Lëvizjet ruajnë distancat dhe prandaj ruajnë gjithçka vetitë gjeometrike shifrat, pasi ato përcaktohen nga distancat. Në këtë pikë do të marrim maksimumin vetitë e përgjithshme lëvizjet, duke ofruar prova në rastet kur nuk është e dukshme.

Vetia 1. Kur lëvizin, tre pika që shtrihen në të njëjtën drejtëz shndërrohen në tre pika që shtrihen në të njëjtën vijë, dhe tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën linjë shndërrohen në tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë.

Lëreni lëvizjen të shndërrojë pikat në pika, përkatësisht, atëherë barazimet plotësohen

Nëse pikat A, B, C shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, atëherë njëra prej tyre, për shembull, pika B, shtrihet midis dy të tjerave. Në këtë rast, dhe nga barazitë (1) del se . Dhe kjo barazi do të thotë se pika B shtrihet midis pikave A dhe C. Pohimi i parë është vërtetuar. E dyta rrjedh nga e para dhe kthyeshmëria e lëvizjes (në mënyrë të kundërt).

Vetia 2. Një segment shndërrohet në segment me lëvizje.

Lëvizja f lidh pikat A dhe B me skajet e segmentit AB. Pastaj, si në vërtetimin e vetive 1, mund të vërtetojmë se imazhi i saj - një pikë shtrihet në segmentin AB midis pikave A dhe B. Më tej, çdo pikë

Y i segmentit A B është imazhi i një pike Y të segmentit AB. Domethënë, ajo pikë Y, e cila largohet nga pika A me një distancë A Y. Rrjedhimisht, segmenti AB bartet me lëvizje në segmentin AB.

Vetia 3. Gjatë lëvizjes, një rreze shndërrohet në rreze, një vijë e drejtë në një vijë të drejtë.

Provoni vetë këto deklarata. Vetia 4. Trekëndëshi shndërrohet në trekëndësh me lëvizje, gjysmërrafsh në gjysmërrafsh, rrafsh në rrafsh. plane paralele- në plane paralele.

Trekëndëshi ABC është i mbushur me segmente që lidhin kulmin A me pikat X anën e kundërt BC (Fig. 26.1). Lëvizja do të lidhë një segment BC me një segment të caktuar B C dhe një pikë A me një pikë A që nuk shtrihet në vijën e drejtë BC. Për çdo segment AX, kjo lëvizje do të shoqërojë një segment AX, ku pika X shtrihet në BC. Të gjithë këta segmente AX do të mbushin trekëndëshin ABC.

Trekëndëshi hyn në të

Një gjysmë rrafshi mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht, njëra anë e të cilëve shtrihet në kufirin e gjysmërrafshit

(Fig. 26.2). Prandaj, gjysmëplani do të shndërrohet në gjysmëplan kur lëviz.

Në mënyrë të ngjashme, një rrafsh mund të përfaqësohet si një bashkim trekëndëshash që zgjerohen pafundësisht (Fig. 26.3). Prandaj, kur lëviz, aeroplani vihet në hartë në aeroplan.

Meqenëse lëvizja ruan distancat, distancat midis figurave nuk ndryshojnë kur lëvizin. Nga kjo rrjedh, në veçanti, se gjatë lëvizjeve, aeroplanët paralelë do të kthehen në paralele.

Vetia 5. Kur lëviz, imazhi i një katërkëndëshi është një katërkëndor, imazhi i një gjysmë hapësire është një gjysmë hapësire, imazhi i një hapësire është e gjithë hapësira.

Tetraedri ABCD është një bashkim segmentesh që lidhin pikën D me të gjitha pikat e mundshme X trekëndëshi ABC(Fig. 26.4). Kur lëvizni, segmentet vihen në hartë në segmente, dhe për këtë arsye tetraedri do të kthehet në një katërkëndor.

Gjysma e hapësirës mund të përfaqësohet si një bashkim i tetraedrave në zgjerim, bazat e të cilave shtrihen në rrafshin kufitar të gjysmëhapësirës. Prandaj, kur lëvizni, imazhi i një gjysmë hapësire do të jetë një gjysmë hapësire.

Hapësira mund të imagjinohet si një bashkim i tetraedrave që zgjerohen pafundësisht. Prandaj, kur lëvizni, hapësira vendoset në të gjithë hapësirën.

Vetia 6. Kur lëvizni, këndet ruhen, d.m.th., çdo kënd vihet në hartë në një kënd të të njëjtit lloj dhe të së njëjtës madhësi. E njëjta gjë vlen edhe për këndet dihedrale.

Kur lëvizni, një gjysmë rrafsh vihet në hartë në një gjysmëplan. Sepse kënd konveksështë kryqëzimi i dy gjysmërrafsheve, dhe një kënd jo konveks dhe një kënd dihedral janë bashkimi i gjysmëplanëve, atëherë kur lëviz, një kënd konveks shndërrohet në një kënd konveks dhe një kënd jo konveks

këndi dhe këndi dihedral, përkatësisht - në një kënd jo konveks dhe dihedral.

Le të vihen në hartë rrezet a dhe b, që dalin nga pika O, në rrezet a dhe b, që dalin nga pika O. Merrni një trekëndësh OAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b (Fig. 26.5). Do të shfaqet në trekëndësh i barabartë OAB me kulme A në rreze a dhe B në rreze b. Kjo do të thotë që këndet ndërmjet rrezeve a, b dhe a, b janë të barabarta. Prandaj, kur lëvizni, vlerat e këndit ruhen.

Rrjedhimisht ruhet pinguliteti i drejtëzave dhe rrjedhimisht drejtëza dhe rrafshi. Kujtimi i përkufizimeve të këndit midis një drejtëze dhe një rrafshi dhe madhësisë kënd dihedral, konstatojmë se vlerat e këtyre këndeve janë ruajtur.

Vetia 7. Lëvizjet ruajnë sipërfaqet dhe vëllimet e trupave.

Në të vërtetë, meqenëse lëvizja ruan pingulësinë, lëvizja e lartësive (trekëndëshat, katërkëndëshat, prizmat, etj.) përkthehet në lartësi (imazhe të këtyre trekëndëshave, katërkëndëshave, prizmave, etj.). Në këtë rast, gjatësitë e këtyre lartësive do të ruhen. Prandaj, zonat e trekëndëshave dhe vëllimet e tetraedroneve ruhen gjatë lëvizjeve. Kjo do të thotë se do të ruhen si zonat e shumëkëndëshave ashtu edhe vëllimet e poliedrës. Zonat e sipërfaqeve të lakuara dhe vëllimet e trupave të kufizuar nga sipërfaqe të tilla fitohen duke kufizuar kalimet nga zonat e sipërfaqeve shumëedrale dhe vëllimet e trupave shumëkëndësh. Prandaj, ato ruhen gjatë lëvizjeve.

Lëvizjet e aeroplanit dhe vetitë e tyre. Shembuj të lëvizjeve. Klasifikimi i lëvizjeve. Grupi i lëvizjeve. Zbatimi i lëvizjes në zgjidhjen e problemeve

Lëvizja janë shndërrime të formave që ruajnë distancat ndërmjet pikave. Nëse dy figura janë të lidhura saktësisht me njëra-tjetrën përmes lëvizjes, atëherë këto shifra janë të njëjta, të barabarta.

Lëvizjaështë një transformim bijektiv φ i rrafshit π, në të cilin për çdo pikë të ndryshme X, Y є π plotësohet relacioni XY  φ(X)φ(Y).

Karakteristikat e lëvizjes:

1.Përbërja φ ◦ ψ dy lëvizje ψ , φ është një lëvizje.

Dokumenti: Lëreni figurën F përkthyer nga lëvizja ψ në formë F ’, dhe figura F ’ përkthehet me lëvizje φ në formë F ''. Lëreni në lëvizjen e parë pikën X shifrat F shkon në pikën X ’ figurat F ’ , dhe gjatë lëvizjes së dytë pika X ’ figurat F ’ shkon tek pika X '' shifrat F ''. Pastaj transformimi i formës F në formë F '', në të cilën një pikë arbitrare X shifrat F shkon në pikën X '' shifrat F '', ruan distancën midis pikave, që do të thotë se është gjithashtu një lëvizje.

Regjistrimi i një kompozimi fillon gjithmonë nga lëvizja e fundit, sepse... Rezultati i përbërjes është imazhi përfundimtar - vendoset në përputhje me origjinalin: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Nëse φ – lëvizje, pastaj transformim φ -1është gjithashtu një lëvizje.

Dokumenti: Lëreni transformimin e formës F në formë F ’ përkthen pika të ndryshme shifrat F në pika të ndryshme të figurës F ’. Le një pikë arbitrare X shifrat F me këtë transformim shkon deri te pika X ’ figurat F ’.

Transformimi i formës F ’ në figurë F , në atë pikë X ’ shkon tek pika X , quhet transformimi invers i kësaj . Për çdo lëvizje φ është e mundur të përcaktohet lëvizja e kundërt me të, e cila shënohet φ -1 .

Kështu, një transformim i kundërt ndaj lëvizjes është gjithashtu lëvizje.

Natyrisht, transformimi φ -1 plotëson barazitë: f◦f -1 = f -1◦f = ε , Ku ε – hartëzimi i identitetit.

3. Asociativiteti i kompozimeve: Le të jenë φ 1, φ 2, φ 3 lëvizje arbitrare. Pastaj φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3.

Fakti që përbërja e lëvizjeve ka vetinë e asociativitetit na lejon të përcaktojmë shkallën φ Me tregues natyror n .

Le të vendosim φ 1= φ Dhe φ n +1= φn◦ φ , Nëse n≥ 1 . Pra, lëvizja φn është marrë nga n - aplikimi i përsëritur sekuencial i lëvizjes φ .

4. Ruajtja e drejtesise: Pikat qe shtrihen ne te njejten drejte, kur levizin, transformohen ne pika te shtrira ne te njejten drejtesi dhe ruhet renditja e pozicioneve te tyre relative.

Kjo do të thotë se nëse pikat A ,B ,C , të shtrirë në të njëjtën linjë (pika të tilla quhen kolineare), shkoni në pika A 1 ,B 1 ,C 1 , atëherë edhe këto pika shtrihen në vijë të drejtë; nëse pika B shtrihet midis pikave A Dhe C , pastaj tregoni B 1 shtrihet midis pikave A 1 Dhe C 1 .

Doc. Lëreni pikën B e drejtpërdrejtë A.C. shtrihet midis pikave A Dhe C . Le të vërtetojmë se pikat A 1 ,B 1 ,C 1 shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë.

Nëse pikë A 1 ,B 1 ,C 1 mos shtrihuni në të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë kulme të ndonjë trekëndëshi A 1 B 1 C 1 . Kjo është arsyeja pse A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Nga përkufizimi i lëvizjes rrjedh se A.C. <AB +B.C. .

Megjithatë, sipas vetive të segmenteve matëse A.C. =AB +B.C. .

Kemi arritur në një kontradiktë. Pra, periudha B 1 shtrihet midis pikave A 1 Dhe C 1 .

Le të supozojmë se pika A 1 shtrihet midis pikave B 1 , Dhe C 1 . Pastaj A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , dhe për këtë arsye AB +A.C. =B.C. . Por kjo është në kundërshtim me barazinë AB +B.C. =A.C. .

Kështu, periudha A 1 nuk shtrihet midis pikave B 1 , Dhe C 1 .

Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se pika C 1 nuk mund të qëndrojë midis pikave A 1 Dhe B 1 . Sepse nga tre pikë A 1 ,B 1 ,C 1 njëri shtrihet mes dy të tjerëve, atëherë kjo pikë mund të jetë vetëm B 1 . Teorema është plotësisht e vërtetuar.

Pasoja. Kur lëvizni, një vijë e drejtë vihet në hartë në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment dhe një trekëndësh në një trekëndësh të barabartë.

Nëse me X shënojmë bashkësinë e pikave të rrafshit, kurse me φ(X) imazhin e bashkësisë X gjatë lëvizjes së φ, d.m.th. bashkësia e të gjitha pikave të formës φ(x), ku x є X, atëherë mund të japim një formulim më të saktë të kësaj vetie:

Le të jetë φ lëvizje, A, B, C janë tre pika të ndryshme kolineare.

Atëherë pikat φ(A), φ(B), φ(C) janë gjithashtu kolineare.

Nëse l është një vijë, atëherë φ(l) është gjithashtu një vijë.

Nëse bashkësia X është rreze (segment, gjysmë rrafsh), atëherë edhe bashkësia φ(X) është rreze (segment, gjysmë rrafsh).

5. Kur lëvizni, këndet midis rrezeve ruhen.

Doc. Le AB Dhe A.C. – dy rreze që dalin nga një pikë A , jo i shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Gjatë lëvizjes, këto rreze shndërrohen në disa vija gjysmë të drejta (rreze) A 1 B 1 Dhe A 1 C 1 . Sepse lëvizja ruan distancat, pastaj trekëndëshat ABC Dhe A 1 B 1 C 1 janë të barabarta sipas kriterit të tretë të barazisë së trekëndëshave (nëse tre brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me tre brinjët e një trekëndëshi tjetër, atëherë këta trekëndësha janë të barabartë nga barazia e trekëndëshave). BAC Dhe B 1 A 1 C 1 , që ishte ajo që duhej vërtetuar.

6. Çdo lëvizje ruan bashkëdrejtimin e rrezeve dhe të njëjtin orientim të flamujve.

Rrezet l A Dhe l V quhen bashkëdrejtuar(i orientuar në mënyrë të barabartë, përcaktimi: l A l V ), nëse njëri prej tyre përmbahet në tjetrin, ose nëse kombinohen me transferim paralel. FlamuriF = (π l , l o)është bashkimi i gjysmërrafshit π l dhe rreze l o.

Pika RRETH – fillimi i flamurit, tra l o duke filluar në një pikë RRETH - shtiza e flamurit, π l – gjysmë rrafsh me kufi l .

Doc. Le φ - lëvizje vullnetare, l A l V –rrezet kodrejtuese me origjinë në pika A Dhe NË përkatësisht. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (A ), l B1= φ (l V ),B 1 = φ (A ).Nëse rrezet l A Dhe l V shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, pastaj për shkak të bashkëdrejtimit njëri prej tyre përmbahet në tjetrin. Duke pasur parasysh atë l A  l V , marrim φ (l A )  φ (l V ), d.m.th. l A1 l B1 (simboli  tregon përfshirjen ose barazinë e një nëngrupi elementesh në një bashkësi elementësh nëse). l A, l B shtrihuni në vija të ndryshme të drejta, pastaj le n = (AB ).Pastaj ka një gjysmëplan të tillë π n , Çfarë l A, l B  π n . Nga këtu φ (l A ),φ (l V ) φ (π n ). Që kur φ (π n ) është gjysmë rrafsh dhe kufiri i tij përmban pika A 1 Dhe B 1 , ne përsëri e kuptojmë atë l A, l B bashkëdrejtuar.

Tani le të zbatojmë lëvizjen φ ndaj flamujve të orientuar në mënyrë identike F= (π l , l A ), G= (π m ,m B ).Të shqyrtojmë rastin kur pikat A Dhe B ndeshje. Nëse drejt l Dhe m janë të ndryshëm, atëherë i njëjti orientim i flamujve do të thotë se ose (1) l A π m , m A  π' l , ose (2) l A π’ m ,m A  π l . Pa humbje të përgjithshme, mund të supozojmë se kushti (1) është i plotësuar. Pastaj φ (l A )  φ (π m ), φ (m A )  φ (π' l ). Kjo nënkupton të njëjtin orientim të flamujve φ (F ) Dhe φ (G ).Nëse drejt l ,m ndeshje, pastaj ose F = G, ose F = G'. Nga kjo rrjedh se flamujt φ (F ) Dhe φ (G ) të orientuara në mënyrë identike.

Lërini tani pikat A Dhe B janë të ndryshme. Le të shënojmë me n drejt ( AB ). Është e qartë se do të ketë rreze bashkëdrejtuese n A Dhe n B dhe gjysmë rrafsh π n të tillë që flamuri F 1 = (π n, n A ) në linjë me F , dhe flamurin G 1 = (π n, n B, ) në linjë me G. Mjetet φ (F ) Dhe φ (G ) e orientuar në mënyrë identike Teorema është e vërtetuar.

Shembuj të lëvizjeve:

1) përkthimi paralel është një transformim i një figure në të cilën të gjitha pikat e figurës lëvizin në të njëjtin drejtim në të njëjtën distancë.

2) simetria në lidhje me një vijë të drejtë (simetri boshtore ose pasqyre). Konvertimi σ shifrat F në formë F', në të cilën çdo pikë e saj X shkon në pikën X' simetrike për një vijë të caktuar l, quhet një transformim simetrie rreth një drejtëze l. Në të njëjtën kohë, shifrat F Dhe F' quhen simetrike për një vijë të drejtë l.

3) rrotullimi rreth një pike. Duke rrotulluar aeroplanin ρ rreth një pike të caktuar Oështë një lëvizje në të cilën çdo rreze që buron nga kjo pikë rrotullohet në të njëjtin kënd α në të njëjtin drejtim

Hyrje.

Transformimet gjeometrike janë një degë mjaft e vonë e matematikës. Transformimet e para gjeometrike filluan të konsideroheshin në shekullin e 17-të, dhe transformimet projektive u shfaqën vetëm në fillim të shekullit të 19-të.

Algjebra merret me funksione të ndryshme. Funksioni f i cakton çdo numri x nga fusha e përkufizimit të funksionit një numër të caktuar f(x) - vlerën e funksionit f në pikën x. Në gjeometri konsiderohen funksione që kanë fusha të ndryshme përkufizimi dhe grupe vlerash. Ata caktojnë një pikë për secilën pikë. Këto funksione quhen transformime gjeometrike.

Shndërrimet gjeometrike kanë një rëndësi të madhe në gjeometri. Me ndihmën e shndërrimeve gjeometrike përcaktohen koncepte të rëndësishme gjeometrike si barazia dhe ngjashmëria e figurave. Falë transformimeve gjeometrike, shumë fakte të ndryshme të gjeometrisë përshtaten në një teori koherente.

Abstrakti do të fokusohet kryesisht në transformimet hapësinore. Do të merren parasysh të gjitha lëvizjet, ngjashmëritë, transformimet rrethore dhe afine të hapësirës, ​​si dhe transformimet afine dhe projektive të rrafshit. Për çdo transformim, do të merren parasysh vetitë e tij dhe shembujt e aplikimit në zgjidhjen e problemeve gjeometrike.

Së pari, le të shohim disa koncepte bazë që do të na duhen për të punuar me transformimet. Le të përqendrohemi në dy terma: distancë dhe transformim. Pra, çfarë kuptojmë me këto fjalë:

Përkufizimi. Largësia ndërmjet dy pikave do ta quajmë gjatësinë e segmentit me skaje në këto pika.

Përkufizimi. Transformimi set ne do ta quajmë një përshkrim një-për-një të këtij grupi në vetvete.

Tani le të kalojmë në shqyrtimin e disa llojeve të transformimeve gjeometrike.

Pjesa I. Lëvizjet e hapësirës.

Karakteristikat e përgjithshme të lëvizjeve.

Përkufizimi. Shndërrimi i hapësirës quhet lëvizjes, nëse ruan distancat ndërmjet pikave.

Vetitë e lëvizjeve.

1. Transformimi i kundërt me lëvizjen është lëvizja.
2. Përbërja e lëvizjeve - lëvizja.
3. Kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze, një segment në një segment, një plan në një plan, një gjysmë rrafsh në një gjysmë rrafsh.
4. Imazhi i një këndi të rrafshët në lëvizje është një kënd i rrafshët me të njëjtën madhësi.
5. Lëvizja ruan madhësinë e këndit ndërmjet vijave të drejta, ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit, ndërmjet rrafsheve.
6. Lëvizja ruan paralelizmin e vijave të drejta, një vijë të drejtë dhe një rrafsh, plane.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i lëvizjes.

1. Le të shtrihen pikat A, X dhe B në të njëjtën drejtëz, dhe pika X shtrihet midis A dhe B. Pastaj AX + XB = AB. Le të jenë pikat A´, X´, B´ imazhe të pikave A, X, B gjatë lëvizjes. Pastaj А´Х´+Х´В´=А´В´ (nga përkufizimi i lëvizjes). Dhe nga kjo rrjedh se pikat A´, X´, B´ shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe X´ shtrihet midis A´ dhe B´.
   Nga thënia e provuar menjëherë rrjedh se kur lëviz, një vijë e drejtë shndërrohet në një vijë të drejtë, një rreze në një rreze dhe një segment në një segment.

Për një aeroplan, prova mund të bëhet si më poshtë. Le të jenë a, b dy drejtëza të kryqëzuara të rrafshit tonë α, a´, b´ imazhet e tyre. Natyrisht, a' dhe b' kryqëzohen. Le të jetë α´ rrafshi që përmban drejtëzat a´, b´. Le të vërtetojmë se α´ është imazhi i rrafshit α. Le të jetë M një pikë arbitrare e rrafshit α që nuk shtrihet në drejtëzat a dhe b. Le të vizatojmë një drejtëz c përmes M vijave prerëse a dhe b në pika të ndryshme. Imazhi i kësaj vije është drejtëza c´, ​​që pret drejtëzat a´, b´ në pika të ndryshme. Kjo do të thotë se M´, imazhi i pikës M, shtrihet në rrafshin α´. Pra, imazhi i çdo pike në rrafshin α shtrihet në rrafshin α´. Është vërtetuar në mënyrë të ngjashme se imazhi i anasjelltë i çdo pike në rrafshin α´ qëndron në rrafshin α. Prandaj α´ është imazhi i rrafshit α.

Tani nuk është e vështirë të vërtetosh deklaratën për gjysmëplanin. Thjesht duhet të plotësoni gjysmë rrafshin me një rrafsh, të merrni parasysh drejtëzën a, e cila kufizon gjysmërrafshin, dhe imazhin e saj a´, dhe më pas të provoni me kontradiktë se imazhet e çdo dy pikash të gjysmëplanit qëndrojnë në të njëjtën anë të a'.

1. Pason nga prona 3.
2. Ai rrjedh nga vetia 4 dhe përcaktimi i këndit ndërmjet drejtëzave (një drejtëz dhe një rrafsh, dy rrafshe) në hapësirë.
3. Le të supozojmë të kundërtën, d.m.th. le të kryqëzohen imazhet e vijave tona paralele (një drejtëz dhe një rrafsh, plane) (në rastin e drejtëzave paralele, është ende e nevojshme të tregohet se imazhet e tyre nuk mund të jenë drejtëza kryqëzuese, por kjo rrjedh menjëherë nga fakti se rrafshi që përmban këto vija do të kthehen në një plan). Pastaj merrni parasysh pikën e tyre të përbashkët. Ai do të ketë dy prototipa, gjë që është e pamundur nga përkufizimi i transformimit.

Përkufizimi. Figura F quhet e barabartë me figura Ф´, nëse ka një lëvizje që e shndërron Ф në Ф´.

Llojet e lëvizjeve.

3.1. Transformim identik.

Përkufizimi. Me transformim identik Hapësira E quhet një transformim në të cilin çdo pikë në hapësirë ​​shndërrohet në vetvete.

Natyrisht, transformimi i identitetit është një lëvizje.

3.2. Transferimi paralel.

Përkufizimi. Le të jepet një vektor në hapësirë. Transferimi paralel hapësira në një vektor është një transformim në të cilin secila pikë M paraqitet në një pikë M´ të tillë që .

Teorema 3.2. Transferimi paralel - lëvizja.

Dëshmi. Le të jenë A´, B´ imazhet e pikave A, B kur transferohen paralelisht në vektor. Mjafton të tregohet se AB = A´B´, që rrjedh nga barazia:

Transferimi i pronës. Një përkthim paralel transferon një vijë të drejtë (rrafsh) në vetvete ose në një vijë të drejtë (rrafsh) paralel me të.

Dëshmi. Në vërtetimin e Teoremës 3.2, ne vërtetuam se transferimi paralel ruan vektorët. Kjo do të thotë se ruhen vektorët drejtues të drejtëzave dhe vektorët normalë të planeve. Këtu vijon deklarata jonë.

Simetria qendrore.

Përkufizimi. Simetria në lidhje me pikën O ( simetria qendrore) i hapësirës është një transformim hapësinor që harton një pikë O në vetvete dhe çdo pikë tjetër M në një pikë M´ ashtu që pika O të jetë mesi i segmentit MM´. Pika O quhet qendra e simetrisë.

Teorema 3.4. Simetria qendrore është lëvizja.

Dëshmi.

Le të A, B - dy pika arbitrare, A´, B´ - imazhet e tyre, O - qendra e simetrisë. Pastaj .

Veti e simetrisë qendrore. Simetria qendrore shndërron një drejtëz (rrafsh) në vetvete ose në një drejtëz (rrafsh) paralel me të.

Dëshmi. Në vërtetimin e teoremës 3.4, vërtetuam se gjatë transferimit paralel vektorët janë të kundërt. Kjo do të thotë se vektorët e drejtimit të drejtëzave dhe vektorët normalë të planeve me simetri qendrore ndryshojnë vetëm drejtimet. Këtu vijon deklarata jonë.

Teorema për përcaktimin e lëvizjes.

Teorema 5.1. (teorema për specifikimin e lëvizjes) Nëse dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D' janë dhënë me skaje përkatësisht të barabarta, atëherë ka një dhe vetëm një lëvizje të pikave të hartës së hapësirës A, B, C, D, përkatësisht, në pikat A´, B´, C', D'.

Dëshmi.

I. Ekzistenca. Nëse A përkon me A´, B - me B´, C - me C´, D - me D´, atëherë jepet një transformim i thjeshtë identiteti. Nëse jo, atëherë le të supozojmë për saktësi se A nuk përkon me A´. Le të shqyrtojmë rrafshin α të simetrisë së pikave A dhe A´. Lëreni simetrinë S α të transformojë tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 .

Tani, nëse B 1 përkon me B´, C 1 - me C´, D 1 - me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat B´ dhe B 1 nuk përkonin. Le të shqyrtojmë rrafshin β të simetrisë së pikave B 1 dhe B´. Pika A´ është e barabartë nga pikat B 1 dhe B´, prandaj shtrihet në rrafshin β. Lëreni simetrinë S β të transformojë tetraedrin A´B 1 C 1 D 1 në tetraedrin A´B´C 2 D 2.

Tani, nëse C 2 përkon me C´, dhe D 2 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë mund të supozojmë pa humbur përgjithësinë se pikat C´ dhe C2 nuk përkonin. Le të shqyrtojmë rrafshin e simetrisë γ të pikave C 2 dhe C´. Pikat A´, B´ janë të barabarta nga pikat C 2 dhe C´, prandaj ato shtrihen në rrafshin γ. Lëreni simetrinë S γ të transformojë tetraedrin A´B´C 2 D 2 në tetraedrin A´B´C´D 3.

Tani, nëse D 3 përkon me D´, atëherë vërtetimi është i plotë. Nëse jo, atëherë merrni parasysh rrafshin δ të simetrisë së pikave D 3 dhe D´. Pikat A´, B´, C´ janë të barabarta nga pikat D 3 dhe D´, prandaj ato shtrihen në rrafshin δ. Kjo do të thotë se simetria S δ transformon tetraedrin A´B´C´D 3 në tetraedrin A´B´C´D´.

Pra, përbërja e numrit të kërkuar të simetrive të reduktuara të pasqyrës e transformon tetraedrin ABCD në tetraedrin A´B´C´D´. Dhe ky transformim është një lëvizje (veti e 2 lëvizjeve).

II. Unike. Le të ketë 2 lëvizje f dhe g, duke transferuar A në A´, B në B´, C në C´, D në D´. Atëherë lëvizja është një transformim identik, pasi lë pikat A, B, C, D të palëvizshme. Pra f=g.

Kur vërtetohet Teorema 5.1 (ekzistenca), në fakt u vërtetua

Teorema 5.2.Çdo lëvizje e hapësirës është një përbërje me jo më shumë se katër simetri pasqyre.

Homotesia e hapësirës.

Së pari, le të shohim një rast të rëndësishëm të veçantë të ngjashmërisë - homotetinë.

Përkufizimi. Homoteiteti me qendër O dhe koeficient është një transformim hapësinor në të cilin imazhi i secilës pikë X është një pikë X´ e tillë që .

Vetitë e homoteitetit.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Ndiqni nga përkufizimi i homoteitetit.

3. E vërtetuar në mënyrë të ngjashme me teoremën përkatëse në rrafsh. Në të vërtetë, nëse marrim parasysh një pikë arbitrare X në hapësirë, do të na mjaftojë të vërtetojmë teoremën tonë për rrafshin (AHB).

4. E vërtetuar me kontradiktë.

1. Pason nga prona 1.

Vetitë e ngjashmërisë.

Teorema 2.1. Ngjashmëria e hapësirës mund të përfaqësohet nga përbërja e homoteitetit dhe lëvizjes f:

Dëshmi. Le të kryejmë një homoteti me qendrën në një pikë arbitrare. Konsideroni një transformim f të tillë që (ekzistenca e një transformimi të tillë rrjedh nga përkufizimi i një transformimi). Shndërrimi f do të jetë lëvizje sipas përkufizimit të lëvizjes.

Vini re se duke zgjedhur lëvizjen për f, ne mund të marrim një paraqitje të ngjashmërisë sonë në këtë formë.

Vetitë e ngjashmërisë.

Dëshmitë e pronave.

1 dhe 2. Pasojat nga teorema 2.1.

3. Rrjedhim nga përkufizimi i ngjashmërisë.

4. Për një kub teorema është padyshim e vërtetë. Për një trup të përbërë nga kube, natyrisht, gjithashtu.

Një poliedron arbitrar M mund të mbivendoset në një rrjetë kub. Ne do ta bluajmë këtë grilë. Ndërsa ana e një kubi të rrjetës sonë tenton në zero, vëllimet e dy trupave: trupi I, i përbërë nga kube të shtrirë tërësisht brenda M dhe trupi S, i përbërë nga kube që kanë pika të përbashkëta me M, priren në vëllimin e shumëfaqëshit. M (kjo rrjedh nga fakti se për secilën faqe të poliedrit tonë M vëllimi i kubeve që e kryqëzojnë këtë faqe do të priret në zero). Për më tepër, për imazhin M´ të shumëfaqëshit M, me ngjashmërinë tonë, vëllimet e trupave I´, S´ (imazhet e trupave I, S) priren në vëllimin e shumëkëndëshit M´. Teorema jonë është e vërtetë për trupat I dhe S, që do të thotë se është e vërtetë edhe për poliedrin M.

Vëllimi i një trupi arbitrar përcaktohet përmes vëllimeve të poliedrit përkatës, prandaj teorema është gjithashtu e vërtetë për një trup arbitrar.

Teorema 2.2. (në lidhje me specifikimin e ngjashmërisë së hapësirës) Nëse dy tetraedra ABCD dhe A´B´C´D jepen të tilla që , atëherë ekziston saktësisht një ngjashmëri e hapësirës për të cilën A→A´, B→B´, C→C´, D→D´.

Dëshmi. Fakti që ekziston një ngjashmëri e tillë rrjedh nga teorema 2.1 dhe teorema për specifikimin e lëvizjes së hapësirës (Pjesa I, Teorema 5.1). Le të ketë dy shndërrime të tilla: P dhe Р´. Atëherë transformimi është një lëvizje që ka pika fikse A, B, C, D, d.m.th. f – transformimi i identitetit. Prandaj P=P´.

Detyra 1.

Pikat M, N, P ndodhen në brinjët AB, BC, AC të trekëndëshit ABC. Pikat M´, N´, P´ janë simetrike me pikat M, N, P në lidhje me brinjët AB, BC, AC. Vërtetoni se sipërfaqet e trekëndëshave MNP dhe M´N´P´ janë të barabarta.

Zgjidhje.

Për një trekëndësh të rregullt, deklarata është e qartë.

Në të njëjtën mënyrë, çdo trapezoid mund të shndërrohet nga një transformim afinik në një izosceles, d.m.th. Mjafton të vërtetohet ndonjë deklaratë afine për një trapezoid izosceles.

Detyra 2.

Në një trapezoid ABCD me baza AD dhe BC, përmes pikës B tërhiqet një vijë paralele me anën CD dhe AC prerëse diagonale në pikën P, dhe përmes pikës C tërhiqet një vijë paralele me anën AB dhe diagonale prerëse BD në pikën Q. Vërtetoni se drejtëza PQ është paralele me bazat trapezoide.

Zgjidhje.

Për një trapezoid isosceles, deklarata është e qartë.

Kompresimi në një vijë të drejtë.

Përkufizimi. Me ngjeshje në një vijë të drejtëℓ me koeficient k () është një transformim që çon një pikë arbitrare M në një pikë M´ të tillë që dhe , ku .

Teorema 2.1. Kompresimi në një vijë të drejtë është një transformim afin.

Dëshmi. Me verifikim të drejtpërdrejtë jemi të bindur se drejtëza kthehet në drejtëz. Ju madje mund të vini re se ngjeshja në një vijë të drejtë është një rast i veçantë i projektimit paralel (kur drejtimi i projektimit është pingul me vijën e kryqëzimit të planeve).

Teorema 2.2. Për çdo transformim afine, ekziston një rrjetë katrore, e cila nën këtë transformim shndërrohet në një rrjetë drejtkëndëshe.

Dëshmi. Le të marrim një rrjetë katrore arbitrare dhe të shqyrtojmë një nga katrorët e saj OABC. Gjatë transformimit tonë, ai do të kthehet në një paralelogram O´A´B´C´. Nëse О´А´В´С' është një drejtkëndësh, atëherë vërtetimi ynë është i plotë. Përndryshe, le të supozojmë për saktësi se këndi А´О´В´ është akut. Ne do të rrotullojmë katrorin OABC dhe të gjithë rrjetën tonë rreth pikës O. Kur katrori OABC rrotullohet (në mënyrë që pika A të jetë zhvendosur në pikën B), pika A´ do të zhvendoset në pikën B´ dhe B´ në kulmin e paralelogramit ngjitur me O´A´ В´С´. ato. këndi А´О´В´ do të bëhet i mpirë. Sipas parimit të vazhdimësisë, në një moment ishte i drejtë. Në këtë moment, katrori OABC u kthye në një drejtkëndësh, dhe rrjeta jonë u kthye në një rrjetë drejtkëndëshe, etj.

Teorema 2.3. Një transformim afinik mund të përfaqësohet si një përbërje e ngjeshjes në një vijë të drejtë dhe ngjashmëri.

Dëshmi. Rrjedhim nga teorema 2.2.

Teorema 2.4. Një transformim afinal që shndërron një rreth të caktuar në një rreth është një ngjashmëri.

Dëshmi. Le të përshkruajmë një katror rreth rrethit tonë dhe ta rrotullojmë atë në mënyrë që gjatë transformimit tonë të kthehet në një drejtkëndësh (Teorema 2.2.). Rrethi ynë do të shkojë në rrethin e gdhendur në këtë drejtkëndësh, kështu që ky drejtkëndësh është një katror. Tani mund të specifikojmë një rrjetë katrore që shndërrohet në një rrjetë katrore gjatë transformimit tonë. Natyrisht, transformimi ynë është ngjashmëri.

3. Shndërrimet afinale të hapësirës.

Përkufizimi. Afine Një transformim hapësinor është një transformim hapësinor që transformon çdo plan në një plan.

Vetitë.

1. Me një transformim afine, linjat e drejta bëhen vija të drejta.
2. Një transformim afin i hapësirës shkakton një hartë afinale të çdo rrafshi në imazhin e tij.
3. Gjatë një transformimi afinal, rrafshet paralele (drejtëza) shndërrohen në rrafshe paralele (drejtëza).

Dëshmitë e pronave.

1. Kjo rrjedh nga fakti se një vijë e drejtë është kryqëzimi i dy rrafsheve, dhe nga përkufizimi i një transformimi afin.
2. Rrjedhim nga përkufizimi i një transformimi afinal dhe vetisë 1.
3. Për rrafshet kjo vërtetohet me kontradiktë, për vijat - përmes vetive 2 dhe vetisë së transformimit afinal të një rrafshi.

Teorema 3.1. (në lidhje me specifikimin e një transformimi afinal të hapësirës) Për çdo tetraedrë të caktuar ABCD dhe A´B´C´D´, ekziston një transformim afinal unik që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Dëshmi. Prova është e ngjashme me Teoremën 1.1. (ndërtohen rrjeta paralelipipedësh).

Nga vërtetimi i teoremës 3.1 rezulton se nëse kemi një sistem të zhdrejtë koordinativ W, dhe W´ është imazhi i tij nën një transformim afin, atëherë koordinatat e një pike arbitrare në hapësirë ​​në sistemin koordinativ W janë të barabarta me koordinatat e tij. imazh në sistemin koordinativ W´.

Disa të tjera vijnë menjëherë nga kjo vetitë transformimi afin.

1. Anasjellta e një transformimi afine është afine.
2. Shndërrimet afinike ruajnë raportin e gjatësive të segmenteve paralele.

Tani le të jepet një sistem koordinativ (O, , , ) në hapësirë ​​dhe transformimi afinal f shndërron O në O´, dhe vektorët bazë në vektorë, përkatësisht. Le të gjejmë koordinatat x´, y´, z´ të figurës M´(x´,y´,z´) të pikës M(x,y,z) nën transformimin f.

Do të supozojmë se pika M në sistemin koordinativ (O, , , ) ka të njëjtat koordinata si pika M´ në sistemin koordinativ (O´, , , ). Nga këtu

Prandaj kemi barazi (*):

Gjithashtu vlen të theksohet se , sepse vektorët , , janë linearisht të pavarur.

Kjo përcaktor quhet përcaktues i transformimit të afinës.

Teorema 3.2. Transformimi i dhënë nga barazitë (*) është afin.

Dëshmi. Mjafton të kontrollohet nëse transformimi i anasjelltë i transformimit(*) është afin (vetia 4). Le të marrim një plan arbitrar Ax´+By´+Cz´+D=0, ku A, B, C nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë. Duke kryer zëvendësimet (*), marrim ekuacionin e imazhit të tij të kundërt:

Mbetet vetëm të kontrollojmë që në ekuacionin që rezulton koeficientët e x, y, z nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero. Kjo është e vërtetë, sepse... përndryshe sistemi

me një përcaktor jozero do të kishte vetëm një zgjidhje zero: A=B=C=0, që është e pasaktë.

Teorema 3.3. Për vëllimet V dhe V´ që korrespondojnë me transformimin afinal të trupave, ndodh varësia.

Dëshmi. Lërini vektorët jokoplanarë , , të formojnë bazën vektoriale të hapësirës dhe le të jepen vektorët në hapësirë , Dhe . Pasi kemi llogaritur produktin e përzier të këtyre vektorëve, marrim:

.

Le të përfitojmë nga fakti se vëllimi i një paralelipipedi të orientuar, i ndërtuar mbi vektorë si skaje, është i barabartë me produktin e përzier të këtyre vektorëve:

,

ku V 0 është vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë bazë.

Një transformim afinik nuk ndryshon koordinatat e vektorëve përkatës në bazat përkatëse. Prandaj, për vëllimin V´ të figurës së një paralelipipedi të vëllimit V kemi:

,

ku është vëllimi i një paralelipipedi të ndërtuar mbi vektorë, si në buzë.

Nga këtu marrim: . Tjetra , pra për vëllime të paorientuara kemi . Kjo barazi mund të shtrihet në të gjitha trupat në mënyrë të ngjashme me vërtetimin e vetive të 4 ngjashmërive (Pjesa II, §2).

Detyrë.

Kulmi i paralelopipedit lidhet me qendrat e tri faqeve që nuk e përmbajnë atë. Gjeni raportin e vëllimit të tetraedrit që rezulton me vëllimin e paralelepipedit të dhënë.

Zgjidhje.

Le të llogarisim këtë raport për një kub dhe, duke përdorur një transformim afin, ta transformojmë kubin në një paralelipiped, të përfitojmë nga fakti që transformimi afinik ruan raportin e vëllimit. Për një kub, raporti është i lehtë për t'u llogaritur. Është e barabartë me 1:12.

Përgjigje: 1:12.

Lidhja farefisnore e hapësirës.

Përkufizimi. Një transformim afin i hapësirës që ka një plan pikash fikse quhet transformim i lidhur ρ (farefisnore), dhe quhet rrafshi i pikave fikse të tij rrafshi i farefisnisë. Elementet që i përgjigjen lidhjes farefisnore quhen të lidhura.

Përkufizimi. Drejtimi i vijave të drejta që lidhin pikat e lidhura quhet drejtimi i marrëdhënies.

Vetitë e farefisnisë.

1. Vijat e lidhura (rrafshet) priten në rrafshin e marrëdhënies ose janë paralele me të.
2. (Saktësia e përcaktimit të drejtimit të marrëdhënies) Vijat e drejta, secila prej të cilave lidh dy pika të lidhura, janë paralele.
3. Nëse drejtimi i lidhjes farefisnore nuk është paralel me rrafshin e kësaj lidhjeje, atëherë çdo segment që lidh dy pika të lidhura ndahet me rrafshin e farefisnisë në të njëjtin raport.
4. Çdo rrafsh paralel me drejtimin e farefisnisë është i palëvizshëm nën këtë lidhje farefisnore. Në të, induktohet afiniteti i rrafshit (një transformim afinik që ka një vijë të drejtë pikash fikse, të quajtur boshti i afinitetit), boshti i të cilit është vija e drejtë e kryqëzimit të tij me rrafshin e afinitetit të caktuar të hapësirës.

Dëshmitë e pronave.

1. Vërtetimi është i ngjashëm me vërtetimin e vetive të simetrisë së pasqyrës (Pjesa I, §3.5).

2. Le të jenë A, B dy pika të ndryshme; A´, B´ janë imazhet e tyre të farefisnisë, α është rrafshi i farefisnisë. Le . Pastaj (vetia e transformimit afine), d.m.th. AA´||BB´, etj.

3 dhe 4. Ndiqni nga vërtetimi i pasurisë 2.

Përkufizimi. Sipërfaqja e përfaqësuar nga ekuacioni , thirri elipsoid. Një rast i veçantë i një elipsoid është një sferë.

Ekziston fakti i mëposhtëm, të cilin ne nuk do ta vërtetojmë, megjithatë, do të na duhet kur vërtetojmë teoremat e mëposhtme:

Teorema 4.1. Një transformim afinik shndërron një elipsoid në një elipsoid.

Teorema 4.2. Një transformim afinal arbitrar i hapësirës mund të përfaqësohet nga një përbërje ngjashmërie dhe farefisnore.

Dëshmi. Lëreni një transformim afinal f të hartojë një sferë σ në një elipsoid σ´. Nga teorema 3.1 rrjedh se f mund të përkufizohet nga këto figura. Le të shqyrtojmë rrafshin α´ që përmban qendrën e elipsoidit dhe që e pret atë përgjatë një rrethi të caktuar ω´ (ekzistenca e një rrafshi të tillë është e lehtë të vërtetohet nga konsideratat e vazhdimësisë). Le të jetë α imazhi i anasjelltë i α´, imazhi i anasjelltë i ω´, β sfera që ka rrethin ω´ si rreth diametral të saj. Ekziston një lidhje farefisnore ρ që lidh β me σ´, dhe ka një ngjashmëri P që harton σ me β. Pastaj - përfaqësimi i kërkuar.

Nga vërtetimi i teoremës së mëparshme, teorema 4.3 rrjedh menjëherë:

Teorema 4.3. Një transformim afinik që ruan një sferë është një ngjashmëri.

Pjesa IV. Transformimet projektive.

1. Shndërrimet projektive të rrafshit.

Përkufizimi. Plani projektues– një rrafsh i zakonshëm (Euklidian), i plotësuar me pika në pafundësi dhe një vijë të drejtë në pafundësi, i quajtur gjithashtu elemente jo të duhura. Në këtë rast, çdo vijë e drejtë plotësohet nga një pikë e gabuar, i gjithë rrafshi plotësohet nga një vijë e pahijshme; vijat paralele plotësohen nga një pikë e zakonshme e papërshtatshme, vijat joparalele plotësohen me të ndryshme; Pikat e pahijshme që plotësojnë të gjitha drejtëzat e mundshme të rrafshit i përkasin vijës së papërshtatshme.

Përkufizimi. Shndërrimi i rrafshit projektues që shndërron çdo drejtëz në drejtëz quhet projektive.

Pasoja. Një transformim projektiv që ruan vijën në pafundësi është afin; çdo transformim afinik është projektiv, duke ruajtur vijën në pafundësi.

Përkufizimi. Dizajn qendror rrafshi α në rrafshin β me qendër në një pikë O, jo i shtrirë në këto rrafshe, quhet një hartë që lidh çdo pikë A të rrafshit α me pikën A´ të prerjes së drejtëzës OA me rrafshin β.

Për më tepër, nëse rrafshit α dhe β nuk janë paralel, atëherë në rrafshin α ekziston një drejtëz ℓ e tillë që rrafshi që kalon nëpër pikën O dhe drejtëza ℓ është paralel me rrafshin β. Do të supozojmë se gjatë projeksionit tonë ℓ shkon në vijën pafundësisht të largët të rrafshit β (në këtë rast, çdo pikë B e drejtëzës ℓ shkon në atë pikë të vijës pafundësisht të largët që plotëson drejtëzat paralele me OB). Në rrafshin β ekziston një drejtëz ℓ´ e tillë që rrafshi që kalon në pikën O dhe drejtëzën ℓ´ është paralel me rrafshin α. Ne do ta konsiderojmë ℓ´ të jetë imazhi i rrafshit të drejtë α në pafundësi. Vijat e drejta do t'i quajmë ℓ dhe ℓ´ të theksuara.

Mund të themi se jepet një shndërrim i thjeshtë i rrafshit projektues (nëse bashkojmë rrafshet α dhe β).

Nga përkufizimi rrjedh menjëherë vetitë e projeksionit qendror:

1. Projeksioni qendror është një transformim projektues.
2. Transformimi i kundërt në dizajn qendror është dizajn qendror me të njëjtën qendër.
3. Vijat paralele me vijat e zgjedhura bëhen paralele.

Përkufizimi. Le të shtrihen pikat A, B, C, D në të njëjtën drejtëz. Qëndrim i dyfishtë(AB; CD) e këtyre pikave quhet vlera. Nëse njëra nga pikat është pafundësisht e largët, atëherë gjatësia e segmenteve fundi i të cilëve është kjo pikë mund të zvogëlohet.

Teorema 1.1. Projeksioni qendror ruan marrëdhënien e dyfishtë.

Dëshmi. Le të jetë O qendra e projektimit, A, B, C, D të jenë katër pika që shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, A´, B´, C´, D´ të jenë imazhet e tyre.

Po kështu .

Duke pjesëtuar një barazi me tjetrën, marrim .

Në mënyrë të ngjashme, në vend të pikës C, duke marrë parasysh pikën D, marrim .

Nga këtu , d.m.th. .

Për ta bërë vërtetimin të plotë, mbetet të theksohet se të gjitha segmentet, zonat dhe këndet mund të konsiderohen të orientuara.

Teorema 1.2. Le të jenë katër pika A, B, C, D të rrafshit π që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe katër pika M, N, P, Q të rrafshit π´ që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz. Pastaj ekziston një përbërje e projeksionit qendror (paralel) dhe ngjashmërisë që çon A në M, B në N, C në P, D në Q.

Dëshmi.

Për lehtësi, do të themi se ABCD dhe MNPQ janë katërkëndëshe, megjithëse në fakt kjo nuk është e nevojshme (për shembull, segmentet AB dhe CD mund të kryqëzohen). Nga vërtetimi do të jetë e qartë se nuk përdorim askund se pikat A, B, C, D dhe M, N, P, Q në rendin e treguar formojnë katërkëndësh.

.

Le të vizatojmë tani përmes pikave A, B, C, D vijat AK, BL, CF, DG, paralele me X 1 X 2 (K, L shtrihen në DC; G, F - në AB), dhe përmes pikave N, M - linjat NT , MS, paralele me Y 1 Y 2 (T, S shtrihen në PQ). Duke përdorur projeksionin qendror (paralel) f, ne e transformojmë trapezin ABLK në trapezoidin A´B´L´K´ të rrafshit π´, i ngjashëm me trapezin MNTS (kjo është e mundur sipas Pjesës I të provës sonë). Në këtë rast, nga zgjedhja e pikave X 1, X 2 del se drejtëza X 1 X 2 është një drejtëz e zgjedhur e rrafshit π´. Le të shënojmë pikat C´, D´ në drejtëzën L´K´ ashtu që trapezi ABCD të jetë i ngjashëm me trapezin A´B´C´D´. Le të vizatojmë drejtëza C´F´, D´G´ paralel me drejtëzën B´L´ (F´, G´ shtrihen në А´В´), dhe të shënojmë një pikë Y 1´ në drejtëzën А´В´ të tilla që , . Në vijën e drejtë C´D´ shënojmë një pikë Y 2 ´ në mënyrë që Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (shih figurën). Nga zgjedhja e pikave Y 1 ´ dhe Y 2 ´ del se drejtëza Y 1 ´Y 2 ´ është një drejtëz e zgjedhur e rrafshit π´. Gjatë transformimit të f, pika E shkon në pikën E' të prerjes së drejtëzave A'B' dhe L'K'. Pika C shkon në një pikë C 0 ´ të drejtëzës C´D´.

Le të vërtetojmë se C 0 përkon me C´. Nga fakti se X 2, nën transformimin f, shkon në pikën pafundësisht të largët të drejtëzës C´D´, dhe Y 2 ´ është imazhi i pikës pafundësisht të largët të drejtëzës CD dhe projeksioni qendror ruan marrëdhënie të dyfishta, rrjedh se , ku . Tani merrni parasysh transformimin g, përbërjen e projeksionit qendror dhe ngjashmërisë, duke e transformuar trapezoidin CDGF në trapezoidin C´D´G´F´. Për transformimin g, mund të tregohet në mënyrë të ngjashme . Nga këtu do të vijojë që pikat C 0 dhe C' përkojnë. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se D 0 - imazhi i pikës D nën transformimin f - përkon me D´. Pra, transformimi f e shndërron katërkëndëshin ABCD në një katërkëndësh A´B´C´D´, i ngjashëm me katërkëndëshin MNPQ, që është ajo që kërkohej.

Teorema 1.3. Le të jepen katër pika, nga të cilat asnjë tre nuk shtrihet në të njëjtën drejtëzë: A, B, C, D dhe A´, B´, C´, D´. Pastaj ka një transformim unik projektues që çon A në A´, B në B´, C në C´, D në D´.

Ekzistenca Ky transformim rrjedh nga teorema 1.1.

Unike mund të vërtetohet në të njëjtën mënyrë si veçantia e një transformimi afinal (teorema 1.1, pjesa III): shqyrtoni një rrjetë katrore, ndërtoni imazhin e saj dhe më pas përsojeni atë. Për të kapërcyer vështirësitë që kemi hasur

Vetitë e lëvizjeve.

Teorema. Vetia kryesore e lëvizjeve.

Rezultati i dy lëvizjeve të njëpasnjëshme të aeroplanit është lëvizja e aeroplanit.

Dëshmi Deklarata e kësaj teoreme është e qartë. Në fakt, ju vetëm duhet të sqaroni formulimin e tij.

Le të shkojë, si rezultat i lëvizjes së parë të rrymës, A në pikën A", dhe si rezultat i së dytës, pika A" shkon në pikën A". Këto dy lëvizje mund të zëvendësohen nga një transformim që e çon pikën A direkt në pikën A"". Pika të ndryshme në aeroplan shkojnë në pika të ndryshme, kështu që ne në fakt kemi një transformim të aeroplanit. Mbetet të vërtetohet se transformimi i ndërtuar në këtë mënyrë është një lëvizje.

Le të shqyrtojmë dy pika të ndryshme të rrafshit A dhe B, të cilat pas lëvizjes së parë kalojnë përkatësisht në pikat A" dhe B". Lërini pikat A" dhe B" si rezultat i lëvizjes së dytë të lëvizin, përkatësisht, në pikat A"" dhe B"". Meqenëse AB = A"B"= A""B", atëherë transformimi që çon A dhe B në A"" dhe B"" është një lëvizje. (Në fund të fundit, A dhe B janë çdo dy pika të aeroplanit.) t

1. Gjatë lëvizjes, tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz shndërrohen në tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë.

2. Kur lëvizni, çdo segment vihet në hartë në një segment dhe skajet e segmentit shkojnë në skajet e imazhit të tij.

3. Kur lëvizni, një vijë e drejtë vihet në hartë në një vijë të drejtë dhe vijat paralele vendosen në vija paralele.

4. Gjatë lëvizjes, trau vihet në hartë mbi tra.

5. Kur lëvizni, një kënd shfaqet në një kënd të barabartë me të.

6. Kur lëvizni, një trekëndësh paraqitet në një trekëndësh të barabartë.

7. Kur lëvizni, rrethi paraqitet në një rreth me rreze të njëjtë.

Detyrë analitike e lëvizjeve

Përkufizimi: Duke thënë se dy korniza janë të orientuara në mënyrë identike nëse kanë baza të paqarta, dhe të kundërta nëse bazat janë gjithashtu të kundërta.

Përkufizimi: Ata thonë se një transformim i pikave të rrafshët ruan orientimin nëse, gjatë këtij transformimi, pikat përkatëse të referencës janë të orientuara në mënyrë të barabartë dhe. përkundrazi, ai ndryshon orientimin nëse pikat përkatëse të referencës janë të orientuara në mënyrë të kundërt.

I. Lëvizje që nuk ndryshon orientimin. Këto lëvizje mund të specifikohen me një formulë të formës:

.

II. Lëvizja jepet në mënyrë të ngjashme nga një formulë me shenja të kundërta.

.

Të dyja formulat mund të kombinohen në një hyrje të vetme.

Mund të tregohet se të gjitha lëvizjet e njohura për ne kanë një formulë që ka një formulë të përgjithshme të veçantë.

- lëvizje e llojit të dytë.

Mund të vërtetohet se përkthimi, rrotullimi dhe qendra e simetrisë janë lëvizje të llojit të parë.

Teorema: Nëse disa transformime të rrafshët mund të specifikohen me një formulë të formës.

,

atëherë, nëse matrica është ortogonale, atëherë transformimi është një lëvizje. Nën ortogonale

Ne kuptojmë një matricë përcaktorja e së cilës është e barabartë me .

Shembull: Le të specifikohet një kënd rrotullimi në një plan të orientuar, duke ditur koordinatat e dy pikave përkatëse në një pikë referimi të caktuar, le të shqyrtojmë rastin e veçantë kur qendra e rrotullimit përkon me origjinën e koordinatave.

.

- ?

30. Pikat e pandryshueshme dhe vijat e drejta. Klasifikimi i lëvizjeve

PIKA INVARIANTE

Pika fiziko-kimike. diagrami që korrespondon me ekuilibrin fazor të pandryshueshëm, i karakterizuar nga vlera konstante të përcaktuara rreptësisht të të gjithë parametrave intensivë të gjendjes së sistemit (temperatura, presioni, potencialet kimike të përbërësve). Një rast i veçantë i T. dhe. - pikë e trefishtë. Linjat e pandryshueshme- këto janë drejtëza, të gjitha pikat e të cilave, pas një transformimi afinal, mbeten të drejtës së dhënë. Kjo do të thotë, nëse një pikë me koordinata (x, y) i përket një drejtëze, atëherë edhe pika (x*, y*) i përket kësaj drejtëze.

Klasifikimi i lëvizjeve të avionit

Përkufizimi: Një pikë në një rrafsh është e pandryshueshme (fikse) nëse, nën një transformim të caktuar, ajo shndërrohet në vetvete.

Shembull: Me simetrinë qendrore, pika e qendrës së simetrisë është e pandryshueshme. Gjatë rrotullimit, pika e qendrës së rrotullimit është e pandryshueshme. Me simetrinë boshtore, një vijë e drejtë është e pandryshueshme - boshti i simetrisë është një vijë e drejtë e pikave të pandryshueshme.

Teorema: Nëse lëvizja nuk ka një pikë të vetme të pandryshueshme, atëherë ajo ka të paktën një drejtim të pandryshueshëm.

Shembull: Transferimi paralel. Në të vërtetë, vijat e drejta paralele me këtë drejtim janë të pandryshueshme si figurë në tërësi, megjithëse nuk përbëhet nga pika të pandryshueshme.

Teorema: Nëse disa rreze lëvizin, rrezja përkthehet në vetvete, atëherë kjo lëvizje është ose një transformim identik ose simetri në lidhje me vijën e drejtë që përmban rrezen e dhënë.

Prandaj, bazuar në praninë e pikave ose figurave të pandryshueshme, është e mundur të klasifikohen lëvizjet.

Tema e këtij mësimi video do të jenë vetitë e lëvizjes, si dhe përkthimi paralel. Në fillim të mësimit, ne do të përsërisim edhe një herë konceptin e lëvizjes, llojet kryesore të tij - simetria boshtore dhe qendrore. Pas kësaj, ne do të shqyrtojmë të gjitha vetitë e lëvizjes. Le të shohim konceptin e "transferimit paralel", për çfarë përdoret dhe të emërtojmë vetitë e tij.

Tema: Lëvizja

Mësimi: Lëvizja. Vetitë e lëvizjes

Le të vërtetojmë teoremën: kur lëviz, një segment kthehet në një segment.

Le të deshifrojmë formulimin e teoremës duke përdorur Fig. 1. Nëse skajet e një segmenti të caktuar MN gjatë lëvizjes janë hartuar në disa pika M 1 dhe N 1, përkatësisht, atëherë çdo pikë P e segmentit MN do të shkojë domosdoshmërisht në një pikë P 1 të segmentit M 1 N 1, dhe anasjelltas, në secilën pikë Q 1 të segmentit M 1 N 1 do të shfaqet domosdoshmërisht një pikë e caktuar Q e segmentit MN.

Dëshmi.

Siç shihet nga figura, MN = MP + PN.

Le të shkojë pika P në një pikë P 1 "të planit. Nga përkufizimi i lëvizjes rrjedh se gjatësitë e segmenteve janë të barabarta MN = M 1 N 1, MP = M 1 P 1 ", RN = P 1 ". N 1. Nga këto barazime del se M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, pra pika Р 1 " i përket segmentit M. 1 N 1 dhe përkon me pikën P 1, përndryshe në vend të barazisë së mësipërme do të ishte e vërtetë mosbarazimi i trekëndëshit M 1 P 1 "+ P 1 "N 1 > M 1 N 1 duke lëvizur, çdo pikë P e segmentit MN do të shkojë domosdoshmërisht në një pikë P 1 të segmentit M 1. N 1. Pjesa e dytë e teoremës (në lidhje me pikën Q 1) vërtetohet absolutisht në të njëjtën mënyrë.

Teorema e provuar është e vlefshme për çdo lëvizje!

Teorema: kur lëviz, një kënd shndërrohet në një kënd të barabartë me të.

Le të jepet RAOB (Fig. 2). Dhe le të jepet një lëvizje në të cilën kulmi РО shkon në pikën O 1, dhe pikat A dhe B - përkatësisht në pikat A 1 dhe B 1.

Konsideroni trekëndëshat AOB dhe A 1 O 1 B 1. Sipas kushteve të teoremës, pikat A, O dhe B lëvizin kur kalohen në pikat A 1, O 1 dhe B 1, përkatësisht. Rrjedhimisht, ekziston barazia e gjatësive AO = A 1 O 1, OB = O 1 B 1 dhe AB = A 1 B 1. Kështu, AOB = A 1 O 1 B 1 në tre anët. Nga barazia e trekëndëshave del se këndet përkatëse O dhe O 1 janë të barabarta.

Pra, çdo lëvizje ruan kënde.

Shumë pasoja rrjedhin nga vetitë themelore të lëvizjes, veçanërisht nga fakti që çdo figurë kur lëviz është e shënuar në një figurë të barabartë.

Le të shqyrtojmë një lloj tjetër lëvizjeje - transferimin paralel.

Transferimi paralel për një vektor të caktuar të caktuar është një hartë e rrafshit në vetvete në të cilën çdo pikë M e rrafshit shkon në një pikë M 1 të të njëjtit rrafsh në mënyrë që (Fig. 3).

Le ta vërtetojmë këtë përkthimi paralel është një lëvizje.

Dëshmi.

Le të shqyrtojmë një segment arbitrar MN (Fig. 4). Le të kalojë, gjatë një transferimi paralel, pika M në pikën M 1 dhe pika N në pikën N 1. Në këtë rast plotësohen kushtet për bartje paralele: dhe . Konsideroni një katërkëndësh

MM 1 N 1 N. Dy anët e tij të kundërta (MM 1 dhe NN 1) janë të barabarta dhe paralele, siç diktohen nga kushtet e transferimit paralel. Për rrjedhojë, ky katërkëndësh është paralelogram sipas një prej karakteristikave të këtij të fundit. Nga kjo rezulton se dy brinjët e tjera (MN dhe M 1 N 1) të paralelogramit kanë gjatësi të barabarta, gjë që duhej vërtetuar.

Kështu, përkthimi paralel është me të vërtetë një lëvizje.

Le të përmbledhim. Tashmë jemi njohur me tre lloje lëvizjesh: simetria boshtore, simetria qendrore dhe përkthimi paralel. Ne vërtetuam se kur lëviz, një segment shkon në një segment dhe një kënd në një kënd të barabartë me të. Përveç kësaj, mund të tregohet se kur lëviz, një vijë e drejtë kthehet në një vijë të drejtë dhe një rreth kthehet në një rreth me të njëjtën rreze.

1. Atanasyan L. S. et al. Klasat e Gjeometrisë 7-9. Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm. - M.: Arsimi, 2010.

2. Farkov A.V Testet e gjeometrisë: klasa e 9-të. Tek libri shkollor nga L. S. Atanasyan dhe të tjerët - M.: Provim, 2010.

3. Pogorelov A.V. Gjeometri, libër shkollor. për klasat 7-11. arsimi i përgjithshëm themelimi - M.: Arsimi, 1995.

1. Portali rus i arsimit të përgjithshëm ().

2. Festivali i ideve pedagogjike "Mësim i hapur" ().

1. Atanasyan (shih listën e referencave), f. 293, § 1, paragrafi 114.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve