Tabela e përmbajtjes

Hyrje

faqe 2

Koncepti i kombinatorikës.

faqe 4

Historia e zhvillimit të kombinatorikës.

faqe 5

2.1

Pemë opsionet e mundshme

faqe 6

2.2

Rirregullimet.

faqe 9

2.3

Akomodimi.

faqe 10

Kombinatorika në fusha të ndryshme aktiviteti jetësor i njeriut.

faqe 13

3.1

Kombinatorika në letërsi

faqe 13

3.2

Kombinatorika në tabelën e shahut dhe në lojëra

faqe 15

3.3

Kombinatorika dhe Kubi i Rubikut

faqe 16

3.4

Probleme të cilësisë së mirë

faqe 17

konkluzioni

faqe 18

Letërsia

faqe 19

Aplikimi

faqe 21

NË aktivitete praktike një person shpesh duhet të përballet me probleme në të cilat duhet të numërojë numrin e të gjithëve mënyrat e mundshme vendndodhjen e disa objekteve ose numrin e të gjitha mënyrave të mundshme të kryerjes së ndonjë veprimi.
Përfaqësuesit e shumë specialiteteve duhet të merren me llogaritjet kombinuese: një kryepunëtor kur shpërndan midis punëtorëve lloje të ndryshme punon, tek dispeçeri kur harton orarin e trafikut. Drejtori i shkollës bën një orar sesionet e trajnimit, përdor kombinime të ndryshme, një shahist zgjedh më të mirën nga kombinime të ndryshme, etj.

Jeta moderne bën probleme të llogaritjes kombinuese relevante, që nga ardhja e kompjuterëve rriti në mënyrë dramatike aftësitë e kombinatorikës dhe zgjeroi fushën e zbatimit të saj.

Vlera e aplikimit kjo temë është shumë e madhe dhe prek aspektet financiare, demografike, mjedisore, sociologjike dhe të tjera të jetës sonë. Interesi im për këtë temë lindi kur mora pjesë në një olimpiadë matematike, dhe kishte problemet e mëposhtme:

Problemi 1. Nga 100 turistë që udhëtojnë jashtë vendit, gjuha gjermane 30 persona flasin anglisht, 42 flasin frëngjisht, 8 flasin anglisht dhe frëngjisht, 5 flasin gjermanisht dhe frëngjisht, 3 flasin të treja gjuhët.

Detyra 2. Vrapim me vrap

Ka barriera të vendosura në shinat e stadiumit (numri i barrierave në secilën pistë tregohet në figurë). Kanguri dëshiron të vrapojë nga fillimi në fund, duke kërcyer mbi më të voglin numri i mundshëm barrierat. Sa herë do t'i duhet Kangurit të kërcejë mbi barrierat?

(A)11; (B) 8; (C) 10; (D) 18; (E) 6;

Pas Olimpiadës, i bëra mësuesit të matematikës pyetjen: “Si mundem në një mënyrë të përshtatshme zgjidhni probleme të këtij lloji? Dhe pas kësaj kuptova se ekziston një seksion i matematikës - "Kombinatorika".

Duke ditur kombinatorikën, mund të gjejmë përgjigje për shumë pyetje interesante: sa numra treshifrorë ka? Shumë interesante! A mund ta kuptoj vërtet edhe këtë?

Kështu lindi ky projekt. Dëshira për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve përcaktoi qëllimin e projektit tim.

Qëllimi i projektit: mësoni të zgjidhni problemet nga seksioni "kombinatorika".

Për të arritur qëllimin, u vendosën sa vijon detyrat:

Studioni historikun dhe material teorik rreth kombinatorikës.

Sistematizoni problemet e kombinatorikës sipas llojit të zgjidhjes.

Zbuloni se çfarë problemesh duhet të zgjidhin njerëzit në jetë.

Gjatë punës në projekt, u përdorën teoritë e mëposhtme teorike metodat:

Studimi dhe analiza e burimeve të informacionit mbi kombinatorikën dhe matematikë argëtuese;

Teknikat e modelimit për përdorimin e kombinatorikës në problema.

Koncepti i kombinatorikës.

NË jetën e përditshme Shpesh ndeshemi me detyra që kanë disa opsione të ndryshme zgjidhjet. Për të bërë zgjedhja e duhur, është e rëndësishme të mos humbisni asnjë prej tyre. Për ta bërë këtë, duhet të jeni në gjendje të numëroni të gjitha opsionet e mundshme ose të numëroni numrin e tyre. Problemet që kërkojnë një zgjidhje të tillë quhen kombinuese. Dega e matematikës në të cilën studiohen problemet kombinatorike quhet kombinatorikë.

NË Fjalor Enciklopedik një matematikan i ri dha një përkufizim: "Kombinatorika është një degë e matematikës në të cilën ata studiojnë se sa kombinime, në varësi të kushteve të caktuara, mund të bëhen nga objekte të dhëna." Kombinatorika është e nevojshme për të studiuar seksionin e matematikës "Teoria e probabilitetit", e cila do të jetë e detyrueshme gjatë studimit kursi shkollor matematikë.

Metoda e arsyetimit që përdoret për të zgjidhur një problem quhet numërimi i opsioneve të mundshme.

Seksioni 2.

2.1. Historia e zhvillimit të kombinatorikës

Rezulton se njerëzit kanë hasur në probleme të quajtura kombinime kohët e lashta. Tashmë disa mijëra vjet më parë, në Kinën e Lashtë ata u interesuan për të hartuar katrore magjike, në të cilat numrat e dhënë ishin rregulluar në mënyrë që shuma e tyre përgjatë të gjitha horizontaleve, vertikaleve dhe diagonaleve kryesore të ishte e njëjtë.

NË Greqia e lashtë numëruar numrin e kombinimeve të ndryshme të gjatë dhe fjalë të shkurtra V përmasat poetike, studioi teorinë e numrave me figura, studioi figura që mund të bëhen nga pjesët e një katrori të prerë posaçërisht etj. Probleme kombinuese u ngritën edhe në lidhje me lojëra të tilla si damë, shah, domino, letra, zare, etj.

Shkencëtari gjerman me famë botërore Gottfried Wilhelm Leibniz ishte i pari që e konsideroi kombinatorikën si një degë të pavarur të shkencës.

Në 1666, Leibniz botoi Diskurset mbi Artin Kombinator. Në veprën e tij, Leibniz, duke prezantuar personazhe të veçanta, terma, gjen gjithçka k- kombinime të n elemente, nxjerr vetitë e kombinimeve, ndërton tabela kombinimesh, pas së cilës diskuton aplikimet e kombinatorikës në logjikë, aritmetikë, probleme të vjershërimit etj. Ëndrra e Leibniz, e cila mbeti e parealizuar, mbeti ndërtimi i një teorie të përgjithshme kombinatorike.

Në shekullin e 18-të, njerëzit iu drejtuan zgjidhjes së problemeve të kombinuara matematikanë të shquar. Arritjet e jashtëzakonshme në fushën e kombinatorikës i përkasin Leonhard Euler. Ai shqyrtoi problemet në lidhje me ndarjen e numrave, rregullimet ciklike dhe ndërtimin e katrorëve magjikë dhe latinë. Më 1713 u botua vepra e J. Bernoulli, në të cilën u paraqitën me plotësi të mjaftueshme faktet kombinuese të njohura në atë kohë. Matematikanë që merreshin me kompozimin dhe zgjidhjen e shifrave dhe studimin e shkrimeve të lashta ishin gjithashtu të interesuar për problemet kombinuese. Tani kombinatorika gjen aplikime në shumë fusha të shkencës: në biologji, ku përdoret për të studiuar përbërjen e proteinave dhe ADN-së, në kimi, mekanikën e strukturave komplekse, etj. Problemet e kombinuara në fizikë, kimi, biologji, ekonomi dhe shkenca të tjera, të cilat më parë nuk mund të zgjidheshin për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve, filluan të zgjidheshin me sukses në një kompjuter. Si rezultat, metodat kombinuese të kërkimit po depërtojnë gjithnjë e më thellë në shumë fusha të shkencës dhe teknologjisë. Në veçanti, me ndihmën e një kompjuteri, problemi i katër ngjyrave u zgjidh: u vërtetua se çdo hartë mund të ngjyroset me katër ngjyra, në mënyrë që asnjë vend të mos ketë kufiri i përbashkët, nuk ishin lyer me të njëjtën ngjyrë.

Në vitin 1844, J. Sylvester tha: “Numri, pozicioni dhe kombinimi janë tre të ndërthurura, por fusha të ndryshme mendimet, të cilat përfshijnë të gjitha idetë matematikore”.

2.2. Pema e opsioneve të mundshme.

Një sërë problemesh kombinuese zgjidhen duke hartuar qarqe speciale. Nga pamja e jashtme, kjo skemë i ngjan një peme, prandaj emri i metodës - pema e opsioneve të mundshme. Degët e pemës përfaqësojnë ngjarje të ndryshme që mund të ndodhin. Rrënja e një peme është një gjendje në të cilën lind nevoja për zgjedhje.

Detyra 1. E cila numra treshifrorë a mund të bëhet nga numrat 0, 2, 4?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke marrë parasysh që 0 nuk mund të jetë shifra e parë në numër.

Përgjigje: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.

Detyra 2. Turistët e shkollës vendosën të bëjnë një udhëtim në një liqen malor. Faza e parë e udhëtimit mund të mbulohet me tren ose autobus. Faza e dytë është me kajakë, biçikleta ose në këmbë. Dhe faza e tretë e udhëtimit është në këmbë ose duke përdorur një teleferik. Çfarë mundësish të mundshme udhëtimi kanë turistët e shkollave?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar një udhëtim me tren P, me autobus - A, kajak - B, biçikleta - NË, në këmbë - X, në teleferiku -TE.

Përgjigje: Figura rendit të gjitha 12 opsionet e mundshme të udhëtimit për turistët e shkollave.

Detyra 3. Shkruani të gjitha opsionet e mundshme për caktimin e pesë mësimeve në ditë nga lëndët: matematikë, rusisht, histori, gjuha angleze, edukimi fizik dhe matematika duhet të jenë mësimi i dytë.

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar M- matematikë, R- Gjuha ruse, DHE- histori, A- gjuha angleze, F- stërvitje fizike.

Përgjigje: Gjithsej janë 24 opsione të mundshme.

Detyra 4.

Sasha shkon në shkollë me pantallona ose xhinse me to vesh këmisha gri, blu, jeshile ose me kuadrate, dhe si a këpucë zëvendësuese merr këpucë ose atlete.

a) Sa ditë do të jetë në gjendje të duket Sasha e re?

b) Sa ditë do të veshë atlete?

c) Sa ditë do të veshë një këmishë me kuadrate dhe xhinse?

Zgjidhje. Le të ndërtojmë një pemë të opsioneve të mundshme, duke treguar B - pantallona, ​​D - xhinse, C - këmishë gri, G - këmishë blu, Z - këmishë jeshile, P - këmishë me kuadrate, T - këpucë, K - atlete.

Përgjigje: a) 16 ditë; b) 8 ditë; c) 2 ditë.

2.3. Rirregullimet.

Kombinimet më të thjeshta që mund të bëhen nga elementë grup i kufizuar janë permutacionet.

Dy elemente a dhe b mund të shkruhen në një varg vetëm në dy mënyra: ab dhe ba. Për tre elementë, ka 6 opsione. Le të numërojmë gjithashtu numrin e permutacioneve për 4 elementë:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,

3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,

4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Janë gjithsej 24 permutacione, të renditura në 4 kolona me nga 6 permutacione secila.

Për numrin e permutacioneve të n elementeve ekziston një shënim: n!(lexojmë: “en factorial”).

Faktorial e barabartë me produktin të gjithë numrat natyrorë nga n në 1.

Për shembull, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. E shkëlqyeshme! Një rresht, dhe duke kaluar nëpër të gjitha rastet e mundshme më sipër, sa rekorde të të gjitha ndërrimeve. Po sikur të mos ishin 4 elementë, por 8? Kjo do të thotë se nuk ka pasur nevojë të shënohen të gjitha permutacionet e mundshme. A është vërtet kaq e thjeshtë? Këtu janë problemet që munda t'i zgjidhja.

Detyra 1. Në familje janë 6 persona, dhe në tavolinë në kuzhinë janë 6 karrige. Familja vendosi të ulet në këto karrige në një mënyrë tjetër çdo mbrëmje në darkë. Sa ditë do të mund të realizojnë planet e tyre anëtarët e familjes?

Zgjidhje. Përgjigja rezulton të jetë papritur e gjatë: gati dy vjet! Unë do ta shpjegoj.

Për lehtësi arsyetimi, do të supozojmë se familja (gjyshja, gjyshi, nëna, babai, vajza, djali) do të ulen në karrige një nga një. Më intereson sa mënyra të ndryshme ka për t'i vendosur ato në karrige. Le të supozojmë se gjyshja ulet e para. Ajo ka 6 opsione për të zgjedhur një karrige. Gjyshi ulet i dyti dhe zgjedh në mënyrë të pavarur një karrige nga 5 ato të mbetura. Mami e bën zgjedhjen e saj të tretë, dhe ajo do të ketë një zgjedhje prej 4 karrigesh. Babai do të ketë tre opsione, vajza do të ketë 2 dhe djali do të ulet në karrigen e vetme të pabanuar. Me rregullën e shumëzimit e marrim atë Ka 720 metoda të ndryshme vendosjeje. Kështu, një familje mund të luajë "lojën e uljes" për 720 ditë, d.m.th. gati dy vjet. Tani u bë e qartë se në të dyja problemet po flisnim për pesë ndërrime.

Detyra 2. Nga një grup tenistësh, i cili përfshin katër persona - Antonov, Grigoriev, Sergeev dhe Fedorov, trajneri zgjedh një çift për të marrë pjesë në konkurs. Sa opsione ka për të zgjedhur një palë të tillë?

Zgjidhje: Le të bëjmë fillimisht të gjitha çiftet që përfshijnë Antonov (për shkurtësi, do të shkruajmë shkronjat e para të mbiemrave).

Ne marrim tre palë: AG, AC, AF.

Le të shkruajmë tani çiftet që përfshijnë Grigoriev, por nuk përfshijnë Antonov. Ka dy çifte të tilla: GS, GF.

Nuk ka mundësi të tjera për të bërë çifte, pasi të gjitha çiftet që përfshijnë Fedorov tashmë janë bërë.

Pra, ne morëm 6 çifte:

AG, AS, AF

GS, GF

SF,

ato. 3 2 1=6. Mjetet,

Ka vetëm gjashtë opsione që trajneri të zgjedhë një palë teniste nga grupi.

2.4. Akomodimi

Në vijim koncept i rëndësishëm kombinatorika - vendosje.

Akomodimiështë renditja e “objekteve” (objekteve) në disa “vende”, me kusht që çdo vend të jetë i zënë saktësisht nga një objekt dhe të gjitha objektet të jenë të ndryshme.

Problemi 1. Kafeneja ofron dy pjata të para: borscht, rassolnik - dhe katër pjata të dyta: goulash, cutlets, salcice, dumplings. Listoni të gjitha vaktet me dy pjata që mund të porosisë një restorant.

Zgjidhja:

Borsch

Rassolnik

gulash

kotelet

salsiçe

peta

gulash

kotelet

salsiçe

peta

Përgjigje: 8 dreka.

Detyrë 2 . Në një klasë prej 25 studentësh, ju duhet të zgjidhni një komandant, zëvendësin e tij dhe një ndihmës zëvendës. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhja:

Ka 25 mënyra për të zgjedhur çdo student si komandant.

Pastaj, nga 24 të mbeturit - zëvendëskryetari.

Pas kësaj, ndonjë nga 23 të mbeturit mund të bëhet ndihmës deputet.

Gjithsej kemi: 25 · 24· 23 = 13800

Përgjigju: 13800 mënyra.

Problemi 3. Në një ekip futbolli (11 persona) ju duhet të zgjidhni një kapiten dhe portier. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhja:

1. Secili nga 11 lojtarët mund të bëhet kapiten.

2. Pas zgjedhjes së kapitenit, 10 personat e mbetur mund të aplikojnë për rolin e portierit.

Pra ka 11 10 = 110 opsione të ndryshme zgjedhje.

Përgjigje: 110 mënyra.

Problemi 4. Sa numra shtatëshifrorë nuk e përmbajnë shifrën 2?

Zgjidhje :

Gjithsej janë 10 shifra Shifra e parë nuk mund të jetë zero ose dy, që do të thotë se mund të zgjidhet në 8 mënyra. Çdo shifër pasuese mund të zgjidhet në 9 mënyra.

8 9 9 9 9 9 9 = 4,251,528.

Përgjigju. 4.251.528 numra shtatëshifrorë.

Kjo është sasia. Dhe nëse nuk e dinit këtë metodë zgjidhjeje, do të dukej e pamundur të kaloni nëpër të gjitha rastet e mundshme. Është e gjatë dhe e rrezikshme të bësh një gabim.

Problemi 5. Në sa mënyra mund të krijoni një orar për një ditë nga 5? mësime të ndryshme, nëse studiohen 14 lëndë.

Zgjidhja:

NË në këtë shembull nga 14 lëndë që duhet të zgjidhni 5. Numri i mënyrave për të krijuar një orar mund të llogaritet duke përdorur formulën:

14 13 12 11 10 = 240240

Përgjigju: 240240 mënyra.

Detyra 6. Sa kohë do të duhet për të hapur një derë me një bllokim të kombinuar nëse një grup numrash 3-shifror zgjat 3 sekonda. (Për më tepër, rendi në të cilin shtypen butonat e numrave nuk është i rëndësishëm).

Zgjidhja: Shifra e parë e kodit mund të zgjidhet nga një nga 10 - 10 opsionet në total. Shifra e dytë mund të zgjidhet nga ndonjë nga 9 të tjerat. Kjo do të thotë një total prej 10*9*8 = 720 kombinime. Zgjidhja do të ishte e saktë nëse nuk do të ishte vërejtja në problem: Për më tepër, radha në të cilën shtypen butonat me numra nuk është e rëndësishme. Kjo do të thotë që përbërja është 123, 321, 213, etj. (gjithsej janë 6 prej tyre) janë të njëjta.

Prandaj, është e nevojshme të merren jo vendosje, por kombinime. Për kombinime, rezultati duhet të ndahet me 6, d.m.th. nga numri i permutacioneve të tre elementeve të barabartë me 3!.

720: 6=120 kombinime, 120 · 3 = 360 sekonda = 6 minuta dhe kodi do të zgjidhet.

Përgjigju: 6 minuta.

3. Kombinatorika në fusha të ndryshme të veprimtarisë njerëzore.

Fushat e aplikimit të kombinatorikës:

institucionet arsimore(planifikim)

sferë hotelierike(planifikimi i menusë)

gjuhësi (duke marrë parasysh opsionet për kombinimet e shkronjave)

gjeografia (hartat për t'u ngjyrosur)

garat sportive (llogaritja e numrit të lojërave midis pjesëmarrësve)

prodhimi (shpërndarja e disa llojeve të punës midis punëtorëve)

teknologji bujqësore (vendosja e të korrave në disa fusha)

kumar (llogaritja e shpeshtësisë së fitimeve)

kimia (analiza e lidhjeve të mundshme ndërmjet elementeve kimike)

ekonomi (analizë e opsioneve për blerjen dhe shitjen e aksioneve)

kriptografia (zhvillimi i metodave të kriptimit)

dorëzimi i postës (konsiderimi i opsioneve të dërgimit)

biologjia (deshifrimi i kodit të ADN-së)

punët ushtarake (vendndodhja e njësive)

astrologjia (analiza e vendndodhjes së planetëve dhe yjësive)

3.1 Kombinatorika në letërsi.

Në fabulën e Ivan Andreevich Krylov "Kuartet":"Majmuni i keq, gomari, dhia dhe ariu me këmbë" organizuan një eksperiment interesant, ata studiuan ndikimin pozicioni relativ muzikantët për cilësinë e performancës.

Majmuni i keq, gomari, dhia dhe ariu me këmbë

Ne vendosëm të luanim një kuartet.

Morëm teza, bas, violë, dy violina

Dhe ata u ulën në një livadh nën pemët ngjitëse - për të mahnitur dritën me artin e tyre.

Ata godasin harqet, luftojnë, por nuk ka kuptim.

“Ndal o vëllezër, ndalo! - bërtet majmuni. - Prit!

Si duhet të shkojë muzika? Nuk ulesh kështu.

Ju dhe basi, Mishenka, uleni përballë violës,

Unë, prima, do të ulem përballë të dytës;

Atëherë muzika nuk do të jetë e njëjtë: pylli dhe malet tona do të kërcejnë!”

Ne u vendosëm dhe filluam Kuartetin;

Ai ende nuk po shkon mirë.

"Prisni, gjeta një sekret"

Gomari bërtet: "Me siguri do të shkojmë mirë nëse ulemi pranë njëri-tjetrit."

Ata iu bindën Gomarit: u ulën me zbukurime me radhë;

E megjithatë Kuarteti nuk po shkon mirë.

Tani ato po bëhen edhe më intensive se kurrë

Dhe mosmarrëveshjet se kush duhet të ulet dhe si.

Nightingale ka ndodhur të fluturojë në zhurmën e tyre.

Këtu të gjithë i kërkojnë atij të zgjidhë dyshimet e tyre:

"Ndoshta," thonë ata: "merr durim për një orë,

Për të rregulluar kuartetin tonë:

Dhe ne kemi nota dhe kemi instrumente;

Na tregoni vetëm si të ulemi!” -

“Për të qenë muzikant, duhet aftësi

Dhe veshët e tu, më të butë, -

Bilbili u përgjigjet atyre: -

Dhe ju miq, pavarësisht se si uleni,

Ju ende nuk jeni në gjendje të jeni muzikantë.”

Majmuni, Gomari, Dhia dhe Ariu ndryshuan vendet, duke besuar se tingulli i muzikës varej nga kjo. Dhe nëse Nightingale nuk do të kishte ndërhyrë, anëtarët e kuartetit ndoshta do të kishin provuar të gjitha opsionet e mundshme.

Pra, sa mënyra ka për të ulur katër muzikantë, për shembull në një rresht?

Përgjigje: 24 mënyra.

3.2 Kombinatorika në tabelën e shahut dhe në lojëra.

Shahu nuk është vetëm një lojë popullore, por edhe burim i shumë problemeve interesante kombinuese. Nuk është rastësi që termat e shahut mund të gjenden në literaturën e kombinatorikës. Le të shohim shembuj të problemeve në një tabelë shahu.

Problemi 1: Shkoni nëpër të gjitha sheshet e tabelës me kalorësit tuaj, duke vizituar secilën prej tyre një herë.

Shumë matematikanë të shekujve 18 dhe 19 punuan për këtë problem, duke përfshirë L. Euler. Megjithëse problemi ishte i njohur para Euler-it, vetëm ai së pari tërhoqi vëmendjen ndaj tij. entitet matematikor. Është vërtetuar se nuk ka më shumë se 30 milionë rrugë të tilla.

Problemi 2: Në sa mënyra mund të vendosen tetë mbretëreshat në tabelë që të mos kërcënojnë njëra-tjetrën, domethënë të mos qëndrojnë dy prej tyre në të njëjtën vijë (vertikale, horizontale, diagonale).

Është vërtetuar se janë 92 marrëveshje të kërkuara. Detyra të ngjashme janë vendosur për të gjitha pjesët e shahut. Studimi i pozicioneve specifike ose klasave të tyre në lojë përdoret për të arritur rezultate të caktuara, për shembull një pozicion çiftëzimi për numër të caktuar lëviz. Meqenëse lufta për të reduktuar kohën për të "menduar" për një lëvizje nga i gjithë programi është një faktor themelor, matematikanët shpenzojnë shumë përpjekje për krijimin e aplikacioneve të përfshira në të (problemet e zgjidhura kur kërkojnë lëvizjen e dëshiruar), të cilat funksionojnë më së shumti. shpejt dhe gjithashtu kërkojnë një minimum RAM. Ky drejtim ka krijuar shumë probleme elegante logjiko-llogaritëse. Disa prej tyre ofrohen edhe sot e kësaj dite në gara të ndryshme matematikore dhe programore, si dhe për argëtim në kohën e lirë.

Kontribuuan shahistët e shquar Claude Shannon dhe Mikhail Botvinnik kontribut të madh në krijim modeli matematik lojë shahu dhe kontribuoi në përparimin në intelektualizimin e programeve për të.

Shahu kompjuterik është ndoshta shembulli më bindës në një gjysmë shekulli zhvillimi teknologjia e informacionit, kur është në veprimtari intelektuale që një automat konkurron me sukses me një njeri.

3.3 Kombinatorika dhe kubi i Rubikut.

Një enigmë jashtëzakonisht popullore ishte kubi i Rubikut, i shpikur në vitin 1975 nga një mësues i arkitekturës nga Budapesti, Erne Rubik, për zhvillimin e imagjinata hapësinore mes studentëve.

Kubi i Rubikut- ky është një kub, sikur i prerë në 27 kube identikë. Në pozicionin fillestar, çdo fytyrë e kubit është pikturuar në një nga 6 ngjyrat. Një mekanizëm i zgjuar ju lejon të rrotulloni çdo shtresë prej 9 kubesh ngjitur me njërën faqe të kubit rreth qendrës së saj. Në këtë rast, ngjyrat e skajeve janë të përziera. Detyra është të ktheni fytyrat me shumë ngjyra të kubit në pozicionin e tyre origjinal. Teorikisht, ju mund të ktheheni nga çdo gjendje e kubit në gjendjen e tij origjinale në jo më shumë se 23 lëvizje. Koha më e mirë, i paraqitur në Kampionatin Botëror të vitit 1982 në zgjidhjen me shpejtësi të lartë të kubit të Rubikut, ishte vetëm 22,95 sekonda.

Kubi i Rubikut nuk është vetëm argëtues, por edhe i mrekullueshëm. ndihmës vizuale në kombinatorikë.

3.4 Problemet antike

Detyrë: "Ujku, dhia dhe lakra"

Fshatari duhet të transportojë një ujk, një dhi dhe një lakër përtej lumit. Varka është aq e vogël sa që përveç fshatarit, mund të futet vetëm një ujk, një dhi ose një lakër. Por nëse e lini ujkun me një dhi, ai do ta hajë atë, dhe nëse e lini një dhi me lakër, atëherë lakra do të hahet. Çfarë duhet të bëjë një fshatar?

Për të zgjidhur, është e nevojshme t'i rregulloni ato me rirregullim të ndërsjellë të elementeve në përputhje me kushtet e problemit në në një rend të caktuar. Në rastin e një fshatari, kalimi duhet të fillojë me transportin e një dhie. Pastaj fshatari kthehet dhe merr ujkun, të cilin e transporton në bregun tjetër dhe e lë atje, dhe e kthen dhinë në bregun e mëparshëm. Prej aty merr lakrën dhe e transporton te ujku. Dhe pastaj kthehet dhe merr dhinë.

Detyra e lojës: "Tic Tac Toe"

Loja më e famshme e lashtë. Në një katror të ndarë në nëntë qeliza, lojtarët vendosin me radhë shenjën e tyre në një qelizë të zbrazët: një kryq ose një zero, duke u përpjekur të rreshtojnë tre kryqe ose tre zero me radhë. I pari që e bën këtë fiton.

Nëse nuk bëni gabime, loja përfundon në barazim. Ju mund të fitoni vetëm nëse kundërshtari juaj gabon. Lëvizja më e saktë është

zënë qelinë e këndit. Dhe nëse partneri nuk i përgjigjet kësaj me shenjën e tij në qendër, atëherë ai humbi.

Detyra e lojës: "Nim" Le të ketë një ose më shumë grupe objektesh. Lojtarët marrin me radhë objekte nga grupet sipas rregullave të përcaktuara paraprakisht: sa objekte lejohen të merren në të njëjtën kohë dhe nga sa grupe. Ka shumë variacione të lojës, dhe shumica e njerëzve e dinë strategjia më e mirë, duke çuar drejt fitores.

konkluzioni

Gjatë projektit, unë e konsideroj historinë e shfaqjes së kombinatorikës si shkencë, duke filluar me Kina e lashtë dhe Greqia e Lashtë dhe mbarimi periudha moderne zhvillimin e saj. Puna jep informacion rreth matematikanëve të mëdhenj që qëndruan në origjinën e teorisë së problemeve kombinuese si P. Fermat, Galileo Galilei, J. Bernoulli, Pascal, Leibniz, L. Euler dhe shumë të tjerë.

Kështu, informacioni i paraqitur vërteton se problemet e kombinuara e shoqërojnë njerëzimin gjatë historisë, të ndërthurura me artin dhe shkencën, se matematika ka një element loje që stërvit intelektin dhe zhvillon më së shumti. aftësi të ndryshme, veçanërisht ato krijuese.

Si pjesë e projektit, informacioni i marrë u studiua dhe u zbatua gjatë zgjidhjes së problemeve që përfshijnë ndërrime dhe vendosje, dhe u arrit në përfundimin se, pa dyshim, njohja e rregullave për zgjidhjen e problemeve kombinuese jep një shans për të ardhur në një rezultat shumë më të shpejtë. rezultat pozitiv në arsyetimin logjik.

Në të ardhmen e afërt do të mësoj të zgjidh më shumë detyra komplekse kombinatorika dhe njohuritë për këtë temë do të jenë të kërkuara gjatë zgjidhjes së problemeve të tipit olimpiadë dhe do të më ndihmojnë në të ardhmen kur përgatitem për certifikimit përfundimtar në matematikë.

konkluzioni: Kombinatorika është kudo. Kombinatorika është kudo. Kombinatorika është rreth nesh, mendoj se ia arrita qëllimit, sepse pas shkrimit të veprës zgjerova dhe thellova njohuritë e mia për kombinatorikën dhe mësova të zgjidh problema nga ky seksion.

Literatura:

1.Fjalor enciklopedik i një matematikani të ri - /përpiluar nga Savinov A.P.

2.Vilenkin N.Ya. Kombinatorika: Ed. "Shkenca", 1969

3. Deplan I. Ya., Vilenkin N. Ya. Pas faqeve të një teksti matematike - Një manual për nxënësit e shkollave të mesme 5-6. M.: Arsimi, 1989-287 f. me ilustrime.

4.G. Y. Gik “Argëtuese lojëra matematikore" - M.: Dituria, 1982.

5. Enciklopedia matematike / Vinogradov I.M.-M.: Enciklopedia Sovjetike. Vëllimi 3., 1984

6. Bogomolov N.V. Ushtrime praktike në matematikë: Teksti mësimor. Manual për shkollat ​​teknike. - Botimi i 2-të, i rishikuar - M.: Më i lartë. Shkolla, 1983.-399 f., ill.

7.Enciklopedi për fëmijë. T.11. Matematikë/Ch. Ed. M.D. Aksenova.- M.: Avanta+, 2002.- 688 f.: ill.

Seksioni 5.

Aplikimi

Detyrë. Unë kam një kostum të preferuar që e vesh në shkollë. Me të vesh një bluzë të bardhë, blu, rozë ose të kuqe. Përveç kësaj,

Gjatë pushimeve verore, familja jonë po planifikon një udhëtim pushimi në Tyumen.

Sa mundësi rrugësh ka nga Beloyarsky në Tyumen?

dhe cila është më fitimprurëse për sa i përket kohës dhe kostos?

Popullore për kombinatorika . Vilenkin N.Ya.

M.: Nauka, 1975.- 208 f.

Kombinatorika është një degë e rëndësishme e matematikës, njohja e së cilës është e nevojshme për përfaqësuesit e një shumëllojshmërie të gjerë specialitetesh. Fizikanët, kimistët, biologët, gjuhëtarët, specialistët e kodeve, etj., duhet të merren me problemet e kombinuara. Libri tregon në një formë popullore për probleme interesante kombinuese dhe metoda për zgjidhjen e tyre.

Formati: djvu/zip

Madhësia: 3.3 MB

/Shkarko skedarin

Nga parathënia:

Kombinatorika, një degë e matematikës që studion kombinimet dhe permutacionet e objekteve, u ngrit në shekullin e 17-të. Për një kohë të gjatë dukej se kombinatorika qëndronte jashtë rrjedhës kryesore të zhvillimit të matematikës dhe aplikimeve të saj. Gjendja e punëve ndryshoi në mënyrë dramatike pas ardhjes së kompjuterëve me shpejtësi të lartë dhe lulëzimit shoqërues të matematikës së fundme. Tani metodat kombinuese përdoren në teori procese të rastësishme, statistika, programimi matematikor, matematika llogaritëse, projektimi i eksperimenteve etj.Në matematikë kombinatorika përdoret në studimin e gjeometrive të fundme, gjeometrisë kombinuese, teorisë së paraqitjes së grupeve, algjebrave jo asociative etj.

Ka disa libra në Rusisht për kombinatorikë: "Kombinatorika" nga M. Hall (M., 1970), "Hyrje në analizën e kombinuar" nga J. Riordai (M., 19G3), "Matematika Kombinatorike e Aplikuar" (M., 1968 ) . Pyetje specifike Librat e A. A. Zykov "Teoria e grafikëve të fundëm" (Novosibirsk, 1969), F. Harari "Theory of Graphs" (Moskë, 1973), T. Saaty "Metodat e optimizimit të numrave të plotë dhe problemet e lidhura ekstreme" (Moskë) janë kushtuar. te kombinatorika, 1973), etj. Megjithatë, të gjithë këta libra bëjnë kërkesa të mëdha për përgatitjen matematikore të lexuesit. Librat e njohur zakonisht mbulojnë vetëm disa informacione bazë.

Në vitin 1969, autori bëri një përpjekje për të popullarizuar disa çështje të kombinatorikës ("Kombinatorika". M., 1969). Libri iu kushtua kryesisht çështjeve të transferimit. Seksione të tilla të rëndësishme si teorema mbi të ndryshme dhe përfaqësues të përgjithshëm, teorema e Ramsey-t, metoda e Polias për të numëruar orbitat, etj., mbetën jashtë objektit të librit. Prandaj, lindi nevoja për të shkruar një libër të ri në të cilin, krahas pyetjeve të kombinatorikës numerative, do të trajtoheshin edhe aspekte të tjera të kësaj shkence. Ky është libri që vihet në vëmendjen e lexuesit.

Tabela e përmbajtjes
Parathënie 3
Kapitulli I. Nga historia e kombinatorikës dhe aplikimet e saj 5
Gjërat kanë vazhduar për një kohë të gjatë ditët e shkuara 5
Breshka misterioze 6
Kombinatorika në Greqinë e Lashtë 8
Mistikët, astrologët, kabalistët 11
Kombinatorika dhe skolasticizmi 12
Kombinatorika në vendet e Lindjes 13
Liber Abaci 14
Zare 15
Lojtari dhe shkencëtarët 17
Dega e re e matematikes 18
Shifrat dhe apagramet 20
Hieroglifet dhe kuneiforma 22
Kombinatorika në biologji 25
Modeli i ADN-së 26
Kodi gjenetik 27
Diamant kimik. . . 32
Kombinatorika e epokës kompjuterike 33
Kapitulli II. E mundur dhe e pamundur në kombinatorikë 35
Probleme të kombinatorikës 35
Sheshe magjike 38
Tetë Mbretëresha 40
E gjithë kalorësia e mbretit 42
Ndeshja në orën 15:43
Sheshi i Oficerëve 45
Mbjellja e grurit 47
Numri i të njohurve 49
Korrespondencë shkencore 50
Zgjedhja e përfaqësuesve 52
Zgjidhje grafike 55
Përfaqësuesit e përgjithshëm 58
Ishujt dhe urat 59
Rreth botës 60
Katër ngjyra 61
Probleme për kapitullin II 62
Kapitulli III. Kombinatorika e tupave dhe grupeve 73
Kryetari Supersticioz 73
Tupa 74
Rregulli 76 i produktit
Postimi rreth përsëritjeve.. 77
Kodet. 77
Flokë sekrete 78
Kampionati i Futbollit 79
Problemi i shtratit 80
Permutacione me përsëritje 81
Blerja e ëmbëlsirave 83
Kartat "Sportloto" 85
Fitimet "Sportloto" 86
Lotaria e Genovas 87
Disa veti të kombinimeve 89
Trekëndëshi aritmetik 90
Një burrë endet nëpër qytet 91
Lëvizja Brownian 93
Ecja në një aeroplan të pafund 94
Lopë apo sorrë? 96
Analiza e Raportit 99
Moti i keq 100
Formula e përfshirjeve dhe përjashtimeve 102
Një rast i veçantë i formulës së përfshirjes dhe përjashtimit 103
Sita e Eratosthenes 103
Probleme për kapitullin III. 105
Kombinatorika e paraqitjeve dhe ndarjeve 118
Topa dhe xhepa. 118
Lojë preferenciale 120
Tharja e kërpudhave 121
Statistikat e ndryshme 122
Flamujt në direkë 123
Numri i përgjithshëm i sinjaleve 124
Shpërndarja e ngarkesës 124
Stirling numrat 126
Kombinatorika e klasifikimeve 127
Shenjat në një çantë 129
Trekëndëshi i përgjithësuar aritmetik.... 130
Problemi i aplikantit. , 131
Dërgimi i parcelës 132
Probleme kombinuese të teorisë së informacionit. . 134
Lepujt Fibonacci 134
Numrat e ndarjes 136
Pagesa e parave 136
Si të ndryshoni një monedhë? 138
Teknika e diagramit 139
Ndarja e formës
Algjebra e kombinatorikës
Artikujt thyesorë
Seria e Njutonit
Gjenerimi i funksioneve
Gëzuar biletat e trolejbusit
Komplete peshash

Probleme për kreun IV
Kapitulli V. Probleme kombinuese me kufizime 161
Permutacione me kufizime 161
Ndërtimi i shkallëve 162
Raft librash 163
Kalorësit e Mbretit Arthur 163
Vajza po nxiton të shkojë në një datë 164
Zonat e kufizuara 165
Formula e përgjithshme 166
Për tryezë ngrënie 169
Elefantët e tërbuar 171
Rregullime simetrike 173
Karvani në shkretëtirë 175
Vështirësia e Majordomos 177
Radhë në arkën 178
U mbretëresha Shamakhan 182
Muret thithëse dhe reflektuese 184
Problemi 184 me dy rang
Probleme për kapitullin V 186
Kapitulli VI. Kombinatorika e orbitave 191
Transformimet dhe orbitat 191
Vallja e rrumbullakët 192
Ngjyrosja e kubit 103
Sheshi bardh e zi 194
Orbitat dhe grupet e transformimit 195
Elementet fikse 197
Kubi bardh e zi 199
Çiftimi dhe sythe
Probleme për kapitullin VI 204

Emri: Kombinatorika popullore. 1975.

Kombinatorika- një degë e rëndësishme e matematikës, njohja e së cilës është e nevojshme për përfaqësuesit e një shumëllojshmërie të gjerë specialitetesh. Fizikanët, kimistët, biologët, gjuhëtarët, specialistët e kodeve, etj., duhet të merren me problemet e kombinuara. Libri tregon në një formë popullore për probleme interesante kombinuese dhe metoda për zgjidhjen e tyre.

Tabela e përmbajtjes
Parathënie 3
Kapitulli I. Nga historia e kombinatorikës dhe aplikimet e saj 5
Gjërat nga ditët e shkuara nga 5
Breshka misterioze 6
Kombinatorika në Greqinë e Lashtë 8
Mistikët, astrologët, kabalistët 11
Kombinatorika dhe skolasticizmi 12
Kombinatorika në vendet e Lindjes 13
Liber Abaci 14
Zare 15
Lojtari dhe shkencëtarët 17
Dega e re e matematikes 18
Shifrat dhe apagramet 20
Hieroglifet dhe kuneiforma 22
Kombinatorika në biologji 25
Modeli i ADN-së 26
Kodi gjenetik 27
Diamant kimik 32
Kombinatorika e epokës kompjuterike 33
Kapitulli II. E mundur dhe e pamundur në kombinatorikë 35
Probleme të kombinatorikës 35
Sheshe magjike 38
Tetë Mbretëresha 40
E gjithë kalorësia e mbretit 42
Ndeshja në orën 15:43
Sheshi i Oficerëve 45
Mbjellja e grurit 47
Numri i të njohurve 49
Korrespondencë shkencore 50
Zgjedhja e përfaqësuesve 52
Zgjidhje grafike 55
Përfaqësuesit e përgjithshëm 58
Ishujt dhe urat 59
Rreth botës 60
Katër ngjyra 61
Probleme për kapitullin II 62
Kapitulli III. Kombinatorika e tupave dhe grupeve 73
Kryetari Supersticioz 73
Tupa 74
Rregulli 76 i produktit
Postimi rreth përsëritjeve 77
Kodet. 77
Flokë sekrete 78
Kampionati i Futbollit 79
Problemi i shtratit 80
Permutacione me përsëritje 81
Blerja e ëmbëlsirave 83
Kartat "Sportloto" 85
Fitimet "Sportloto" 86
Lotaria e Genovas 87
Disa veti të kombinimeve 89
Trekëndëshi aritmetik 90
Një burrë endet nëpër qytet 91
Lëvizja Brownian 93
Ecja në një aeroplan të pafund 94
Lopë apo sorrë? 96
Analiza e Raportit 99
Moti i keq 100
Formula e përfshirjeve dhe përjashtimeve 102
Një rast i veçantë i formulës së përfshirjes dhe përjashtimit 103
Sita e Eratosthenes 103
Probleme për kapitullin III 105
Kombinatorika e paraqitjeve dhe ndarjeve 118
Topa dhe xhepa 118
Lojë preferenciale 120
Tharja e kërpudhave 121
Statistikat e ndryshme 122
Flamujt në direkë 123
Numri i përgjithshëm i sinjaleve 124
Shpërndarja e ngarkesës 124
Stirling numrat 126
Kombinatorika e klasifikimeve 127
Shenjat në një çantë 129
Trekëndëshi i përgjithësuar aritmetik.... 130
Problemi i aplikantit 131
Dërgimi i parcelës 132
Probleme kombinuese të teorisë së informacionit. . 134
Lepujt Fibonacci 134
Numrat e ndarjes 136
Pagesa e parave 136
Si të ndryshoni një monedhë? 138
Teknika e diagramit 139
Ndarja e formës
Algjebra e kombinatorikës
Artikujt thyesorë
Seria e Njutonit
Gjenerimi i funksioneve
Gëzuar biletat e trolejbusit
Komplete peshash
Probleme për kapitullin IV
Kapitulli V Probleme kombinuese me kufizime 161
Permutacione me kufizime 161
Ndërtimi i shkallëve 162
Raft librash 163
Kalorësit e Mbretit Arthur 163
Vajza po nxiton të shkojë në një datë 164
Zonat e kufizuara 165
Formula e përgjithshme 166
Në tryezën e darkës 169
Elefantët e tërbuar 171
Rregullime simetrike 173
Karvani në shkretëtirë 175
Vështirësia e Majordomos 177
Radhë në arkën 178
Mbretëresha Shamakhan ka 182
Muret thithëse dhe reflektuese 184
Problemi 184 me dy rang
Probleme për kapitullin V 186
Kapitulli VI. Kombinatorika e orbitave 191
Transformimet dhe orbitat 191
Vallja e rrumbullakët 192
Ngjyrosja e kubit 103
Sheshi bardh e zi 194
Orbitat dhe grupet e transformimit 195
Elementet fikse 197
Kubi bardh e zi 199
Çiftimi dhe sythe
Probleme për kapitullin VI 204

Shkarkim falas e-libër në një format të përshtatshëm, shikoni dhe lexoni:
Shkarkoni librin Kombinatorika popullore - Vilenkin N.Ya. - fileskachat.com, shkarkim i shpejtë dhe pa pagesë.

Shkarkoni djvu
Ju mund ta blini këtë libër më poshtë çmimi më i mirë me zbritje me shpërndarje në të gjithë Rusinë.

Ky libër do të prodhohet në përputhje me porosinë tuaj duke përdorur teknologjinë Print-on-Demand. Kombinatorika është një degë e rëndësishme e matematikës, njohja e së cilës është e nevojshme për përfaqësuesit e specialiteteve më të ndryshme. Fizikanët, kimistët, biologët, gjuhëtarët, specialistët e kodeve, etj., duhet të merren me problemet e kombinuara. Libri tregon në një formë popullore për probleme interesante kombinuese dhe metoda për zgjidhjen e tyre. Riprodhuar në drejtshkrimin origjinal të autorit të botimit të vitit 1975 (shtëpia botuese Nauka). (1975) Botuesi: "YoYo Media" ISBN: 978-5-458-27755-6

Në My-shop

Libra të tjerë me tema të ngjashme:

Shihni edhe në fjalorë të tjerë:

- (Analiza kombinuese) një degë e matematikës që studion objekte diskrete, grupe (kombinime, permutacione, vendosje dhe numërim elementesh) dhe marrëdhënie mbi to (për shembull, rendin e pjesshëm). Kombinatorika lidhet me shumë të tjera... ... Wikipedia

Wikipedia ka artikuj për njerëz të tjerë me këtë mbiemër, shih Vilenkin. Naum Yakovlevich Vilenkin (30 tetor 1920, Moskë 19 tetor 1991) është një matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Biografi I diplomuar në Universitetin Shtetëror të Moskës (1942), Doktor i Fizikës dhe Matematikës... ... Wikipedia Mbulon zhvillimin e kombinatorikës, një degë e matematikës së fundme që studion kryesisht mënyra të ndryshme mostrat numri i dhënë

Në kombinatorikë, një ndërrim është një grup i renditur numrash, zakonisht trajtohet si një bijeksion në një grup që ia cakton numrin i elementit të i-të nga bashkësia. Numri n quhet rendi i ndërrimit. Si sinonim i fjalës... ... Wikipedia

Në kombinatorikë, vendosja është renditja e "objekteve" (objekteve) në disa "vende", me kusht që çdo vend të jetë i zënë nga saktësisht një objekt dhe të gjitha objektet të jenë të ndryshme. Më formalisht, vendosja (nga n në k) quhet... ... Wikipedia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921 1991) matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Ai është autor i monografisë së njohur “ Karakteristika të veçanta dhe teoria e përfaqësimeve në grup" (1965, 1991), e cila ishte atëherë (së bashku me A. U. Klimyk) ... ... Wikipedia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921 1991) matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Ai është autor i monografisë së njohur “Funksionet speciale dhe teoria e paraqitjeve të grupeve” (1965, 1991), e cila atëherë (së bashku me A. U. Klimyk) ... ... Wikipedia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921 1991) matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Ai është autor i monografisë së njohur “Funksionet speciale dhe teoria e paraqitjeve të grupeve” (1965, 1991), e cila atëherë (së bashku me A. U. Klimyk) ... ... Wikipedia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921 1991) matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Ai është autor i monografisë së njohur “Funksionet speciale dhe teoria e paraqitjeve të grupeve” (1965, 1991), e cila atëherë (së bashku me A. U. Klimyk) ... ... Wikipedia

Naum Yakovlevich Vilenkin (1921 1991) matematikan i famshëm dhe popullarizues i matematikës. Ai është autor i monografisë së njohur “Funksionet speciale dhe teoria e paraqitjeve të grupeve” (1965, 1991), e cila atëherë (së bashku me A. U. Klimyk) ... ... Wikipedia

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve