Shuma e vektorëve nëse dihen modulet e tyre. Teoremat e projeksionit vektorial

Në matematikë dhe fizikë, studentët dhe nxënësit e shkollës shpesh hasin probleme që përfshijnë sasitë vektoriale dhe ekzekutimin e operacione të ndryshme sipër tyre. Cili është ndryshimi midis sasive vektoriale dhe madhësive skalare me të cilat jemi mësuar, e vetmja karakteristikë e të cilave është vlera e tyre numerike? Fakti është se ata kanë drejtim.

Përdorimi i sasive vektoriale shpjegohet më qartë në fizikë. Më së shumti shembuj të thjeshtë janë forcat (forca e fërkimit, forca elastike, pesha), shpejtësia dhe nxitimi, pasi përveç vlerave numerike kanë edhe drejtim veprimi. Për krahasim, le të japim shembull i sasive skalare: Kjo mund të jetë distanca midis dy pikave ose masa e një trupi. Pse është e nevojshme të kryhen veprime në sasive vektoriale të tilla si mbledhja apo zbritja? Kjo është e nevojshme në mënyrë që të jetë e mundur të përcaktohet rezultati i veprimit të një sistemi vektorial të përbërë nga 2 ose më shumë elementë.

Përkufizime të matematikës vektoriale

Le të prezantojmë përkufizimet kryesore të përdorura gjatë kryerjes së operacioneve lineare.

1. Një vektor është një segment i drejtuar (që ka një pikë fillimi dhe një pikë fundi).
2. Gjatësia (moduli) është gjatësia e segmentit të drejtuar.
3. Kolinear janë dy vektorë që janë ose paralel me të njëjtën linjë ose shtrihen njëkohësisht mbi të.
4. Vektorët me drejtim të kundërt quhen kolinearë dhe në të njëjtën kohë të drejtuar brenda anët e ndryshme. Nëse drejtimi i tyre përputhet, atëherë ato janë bashkëdrejtuese.
5. Vektorët janë të barabartë kur janë të dydrejtuar dhe identikë në madhësi.
6. Shuma e dy vektorëve a Dhe bështë një vektor i tillë c, fillimi i të cilit përkon me fillimin e së parës dhe fundi me fundin e të dytës, me kusht që b fillon në të njëjtën pikë ku përfundon a.
7. Diferenca vektoriale a Dhe b emërtoni shumën a Dhe ( - b ), ku ( - b ) - drejtuar në mënyrë të kundërt ndaj vektorit b. Gjithashtu, përkufizimi i ndryshimit midis dy vektorëve mund të jepet si më poshtë: diferenca cçifte vektorësh a Dhe b ata e quajnë këtë c, e cila kur shtohet në nëntreg b formon një minuend a.

Metoda analitike

Metoda analitike nënkupton marrjen e koordinatave të diferencës duke përdorur një formulë pa vizatim. Është e mundur të kryhen llogaritjet për një të sheshtë (dy-dimensionale), vëllimore (tre-dimensionale) ose hapësirë ​​n-dimensionale.

Për hapësirën dydimensionale dhe sasive vektoriale a {a1;a₂) Dhe b {b1;b2} llogaritjet do të kenë pamje tjetër: c {c1; c₂} = {a1 – b1; a₂ – b2}.

Në rastin e shtimit të një koordinate të tretë, llogaritja do të kryhet në mënyrë të ngjashme, dhe për a {a1;a₂; a₃) Dhe b {b1;b2; b₃) koordinatat e diferencës do të përftohen gjithashtu me zbritje në çift: c {c1; c2; c₃} = {a1 – b1; a₂ – b2; a₃ – b3}.

Llogaritja grafike e diferencës

Për të ndërtuar dallimin grafikisht, duhet të përdorni rregullin e trekëndëshit. Për ta bërë këtë, duhet të kryeni sekuencën e mëposhtme të veprimeve:

1. Nga koordinatat e dhëna ndërtoni vektorët për të cilët duhet të gjeni ndryshimin.
2. Kombinoni skajet e tyre (d.m.th., ndërtoni dy segmente të drejtuara të barabarta me ato të dhëna, të cilat do të përfundojnë në të njëjtën pikë).
3. Lidhni fillimet e të dy segmenteve të drejtuar dhe tregoni drejtimin; rezultanti do të fillojë në të njëjtën pikë ku filloi vektori duke qenë minuend dhe do të përfundojë në pikën ku fillon subtrahend.

Rezultati i veprimit të zbritjes është paraqitur në figurën më poshtë.

Ekziston edhe një metodë për ndërtimin e diferencës, e cila ndryshon pak nga ajo e mëparshme. Thelbi i saj qëndron në zbatimin e teoremës së diferencës vektoriale, e cila është formuluar si më poshtë: për të gjetur ndryshimin e një çifti segmentesh të drejtuar, mjafton të gjejmë shumën e të parit prej tyre me një segment të drejtuar në të kundërt me të dytin. Algoritmi i ndërtimit do të duket si ky:

1. Ndërtoni segmentet fillestare të drejtuara.
2. Ai që zbritet duhet të pasqyrohet, domethënë të ndërtohet një segment me drejtim të kundërt dhe të barabartë me të; pastaj kombinoni fillimin e tij me minuendin.
3. Ndërtoni një shumë: lidhni fillimin e segmentit të parë me fundin e të dytit.

Rezultati i këtij vendimi është paraqitur në figurë:

Zgjidhja e problemeve

Për të konsoliduar aftësinë, ne do të analizojmë disa detyra në të cilat duhet të llogaritni diferencën në mënyrë analitike ose grafike.

Problemi 1. Janë dhënë 4 pikë në aeroplan: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Përcaktoni koordinatat e vektorit q = AB - CD, dhe gjithashtu llogarisni gjatësinë e tij.

Zgjidhje. Së pari ju duhet të gjeni koordinatat AB Dhe CD. Për ta bërë këtë, zbritni koordinatat e pikave fillestare nga koordinatat e pikave fundore. Për AB fillimi është A(1; -3), dhe fundi - B(0; 4). Le të llogarisim koordinatat e segmentit të drejtuar:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Një llogaritje e ngjashme kryhet për CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Tani, duke ditur koordinatat, mund të gjeni ndryshimin midis vektorëve. Formula për zgjidhje analitike problemet e avionit u konsideruan më herët: për c = a- b koordinatat kanë formën ( c1; c₂} = {a1 – b1; a₂ – b2). Për rast specifik mund të shkruhet:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Për të gjetur gjatësinë q, le të përdorim formulën | q| = √(q1² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Problemi 2. Figura tregon vektorët m, n dhe p.

Është e nevojshme të ndërtohen dallime për to: p- n; m- n; m- n- fq. Zbuloni se cili prej tyre ka modulin më të vogël.

Zgjidhje. Problemi kërkon tre ndërtime. Le të shohim më në detaje secilën pjesë të detyrës.

Pjesa 1. Për të përshkruar fq- n, Le të përdorim rregullin e trekëndëshit. Për ta bërë këtë duke përdorur transferim paralel lidhni segmentet në mënyrë që ato të përkojnë pika fundore. Tani le të lidhemi pikat e fillimit dhe përcaktoni drejtimin. Në rastin tonë, vektori i diferencës fillon në të njëjtin vend si nëntreg n.

Pjesa 2. Le të përshkruajmë m - n. Tani për të zgjidhur do të përdorim teoremën e diferencës së vektorit. Për ta bërë këtë, ndërtoni një vektor të kundërt n, dhe më pas gjeni shumën e saj me m. Rezultati që rezulton do të duket si ky:

Pjesa 3. Për të gjetur dallimin m - n - p, duhet ta ndani shprehjen në dy veprime. Që në algjebër vektoriale zbatohen ligje të ngjashme me ligjet e aritmetikës, atëherë opsionet e mëposhtme janë të mundshme:

• m - (n + p): në këtë rast, së pari vizatohet shuma n+p, e cila më pas zbritet nga m;
• (m - n) - fq: këtu ju duhet së pari të gjeni m - n, dhe pastaj zbres nga ky ndryshim fq;
• (m - p) - n: përcaktohet veprimi i parë m - fq, pas së cilës ju duhet të zbrisni nga rezultati i marrë n.

Meqenëse në pjesën e mëparshme të problemit kemi gjetur tashmë ndryshimin m - n, ne vetëm duhet të zbresim nga ajo fq. Le të ndërtojmë ndryshimin midis dy vektorëve të dhënë duke përdorur teoremën e diferencës. Përgjigja tregohet në imazhin më poshtë (e kuqja tregon rezultatin e ndërmjetëm, dhe jeshile tregon rezultatin përfundimtar).

Mbetet për të përcaktuar se cili nga segmentet ka modulin më të vogël. Le të kujtojmë se konceptet e gjatësisë dhe modulit në matematikën vektoriale janë identike. Le të vlerësojmë vizualisht gjatësitë fq- n, m- n Dhe m- n-fq. Natyrisht, përgjigja më e shkurtër dhe ajo me modulin më të vogël është përgjigja në pjesën e fundit të problemit, përkatësisht m- n-fq.

Shumë sasive fizike përcaktohen plotësisht duke specifikuar një numër të caktuar. Këto janë, për shembull, vëllimi, masa, dendësia, temperatura e trupit etj. Madhësi të tilla quhen skalare. Për shkak të kësaj, numrat nganjëherë quhen skalar. Por ka edhe sasi që përcaktohen duke specifikuar jo vetëm një numër, por edhe një drejtim të caktuar. Për shembull, kur një trup lëviz, duhet të tregoni jo vetëm shpejtësinë me të cilën lëviz trupi, por edhe drejtimin e lëvizjes. Në të njëjtën mënyrë, kur studioni veprimin e çdo force, është e nevojshme të tregoni jo vetëm vlerën e kësaj force, por edhe drejtimin e veprimit të saj. Sasi të tilla quhen vektoriale. Për t'i përshkruar ato, u prezantua koncepti i një vektori, i cili doli të ishte i dobishëm për matematikën.

Përkufizimi i vektorit

Çdo çift i renditur i pikave A deri në B në hapësirë ​​përcakton segment i drejtuar, d.m.th. një segment së bashku me drejtimin e specifikuar në të. Nëse pika A është e para, atëherë ajo quhet fillimi i segmentit të drejtuar dhe pika B është fundi i tij. Drejtimi i një segmenti konsiderohet të jetë drejtimi nga fillimi në fund.

Përkufizimi
Një segment i drejtuar quhet vektor.

Ne do të shënojmë një vektor me simbolin \(\overrightarrow(AB) \), ku shkronja e parë tregon fillimin e vektorit dhe e dyta fundin e tij.

Një vektor, fillimi dhe fundi i të cilit përkojnë quhet zero dhe shënohet me \(\vec(0)\) ose thjesht 0.

Distanca midis fillimit dhe fundit të një vektori quhet e saj gjatësia dhe shënohet me \(|\overrightarrow(AB)| \) ose \(|\vec(a)| \).

Quhen vektorët \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \). kolineare, nëse shtrihen në të njëjtën drejtëz ose në drejtëza paralele. Vektorët kolinearë mund të kenë drejtime të njëjta ose të kundërta.

Tani mund të formulojmë koncept i rëndësishëm barazia e dy vektorëve.

Përkufizimi
Vektorët \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \) thuhet se janë të barabartë (\(\vec(a) = \vec(b) \)) nëse janë kolinear, kanë të njëjtën drejtimi dhe gjatësitë e tyre janë të barabarta.

Në Fig. 1 tregon vektorë të pabarabartë në të majtë dhe vektorë të barabartë \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \) në të djathtë. Nga përkufizimi i barazisë së vektorëve del se nëse vektor i dhënë lëvizni paralel me vetveten, merrni një vektor të barabartë me atë të dhënë. Në këtë drejtim, vektorët në gjeometria analitike thirrur falas.

Projeksioni i një vektori mbi një bosht

Le të jepet boshti \(u\) dhe disa vektorë \(\overrightarrow(AB)\) në hapësirë. Le të vizatojmë plane pingul me boshtin \(u\) përmes pikave A dhe B. Le të shënojmë me A" dhe B" pikat e kryqëzimit të këtyre planeve me boshtin (shih Figurën 2).

Projeksioni i vektorit \(\overrightarrow(AB) \) në boshtin \(u\) është vlera A"B" e segmentit të drejtuar A"B" në boshtin \(u\). Le t'ju kujtojmë se
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B)| \) , nëse drejtimi \(\overrightarrow(A"B) \) përkon me drejtimin e boshtit \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , nëse drejtimi \(\overrightarrow(A"B) \) është i kundërt me drejtimin e boshtit \(u\),
Projeksioni i vektorit \(\overrightarrow(AB)\) në boshtin \(u\) shënohet si më poshtë: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).

Teorema
Projeksioni i vektorit \(\overrightarrow(AB) \) mbi boshtin \(u\) është i barabartë me gjatësinë e vektorit \(\overrightarrow(AB) \) shumëzuar me kosinusin e këndit midis vektorit \ (\overrightarrow(AB) \) dhe boshti \( u\) , d.m.th.

\(Pr_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) ku \(\varphi \) është këndi ndërmjet vektorit \(\overrightarrow(AB) \) dhe boshtit \(u \).

Komentoni
Le të specifikohet \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dhe disa aks \(u\). Duke zbatuar formulën e teoremës për secilin prej këtyre vektorëve, marrim

\(Pr_u \overrightarrow(A_1B_1) = Pr_u \overrightarrow(A_2B_2) \) d.m.th. vektorët e barabartë kanë projeksione të barabarta në të njëjtin bosht.

Projeksionet vektoriale në boshtet koordinative

Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor Oxyz dhe një vektor arbitrar \(\overrightarrow(AB)\) në hapësirë. Le të, më tej, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Projeksionet e vektorit X, Y, Z \(\arrow overright(AB)\) në boshtet e koordinatave quhen koordinatat. Në të njëjtën kohë ata shkruajnë
\(\shigjeta mbi të djathtë(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorema
Sido që të jenë dy pikat A(x 1 ; y 1 ; z 1) dhe B (x 2 ; y 2 ​​; z 2), koordinatat e vektorit \(\overrightarrow(AB)\) përcaktohen nga formulat e mëposhtme :

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Komentoni
Nëse vektori \(\overrightarrow(AB) \) largohet nga origjina, d.m.th. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, atëherë koordinatat X, Y, Z të vektorit \(\overrightarrow(AB) \) janë të barabarta me koordinatat e skajit të tij:
X = x, Y = y, Z = z.

Kosinuset e drejtimit të një vektori

Le të jetë një vektor arbitrar \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); do të supozojmë se \(\vec(a) \) del nga origjina dhe nuk shtrihet në asnjë plan koordinativ. Le të vizatojmë plane pingul me boshtet përmes pikës A. Së bashku me plane koordinative ato formojnë një paralelipiped drejtkëndor, diagonalja e të cilit është segmenti OA (shih figurën).

Nga gjeometria elementare dihet se katrori i gjatësisë së diagonales paralelipiped drejtkëndor e barabartë me shumën katrorët e gjatësive të tre dimensioneve të tij. Prandaj,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Por \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); kështu marrim
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ose
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Kjo formulë shpreh gjatësinë e një vektori arbitrar përmes koordinatave të tij.

Le të shënojmë me \(\alfa, \; \beta, \; \gama \) këndet ndërmjet vektorit \(\vec(a) \) dhe boshteve të koordinatave. Nga formulat për projeksionin e vektorit në bosht dhe gjatësinë e vektorit marrim
\(\cos \alfa = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gama = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) quhen kosinuset e drejtimit të vektorit \(\vec(a) \).

Duke kuadruar anën e majtë dhe të djathtë të secilës prej barazive të mëparshme dhe duke përmbledhur rezultatet e marra, kemi
\(\cos^2 \alfa + \cos^2 \beta + \cos^2 \gama = 1 \)
ato. shuma e katrorëve të kosinuseve të drejtimit të çdo vektori është e barabartë me një.

Veprimet lineare mbi vektorët dhe vetitë e tyre themelore

Veprimet lineare në vektorë janë veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së vektorëve dhe shumëzimit të vektorëve me numra.

Mbledhja e dy vektorëve

Le të jepen dy vektorë \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \). Shuma \(\vec(a) + \vec(b) \) është një vektor që shkon nga fillimi i vektorit \(\vec(a) \) në fund të vektorit \(\vec(b) \) me kusht që vektori \(\vec(b) \) të jetë ngjitur në fund të vektorit \(\vec(a) \) (shih figurën).

Komentoni
Veprimi i zbritjes së vektorëve është i anasjelltë me veprimin e mbledhjes, d.m.th. diferenca \(\vec(b) - \vec(a) \) vektorët \(\vec(b) \) dhe \(\vec(a) \) është një vektor që, në shumë me vektorin \(\ vec(a ) \) jep vektorin \(\vec(b) \) (shih figurën).

Komentoni
Duke përcaktuar shumën e dy vektorëve, mund të gjeni shumën e çdo numri të vektorëve të dhënë. Le të jepen, për shembull, tre vektorë \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Duke shtuar \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \), marrim vektorin \(\vec(a) + \vec(b) \). Tani duke i shtuar atij vektorin \(\vec(c) \), marrim vektorin \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Prodhimi i një vektori dhe një numri

Le të jepet vektori \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dhe numri \(\lambda \neq 0 \). Produkti \(\lambda \vec(a) \) është një vektor që është kolinear me vektorin \(\vec(a) \), ka një gjatësi të barabartë me \(|\lambda| |\vec(a)| \), dhe drejtimi është i njëjtë me vektorin \(\vec(a) \) nëse \(\lambda > 0 \), dhe e kundërta nëse \(\lambda Kuptimi gjeometrik veprimet e shumëzimit të vektorit \(\vec(a) \neq \vec(0) \) me numrin \(\lambda \neq 0 \) mund të shprehen si më poshtë: nëse \(|\lambda| >1 \ ), atëherë kur shumëzohet vektori \(\vec(a) \) me numrin \(\lambda \) vektori \(\vec(a) \) është "shtrirë" \(\lambda \) herë, dhe nëse \ (|\lambda| 1 \ ).

Nëse \(\lambda =0 \) ose \(\vec(a) = \vec(0) \), atëherë prodhimi \(\lambda \vec(a) \) konsiderohet i barabartë me vektorin zero.

Komentoni
Duke përdorur përkufizimin e shumëzimit të një vektori me një numër, është e lehtë të vërtetohet se nëse vektorët \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \) janë kolinear dhe \(\vec(a) \ neq \vec(0) \), atëherë ekziston (dhe vetëm një) numër \(\lambda \) i tillë që \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Vetitë themelore të veprimeve lineare

1. Vetia komutative e mbledhjes
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Pronë që përputhet shtesë
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Vetia kombinuese e shumëzimit
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Prona shpërndarëse në raport me shumën e numrave
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Vetia shpërndarëse në lidhje me shumën e vektorëve
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Komentoni
Këto veti të veprimeve lineare kanë rëndësi themelore, pasi ato bëjnë të mundur kryerjen e veprimeve të zakonshme algjebrike në vektorë. Për shembull, për shkak të vetive 4 dhe 5, ju mund të shumëzoni një polinom skalar me një polinom vektorial "term për term".

Teoremat e projeksionit vektorial

Teorema
Projeksioni i shumës së dy vektorëve në një bosht është i barabartë me shumën e projeksioneve të tyre në këtë bosht, d.m.th.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorema mund të përgjithësohet në rastin e çdo numri termash.

Teorema
Kur vektori \(\vec(a) \) shumëzohet me numrin \(\lambda \), projeksioni i tij në bosht gjithashtu shumëzohet me këtë numër, d.m.th. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)

Pasoja
Nëse \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dhe \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), atëherë
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Pasoja
Nëse \(\vec(a) = (x;y;z) \), atëherë \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) për çdo numër \(\lambda \)

Nga këtu është e lehtë të konkludohet kushti i kolinearitetit të dy vektorëve në koordinata.
Në të vërtetë, barazia \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) është ekuivalente me barazitë \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ose
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) d.m.th. vektorët \(\vec(a) \) dhe \(\vec(b) \) janë kolinearë nëse dhe vetëm nëse koordinatat e tyre janë proporcionale.

Zbërthimi i një vektori në një bazë

Le të jenë vektorët \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) vektorë njësi boshtet koordinative, d.m.th. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dhe secila prej tyre drejtohet në mënyrë të barabartë me boshtin koordinativ përkatës (shih figurën). Një treshe vektorësh \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) quhet bazë.
Teorema e mëposhtme vlen.

Teorema
Çdo vektor \(\vec(a) \) mund të zgjerohet në mënyrë unike mbi bazën \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), d.m.th. paraqitur si
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
ku \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) janë disa numra.

Madhësitë matematikore ose fizike mund të paraqiten si sasitë skalare (vlerë numerike), dhe madhësive vektoriale (madhësia dhe drejtimi në hapësirë).

Një vektor është një segment i vijës së drejtuar, për të cilin tregohet se cila nga pikat kufitare të tij është fillimi dhe cila është fundi. Kështu, një vektor ka dy komponentë - gjatësinë dhe drejtimin e tij.

Imazhi vektorial në vizatim.

Kur punoni me vektorë, shpesh futet një sistem i caktuar koordinativ kartezian në të cilin koordinatat e vektorit përcaktohen duke e zbërthyer atë në vektorë bazë:

Për një vektor të vendosur në hapësirën koordinative (x,y,z) dhe me origjinë nga origjina

Distanca midis fillimit dhe fundit të një vektori quhet gjatësia e tij, dhe për të treguar gjatësinë e një vektori (e tij vlerë absolute) përdorni simbolin e modulit.

Vektorët e vendosur ose në të njëjtën linjë ose në vija paralele quhen kolinearë. Vektori null konsiderohet kolinear me çdo vektor. Ndër vektorët kolinearë dallojnë vektorët me drejtim të barabartë (bashkëdrejtues) dhe të kundërt. Vektorët quhen koplanarë nëse shtrihen ose në të njëjtin rrafsh ose në drejtëza paralele me të njëjtin rrafsh.

1. Gjatësia e vektorit (moduli vektorial)

Gjatësia e një vektori përcakton vlerën skalare të tij dhe varet nga koordinatat e tij, por nuk varet nga drejtimi i tij. Gjatësia e vektorit (ose moduli i vektorit) llogaritet duke përdorur aritmetikën rrënjë katrore nga shuma e koordinatave (përbërësve) në katror të vektorit (rregulli për llogaritjen e hipotenuzës në trekëndësh kënddrejtë, ku vetë vektori bëhet hipotenuzë).

Duke përdorur koordinatat, moduli i vektorit llogaritet si më poshtë:

Për një vektor të vendosur në hapësirën koordinative (x,y) dhe me origjinë nga origjina

Për një vektor të vendosur në hapësirën koordinative (x, y, z) dhe me origjinë nga origjina, formula do të jetë e ngjashme me formulën për diagonalen e një kuboidi, pasi vektori në hapësirë ​​merr të njëjtin pozicion në lidhje me boshtet e koordinatave.

2. Këndi ndërmjet vektorëve

Këndi ndërmjet dy vektorëve të vendosur nga një pikë është këndi më i shkurtër përmes të cilit njëri nga vektorët duhet të rrotullohet rreth origjinës së tij në pozicionin e vektorit të dytë. Këndi ndërmjet vektorëve përcaktohet duke përdorur shprehjen për të përcaktuar produkt me pika vektorët

Kështu, kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve e barabartë me raportin produkt skalar ndaj produktit të gjatësive ose moduleve të vektorëve. Kjo formulë mund të përdoret nëse dihen gjatësitë e vektorëve dhe produkti skalar i tyre, ose vektorët janë specifikuar me koordinata në sistem drejtkëndor koordinatat në rrafsh ose në hapësirë ​​në formën: dhe .

Nëse vektorët A dhe B janë dhënë në hapësirën tredimensionale dhe koordinatat e secilit prej tyre janë dhënë në formën: dhe , atëherë këndi ndërmjet vektorëve përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:

Duhet të theksohet se këndi midis vektorëve mund të përcaktohet gjithashtu duke zbatuar teoremën e kosinusit për një trekëndësh: katrori i çdo brinjë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera minus. produkt i dyfishtë këto brinjë nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre.

ku AB, OA, OB janë brinjët përkatëse të trekëndëshit.

Teorema e kosinusit për trekëndëshin

Zbatohet në llogaritjen vektoriale këtë formulë do të rishkruhet si më poshtë:

Kështu, këndi midis vektorëve dhe përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:

ku dhe është moduli (gjatësia) i vektorit, dhe është moduli (gjatësia) i vektorit, i cili përcaktohet nga ndryshimi i dy vektorëve. Të panjohurat e përfshira në ekuacion përcaktohen nga koordinatat e vektorëve dhe .

3. Shtimi i vektorit

Shtimi i dy vektorëve dhe (shuma e dy vektorëve) është operacioni i llogaritjes së një vektori, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me shumën në çift të elementeve përkatëse të vektorëve dhe. Nëse vektorët janë të specifikuar në një sistem koordinativ drejtkëndor shuma vektoriale

NË formë grafike, Me pozicioni i dy vektorëve të lirë mund të kryhet si sipas rregullit të trekëndëshit ashtu edhe sipas rregullës së paralelogramit.

Mbledhja e dy vektorëve

Shtimi i dy vektorëve lëvizës përcaktohet vetëm në rastin kur vijat në të cilat ndodhen kryqëzohen. Shtimi i dy vektorëve fiks përcaktohet vetëm kur ata kanë një origjinë të përbashkët.

Rregulli i trekëndëshit.

Për të shtuar dy vektorë dhe sipas rregullit të trekëndëshit, të dy këta vektorë transferohen paralel me vete në mënyrë që fillimi i njërit prej tyre të përputhet me fundin e tjetrit. Pastaj vektori i shumës jepet nga ana e tretë e trekëndëshit që rezulton, dhe fillimi i tij përkon me fillimin e vektorit të parë dhe fundi i tij me fundin e vektorit të dytë.

ku është këndi ndërmjet vektorëve kur fillimi i njërit përkon me fundin e tjetrit.

Rregulli i paralelogramit.

Për të shtuar dy vektorë dhe sipas rregullit të paralelogramit, të dy këta vektorë transferohen paralel me vete në mënyrë që origjina e tyre të përkojë. Më pas vektori i shumës jepet nga diagonalja e paralelogramit të ndërtuar mbi to, duke u nisur nga origjina e tyre e përbashkët.

Moduli (gjatësia) i vektorit të shumës përcaktohet duke përdorur teoremën e kosinusit:

ku është këndi ndërmjet vektorëve që dalin nga një pikë.

Shënim:

Siç mund ta shihni, varësisht nga cili kënd është zgjedhur, shenja përpara kosinusit të këndit në formulën për përcaktimin e modulit (gjatësisë) të vektorit të shumës ndryshon.

4.Diferenca vektoriale

Diferenca e vektorëve dhe (zbritja e vektorëve) është operacioni i llogaritjes së një vektori, të gjithë elementët e të cilit janë të barabartë me diferencën në çift të elementeve përkatëse të vektorëve dhe. Nëse vektorët janë të specifikuar në një sistem koordinativ drejtkëndor dallimi vektorial dhe mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Në formë grafike, ndryshimi midis vektorëve është shuma e një vektori dhe vektorit të kundërt me vektorin, d.m.th.

Dallimi i dy vektorëve të lirë

Dallimi midis dy vektorëve të lirë në formë grafike mund të përcaktohet si nga rregulli i trekëndëshit ashtu edhe nga rregulli i paralelogramit. Moduli (gjatësia) i vektorit të diferencës përcaktohet nga teorema e kosinusit. Në varësi të këndit të përdorur në formulë, shenja përpara kosinusit ndryshon (diskutuar më parë).

5. Prodhimi pikash i vektorëve

Prodhimi skalar i dy vektorëve quhet numër real, e barabartë me produktin gjatësitë e vektorëve që shumëzohen me kosinusin e këndit ndërmjet tyre. Produkti skalar i vektorëve dhe shënohet me një nga shënimet e mëposhtme ose ose dhe përcaktohet me formulën:

ku janë gjatësitë e vektorëve dhe, përkatësisht, dhe është kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve.

Prodhimi me pika i dy vektorëve

Produkti me pika mund të llogaritet gjithashtu përmes koordinatave të vektorëve në një sistem koordinativ drejtkëndor në një plan ose në hapësirë.

Prodhimi skalar i dy vektorëve në një plan ose në hapësirën tredimensionale në një sistem koordinativ drejtkëndor është shuma e produkteve të koordinatave përkatëse të vektorëve dhe.

Kështu, për vektorët dhe në një plan drejtkëndor Sistemi kartezian koordinatat, formula për llogaritjen e produktit skalar është si më poshtë:

Për hapësirë ​​tredimensionale Formula për llogaritjen e produktit skalar të vektorëve është si më poshtë:

Vetitë e produktit skalar.

1.Veti komutative e produktit skalar

2. Vetia e shpërndarjes së produktit skalar

3. Vetia kombinuese e produktit skalar (asociativiteti)

ku është një numër real arbitrar.

Duhet të theksohet se në rastin e:

Nëse produkti skalar është pozitiv, atëherë këndi ndërmjet vektorëve është akut (më pak se 90 gradë);

Nëse produkti skalar është negativ, atëherë këndi midis vektorëve është i mpirë (më shumë se 90 gradë);

Nëse produkti me pika është 0, atëherë vektorët janë ortogonalë (të cilët shtrihen pingul me njëri-tjetrin);

Nëse produkti skalar është i barabartë me prodhimin e gjatësive të vektorëve, atëherë këta vektorë janë kolinear me njëri-tjetrin (paralel).

6. Prodhimi vektorial i vektorëve

Produkti kryq i dy vektorëve është një vektor për të cilin plotësohen kushtet e mëposhtme:

1. vektori është ortogonal ( pingul) me rrafshin e vektorëve dhe ;

Shuma e vektorëve. Gjatësia e vektorit. Te dashur miq, si pjesë e llojeve të provimit të prapme ka një grup problemesh me vektorët. Detyrat janë mjaft gamë të gjerë(e rëndësishme të dini bazat teorike). Shumica zgjidhen me gojë. Pyetjet kanë të bëjnë me gjetjen e gjatësisë së një vektori, shumës (ndryshimit) të vektorëve dhe produktit skalar. Ka edhe shumë detyra në të cilat është e nevojshme të kryhen veprime me koordinata vektoriale.

Teoria që rrethon temën e vektorëve nuk është e ndërlikuar dhe duhet kuptuar mirë. Në këtë artikull do të analizojmë problemet që lidhen me gjetjen e gjatësisë së një vektori, si dhe shumën (diferencën) e vektorëve. Disa pika teorike:

Koncepti i vektorit

Një vektor është një segment i drejtuar.

Të gjithë vektorët që kanë të njëjtin drejtim dhe janë të barabartë në gjatësi janë të barabartë.

*Të katër vektorët e paraqitur më sipër janë të barabartë!

Kjo do të thotë, nëse lëvizim vektorin që na është dhënë duke përdorur përkthimin paralel, do të marrim gjithmonë një vektor të barabartë me atë origjinal. Kështu, mund të ketë një numër të pafund vektorësh të barabartë.

Shënimi vektorial

Vektori mund të shënohet me latinisht me shkronja të mëdha, Për shembull:

Me këtë formë shënimi, fillimisht shkruhet shkronja që tregon fillimin e vektorit, pastaj shkronja që tregon fundin e vektorit.

Një vektor tjetër shënohet me një shkronjë Alfabeti latin(kapitali):

Përcaktimi pa shigjeta është gjithashtu i mundur:

Shuma e dy vektorëve AB dhe BC do të jetë vektori AC.

Shkruhet si AB + BC = AC.

Ky rregull quhet - rregulli i trekëndëshit.

Kjo do të thotë, nëse kemi dy vektorë - le t'i quajmë me kusht (1) dhe (2), dhe fundi i vektorit (1) përkon me fillimin e vektorit (2), atëherë shuma e këtyre vektorëve do të jetë një vektor i të cilit fillimi përkon me fillimin e vektorit (1) , dhe fundi përkon me fundin e vektorit (2).

Përfundim: nëse kemi dy vektorë në një plan, gjithmonë mund të gjejmë shumën e tyre. Duke përdorur përkthimin paralel, mund të lëvizni cilindo nga këta vektorë dhe të lidhni fillimin e tij me fundin e një tjetri. Për shembull:

Le të lëvizim vektorin b, ose me fjalë të tjera, le të ndërtojmë një të barabartë:

Si gjendet shuma e disa vektorëve? Me të njëjtin parim:

* * *

Rregulli i paralelogramit

Ky rregull është pasojë e sa më sipër.

Për vektorët me fillimi i përbashkët shuma e tyre paraqitet me diagonalen e një paralelogrami të ndërtuar mbi këta vektorë.

Le të ndërtojmë një vektor e barabartë me vektorin b në mënyrë që fillimi i tij të përputhet me fundin e vektorit a, dhe ne mund të ndërtojmë një vektor që do të jetë shuma e tyre:

Edhe pak informacione të rëndësishme të nevojshme për zgjidhjen e problemeve.

Një vektor i barabartë në gjatësi me atë origjinal, por i kundërt në drejtim, shënohet gjithashtu, por ka shenjën e kundërt:

Ky informacion është jashtëzakonisht i dobishëm për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë gjetjen e ndryshimit midis vektorëve. Siç mund ta shihni, diferenca vektoriale është e njëjta shumë në një formë të modifikuar.

Le të jepen dy vektorë, gjeni ndryshimin e tyre:

Ne ndërtuam një vektor të kundërt me vektorin b dhe gjetëm ndryshimin.

Koordinatat vektoriale

Për të gjetur koordinatat e një vektori, duhet të zbritni koordinatat përkatëse të fillimit nga koordinatat e fundit:

Kjo do të thotë, koordinatat vektoriale janë një çift numrash.

Nëse

Dhe koordinatat e vektorëve duken kështu:

Pastaj c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Nëse

Pastaj c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Moduli vektorial

Moduli i një vektori është gjatësia e tij, e përcaktuar nga formula:

Formula për përcaktimin e gjatësisë së një vektori nëse dihen koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij:

Le të shqyrtojmë detyrat:

Dy brinjët e drejtkëndëshit ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Diagonalet priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e diferencës midis vektorëve AO dhe BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Kjo është, ndryshimi midis vektorëve AO dhe VO do të jetë një vektor AB. Dhe gjatësia e saj është tetë.

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AB + AD.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AD dhe AB BC e barabartë me vektorin A.D. Pra AB +AD =AB +BC =AC

AC është gjatësia e diagonales së rombit AC, është e barabartë me 16.

Diagonalet e një rombi ABCD kryqëzohen në pikë O dhe janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO + BO.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AO dhe VO VO është e barabartë me vektorin OD, që do të thotë

AD është gjatësia e anës së rombit. Problemi zbret në gjetjen e hipotenuzës në trekëndëshin kënddrejtë AOD. Le të llogarisim këmbët:

Sipas teoremës së Pitagorës:

Diagonalet e rombit ABCD priten në pikën O dhe janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO – BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

AB është gjatësia e një ane të një rombi. Problemi ka të bëjë me gjetjen e hipotenuzës AB në trekëndëshin kënddrejtë AOB. Le të llogarisim këmbët:

Sipas teoremës së Pitagorës:

Anët janë të sakta trekëndëshi ABC janë të barabarta me 3.

Gjeni gjatësinë e vektorit AB –AC.

Le të gjejmë rezultatin e ndryshimit të vektorit:

CB është e barabartë me tre, pasi kushti thotë se trekëndëshi është barabrinjës dhe brinjët e tij janë të barabarta me 3.

27663. Gjeni gjatësinë e vektorit a (6;8).

27664. Gjeni katrorin e gjatësisë së vektorit AB.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve