Kufiri i funksionit- numri a do të jetë kufiri i një sasie të ndryshueshme nëse, në procesin e ndryshimit të saj, kjo sasi e ndryshueshme afrohet në mënyrë të pacaktuar a.

Ose me fjalë të tjera, numri Aështë kufiri i funksionit y = f(x) në pikën x 0, nëse për ndonjë sekuencë pikash nga fusha e përcaktimit të funksionit , jo e barabartë x 0, dhe që konvergon në pikën x 0 (lim x n = x0), sekuenca e vlerave përkatëse të funksionit konvergon me numrin A.

Grafiku i një funksioni, kufiri i të cilit, duke pasur parasysh një argument që priret në pafundësi, është i barabartë me L:

Kuptimi Aështë limit (vlera kufi) e funksionit f(x) në pikën x 0 në rast të ndonjë sekuence pikash , e cila konvergon në x 0, por që nuk përmban x 0 si një nga elementët e tij (d.m.th. në afërsi të shpuar x 0), sekuenca e vlerave të funksionit konvergon në A.

Kufiri i një funksioni sipas Cauchy.

Kuptimi A do të jetë kufiri i funksionit f(x) në pikën x 0 në rast të ndonjë të marrë paraprakisht numër jo negativ ε do të gjendet numri përkatës jo negativ δ = δ(ε) të tilla që për çdo argument x, duke plotesuar kushtin 0 < | x - x0 | < δ , pabarazia do të plotësohet | f(x)A |< ε .

Do të jetë shumë e thjeshtë nëse e kuptoni thelbin e kufirit dhe rregullat themelore për gjetjen e tij. Cili është kufiri i funksionit f (x) në x duke u përpjekur për a barazohet A, shkruhet kështu:

Për më tepër, vlera drejt së cilës priret ndryshorja x, mund të jetë jo vetëm një numër, por edhe pafundësi (∞), ndonjëherë +∞ ose -∞, ose mund të mos ketë fare kufi.

Për të kuptuar se si gjeni kufijtë e një funksioni, është më mirë të shikoni shembuj zgjidhjesh.

Është e nevojshme të gjenden kufijtë e funksionit f (x) = 1/x në:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Le të gjejmë një zgjidhje për kufirin e parë. Për ta bërë këtë, thjesht mund të zëvendësoni x numri për të cilin priret, d.m.th. 2, marrim:

Le të gjejmë kufirin e dytë të funksionit. Zëvendëso këtu në formë e pastër 0 në vend xështë e pamundur, sepse Ju nuk mund të pjesëtoni me 0. Por ne mund të marrim vlera afër zeros, për shembull, 0.01; 0,001; 0.0001; 0.00001 e kështu me radhë, dhe vlera e funksionit f (x) do të rritet: 100; 1000; 10000; 100,000 e kështu me radhë. Kështu, mund të kuptohet se kur x→ 0 vlera e funksionit që është nën shenjën limit do të rritet pa limit, d.m.th. përpiqen drejt pafundësisë. Që do të thotë:

Në lidhje me kufirin e tretë. E njëjta situatë si në rastin e mëparshëm, është e pamundur të zëvendësohet ∞ në formën e tij më të pastër. Duhet të shqyrtojmë rastin e rritjes së pakufizuar x. Ne zëvendësojmë 1000 një nga një; 10000; 100000 e kështu me radhë, kemi atë vlerën e funksionit f (x) = 1/x do të ulet: 0,001; 0.0001; 0.00001; dhe kështu me radhë, duke u prirur në zero. Kjo është arsyeja pse:

Është e nevojshme të llogaritet kufiri i funksionit

Duke filluar të zgjidhim shembullin e dytë, shohim pasiguri. Nga këtu gjejmë shkallën më të lartë të numëruesit dhe emëruesit - kjo është x 3, e nxjerrim nga kllapat në numërues dhe emërues dhe më pas e zvogëlojmë me:

Përgjigju

Hapi i parë në duke gjetur këtë kufi, zëvendësoni vlerën 1 në vend të kësaj x, duke rezultuar në pasiguri. Për ta zgjidhur atë, le të faktorizojmë numëruesin dhe ta bëjmë këtë duke përdorur metodën e gjetjes së rrënjëve ekuacioni kuadratik x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Pra, numëruesi do të jetë:

Përgjigju

Ky është përkufizimi i vlerës së tij specifike ose një zone të caktuar ku bie funksioni, i cili kufizohet nga kufiri.

Për të zgjidhur kufijtë, ndiqni rregullat:

Duke kuptuar thelbin dhe kryesorin rregullat për zgjidhjen e limitit, Ju do të merrni koncepti bazë për mënyrën e zgjidhjes së tyre.

Kjo kalkulator matematikor online do t'ju ndihmojë nëse keni nevojë për të llogaritni kufirin e një funksioni. Programi kufijtë e zgjidhjes jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por çon zgjidhje e detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e llogaritjes së limitit.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme Shkolla të mesme në përgatitje për testet dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para Provimit të Bashkuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemave në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyre shtepie në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Futni një shprehje funksioni

Llogaritni kufirin

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Kufiri i funksionit në x->x 0

Le të përcaktohet funksioni f(x) në një grup X dhe le të jetë pika \(x_0 \në X\) ose \(x_0 \jo në X\)

Le të marrim nga X një sekuencë pikash të ndryshme nga x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
duke konverguar në x*. Formohen edhe vlerat e funksionit në pikat e kësaj sekuence sekuenca e numrave
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
dhe mund të shtrohet çështja e ekzistimit të kufirit të tij.

Përkufizimi. Numri A quhet kufiri i funksionit f(x) në pikën x = x 0 (ose në x -> x 0), nëse për çdo sekuencë (1) vlerash të argumentit x të ndryshëm nga x 0 duke konverguar në x 0, sekuenca përkatëse (2) e funksionit të vlerave konvergon në numrin A.

$$ \lim_(x\në x_0)( f(x)) = Një $$

Funksioni f(x) mund të ketë vetëm një kufi në pikën x 0. Kjo rrjedh nga fakti se sekuenca
(f(x n)) ka vetëm një kufi.

Ekziston një përkufizim tjetër i kufirit të një funksioni.

Përkufizimi Numri A quhet kufi i funksionit f(x) në pikën x = x 0 nëse për çdo numër \(\varepsilon > 0\) ekziston një numër \(\delta > 0\) i tillë që për të gjithë \ (x \në X, \; x \neq x_0 \), duke përmbushur pabarazinë \(|x-x_0| Duke përdorur simbolet logjike, ky përkufizim mund të shkruhet si
\((\forall \varepsilon > 0) (\ekziston \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Vini re se pabarazitë \(x \neq x_0 , \; \(\varepsilon - \delta \)”.
Këto dy përkufizime të kufirit të një funksioni janë ekuivalente dhe ju mund të përdorni njërin prej tyre në varësi të asaj se cili është më i përshtatshëm për zgjidhjen e një problemi të caktuar.

Vini re se përkufizimi i kufirit të një funksioni "në gjuhën e sekuencave" quhet gjithashtu përcaktimi i kufirit të një funksioni sipas Heine, dhe përcaktimi i kufirit të një funksioni "në gjuhën \(\varepsilon - \delta \)” quhet edhe përcaktimi i kufirit të një funksioni sipas Cauchy.

Kufiri i funksionit në x->x 0 - dhe në x->x 0 +

Në vijim, ne do të përdorim konceptet e kufijve të njëanshëm të një funksioni, të cilat përcaktohen si më poshtë.

Përkufizimi Numri A quhet kufiri i djathtë (majtas) i funksionit f(x) në pikën x 0 nëse për çdo sekuencë (1) që konvergohet në x 0, elementët e të cilit x n janë më të mëdhenj (më të vegjël se) x 0, sekuenca përkatëse (2) konvergon në A.

Në mënyrë simbolike shkruhet kështu:
$$ \lim_(x \në x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \në x_0-) f(x) = A \djathtas) $$

Ne mund të japim një përkufizim ekuivalent të kufijve të njëanshëm të një funksioni "në gjuhën \(\varepsilon - \delta \)":

Përkufizimi një numër A quhet kufiri i djathtë (majtas) i funksionit f(x) në pikën x 0 nëse për çdo \(\varepsilon > 0\) ekziston një \(\delta > 0\) e tillë që për të gjitha x plotësimi i pabarazive \(x_0 Regjistrimet simbolike:

\((\forall \varepsilon > 0) (\ekziston \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Sot në klasë do të shikojmë renditje strikte Dhe përcaktim i rreptë i kufirit të një funksioni, dhe gjithashtu të mësojnë të zgjidhin problemet përkatëse të një natyre teorike. Artikulli është menduar kryesisht për studentët e vitit të parë të shkencave natyrore dhe specialiteteve inxhinierike që kanë filluar të studiojnë teorinë analiza matematikore, dhe hasi vështirësi në të kuptuarit e këtij seksioni matematikë e lartë. Përveç kësaj, materiali është mjaft i aksesueshëm për nxënësit e shkollave të mesme.

Gjatë viteve të ekzistencës së faqes, kam marrë një duzinë letrash me përafërsisht këtë përmbajtje: "Nuk e kuptoj mirë analizën matematikore, çfarë të bëj?", "Nuk e kuptoj fare matematikën, jam duke menduar të lë studimet, etj. Dhe me të vërtetë, është matani ai që rrallohet shpesh grup nxënësish pas seancës së parë. Pse është ky rasti? Sepse tema është e paimagjinueshme komplekse? Aspak! Teoria e analizës matematikore nuk është aq e vështirë sa është e veçantë. Dhe ju duhet ta pranoni dhe ta doni atë për atë që është =)

Le të fillojmë me rastin më të vështirë. Gjëja e parë dhe më e rëndësishme është që ju të mos hiqni dorë nga studimet. Kuptoni saktë, lënien, gjithmonë do të bëhet me kohë;-) Sigurisht, nëse në një ose dy vjet ndiheni të sëmurë nga specialiteti juaj i zgjedhur, atëherë po, duhet të mendoni për këtë (dhe mos u zemëro!) për ndryshimin e aktivitetit. Por tani për tani ia vlen të vazhdohet. Dhe ju lutemi harroni frazën "Unë nuk kuptoj asgjë" - nuk ndodh që ju të mos kuptoni asgjë.

Çfarë duhet të bëni nëse teoria është e keqe? Kjo, nga rruga, vlen jo vetëm për analizën matematikore. Nëse teoria është e keqe, atëherë së pari ju duhet të përqendroheni SERIOZË në praktikë. Në këtë rast, dy probleme zgjidhen menjëherë objektivat strategjike:

– Së pari, një pjesë e konsiderueshme njohuri teorike erdhi përmes praktikës. Dhe kjo është arsyeja pse shumë njerëz e kuptojnë teorinë përmes ... - kjo është e drejtë! Jo, jo, nuk po mendon për këtë =)

– Dhe, së dyti, aftësitë praktike me shumë mundësi do t'ju "tërheqin" në provim, edhe nëse... por le të mos emocionohemi kaq shumë! Gjithçka është reale dhe gjithçka mund të "ngritet" mjaftueshëm kohë të shkurtër. Analiza matematikore është seksioni im i preferuar i matematikës së lartë, dhe për këtë arsye unë thjesht nuk mund të mos ju jap një dorë ndihmëse:

Në fillim të semestrit të parë, zakonisht mbulohen kufijtë e sekuencës dhe kufijtë e funksionit. Nuk e kuptoni se çfarë janë këto dhe nuk dini si t'i zgjidhni ato? Filloni me artikullin Kufijtë e funksionit, në të cilin vetë koncepti shqyrtohet "në gishta" dhe analizohen shembujt më të thjeshtë. Më pas, punoni me mësime të tjera mbi këtë temë, duke përfshirë një mësim rreth brenda sekuencave, mbi të cilin në fakt kam formuluar tashmë një përkufizim të rreptë.

Cilat simbole përveç shenjave të pabarazisë dhe modulit dini?

– një shkop i gjatë vertikal lexon kështu: "ashtu ajo", "ashtu ajo", "ashtu ajo" ose "ashtu ajo", në rastin tonë, padyshim, ne po flasim për një numër - pra "të tillë";

– për të gjitha “en” më të mëdha se ;

– shenja e modulit nënkupton distancën, d.m.th. kjo hyrje na tregon se distanca midis vlerave është më e vogël se epsilon.

Epo, a është e vështirë vdekjeprurëse? =)

Pas zotërimit të praktikës, mezi pres t'ju shoh në paragrafin tjetër:

Dhe në fakt, le të mendojmë pak - si të formulojmë një përkufizim të rreptë të sekuencës? ...Gjëja e parë që të vjen ndërmend në botë mësim praktik: "kufiri i një sekuence është numri me të cilin anëtarët e sekuencës afrohen pafundësisht."

Mirë, le ta shkruajmë pasues :

Nuk është e vështirë ta kuptosh këtë pasues afrohen pafundësisht afër numrit –1, dhe termave me numër çift - në "një".

Apo ndoshta ka dy kufij? Por atëherë pse asnjë sekuencë nuk mund të ketë dhjetë apo njëzet prej tyre? Ju mund të shkoni larg në këtë mënyrë. Në këtë drejtim, është logjike të supozohet se nëse një sekuencë ka një kufi, atëherë ai është i vetmi.

shënim : sekuenca nuk ka kufi, por prej saj mund të dallohen dy nënsekuenca (shih më lart), secila prej të cilave ka kufirin e vet.

Kështu, përkufizimi i mësipërm rezulton të jetë i paqëndrueshëm. Po, funksionon për raste si (të cilën nuk e përdora si duhet në shpjegimet e thjeshtuara të shembujve praktikë), por tani duhet të gjejmë një përkufizim të rreptë.

Përpjekja e dytë: “kufiri i një sekuence është numri të cilit i afrohen TË GJITHË anëtarët e sekuencës, me përjashtim ndoshta të tyre përfundimtar sasive." Kjo është më afër të vërtetës, por ende jo plotësisht e saktë. Kështu, për shembull, sekuenca gjysma e termave nuk i afrohen fare zeros - ato janë thjesht të barabarta me të =) Nga rruga, "drita ndezëse" në përgjithësi merr dy vlera fikse.

Formulimi nuk është i vështirë për t'u sqaruar, por më pas lind një pyetje tjetër: si të shkruhet përkufizimi shenja matematikore? Bota shkencore Kam luftuar me këtë problem për një kohë të gjatë derisa e zgjidha situatën maestro i famshëm, e cila, në thelb, zyrtarizoi analizën matematikore klasike me gjithë ashpërsinë e saj. Cauchy sugjeroi operacion rrethinat , e cila e avancoi ndjeshëm teorinë.

Konsideroni një pikë dhe të saj arbitrare- rrethinat:

Vlera e "epsilon" është gjithmonë pozitive, dhe, për më tepër, ne kemi të drejtë ta zgjedhim vetë. Le të supozojmë se në këtë lagje ka shumë anëtarë (jo domosdoshmërisht të gjitha) disa sekuencë. Si të shënohet fakti që për shembull termi i dhjetë është në lagje? Le të jetë në anën e djathtë të saj. Atëherë distanca ndërmjet pikave dhe duhet të jetë më e vogël se “epsilon”: . Sidoqoftë, nëse "x e dhjeta" ndodhet në të majtë të pikës "a", atëherë diferenca do të jetë negative, dhe për këtë arsye shenja duhet t'i shtohet asaj. modul: .

Përkufizimi: një numër quhet kufiri i një sekuence nëse për çdo rrethinat e saj (i parazgjedhur) ekziston një numër natyror i tillë që TE GJITHA anëtarët e sekuencës me numra më të lartë do të jenë brenda lagjes:

Ose shkurt: nëse

Me fjalë të tjera, sado e vogël të marrim vlerën "epsilon", herët a vonë "bishti i pafund" i sekuencës do të jetë PLOTËSISHT në këtë lagje.

Për shembull, "bishti i pafund" i sekuencës do të hyjë PLOTËSISHT në çdo lagje të vogël arbitrarisht të pikës . Pra, kjo vlerë është kufiri i sekuencës sipas përkufizimit. Më lejoni t'ju kujtoj se sekuenca kufiri i së cilës e barabartë me zero, thirri pafundësisht i vogël.

Duhet të theksohet se për një sekuencë nuk është më e mundur të thuhet "bisht i pafund" do të hyjë“- anëtarët me numra tek janë në fakt të barabartë me zero dhe “mos shko askund” =) Prandaj në përkufizim përdoret folja “do të shfaqet”. Dhe, sigurisht, anëtarët e një sekuence si kjo gjithashtu "nuk shkojnë askund". Nga rruga, kontrolloni nëse numri është kufiri i tij.

Tani do të tregojmë se sekuenca nuk ka kufi. Konsideroni, për shembull, një lagje të pikës . Është absolutisht e qartë se nuk ka një numër të tillë pas të cilit TË GJITHA termat do të përfundojnë në një lagje të caktuar - termat tek gjithmonë do të "kalojnë" në "minus një". Për një arsye të ngjashme, nuk ka kufi në pikë.

Le ta konsolidojmë materialin me praktikën:

Shembulli 1

Vërtetoni se kufiri i sekuencës është zero. Specifikoni numrin pas të cilit të gjithë anëtarët e sekuencës garantohen të jenë brenda çdo lagjeje arbitrare të vogël të pikës.

shënim : Për shumë sekuenca, numri natyror i kërkuar varet nga vlera - pra shënimi .

Zgjidhje: konsideroni arbitrare A ka ndonjë numër – i tillë që të gjithë anëtarët me numër më të lartë do të jenë brenda kësaj lagje:

Për të treguar ekzistencën e numrit të kërkuar, ne e shprehim atë përmes .

Meqenëse për çdo vlerë të "en", shenja e modulit mund të hiqet:

Ne përdorim veprime "shkollë" me pabarazi që i përsërita në klasë Pabarazitë lineare Dhe Funksioni Domain. Në këtë rast, një rrethanë e rëndësishme është se "epsilon" dhe "en" janë pozitive:

Meqenëse në të majtë po flasim për numra natyrorë, dhe pjesa e djathtë V rast i përgjithshëmështë i pjesshëm, atëherë duhet të rrumbullakoset:

shënim : ndonjëherë një njësi shtohet në të djathtë për të qenë në anën e sigurt, por në realitet kjo është e tepërt. Duke folur relativisht, nëse e dobësojmë rezultatin duke rrumbullakosur poshtë, atëherë numri më i afërt i përshtatshëm ("tre") do të plotësojë ende pabarazinë origjinale.

Tani shikojmë pabarazinë dhe kujtojmë atë që kemi konsideruar fillimisht arbitrare-lagje, d.m.th. "epsilon" mund të jetë i barabartë me kushdo një numër pozitiv.

konkluzioni: për çdo lagje arbitrare të vogël të një pike, u gjet vlera . Kështu, një numër është kufiri i një sekuence sipas përkufizimit. Q.E.D.

Nga rruga, nga rezultati i marrë një model natyror është qartë i dukshëm: sa më i vogël të jetë lagja, aq më i madh është numri, pas së cilës TË GJITHË anëtarët e sekuencës do të jenë në këtë lagje. Por sado i vogël të jetë "epsiloni", do të ketë gjithmonë një "bisht të pafund" brenda dhe jashtë - edhe nëse është i madh, megjithatë. përfundimtar numri i anëtarëve.

Si janë përshtypjet tuaja? =) Jam dakord që është pak e çuditshme. Por rreptësisht! Ju lutemi rilexoni dhe mendoni për gjithçka përsëri.

Le të shohim një shembull të ngjashëm dhe të njihemi me teknika të tjera teknike:

Shembulli 2

Zgjidhje: sipas përkufizimit të një sekuence është e nevojshme të vërtetohet se (thuaj me zë!!!).

Le të shqyrtojmë arbitrare- fqinjësia e pikës dhe kontrolli, a ekziston numër natyror - i tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj vlen pabarazia e mëposhtme:

Për të treguar ekzistencën e një , ju duhet të shprehni "en" përmes "epsilon". Ne thjeshtojmë shprehjen nën shenjën e modulit:

Moduli shkatërron shenjën minus:

Emëruesi është pozitiv për çdo "en", prandaj, shkopinjtë mund të hiqen:

Përzier:

Tani duhet të nxjerrim Rrenja katrore, por kapja është se për disa "epsilon" ana e djathtë do të jetë negative. Për të shmangur këtë telash le të forcohemi pabarazia sipas modulit:

Pse mund të bëhet kjo? Nëse, duke folur relativisht, rezulton se , atëherë kushti gjithashtu do të plotësohet. Moduli mund vetëm të rritet numri i kërkuar, dhe kjo do të na përshtatet edhe neve! Përafërsisht, nëse i qindëshi është i përshtatshëm, atëherë i përshtatet edhe dyqindëshi! Sipas përkufizimit, ju duhet të tregoni vetë fakti i ekzistencës së numrit(të paktën disa), pas së cilës të gjithë anëtarët e sekuencës do të jenë në -lagje. Nga rruga, kjo është arsyeja pse ne nuk kemi frikë nga rrumbullakimi përfundimtar i anës së djathtë lart.

Nxjerrja e rrënjës:

Dhe rrethoni rezultatin:

konkluzioni: sepse vlera "epsilon" u zgjodh në mënyrë arbitrare, më pas për çdo lagje arbitrare të vogël të pikës u gjet vlera , i tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj vlen pabarazia . Kështu, a-paror. Q.E.D.

Unë këshilloj sidomos të kuptuarit e forcimit dhe dobësimit të pabarazive është një teknikë tipike dhe shumë e zakonshme në analizën matematikore. E vetmja gjë që duhet të monitoroni është korrektësia e këtij apo atij veprimi. Kështu, për shembull, pabarazia në asnjë rrethanë nuk është e mundur liroj, duke zbritur, të themi, një:

Përsëri, me kusht: nëse numri përshtatet saktësisht, atëherë ai i mëparshmi mund të mos përshtatet më.

Shembulli i mëposhtëm është për vendim i pavarur:

Shembulli 3

Duke përdorur përkufizimin e një sekuence, provoni se

Zgjidhje e Shpejtë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Nëse sekuenca pafundësisht i madh, atëherë përkufizimi i një kufiri formulohet në mënyrë të ngjashme: një pikë quhet kufi i një sekuence nëse për ndonjë, aq i madh sa të duash numër ka një numër të tillë që për të gjithë numrat më të mëdhenj do të plotësohet pabarazia. Numri thirret afërsia e pikës "plus pafundësi":

Me fjalë të tjera, çfarëdo rëndësi të madhe pa marrë parasysh se çfarë, "bishti i pafund" i sekuencës do të shkojë patjetër në lagjen - të pikës, duke lënë vetëm numri përfundimtar anëtarët.

Shembull standard:

Dhe shënimi i shkurtuar: , nëse

Për rastin, shkruani vetë përkufizimin. Versioni i saktë është në fund të mësimit.

Pasi të keni marrë në dorë shembuj praktik dhe të keni kuptuar përkufizimin e kufirit të një sekuence, mund t'i drejtoheni literaturës për analizën matematikore dhe/ose fletores tuaj të leksioneve. Unë rekomandoj shkarkimin e vëllimit 1 të Bohan (më e thjeshtë - për studentët me korrespondencë) dhe Fichtenholtz (më hollësisht dhe në detaje). Midis autorëve të tjerë, unë rekomandoj Piskunov, kursi i të cilit synohet në universitetet teknike.

Mundohuni të studioni me ndërgjegje teoremat që kanë të bëjnë me kufirin e sekuencës, provat e tyre, pasojat. Në fillim, teoria mund të duket "e turbullt", por kjo është normale - thjesht duhet të mësoheni me të. Dhe shumë do të marrin edhe një shije për të!

Përkufizim rigoroz i kufirit të një funksioni

Le të fillojmë me të njëjtën gjë - si të formulojmë këtë koncept? Përkufizimi verbal kufiri i një funksioni formulohet shumë më thjeshtë: "një numër është kufiri i një funksioni nëse me "x" priret në (si majtas ashtu edhe djathtas), vlerat përkatëse të funksionit priren në » (shiko vizatimin). Gjithçka duket se është normale, por fjalët janë fjalë, kuptimi është kuptimi, një ikonë është një ikonë, por e rreptë shënimi matematik jo mjaftueshem. Dhe në paragrafin e dytë do të njihemi me dy qasje për zgjidhjen e kësaj çështje.

Lëreni funksionin të përcaktohet në një interval të caktuar, me përjashtim të mundshëm të pikës. NË literaturë edukative përgjithësisht pranohet se funksioni është aty Jo përcaktuar:

Kjo zgjedhje thekson thelbi i kufirit të një funksioni: "x" pafundësisht afër qasjet dhe vlerat përkatëse të funksionit janë pafundësisht afër te . Me fjalë të tjera, koncepti i një kufiri nuk nënkupton "qasje të saktë" ndaj pikave, por domethënë përafrim pafundësisht i afërt

, nuk ka rëndësi nëse funksioni është i përcaktuar në pikë apo jo.

Përkufizimi i parë i kufirit të një funksioni, jo çuditërisht, është formuluar duke përdorur dy sekuenca. Së pari, konceptet janë të lidhura, dhe së dyti, kufijtë e funksioneve zakonisht studiohen pas kufijve të sekuencave. Konsideroni sekuencën pikë, (jo në vizatim) që i përkasin intervalit Dhe i ndryshëm nga , e cila konvergon

te . Pastaj vlerat përkatëse të funksionit formojnë gjithashtu një sekuencë numerike, anëtarët e së cilës ndodhen në boshtin e ordinatave. për çdo Kufiri i një funksioni sipas Heine sekuenca pikash(që i përkasin dhe i ndryshëm nga)

, e cila konvergon në pikën, sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergjon në.

Eduard Heine është një matematikan gjerman. ...Dhe nuk ka nevojë të mendosh diçka të tillë, ka vetëm një homoseksual në Evropë - Gay-Lussac =) U krijua përkufizimi i dytë i kufirit... po, po, keni të drejtë. Por së pari, le të kuptojmë dizajnin e tij. Konsideroni një fqinjësi arbitrare të pikës. Bazuar në paragrafin e mëparshëm, hyrja do të thotë se disa vlera funksioni ndodhet brenda lagjes “epsilon”.

Tani gjejmë -lagje që i përgjigjet -lagjes së dhënë (vizatoni mendërisht vija me pika të zeza nga e majta në të djathtë dhe më pas nga lart poshtë). Vini re se vlera është zgjedhur përgjatë gjatësisë së segmentit më të vogël, në në këtë rast– përgjatë gjatësisë së segmentit më të shkurtër të majtë. Për më tepër, "mjedra" - lagja e një pike mund të zvogëlohet, pasi në përkufizimin e mëposhtëm vetë fakti i ekzistencës është i rëndësishëm kjo lagje. Dhe, në mënyrë të ngjashme, shënimi do të thotë se një vlerë është brenda lagjes "delta".

Kufiri i funksionit Cauchy: një numër quhet kufiri i një funksioni në një pikë nëse për çdo parazgjedhur lagje (e vogel sa te duash), ekziston-lagja e pikës, E TIJ, se: SI VETËM vlerat (i perket) të përfshira në këtë fushë: (shigjeta të kuqe)– KËshtu që MENJËHERË vlerat përkatëse të funksionit janë të garantuara për të hyrë në -lagje: (shigjeta blu).

Më duhet t'ju paralajmëroj se për hir të qartësisë, kam improvizuar pak, kështu që mos e teproni =)

Hyrja e shkurtër: , nëse

Cili është thelbi i përkufizimit? E thënë në mënyrë figurative, duke reduktuar pafundësisht lagjen, ne i “shoqërojmë” vlerat e funksionit deri në kufirin e tyre, duke mos u lënë atyre alternativë për t'iu afruar diku tjetër. Mjaft e pazakontë, por përsëri e rreptë! Për të kuptuar plotësisht idenë, rilexoni formulimin përsëri.

! Kujdes: nëse ju duhet vetëm të formuloni Përkufizimi i Heine ose thjesht Përkufizim cauchy ju lutem mos harroni domethënëse komente paraprake: "Konsideroni një funksion që përcaktohet në një interval të caktuar, me përjashtim të mundshëm të një pike". Këtë e kam thënë një herë në fillim dhe nuk e kam përsëritur çdo herë.

Sipas teoremës përkatëse të analizës matematikore, përkufizimet Heine dhe Cauchy janë ekuivalente, por opsioni i dytë është më i famshmi. (ende do!), i cili quhet edhe "kufiri i gjuhës":

Shembulli 4

Duke përdorur përkufizimin e kufirit, provoni këtë

Zgjidhje: funksioni përcaktohet në të gjithë vijën numerike përveç pikës. Duke përdorur përkufizimin, vërtetojmë ekzistencën e një kufiri në një pikë të caktuar.

shënim : vlera e lagjes “delta” varet nga “epsilon”, pra edhe emërtimi

Le të shqyrtojmë arbitrare-rrethina. Detyra është të përdoret kjo vlerë për të kontrolluar nëse a ekziston-rrethina, E TIJ, e cila nga pabarazia pason pabarazia .

Duke supozuar se, ne transformojmë pabarazinë e fundit:
(zgjeroi trinomin kuadratik)

Le të përcaktohet funksioni y = ƒ (x) në një fqinjësi të pikës x o, përveç, ndoshta, vetë pikës x o.

Le të formulojmë dy përkufizime ekuivalente të kufirit të një funksioni në një pikë.

Përkufizimi 1 (në "gjuhën e sekuencave", ose sipas Heine).

Numri A quhet kufi i funksionit y=ƒ(x) në furrën x 0 (ose në x® x o), nëse për ndonjë sekuencë vlerat e pranueshme argumentet x n, n є N (x n ¹ x 0), duke konverguar në x, sekuenca e vlerave përkatëse të funksionit ƒ(x n), n є N, konvergon në numrin A

Në këtë rast ata shkruajnë
ose ƒ(x)->A në x→x o. Kuptimi gjeometrik kufiri i një funksioni: do të thotë që për të gjitha pikat x që janë mjaftueshëm afër pikës xo, vlerat përkatëse të funksionit ndryshojnë aq pak sa të dëshirohet nga numri A.

Përkufizimi 2 (në "gjuhën e ε", ose sipas Cauchy).

Një numër A quhet kufi i një funksioni në pikën x o (ose në x→x o) nëse për çdo ε pozitive ka të tillë numër pozitivδ, që për të gjithë x¹ x o që kënaqin pabarazinë |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Kuptimi gjeometrik i kufirit të një funksioni:

nëse për çdo lagje ε të pikës A ekziston një fqinjësi δ e pikës xo e tillë që për të gjitha x¹ xo nga kjo lagje δ vlerat përkatëse të funksionit ƒ(x) qëndrojnë në ε-lagjen e pikës A. Me fjalë të tjera, pikat e grafikut të funksionit y = ƒ(x) shtrihen brenda një shiriti me gjerësi 2ε, të kufizuar me vija të drejta y=A+ ε, y=A-ε (shih Fig. 110). Natyrisht, vlera e δ varet nga zgjedhja e ε, kështu që ata shkruajnë δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Vërtetoni këtë

Zgjidhje: Merrni një ε>0 arbitrare, gjeni δ=δ(ε)>0 të tillë që për të gjitha x që plotësojnë pabarazinë |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Duke marrë δ=ε/2, shohim se për të gjitha x-të plotësojnë pabarazinë |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Kufijtë e njëanshëm

Në përcaktimin e kufirit të një funksioni, konsiderohet se x tenton në x 0 në çfarëdo mënyre: duke mbetur më pak se x 0 (në të majtë të x 0), më e madhe se x o (në të djathtë të x o), ose duke u lëkundur rreth pika x 0.

Ka raste kur metoda e përafrimit të argumentit x në x o ndikon ndjeshëm në vlerën e kufirit të funksionit. Prandaj, prezantohen konceptet e kufijve të njëanshëm.

Numri A 1 quhet kufiri i funksionit y=ƒ(x) majtas në pikën x o nëse për çdo numër ε>0 ka një numër δ=δ(ε)> 0 i tillë që në x є (x 0 -δ;x o), pabarazia |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 ose shkurtimisht: ƒ(x o- 0) = A 1 (shënimi Dirichlet) (shih Fig. 111).

Kufiri i funksionit në të djathtë përcaktohet në mënyrë të ngjashme, ne e shkruajmë atë duke përdorur simbolet:

Shkurtimisht, kufiri në të djathtë shënohet me ƒ(x o +0)=A.

Kufijtë majtas dhe djathtas të një funksioni quhen kufij të njëanshëm. Natyrisht, nëse ekziston, atëherë ekzistojnë të dy kufijtë e njëanshëm, dhe A = A 1 = A 2.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse të dy kufijtë ƒ(x 0 -0) dhe ƒ(x 0 +0) ekzistojnë dhe janë të barabartë, atëherë ekziston një kufi dhe A = ƒ(x 0 -0).

Nëse A 1 ¹ A 2, atëherë kjo kishë nuk ekziston.

16.3. Kufiri i funksionit në x ® ∞

Le të jetë i përcaktuar funksioni y=ƒ(x) në intervalin (-∞;∞). Numri A quhet kufiri i funksionitƒ(x) në x→ ∞ , nëse për çdo numër pozitiv ε ka një numër M=M()>0 i tillë që për të gjithë x që plotëson pabarazinë |x|>M mosbarazimin |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Kuptimi gjeometrik i këtij përkufizimi është si vijon: për " ε>0 $ M>0, që për x є(-∞; -M) ose x є(M; +∞) vlerat përkatëse të funksionit ƒ( x) bien në ε-lagjen e pikës A, domethënë, pikat e grafikut shtrihen në një brez me gjerësi 2ε, të kufizuar nga vijat e drejta y=A+ε dhe y=A-ε (shih Fig. 112) .

16.4. Funksion pafundësisht i madh (b.b.f.)

Funksioni y=ƒ(x) quhet pafundësisht i madh për x→x 0 nëse për çdo numër M>0 ka një numër δ=δ(M)>0, i cili për të gjithë x që plotëson pabarazinë 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Për shembull, funksioni y=1/(x-2) është b.b.f. për x->2.

Nëse ƒ(x) priret në pafundësi si x→x o dhe merr vetëm vlera pozitive, atëherë ata shkruajnë

nëse vetëm vlera negative, atëherë

Funksioni y=ƒ(x), i përcaktuar në të gjithë vijën numerike, quhet pafundësisht i madh si x→∞, nëse për çdo numër M>0 ekziston një numër N=N(M)>0 i tillë që për të gjithë x që plotësojnë pabarazinë |x|>N, vlen pabarazia |ƒ(x)|>M. I shkurtër:

Për shembull, y=2x ka b.b.f. si x→∞.

Vini re se nëse argumenti x, i prirur drejt pafundësisë, merr vetëm vlera natyrore, pra xєN, atëherë b.b.f përkatëse. bëhet një sekuencë pafundësisht e madhe. Për shembull, sekuenca v n =n 2 +1, n є N, është një sekuencë pafundësisht e madhe. Natyrisht, çdo b.b.f. në një lagje të një pike x o është i pakufizuar në këtë lagje. E kundërta nuk është e vërtetë: një funksion i pakufizuar mund të mos jetë b.b.f. (Për shembull, y=xsinx.)

Megjithatë, nëse limƒ(x)=A për x→x 0, ku A është një numër i fundëm, atëherë funksioni ƒ(x) është i kufizuar në afërsi të pikës x o.

Në të vërtetë, nga përkufizimi i kufirit të një funksioni del se si x→ x 0 kushti |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Në këtë artikull do t'ju tregojmë se cili është kufiri i një funksioni. Së pari, le të shpjegojmë pikat e përgjithshme që janë shumë të rëndësishme për të kuptuar thelbin e këtij fenomeni.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncepti i kufirit

Në matematikë, koncepti i pafundësisë, i shënuar me simbolin ∞, është thelbësisht i rëndësishëm. Duhet të kuptohet si një numër pafundësisht i madh + ∞ ose një numër pafundësisht i vogël - ∞. Kur flasim për pafundësinë, shpesh nënkuptojmë të dyja këto kuptime njëherësh, por shënimi i formës + ∞ ose - ∞ nuk duhet të zëvendësohet thjesht me ∞.

Kufiri i një funksioni shkruhet si lim x → x 0 f (x) . Në fund shkruajmë argumentin kryesor x, dhe me ndihmën e një shigjete tregojmë se në cilën vlerë x0 do të priret. Nëse vlera x 0 është një numër real konkret, atëherë kemi të bëjmë me kufirin e funksionit në një pikë. Nëse vlera x 0 tenton në pafundësi (nuk ka rëndësi nëse ∞, + ∞ ose - ∞), atëherë duhet të flasim për kufirin e funksionit në pafundësi.

Kufiri mund të jetë i fundëm ose i pafund. Nëse është i barabartë me një numër real specifik, d.m.th. lim x → x 0 f (x) = A, atëherë quhet kufi i fundëm, por nëse lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ ose lim x → x 0 f (x) = - ∞ , pastaj e pafundme.

Nëse nuk mund të përcaktojmë as një vlerë të fundme ose të pafundme, do të thotë se një kufi i tillë nuk ekziston. Një shembull i këtij rasti do të ishte kufiri i sinusit në pafundësi.

Në këtë paragraf do të shpjegojmë se si të gjejmë vlerën e kufirit të një funksioni në një pikë dhe në pafundësi. Për ta bërë këtë, ne duhet të prezantojmë përkufizimet bazë dhe të kujtojmë se cilat janë sekuencat e numrave, si dhe konvergjenca dhe divergjenca e tyre.

Përkufizimi 1

Numri A është kufiri i funksionit f (x) si x → ∞ nëse sekuenca e vlerave të tij konvergon në A për çdo sekuencë pafundësisht të madhe argumentesh (negative ose pozitive).

Shkrimi i kufirit të një funksioni duket kështu: lim x → ∞ f (x) = A.

Përkufizimi 2

Si x → ∞, kufiri i një funksioni f(x) është i pafund nëse sekuenca e vlerave për çdo sekuencë pafundësisht të madhe të argumenteve është gjithashtu pafundësisht e madhe (pozitive ose negative).

Hyrja duket si lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Shembulli 1

Vërtetoni barazinë lim x → ∞ 1 x 2 = 0 duke përdorur përkufizimin bazë të kufirit për x → ∞.

Zgjidhje

Le të fillojmë duke shkruar një sekuencë vlerash të funksionit 1 x 2 për një sekuencë pozitive pafundësisht të madhe të vlerave të argumentit x = 1, 2, 3, . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Ne shohim që vlerat gradualisht do të ulen, duke u prirur në 0. Shihni në foto:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Këtu mund të shohim gjithashtu një rënie monotonike drejt zeros, e cila konfirmon vlefshmërinë e kësaj në kushtin e barazisë:

Përgjigje: Korrektësia e kësaj në kushtin e barazisë vërtetohet.

Shembulli 2

Llogaritni kufirin lim x → ∞ e 1 10 x.

Zgjidhje

Le të fillojmë, si më parë, duke shkruar sekuencat e vlerave f (x) = e 1 10 x për një sekuencë pozitive pafundësisht të madhe argumentesh. Për shembull, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Ne shohim se kjo sekuencë është pafundësisht pozitive, që do të thotë f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Le të kalojmë në shkrimin e vlerave të një sekuence negative pafundësisht të madhe, për shembull, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

Meqenëse priret edhe në zero, atëherë f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Zgjidhja e problemit tregohet qartë në ilustrim. Pikat blu tregojnë një sekuencë vlerash pozitive, pikat jeshile tregojnë një sekuencë vlerash negative.

Përgjigje: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr dhe x → + ∞ 0 , pr dhe x → - ∞ .

Le të kalojmë në metodën e llogaritjes së kufirit të një funksioni në një pikë. Për ta bërë këtë, ne duhet të dimë se si të përcaktojmë saktë një kufi të njëanshëm. Kjo do të jetë gjithashtu e dobishme për ne për të gjetur asimptotat vertikale të grafikut të një funksioni.

Përkufizimi 3

Numri B është kufiri i funksionit f (x) në të majtë si x → a në rastin kur sekuenca e vlerave të tij konvergon në një numër të caktuar për çdo sekuencë argumentesh të funksionit x n që konvergojnë në a, nëse vlerat e tij mbeten më të vogla se a (x n< a).

Një kufi i tillë shënohet me shkrim si lim x → a - 0 f (x) = B.

Tani le të formulojmë se cili është kufiri i një funksioni në të djathtë.

Përkufizimi 4

Numri B është kufiri i funksionit f (x) në të djathtë si x → a në rastin kur sekuenca e vlerave të tij konvergon në një numër të caktuar për çdo sekuencë argumentesh të funksionit x n që konvergojnë në a, nëse vlerat e tij mbeten më të mëdha se a (x n > a) .

Këtë kufi e shkruajmë si lim x → a + 0 f (x) = B .

Kufirin e një funksioni f (x) mund ta gjejmë në një pikë të caktuar kur ai ka kufij të barabartë në anën e majtë dhe të djathtë, d.m.th. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Nëse të dy kufijtë janë të pafund, kufiri i funksionit në pikën e fillimit do të jetë gjithashtu i pafund.

Tani do t'i sqarojmë këto përkufizime duke shkruar zgjidhjen e një problemi specifik.

Shembulli 3

Vërtetoni se ekziston një kufi i fundëm i funksionit f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 në pikën x 0 = 2 dhe njehsoni vlerën e tij.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, duhet të kujtojmë përkufizimin e kufirit të një funksioni në një pikë. Së pari, le të vërtetojmë se funksioni origjinal ka një kufi në të majtë. Le të shkruajmë një sekuencë vlerash funksioni që do të konvergojnë në x 0 = 2 nëse x n< 2:

f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8, 667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1,998; . . . → - 2

Meqenëse sekuenca e mësipërme zvogëlohet në - 2, mund të shkruajmë se lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Vlerat e funksionit në këtë sekuencë do të duken kështu:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2001, . . . → - 2

Ky sekuencë konvergon gjithashtu në - 2, që do të thotë lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Ne zbuluam se kufijtë në anën e djathtë dhe të majtë të këtij funksioni do të jenë të barabartë, që do të thotë se kufiri i funksionit f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 në pikën x 0 = 2 ekziston, dhe lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Ju mund të shihni përparimin e zgjidhjes në ilustrim (pikat e gjelbra janë një sekuencë vlerash që konvergojnë në x n< 2 , синие – к x n > 2).

Përgjigje: Kufijtë në anën e djathtë dhe të majtë të këtij funksioni do të jenë të barabartë, që do të thotë se kufiri i funksionit ekziston, dhe lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Për të studiuar më thellë teorinë e kufijve, ju këshillojmë të lexoni artikullin mbi vazhdimësinë e një funksioni në një pikë dhe llojet kryesore të pikave të ndërprerjes.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve