Ekziston një marrëdhënie proporcionale e drejtë midis. Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë dhe grafiku i tij – Hipermarketi i njohurive
Llojet e varësisë
Le të shohim karikimin e baterisë. Si sasi e parë, le të marrim kohën që duhet për të ngarkuar. Vlera e dytë është koha që do të funksionojë pas karikimit. Sa më gjatë të ngarkoni baterinë, aq më gjatë do të zgjasë. Procesi do të vazhdojë derisa bateria të jetë plotësisht e ngarkuar.
Varësia e kohës së funksionimit të baterisë nga koha e karikimit
Shënim 1
Kjo varësi quhet drejt:
Ndërsa një vlerë rritet, rritet edhe e dyta. Ndërsa një vlerë zvogëlohet, vlera e dytë gjithashtu zvogëlohet.
Le të shohim një shembull tjetër.
Sa më shumë libra të lexojë një student, aq më pak gabime do të bëjë në diktim. Ose sa më lart të ngriheni në male, aq më i ulët do të jetë presioni atmosferik.
Shënim 2
Kjo varësi quhet e kundërta:
Ndërsa një vlerë rritet, e dyta zvogëlohet. Ndërsa një vlerë zvogëlohet, vlera e dytë rritet.
Kështu, në rast varësia e drejtpërdrejtë të dyja sasitë ndryshojnë në mënyrë të barabartë (të dyja ose rriten ose zvogëlohen), dhe në rastin marrëdhënie e anasjelltë– e kundërta (njëra rritet dhe tjetra zvogëlohet, ose anasjelltas).
Përcaktimi i varësive ndërmjet sasive
Shembulli 1
Koha që duhet për të vizituar një mik është $20 $ minuta. Nëse shpejtësia (vlera e parë) rritet me $2 $ herë, do të gjejmë se si ndryshon koha (vlera e dytë) që do të shpenzohet në rrugën drejt një shoku.
Natyrisht, koha do të ulet me $2 $ herë.
Shënim 3
Kjo varësi quhet proporcionale:
Sa herë ndryshon një sasi, sa herë ndryshon sasia e dytë.
Shembulli 2
Për 2 dollarë bukë në dyqan ju duhet të paguani 80 rubla. Nëse duhet të blini bukë 4$ (sasia e bukës rritet me 2$ herë), sa herë më shumë do të duhet të paguani?
Natyrisht, kostoja gjithashtu do të rritet $2 $ herë. Ne kemi një shembull të varësisë proporcionale.
Në të dy shembujt, u morën parasysh varësitë proporcionale. Por në shembullin me bukë, sasitë ndryshojnë në një drejtim, prandaj, varësia është drejt. Dhe në shembullin e shkuarjes në shtëpinë e një miku, lidhja midis shpejtësisë dhe kohës është e kundërta. Kështu ekziston marrëdhënie proporcionale Dhe marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë.
Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë
Le të shqyrtojmë sasitë proporcionale prej 2$: numrin e bukës dhe koston e tyre. Le të kushtojnë bukë $2$ 80$ rubla. Nëse numri i simiteve rritet me $4 $ herë (simite $8 $), kostoja totale e tyre do të jetë $320 $ rubla.
Raporti i numrit të simiteve: $\frac(8)(2)=4$.
Raporti i kostos së simiteve: $\frac(320)(80)=4$.
Siç mund ta shihni, këto marrëdhënie janë të barabarta me njëra-tjetrën:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Përkufizimi 1
Barazia e dy raporteve quhet proporcioni.
Me një varësi drejtpërdrejt proporcionale, një marrëdhënie fitohet kur ndryshimi në sasinë e parë dhe të dytë përkon:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Përkufizimi 2
Të dy sasitë quhen drejtpërpjesëtimore, nëse kur njëri prej tyre ndryshon (rrit ose zvogëlohet), ndryshon (rritet ose zvogëlohet përkatësisht) edhe vlera tjetër me të njëjtën masë.
Shembulli 3
Makina përshkoi 180 dollarë km në 2 dollarë orë. Gjeni kohën gjatë së cilës ai do të përshkojë $2 $ herë më shumë se distanca me të njëjtën shpejtësi.
Zgjidhje.
Koha është drejtpërdrejt proporcionale me distancën:
$t=\frac(S)(v)$.
Sa herë do të rritet distanca, me një shpejtësi konstante, me të njëjtën sasi do të rritet koha:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Makina përshkoi 180 dollarë km në 2 dollarë orë
Makina do të përshkojë $180 \cdot 2=360$ km - në $x$ orë
Sa më tej të udhëtojë makina, aq më shumë do të duhet. Rrjedhimisht, marrëdhënia midis sasive është drejtpërdrejt proporcionale.
Le të bëjmë një proporcion:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Përgjigju: Makinës do t'i duhen 4$ orë.
Proporcionaliteti i anasjelltë
Përkufizimi 3
Zgjidhje.
Koha është në përpjesëtim të zhdrejtë me shpejtësinë:
$t=\frac(S)(v)$.
Sa herë rritet shpejtësia, me të njëjtën rrugë, koha zvogëlohet për të njëjtën sasi:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Le të shkruajmë kushtin e problemit në formën e një tabele:
Makina udhëtoi 60 dollarë km - në 6 dollarë orë
Makina do të udhëtojë 120 $ km - në $ x $ orë
Sa më shpejt të jetë makina, aq më pak kohë do t'i duhet. Rrjedhimisht, marrëdhënia midis sasive është në përpjesëtim të zhdrejtë.
Le të bëjmë një proporcion.
Sepse proporcionaliteti është i anasjelltë, relacioni i dytë në proporcion është i kundërt:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Përgjigju: Makinës do t'i duhen 3$ orë.
Në klasat 7 dhe 8 studiohet grafiku i proporcionalitetit të drejtë.
Si të ndërtoni një grafik të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë?
Le të shohim grafikun e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë duke përdorur shembuj.
Formula e grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë
Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë paraqet një funksion.
Në përgjithësi, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë ka formulën
Këndi i prirjes së grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë në lidhje me boshtin x varet nga madhësia dhe shenja e koeficientit të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.
Grafiku i proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë kalon përmes
Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë kalon përmes origjinës.
Një grafik proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një vijë e drejtë. Një vijë e drejtë përcaktohet nga dy pika.
Kështu, kur ndërtohet një grafik i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, mjafton të përcaktohet pozicioni i dy pikave.
Por ne e njohim gjithmonë njërën prej tyre - kjo është origjina e koordinatave.
Mbetet vetëm të gjejmë të dytin. Le të shohim një shembull të ndërtimit të një grafiku të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.
Grafikoni proporcionalitetin e drejtëpërdrejtë y = 2x
Detyrë .
Paraqitni një grafik të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë të dhënë nga formula
Zgjidhje .
Të gjithë numrat janë aty.
Merrni çdo numër nga fusha e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, le të jetë 1.
Gjeni vlerën e funksionit kur x është e barabartë me 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
pra për x = 1 marrim y = 2. Pika me këto koordinata i përket grafikut të funksionit y = 2x.
Ne e dimë se grafiku i proporcionalitetit të drejtë është një drejtëz, dhe një drejtëz përcaktohet nga dy pika.
Trikhleb Daniil, nxënës i klasës së 7-të
njohja me proporcionalitetin e drejtë dhe koeficientin e proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë (paraqitja e konceptit të koeficientit këndor”);
ndërtimi i grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë;
shqyrtimi i pozicionit relativ të grafikëve të proporcionalitetit të drejtë dhe funksioneve lineare me koeficientë këndorë identikë.
Shkarko:
Pamja paraprake:
Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjes:
Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë dhe grafiku i tij
Cili është argumenti dhe vlera e një funksioni? Cila variabël quhet e pavarur apo e varur? Çfarë është një funksion? RISHIKIM Çfarë është domeni i një funksioni?
Metodat për përcaktimin e një funksioni. Analitike (duke përdorur një formulë) Grafike (duke përdorur një grafik) Tabelore (duke përdorur një tabelë)
Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumentit dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit. PLANI I FUNKSIONIT
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
PLOTËSONI DETYRËN Ndërtoni një grafik të funksionit y = 2 x +1, ku 0 ≤ x ≤ 4. Bëni një tryezë. Duke përdorur grafikun, gjeni vlerën e funksionit në x=2.5. Në cilën vlerë të argumentit vlera e funksionit është e barabartë me 8?
Përkufizim Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës y = k x, ku x është një ndryshore e pavarur, k është një numër jo zero. (k-koeficienti i proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë) Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë
8 Grafiku i proporcionalitetit të drejtë - një drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave (pika O (0,0)) Për të ndërtuar një grafik të funksionit y = kx, mjaftojnë dy pika, njëra prej të cilave është O (0,0) Për k > 0, grafiku ndodhet në tremujorët e koordinatave I dhe III. Në k
Grafikët e funksioneve të proporcionalitetit të drejtë y x k>0 k>0 k
Detyrë Përcaktoni se cili nga grafikët tregon funksionin e proporcionalitetit të drejtë.
Detyrë Përcaktoni se cili grafik funksioni është paraqitur në figurë. Zgjidhni një formulë nga tre të ofruara.
Punë gojore. A mund të jepet grafiku i një funksioni me formulën y = k x, ku k
Përcaktoni se cila nga pikat A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) i përkasin grafikut të proporcionalitetit të drejtë të dhënë me formulën y = 5x. 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - e pasaktë. Pika A nuk i përket grafikut të funksionit y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - e saktë. Pika B i përket grafikut të funksionit y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - e pasaktë Pika C nuk i përket grafikut të funksionit y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - e vërtetë. Pika E i përket grafikut të funksionit y=5x
TEST 1 opsioni 2 opsioni nr. 1. Cilët nga funksionet e dhëna nga formula janë drejtpërdrejt proporcionale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
nr 2. Shkruani numrat e drejtëzave y = kx, ku k > 0 1 opsioni k
nr 3. Përcaktoni se cilat nga pikat i përkasin grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, të dhënë me formulën Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opsion C (1, -1), E (0.0 ) Opsioni 2
y =5x y =10x III A VI dhe IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Përgjigja e saktë Përgjigja e saktë Nr.
Plotësoni detyrën: Tregoni në mënyrë skematike se si ndodhet grafiku i funksionit të dhënë nga formula: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
DETYRË Nga grafikët e mëposhtëm, zgjidhni vetëm grafikët e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Funksionet y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1.5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Zgjidhni funksionet e formës y = k x (proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë) dhe shkruajini ato
Funksionet e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Funksionet lineare që nuk janë funksione të proporcionalitetit të drejtë 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Detyrë shtëpie: paragrafi 15 fq.65-67, nr.307; nr 308.
Le ta përsërisim përsëri. Çfarë gjërash të reja keni mësuar? Çfarë mësuat? Çfarë e patë veçanërisht të vështirë?
Më pëlqeu mësimi dhe tema kuptohet: Më pëlqeu mësimi, por ende nuk kuptoj gjithçka: Nuk më pëlqeu mësimi dhe tema nuk është e qartë.
Proporcionaliteti është një marrëdhënie midis dy sasive, në të cilat një ndryshim në njërën prej tyre sjell një ndryshim në tjetrin me të njëjtën sasi.
Proporcionaliteti mund të jetë i drejtpërdrejtë ose i kundërt. Në këtë mësim do të shikojmë secilën prej tyre.
Përmbajtja e mësimitProporcionaliteti i drejtpërdrejtë
Le të supozojmë se makina po lëviz me një shpejtësi prej 50 km/h. Kujtojmë se shpejtësia është distanca e përshkuar për njësi të kohës (1 orë, 1 minutë ose 1 sekondë). Në shembullin tonë, makina lëviz me një shpejtësi prej 50 km/h, domethënë në një orë do të përshkojë një distancë prej pesëdhjetë kilometrash.
Le të paraqesim në figurë distancën e përshkuar nga makina në 1 orë.
Lëreni makinën të ecë për një orë tjetër me të njëjtën shpejtësi prej pesëdhjetë kilometrash në orë. Pastaj rezulton se makina do të udhëtojë 100 km
Siç shihet nga shembulli, dyfishimi i kohës çoi në një rritje të distancës së përshkuar me të njëjtën sasi, domethënë dy herë.
Madhësitë si koha dhe distanca quhen drejtpërdrejt proporcionale. Dhe lidhja midis sasive të tilla quhet proporcionaliteti i drejtpërdrejtë.
Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është marrëdhënia midis dy sasive në të cilat një rritje në njërën prej tyre sjell një rritje në tjetrën me të njëjtën sasi.
dhe anasjelltas, nëse një sasi zvogëlohet për një numër të caktuar herë, atëherë tjetra zvogëlohet për të njëjtin numër herë.
Le të supozojmë se plani fillestar ishte për të përzënë një makinë 100 km në 2 orë, por pasi udhëtoi 50 km, shoferi vendosi të pushonte. Pastaj rezulton se duke ulur distancën përgjysmë, koha do të ulet me të njëjtën sasi. Me fjalë të tjera, zvogëlimi i distancës së përshkuar do të çojë në një ulje të kohës me të njëjtën sasi.
Një tipar interesant i sasive drejtpërdrejt proporcionale është se raporti i tyre është gjithmonë konstant. Kjo do të thotë, kur vlerat e sasive drejtpërdrejt proporcionale ndryshojnë, raporti i tyre mbetet i pandryshuar.
Në shembullin e marrë, distanca fillimisht ishte 50 km dhe koha ishte një orë. Raporti i distancës me kohën është numri 50.
Por ne e rritëm kohën e udhëtimit me 2 herë, duke e bërë atë të barabartë me dy orë. Si rezultat, distanca e përshkuar u rrit me të njëjtën sasi, domethënë u bë e barabartë me 100 km. Raporti prej njëqind kilometrash me dy orë është përsëri numri 50
Numri 50 quhet koeficienti i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë. Tregon sa distancë ka për orë lëvizjeje. Në këtë rast, koeficienti luan rolin e shpejtësisë së lëvizjes, pasi shpejtësia është raporti i distancës së përshkuar me kohën.
Proporcionet mund të bëhen nga sasi të drejtpërdrejta proporcionale. Për shembull, raportet përbëjnë proporcionin:
Pesëdhjetë kilometra janë në një orë, siç janë njëqind kilometra në dy orë.
Shembulli 2. Kostoja dhe sasia e mallrave të blera janë drejtpërdrejt proporcionale. Nëse 1 kg ëmbëlsira kushton 30 rubla, atëherë 2 kg të njëjtat ëmbëlsira do të kushtojnë 60 rubla, 3 kg 90 rubla. Ndërsa kostoja e një produkti të blerë rritet, sasia e tij rritet me të njëjtën sasi.
Meqenëse kostoja e një produkti dhe sasia e tij janë sasi drejtpërdrejt proporcionale, raporti i tyre është gjithmonë konstant.
Le të shkruajmë se cili është raporti prej tridhjetë rubla me një kilogram
Tani le të shkruajmë se cili është raporti prej gjashtëdhjetë rubla me dy kilogramë. Ky raport do të jetë përsëri i barabartë me tridhjetë:
Këtu koeficienti i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë është numri 30. Ky koeficient tregon sa rubla janë për kilogram ëmbëlsira. Në këtë shembull, koeficienti luan rolin e çmimit të një kilogrami të mallrave, pasi çmimi është raporti i kostos së mallit me sasinë e tij.
Proporcionaliteti i anasjelltë
Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Distanca midis dy qyteteve është 80 km. Motoçiklisti u largua nga qyteti i parë dhe me shpejtësi 20 km/h arriti në qytetin e dytë për 4 orë.
Nëse shpejtësia e një motoçiklisti ishte 20 km/h, kjo do të thotë se çdo orë ai përshkoi një distancë prej njëzet kilometrash. Le të përshkruajmë në figurë distancën e përshkuar nga motoçiklisti dhe kohën e lëvizjes së tij:
Në kthim shpejtësia e motoçiklistit ishte 40 km/h dhe në të njëjtin udhëtim ai kaloi 2 orë.
Është e lehtë të vërehet se kur shpejtësia ndryshon, koha e lëvizjes ndryshon me të njëjtën sasi. Për më tepër, ajo ndryshoi në drejtim të kundërt - domethënë, shpejtësia u rrit, por koha, përkundrazi, u ul.
Madhësitë si shpejtësia dhe koha quhen në përpjesëtim të zhdrejtë. Dhe lidhja midis sasive të tilla quhet proporcionaliteti i anasjelltë.
Proporcionaliteti i anasjelltë është marrëdhënia midis dy sasive, në të cilat një rritje në njërën prej tyre sjell një ulje të tjetrës me të njëjtën sasi.
dhe anasjelltas, nëse një sasi zvogëlohet për një numër të caktuar herë, atëherë tjetra rritet me të njëjtin numër herë.
Për shembull, nëse në kthim shpejtësia e motoçiklistit ishte 10 km/h, atëherë ai do të kalonte të njëjtat 80 km në 8 orë:
Siç mund të shihet nga shembulli, një ulje e shpejtësisë çoi në një rritje të kohës së lëvizjes me të njëjtën sasi.
E veçanta e sasive në përpjesëtim të zhdrejtë është se produkti i tyre është gjithmonë konstant. Kjo do të thotë, kur vlerat e sasive në përpjesëtim të zhdrejtë ndryshojnë, produkti i tyre mbetet i pandryshuar.
Në shembullin e konsideruar, distanca midis qyteteve ishte 80 km. Kur shpejtësia dhe koha e lëvizjes së motoçiklistit ndryshonte, kjo distancë mbetej gjithmonë e pandryshuar
Një motoçiklist mund ta përshkonte këtë distancë me një shpejtësi prej 20 km/h për 4 orë, dhe me një shpejtësi prej 40 km/h në 2 orë dhe me një shpejtësi prej 10 km/h në 8 orë. Në të gjitha rastet, produkti i shpejtësisë dhe kohës ishte i barabartë me 80 km
Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja
§ 129. Sqarime paraprake.
Një person vazhdimisht merret me një shumëllojshmëri të gjerë të sasive. Një punonjës dhe një punëtor po përpiqen të shkojnë në punë brenda një kohe të caktuar, një këmbësor nxiton të arrijë në një vend të caktuar nga rruga më e shkurtër, një ngrohës me avull është i shqetësuar se temperatura në kazan po rritet ngadalë, ekzekutivi i biznesit po bën plane për uljen e kostos së prodhimit, etj.
Dikush mund të japë një numër shembujsh të tillë. Koha, distanca, temperatura, kostoja - të gjitha këto janë sasi të ndryshme. Në pjesën e parë dhe të dytë të këtij libri, u njohëm me disa sasi veçanërisht të zakonshme: sipërfaqja, vëllimi, pesha. Ne ndeshim shumë sasi kur studiojmë fizikën dhe shkencat e tjera.
Imagjinoni sikur po udhëtoni me tren. Herë pas here ju shikoni orën tuaj dhe vini re se sa kohë keni qenë në rrugë. Ju thoni, për shembull, se kanë kaluar 2, 3, 5, 10, 15 orë që nga nisja e trenit, etj. Këto numra përfaqësojnë periudha të ndryshme kohore; ato quhen vlerat e kësaj sasie (koha). Ose shikoni nga dritarja dhe ndiqni shtyllat e rrugës për të parë distancën që udhëton treni juaj. Numrat 110, 111, 112, 113, 114 km ndezin para jush. Këta numra përfaqësojnë distancat e ndryshme që treni ka përshkuar nga pika e tij e nisjes. Ato quhen gjithashtu vlera, këtë herë të një madhësie të ndryshme (rrugë ose distancë midis dy pikave). Kështu, një sasi, për shembull koha, distanca, temperatura, mund të marrin po aq kuptime të ndryshme.
Ju lutemi vini re se një person pothuajse kurrë nuk merr parasysh vetëm një sasi, por gjithmonë e lidh atë me disa sasi të tjera. Ai duhet të merret njëkohësisht me dy, tre ose më shumë sasi. Imagjinoni që duhet të shkoni në shkollë deri në orën 9. Ju shikoni orën tuaj dhe shihni se keni 20 minuta. Pastaj kuptoni shpejt nëse duhet të merrni tramvajin ose nëse mund të ecni në shkollë. Pasi mendoni, vendosni të ecni. Vini re se ndërsa po mendonit, po zgjidhnit një problem. Kjo detyrë është bërë e thjeshtë dhe e njohur, pasi ju i zgjidhni probleme të tilla çdo ditë. Në të keni krahasuar shpejt disa sasi. Ishit ju që shikonit orën, që do të thotë se keni marrë parasysh kohën, pastaj keni imagjinuar mendërisht distancën nga shtëpia juaj në shkollë; Së fundi, ju krahasuat dy vlera: shpejtësinë e hapit tuaj dhe shpejtësinë e tramvajit dhe arritët në përfundimin se në një kohë të caktuar (20 minuta) do të keni kohë për të ecur. Nga ky shembull i thjeshtë mund të shihni se në praktikën tonë disa sasi janë të ndërlidhura, domethënë varen nga njëra-tjetra.
Kapitulli i dymbëdhjetë foli për marrëdhëniet e sasive homogjene. Për shembull, nëse një segment është 12 m dhe tjetri është 4 m, atëherë raporti i këtyre segmenteve do të jetë 12:4.
Thamë se ky është raporti i dy sasive homogjene. Një mënyrë tjetër për ta thënë këtë është se është raporti i dy numrave një emër.
Tani që jemi njohur më shumë me sasitë dhe kemi prezantuar konceptin e vlerës së një sasie, ne mund ta shprehim përkufizimin e një raporti në një mënyrë të re. Në fakt, kur morëm parasysh dy segmente prej 12 m dhe 4 m, po flisnim për një vlerë - gjatësi, dhe 12 m dhe 4 m ishin vetëm dy vlera të ndryshme të kësaj vlere.
Prandaj, në të ardhmen, kur të fillojmë të flasim për raportet, do të konsiderojmë dy vlera të një sasie, dhe raporti i një vlere të një sasie me një vlerë tjetër të së njëjtës sasi do të quhet herës i pjesëtimit të vlerës së parë. nga e dyta.
§ 130. Vlerat janë drejtpërdrejt proporcionale.
Le të shqyrtojmë një problem gjendja e të cilit përfshin dy sasi: distancën dhe kohën.
Detyra 1. Një trup që lëviz drejtvizor dhe në mënyrë të njëtrajtshme udhëton 12 cm çdo sekondë Përcaktoni distancën e përshkuar nga trupi në 2, 3, 4, ..., 10 sekonda.
Le të krijojmë një tabelë që mund të përdoret për të gjurmuar ndryshimet në kohë dhe distancë.
Tabela na jep mundësinë të krahasojmë këto dy seri vlerash. Nga ajo shohim se kur vlerat e sasisë së parë (koha) rriten gradualisht me 2, 3,..., 10 herë, atëherë vlerat e sasisë së dytë (distanca) rriten gjithashtu me 2, 3, ..., 10 herë. Kështu, kur vlerat e një sasie rriten disa herë, vlerat e një sasie tjetër rriten me të njëjtën sasi dhe kur vlerat e një sasie zvogëlohen disa herë, vlerat e një sasie tjetër zvogëlohen me të njëjtin numër.
Le të shqyrtojmë tani një problem që përfshin dy sasi të tilla: sasinë e materies dhe koston e saj.
Detyra 2. 15 m pëlhurë kushton 120 rubla. Llogaritni koston e kësaj pëlhure për disa sasi të tjera matësash të treguara në tabelë.
Duke përdorur këtë tabelë, ne mund të gjurmojmë se si kostoja e një produkti rritet gradualisht në varësi të rritjes së sasisë së tij. Përkundër faktit se ky problem përfshin sasi krejtësisht të ndryshme (në problemin e parë - koha dhe distanca, dhe këtu - sasia e mallrave dhe vlera e tij), megjithatë, ngjashmëri të mëdha mund të gjenden në sjelljen e këtyre sasive.
Në fakt, në rreshtin e sipërm të tabelës ka numra që tregojnë numrin e metrave të pëlhurës nën secilin prej tyre ka një numër që shpreh koston e sasisë përkatëse të mallrave. Edhe një vështrim i shpejtë në këtë tabelë tregon se numrat në rreshtat e sipërm dhe të poshtëm janë në rritje; me shqyrtimin më të afërt të tabelës dhe kur krahasohen kolonat individuale, zbulohet se në të gjitha rastet vlerat e sasisë së dytë rriten me të njëjtin numër herë sa vlerat e së parës rriten, d.m.th., nëse vlera e Sasia e parë rritet, le të themi, 10 herë, pastaj vlera e sasisë së dytë gjithashtu rritet 10 herë.
Nëse shikojmë tabelën nga e djathta në të majtë, do të zbulojmë se vlerat e treguara të sasive do të ulen me të njëjtin numër herë. Në këtë kuptim, ekziston një ngjashmëri e pakushtëzuar midis detyrës së parë dhe të dytës.
Quhen çiftet e madhësive që hasëm në problemin e parë dhe të dytë drejtpërpjesëtimore.
Pra, nëse dy sasi janë të lidhura me njëra-tjetrën në atë mënyrë që ndërsa vlera e njërës prej tyre rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e tjetrës rritet (zvogëlohet) me të njëjtën sasi, atëherë këto sasi quhen drejtpërdrejt proporcionale. .
Sasi të tilla thuhet gjithashtu se janë të lidhura me njëra-tjetrën nga një marrëdhënie drejtpërdrejt proporcionale.
Ka shumë sasi të ngjashme që gjenden në natyrë dhe në jetën përreth nesh. Ketu jane disa shembuj:
1. Koha punë (ditë, dy ditë, tre ditë etj.) dhe fitimet, të marra gjatë kësaj kohe me paga ditore.
2. Vëllimiçdo objekt i bërë nga një material homogjen dhe peshë këtë artikull.
§ 131. Vetia e madhesive drejtpërpjesëtimore.
Le të marrim një problem që përfshin dy sasitë e mëposhtme: kohën e punës dhe të ardhurat. Nëse të ardhurat ditore janë 20 rubla, atëherë fitimet për 2 ditë do të jenë 40 rubla, etj. Është më e përshtatshme të krijoni një tabelë në të cilën një numër i caktuar ditësh do të korrespondojnë me një fitim të caktuar.
Duke parë këtë tabelë, shohim se të dyja sasitë morën 10 vlera të ndryshme. Çdo vlerë e vlerës së parë korrespondon me një vlerë të caktuar të vlerës së dytë, për shembull, 2 ditë korrespondojnë me 40 rubla; 5 ditë korrespondojnë me 100 rubla. Në tabelë këta numra janë shkruar njëri poshtë tjetrit.
Tashmë e dimë se nëse dy sasi janë drejtpërdrejt proporcionale, atëherë secila prej tyre, në procesin e ndryshimit të saj, rritet aq herë sa rritet tjetra. Nga kjo rrjedh menjëherë: nëse marrim raportin e çdo dy vlerash të sasisë së parë, atëherë ai do të jetë i barabartë me raportin e dy vlerave përkatëse të sasisë së dytë. Me të vërtetë:
Pse po ndodh kjo? Por për shkak se këto vlera janë drejtpërdrejt proporcionale, d.m.th. kur njëra prej tyre (koha) rritet me 3 herë, atëherë tjetra (fitimet) rritet me 3 herë.
Prandaj kemi arritur në përfundimin e mëposhtëm: nëse marrim dy vlera të sasisë së parë dhe i ndajmë njëra me tjetrën dhe më pas ndajmë me njërën vlerat përkatëse të sasisë së dytë, atëherë në të dyja rastet do të marrim i njëjti numër, pra e njëjta marrëdhënie. Kjo do të thotë se dy marrëdhëniet që shkruam më lart mund të lidhen me një shenjë të barabartë, d.m.th.
Nuk ka dyshim se po t'i merrnim jo këto marrëdhënie, por të tjera, dhe jo në atë mënyrë, por në rend të kundërt, do të fitonim edhe barazinë e marrëdhënieve. Në fakt, ne do të konsiderojmë vlerat e sasive tona nga e majta në të djathtë dhe do të marrim vlerat e treta dhe të nënta:
60:180 = 1 / 3 .
Kështu mund të shkruajmë:
Kjo çon në përfundimin e mëposhtëm: nëse dy sasi janë drejtpërdrejt proporcionale, atëherë raporti i dy vlerave të marra në mënyrë arbitrare të sasisë së parë është i barabartë me raportin e dy vlerave përkatëse të sasisë së dytë.
§ 132. Formula e proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë.
Le të bëjmë një tabelë të kostos së sasive të ndryshme të ëmbëlsirave, nëse 1 kg prej tyre kushton 10,4 rubla.
Tani le ta bëjmë në këtë mënyrë. Merrni çdo numër në rreshtin e dytë dhe pjesëtojeni me numrin përkatës në rreshtin e parë. Për shembull:
Shikoni që në herës fitohet i njëjti numër gjatë gjithë kohës. Rrjedhimisht, për një çift të caktuar madhësish drejtpërdrejt proporcionale, herësi i pjesëtimit të çdo vlere të një sasie me vlerën korresponduese të një sasie tjetër është një numër konstant (d.m.th., nuk ndryshon). Në shembullin tonë, ky koeficient është 10.4. Ky numër konstant quhet faktor proporcionaliteti. Në këtë rast, ai shpreh çmimin e një njësie matëse, pra një kilogram mall.
Si të gjeni ose llogaritni koeficientin e proporcionalitetit? Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni çdo vlerë të një sasie dhe ta ndani atë me vlerën përkatëse të tjetrës.
Le ta shënojmë këtë vlerë arbitrare të një sasie me shkronjë në , dhe vlera përkatëse e një sasie tjetër - shkronja X , pastaj koeficienti i proporcionalitetit (e shënojmë TE) gjejmë me pjesëtim:
Në këtë barazi në - i ndashëm, X - pjesëtues dhe TE- herës, dhe meqenëse, nga vetia e pjesëtimit, dividenti është i barabartë me pjesëtuesin e shumëzuar me herësin, mund të shkruajmë:
y= K x
Barazia që rezulton quhet formula e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë. Duke përdorur këtë formulë, ne mund të llogarisim çdo numër vlerash të njërës prej madhësive proporcionale nëse dimë vlerat përkatëse të sasisë tjetër dhe koeficientin e proporcionalitetit.
Shembull. Nga fizika e dimë atë peshë R i çdo trupi është i barabartë me peshën specifike të tij d , shumëzuar me vëllimin e këtij trupi V, d.m.th. R = d V.
Le të marrim pesë shufra hekuri me vëllime të ndryshme; Duke ditur peshën specifike të hekurit (7.8), ne mund të llogarisim peshat e këtyre shufrave duke përdorur formulën:
R = 7,8 V.
Krahasimi i kësaj formule me formulën në = TE X , ne e shohim atë y = R, x = V, dhe koeficientin e proporcionalitetit TE= 7.8. Formula është e njëjtë, vetëm shkronjat janë të ndryshme.
Duke përdorur këtë formulë, le të bëjmë një tabelë: le të jetë vëllimi i boshllëkut të parë të barabartë me 8 metra kub. cm, atëherë pesha e tij është 7,8 8 = 62,4 (g). Vëllimi i boshllëkut të dytë është 27 metra kub. cm Pesha e tij është 7,8 27 = 210,6 (g). Tabela do të duket si kjo:
Llogaritni numrat që mungojnë në këtë tabelë duke përdorur formulën R= d V.
§ 133. Metoda të tjera të zgjidhjes së problemave me madhësi të drejtëpërpjesëtimore.
Në paragrafin e mëparshëm, ne zgjidhëm një problem, gjendja e të cilit përfshinte sasi drejtpërdrejt proporcionale. Për këtë qëllim, fillimisht kemi nxjerrë formulën e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë dhe më pas kemi aplikuar këtë formulë. Tani do të tregojmë dy mënyra të tjera për të zgjidhur probleme të ngjashme.
Le të krijojmë një problem duke përdorur të dhënat numerike të dhëna në tabelën në paragrafin e mëparshëm.
Detyrë. Bosh me vëllim 8 metra kub. cm peshon 62,4 g Sa do të peshojë një bosh me vëllim 64 metra kub? cm?
Zgjidhje. Pesha e hekurit, siç dihet, është proporcionale me vëllimin e tij. Nëse 8 cu. cm peshon 62.4 g, pastaj 1 kub. cm do të peshojë 8 herë më pak, d.m.th.
62,4:8 = 7,8 (g).
Bosh me vëllim 64 metra kub. cm do të peshojë 64 herë më shumë se një bosh 1 metër kub. cm, d.m.th.
7,8 64 = 499,2 (g).
Ne e zgjidhëm problemin tonë duke u reduktuar në unitet. Kuptimi i këtij emri justifikohet me faktin se për ta zgjidhur atë duhet të gjejmë peshën e një njësie vëllimi në pyetjen e parë.
2. Metoda e proporcionit. Le të zgjidhim të njëjtin problem duke përdorur metodën e proporcionit.
Meqenëse pesha e hekurit dhe vëllimi i tij janë sasi drejtpërdrejt proporcionale, raporti i dy vlerave të një sasie (vëllimi) është i barabartë me raportin e dy vlerave përkatëse të një sasie tjetër (peshe), d.m.th.
(letër R caktuam peshën e panjohur të boshllëkut). Nga këtu:
(G).
Problemi u zgjidh duke përdorur metodën e përmasave. Kjo do të thotë që për ta zgjidhur atë, u përpilua një proporcion nga numrat e përfshirë në kusht.
§ 134. Vlerat janë në përpjesëtim të zhdrejtë.
Merrni parasysh problemin e mëposhtëm: “Pesë muratorë mund të shtrojnë muret me tulla të një shtëpie në 168 ditë. Përcaktoni në sa ditë mund të kryejnë të njëjtën punë muratorë 10, 8, 6, etj."
Nëse 5 muratorë vendosin muret e një shtëpie në 168 ditë, atëherë (me të njëjtin produktivitet të punës) 10 muratorë mund ta bënin atë në gjysmën e kohës, pasi mesatarisht 10 njerëz bëjnë dy herë më shumë punë se 5 persona.
Le të hartojmë një tabelë me anë të së cilës mund të monitorojmë ndryshimet në numrin e punëtorëve dhe orët e punës.
Për shembull, për të zbuluar se sa ditë i duhen 6 punëtorë, së pari duhet të llogarisni sa ditë i duhen një punëtori (168 5 = 840), dhe më pas sa ditë i duhen gjashtë punëtorë (840: 6 = 140). Duke parë këtë tabelë, shohim se të dyja sasitë morën gjashtë vlera të ndryshme. Çdo vlerë e sasisë së parë korrespondon me një vlerë specifike; vlera e vlerës së dytë, për shembull, 10 korrespondon me 84, numri 8 korrespondon me numrin 105, etj.
Nëse marrim parasysh vlerat e të dy sasive nga e majta në të djathtë, do të shohim se vlerat e sasisë së sipërme rriten dhe vlerat e sasisë së poshtme zvogëlohen. Rritja dhe ulja i nënshtrohen ligjit të mëposhtëm: vlerat e numrit të punëtorëve rriten në të njëjtën kohë me zvogëlimin e vlerave të kohës së shpenzuar të punës. Kjo ide mund të shprehet edhe më thjesht si vijon: sa më shumë punëtorë të jenë të angazhuar në çdo detyrë, aq më pak kohë u duhet për të përfunduar një punë të caktuar. Quhen dy sasitë që hasëm në këtë problem në përpjesëtim të zhdrejtë.
Pra, nëse dy sasi janë të lidhura me njëra-tjetrën në atë mënyrë që ndërsa vlera e njërës prej tyre rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e tjetrës zvogëlohet (rritet) me të njëjtën sasi, atëherë këto sasi quhen në përpjesëtim të zhdrejtë. .
Ka shumë sasi të ngjashme në jetë. Le të japim shembuj.
1. Nëse për 150 rubla. Nëse keni nevojë të blini disa kilogramë ëmbëlsira, numri i ëmbëlsirave do të varet nga çmimi i një kilogrami. Sa më i lartë të jetë çmimi, aq më pak mallra mund të blini me këto para; kjo mund të shihet nga tabela:
Ndërsa çmimi i karamele rritet disa herë, numri i kilogramëve të karamele që mund të blihen për 150 rubla zvogëlohet me të njëjtën sasi. Në këtë rast, dy sasi (pesha e produktit dhe çmimi i tij) janë në përpjesëtim të zhdrejtë.
2. Nëse distanca ndërmjet dy qyteteve është 1200 km, atëherë mund të përshkohet në kohë të ndryshme në varësi të shpejtësisë së lëvizjes. Ka mënyra të ndryshme për të udhëtuar: në këmbë, me kalë, me biçikletë, me varkë, me makinë, me tren, me avion. Sa më e ulët të jetë shpejtësia, aq më shumë kohë duhet për të lëvizur. Kjo mund të shihet nga tabela:
Me një rritje të shpejtësisë disa herë, koha e udhëtimit zvogëlohet me të njëjtën sasi. Kjo do të thotë se në këto kushte, shpejtësia dhe koha janë sasi në përpjesëtim të zhdrejtë.
§ 135. Vetia e madhësive në përpjesëtim të zhdrejtë.
Le të marrim shembullin e dytë, të cilin e pamë në paragrafin e mëparshëm. Aty u morëm me dy sasi - shpejtësinë dhe kohën. Nëse i shikojmë vlerat e këtyre sasive nga e majta në të djathtë në tabelë, do të shohim se vlerat e sasisë së parë (shpejtësia) rriten, dhe vlerat e së dytës (koha) zvogëlohen, dhe shpejtësia rritet po aq sa zvogëlohet koha. Nuk është e vështirë të kuptohet se nëse shkruani raportin e disa vlerave të një sasie, atëherë nuk do të jetë i barabartë me raportin e vlerave përkatëse të një sasie tjetër. Në fakt, nëse marrim raportin e vlerës së katërt të vlerës së sipërme me vlerën e shtatë (40: 80), atëherë ai nuk do të jetë i barabartë me raportin e vlerës së katërt dhe të shtatë të vlerës më të ulët (30: 15). Mund të shkruhet kështu:
40:80 nuk është e barabartë me 30:15, ose 40:80 =/=30:15.
Por nëse në vend të njërës prej këtyre marrëdhënieve marrim të kundërtën, atëherë fitojmë barazi, d.m.th., nga këto marrëdhënie do të jetë e mundur të krijohet një proporcion. Për shembull:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Bazuar në sa më sipër, mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: nëse dy sasi janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë raporti i dy vlerave të marra në mënyrë arbitrare të një sasie është i barabartë me raportin e anasjelltë të vlerave përkatëse të një sasie tjetër.
§ 136. Formula e proporcionalitetit të anasjelltë.
Konsideroni problemin: “Ka 6 copa pëlhure mëndafshi të madhësive të ndryshme dhe notave të ndryshme. Të gjitha pjesët kushtojnë njësoj. Një copë përmban 100 m pëlhurë, me çmim 20 rubla. për metër Sa metra janë në secilën nga pesë pjesët e tjera, nëse një metër pëlhure në këto pjesë kushton përkatësisht 25, 40, 50, 80, 100 rubla?” Për të zgjidhur këtë problem, le të krijojmë një tabelë:
Duhet të plotësojmë qelizat boshe në rreshtin e sipërm të kësaj tabele. Le të përpiqemi së pari të përcaktojmë sa metra ka në pjesën e dytë. Kjo mund të bëhet si më poshtë. Nga kushtet e problemit dihet se kostoja e të gjitha pjesëve është e njëjtë. Kostoja e pjesës së parë është e lehtë për t'u përcaktuar: përmban 100 metra dhe çdo metër kushton 20 rubla, që do të thotë se pjesa e parë e mëndafshit vlen 2000 rubla. Meqenëse pjesa e dytë e mëndafshit përmban të njëjtën sasi rubla, atëherë, duke ndarë 2000 rubla. për çmimin e një metri, pra 25, gjejmë madhësinë e pjesës së dytë: 2000: 25 = 80 (m). Në të njëjtën mënyrë do të gjejmë madhësinë e të gjitha pjesëve të tjera. Tabela do të duket si kjo:
Është e lehtë të shihet se ekziston një marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë midis numrit të njehsorëve dhe çmimit.
Nëse i bëni vetë llogaritjet e nevojshme, do të vini re se çdo herë duhet të ndani numrin 2000 me çmimin 1 m. Përkundrazi, nëse tani filloni të shumëzoni madhësinë e copës në metra me çmimin 1 m , gjithmonë do të merrni numrin 2000 dhe ishte e nevojshme të prisni, pasi çdo copë kushton 2000 rubla.
Nga këtu mund të nxjerrim përfundimin e mëposhtëm: për një çift të caktuar madhësish në përpjesëtim të zhdrejtë, produkti i çdo vlere të një sasie me vlerën përkatëse të një sasie tjetër është një numër konstant (d.m.th., nuk ndryshon).
Në problemin tonë, ky produkt është i barabartë me 2000. Kontrollo që në problemin e mëparshëm, i cili fliste për shpejtësinë e lëvizjes dhe kohën e nevojshme për të lëvizur nga një qytet në tjetrin, kishte edhe një numër konstant për atë problem (1200).
Duke marrë parasysh të gjitha sa më sipër, është e lehtë të nxirret formula e proporcionalitetit të anasjelltë. Le të shënojmë një vlerë të caktuar të një sasie me shkronjë X , dhe vlera përkatëse e një sasie tjetër përfaqësohet me shkronjën në . Më pas, bazuar në sa më sipër, puna X në në duhet të jetë e barabartë me ndonjë vlerë konstante, të cilën e shënojmë me shkronjë TE, d.m.th.
x y = TE.
Në këtë barazi X - shumëfishues në - shumëzues dhe K- punë. Sipas vetive të shumëzimit, shumëzuesi është i barabartë me produktin e pjesëtuar me shumëzuesin. Do të thotë,
Kjo është formula e proporcionalitetit të anasjelltë. Duke e përdorur atë, ne mund të llogarisim çdo numër vlerash të njërës prej sasive në përpjesëtim të zhdrejtë, duke ditur vlerat e tjetrës dhe numrin konstant. TE.
Le të shqyrtojmë një problem tjetër: “Autori i një eseje ka llogaritur se nëse libri i tij është në format të rregullt, atëherë do të ketë 96 faqe, por nëse është format xhepi, atëherë do të ketë 300 faqe. Ai provoi opsione të ndryshme, filloi me 96 faqe dhe më pas përfundoi me 2500 shkronja për faqe. Pastaj ai mori numrat e faqeve të paraqitura në tabelën më poshtë dhe përsëri llogariti se sa shkronja do të kishte në faqe.
Le të përpiqemi të llogarisim sa shkronja do të ketë në një faqe nëse libri ka 100 faqe.
Ka 240,000 letra në të gjithë librin, pasi 2,500 96 = 240,000.
Duke marrë parasysh këtë, ne përdorim formulën e proporcionalitetit të anasjelltë ( në - numri i shkronjave në faqe, X - numri i faqeve):
Në shembullin tonë TE= 240,000 pra
Pra, ka 2400 letra në faqe.
Në mënyrë të ngjashme, mësojmë se nëse një libër ka 120 faqe, atëherë numri i shkronjave në faqe do të jetë:
Tabela jonë do të duket si kjo:
Plotësoni vetë qelizat e mbetura.
§ 137. Metoda të tjera të zgjidhjes së problemave me madhësi në përpjesëtim të zhdrejtë.
Në paragrafin e mëparshëm, ne zgjidhëm probleme, kushtet e të cilave përfshinin madhësi në përpjesëtim të zhdrejtë. Fillimisht kemi nxjerrë formulën e proporcionalitetit të anasjelltë dhe më pas kemi aplikuar këtë formulë. Tani do të tregojmë dy zgjidhje të tjera për probleme të tilla.
1. Metoda e reduktimit në unitet.
Detyrë. 5 rrotullues mund të bëjnë disa punë në 16 ditë. Për sa ditë mund ta kryejnë këtë punë 8 tornues?
Zgjidhje. Ekziston një lidhje e anasjelltë midis numrit të rrotulluesve dhe orëve të punës. Nëse 5 rrotullues e bëjnë punën në 16 ditë, atëherë një personi do t'i duhet 5 herë më shumë kohë për këtë, d.m.th.
5 rrotullues përfundojnë punën në 16 ditë,
1 rrotullues do ta përfundojë në 16 5 = 80 ditë.
Problemi pyet se sa ditë do të duhen 8 rrotullues për të përfunduar punën. Natyrisht, ata do ta përballojnë punën 8 herë më shpejt se 1 rrotullues, d.m.th.
80: 8 = 10 (ditë).
Kjo është zgjidhja e problemit duke e reduktuar atë në unitet. Këtu ishte e nevojshme para së gjithash të përcaktohet koha e nevojshme për të përfunduar punën nga një punëtor.
2. Metoda e proporcionit. Le të zgjidhim të njëjtin problem në mënyrën e dytë.
Meqenëse ekziston një marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë midis numrit të punëtorëve dhe kohës së punës, mund të shkruajmë: kohëzgjatja e punës së 5 tornatorëve numri i ri i tornatorëve (8) kohëzgjatja e punës së 8 tornatorëve numri i mëparshëm i rrotulluesve (5) Le të shënojmë kohëzgjatja e kërkuar e punës me letër X dhe zëvendësoni numrat e nevojshëm në proporcionin e shprehur me fjalë:
I njëjti problem zgjidhet me metodën e përmasave. Për ta zgjidhur atë, ne duhej të krijonim një proporcion nga numrat e përfshirë në deklaratën e problemit.
Shënim. Në paragrafët e mëparshëm shqyrtuam çështjen e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë. Natyra dhe jeta na japin shumë shembuj të varësisë proporcionale të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të sasive. Megjithatë, duhet të theksohet se këto dy lloje të varësisë janë vetëm më të thjeshtat. Së bashku me to, ekzistojnë varësi të tjera, më komplekse midis sasive. Për më tepër, nuk duhet menduar se nëse çdo dy sasi rritet njëkohësisht, atëherë domosdoshmërisht ekziston një proporcion i drejtpërdrejtë midis tyre. Kjo është larg nga e vërteta. Për shembull, tarifat e hekurudhave rriten në varësi të distancës: sa më tej të udhëtojmë, aq më shumë paguajmë, por kjo nuk do të thotë se tarifa është në proporcion me distancën.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve