që korrespondon me kushtin fillestar të dhënë.
Në zgjidhjen e përgjithshme, në vend të "X" ne zëvendësojmë zeron, dhe në vend të "Y" zëvendësojmë logaritmin e dy:

Dizajni më i njohur:

Vlerën e gjetur të konstantës e zëvendësojmë me zgjidhjen e përgjithshme.

Përgjigje: zgjidhje private:

Kontrollo: Së pari, le të kontrollojmë nëse kushti fillestar plotësohet:
- çdo gjë po gumëzhin.

Tani le të kontrollojmë nëse zgjidhja e caktuar e gjetur plotëson fare ekuacionin diferencial. Gjetja e derivatit:

Le të shohim ekuacionin origjinal: – paraqitet në diferenciale. Ka dy mënyra për të kontrolluar. Është e mundur të shprehet diferenciali nga derivati ​​i gjetur:

Le të zëvendësojmë zgjidhjen e veçantë të gjetur dhe diferencialin që rezulton në ekuacionin origjinal :

Ne përdorim identitetin bazë logaritmik:

Fitohet barazia e saktë, që do të thotë se zgjidhja e caktuar është gjetur saktë.

Metoda e dytë e kontrollit është e pasqyruar dhe më e njohur: nga ekuacioni Le të shprehim derivatin, për ta bërë këtë ne i ndajmë të gjitha pjesët me:

Dhe në DE të transformuar zëvendësojmë zgjidhjen e pjesshme të fituar dhe derivatin e gjetur. Si rezultat i thjeshtimeve, duhet të merret edhe barazia e saktë.

Shembulli 6

Zgjidhja e ekuacionit diferencial. Paraqisni përgjigjen në formën e një integrali të përgjithshëm.

Ky është një shembull për ta zgjidhur vetë, zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Çfarë vështirësish qëndrojnë kur zgjidhen ekuacionet diferenciale me variabla të ndashëm?

1) Nuk është gjithmonë e qartë (sidomos për një "çajinik") që variablat mund të ndahen. Le të shqyrtojmë një shembull të kushtëzuar: . Këtu duhet të hiqni faktorët nga kllapat: dhe të ndani rrënjët: . Është e qartë se çfarë duhet bërë më pas.

2) Vështirësitë me vetë integrimin. Integralet shpesh nuk janë më të thjeshtat, dhe nëse ka të meta në aftësitë e gjetjes integral i pacaktuar, atëherë do të jetë e vështirë me shumë shpërndarës. Për më tepër, logjika "meqenëse ekuacioni diferencial është i thjeshtë, atëherë të paktën le të jenë më të ndërlikuara integralet" është e popullarizuar në mesin e përpiluesve të koleksioneve dhe manualeve të trajnimit.

3) Transformimet me një konstante. Siç e kanë vënë re të gjithë, konstantja në ekuacionet diferenciale mund të trajtohet mjaft lirshëm dhe disa transformime nuk janë gjithmonë të qarta për një fillestar. Le të shohim një shembull tjetër të kushtëzuar: . Këshillohet që të shumëzoni të gjithë termat në të me 2: . Konstanta që rezulton është gjithashtu një lloj konstante, e cila mund të shënohet me: . Po, dhe meqenëse ka një logaritëm në anën e djathtë, atëherë këshillohet që konstantja të rishkruhet në formën e një konstante tjetër: .

Problemi është se ata shpesh nuk shqetësohen me indekset dhe përdorin të njëjtën shkronjë. Si rezultat, procesverbali i vendimit merr formën e mëposhtme:

Çfarë lloj herezie? Këtu ka gabime! Në mënyrë të rreptë, po. Megjithatë, nga pikëpamja përmbajtësore, nuk ka gabime, sepse si rezultat i transformimit të një konstante të ndryshueshme, përsëri fitohet një konstante e ndryshueshme.

Ose një shembull tjetër, supozoni se gjatë zgjidhjes së ekuacionit fitohet një integral i përgjithshëm. Kjo përgjigje duket e shëmtuar, kështu që këshillohet të ndryshoni shenjën e secilit term: . Formalisht, këtu ka një gabim tjetër - duhet të shkruhet në të djathtë. Por joformalisht nënkuptohet se "minus ce" është ende një konstante ( e cila po aq lehtë mund të marrë çdo kuptim!), kështu që vendosja e një "minus" nuk ka kuptim dhe mund të përdorni të njëjtën shkronjë.

Do të përpiqem të shmang një qasje të pakujdesshme dhe do të caktoj ende indekse të ndryshme për konstante kur i konvertoj ato.

Shembulli 7

Zgjidhja e ekuacionit diferencial. Kryeni kontrollin.

Zgjidhja: Ky ekuacion lejon ndarjen e variablave. I ndajmë variablat:

Le të integrojmë:

Nuk është e nevojshme të përcaktohet konstantja këtu si një logaritëm, pasi asgjë e dobishme nuk do të vijë nga kjo.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Kontrollo: Diferenco përgjigjen (funksioni i nënkuptuar):

Ne shpëtojmë nga thyesat duke i shumëzuar të dy termat me:

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se integrali i përgjithshëm është gjetur saktë.

Shembulli 8

Gjeni një zgjidhje të veçantë të DE.
,

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. E vetmja sugjerim është se këtu do të merrni një integral të përgjithshëm, dhe, thënë më saktë, duhet të krijoni për të gjetur jo një zgjidhje të veçantë, por integral i pjesshëm. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Ekuacioni diferencial i zakonshëm është një ekuacion që lidh një variabël të pavarur, një funksion të panjohur të kësaj ndryshoreje dhe derivatet (ose diferencialet) e saj të renditjeve të ndryshme.

Rendi i ekuacionit diferencial quhet rendi i derivatit më të lartë që gjendet në të.

Përveç atyre të zakonshme, studiohen edhe ekuacionet diferenciale të pjesshme. Këto janë ekuacione që lidhen me variabla të pavarur, një funksion i panjohur i këtyre variablave dhe derivateve të tij të pjesshme në lidhje me të njëjtat variabla. Por ne vetëm do të shqyrtojmë ekuacionet diferenciale të zakonshme prandaj, për hir të shkurtësisë, do ta lëmë fjalën "i zakonshëm".

Shembuj të ekuacioneve diferenciale:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ekuacioni (1) është i rendit të katërt, ekuacioni (2) është i rendit të tretë, ekuacionet (3) dhe (4) janë të rendit të dytë, ekuacioni (5) është i rendit të parë.

Ekuacioni diferencial n Rendi i th nuk duhet domosdoshmërisht të përmbajë një funksion të qartë, të gjithë derivatet e tij nga i pari në n-rendi i th dhe ndryshore e pavarur. Mund të mos përmbajë derivate të qartë të urdhrave të caktuar, një funksion ose një ndryshore të pavarur.

Për shembull, në ekuacionin (1) nuk ka qartë derivate të rendit të tretë dhe të dytë, si dhe një funksion; në ekuacionin (2) - derivati ​​i rendit të dytë dhe funksioni; në ekuacionin (4) - ndryshorja e pavarur; në ekuacionin (5) - funksionet. Vetëm ekuacioni (3) përmban në mënyrë eksplicite të gjitha derivatet, funksionin dhe variablin e pavarur.

Zgjidhja e një ekuacioni diferencial thirret çdo funksion y = f(x), kur zëvendësohet në ekuacion ai kthehet në një identitet.

Procesi i gjetjes së një zgjidhjeje për një ekuacion diferencial quhet i tij integrimin.

Shembulli 1. Gjeni zgjidhjen e ekuacionit diferencial.

Zgjidhje. Le ta shkruajmë këtë ekuacion në formën . Zgjidhja është gjetja e funksionit nga derivati ​​i tij. Funksioni origjinal, siç dihet nga llogaritja integrale, është një antiderivativ për, d.m.th.

Kjo është ajo zgjidhje për këtë ekuacion diferencial . Duke ndryshuar në të C, do të marrim zgjidhje të ndryshme. Zbuluam se ka një numër të pafund zgjidhjesh për një ekuacion diferencial të rendit të parë.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial n Rendi i saj është zgjidhja e tij, e shprehur në mënyrë eksplicite në lidhje me funksionin e panjohur dhe përmban n konstante arbitrare të pavarura, d.m.th.

Zgjidhja e ekuacionit diferencial në shembullin 1 është e përgjithshme.

Zgjidhja e pjesshme e ekuacionit diferencial quhet një zgjidhje në të cilën konstantave arbitrare u jepen vlera numerike specifike.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial dhe një zgjidhje të veçantë për .

Zgjidhje. Le të integrojmë të dyja anët e ekuacionit një numër herë të barabartë me rendin e ekuacionit diferencial.

,

.

Si rezultat, ne morëm një zgjidhje të përgjithshme -

të një ekuacioni diferencial të rendit të tretë të dhënë.

Tani le të gjejmë një zgjidhje të veçantë në kushtet e specifikuara. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat e tyre në vend të koeficientëve arbitrarë dhe merrni

.

Nëse, përveç ekuacionit diferencial, kushti fillestar jepet në formën , atëherë një problem i tillë quhet Problem cauchy . Zëvendësoni vlerat dhe në zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit dhe gjeni vlerën e një konstante arbitrare C, dhe më pas një zgjidhje të veçantë të ekuacionit për vlerën e gjetur C. Kjo është zgjidhja e problemit Cauchy.

Shembulli 3. Zgjidh problemin e Cauchy-t për ekuacionin diferencial nga Shembulli 1 subjekti te .

Zgjidhje. Le të zëvendësojmë vlerat nga gjendja fillestare në zgjidhjen e përgjithshme y = 3, x= 1. Ne marrim

Ne shkruajmë zgjidhjen e problemit Cauchy për këtë ekuacion diferencial të rendit të parë:

Zgjidhja e ekuacioneve diferenciale, edhe ato më të thjeshta, kërkon aftësi të mira integrimi dhe derivati, duke përfshirë funksionet komplekse. Kjo mund të shihet në shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 4. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial.

Zgjidhje. Ekuacioni është shkruar në një formë të tillë që ju mund të integroni menjëherë të dyja palët.

.

Ne aplikojmë metodën e integrimit me ndryshim të ndryshores (zëvendësim). Le të jetë atëherë.

Kërkohet të merret dx dhe tani - vëmendje - ne e bëjmë këtë sipas rregullave të diferencimit të një funksioni kompleks, pasi x dhe ka një funksion kompleks (“mollë” është nxjerrja e një rrënje katrore ose, e njëjta gjë, ngritja në fuqi “gjysma”, dhe “mishi i grirë” është vetë shprehja nën rrënjë):

Ne gjejmë integralin:

Kthimi te ndryshorja x, marrim:

.

Kjo është zgjidhja e përgjithshme për këtë ekuacion diferencial të shkallës së parë.

Për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale do të kërkohen jo vetëm aftësi nga seksionet e mëparshme të matematikës së lartë, por edhe aftësi nga matematika fillore, domethënë nga shkolla. Siç është përmendur tashmë, në një ekuacion diferencial të çdo rendi mund të mos ketë një ndryshore të pavarur, domethënë një ndryshore x. Njohuritë për përmasat nga shkolla që nuk janë harruar (megjithatë, në varësi të kujt) nga shkolla do të ndihmojnë në zgjidhjen e këtij problemi. Ky është shembulli tjetër.

Zgjidhja e problemeve të ndryshme gjeometrike, fizike dhe inxhinierike shpesh çon në ekuacione që lidhin variablat e pavarur që karakterizojnë një problem të caktuar me disa funksione të këtyre variablave dhe derivatet e këtij funksioni të rendit të ndryshëm.

Si shembull, mund të shqyrtojmë rastin më të thjeshtë të lëvizjes së përshpejtuar në mënyrë të njëtrajtshme të një pike materiale.

Dihet se zhvendosja e një pike materiale gjatë lëvizjes së përshpejtuar njëtrajtësisht është funksion i kohës dhe shprehet me formulën:

Nga ana tjetër, nxitimi aështë derivat në lidhje me kohën t nga shpejtësia V, që është edhe derivat kohor t nga lëvizja S. Ato.

Pastaj marrim:
- ekuacioni lidh funksionin f(t) me variablin e pavarur t dhe derivatin e rendit të dytë të funksionit f(t).

Përkufizimi. Ekuacioni diferencial është një ekuacion që lidh variabla të pavarur, funksionet e tyre dhe derivatet (ose diferencialet) e këtij funksioni.

Përkufizimi. Nëse një ekuacion diferencial ka një ndryshore të pavarur, atëherë quhet ekuacioni diferencial i zakonshëm , nëse ka dy ose më shumë ndryshore të pavarura, atëherë quhet ekuacion i tillë diferencial ekuacioni diferencial i pjesshëm.

Përkufizimi. Rendi më i lartë i derivateve që shfaqen në një ekuacion quhet rendi i ekuacionit diferencial .

Shembull.

- ekuacioni diferencial i zakonshëm i rendit të parë. Në përgjithësi është shkruar
.

- ekuacioni diferencial i zakonshëm i rendit të dytë. Në përgjithësi është shkruar

- ekuacioni diferencial parcial i rendit të parë.

Përkufizimi. Zgjidhje e përgjithshme ekuacioni diferencial është një funksion i tillë i diferencueshëm y = (x, C), i cili, kur zëvendësohet në ekuacionin origjinal në vend të një funksioni të panjohur, e kthen ekuacionin në identitet

Vetitë e zgjidhjes së përgjithshme.

1) Sepse konstanta C është një vlerë arbitrare, atëherë në përgjithësi ekuacioni diferencial ka një numër të pafund zgjidhjesh.

2) Në çdo kusht fillestar x = x 0, y(x 0) = y 0, ekziston një vlerë C = C 0 në të cilën zgjidhja e ekuacionit diferencial është funksioni y = (x, C 0).

Përkufizimi. Quhet një zgjidhje e trajtës y = (x, C 0). zgjidhje private ekuacioni diferencial.

Përkufizimi. Problem cauchy (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - Matematikan francez) është gjetja e çdo zgjidhjeje të veçantë për një ekuacion diferencial të formës y = (x, C 0), që plotëson kushtet fillestare y(x 0) = y 0.

Teorema e Cauchy-t. (teorema mbi ekzistencën dhe veçantinë e një zgjidhjeje për një ekuacion diferencial të rendit të parë)

Nëse funksionif(x, y) është e vazhdueshme në disa rajoneDnë aeroplanXOYdhe ka një derivat të pjesshëm të vazhdueshëm në këtë rajon
, atëherë cilado qoftë pika (x 0 , y 0 ) në zonëD, ka vetëm një zgjidhje
ekuacionet
, i përcaktuar në një interval që përmban pikën x 0 , duke marrë në x = x 0 kuptimi (X 0 ) = y 0 , d.m.th. ekziston një zgjidhje unike për ekuacionin diferencial.

Përkufizimi. Integrale Një ekuacion diferencial është çdo ekuacion që nuk përmban derivate dhe për të cilin ekuacioni diferencial i dhënë është pasojë.

Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial
.

Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial kërkohet duke integruar anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit, i cili më parë është transformuar si më poshtë:

Tani le të integrojmë:

është zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial origjinal.

Le të themi se janë dhënë disa kushte fillestare: x 0 = 1; y 0 = 2, atëherë kemi

Duke zëvendësuar vlerën e fituar të konstantës në zgjidhjen e përgjithshme, marrim një zgjidhje të veçantë për kushtet fillestare të dhëna (zgjidhja e problemit Cauchy).

Përkufizimi. Kurba integrale quhet grafiku y = (x) i zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në rrafshin XOY.

Përkufizimi. Me vendim të veçantë e një ekuacioni diferencial është një zgjidhje e tillë në të gjitha pikat e së cilës quhet kushti i veçantisë së Cauchy (shih. Teorema e Cauchy-t.) nuk plotësohet, d.m.th. në afërsi të një pike (x, y) ka të paktën dy kthesa integrale.

Zgjidhjet speciale nuk varen nga konstantja C.

Zgjidhjet speciale nuk mund të merren nga zgjidhja e përgjithshme për çdo vlerë të konstantes C. Nëse ndërtojmë një familje kurbash integrale të një ekuacioni diferencial, atëherë zgjidhja speciale do të përfaqësohet nga një vijë që prek të paktën një kurbë integrale në secilën pikë. .

Vini re se jo çdo ekuacion diferencial ka zgjidhje të veçanta.

Shembull. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial:
Gjeni një zgjidhje të veçantë nëse ekziston.

Ky ekuacion diferencial ka gjithashtu një zgjidhje të veçantë në= 0. Kjo zgjidhje nuk mund të merret nga ajo e përgjithshme, por kur zëvendësojmë në ekuacionin origjinal fitojmë një identitet. Mendimi se zgjidhja y = 0 mund të merret nga zgjidhja e përgjithshme me ME 1 = 0 gabim, sepse C 1 = e C  0.

Ky kalkulator në internet ju lejon të zgjidhni ekuacionet diferenciale në internet. Mjafton të futni ekuacionin tuaj në fushën përkatëse, duke treguar derivatin e funksionit përmes një apostrofi dhe të klikoni në butonin "zgjidh ekuacionin" Dhe sistemi, i zbatuar në bazë të faqes së njohur të WolframAlpha, do të japë detaje zgjidhja e një ekuacioni diferencial absolutisht falas. Ju gjithashtu mund të përcaktoni një problem Cauchy për të zgjedhur nga i gjithë grupi i zgjidhjeve të mundshme koeficientin që korrespondon me kushtet e dhëna fillestare. Problemi Cauchy futet në një fushë të veçantë.

Ekuacioni diferencial

Si parazgjedhje, funksioni në ekuacion yështë funksion i një ndryshoreje x. Megjithatë, ju mund të specifikoni përcaktimin tuaj për variablin nëse shkruani, për shembull, y(t) në ekuacion, kalkulatori do ta njohë atë automatikisht y ekziston një funksion nga një ndryshore t. Me ndihmën e një kalkulatori mundeni zgjidh ekuacionet diferenciale të çdo kompleksiteti dhe lloji: homogjene dhe johomogjene, lineare ose jolineare, renditja e parë ose e rendit të dytë dhe më e lartë, ekuacionet me ndryshore të ndashme ose të pandashme, etj. Diferenca e zgjidhjes. Ekuacioni është dhënë në formë analitike dhe ka një përshkrim të detajuar. Ekuacionet diferenciale janë shumë të zakonshme në fizikë dhe matematikë. Pa llogaritur ato, është e pamundur të zgjidhen shumë probleme (sidomos në fizikën matematikore).

Një nga fazat e zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale është integrimi i funksioneve. Ekzistojnë metoda standarde për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale. Është e nevojshme të reduktohen ekuacionet në një formë me ndryshore të ndashme y dhe x dhe të integrohen veçmas funksionet e ndara. Për ta bërë këtë, ndonjëherë duhet të bëhet një zëvendësim i caktuar.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve