Gjetje diskriminuese. Ekuacionet kuadratike

Diskriminuesi, si ekuacionet kuadratike, fillon të studiohet në një kurs algjebër në klasën e 8-të. Ju mund të zgjidhni një ekuacion kuadratik përmes një diskriminuesi dhe duke përdorur teoremën e Vietës. Metoda e studimit të ekuacioneve kuadratike, si dhe formulat diskriminuese, u mësohet nxënësve pa sukses, si shumë gjëra në arsimin real. Prandaj kalojnë vitet shkollore, arsimi në klasat 9-11 zëvendëson " arsimin e lartë"Dhe të gjithë po shikojnë përsëri - "Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik?", "Si të gjejmë rrënjët e ekuacionit?", "Si të gjejmë diskriminuesin?" Dhe...

Formula diskriminuese

Diskriminuesi D ekuacioni kuadratik a*x^2+bx+c=0 është e barabartë me D=b^2–4*a*c.
Rrënjët (zgjidhjet) e një ekuacioni kuadratik varen nga shenja e diskriminuesit (D):
D>0 – ekuacioni ka 2 rrënjë reale të ndryshme;
D=0 - ekuacioni ka 1 rrënjë (2 rrënjë që përputhen):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве numra komplekse një ekuacion me një diskriminues negativ ka dy rrënjë komplekse.
Formula për llogaritjen e diskriminuesit është mjaft e thjeshtë, kështu që shumë faqe interneti ofrojnë një kalkulator diskriminues në internet. Ne nuk e kemi kuptuar ende këtë lloj skripti, kështu që nëse dikush e di se si ta zbatojë këtë, ju lutemi na shkruani me email Kjo adresë emaili mbrohet nga spambotet e padëshiruara. Duhet të keni aktivizuar JavaScript për ta parë atë. .

Formula e përgjithshme për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik:

Ne gjejmë rrënjët e ekuacionit duke përdorur formulën
Nëse koeficienti i një ndryshoreje në katror është çiftuar, atëherë këshillohet të llogaritet jo diskriminuesi, por pjesa e katërt e tij
Në raste të tilla, rrënjët e ekuacionit gjenden duke përdorur formulën

Mënyra e dytë për të gjetur rrënjët është teorema e Vietës.

Teorema është formuluar jo vetëm për ekuacionet kuadratike, por edhe për polinomet. Ju mund ta lexoni këtë në Wikipedia ose burime të tjera elektronike. Megjithatë, për ta thjeshtuar, le të shqyrtojmë pjesën që ka të bëjë me ekuacionet kuadratike të mësipërme, pra ekuacionet e formës (a=1)
Thelbi i formulave të Vietës është se shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë me koeficientin e ndryshores, marrë me shenjën e kundërt. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është i barabartë me termin e lirë. Teorema e Vietës mund të shkruhet në formula.
Derivimi i formulës së Vietës është mjaft i thjeshtë. Le të shkruajmë ekuacionin kuadratik përmes faktorëve të thjeshtë
Siç mund ta shihni, çdo gjë e zgjuar është e thjeshtë në të njëjtën kohë. Është efektive të përdoret formula e Vietës kur ndryshimi në modulin e rrënjëve ose ndryshimi në modulin e rrënjëve është 1, 2. Për shembull, ekuacionet e mëposhtme, sipas teoremës së Vietës, kanë rrënjë




Deri në 4 ekuacione analiza duhet të duket si si më poshtë. Prodhimi i rrënjëve të ekuacionit është 6, prandaj rrënjët mund të jenë vlerat (1, 6) dhe (2, 3) ose çifte me shenja të kundërta. Shuma e rrënjëve është 7 (koeficienti i ndryshores me shenjë të kundërt). Nga këtu konkludojmë se zgjidhjet e ekuacionit kuadratik janë x=2; x=3.
Është më e lehtë të zgjedhësh rrënjët e ekuacionit midis pjesëtuesve të termit të lirë, duke rregulluar shenjën e tyre për të përmbushur formulat Vieta. Në fillim, kjo duket e vështirë për t'u bërë, por me praktikë në një sërë ekuacionesh kuadratike, kjo teknikë do të rezultojë të jetë më efektive sesa llogaritja e diskriminuesit dhe gjetja e rrënjëve të ekuacionit kuadratik në mënyrën klasike.
Siç mund ta shihni, teoria e shkollës për studimin e diskriminimit dhe metodave për të gjetur zgjidhje për ekuacionin nuk ka kuptim praktik - "Pse nxënësve të shkollës u nevojitet një ekuacion kuadratik?", "Cili është kuptimi fizik i diskriminuesit?"

Le të përpiqemi ta kuptojmë Çfarë përshkruan diskriminuesi?

Në kursin e algjebrës studiojnë funksionet, skemat për studimin e funksioneve dhe ndërtimin e grafikut të funksioneve. Nga të gjitha funksionet, një vend të rëndësishëm zë parabola, ekuacioni i së cilës mund të shkruhet në formën
Pra, kuptimi fizik i ekuacionit kuadratik është zerot e parabolës, domethënë pikat e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin e abshisave Ox.
Ju kërkoj të mbani mend vetitë e parabolave ​​që përshkruhen më poshtë. Do të vijë koha për të marrë provime, teste ose provime pranuese dhe do të jeni mirënjohës për materialin referues. Shenja e variablit në katror korrespondon nëse degët e parabolës në grafik do të shkojnë lart (a>0),

ose një parabolë me degë poshtë (a<0) .

Maja e parabolës shtrihet në mes të rrugës midis rrënjëve

Kuptimi fizik i diskriminuesit:

Nëse diskriminuesi është më i madh se zero (D>0) parabola ka dy pika kryqëzimi me boshtin Ox.
Nëse diskriminuesi e barabartë me zero(D=0) atëherë parabola në kulm prek boshtin x.
DHE rasti i fundit, kur diskriminuesi është më i vogël se zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion që duket si sëpatë 2 + dx + c = 0. Ka kuptim a, c Dhe Meçdo numër, dhe A jo e barabartë me zero.

Të gjitha ekuacionet kuadratike ndahen në disa lloje, përkatësisht:

Ekuacione me vetëm një rrënjë.
-Ekuacionet me dy rrënjë të ndryshme.
-Ekuacione në të cilat nuk ka rrënjë fare.

Kjo dallon ekuacionet lineare në të cilat rrënja është gjithmonë e njëjtë, nga ato katrore. Për të kuptuar se sa rrënjë janë në shprehje, ju duhet Diskriminues i një ekuacioni kuadratik.

Le të supozojmë ekuacionin tonë ax 2 + dx + c =0. Mjetet diskriminues i një ekuacioni kuadratik -

D = b 2 - 4 ac

Dhe kjo duhet të mbahet mend përgjithmonë. Duke përdorur këtë ekuacion ne përcaktojmë numrin e rrënjëve në ekuacionin kuadratik. Dhe ne e bëjmë atë në këtë mënyrë:

Kur D është më i vogël se zero, nuk ka rrënjë në ekuacion.
- Kur D është zero, ka vetëm një rrënjë.
- Kur D është më i madh se zero, ekuacioni ka dy rrënjë.
Mos harroni se diskriminuesi tregon se sa rrënjë janë në ekuacion pa ndryshuar shenjat.

Le të shqyrtojmë për qartësi:

Duhet të zbulojmë se sa rrënjë ka në këtë ekuacion kuadratik.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

Fusim vlerat në ekuacionin e parë dhe gjejmë diskriminuesin.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Diskriminuesi ka një shenjë plus, që do të thotë se ka dy rrënjë në këtë barazi.

Ne bëjmë të njëjtën gjë me ekuacionin e dytë
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Vlera është negative, që do të thotë se nuk ka rrënjë në këtë barazi.

Le të zgjerojmë ekuacionin e mëposhtëm me analogji.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
si pasojë kemi një rrënjë në ekuacion.

Është e rëndësishme që në çdo ekuacion të kemi shkruar koeficientët. Sigurisht, ky nuk është një proces shumë i gjatë, por na ndihmoi të mos ngatërroheshim dhe parandaluam që të ndodhnin gabime. Nëse i zgjidhni shumë shpesh ekuacione të ngjashme, atëherë mund t'i kryeni llogaritjet mendërisht dhe të dini paraprakisht se sa rrënjë ka ekuacioni.

Le të shohim një shembull tjetër:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

Le të parashtrojmë të parën
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, që është më e madhe se zero, që do të thotë dy rrënjë, le t'i nxjerrim ato
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Ne shtrojmë të dytën
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, që është më e madhe se zero dhe gjithashtu ka dy rrënjë. Le t'i nxjerrim ato:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Ne shtrojmë të tretën
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, që është e barabartë me zero dhe ka një rrënjë
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Zgjidhja e këtyre ekuacioneve nuk është e vështirë.

Nëse na jepet një ekuacion kuadratik jo i plotë. Të tilla si

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Këto ekuacione ndryshojnë nga ato të mësipërme, pasi nuk është i plotë, nuk ka vlerë të tretë në të. Por pavarësisht kësaj, ai është më i thjeshtë se një ekuacion i plotë kuadratik dhe nuk ka nevojë të kërkoni një diskriminues në të.

Çfarë duhet të bëni kur keni nevojë urgjente për një tezë ose ese, por nuk keni kohë për ta shkruar atë? E gjithë kjo dhe shumë më tepër mund të porositen në faqen e internetit Deeplom.by (http://deeplom.by/) dhe të merrni rezultatin më të lartë.

Ekuacionet kuadratike studiohen në klasën e 8-të, kështu që nuk ka asgjë të komplikuar këtu. Aftësia për t'i zgjidhur ato është absolutisht e nevojshme.

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c janë numra arbitrarë dhe a ≠ 0.

Para se të studioni metoda specifike të zgjidhjes, vini re se të gjitha ekuacionet kuadratike mund të ndahen në tre klasa:

1. nuk kanë rrënjë;
2. Të ketë saktësisht një rrënjë;
3. Ata kanë dy rrënjë të ndryshme.

Ky është një ndryshim i rëndësishëm midis ekuacioneve kuadratike dhe atyre lineare, ku rrënja ekziston gjithmonë dhe është unike. Si të përcaktohet se sa rrënjë ka një ekuacion? Ka një gjë të mrekullueshme për këtë - diskriminuese.

Diskriminues

Le të jepet ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 Atëherë diskriminuesi është thjesht numri D = b 2 − 4ac.

Ju duhet ta dini këtë formulë përmendësh. Nga vjen nuk ka rëndësi tani. Një gjë tjetër është e rëndësishme: me shenjën e diskriminuesit mund të përcaktoni se sa rrënjë ka një ekuacion kuadratik. Gjegjësisht:

1. Nëse D< 0, корней нет;
2. Nëse D = 0, ka saktësisht një rrënjë;
3. Nëse D > 0, do të ketë dy rrënjë.

Ju lutemi vini re: diskriminuesi tregon numrin e rrënjëve, dhe aspak shenjat e tyre, siç besojnë për disa arsye shumë njerëz. Hidhini një sy shembujve dhe do të kuptoni gjithçka vetë:

Detyrë. Sa rrënjë kanë ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Le të shkruajmë koeficientët për ekuacionin e parë dhe të gjejmë diskriminuesin:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Pra, diskriminuesi është pozitiv, pra ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Ne analizojmë ekuacionin e dytë në mënyrë të ngjashme:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminuesi është negativ, nuk ka rrënjë. Ekuacioni i fundit i mbetur është:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminuesi është zero - rrënja do të jetë një.

Ju lutemi vini re se koeficientët janë shkruar për çdo ekuacion. Po, është e gjatë, po, është e lodhshme, por nuk do të ngatërroni shanset dhe nuk do të bëni gabime të trashë. Zgjidhni vetë: shpejtësinë ose cilësinë.

Nga rruga, nëse e kuptoni, pas një kohe nuk do të keni nevojë të shkruani të gjithë koeficientët. Ju do të kryeni operacione të tilla në kokën tuaj. Shumica e njerëzve fillojnë ta bëjnë këtë diku pas 50-70 ekuacioneve të zgjidhura - në përgjithësi, jo aq shumë.

Rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Tani le të kalojmë në vetë zgjidhjen. Nëse diskriminuesi D > 0, rrënjët mund të gjenden duke përdorur formulat:

Formula bazë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Kur D = 0, mund të përdorni ndonjë nga këto formula - do të merrni të njëjtin numër, i cili do të jetë përgjigja. Së fundi, nëse D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Ekuacioni i parë:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato:

Ekuacioni i dytë:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekuacioni ka përsëri dy rrënjë. Le t'i gjejmë ato

\[\fillo(rreshtoj) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \majtas(-1 \djathtas))=3. \\ \fund (radhis)\]

Së fundi, ekuacioni i tretë:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekuacioni ka një rrënjë. Mund të përdoret çdo formulë. Për shembull, i pari:

Siç mund ta shihni nga shembujt, gjithçka është shumë e thjeshtë. Nëse i dini formulat dhe mund të numëroni, nuk do të ketë probleme. Më shpesh, gabimet ndodhin kur zëvendësohen koeficientët negativë në formulë. Këtu përsëri, teknika e përshkruar më sipër do të ndihmojë: shikoni formulën fjalë për fjalë, shkruani çdo hap - dhe shumë shpejt do të shpëtoni nga gabimet.

Ekuacionet kuadratike jo të plota

Ndodh që një ekuacion kuadratik është paksa i ndryshëm nga ai që jepet në përkufizim. Për shembull:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Është e lehtë të vërehet se këtyre ekuacioneve u mungon një nga termat. Ekuacione të tilla kuadratike janë edhe më të lehta për t'u zgjidhur se ato standarde: ato as nuk kërkojnë llogaritjen e diskriminuesit. Pra, le të prezantojmë një koncept të ri:

Ekuacioni ax 2 + bx + c = 0 quhet ekuacion kuadratik jo i plotë nëse b = 0 ose c = 0, d.m.th. koeficienti i ndryshores x ose i elementit të lirë është i barabartë me zero.

Sigurisht, një rast shumë i vështirë është i mundur kur të dy këta koeficientë janë të barabartë me zero: b = c = 0. Në këtë rast, ekuacioni merr formën ax 2 = 0. Natyrisht, një ekuacion i tillë ka një rrënjë të vetme: x = 0.

Le të shqyrtojmë rastet e mbetura. Le të b = 0, atëherë marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0. Le ta transformojmë pak:

Që nga aritmetika rrënjë katrore ekziston vetëm nga një numër jo negativ, barazia e fundit ka kuptim vetëm për (−c /a) ≥ 0. Përfundim:

1. Nëse në një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 + c = 0 plotësohet pabarazia (−c /a) ≥ 0, do të ketë dy rrënjë. Formula është dhënë më sipër;
2. Nëse (−c /a)< 0, корней нет.

Siç mund ta shihni, diskriminuesi nuk kërkohej - në ekuacionet kuadratike jo të plota nuk ka llogaritjet komplekse. Në fakt, as nuk është e nevojshme të mbani mend pabarazinë (−c /a) ≥ 0. Mjafton të shprehni vlerën x 2 dhe të shihni se çfarë është në anën tjetër të shenjës së barazimit. Nëse atje numër pozitiv- do të ketë dy rrënjë. Nëse është negative, nuk do të ketë rrënjë fare.

Tani le të shohim ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0, në të cilat elementi i lirë është i barabartë me zero. Gjithçka është e thjeshtë këtu: gjithmonë do të ketë dy rrënjë. Mjafton të faktorizohet polinomi:

Produkti është zero kur të paktën një nga faktorët është zero. Nga këtu vijnë rrënjët. Si përfundim, le të shohim disa nga këto ekuacione:

Detyrë. Zgjidh ekuacionet kuadratike:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nuk ka rrënjë, sepse një katror nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Kjo temë mund të duket e vështirë në fillim për shkak të shumë jo aq formula të thjeshta. Jo vetëm që vetë ekuacionet kuadratike kanë shënime të gjata, por rrënjët gjenden edhe përmes diskriminuesit. Në total, fitohen tre formula të reja. Jo shumë e lehtë për t'u mbajtur mend. Kjo funksionon vetëm pas zgjidhje e përbashkët ekuacione të tilla. Atëherë të gjitha formulat do të mbahen mend vetë.

Pamje e përgjithshme e një ekuacioni kuadratik

Këtu propozojmë regjistrimin e tyre eksplicit, kur më së shumti shkallë të lartë të shkruar së pari, dhe më pas në rend zbritës. Shpesh ka situata kur termat nuk janë në përputhje. Atëherë është më mirë të rishkruhet ekuacioni në rend zbritës të shkallës së ndryshores.

Le të prezantojmë disa shënime. Ato janë paraqitur në tabelën e mëposhtme.

Nëse i pranojmë këto shënime, të gjitha ekuacionet kuadratike reduktohen në shënimin vijues.

Për më tepër, koeficienti a ≠ 0. Le të caktohet kjo formulë numër një.

Kur jepet një ekuacion, nuk është e qartë se sa rrënjë do të ketë në përgjigje. Sepse një nga tre opsionet është gjithmonë e mundur:

• zgjidhja do të ketë dy rrënjë;
• përgjigja do të jetë një numër;
• ekuacioni nuk do të ketë fare rrënjë.

Dhe derisa vendimi të finalizohet, është e vështirë të kuptohet se cili opsion do të shfaqet në një rast të veçantë.

Llojet e regjistrimeve të ekuacioneve kuadratike

Problemet mund t'i përmbajnë ato hyrje të ndryshme. Ata nuk do të duken gjithmonë formulë e përgjithshme ekuacioni kuadratik. Ndonjëherë do t'i mungojnë disa terma. Ajo që u shkrua më lart është ekuacion i plotë. Nëse hiqni termin e dytë ose të tretë në të, ju merrni diçka tjetër. Këto regjistrime quhen gjithashtu ekuacione kuadratike, vetëm të paplota.

Për më tepër, vetëm termat me koeficientët "b" dhe "c" mund të zhduken. Numri "a" nuk mund të jetë i barabartë me zero në asnjë rrethanë. Sepse në këtë rast formula kthehet në një ekuacion linear. Formulat për formën jo të plotë të ekuacioneve do të jenë si më poshtë:

Pra, ka vetëm dy lloje, përveç atyre të plota, ka edhe ekuacione kuadratike jo të plota. Le të jetë formula e parë numri dy, dhe e dyta - tre.

Diskriminimi dhe varësia e numrit të rrënjëve nga vlera e tij

Ju duhet ta dini këtë numër për të llogaritur rrënjët e ekuacionit. Mund të llogaritet gjithmonë, pavarësisht se cila është formula e ekuacionit kuadratik. Për të llogaritur diskriminuesin, duhet të përdorni barazinë e shkruar më poshtë, e cila do të ketë numrin katër.

Pas zëvendësimit të vlerave të koeficientit në këtë formulë, mund të merrni numra me të shenja të ndryshme. Nëse përgjigja është po, atëherë përgjigja e ekuacionit do të jetë dy rrënjë të ndryshme. Nëse numri është negativ, nuk do të ketë rrënjë të ekuacionit kuadratik. Nëse është e barabartë me zero, do të ketë vetëm një përgjigje.

Si të zgjidhim një ekuacion të plotë kuadratik?

Në fakt, shqyrtimi i kësaj çështje tashmë ka filluar. Sepse së pari ju duhet të gjeni një diskriminues. Pasi të përcaktohet se ka rrënjë të ekuacionit kuadratik dhe numri i tyre është i njohur, duhet të përdorni formula për variablat. Nëse ka dy rrënjë, atëherë duhet të aplikoni formulën e mëposhtme.

Meqenëse përmban një shenjë "±", do të ketë dy kuptime. Shprehja nën shenjën e rrënjës katrore është diskriminuese. Prandaj, formula mund të rishkruhet ndryshe.

Formula numër pesë. Nga i njëjti regjistrim është e qartë se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, atëherë të dy rrënjët do të marrin të njëjtat vlera.

Nëse zgjidhja e ekuacioneve kuadratike ende nuk është përpunuar, atëherë është më mirë të shkruani vlerat e të gjithë koeficientëve përpara se të aplikoni formulat diskriminuese dhe të ndryshueshme. Më vonë ky moment nuk do të shkaktojë vështirësi. Por në fillim ka një konfuzion.

Si të zgjidhim një ekuacion kuadratik jo të plotë?

Gjithçka është shumë më e thjeshtë këtu. Nuk ka nevojë as për formula shtesë. Dhe ato që tashmë janë shkruar për diskriminuesin dhe të panjohurin nuk do të nevojiten.

Le të shqyrtojmë së pari ekuacion jo të plotë në numrin dy. Në këtë barazi, është e nevojshme të nxirret sasia e panjohur nga kllapa dhe të zgjidhet ekuacioni linear, i cili do të mbetet në kllapa. Përgjigja do të ketë dy rrënjë. E para është domosdoshmërisht e barabartë me zero, sepse ekziston një shumëzues që përbëhet nga vetë ndryshorja. E dyta do të merret duke zgjidhur një ekuacion linear.

Ekuacioni jo i plotë numër tre zgjidhet duke lëvizur numrin nga ana e majtë e barazimit në të djathtë. Pastaj ju duhet të pjesëtoni me koeficientin përballë të panjohurës. Mbetet vetëm të nxirrni rrënjën katrore dhe mos harroni ta shkruani dy herë me shenja të kundërta.

Më poshtë janë disa hapa që do t'ju ndihmojnë të mësoni se si të zgjidhni të gjitha llojet e barazive që kthehen në ekuacione kuadratike. Ato do ta ndihmojnë nxënësin të shmangë gabimet për shkak të pavëmendjes. Këto mangësi janë arsyeja nota të këqija gjatë studimit të temës së gjerë “Ekuacionet kuadratike (klasa e 8-të)”. Më pas, këto veprime nuk do të kenë nevojë të kryhen vazhdimisht. Sepse do të shfaqet një aftësi e qëndrueshme.

• Së pari ju duhet të shkruani ekuacionin në formë standarde. Domethënë, së pari termi me më shumë në një masë të madhe variabël, dhe më pas - pa diplomë dhe së fundi - vetëm një numër.

• Nëse një minus shfaqet përpara koeficientit "a", mund të komplikojë punën për një fillestar që studion ekuacionet kuadratike. Është më mirë ta heqësh qafe. Për këtë qëllim, e gjithë barazia duhet të shumëzohet me "-1". Kjo do të thotë që të gjithë termat do të ndryshojnë shenjën në të kundërtën.

• Rekomandohet të hiqni qafe fraksionet në të njëjtën mënyrë. Thjesht shumëzojeni ekuacionin me faktorin e duhur në mënyrë që emëruesit të anulohen.

Shembuj

Kërkohet të zgjidhen ekuacionet kuadratike të mëposhtme:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Ekuacioni i parë: x 2 − 7x = 0. Është i paplotë, prandaj zgjidhet siç përshkruhet për formulën numër dy.

Pasi e keni nxjerrë nga kllapat, rezulton: x (x - 7) = 0.

Rrënja e parë merr vlerën: x 1 = 0. E dyta do të gjendet nga ekuacioni linear: x - 7 = 0. Është e lehtë të shihet se x 2 = 7.

Ekuacioni i dytë: 5x 2 + 30 = 0. Përsëri i paplotë. Vetëm ajo zgjidhet siç përshkruhet për formulën e tretë.

Pas transferimit të 30 në anën e djathtë barazi: 5x 2 = 30. Tani ju duhet të pjesëtoni me 5. Rezulton: x 2 = 6. Përgjigjet do të jenë numrat: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Ekuacioni i tretë: 15 − 2х − x 2 = 0. Këtu e më tej, zgjidhja e ekuacioneve kuadratike do të fillojë me rishkrimin e tyre në pamje standarde: − x 2 − 2x + 15 = 0. Tani është koha për të përdorur të dytën këshilla të dobishme dhe shumëzoni gjithçka me minus një. Rezulton x 2 + 2x - 15 = 0. Duke përdorur formulën e katërt, duhet të llogaritni diskriminuesin: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Është një numër pozitiv. Nga sa u tha më sipër, rezulton se ekuacioni ka dy rrënjë. Ato duhet të llogariten duke përdorur formulën e pestë. Rezulton se x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Pastaj x 1 = 3, x 2 = - 5.

Ekuacioni i katërt x 2 + 8 + 3x = 0 shndërrohet në këtë: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminuesi i tij është i barabartë me këtë vlerë: -23. Meqenëse ky numër është negativ, përgjigja për këtë detyrë do të jetë hyrja e mëposhtme: "Nuk ka rrënjë".

Ekuacioni i pestë 12x + x 2 + 36 = 0 duhet të rishkruhet si më poshtë: x 2 + 12x + 36 = 0. Pas zbatimit të formulës për diskriminuesin, fitohet numri zero. Kjo do të thotë se do të ketë një rrënjë, përkatësisht: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Ekuacioni i gjashtë (x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2) kërkon transformime, të cilat konsistojnë në sjelljen terma të ngjashëm, përpara hapjes së kllapave. Në vend të së parës do të ketë shprehjen e mëposhtme: x 2 + 2x + 1. Pas barazisë, do të shfaqet kjo hyrje: x 2 + 3x + 2. Pasi të numërohen termat e ngjashëm, ekuacioni do të marrë formën: x 2 - x = 0. Është bërë jo i plotë. Diçka e ngjashme me këtë tashmë është diskutuar pak më lart. Rrënjët e kësaj do të jenë numrat 0 dhe 1.

E rëndësishme! Në rrënjët e shumëfishimit, funksioni nuk ndryshon shenjë.

Kushtojini vëmendje! Çdo pabarazi jolineare kursi shkollor algjebrat duhet të zgjidhen duke përdorur metodën e intervalit.

Unë ju ofroj një të detajuar algoritmi për zgjidhjen e inekuacioneve duke përdorur metodën e intervalit, pas së cilës mund të shmangni gabimet kur zgjidhjen e pabarazive jolineare.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike me diskriminues negativ

Siç e dimë

i 2 = - 1.

Në të njëjtën kohë

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Kështu, ekzistojnë të paktën dy vlera të rrënjës katrore - 1, domethënë i Dhe - i . Por ndoshta ka disa numra të tjerë kompleks, katrorët e të cilëve janë të barabartë me - 1?

Për të sqaruar këtë pyetje, supozojmë se katrori i një numri kompleks a + bi është e barabartë me - 1. Atëherë

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2аbi - b 2 = - 1

Dy numra kompleksë janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse pjesët e tyre reale dhe koeficientët e pjesëve të tyre imagjinare janë të barabartë. Kjo është arsyeja pse

Sipas ekuacionit të dytë të sistemit (1), të paktën një nga numrat A Dhe b duhet të jetë zero. Nëse b = 0, atëherë nga ekuacioni i parë marrim A 2 = - 1. Numri A reale, prandaj A 2 > 0. Numër jo negativ A 2 nuk mund të jetë i barabartë me një numër negativ - 1. Prandaj, barazia b = 0 V në këtë rast e pamundur. Mbetet ta pranojmë këtë A = 0, por më pas nga ekuacioni i parë i sistemit marrim: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Prandaj, të vetmit numra kompleksë katrorët e të cilëve janë -1 janë i Dhe - i , Në mënyrë konvencionale, kjo shkruhet në formën:

√-1 = ± i .

Duke përdorur arsyetime të ngjashme, studentët mund të binden se ekzistojnë saktësisht dy numra katrorët e të cilëve janë të barabartë me një numër negativ - A . Numra të tillë janë √ ai dhe -√ ai . Në mënyrë konvencionale, shkruhet kështu:

√- A = ± √ ai .

Nën √ a këtu nënkuptojmë një rrënjë aritmetike, domethënë pozitive. Për shembull, √4 = 2, √9 =.3; Kjo është arsyeja pse

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Nëse më herët, kur shqyrtonim ekuacionet kuadratike me diskriminues negativ, thoshim se ekuacione të tilla nuk kanë rrënjë, tani nuk mund të thuhet më. Ekuacionet kuadratike me diskriminues negativë kanë rrënjë komplekse. Këto rrënjë fitohen sipas formulave të njohura për ne. Le të jepet, për shembull, ekuacioni x 2 + 2X + 5 = 0; Pastaj

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Pra, ekuacioni i dhënë ka dy rrënjë: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Këto rrënjë janë të ndërlidhura. Është interesante të theksohet se shuma e tyre është - 2, dhe produkti i tyre është 5, kështu që vlen teorema e Vietës.

Koncepti i një numri kompleks

Një numër kompleks është një shprehje e formës a + ib, ku a dhe b janë çdo numër real, i është një numër i veçantë i quajtur njësi imagjinare. Për shprehje të tilla, konceptet e barazisë dhe veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit paraqiten si më poshtë:

1. Dy numra kompleks a + ib dhe c + id thuhet se janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse
   a = b dhe c = d.
2. Shuma e dy numrave kompleks a + ib dhe c + id është një numër kompleks
   a + c + i (b + d).
3. Prodhimi i dy numrave kompleks a + ib dhe c + id është një numër kompleks
   ac – bd + i (ad + bc).

Numrat kompleksë shpesh shënohen me një shkronjë të vetme, për shembull z = a + ib. Numri real a quhet pjesë reale numri kompleks z, pjesa reale shënohet a = Re z. Numri real b quhet pjesa imagjinare e numrit kompleks z, pjesa imagjinare shënohet b = Im z. Këta emra u zgjodhën për sa vijon veti të veçanta numra komplekse.

Vini re se veprimet aritmetike mbi numrat kompleks të formës z = a + i · 0 kryhen saktësisht në të njëjtën mënyrë si në numrat realë. Vërtet,

Rrjedhimisht, numrat kompleksë të formës a + i · 0 identifikohen natyrshëm me numra realë. Për shkak të kësaj, numrat kompleksë të këtij lloji quhen thjesht real. Pra, shumë numra realë përmbahet në bashkësinë e numrave kompleksë. Bashkësia e numrave kompleks shënohet me . Ne e kemi vërtetuar atë, domethënë

Ndryshe nga numrat realë, numrat e formës 0 + ib quhen thjesht imagjinarë. Shpesh ata thjesht shkruajnë bi, për shembull, 0 + i 3 = 3 i. Në mënyrë të pastër numër imagjinar i1 = 1 i = kam pronë e mahnitshme:
Kështu,

№ 4 .1. Në matematikë funksioni numerikështë një funksion, domenet e përkufizimit dhe vlerave të të cilit janë nënbashkësi grupe numrash- si rregull, grupe numrash realë ose grupe numrash kompleksë.

Grafiku i një funksioni

Fragmenti i një grafiku funksioni

Metodat për përcaktimin e një funksioni

[redakto] Metoda analitike

Në mënyrë tipike, një funksion specifikohet duke përdorur një formulë që përfshin variabla, operacione dhe funksionet elementare. Ndoshta një detyrë pjesë-pjesë, domethënë e ndryshme për kuptime të ndryshme argument.

[redakto] Metoda tabelare

Një funksion mund të specifikohet duke renditur të gjitha funksionet e tij argumentet e mundshme dhe kuptimet për ta. Pas kësaj, nëse është e nevojshme, funksioni mund të përcaktohet më tej për argumentet që nuk janë në tabelë, me interpolim ose ekstrapolim. Shembujt përfshijnë një udhëzues programi, një orar treni ose një tabelë të vlerave të funksionit Boolean:

[redakto] Metoda grafike

Një oshilogram përcakton vlerën e një funksioni të caktuar grafikisht.

Një funksion mund të specifikohet grafikisht duke shfaqur një grup pikash në grafikun e tij në një plan. Kjo mund të jetë një skicë e përafërt e asaj se si duhet të duket funksioni, ose lexime të marra nga një pajisje si një oshiloskop. Kjo metodë specifikimi mund të vuajë nga mungesa e saktësisë, por në disa raste metoda të tjera të specifikimit nuk mund të zbatohen fare. Përveç kësaj, kjo metodë e specifikimit është një nga analizat heuristike më përfaqësuese, më të lehtë për t'u kuptuar dhe me cilësi të lartë të funksionit.

[redakto] Mënyrë rekursive

Një funksion mund të specifikohet në mënyrë rekursive, domethënë përmes vetvetes. Në këtë rast, disa vlera të funksionit përcaktohen përmes vlerave të tjera të tij.

• faktorial;
• numrat e Fibonaçit;
• Funksioni i Ackermann.

[redakto] Metoda verbale

Një funksion mund të përshkruhet me fjalë të gjuhës natyrore në një mënyrë të paqartë, për shembull duke përshkruar vlerat e tij hyrëse dhe dalëse, ose algoritmi me të cilin funksioni përcakton korrespondencën midis këtyre vlerave. Së bashku me grafikisht, ndonjëherë është mënyra e vetme megjithatë përshkruaj funksionin gjuhët natyrore dhe nuk janë aq deterministe sa ato formale.

• një funksion që kthen një shifër në pi me numrin e saj;
• funksioni që kthen numrin e atomeve në univers në moment të caktuar koha;
• një funksion që merr një person si argument dhe kthen numrin e njerëzve që do të lindin pasi të lindë ai person