Përkufizimi.

Le ta quajmë një sistem një sistem me dominim të rreshtit diagonal nëse elementët e matricësplotësoni pabarazitë:

Pabarazitë nënkuptojnë se në çdo rresht të matricës theksohet elementi diagonal: moduli i tij është më i madh se shuma e moduleve të të gjithë elementëve të tjerë të së njëjtës rresht.

Teorema

Një sistem me dominim diagonal është gjithmonë i zgjidhshëm dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.

Konsideroni sistemin përkatës homogjen:

Le të supozojmë se ka një zgjidhje jo të parëndësishme , Le të korrespondojë komponenti më i madh i modulit të kësaj zgjidhjeje me indeksin
, d.m.th.

,
,
.

Le ta shkruajmë ekuacioni i sistemit në formën

dhe merrni modulin e të dy anëve të kësaj barazie. Si rezultat marrim:

Reduktimi i pabarazisë me një faktor
, që sipas nesh nuk është e barabartë me zero, vijmë në një kontradiktë me pabarazinë që shpreh mbizotërimin diagonal. Kontradikta që rezulton na lejon të bëjmë vazhdimisht tre deklarata:

E fundit nga këto do të thotë se vërtetimi i teoremës është i plotë.

Sistemet me matricë tridiagonale. Metoda e vrapimit.

Kur zgjidhen shumë probleme, duhet të merret me sistemet e ekuacioneve lineare të formës:

,
,

ku janë koeficientët
, anët e djathta
të njohura së bashku me numrat Dhe . Marrëdhëniet shtesë shpesh quhen kushte kufitare për sistemin. Në shumë raste ato mund të jenë më komplekse. Për shembull:

;
,

Ku
- numrat e dhënë. Sidoqoftë, për të mos e komplikuar prezantimin, ne do të kufizohemi në formën më të thjeshtë të kushteve shtesë.

Duke përfituar nga fakti se vlerat Dhe dhënë, ne e rishkruajmë sistemin në formën:

Matrica e këtij sistemi ka një strukturë tridiagonale:

Kjo thjeshton ndjeshëm zgjidhjen e sistemit falë një metode të veçantë të quajtur metoda e fshirjes.

Metoda bazohet në supozimin se të panjohurat e panjohura Dhe
e lidhur me lidhjen e përsëritjes

,
.

Këtu janë sasitë
,
, të quajtur koeficientët e drejtimit, i nënshtrohen përcaktimit në bazë të kushteve të problemit, . Në fakt, një procedurë e tillë nënkupton zëvendësimin e përkufizimit të drejtpërdrejtë të të panjohurave detyra e përcaktimit të koeficientëve të ekzekutimit dhe më pas llogaritjes së vlerave në bazë të tyre .

Për të zbatuar programin e përshkruar, ne e shprehim atë duke përdorur relacionin
përmes
:

dhe zëvendësues
Dhe , shprehur përmes
, në ekuacionet origjinale. Si rezultat marrim:

Marrëdhëniet e fundit sigurisht që do të jenë të kënaqura dhe, për më tepër, pavarësisht nga zgjidhja, nëse e kërkojmë atë kur
kishte barazi:

Nga këtu ndiqni marrëdhëniet e përsëritjes për koeficientët e fshirjes:

,
,
.

Gjendja e kufirit të majtë
dhe raporti
janë konsistente nëse vendosim

Vlerat e tjera të koeficientëve të fshirjes
Dhe
gjejmë nga, e cila përfundon fazën e llogaritjes së koeficientëve të drejtimit.

Nga këtu mund të gjeni të panjohurat e mbetura
në procesin e fshirjes prapa duke përdorur formulën e përsëritjes.

Numri i operacioneve të nevojshme për të zgjidhur një sistem të përgjithshëm me metodën Gaussian rritet me rritjen proporcionalisht . Metoda e fshirjes reduktohet në dy cikle: së pari, koeficientët e fshirjes llogariten duke përdorur formula, pastaj, duke përdorur ato, përbërësit e zgjidhjes së sistemit gjenden duke përdorur formula të përsëritura . Kjo do të thotë se me rritjen e madhësisë së sistemit, numri i veprimeve aritmetike do të rritet proporcionalisht , jo . Kështu, metoda e fshirjes, brenda fushës së zbatimit të saj të mundshëm, është dukshëm më ekonomike. Kësaj i duhet shtuar thjeshtësia e veçantë e zbatimit të softuerit të tij në kompjuter.

Në shumë probleme të aplikuara që çojnë në SLAE me një matricë tridiagonale, koeficientët e saj plotësojnë pabarazitë:

të cilat shprehin vetinë e dominimit diagonal. Në veçanti, ne do të takojmë sisteme të tilla në kapitujt e tretë dhe të pestë.

Sipas teoremës së seksionit të mëparshëm, një zgjidhje për sisteme të tilla ekziston gjithmonë dhe është unike. Një deklaratë është gjithashtu e vërtetë për ta, e cila është e rëndësishme për llogaritjen aktuale të zgjidhjes duke përdorur metodën e fshirjes.

Lemë

Nëse për një sistem me një matricë tridiagonale plotësohet kushti i dominimit diagonal, atëherë koeficientët e fshirjes plotësojnë pabarazitë:

Ne do ta kryejmë vërtetimin me induksion. Sipas
, pra kur
pohimi i lemës është i vërtetë. Tani le të supozojmë se është e vërtetë për dhe konsideroni
:

Pra, induksion nga te
arsyetohet, çka plotëson vërtetimin e lemës.

Pabarazia për koeficientët e fshirjes e bën vrapimin të qëndrueshëm. Në të vërtetë, supozoni se përbërësi i zgjidhjes Si rezultat i procedurës së rrumbullakosjes, është llogaritur me disa gabime. Pastaj kur llogaritet komponenti tjetër
sipas formulës së përsëritur, ky gabim, falë pabarazisë, nuk do të rritet.

Përkufizimi.

Le ta quajmë një sistem një sistem me dominim të rreshtit diagonal nëse elementët e matricësplotësoni pabarazitë:

Teorema

Një sistem me dominim diagonal është gjithmonë i zgjidhshëm dhe, për më tepër, në një mënyrë unike.

Konsideroni sistemin përkatës homogjen:

Le të supozojmë se ka një zgjidhje jo të parëndësishme , Le të korrespondojë komponenti më i madh i modulit të kësaj zgjidhjeje me indeksin
, d.m.th.

,
,
.

Le ta shkruajmë ekuacioni i sistemit në formën

dhe merrni modulin e të dy anëve të kësaj barazie. Si rezultat marrim:

E fundit nga këto do të thotë se vërtetimi i teoremës është i plotë.

Sistemet me matricë tridiagonale. Metoda e vrapimit.

Kur zgjidhen shumë probleme, duhet të merret me sistemet e ekuacioneve lineare të formës:

,
,

;
,

Ku
- numrat e dhënë. Sidoqoftë, për të mos e komplikuar prezantimin, ne do të kufizohemi në formën më të thjeshtë të kushteve shtesë.

Duke përfituar nga fakti se vlerat Dhe dhënë, ne e rishkruajmë sistemin në formën:

Matrica e këtij sistemi ka një strukturë tridiagonale:

Kjo thjeshton ndjeshëm zgjidhjen e sistemit falë një metode të veçantë të quajtur metoda e fshirjes.

Metoda bazohet në supozimin se të panjohurat e panjohura Dhe
e lidhur me lidhjen e përsëritjes

,
.

Për të zbatuar programin e përshkruar, ne e shprehim atë duke përdorur relacionin
përmes
:

dhe zëvendësues
Dhe , shprehur përmes
, në ekuacionet origjinale. Si rezultat marrim:

Marrëdhëniet e fundit sigurisht që do të jenë të kënaqura dhe, për më tepër, pavarësisht nga zgjidhja, nëse e kërkojmë atë kur
kishte barazi:

Nga këtu ndiqni marrëdhëniet e përsëritjes për koeficientët e fshirjes:

,
,
.

Gjendja e kufirit të majtë
dhe raporti
janë konsistente nëse vendosim

Vlerat e tjera të koeficientëve të fshirjes
Dhe
gjejmë nga, e cila përfundon fazën e llogaritjes së koeficientëve të drejtimit.

Nga këtu mund të gjeni të panjohurat e mbetura
në procesin e fshirjes prapa duke përdorur formulën e përsëritjes.

Në shumë probleme të aplikuara që çojnë në SLAE me një matricë tridiagonale, koeficientët e saj plotësojnë pabarazitë:

të cilat shprehin vetinë e dominimit diagonal. Në veçanti, ne do të takojmë sisteme të tilla në kapitujt e tretë dhe të pestë.

Lemë

Nëse për një sistem me një matricë tridiagonale plotësohet kushti i dominimit diagonal, atëherë koeficientët e fshirjes plotësojnë pabarazitë:

Ne do ta kryejmë vërtetimin me induksion. Sipas
, pra kur
pohimi i lemës është i vërtetë. Tani le të supozojmë se është e vërtetë për dhe konsideroni
:

Pra, induksion nga te
arsyetohet, çka plotëson vërtetimin e lemës.

$A_(nn)$ ka pronën dominimi diagonal, Nëse

$|a_(ii)| \geqslant \sum_(j \neq i) |a_(ij)|,\qquad i = 1, \pika, n,$

dhe të paktën një pabarazi është strikte. Nëse të gjitha pabarazitë janë strikte, atëherë matrica thuhet të jetë $A_(nn)$ ka i rreptë dominimi diagonal.

Matricat dominuese diagonalisht lindin mjaft shpesh në aplikime. Avantazhi i tyre kryesor është se metodat përsëritëse për zgjidhjen e SLAE-ve me një matricë të tillë (metoda e thjeshtë e përsëritjes, metoda Seidel) konvergojnë në një zgjidhje të saktë që ekziston në mënyrë unike për çdo anë të djathtë.

Vetitë

Një matricë me dominim të rreptë diagonale është jo njëjës.

Shihni gjithashtu

Shkruani një koment për artikullin "Dominimi diagonal"

Fragment që karakterizon Predominimin Diagonal

Regjimenti Hussar i Pavlogradit ishte vendosur dy milje larg Braunau. Skuadrilja, në të cilën Nikolai Rostov shërbeu si kadet, ishte vendosur në fshatin gjerman Salzeneck. Komandanti i skuadronit, kapiteni Denisov, i njohur në të gjithë divizionin e kalorësisë me emrin Vaska Denisov, iu nda apartamenti më i mirë në fshat. Junker Rostov, që kur u kap me regjimentin në Poloni, jetoi me komandantin e skuadriljes.
Më 11 tetor, pikërisht ditën kur gjithçka në banesën kryesore u ngrit në këmbë nga lajmi i humbjes së Makut, në selinë e skuadriljes, jeta në kamp vazhdoi e qetë si më parë. Denisov, i cili kishte humbur gjithë natën me letra, nuk kishte ardhur ende në shtëpi kur Rostov u kthye nga kërkimi i ushqimit herët në mëngjes me kalë. Rostovi, me uniformën e kadetit, hipi në verandë, shtyu kalin e tij, hodhi këmbën me një gjest fleksibël, rinor, qëndroi në trazim, sikur të mos dëshironte të ndahej me kalin, më në fund u hodh dhe i bërtiti lajmëtar.

JO SENERACIONI I MATRICAVE DHE PASURIA E DOMINACIONIT DIAGONAL1

Liliana Cvetkovic - Profesore, Departamenti i Matematikës dhe Shkencave Kompjuterike, Fakulteti i Shkencave, Universiteti i Novi Sadit, Serbi, Obradovica 4, Novi Sad, Serbi, 21000, e-mail: [email i mbrojtur].

Kostic Vladimir - asistent profesor, doktor, Departamenti i Matematikës dhe Informatikës, Fakulteti i Shkencave, Universiteti i Novi Sadit, Serbi, Obradovica 4, 21000, Novi Sad, Serbi, email: [email i mbrojtur].

Krukier Lev Abramovich - Doktor i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor, Shef i Departamentit të Kompjuterave me Performancë të Lartë dhe Teknologjive të Informacionit dhe Komunikimit, Drejtor i Qendrës Rajonale të Rusisë Jugore për Informatizimin e Universitetit Federal Jugor, Stachki Ave. 200/1, bldg. 2, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: krukier@sfedu. ru.

Cvetkovic Ljiljana - Profesor, Departamenti i Matematikës dhe Informatikës, Fakulteti i Shkencave, Universiteti i Novi Sadit, Serbi, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbi, 21000, e-mail: [email i mbrojtur].

Kostic Vladimir - Profesor asistent, Departamenti i Matematikës dhe Informatikës, Fakulteti i Shkencave, Universiteti i Novi Sadit, Serbi, D. Obradovica 4, Novi Sad, Serbi, 21000, e-mail: [email i mbrojtur].

Krukier Lev Abramovich - Doktor i Shkencave Fizike dhe Matematikore, Profesor, Shef i Departamentit të Kompjuterave me Performancë të Lartë dhe Teknologjive të Informacionit dhe Komunikimit, Drejtor i Qendrës Kompjuterike të Universitetit Federal Jugor, Stachki Ave, 200/1, bild. 2, Rostov-on-Don, Rusi, 344090, e-mail: krukier@sfedu. ru.

Dominimi diagonal në një matricë është një kusht i thjeshtë që siguron mosdegjenerimin e saj. Vetitë e matricave që përgjithësojnë konceptin e dominimit diagonal janë gjithmonë në kërkesë të madhe. Ato konsiderohen si kushte të tipit të dominimit diagonal dhe ndihmojnë në përcaktimin e nënklasave të matricave (siç janë matricat H) që mbeten jo të degjeneruara në këto kushte. Në këtë punim, ndërtohen klasa të reja të matricave jo-singulare që ruajnë avantazhet e dominimit diagonal, por mbeten jashtë klasës së matricave H. Këto veti janë veçanërisht të dobishme pasi shumë aplikacione çojnë në matrica nga kjo klasë, dhe teoria e mosdegjenerimit të matricave që nuk janë matrica H tani mund të zgjerohet.

Fjalë kyçe: dominim diagonal, jo degjenerim, shkallëzim.

Ndërsa kushtet e thjeshta që sigurojnë josingularitetin e matricave janë gjithmonë shumë të mirëpritura, shumë prej të cilave mund të konsiderohen si një lloj dominimi diagonal që tenton të prodhojë nënklasa të një matricash të njohur H. Në këtë punim ne ndërtojmë një klasë të re të matricave josingulare të cilat ruajnë dobinë e dominimit diagonal, por qëndrojnë në një marrëdhënie të përgjithshme me klasën e matricave H. Kjo veti është veçanërisht e favorshme, pasi shumë aplikime që dalin nga teoria e matricës H tani mund të zgjerohen.

Fjalë kyçe: dominim diagonal, josingularitet, teknikë shkallëzimi.

Zgjidhja numerike e problemeve të vlerës kufitare të fizikës matematikore, si rregull, e redukton problemin origjinal në zgjidhjen e një sistemi të ekuacioneve algjebrike lineare. Kur zgjedhim një algoritëm zgjidhjeje, duhet të dimë nëse matrica origjinale është jo njëjës? Për më tepër, çështja e mosdegjenerimit të një matrice është e rëndësishme, për shembull, në teorinë e konvergjencës së metodave përsëritëse, lokalizimin e vlerave vetjake, kur vlerësohen përcaktuesit, rrënjët Perron, rreze spektrale, vlerat singulare të matricë etj.

Vini re se një nga kushtet më të thjeshta, por jashtëzakonisht të dobishme që siguron mosdegjenerimin e një matrice është vetia e njohur e dominimit të rreptë diagonale (dhe referencat në të).

Teorema 1. Le të jetë dhënë një matricë A = e Cnxn e tillë që

s > g (a):= S k l, (1)

për të gjitha i e N:= (1,2,...n).

Atëherë matrica A është jo e degjeneruar.

Matricat me vetinë (1) quhen matrica me dominim të rreptë diagonale

(8BB matricat). Përgjithësimi i tyre natyror është klasa e matricave të dominimit të përgjithësuar diagonale (vBD), e përcaktuar si më poshtë:

Përkufizimi 1. Një matricë A = [a^ ] e Cxn quhet një matricë BB nëse ekziston një matricë diagonale jo njëjës W e tillë që AW është një matricë 8BB.

Le të prezantojmë disa përkufizime për matricën

A = [au] e Sphp.

Përkufizimi 2. Matrica (A) = [tuk], e përcaktuar

(A) = e Cn

quhet matrica e krahasimit të matricës A.

Përkufizimi 3. Matrica A = e C

\üj > 0, i = j

është një matricë M nëse

aj< 0, i * j,

dyshek mbrapa-

ritsa A" >0, pra të gjithë elementët e saj janë pozitivë.

Është e qartë se matricat nga klasa vBB janë gjithashtu matrica jo-singulare dhe mund të jenë

1Kjo punë është mbështetur pjesërisht nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës së Serbisë, granti 174019, dhe Ministria e Shkencës dhe Zhvillimit Teknologjik të Vojvodinës, grantet 2675 dhe 01850.

gjendet në literaturë me emrin e matricave H jo të degjeneruara. Ato mund të përcaktohen duke përdorur kushtet e mëposhtme të nevojshme dhe të mjaftueshme:

Teorema 2. Matrica A = [ау]е сых është Н-

matrica nëse dhe vetëm nëse matrica e saj e krahasimit është një matricë M jo-singulare.

Deri më tani, shumë nënklasa të matricave H jo-singulare janë studiuar tashmë, por të gjitha ato konsiderohen nga këndvështrimi i përgjithësimeve të vetive të dominimit rreptësisht diagonal (shih gjithashtu referencat aty).

Ky punim shqyrton mundësinë për të shkuar përtej klasës së matricave H duke përgjithësuar klasën 8BB në një mënyrë tjetër. Ideja bazë është të vazhdohet përdorimi i qasjes së shkallëzimit, por me matrica që nuk janë diagonale.

Konsideroni matricën A = [ау] e спхн dhe indeksin

Le të prezantojmë matricën

r (A):= £ a R (A):= £

ßk (A) := £ dhe yk (A) := aü - ^

Është e lehtë të kontrollohet nëse elementët e matricës bk abk kanë formën e mëposhtme:

ßk (A), У k (A), akj,

i = j = k, i = j * k,

i = k, j * k, i * k, j = k,

Një inöaeüiüö neö^äyö.

Nëse zbatojmë teoremën 1 në matricën bk ABk1 të përshkruar më sipër dhe transpozimin e saj, marrim dy teorema kryesore.

Teorema 3. Le të jepet çdo matricë

A = [ау] e схп me elemente diagonale jo zero. Nëse ekziston k e N e tillë që > Tk(A), dhe për çdo g e N\(k),

atëherë matrica A është josingulare.

Teorema 4. Le të jepet çdo matricë

A = [ау] e схп me elemente diagonale jo zero. Nëse ekziston k e N e tillë që > Jak(A), dhe për çdo r e N\(k),

Atëherë matrica A është jo e degjeneruar. Një pyetje e natyrshme lind për lidhjen ndërmjet

matricat nga dy teoremat e mëparshme: b^ - BOO -matricat (të përcaktuara me formulën (5)) dhe

Lk - BOO -matricat (të përcaktuara me formulën (6)) dhe klasa e matricave H. Shembulli i mëposhtëm i thjeshtë e bën të qartë këtë.

Shembull. Merrni parasysh 4 matricat e mëposhtme:

dhe konsideroni matricën bk Abk, k e N, të ngjashme me origjinalin A. Le të gjejmë kushtet kur kjo matricë do të ketë vetinë e një matrice SDD (në rreshta ose kolona).

Gjatë gjithë artikullit ne do të përdorim shënimin për r,k eN:= (1,2,.../?)

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

Teorema jo-degjenerative

Të gjithë ata janë jo të degjeneruar:

A1 është b - BOO, pavarësisht se nuk është bk - BOO për çdo k = (1,2,3). Gjithashtu nuk është një matricë H, pasi (A^ 1 nuk është jo-negative;

A2, për shkak të simetrisë, është njëkohësisht bYa - BOO dhe b<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

b<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 është b9 - BOO, por nuk është asnjëra

Lr - SDD (për k = (1,2,3)), as një matricë H, pasi (A3 ^ është gjithashtu njëjës;

A4 është një matricë H pasi (A^ është jo njëjës, dhe ^A4) 1 > 0, megjithëse nuk është as LR - SDD as Lk - SDD për ndonjë k = (1,2,3).

Figura tregon marrëdhënien e përgjithshme ndërmjet

Lr - SDD, Lk - SDD dhe matricat H së bashku me matricat nga shembulli i mëparshëm.

Marrëdhënia ndërmjet lR - SDD, lC - SDD dhe

ad min(|au - r (A)|) "

Duke filluar nga pabarazia

dhe duke aplikuar këtë rezultat në matricën bk AB^, marrim

Teorema 5. Le të jepet një matricë arbitrare A = [a-- ] e Cxn me elemente diagonale jo zero

policët. Nëse A i përket klasës - BOO, atëherë

1 + max^ i*k \acc\

H-matricat

Është interesante të theksohet se edhe pse kemi marrë

klasa e matricave LKk BOO duke aplikuar teoremën 1 në matricën e përftuar nga transpozimi i matricës Lk AB^1, kjo klasë nuk përkon me klasën e përftuar duke aplikuar teoremën 2 në matricën At.

Le të prezantojmë disa përkufizime.

Përkufizimi 4. Matrica A quhet ( Lk -BOO sipas rreshtave) nëse AT ( Lk - BOO ).

Përkufizimi 5. Matrica A quhet ( bSk -BOO sipas rreshtave) nëse AT ( bSk - BOO ).

Shembujt tregojnë se klasat Shch - BOO,

BC-BOO, ( bk - BOO me vija) dhe ( b^-BOO sipas vijave) janë të lidhura me njëri-tjetrin. Kështu, ne kemi zgjeruar klasën e matricave H në katër mënyra të ndryshme.

Zbatimi i teoremave të reja

Le të ilustrojmë dobinë e rezultateve të reja në vlerësimin e normës C të një matrice të anasjelltë.

Për një matricë arbitrare A me dominim të rreptë diagonale, teorema e mirënjohur Varach (VaraI) jep vlerësimin

min[|pf (A)| - tk (A), min (|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (фf ii ii

Në mënyrë të ngjashme, marrim rezultatin e mëposhtëm për matricat Lk - SDD sipas kolonave.

Teorema 6. Le të jepet një matricë arbitrare A = e cihi me elemente diagonale jozero. Nëse A i përket klasës bk -SDD sipas kolonave, atëherë

Ik-llll<_ie#|akk|_

" " mln[|pf (A)| - Rf (AT), mln(|uk (A)|- qk (AT)- |aft |)]"

Rëndësia e këtij rezultati është se për shumë nënklasa të matricave H jo-singulare ka kufizime të këtij lloji, por për ato matrica jo njëjëse që nuk janë matrica H ky është një problem jo i parëndësishëm. Rrjedhimisht, kufizimet e këtij lloji, si në teoremën e mëparshme, janë shumë të njohura.

Letërsia

Levy L. Sur le possibilité du l "equilibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. F. 706-708.

Horn R.A., Johnson C.R. Analiza e Matricës. Kembrixh, 1994. Varga R.S. Gersgorin dhe qarqet e tij // Seria Springer në matematikën kompjuterike. 2004. Vëll. 36.226 fshij. Berman A., Plemons R.J. Matricat jonegative në shkencat matematikore. Klasikët e serisë SIAM në matematikën e aplikuar. 1994. Vëll. 9. 340 fshij.

Cvetkoviq Lj. Teoria e matricës H vs. lokalizimi i vlerave vetjake // Numër. Algor. 2006. Vëll. 42. F. 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. Rezultate të mëtejshme mbi H-matricat dhe plotësimet e tyre Schur // Appl. Math. Kompjuter. 1982. F. 506-510.

Varah J.M. Një kufi i poshtëm për vlerën më të vogël të një matrice // Algjebra lineare Aplik. 1975. Vëll. 11. F. 3-5.

Marrë nga redaktori

UNIVERSITETI SHTETËROR I ST PETERSBURG

Fakulteti i Matematikës së Aplikuar – Proceset e Kontrollit

A. P. IVANOV

PUNËTORI MBI METODAT NUMERIKE

ZGJIDHJA E SISTEMEVE TË EKUACIONET ALGJEBRIK LINEARE

Udhëzimet

Shën Petersburg

KAPITULLI 1. INFORMACION MBËSHTETËS

Manuali metodologjik ofron një klasifikim të metodave për zgjidhjen e SLAE dhe algoritme për zbatimin e tyre. Metodat janë paraqitur në një formë që lejon përdorimin e tyre pa përdorur burime të tjera. Supozohet se matrica e sistemit është jo njëjës, d.m.th. det A 6=0.

§1. Normat e vektorëve dhe matricave

Kujtojmë se një hapësirë lineare Ω e elementeve x quhet e normalizuar nëse në të futet një funksion k · kΩ, i përcaktuar për të gjithë elementët e hapësirës Ω dhe që plotëson kushtet:

1. kxk Ω ≥ 0, dhe kxkΩ = 0 x = 0Ω ;

2. kλxk Ω = |λ| · kxkΩ ;

3. kx + yk Ω ≤ kxkΩ + kykΩ .

Ne do të biem dakord në të ardhmen që të shënojmë vektorët me shkronja të vogla latine dhe do t'i konsiderojmë vektorë kolonash, me shkronja të mëdha latine do të shënojmë matrica dhe me shkronja greke do të shënojmë sasi skalare (duke mbajtur shkronjat i, j, k, l, m, n për numrat e plotë).

Normat vektoriale më të përdorura përfshijnë si më poshtë:


	\|xi \|;
1. kxk1 =	\|xi \|;

2. kxk2 = u x2; t

3. kxk∞ = maxi |xi |.

Vini re se të gjitha normat në hapësirën Rn janë ekuivalente, d.m.th. çdo dy norma kxki dhe kxkj lidhen nga relacionet:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj,

k k ≤ k k ≤ ˜ k k

α˜ ij x i x j β ij x i,

dhe αij , βij , α˜ij , βij nuk varen nga x. Për më tepër, në një hapësirë me dimensione të fundme çdo dy norma janë ekuivalente.

Hapësira e matricave me operacionet e futura natyrshëm të mbledhjes dhe shumëzimit me një numër formojnë një hapësirë lineare në të cilën koncepti i normës mund të prezantohet në shumë mënyra. Mirëpo, më së shpeshti merren parasysh të ashtuquajturat norma nënrenditëse, d.m.th. normat e lidhura me normat e vektorëve sipas marrëdhënieve:

Duke shënuar normat vartëse të matricave me të njëjtat indekse si normat përkatëse të vektorëve, mund të vërtetojmë se

k k1

|aij|; kAk2

k∞

(AT A);

Këtu, λi (AT A) tregon vlerën e vet të matricës AT A, ku AT është matrica e transpozuar në A. Përveç tre vetive kryesore të normës së përmendur më lart, ne vërejmë edhe dy të tjera këtu:

kABk ≤ kAk kBk,

kAxk ≤ kAk kxk,

Për më tepër, në pabarazinë e fundit norma e matricës i nënshtrohet normës vektoriale përkatëse. Ne do të biem dakord që në të ardhmen të përdorim vetëm normat e matricave që janë në varësi të normave të vektorëve. Vini re se për norma të tilla vlen barazia e mëposhtme: nëse E është matrica e identitetit, atëherë kEk = 1, .

§2. Matricat me dominim diagonal

Përkufizimi 2.1. Një matricë A me elementë (aij )n i,j=1 quhet matricë me dominim diagonal (vlerat δ) nëse mbahen pabarazitë

|aii | − |aij | ≥ δ > 0, i = 1, n.

§3. Matricat e përcaktuara pozitive

Përkufizimi 3.1. Ne do ta quajmë një matricë simetrike A nga

definitive pozitive nëse forma kuadratike xT Ax me këtë matricë merr vetëm vlera pozitive për çdo vektor x 6= 0.

Kriteri për definicitetin pozitiv të një matrice mund të jetë pozitiviteti i vlerave vetjake të saj ose pozitiviteti i të miturve të saj kryesorë.

§4. Numri i gjendjes SLAE

Gjatë zgjidhjes së ndonjë problemi, siç dihet, ekzistojnë tre lloje gabimesh: gabim fatal, gabim metodologjik dhe gabim rrumbullakimi. Le të shqyrtojmë ndikimin e gabimit të pashmangshëm në të dhënat fillestare në zgjidhjen e SLAE, duke neglizhuar gabimin e rrumbullakimit dhe duke marrë parasysh mungesën e një gabimi metodologjik.

matrica A njihet saktësisht, dhe ana e djathtë b përmban një gabim të pazgjidhshëm δb.

Pastaj për gabimin relativ të zgjidhjes kδxk/kxk

	Nuk është e vështirë për të marrë një vlerësim:

ku ν(A) = kAkkA−1 k.

Numri ν(A) quhet numri i kushtit të sistemit (4.1) (ose matricës A). Rezulton se ν(A) ≥ 1 për çdo matricë A. Meqenëse vlera e numrit të kushtit varet nga zgjedhja e normës së matricës, kur zgjedhim një normë specifike do të indeksojmë ν(A) në përputhje me rrethanat: ν1 (A), ν2 (A) ose ν ∞(A).

Në rastin e ν(A) 1, sistemi (4.1) ose matrica A quhet i kushtëzuar keq. Në këtë rast, siç vijon nga vlerësimi

(4.2), gabimi në zgjidhjen e sistemit (4.1) mund të rezultojë i papranueshëm i madh. Koncepti i pranueshmërisë ose papranueshmërisë së një gabimi përcaktohet nga formulimi i problemit.

Për një matricë me dominim diagonal, është e lehtë të merret një kufi i sipërm për numrin e gjendjes së tij. Zhvillohet

Teorema 4.1. Le të jetë A një matricë me dominim diagonal me vlerë δ > 0. Atëherë ajo është jo njëjës dhe ν∞ (A) ≤ kAk∞ /δ.

§5. Një shembull i një sistemi të pakushtëzuar.

Merrni parasysh SLAE (4.1) në të cilën

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

Ky sistem ka një zgjidhje unike x = (0, 0, . . . , 0, 1)T. Lëreni anën e djathtë të sistemit të përmbajë gabimin δb = (0, 0, . . . , 0, ε), ε > 0. Pastaj

δxn = ε, δxn−1 = ε, δxn−2 = 2 ε, δxn−k = 2 k−1 ε, . . . , δx1 = 2 n−2 ε.

k∞ =

2 n−2 ε,

k∞

k k∞

Prandaj,

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 . kxk ∞ kbk ∞

Meqenëse kAk∞ = n, atëherë kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2 , edhe pse det(A−1 ) = (det A)−1 = 1. Le të, për shembull, n = 102. Atëherë ν( A) ≥ 2100 > 1030. Për më tepër, edhe nëse ε = 10−15 marrim kδxk∞ > 1015. E megjithatë

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Reduktoni matricën në dominim diagonal. Dominimi diagonal

Sistemet me matricë tridiagonale. Metoda e vrapimit.

Sistemet me matricë tridiagonale. Metoda e vrapimit.

Vetitë

Shihni gjithashtu

Shkruani një koment për artikullin "Dominimi diagonal"

Fragment që karakterizon Predominimin Diagonal

KAPITULLI 1. INFORMACION MBËSHTETËS

§1. Normat e vektorëve dhe matricave

§2. Matricat me dominim diagonal

§3. Matricat e përcaktuara pozitive

§4. Numri i gjendjes SLAE

§5. Një shembull i një sistemi të pakushtëzuar.