Vetitë e mosbarazimeve numerike - thyesë e zakonshme. Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Bashkësia e të gjithë numrave realë mund të përfaqësohet si bashkim i tre grupeve: bashkësia e numrave pozitivë, bashkësia e numrave negativë dhe bashkësia e përbërë nga një numër - numri zero. Për të treguar se numri A pozitive, përdorni regjistrimin a > 0, për të treguar një numër negativ përdorni një shënim tjetër a< 0 .

Shuma dhe prodhimi i numrave pozitivë janë gjithashtu numra pozitivë. Nëse numri A negative, pastaj numri -A pozitive (dhe anasjelltas). Për çdo numër pozitiv a ka një numër pozitiv a numër racional r, Çfarë r< а . Këto fakte qëndrojnë në themel të teorisë së pabarazive.

Sipas përkufizimit, pabarazia a > b (ose, çfarë është e njëjtë, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, pra nëse numri a - b është pozitiv.

Konsideroni, në veçanti, pabarazinë A< 0 . Çfarë do të thotë kjo pabarazi? Sipas përkufizimit të mësipërm do të thotë se 0 - a > 0, d.m.th. -a > 0 ose, me fjalë të tjera, cili është numri -A pozitivisht. Por kjo ndodh nëse dhe vetëm nëse numri A negative. Pra pabarazi A< 0 do të thotë se numri por negative.

Shënimi përdoret gjithashtu shpesh ab(ose, çfarë është e njëjta, ba).
Regjistro ab, sipas përkufizimit, do të thotë se ose a > b, ose a = b. Nëse marrim parasysh rekordin ab si një pohim i pacaktuar, pastaj në shënim logjika matematikore mund të shkruhet

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Shembulli 1. A janë të vërteta pabarazitë 5 0, 0 0?

Pabarazia 5 0 është deklaratë komplekse i përbërë nga dy pohime të thjeshta të lidhura me lidhorin logjik “ose” (ndarje). Ose 5 > 0 ose 5 = 0. Pohimi i parë 5 > 0 është i vërtetë, pohimi i dytë 5 = 0 është i gabuar. Me përkufizimin e një ndarjeje, një deklaratë e tillë komplekse është e vërtetë.

Hyrja 00 diskutohet në mënyrë të ngjashme.

Pabarazitë e formës a > b, a< b do t'i quajmë strikte, dhe pabarazi të formës ab, ab- jo i rreptë.

Pabarazitë a > b Dhe c > d(ose A< b Dhe Me< d ) do të quhen inekuacione të njëjtin kuptim, dhe pabarazitë a > b Dhe c< d - pabarazitë me kuptim të kundërt. Vini re se këto dy terma (pabarazi me kuptim të njëjtë dhe të kundërt) i referohen vetëm formës së shkrimit të pabarazive, dhe jo vetë fakteve të shprehura nga këto pabarazi. Pra, në lidhje me pabarazinë A< b pabarazia Me< d është një pabarazi me të njëjtin kuptim, dhe në shënim d>c(që do të thotë e njëjta gjë) - një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Së bashku me pabarazitë e formës a>b, ab përdoren të ashtuquajturat pabarazi të dyfishta, d.m.th., pabarazi të formës A< с < b , ac< b , a< cb ,
acb. Sipas përkufizimit, një rekord

A< с < b (1)
do të thotë që të dyja pabarazitë janë:

A< с Dhe Me< b.

Pabarazitë kanë një kuptim të ngjashëm acb, ac< b, а < сb.

Pabarazia e dyfishtë (1) mund të shkruhet si më poshtë:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

A pabarazi e dyfishtë a ≤ c ≤ b mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Le të vazhdojmë tani me paraqitjen e vetive themelore dhe rregullave të veprimit për pabarazitë, pasi kemi rënë dakord që në këtë artikull shkronjat a, b, c tregojnë numra realë, A n do të thotë numër natyror.

1) Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalim).

Dëshmi.

Që nga kushti a > b Dhe b > c, pastaj numrat a - b Dhe b - c janë pozitive, prandaj edhe numri a - c = (a - b) + (b - c), si shuma e numrave pozitivë, është gjithashtu pozitive. Kjo do të thotë, me përkufizim, se a > c.

2) Nëse a > b, atëherë për çdo c vlen pabarazia a + c > b + c.

Dëshmi.

Sepse a > b, pastaj numri a - b pozitivisht. Prandaj, numri (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bështë gjithashtu pozitive, d.m.th.
a + c > b + c.

3) Nëse a + b > c, atëherë a > b - c, pra, çdo term mund të bartet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën duke ndryshuar shenjën e këtij termi në të kundërtën.

Vërtetimi rrjedh nga vetia 2) është e mjaftueshme për të dyja anët e pabarazisë a + b > c shtoni numrin - b.

4) Nëse a > b dhe c > d, atëherë a + c > b + d, pra me rastin e mbledhjes së dy inekuacioneve me të njëjtin kuptim, fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

Në bazë të përkufizimit të pabarazisë, mjafton të tregohet se ndryshimi
(a + c) - (b + c) pozitive. Ky ndryshim mund të shkruhet si më poshtë:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Meqenëse sipas kushtit të numrit a - b Dhe c - d janë pozitive, atëherë (a + c) - (b + d) ka edhe një numër pozitiv.

Pasoja. Nga rregullat 2) dhe 4) rrjedh Rregulli tjetër zbritja e mosbarazimeve: nëse a > b, c > d, Kjo a - d > b - c(për vërtetim mjafton të zbatohen të dyja anët e pabarazisë a + c > b + d shtoni numrin - c - d).

5) Nëse a > b, atëherë për c > 0 kemi ac > bc, dhe për c< 0 имеем ас < bc.

Me fjalë të tjera, kur shumëzohen të dyja anët e një pabarazie me një numër pozitiv, shenja e pabarazisë ruhet (d.m.th., fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim), por kur shumëzohet me një numër negativ, shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën. (d.m.th., fitohet një pabarazi e kuptimit të kundërt.

Dëshmi.

Nëse a > b, Kjo a - bështë një numër pozitiv. Prandaj, shenja e ndryshimit ac-bc = c(a - b) përputhet me shenjën e numrit Me: Nëse Meështë një numër pozitiv, atëherë diferenca ac - p.e.sështë pozitive dhe për këtë arsye ac > bс, dhe nëse Me< 0 , atëherë ky ndryshim është negativ dhe prandaj bc - ac pozitive, d.m.th. bc > ac.

6) Nëse a > b > 0 dhe c > d > 0, atëherë ac > bd, d.m.th., nëse të gjithë termat e dy pabarazive me të njëjtin kuptim janë pozitivë, atëherë kur shumëzohen këto pabarazi term për term, fitohet një pabarazi me të njëjtin kuptim.

Dëshmi.

ne kemi ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Sepse c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, pastaj ac - bd > 0, d.m.th. ac > bd.

Komentoni. Nga dëshmia del qartë se kushti d > 0 në formulimin e pronës 6) është e parëndësishme: që kjo pronë të jetë e vlefshme, mjafton që të plotësohen kushtet. a > b > 0, c > d, c > 0. Nëse (nëse plotësohen pabarazitë a > b, c > d) numrat a, b, c nuk do të jenë të gjitha pozitive, atëherë pabarazia ac > bd mund të mos përmbushet. Për shembull, kur A = 2, b =1, c= -2, d= -3 kemi a > b, c > d, por pabarazi ac > bd(d.m.th. -4 > -3) dështoi. Pra, kërkesa që numrat a, b, c të jenë pozitivë në formulimin e vetive 6) është thelbësore.

7) Nëse a ≥ b > 0 dhe c > d > 0, atëherë (pjestimi i pabarazive).

Dëshmi.

ne kemi Numëruesi i thyesës në anën e djathtë është pozitiv (shih vetitë 5), 6)), edhe emëruesi është pozitiv. Prandaj,. Kjo dëshmon pronësinë 7).

Komentoni. Le të vërejmë një të rëndësishme rast i veçantë rregulli 7), merret kur a = b = 1: nëse c > d > 0, atëherë. Kështu, nëse termat e pabarazisë janë pozitive, atëherë kur kalojmë në reciproke fitojmë një pabarazi me kuptim të kundërt. I ftojmë lexuesit të kontrollojnë nëse ky rregull vlen edhe në 7) Nëse ab > 0 dhe c > d > 0, atëherë (ndarja e pabarazive).

Dëshmi. Se.

Më sipër kemi vërtetuar disa veti të pabarazive të shkruara duke përdorur shenjën > (më shumë). Megjithatë, të gjitha këto veti mund të formulohen duke përdorur shenjën < (më pak), pasi pabarazia b< а do të thotë, sipas përkufizimit, njësoj si pabarazia a > b. Përveç kësaj, siç është e lehtë për t'u verifikuar, pronat e provuara më sipër ruhen gjithashtu për pabarazitë jo strikte. Për shembull, vetia 1) për pabarazitë jo strikte do të ketë pamje tjetër: Nëse ab dhe bc, Kjo ac.

Natyrisht, sa më sipër nuk kufizon vetitë e përgjithshme të pabarazive. Ekziston gjithashtu një seri e tërë pabarazitë e formës së përgjithshme lidhur me marrjen në konsideratë të fuqisë, eksponenciale, logaritmike dhe funksionet trigonometrike. Qasje e përgjithshme për shkrimin e këtij lloji të pabarazive është si më poshtë. Nëse ndonjë funksion y = f(x) rritet në mënyrë monotone në segment [a, b], atëherë për x 1 > x 2 (ku x 1 dhe x 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f (x 1) > f(x 2). Po kështu, nëse funksioni y = f(x) zvogëlohet në mënyrë monotone në interval [a, b], atëherë kur x 1 > x 2 (ku x 1 Dhe X 2 i përkasin këtij segmenti) kemi f(x 1)< f(x 2 ). Natyrisht, ajo që u tha nuk ndryshon nga përkufizimi i monotonitetit, por kjo teknikë është shumë e përshtatshme për memorizimin dhe shkrimin e pabarazive.

Kështu, për shembull, për çdo numër natyror n funksioni y = xn po rritet në mënyrë monotone përgjatë rrezes ; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.