Shenja e progresionit aritmetik.

Kërpudha të ngrënshme

Po, po: përparimi aritmetik nuk është një lodër për ju :)

Epo, miq, nëse po e lexoni këtë tekst, atëherë kapaku i brendshëm më thotë se ju nuk e dini ende se çfarë është një progresion aritmetik, por vërtet (jo, si kjo: SHUMË!) dëshironi të dini. Prandaj, nuk do t'ju mundoj me prezantime të gjata dhe do të shkoj direkt në temë.

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
Së pari, disa shembuj. Le të shohim disa grupe numrash:

$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$ Çfarë kanë të përbashkët të gjitha këto grupe? Në pamje të parë, asgjë. Por në fakt ka diçka. Gjegjësisht:.

çdo element tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me të njëjtin numër

Gjykojeni vetë. Seti i parë është thjesht numra të njëpasnjëshëm, secili i radhës është një më shumë se ai i mëparshmi. Në rastin e dytë, ndryshimi midis numrave ngjitur tashmë është pesë, por ky ndryshim është ende konstant. Në rastin e tretë, nuk ka rrënjë fare. Megjithatë, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dhe $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, d.m.th. dhe në këtë rast, çdo element tjetër thjesht rritet me $\sqrt(2)$ (dhe mos kini frikë se ky numër është irracional).

Pra: të gjitha sekuencat e tilla quhen progresione aritmetike. Le të japim një përkufizim të rreptë:

Përkufizimi. Një sekuencë numrash në të cilat secili tjetër ndryshon nga ai i mëparshmi me saktësisht të njëjtën sasi quhet progresion aritmetik. Vetë shuma me të cilën ndryshojnë numrat quhet ndryshim i progresionit dhe më së shpeshti shënohet me shkronjën $d$.

Shënim: $\left(((a)_(n)) \djathtas)$ është vetë progresioni, $d$ është ndryshimi i tij. Dhe vetëm disa shënime të rëndësishme. Së pari, merret parasysh vetëm përparimi porositur

sekuenca e numrave: ato lejohen të lexohen në mënyrë rigoroze sipas rendit në të cilin janë shkruar - dhe asgjë tjetër. Numrat nuk mund të riorganizohen ose të ndërrohen.

Së dyti, sekuenca në vetvete mund të jetë ose e fundme ose e pafundme. Për shembull, grupi (1; 2; 3) është padyshim një progresion aritmetik i fundëm. Por nëse shkruani diçka në frymë (1; 2; 3; 4; ...) - ky është tashmë një përparim i pafund. Elipsi pas të katërt duket se lë të kuptohet se ka edhe shumë numra të tjerë që do të vijnë. Pafundësisht shumë, për shembull.

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Mirë, në rregull: shembulli i fundit mund të duket tepër i ndërlikuar. Por pjesa tjetër, mendoj, ju e kuptoni. Prandaj, ne prezantojmë përkufizime të reja:

Përkufizimi. Një progresion aritmetik quhet:

duke u rritur nëse çdo element tjetër është më i madh se ai i mëparshmi;

duke u ulur nëse, përkundrazi, çdo element pasues është më i vogël se ai i mëparshmi.

Për më tepër, ekzistojnë të ashtuquajturat sekuenca "stacionare" - ato përbëhen nga i njëjti numër përsëritës. Për shembull, (3; 3; 3; ...).

Mbetet vetëm një pyetje: si të dallojmë një progresion në rritje nga një në rënie? Për fat të mirë, gjithçka këtu varet vetëm nga shenja e numrit $d$, d.m.th. Dallimet e progresionit:

Nëse $d \gt 0$, atëherë progresion rritet;
Nëse $d \lt 0$, atëherë progresioni është dukshëm në rënie;
Së fundi, ekziston rasti $d=0$ - në këtë rast i gjithë progresioni reduktohet në një sekuencë stacionare të numrave identikë: (1; 1; 1; 1; ...), etj.

Le të përpiqemi të llogarisim ndryshimin $d$ për tre progresionet në rënie të dhëna më sipër. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh dy elementë ngjitur (për shembull, i pari dhe i dyti) dhe të zbresësh numrin në të majtë nga numri në të djathtë. Do të duket kështu:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Siç mund ta shohim, në të tre rastet diferenca në fakt rezultoi negative. Dhe tani që pak a shumë i kemi kuptuar përkufizimet, është koha të kuptojmë se si përshkruhen progresionet dhe cilat veçori kanë ato.

Termat e progresionit dhe formula e përsëritjes

Meqenëse elementët e sekuencave tona nuk mund të ndërrohen, ato mund të numërohen:

\[\majtas(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas$(a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \djathtas$\]

Elementet individuale të këtij grupi quhen anëtarë të një progresion. Ato tregohen me një numër: anëtari i parë, anëtari i dytë, etj.

Për më tepër, siç e dimë tashmë, termat fqinjë të progresionit lidhen me formulën:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Djathtas ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Shkurtimisht, për të gjetur termin $n$th të një progresioni, duhet të dini termin $n-1$th dhe ndryshimin $d$. Kjo formulë quhet e përsëritur, sepse me ndihmën e saj mund të gjeni çdo numër vetëm duke ditur atë të mëparshëm (dhe në fakt, të gjithë të mëparshmit). Kjo është shumë e papërshtatshme, kështu që ekziston një formulë më dinake që redukton çdo llogaritje në termin e parë dhe ndryshimin:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d\]

Ju ndoshta keni hasur tashmë në këtë formulë. Ata pëlqejnë ta japin atë në të gjitha llojet e librave të referencës dhe librave të zgjidhjeve. Dhe në çdo tekst të arsyeshëm të matematikës është një nga të parët.

Megjithatë, ju sugjeroj të praktikoni pak.

Detyra nr. 1. Shkruani tre termat e parë të progresionit aritmetik $\left((a)_(n)) \djathtas)$ nëse $((a)_(1))=8,d=-5$.

Zgjidhje. Pra, ne e dimë termin e parë $((a)_(1))=8$ dhe ndryshimin e progresionit $d=-5$. Le të përdorim formulën e sapo dhënë dhe të zëvendësojmë $n=1$, $n=2$ dhe $n=3$:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d; \\ & ((a)_(1))=(a)_(1))+\majtas(1-1 \djathtas)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\majtas(2-1 \djathtas)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+\majtas(3-1 \djathtas)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: (8; 3; −2)

Kjo është ajo! Ju lutemi vini re: progresi ynë është në rënie.

Natyrisht, $n=1$ nuk mund të zëvendësohej - termi i parë është tashmë i njohur për ne. Megjithatë, duke zëvendësuar unitetin, ne u bindëm se edhe për mandatin e parë formula jonë funksionon. Në raste të tjera, gjithçka zbriste në aritmetikë banale.

Detyra nr. 2. Shkruani tre termat e parë të një progresion aritmetik nëse mandati i shtatë është i barabartë me -40 dhe ai i shtatëmbëdhjetë është i barabartë me -50.

Zgjidhje. Le të shkruajmë kushtin e problemit në terma të njohur:

\[((a)_(7))=-40;\katër ((a)_(17))=-50.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(7))=(a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=(a) _(1))+16d \\ \fund (radhis) \djathtas.\]

\[\majtas\( \fillimi(radhis) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \fund (radhis) \drejtë.\]

Unë vendos shenjën e sistemit sepse këto kërkesa duhet të plotësohen njëkohësisht. Tani le të vërejmë se nëse e zbresim të parën nga ekuacioni i dytë (ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë, pasi kemi një sistem), marrim këtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(1))+16d-\majtas(((a)_(1))+6d \djathtas)=-50-\majtas(-40 \djathtas); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fund (radhis)\]

Ja sa e lehtë është të gjesh ndryshimin e progresionit! Gjithçka që mbetet është të zëvendësojmë numrin e gjetur në cilindo nga ekuacionet e sistemit. Për shembull, në të parën:

\[\fillimi(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Poshtë \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fund (matricë)\]

Tani, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, mbetet të gjejmë termat e dytë dhe të tretë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=(a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=(a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fund (radhis)\]

Gati! Problemi është zgjidhur.

Përgjigje: (−34; −35; −36)

Vini re vetinë interesante të progresionit që zbuluam: nëse marrim termat $n$th dhe $m$th dhe i zbresim nga njëri-tjetri, marrim diferencën e progresionit të shumëzuar me numrin $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \majtas(n-m \djathtas)\]

Një pronë e thjeshtë por shumë e dobishme që patjetër duhet të dini - me ndihmën e saj mund të shpejtoni ndjeshëm zgjidhjen e shumë problemeve të progresionit. Këtu është një shembull i qartë i kësaj:

Detyra nr. 3. Termi i pestë i një progresion aritmetik është 8.4, dhe termi i dhjetë i tij është 14.4. Gjeni termin e pesëmbëdhjetë të këtij progresioni.

Zgjidhje. Meqenëse $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ dhe ne duhet të gjejmë $((a)_(15))$, shënojmë sa vijon:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fund (radhis)\]

Por sipas kushtit $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, pra $5d=6$, nga e cila kemi:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \fund (radhis)\]

Përgjigje: 20.4

Kjo është ajo! Ne nuk kishim nevojë të krijonim asnjë sistem ekuacioni dhe të llogarisnim termin e parë dhe ndryshimin - gjithçka u zgjidh në vetëm disa rreshta.

Tani le të shohim një lloj tjetër problemi - kërkimi i termave negativë dhe pozitivë të një progresi. Nuk është sekret që nëse një progresion rritet, dhe termi i tij i parë është negativ, atëherë herët a vonë termat pozitivë do të shfaqen në të. Dhe anasjelltas: kushtet e një progresion në rënie herët a vonë do të bëhen negative.

Në të njëjtën kohë, nuk është gjithmonë e mundur të gjesh këtë moment "përballë" duke kaluar në mënyrë sekuenciale nëpër elementë. Shpesh, problemet shkruhen në atë mënyrë që pa i ditur formulat, llogaritjet do të merrnin disa fletë letre - thjesht do të bieshim në gjumë ndërsa gjenim përgjigjen. Prandaj, le të përpiqemi t'i zgjidhim këto probleme në një mënyrë më të shpejtë.

Detyra nr 4. Sa terma negativë ka në progresionin aritmetik −38,5; −35,8; ...?

Zgjidhje. Pra, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, nga ku gjejmë menjëherë ndryshimin:

Vini re se ndryshimi është pozitiv, kështu që përparimi rritet. Termi i parë është negativ, kështu që në një moment do të ngecim te numrat pozitivë. Pyetja e vetme është se kur do të ndodhë kjo.

Le të përpiqemi të zbulojmë se sa kohë (d.m.th. deri në cilin numër natyror $n$) mbetet negativiteti i termave:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n)) \lt 0\Djathtas shigjetë ((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)d \lt 0; \\ & -38.5+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 2.7 \lt 0;\katër \majtas| \cdot 10 \djathtas. \\ & -385+27\cdot \majtas(n-1 \djathtas) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Djathtas ((n)_(\maks))=15. \\ \fund (radhis)\]

Rreshti i fundit kërkon një shpjegim. Pra, ne e dimë se $n \lt 15\frac(7)(27)$. Nga ana tjetër, ne jemi të kënaqur vetëm me vlerat e plota të numrit (për më tepër: $n\in \mathbb(N)$), kështu që numri më i madh i lejuar është saktësisht $n=15$, dhe në asnjë rast 16 .

Detyra nr 5. Në progresionin aritmetik $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Gjeni numrin e termit të parë pozitiv të këtij progresioni.

Ky do të ishte saktësisht i njëjti problem si ai i mëparshmi, por ne nuk e dimë $((a)_(1))$. Por termat fqinjë janë të njohur: $((a)_(5))$ dhe $((a)_(6))$, kështu që ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

Për më tepër, le të përpiqemi të shprehim termin e pestë përmes të parës dhe ndryshimin duke përdorur formulën standarde:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=(a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cpika 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fund (radhis)\]

Tani vazhdojmë në analogji me detyrën e mëparshme. Le të zbulojmë se në cilën pikë të sekuencës sonë do të shfaqen numrat pozitivë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((a)_(n))=-162+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Djathtas ((n)_(\min ))=56. \\ \fund (radhis)\]

Zgjidhja minimale e numrit të plotë për këtë pabarazi është numri 56.

Ju lutemi vini re: në detyrën e fundit gjithçka erdhi në pabarazi strikte, kështu që opsioni $n=55$ nuk do të na përshtatet.

Tani që kemi mësuar se si të zgjidhim probleme të thjeshta, le të kalojmë në ato më komplekse. Por së pari, le të studiojmë një veçori tjetër shumë të dobishme të progresioneve aritmetike, e cila do të na kursejë shumë kohë dhe qeliza të pabarabarta në të ardhmen.

Mesatarja aritmetike dhe dhëmbëzimi i barabartë

Le të shqyrtojmë disa terma të njëpasnjëshëm të progresionit aritmetik në rritje $\left(((a)_(n)) \right)$. Le të përpiqemi t'i shënojmë ato në vijën numerike:

Kushtet e një progresion aritmetik në vijën numerike

Kam shënuar në mënyrë specifike terma arbitrare $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dhe jo disa $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etj. Sepse rregulli për të cilin do t'ju tregoj tani funksionon njësoj për çdo "segment".

Dhe rregulli është shumë i thjeshtë. Le të kujtojmë formulën e përsëritur dhe ta shkruajmë atë për të gjithë termat e shënuar:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=(a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fund (radhis)\]

Megjithatë, këto barazi mund të rishkruhen ndryshe:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=(a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=(a)_(n))+3d; \\ \fund (radhis)\]

Pra, çfarë? Dhe fakti që termat $((a)_(n-1))$ dhe $((a)_(n+1))$ qëndrojnë në të njëjtën distancë nga $((a)_(n)) $ . Dhe kjo distancë është e barabartë me $d$. E njëjta gjë mund të thuhet për termat $((a)_(n-2))$ dhe $((a)_(n+2))$ - ato janë hequr gjithashtu nga $((a)_(n) )$ në të njëjtën distancë të barabartë me $2d$. Mund të vazhdojmë pafundësisht, por kuptimi ilustrohet mirë nga fotografia

Kushtet e progresionit shtrihen në të njëjtën distancë nga qendra

Çfarë do të thotë kjo për ne? Kjo do të thotë se $((a)_(n))$ mund të gjendet nëse numrat fqinjë janë të njohur:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne kemi nxjerrë një pohim të shkëlqyer: çdo term i një progresion aritmetik është i barabartë me mesataren aritmetike të termave fqinjë të tij! Për më tepër: ne mund të tërhiqemi nga $((a)_(n))$-ja jonë majtas dhe djathtas jo me një hap, por me hapa $k$ - dhe formula do të jetë ende e saktë:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ato. ne mund të gjejmë lehtësisht disa $((a)_(150))$ nëse dimë $((a)_(100))$ dhe $((a)_(200))$, sepse $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Në pamje të parë, mund të duket se ky fakt nuk na jep asgjë të dobishme. Megjithatë, në praktikë, shumë probleme janë përshtatur posaçërisht për të përdorur mesataren aritmetike. Hidhini një sy:

Detyra nr. 6. Gjeni të gjitha vlerat e $x$ për të cilat numrat $-6((x)^(2))$, $x+1$ dhe $14+4((x)^(2))$ janë terma të njëpasnjëshëm të një progresion aritmetik (në rendin e treguar).

Zgjidhje. Meqenëse këta numra janë anëtarë të një progresioni, kushti mesatar aritmetik është i plotësuar për ta: elementi qendror $x+1$ mund të shprehet në terma të elementeve fqinjë:

\[\filloj(rreshtoj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fund (radhis)\]

Rezultati është një ekuacion kuadratik klasik. Rrënjët e tij: $x=2$ dhe $x=-3$ janë përgjigjet.

Përgjigje: −3; 2.

Detyra nr 7. Gjeni vlerat e $$ për të cilat numrat $-1;4-3;(()^(2))+1$ formojnë një progresion aritmetik (në atë renditje).

Zgjidhje. Le të shprehim përsëri termin e mesëm përmes mesatares aritmetike të termave fqinjë:

\[\fillim(lidhoj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\katër \majtas| \cdot 2 \djathtas.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fund (radhis)\]

Përsëri ekuacion kuadratik. Dhe përsëri ka dy rrënjë: $x=6$ dhe $x=1$.

Përgjigje: 1; 6.

Nëse në procesin e zgjidhjes së një problemi dilni me disa numra brutalë, ose nuk jeni plotësisht të sigurt për saktësinë e përgjigjeve të gjetura, atëherë ekziston një teknikë e mrekullueshme që ju lejon të kontrolloni: a e kemi zgjidhur problemin saktë?

Le të themi në problemin nr. 6 morëm përgjigjet −3 dhe 2. Si mund të kontrollojmë që këto përgjigje janë të sakta? Le t'i lidhim ato në gjendjen origjinale dhe të shohim se çfarë ndodh. Më lejoni t'ju kujtoj se kemi tre numra ($-6(()^(2))$, $+1$ dhe $14+4(()^(2))$), të cilët duhet të formojnë një progresion aritmetik. Le të zëvendësojmë $x=-3$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=-3\Djathtas \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fund (radhis)\]

Morëm numrat −54; −2; 50 që ndryshojnë me 52 është padyshim një progresion aritmetik. E njëjta gjë ndodh për $x=2$:

\[\fillim(rreshtoj) & x=2\Djathtas shigjetë \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fund (radhis)\]

Përsëri një progresion, por me një diferencë prej 27. Kështu, problemi u zgjidh saktë. Ata që dëshirojnë mund ta kontrollojnë vetë problemin e dytë, por unë do të them menjëherë: gjithçka është e saktë edhe atje.

Në përgjithësi, gjatë zgjidhjes së problemeve të fundit, hasëm një fakt tjetër interesant që gjithashtu duhet të mbahet mend:

Nëse tre numra janë të tillë që i dyti është mesatarja aritmetike e të parit dhe të fundit, atëherë këta numra formojnë një progresion aritmetik.

Në të ardhmen, të kuptuarit e kësaj deklarate do të na lejojë të "ndërtojmë" fjalë për fjalë përparimet e nevojshme bazuar në kushtet e problemit. Por, përpara se të përfshihemi në një "ndërtim" të tillë, duhet t'i kushtojmë vëmendje një fakti tjetër, i cili rrjedh drejtpërdrejt nga ajo që tashmë është diskutuar.

Grupimi dhe përmbledhja e elementeve

Le të kthehemi përsëri në boshtin e numrave. Le të vërejmë atje disa anëtarë të progresionit, midis të cilëve, ndoshta. vlen për shumë anëtarë të tjerë:

Janë 6 elementë të shënuar në vijën numerike

Le të përpiqemi të shprehim "bishtin e majtë" përmes $((a)_(n))$ dhe $d$, dhe "bishtin e djathtë" përmes $((a)_(k))$ dhe $d$. Është shumë e thjeshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fund (radhis)\]

Tani vini re se shumat e mëposhtme janë të barabarta:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fund (radhis)\]

E thënë thjesht, nëse konsiderojmë si fillim dy elementë të progresionit, të cilët në total janë të barabartë me një numër $S$ dhe më pas fillojnë të dalin nga këta elementë në drejtime të kundërta (drejt njëri-tjetrit ose anasjelltas për t'u larguar), pastaj do të jenë të barabarta edhe shumat e elementeve mbi të cilat do të pengohemi$S$. Kjo mund të paraqitet më qartë grafikisht:

Dhimbjet e barabarta japin sasi të barabarta

Kuptimi i këtij fakti do të na lejojë të zgjidhim probleme të një niveli kompleksiteti thelbësisht më të lartë se ato që kemi konsideruar më sipër. Për shembull, këto:

Detyra nr 8. Përcaktoni ndryshimin e një progresioni aritmetik në të cilin termi i parë është 66, dhe prodhimi i termit të dytë dhe të dymbëdhjetë është më i vogli i mundshëm.

Zgjidhje. Le të shkruajmë gjithçka që dimë:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \fund (radhis)\]

Pra, ne nuk e dimë ndryshimin e progresionit $d$. Në fakt, e gjithë zgjidhja do të ndërtohet rreth diferencës, pasi produkti $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(lidhoj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=(a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\majtas(66+d \djathtas)\cdot \majtas(66+11d \djathtas)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \djathtas)\cdot \left(d+6 \djathtas). \fund (radhis)\]

Për ata në rezervuar: Kam marrë shumëzuesin e përgjithshëm prej 11 nga kllapa e dytë. Kështu, produkti i kërkuar është një funksion kuadratik në lidhje me variablin $d$. Prandaj, merrni parasysh funksionin $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiku i tij do të jetë një parabolë me degë lart, sepse nëse zgjerojmë kllapat, marrim:

\[\fillim(rreshtoj) & f\left(d \djathtas)=11\majtas(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \djathtas)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cpika 72d+11\cpika 66\cpika 6 \fund(radhis)\]

Siç mund ta shihni, koeficienti i termit më të lartë është 11 - ky është një numër pozitiv, kështu që vërtet kemi të bëjmë me një parabolë me degë lart:

grafiku i një funksioni kuadratik - parabolë
Ju lutemi vini re: kjo parabolë merr vlerën e saj minimale në kulmin e saj me abshissa $((d)_(0))$. Natyrisht, ne mund ta llogarisim këtë abshisë duke përdorur skemën standarde (ekziston formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), por do të ishte shumë më e arsyeshme të shënohet se kulmi i dëshiruar shtrihet në simetrinë e boshtit të parabolës, prandaj pika $((d)_(0))$ është e barabartë nga rrënjët e ekuacionit $f\left(d \right)=0$:

\[\fillim(rreshtoj) & f\majtas(d \djathtas)=0; \\ & 11\cdot \majtas(d+66 \djathtas)\cdot \majtas(d+6 \djathtas)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\katër ((d)_(2))=-6. \\ \fund (radhis)\]

Kjo është arsyeja pse nuk nxitova të hapja kllapat: në formën e tyre origjinale, rrënjët ishin shumë, shumë të lehta për t'u gjetur. Prandaj, abshisa është e barabartë me mesataren aritmetike të numrave −66 dhe −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Çfarë na jep numri i zbuluar? Me të, produkti i kërkuar merr vlerën më të vogël (nga rruga, ne kurrë nuk kemi llogaritur $((y)_(\min ))$ - kjo nuk kërkohet nga ne). Në të njëjtën kohë, ky numër është diferenca e progresionit origjinal, d.m.th. gjetëm përgjigjen. :)

Përgjigje: -36

Detyra nr. 9. Ndërmjet numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac(1)(6)$ futni tre numra në mënyrë që së bashku me këta numra të formojnë një progresion aritmetik.

Zgjidhje. Në thelb, ne duhet të bëjmë një sekuencë prej pesë numrash, me numrin e parë dhe të fundit të njohur tashmë. Le të shënojmë numrat që mungojnë me variablat $x$, $y$ dhe $z$:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \djathtas\ )\]

Vini re se numri $y$ është "mesi" i sekuencës sonë - është i barabartë nga numrat $x$ dhe $z$, dhe nga numrat $-\frac(1)(2)$ dhe $-\frac (1)(6)$. Dhe nëse aktualisht nuk mund të marrim $y$ nga numrat $x$ dhe $z$, atëherë situata është e ndryshme me skajet e progresionit. Le të kujtojmë mesataren aritmetike:

Tani, duke ditur $y$, do të gjejmë numrat e mbetur. Vini re se $x$ ndodhet midis numrave $-\frac(1)(2)$ dhe $y=-\frac(1)(3)$ që sapo gjetëm. Kjo është arsyeja pse

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, gjejmë numrin e mbetur:

Gati! I gjetëm të tre numrat. Le t'i shkruajmë në përgjigje sipas radhës në të cilën duhet të futen midis numrave origjinalë.

Përgjigje: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Detyra nr 10. Ndërmjet numrave 2 dhe 42, vendosni disa numra që së bashku me këta numra formojnë një progresion aritmetik, nëse e dini se shuma e numrave të parë, të dytë dhe të fundit është 56.

Zgjidhje. Një problem edhe më kompleks, i cili, megjithatë, zgjidhet sipas të njëjtës skemë si ato të mëparshme - përmes mesatares aritmetike. Problemi është se ne nuk e dimë saktësisht se sa numra duhet të futen. Prandaj, le të supozojmë me saktësi se pas futjes së gjithçkaje do të ketë saktësisht numra $n$, dhe i pari prej tyre është 2, dhe i fundit është 42. Në këtë rast, progresioni i kërkuar aritmetik mund të paraqitet në formën:

\[\left(((a)_(n)) \djathtas)=\majtas$ 2;((a)_(2));(a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \djathtas$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

Megjithatë, vini re se numrat $((a)_(2))$ dhe $((a)_(n-1))$ janë marrë nga numrat 2 dhe 42 në skajet me një hap drejt njëri-tjetrit, dmth. në qendër të sekuencës. Dhe kjo do të thotë se

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Por atëherë shprehja e shkruar më sipër mund të rishkruhet si më poshtë:

\[\filloj(liroj) & ((a)_(2))+(a)_(3))+(a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \djathtas)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fund (radhis)\]

Duke ditur $((a)_(3))$ dhe $((a)_(1))$, ne mund të gjejmë lehtësisht ndryshimin e progresionit:

\[\filloj(rreshtoj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\majtas(3-1 \djathtas)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Djathtas shigjetë d=5. \\ \fund (radhis)\]

Gjithçka që mbetet është të gjesh kushtet e mbetura:

\[\filloj(radhis) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cpika 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cpika 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cpika 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cpika 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cpika 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cpika 5=42; \\ \fund (radhis)\]

Kështu, tashmë në hapin e 9-të do të arrijmë në skajin e majtë të sekuencës - numrin 42. Gjithsej duheshin futur vetëm 7 numra: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Përgjigje: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme me fjalë me përparime

Si përfundim, do të doja të shqyrtoja disa probleme relativisht të thjeshta. Epo, kaq e thjeshtë: për shumicën e studentëve që studiojnë matematikë në shkollë dhe nuk kanë lexuar atë që është shkruar më sipër, këto probleme mund të duken të vështira. Sidoqoftë, këto janë llojet e problemeve që shfaqen në OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, kështu që ju rekomandoj që të njiheni me to.

Detyra nr. 11. Ekipi prodhoi 62 pjesë në janar, dhe në çdo muaj pasardhës ata prodhoi 14 pjesë më shumë se në muajin e kaluar. Sa pjesë prodhoi ekipi në nëntor?

Zgjidhje. Natyrisht, numri i pjesëve të renditura sipas muajve do të përfaqësojë një progresion aritmetik në rritje. Për më tepër:

\[\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=62;\katër d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 14. \\ \fund (rreshtoj)\]

Nëntori është muaji i 11-të i vitit, kështu që ne duhet të gjejmë $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cpika 14=202\]

Prandaj, 202 pjesë do të prodhohen në nëntor.

Detyra nr. 12. Punëtoria e libërlidhjes ka lidhur 216 libra në janar dhe në çdo muaj pasardhës ka lidhur 4 libra më shumë se një muaj më parë. Sa libra lidhi seminari në dhjetor?

Zgjidhje. Gjithçka është e njëjtë:

$\fillim(lidhoj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\majtas(n-1 \djathtas)\cdot 4. \\ \fund (rreshtoj)$

Dhjetori është muaji i fundit, i 12-të i vitit, kështu që ne po kërkojmë për $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Kjo është përgjigja - 260 libra do të lidhen në dhjetor.

Epo, nëse keni lexuar deri këtu, unë nxitoj t'ju përgëzoj: ju keni përfunduar me sukses "kursin e luftëtarëve të rinj" në përparimet aritmetike. Mund të kaloni me siguri në mësimin tjetër, ku do të studiojmë formulën për shumën e progresionit, si dhe pasojat e rëndësishme dhe shumë të dobishme prej saj.

Koncepti i një sekuence numrash nënkupton që çdo numër natyror korrespondon me një vlerë reale. Një seri e tillë numrash mund të jetë ose arbitrare ose të ketë veti të caktuara - një progresion. Në rastin e fundit, çdo element (anëtar) pasues i sekuencës mund të llogaritet duke përdorur atë të mëparshëm.

Një progresion aritmetik është një sekuencë vlerash numerike në të cilat anëtarët e tij fqinjë ndryshojnë nga njëri-tjetri me të njëjtin numër (të gjithë elementët e serisë, duke filluar nga i dyti, kanë një pronë të ngjashme). Ky numër - ndryshimi midis termave të mëparshëm dhe të mëpasshëm - është konstant dhe quhet ndryshim i progresionit.

Dallimi i progresionit: përkufizim

Konsideroni një sekuencë të përbërë nga j vlera A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j i përket grupit të numrave natyrorë N. Një aritmetike progresioni, sipas përkufizimit të tij, është një sekuencë, në të cilën a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vlera d është diferenca e dëshiruar e këtij progresi.

d = a(j) – a(j-1).

Theksoj:

Një progresion në rritje, në të cilin rast d > 0. Shembull: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Zvogëlimi i progresionit, pastaj d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresioni i ndryshimit dhe elementet e tij arbitrare

Nëse njihen 2 terma arbitrare të progresionit (i-të, k-të), atëherë ndryshimi për një sekuencë të caktuar mund të përcaktohet bazuar në marrëdhëniet:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, që do të thotë d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Dallimi i progresionit dhe termi i tij i parë

Kjo shprehje do të ndihmojë në përcaktimin e një vlere të panjohur vetëm në rastet kur dihet numri i elementit të sekuencës.

Diferenca e progresionit dhe shuma e tij

Shuma e një progresion është shuma e termave të tij. Për të llogaritur vlerën totale të elementeve të tij të parë j, përdorni formulën e duhur:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, por meqenëse a(j) = a(1) + d(j – 1), pastaj S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Cili është thelbi kryesor i formulës?

Kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë ME NUMRIN E TIJ" n" .

Sigurisht, duhet të dini edhe termin e parë a 1 dhe ndryshimi i progresionit d, mirë, pa këto parametra nuk mund të shkruani një progresion specifik.

Të mësosh përmendësh (ose të bësh krevat fëmijësh) këtë formulë nuk mjafton. Ju duhet të kuptoni thelbin e saj dhe të aplikoni formulën në probleme të ndryshme. Dhe gjithashtu për të mos harruar në momentin e duhur, po...) Si mos harro- Nuk e di. Por si të mbani mend Nëse është e nevojshme, unë patjetër do t'ju këshilloj. Për ata që e përfundojnë mësimin deri në fund.)

Pra, le të shohim formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Çfarë është një formulë në përgjithësi? Meqë ra fjala, hidhini një sy nëse nuk e keni lexuar. Gjithçka është e thjeshtë atje. Mbetet për të kuptuar se çfarë është mandati i nëntë.

Progresioni në përgjithësi mund të shkruhet si një seri numrash:

një 1, një 2, një 3, një 4, një 5, .....

a 1- tregon termin e parë të një progresion aritmetik, a 3- anëtari i tretë, a 4- e katërta, e kështu me radhë. Nëse na intereson mandati i pestë, le të themi se po punojmë a 5, nëse njëqind e njëzet - s një 120.

Si mund ta përkufizojmë atë në terma të përgjithshëm? ndonjë term i një progresion aritmetik, me ndonjë numri? Shumë e thjeshtë! Si kjo:

a n

Kjo është ajo termi i n-të i një progresion aritmetik. Shkronja n fsheh të gjithë numrat e anëtarëve menjëherë: 1, 2, 3, 4, e kështu me radhë.

Dhe çfarë na jep një rekord i tillë? Thjesht mendoni, në vend të një numri ata shkruan një letër...

Ky shënim na jep një mjet të fuqishëm për të punuar me progresionin aritmetik. Duke përdorur shënimin a n, ne mund ta gjejmë shpejt ndonjë anëtar ndonjë progresion aritmetik. Dhe zgjidhni një mori problemesh të tjera të përparimit. Do ta shihni vetë më tej.

Në formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- termi i parë i një progresion aritmetik;

n- numri i anëtarit.

Formula lidh parametrat kryesorë të çdo progresioni: a n ; a 1; d Dhe n. Të gjitha problemet e progresionit rrotullohen rreth këtyre parametrave.

Formula e termit të n-të mund të përdoret gjithashtu për të shkruar një progresion specifik. Për shembull, problemi mund të thotë se përparimi specifikohet nga kushti:

a n = 5 + (n-1) 2.

Një problem i tillë mund të çojë në një rrugë pa krye... Nuk ka as seri, as ndryshim... Por, duke krahasuar gjendjen me formulën, është e lehtë të kuptohet se në këtë progresion a 1 =5 dhe d=2.

Dhe mund të jetë edhe më keq!) Nëse marrim të njëjtin kusht: a n = 5 + (n-1) 2, Po, hapni kllapat dhe sillni të ngjashme? Ne marrim një formulë të re:

a n = 3 + 2n.

Kjo Jo vetëm e përgjithshme, por për një përparim specifik. Këtu fshihet gracka. Disa njerëz mendojnë se mandati i parë është tre. Edhe pse në realitet termi i parë është pesë... Pak më poshtë do të punojmë me një formulë të tillë të modifikuar.

Në problemet e progresionit ka një shënim tjetër - një n+1. Ky është, siç e keni marrë me mend, termi "n plus i pari" i progresionit. Kuptimi i tij është i thjeshtë dhe i padëmshëm.) Ky është një anëtar i progresionit, numri i të cilit është më i madh se numri n për një. Për shembull, nëse në ndonjë problem marrim a n mandati i pestë atëherë një n+1 do të jetë anëtari i gjashtë. Dhe të ngjashme.

Më shpesh emërtimi një n+1 gjendet në formulat e përsëritjes. Mos kini frikë nga kjo fjalë e frikshme!) Kjo është vetëm një mënyrë për të shprehur një anëtar të një progresion aritmetik përmes të mëparshmit. Le të themi se na është dhënë një progresion aritmetik në këtë formë, duke përdorur një formulë të përsëritur:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

E katërta - deri në të tretën, e pesta - deri në të katërtin, e kështu me radhë. Si mund të numërojmë menjëherë, le të themi, mandatin e njëzetë? një 20? Por nuk ka asnjë mënyrë!) Derisa të zbulojmë mandatin e 19-të, nuk mund të numërojmë të 20-tin. Ky është ndryshimi themelor midis formulës së përsëritur dhe formulës së termit të n-të. Punon përsëritëse vetëm përmes e mëparshme termi, dhe formula e mandatit të n-të është përmes së pari dhe lejon menjëherë gjeni ndonjë anëtar me numrin e tij. Pa llogaritur të gjithë serinë e numrave me radhë.

Në një progresion aritmetik, është e lehtë të shndërrohet një formulë e përsëritur në një të rregullt. Numëroni një çift termash të njëpasnjëshëm, llogarisni ndryshimin d, gjeni, nëse është e nevojshme, termin e parë a 1, shkruani formulën në formën e saj të zakonshme dhe punoni me të. Detyra të tilla ndeshen shpesh në Akademinë Shtetërore të Shkencave.

Zbatimi i formulës për mandatin e n-të të një progresion aritmetik.

Së pari, le të shohim zbatimin e drejtpërdrejtë të formulës. Në fund të mësimit të mëparshëm kishte një problem:

Është dhënë një progresion aritmetik (a n). Gjeni një 121 nëse a 1 =3 dhe d=1/6.

Ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formulë, thjesht bazuar në kuptimin e një progresion aritmetik. Shtoni dhe shtoni... Një ose dy orë.)

Dhe sipas formulës, zgjidhja do të zgjasë më pak se një minutë. Mund ta vendosësh.) Le të vendosim.

Kushtet ofrojnë të gjitha të dhënat për përdorimin e formulës: a 1 =3, d=1/6. Mbetet për të kuptuar se çfarë është e barabartë n. Nuk ka pyetje! Duhet të gjejmë a 121. Kështu ne shkruajmë:

Ju lutemi kushtojini vëmendje! Në vend të një indeksi n u shfaq një numër specifik: 121. që është mjaft logjike.) Na intereson anëtari i progresionit aritmetik. numri njëqind e njëzet e një. Kjo do të jetë e jona n. Ky është kuptimi n= 121 do të zëvendësojmë më tej në formulë, në kllapa. Ne i zëvendësojmë të gjithë numrat në formulë dhe llogarisim:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Kjo është ajo. Po aq shpejt dikush mund të gjente termin e pesëqind e dhjetë, dhe njëmijë e të tretën, cilindo. Ne vendosëm në vend n numri i dëshiruar në indeksin e shkronjës " nje" dhe në kllapa, dhe ne numërojmë.

Më lejoni t'ju kujtoj pikën: kjo formulë ju lejon të gjeni ndonjë termi i progresionit aritmetik ME NUMRIN E TIJ" n" .

Le ta zgjidhim problemin në një mënyrë më dinake. Le të hasim problemin e mëposhtëm:

Gjeni termin e parë të progresionit aritmetik (a n), nëse a 17 =-2; d=-0,5.

Nëse keni ndonjë vështirësi, unë do t'ju tregoj hapin e parë. Shkruani formulën për mandatin e n-të të një progresion aritmetik! Po, po. Shkruani me duart tuaja, pikërisht në fletoren tuaj:

a n = a 1 + (n-1)d

Dhe tani, duke parë shkronjat e formulës, kuptojmë se çfarë të dhënash kemi dhe çfarë mungon? Në dispozicion d=-0.5, ka një anëtar të shtatëmbëdhjetë... A është kjo? Nëse mendoni se është ashtu, atëherë nuk do ta zgjidhni problemin, po...

Kemi ende një numër n! Ne gjendje a 17 =-2 të fshehura dy parametra. Kjo është edhe vlera e termit të shtatëmbëdhjetë (-2) dhe numri i tij (17). ato. n=17. Kjo “gjakësi” shpesh rrëshqet nga koka dhe pa të, (pa “të vogël”, jo kokën!) problemi nuk mund të zgjidhet. Edhe pse... dhe pa kokë gjithashtu.)

Tani thjesht mund t'i zëvendësojmë marrëzi të dhënat tona në formulën:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh po, një 17 ne e dimë se është -2. Mirë, le të zëvendësojmë:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Kjo është në thelb e gjitha. Mbetet të shprehim termin e parë të progresionit aritmetik nga formula dhe ta llogarisim atë. Përgjigja do të jetë: a 1 = 6.

Kjo teknikë - duke shkruar një formulë dhe thjesht duke zëvendësuar të dhënat e njohura - është një ndihmë e madhe në detyra të thjeshta. Epo, sigurisht, duhet të jeni në gjendje të shprehni një variabël nga një formulë, por çfarë të bëni!? Pa këtë aftësi, matematika mund të mos studiohet fare...

Një tjetër enigmë popullore:

Gjeni ndryshimin e progresionit aritmetik (a n), nëse a 1 =2; a 15 = 12.

çfarë po bëjmë? Do të habiteni, ne po shkruajmë formulën!)

a n = a 1 + (n-1)d

Le të shqyrtojmë atë që dimë: a 1 = 2; a 15 = 12; dhe (do të theksoj veçanërisht!) n=15. Mos ngurroni ta zëvendësoni këtë në formulën:

12=2 + (15-1)d

Ne bëjmë aritmetikën.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Kjo është përgjigja e saktë.

Pra, detyrat për a n, a 1 Dhe d vendosi. E tëra që mbetet është të mësoni se si të gjeni numrin:

Numri 99 është anëtar i progresionit aritmetik (a n), ku a 1 =12; d=3. Gjeni numrin e këtij anëtari.

Ne zëvendësojmë sasitë e njohura për ne në formulën e termit të n-të:

a n = 12 + (n-1) 3

Në shikim të parë, ka dy sasi të panjohura këtu: një n dhe n. Por a n- ky është një pjesëtar i progresionit me një numër n...Dhe ne e njohim këtë anëtar të progresionit! Është 99. Nuk e dimë numrin e tij. n, Pra, ky numër është ajo që ju duhet të gjeni. Ne e zëvendësojmë termin e progresionit 99 në formulën:

99 = 12 + (n-1) 3

Ne shprehemi nga formula n, mendojmë ne. Ne marrim përgjigjen: n=30.

Dhe tani një problem për të njëjtën temë, por më kreativ):

Përcaktoni nëse numri 117 është anëtar i progresionit aritmetik (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Le të shkruajmë formulën përsëri. Çfarë, nuk ka parametra? Hm... Pse na janë dhënë sytë?) A e shohim termin e parë të progresionit? ne shohim. Kjo është -3.6. Ju mund të shkruani me siguri: a 1 = -3,6. Diferenca d Mund ta dalloni nga seriali? Është e lehtë nëse e dini se cili është ndryshimi i një progresion aritmetik:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Pra, bëmë gjënë më të thjeshtë. Mbetet vetëm të merremi me numrin e panjohur n dhe numri i pakuptueshëm 117. Në problemin e mëparshëm të paktën dihej se ishte termi i progresionit që jepej. Por këtu as që dimë... Çfarë të bëjmë!? Epo, si të jesh, si të jesh ... Ndizni aftësitë tuaja krijuese!)

ne supozojmë se 117 është, në fund të fundit, një anëtar i përparimit tonë. Me një numër të panjohur n. Dhe, ashtu si në problemin e mëparshëm, le të përpiqemi të gjejmë këtë numër. ato. ne shkruajmë formulën (po, po!)) dhe zëvendësojmë numrat tanë:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Përsëri shprehemi nga formulan, numërojmë dhe marrim:

Oops! Numri doli thyesore! Njëqind e një e gjysmë. Dhe numrat thyesorë në progresione nuk ndodh.Çfarë përfundimi mund të nxjerrim? po! Numri 117 nuk është anëtar i përparimit tonë. Është diku midis mandateve njëqind e parë dhe njëqind e dytë. Nëse numri doli i natyrshëm, d.m.th. është një numër i plotë pozitiv, atëherë numri do të ishte anëtar i progresionit me numrin e gjetur. Dhe në rastin tonë, përgjigja e problemit do të jetë: Nr.

Një detyrë e bazuar në një version real të GIA:

Një progresion aritmetik jepet nga kushti:

a n = -4 + 6,8n

Gjeni termat e parë dhe të dhjetë të progresionit.

Këtu progresi është vendosur në një mënyrë të pazakontë. Një lloj formule... Ndodh.) Megjithatë, kjo formulë (siç kam shkruar më lart) - edhe formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik! Ajo gjithashtu lejon gjeni ndonjë anëtar të progresionit sipas numrit të tij.

Ne jemi në kërkim të anëtarit të parë. Ai që mendon. që termi i parë është minus katër është gabim fatal!) Sepse formula në problem është modifikuar. Termi i parë i progresionit aritmetik në të të fshehura.Është në rregull, do ta gjejmë tani.)

Ashtu si në problemet e mëparshme, ne zëvendësojmë n=1 në këtë formulë:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Këtu! Termi i parë është 2.8, jo -4!

Ne e kërkojmë termin e dhjetë në të njëjtën mënyrë:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

Kjo është ajo.

Dhe tani, për ata që i kanë lexuar këto rreshta, bonusi i premtuar.)

Supozoni, në një situatë të vështirë luftarake të Provimit të Shtetit ose Provimit të Unifikuar të Shtetit, ju keni harruar formulën e dobishme për mandatin e n-të të një progresion aritmetik. Më kujtohet diçka, por disi e pasigurt... Ose n atje, ose n+1, ose n-1... Si të jesh!?

Qetë! Kjo formulë është e lehtë për t'u nxjerrë. Nuk është shumë e rreptë, por është padyshim e mjaftueshme për besimin dhe vendimin e duhur!) Për të nxjerrë një përfundim, mjafton të mbani mend kuptimin elementar të një përparimi aritmetik dhe të keni disa minuta kohë. Thjesht duhet të vizatoni një foto. Për qartësi.

Vizatoni një vijë numerike dhe shënoni të parën në të. e dyta, e treta etj. anëtarët. Dhe ne vërejmë ndryshimin d ndërmjet anëtarëve. Si kjo:

Ne shikojmë figurën dhe mendojmë: me çfarë është termi i dytë? Së dyti një d:

a 2 =a 1 + 1 d

Cili është termi i tretë? Së treti termi është i barabartë me termin e parë plus dy d.

a 3 =a 1 + 2 d

E kuptoni? Jo më kot theksoj disa fjalë me shkronja të zeza. Mirë, një hap më shumë).

Cili është termi i katërt? Së katërti termi është i barabartë me termin e parë plus tre d.

a 4 =a 1 + 3 d

Është koha për të kuptuar se numri i boshllëqeve, d.m.th. d, Gjithmonë një më pak se numri i anëtarit që kërkoni n. Kjo është, në numrin n, numri i hapësirave do n-1. Prandaj, formula do të jetë (pa ndryshime!):

a n = a 1 + (n-1)d

Në përgjithësi, fotografitë vizuale janë shumë të dobishme në zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë. Mos i lini pas dore fotot. Por nëse është e vështirë të vizatoni një figurë, atëherë ... vetëm një formulë!) Për më tepër, formula e termit të nëntë ju lejon të lidhni të gjithë arsenalin e fuqishëm të matematikës me zgjidhjen - ekuacione, pabarazi, sisteme, etj. Nuk mund të futësh një fotografi në ekuacion...

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

Për tu ngrohur:

1. Në progresionin aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Gjeni një 3.

Këshillë: sipas fotos problemi zgjidhet për 20 sekonda... Sipas formulës del më i vështirë. Por për të zotëruar formulën, është më e dobishme.) Në seksionin 555, ky problem zgjidhet duke përdorur si figurën ashtu edhe formulën. Ndjeni ndryshimin!)

Dhe kjo nuk është më një ngrohje.)

2. Në progresion aritmetik (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Gjeni një 3.

Çfarë, nuk doni të vizatoni një foto?) Sigurisht! Më mirë sipas formulës, po...

3. Progresioni aritmetik jepet nga kushti:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Gjeni termin e njëqind e njëzet e pestë të këtij progresioni.

Në këtë detyrë, progresioni specifikohet në mënyrë të përsëritur. Por duke numëruar deri në mandatin e njëqind e njëzet e pestë... Jo të gjithë mund ta bëjnë një sukses të tillë.) Por formula për mandatin e n-të është në fuqinë e secilit!

4. Jepet një progresion aritmetik (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Gjeni numrin e termit më të vogël pozitiv të progresionit.

5. Sipas kushteve të detyrës 4, gjeni shumën e termave më të vegjël pozitivë dhe më të mëdhenj negativë të progresionit.

6. Prodhimi i termave të pestë dhe të dymbëdhjetë të një progresioni aritmetik në rritje është i barabartë me -2,5, dhe shuma e anëtarëve të tretë dhe të njëmbëdhjetë është e barabartë me zero. Gjeni një 14.

Jo detyra më e lehtë, po...) Metoda "maja e gishtit" nuk do të funksionojë këtu. Ju do të duhet të shkruani formula dhe të zgjidhni ekuacione.

Përgjigjet (në rrëmujë):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

A funksionoi? Është bukur!)

Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Nga rruga, ka një pikë delikate në detyrën e fundit. Do të kërkohet kujdes kur lexoni problemin. Dhe logjika.

Zgjidhja e të gjitha këtyre problemeve diskutohet në detaje në seksionin 555. Dhe elementi i fantazisë për të katërtin, dhe pika delikate për të gjashtën, dhe qasjet e përgjithshme për zgjidhjen e çdo problemi që përfshin formulën e termit të nëntë - gjithçka përshkruhet. Unë e rekomandoj atë.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

I. V. Yakovlev | Materialet e matematikës | MathUs.ru

Progresioni aritmetik

Një progresion aritmetik është një lloj i veçantë sekuence. Prandaj, përpara se të përcaktojmë progresionin aritmetik (dhe më pas gjeometrik), duhet të diskutojmë shkurtimisht konceptin e rëndësishëm të sekuencës së numrave.

Pasoja

Imagjinoni një pajisje në ekranin e së cilës shfaqen numra të caktuar njëri pas tjetrit. Le të themi 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ky grup numrash është pikërisht një shembull i një sekuence.

Përkufizimi. Një sekuencë numrash është një grup numrash në të cilët çdo numri mund t'i caktohet një numër unik (d.m.th. i lidhur me një numër të vetëm natyror)1. Numri n quhet termi i n-të i sekuencës.

Pra, në shembullin e mësipërm, numri i parë është 2, ky është anëtari i parë i sekuencës, i cili mund të shënohet me a1; numri pesë ka numrin 6 është termi i pestë i sekuencës, i cili mund të shënohet me a5. Në përgjithësi, termi i n-të i një sekuence shënohet me një (ose bn, cn, etj.).

Një situatë shumë e përshtatshme është kur termi i n-të i sekuencës mund të specifikohet me ndonjë formulë. Për shembull, formula an = 2n 3 specifikon sekuencën: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n specifikon sekuencën: 1; 1; 1; 1; : ::

Jo çdo grup numrash është një sekuencë. Kështu, një segment nuk është një sekuencë; ai përmban numra "shumë" për t'u rinumëruar. Bashkësia R e të gjithë numrave realë nuk është gjithashtu një sekuencë. Këto fakte vërtetohen gjatë analizës matematikore.

Progresioni aritmetik: përkufizimet bazë

Tani jemi gati të përcaktojmë një progresion aritmetik.

Përkufizimi. Një progresion aritmetik është një sekuencë në të cilën çdo term (duke filluar nga i dyti) është i barabartë me shumën e termit të mëparshëm dhe një numër fiks (i quajtur diferenca e progresionit aritmetik).

Për shembull, sekuenca 2; 5; 8; 11; : : : është një progresion aritmetik me termin e parë 2 dhe diferencën 3. Sekuenca 7; 2; 3; 8; : : : është një progresion aritmetik me termin e parë 7 dhe diferencën 5. Sekuenca 3; 3; 3; : : : është një progresion aritmetik me një ndryshim të barabartë me zero.

Përkufizimi ekuivalent: sekuenca an quhet progresion aritmetik nëse diferenca an+1 an është një vlerë konstante (e pavarur nga n).

Një progresion aritmetik quhet në rritje nëse diferenca e tij është pozitive dhe zvogëlohet nëse diferenca e tij është negative.

1 Por këtu është një përkufizim më konciz: një sekuencë është një funksion i përcaktuar në grupin e numrave natyrorë. Për shembull, një sekuencë numrash realë është një funksion f: N ! R.

Si parazgjedhje, sekuencat konsiderohen të pafundme, domethënë përmbajnë një numër të pafund numrash. Por askush nuk na shqetëson të marrim parasysh sekuencat e fundme; në fakt, çdo grup i kufizuar numrash mund të quhet sekuencë e fundme. Për shembull, sekuenca përfundimtare është 1; 2; 3; 4; 5 përbëhet nga pesë numra.

Formula për mandatin e n-të të një progresion aritmetik

Është e lehtë të kuptohet se një progresion aritmetik përcaktohet plotësisht nga dy numra: termi i parë dhe ndryshimi. Prandaj, lind pyetja: si, duke ditur termin e parë dhe ndryshimin, të gjejmë një term arbitrar të një progresion aritmetik?

Nuk është e vështirë për të marrë formulën e kërkuar për termin e n-të të një progresion aritmetik. Le të një

progresion aritmetik me diferencë d. Ne kemi:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Në veçanti, ne shkruajmë:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
dhe tani bëhet e qartë se formula për një është:
an = a1 + (n 1)d:

Problemi 1. Në progresionin aritmetik 2; 5; 8; 11; : : : gjeni formulën për anëtarin e n-të dhe njehsoni anëtarin e qindtë.

Zgjidhje. Sipas formulës (1) kemi:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Vetia dhe shenja e progresionit aritmetik

Vetia e progresionit aritmetik. Në progresionin aritmetik një për çdo

Me fjalë të tjera, çdo anëtar i një progresion aritmetik (duke filluar nga i dyti) është mesatarja aritmetike e anëtarëve fqinjë.

	Dëshmi. Ne kemi:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

që është ajo që kërkohej.

Në përgjithësi, progresioni aritmetik a plotëson barazinë

a n = a n k+ a n+k

për çdo n > 2 dhe çdo k natyral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Rezulton se formula (2) shërben jo vetëm si një kusht i domosdoshëm, por edhe si një kusht i mjaftueshëm që sekuenca të jetë një progresion aritmetik.

Shenja e progresionit aritmetik. Nëse barazia (2) vlen për të gjitha n > 2, atëherë sekuenca an është një progresion aritmetik.

Dëshmi. Le ta rishkruajmë formulën (2) si më poshtë:

a na n 1= a n+1a n:

Nga kjo mund të shohim se ndryshimi an+1 an nuk varet nga n, dhe kjo do të thotë saktësisht se sekuenca an është një progresion aritmetik.

Vetia dhe shenja e një progresioni aritmetik mund të formulohen në formën e një deklarate; Për lehtësi, ne do ta bëjmë këtë për tre numra (kjo është situata që ndodh shpesh në probleme).

Karakterizimi i një progresion aritmetik. Tre numra a, b, c formojnë një progresion aritmetik nëse dhe vetëm nëse 2b = a + c.

Problemi 2. (MSU, Fakulteti Ekonomik, 2007) Tre numra 8x, 3 x2 dhe 4 në rendin e treguar formojnë një progresion aritmetik në rënie. Gjeni x dhe tregoni ndryshimin e këtij progresioni.

Zgjidhje. Nga vetia e progresionit aritmetik kemi:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Nëse x = 1, atëherë marrim një progresion në rënie prej 8, 2, 4 me një ndryshim prej 6. Nëse x = 5, atëherë marrim një progresion në rritje prej 40, 22, 4; ky rast nuk është i përshtatshëm.

Përgjigje: x = 1, ndryshimi është 6.

Shuma e n termave të parë të një progresion aritmetik

Legjenda thotë se një ditë mësuesi u tha fëmijëve të gjenin shumën e numrave nga 1 deri në 100 dhe u ul në heshtje për të lexuar gazetën. Megjithatë, brenda pak minutash, një djalë tha se e kishte zgjidhur problemin. Ky ishte 9-vjeçari Carl Friedrich Gauss, më vonë një nga matematikanët më të mëdhenj në histori.

Ideja e Gausit të vogël ishte si më poshtë. Le

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Le ta shkruajmë këtë shumë në rend të kundërt:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

dhe shtoni këto dy formula:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Çdo term në kllapa është i barabartë me 101, dhe gjithsej janë 100 terma të tillë

2S = 101 100 = 10100;

Ne e përdorim këtë ide për të nxjerrë formulën e shumës

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Një modifikim i dobishëm i formulës (3) merret nëse zëvendësojmë formulën e termit të n-të an = a1 + (n 1)d në të:

		2a1 + (n 1)d

Problemi 3. Gjeni shumën e të gjithë numrave treshifrorë pozitivë të pjesëtueshëm me 13.

Zgjidhje. Numrat treshifrorë që janë shumëfish të 13 formojnë një progresion aritmetik ku termi i parë është 104 dhe diferenca është 13; Termi i n-të i këtij progresioni ka formën:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Le të zbulojmë se sa terma përmban përparimi ynë. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim pabarazinë:

një 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Pra, janë 69 anëtarë në ecurinë tonë. Duke përdorur formulën (4) gjejmë sasinë e kërkuar:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Ose aritmetika është një lloj sekuence numerike e renditur, vetitë e së cilës studiohen në një kurs algjebër shkollore. Ky artikull diskuton në detaje pyetjen se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik.

Çfarë lloj progresi është ky?

Para se të kaloni në pyetjen (si të gjeni shumën e një progresion aritmetik), ia vlen të kuptoni se për çfarë po flasim.

Çdo sekuencë e numrave realë që fitohet duke shtuar (zbritur) ndonjë vlerë nga çdo numër i mëparshëm quhet progresion algjebrik (aritmetik). Ky përkufizim, kur përkthehet në gjuhën matematikore, merr formën:

Këtu i është numri serial i elementit të rreshtit a i. Kështu, duke ditur vetëm një numër fillestar, mund ta riktheni lehtësisht të gjithë serinë. Parametri d në formulë quhet ndryshim i progresionit.

Mund të tregohet lehtësisht se për serinë e numrave në shqyrtim vlen barazia e mëposhtme:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Kjo do të thotë, për të gjetur vlerën e elementit të n-të me radhë, duhet të shtoni ndryshimin d në elementin e parë a 1 n-1 herë.

Sa është shuma e një progresion aritmetik: formula

Para se të jepni formulën për shumën e treguar, ia vlen të merret parasysh një rast i thjeshtë i veçantë. Duke pasur parasysh një progresion të numrave natyrorë nga 1 në 10, ju duhet të gjeni shumën e tyre. Meqenëse ka pak terma në progresion (10), është e mundur të zgjidhet problemi kokë më kokë, domethënë të mblidhen të gjithë elementët në rend.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vlen të merret në konsideratë një gjë interesante: meqenëse çdo term ndryshon nga tjetri me të njëjtën vlerë d = 1, atëherë mbledhja në çift e të parit me të dhjetën, të dytën me të nëntën e kështu me radhë do të japë të njëjtin rezultat. Vërtet:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Siç mund ta shihni, janë vetëm 5 nga këto shuma, domethënë saktësisht dy herë më pak se numri i elementeve të serisë. Pastaj duke shumëzuar numrin e shumave (5) me rezultatin e secilës shumë (11), do të arrini në rezultatin e marrë në shembullin e parë.

Nëse i përgjithësojmë këto argumente, mund të shkruajmë shprehjen e mëposhtme:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Kjo shprehje tregon se nuk është aspak e nevojshme të mblidhen të gjithë elementët në një rresht, mjafton të dihet vlera e të parit a 1 dhe të fundit a n, si dhe numri i përgjithshëm i termave n;

Besohet se Gauss-i e mendoi për herë të parë këtë barazi kur ai po kërkonte një zgjidhje për një problem të dhënë nga mësuesi i shkollës së tij: të mbledhë 100 numrat e parë të plotë.

Shuma e elementeve nga m në n: formula

Formula e dhënë në paragrafin e mëparshëm i përgjigjet pyetjes se si të gjendet shuma e një progresion aritmetik (elementet e parë), por shpesh në problema është e nevojshme të përmblidhet një seri numrash në mes të progresionit. Si ta bëni këtë?

Mënyra më e lehtë për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje është duke shqyrtuar shembullin e mëposhtëm: le të jetë e nevojshme të gjendet shuma e termave nga m-ta në n-të. Për të zgjidhur problemin, duhet të paraqisni segmentin e dhënë nga m në n të progresionit në formën e një serie të re numrash. Në këtë paraqitje, termi i mth a m do të jetë i pari dhe a n do të numërohet n-(m-1). Në këtë rast, duke zbatuar formulën standarde për shumën, do të merret shprehja e mëposhtme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Shembull i përdorimit të formulave

Duke ditur se si të gjeni shumën e një progresion aritmetik, ia vlen të merret parasysh një shembull i thjeshtë i përdorimit të formulave të mësipërme.

Më poshtë është një sekuencë numerike, ju duhet të gjeni shumën e termave të saj, duke filluar nga 5 dhe duke përfunduar me 12:

Numrat e dhënë tregojnë se ndryshimi d është i barabartë me 3. Duke përdorur shprehjen për elementin e n-të, mund të gjeni vlerat e termave të 5-të dhe të 12-të të progresionit. Rezulton:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Duke ditur vlerat e numrave në skajet e progresionit algjebrik në shqyrtim, dhe gjithashtu duke ditur se cilat numra në serinë zënë, mund të përdorni formulën për shumën e marrë në paragrafin e mëparshëm. Do të rezultojë:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vlen të përmendet se kjo vlerë mund të merret ndryshe: së pari gjeni shumën e 12 elementëve të parë duke përdorur formulën standarde, më pas llogaritni shumën e 4 elementëve të parë duke përdorur të njëjtën formulë, pastaj zbrisni të dytin nga shuma e parë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve