Një shenjë e mjaftueshme e një rritje të një funksioni gjatë një intervali. Funksioni rritës dhe pakësues në një interval, ekstrem

Për të përcaktuar natyrën e një funksioni dhe për të folur për sjelljen e tij, është e nevojshme të gjenden intervalet e rritjes dhe uljes. Ky proces quhet hulumtimi i funksionit dhe grafiku. Pika ekstreme përdoret kur gjenden vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni, pasi në to funksioni rritet ose zvogëlohet nga intervali.

Ky artikull zbulon përkufizimet, formulon një shenjë të mjaftueshme të rritjes dhe uljes së intervalit dhe një kusht për ekzistencën e një ekstremi. Kjo vlen për zgjidhjen e shembujve dhe problemeve. Seksioni për funksionet diferencuese duhet të përsëritet, sepse zgjidhja do të duhet të përdorë gjetjen e derivatit.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Përkufizimi 1

Funksioni y = f (x) do të rritet në intervalin x kur, për çdo x 1 ∈ X dhe x 2 ∈ X, x 2 > x 1, pabarazia f (x 2) > f (x 1) plotësohet. Me fjalë të tjera, vlerë më të lartë argumenti korrespondon me vlerën më të madhe të funksionit.

Përkufizimi 2

Funksioni y = f (x) konsiderohet të jetë në rënie në intervalin x kur, për çdo x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, barazia f (x 2) > f (x 1) konsiderohet e vërtetë. Me fjalë të tjera, korrespondon një vlerë më e madhe e funksionit vlerë më të ulët argument. Konsideroni figurën më poshtë.

Koment: Kur funksioni është i caktuar dhe i vazhdueshëm në skajet e intervalit të rritjes dhe zvogëlimit, domethënë (a; b), ku x = a, x = b, pikat përfshihen në intervalin e rritjes dhe zvogëlimit. Kjo nuk bie ndesh me përkufizimin, do të thotë se ndodh në intervalin x.

Vetitë themelore funksionet elementare lloji y = sin x – definiciteti dhe vazhdimësia për vlerat reale të argumenteve. Nga këtu marrim se sinusi rritet gjatë intervalit - π 2; π 2, atëherë rritja në segment ka formën - π 2; π 2.

Përkufizimi 3

Pika x 0 quhet pikë maksimale për funksionin y = f (x), kur për të gjitha vlerat e x është i vlefshëm pabarazia f (x 0) ≥ f (x). Funksioni maksimalështë vlera e funksionit në një pikë dhe shënohet me y m a x.

Pika x 0 quhet pika minimale për funksionin y = f (x), kur për të gjitha vlerat e x është e vlefshme pabarazia f (x 0) ≤ f (x). Funksionet minimaleështë vlera e funksionit në një pikë dhe ka një emërtim të formës y m i n.

Konsiderohen lagjet e pikës x 0 pikat ekstreme, dhe vlera e funksionit që korrespondon me pikat ekstreme. Konsideroni figurën më poshtë.

Ekstrema e funksionit me më të madhin dhe me vlera më e ulët funksionet. Konsideroni figurën më poshtë.

Fotografia e parë tregon atë që duhet të gjeni vlera më e lartë funksionet nga segmenti [a; b]. Gjendet duke përdorur pikë maksimale dhe të barabarta vlera maksimale funksionet, dhe figura e dytë është më shumë si gjetja e pikës maksimale në x = b.

Kushtet e mjaftueshme që një funksion të rritet dhe ulet

Për të gjetur maksimumin dhe minimumin e një funksioni, është e nevojshme të aplikohen shenjat e ekstremit në rastin kur funksioni i plotëson këto kushte. Shenja e parë konsiderohet më e përdorura.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem

Përkufizimi 4

Le të jepet një funksion y = f (x), i cili është i diferencueshëm në një lagje ε të pikës x 0 dhe ka vazhdimësi në pikën e dhënë x 0. Nga këtu ne e marrim atë

• kur f " (x) > 0 me x ∈ (x 0 - ε ; x 0) dhe f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kur f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 për x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), atëherë x 0 është pika minimale.

Me fjalë të tjera, marrim kushtet e tyre për vendosjen e shenjës:

• kur funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, atëherë ai ka një derivat me shenjë ndryshimi, domethënë nga + në -, që do të thotë se pika quhet maksimum;
• kur funksioni është i vazhdueshëm në pikën x 0, atëherë ai ka një derivat me shenjë ndryshimi nga - në +, që do të thotë se pika quhet minimale.

Për të përcaktuar saktë pikat maksimale dhe minimale të një funksioni, duhet të ndiqni algoritmin për gjetjen e tyre:

• gjeni domenin e përkufizimit;
• gjeni derivatin e funksionit në këtë zonë;
• të identifikojë zero dhe pika ku funksioni nuk ekziston;
• përcaktimi i shenjës së derivatit në intervale;
• zgjidhni pikat ku funksioni ndryshon shenjën.

Le të shqyrtojmë algoritmin duke zgjidhur disa shembuj të gjetjes së ekstremeve të një funksioni.

Shembulli 1

Gjeni pikët maksimale dhe minimale funksioni i dhënë y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Zgjidhje

Fusha e përkufizimit të këtij funksioni janë të gjithë numrat realë përveç x = 2. Së pari, le të gjejmë derivatin e funksionit dhe të marrim:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Nga këtu shohim se zerot e funksionit janë x = - 1, x = 5, x = 2, domethënë secila kllapa duhet të barazohet me zero. Shënim mbi boshti numerik dhe marrim:

Tani përcaktojmë shenjat e derivatit nga çdo interval. Është e nevojshme të zgjidhni një pikë të përfshirë në interval dhe ta zëvendësoni atë në shprehje. Për shembull, pikat x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Ne e kuptojmë atë

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, që do të thotë se intervali - ∞ - 1 ka një derivat pozitiv në mënyrë të ngjashme.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Meqenëse intervali i dytë doli të jetë më i vogël se zero, do të thotë që derivati ​​në interval do të jetë negativ. E treta me një minus, e katërta me një plus. Për të përcaktuar vazhdimësinë, duhet t'i kushtoni vëmendje shenjës së derivatit nëse ndryshon, atëherë kjo është një pikë ekstreme.

Konstatojmë se në pikën x = - 1 funksioni do të jetë i vazhdueshëm, që do të thotë se derivati ​​do të ndryshojë shenjën nga + në -. Sipas shenjës së parë, ne kemi se x = - 1 është një pikë maksimale, që do të thotë se marrim

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Pika x = 5 tregon se funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​do të ndryshojë shenjën nga – në +. Kjo do të thotë se x = -1 është pika minimale, dhe përcaktimi i saj ka formën

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imazhi grafik

Përgjigje: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vlen t'i kushtohet vëmendje faktit se përdorimi i kriterit të parë të mjaftueshëm për një ekstrem nuk kërkon diferencueshmërinë e funksionit në pikën x 0, kjo thjeshton llogaritjen.

Shembulli 2

Gjeni pikat maksimale dhe minimale të funksionit y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është të gjithë numrat realë. Kjo mund të shkruhet si një sistem ekuacionesh të formës:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Pastaj ju duhet të gjeni derivatin:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Pika x = 0 nuk ka një derivat, sepse vlerat e kufijve të njëanshëm janë të ndryshme. Ne marrim se:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Nga kjo rrjedh se funksioni është i vazhdueshëm në pikën x = 0, atëherë ne llogarisim

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Është e nevojshme të bëhen llogaritjet për të gjetur vlerën e argumentit kur bëhet derivati e barabartë me zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Të gjitha pikat e marra duhet të shënohen në një vijë të drejtë për të përcaktuar shenjën e çdo intervali. Prandaj, është e nevojshme të llogaritet derivati ​​në pika arbitrare për çdo interval. Për shembull, mund të marrim pikë me vlera x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Ne e kuptojmë atë

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Imazhi në vijën e drejtë duket si

Kjo do të thotë se arrijmë në përfundimin se është e nevojshme t'i drejtohemi shenjës së parë të një ekstremi. Le ta llogarisim dhe ta gjejmë atë

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pastaj nga këtu pikët maksimale kanë vlerat x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Le të kalojmë në llogaritjen e minimumeve:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Le të llogarisim maksimumin e funksionit. Ne e kuptojmë atë

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imazhi grafik

Përgjigje:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 27 x3 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Nëse është dhënë një funksion f " (x 0) = 0, atëherë nëse f "" (x 0) > 0, marrim se x 0 është një pikë minimale nëse f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Shembulli 3

Gjeni maksimumin dhe minimumin e funksionit y = 8 x x + 1.

Zgjidhje

Së pari, gjejmë domenin e përkufizimit. Ne e kuptojmë atë

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Është e nevojshme të diferencojmë funksionin, pas së cilës marrim

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Në x = 1, derivati ​​bëhet zero, që do të thotë se pika është një ekstrem i mundshëm. Për të sqaruar, është e nevojshme të gjendet derivati ​​i dytë dhe të llogaritet vlera në x = 1. Ne marrim:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Kjo do të thotë që duke përdorur kushtin 2 të mjaftueshëm për një ekstrem, marrim se x = 1 është një pikë maksimale. Përndryshe, hyrja duket si y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imazhi grafik

Përgjigje: y m a x = y (1) = 4 ..

Përkufizimi 5

Funksioni y = f (x) e ka derivatin e tij deri në rendin e n-të në lagjen ε pikë e dhënë x 0 dhe derivati ​​deri në n + renditja e parë në pikën x 0 . Pastaj f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Nga kjo rrjedh se kur n është një numër çift, atëherë x 0 konsiderohet një pikë lakimi, kur n është një numër tek, atëherë x 0 është një pikë ekstreme dhe f (n + 1) (x 0) > 0, atëherë x 0 është një pikë minimale, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Shembulli 4

Gjeni pikat maksimale dhe minimale të funksionit y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Zgjidhje

Funksioni origjinal është një funksion i tërë racional, që do të thotë se domeni i përkufizimit janë të gjithë numrat realë. Është e nevojshme të diferencohet funksioni. Ne e kuptojmë atë

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ky derivat do të shkojë në zero në x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Kjo do të thotë, pikat mund të jenë pika ekstreme të mundshme. Është e nevojshme të zbatohet kushti i tretë i mjaftueshëm për ekstremin. Gjetja e derivatit të dytë ju lejon të përcaktoni me saktësi praninë e një maksimumi dhe minimumi të një funksioni. Derivati ​​i dytë llogaritet në pikat e ekstremumit të tij të mundshëm. Ne e kuptojmë atë

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Kjo do të thotë se x 2 = 5 7 është pika maksimale. Duke zbatuar kriterin e tretë të mjaftueshëm, marrim se për n = 1 dhe f (n + 1) 5 7< 0 .

Është e nevojshme të përcaktohet natyra e pikave x 1 = - 1, x 3 = 3. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni derivatin e tretë dhe të llogaritni vlerat në këto pika. Ne e kuptojmë atë

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Kjo do të thotë se x 1 = - 1 është pika e lakimit të funksionit, pasi për n = 2 dhe f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Është e nevojshme të hulumtohet pika x 3 = 3. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e 4-të dhe kryejmë llogaritjet në këtë pikë:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Nga ajo që u vendos më sipër konkludojmë se x 3 = 3 është pika minimale e funksionit.

Imazhi grafik

Përgjigje: x 2 = 5 7 është pika maksimale, x 3 = 3 është pika minimale e funksionit të dhënë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Shumë informacione të rëndësishme në lidhje me sjelljen e funksionit ofrojnë intervale të rritjes dhe zvogëlimit. Gjetja e tyre është pjesë e procesit të ekzaminimit të funksionit dhe vizatimit të grafikut. Për më tepër, jepen pikat ekstreme në të cilat ka një ndryshim nga rritja në ulje ose nga zvogëlimi në rritje. vëmendje të veçantë kur gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një interval të caktuar.

Në këtë artikull do të japim përkufizimet e nevojshme, do të formulojmë një kriter të mjaftueshëm për rritjen dhe uljen e një funksioni në një interval dhe kushte të mjaftueshme për ekzistencën e një ekstremi dhe do ta zbatojmë të gjithë këtë teori për zgjidhjen e shembujve dhe problemeve.

Navigimi i faqes.

Funksioni rritës dhe pakësues në një interval.

Përkufizimi i një funksioni në rritje.

Funksioni y=f(x) rritet në intervalin X nëse për ndonjë dhe pabarazia qëndron. Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe funksioni.

Përkufizimi i një funksioni në rënie.

Funksioni y=f(x) zvogëlohet në intervalin X nëse për ndonjë dhe pabarazia qëndron . Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

SHËNIM: nëse funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në skajet e intervalit në rritje ose në zvogëlim (a;b), pra në x=a dhe x=b, atëherë këto pika përfshihen në intervalin në rritje ose në ulje. Kjo nuk bie ndesh me përkufizimet e një funksioni në rritje dhe në rënie në intervalin X.

Për shembull, nga vetitë e funksioneve elementare bazë dimë se y=sinx është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm për të gjitha vlerat reale të argumentit. Prandaj, nga rritja e funksionit të sinusit në interval, mund të pohojmë se ai rritet në interval.

Pika ekstreme, ekstreme të një funksioni.

Pika quhet pikë maksimale funksioni y=f(x) nëse pabarazia është e vërtetë për të gjithë x në lagjen e tij. Vlera e funksionit në pikën maksimale quhet maksimumi i funksionit dhe shënoni .

Pika quhet pikë minimale funksioni y=f(x) nëse pabarazia është e vërtetë për të gjithë x në lagjen e tij. Vlera e funksionit në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe shënoni .

Lagjja e një pike kuptohet si interval , ku është një numër mjaft i vogël pozitiv.

Quhen pikët minimale dhe maksimale pika ekstreme, dhe vlerat e funksionit, pikat përkatëse ekstrem quhet ekstreme të funksionit.

Mos ngatërroni ekstremet e një funksioni me vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Në figurën e parë, vlera më e madhe e funksionit në segment arrihet në pikën maksimale dhe është e barabartë me maksimumin e funksionit, dhe në figurën e dytë, vlera më e madhe e funksionit arrihet në pikën x=b. , e cila nuk është pika maksimale.

Kushtet e mjaftueshme për rritjen dhe zvogëlimin e funksioneve.

Bazuar në kushte të mjaftueshme(shenjat) e funksioneve rritëse dhe zvogëluese janë intervalet e funksioneve zmadhuese dhe zvogëluese.

Këtu janë formulimet e shenjave të rritjes dhe zvogëlimit të funksioneve në një interval:

• nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) është pozitiv për çdo x nga intervali X, atëherë funksioni rritet me X;
• nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) është negativ për çdo x nga intervali X, atëherë funksioni zvogëlohet në X.

Kështu, për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme:

Le të shqyrtojmë një shembull të gjetjes së intervaleve të funksioneve në rritje dhe zvogëlim për të shpjeguar algoritmin.

Shembull.

Gjeni intervalet e funksionit zmadhues dhe zbritës.

Zgjidhje.

Hapi i parë është gjetja e domenit të përkufizimit të funksionit. Në shembullin tonë, shprehja në emërues nuk duhet të shkojë në zero, prandaj, .

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit të funksionit:

Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni bazuar në një kriter të mjaftueshëm, ne zgjidhim pabarazitë në fushën e përkufizimit. Le të përdorim një përgjithësim të metodës së intervalit. I vetmi rrënjë e vërtetë numëruesi është x = 2 dhe emëruesi shkon në zero në x=0 . Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale në të cilat derivati ​​i funksionit ruan shenjën e tij. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike. Në mënyrë konvencionale shënojmë me pluse dhe minuse intervalet në të cilat derivati ​​është pozitiv ose negativ. Shigjetat e mëposhtme tregojnë në mënyrë skematike rritjen ose uljen e funksionit në intervalin përkatës.

Kështu, Dhe .

Në pikën Funksioni x=2 është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm, kështu që duhet t'i shtohet si intervalit në rritje ashtu edhe në zvogëlim. Në pikën x=0 funksioni nuk është i përcaktuar, kështu që këtë pikë nuk e përfshijmë në intervalet e kërkuara.

Ne paraqesim një grafik të funksionit për të krahasuar rezultatet e marra me të.

Përgjigje:

Funksioni rritet si , zvogëlohet në intervalin (0;2] .

Kushtet e mjaftueshme për ekstremin e një funksioni.

Për të gjetur maksimumin dhe minimumin e një funksioni, mund të përdorni një nga tre shenjat e ekstremit, natyrisht, nëse funksioni i plotëson kushtet e tyre. Më e zakonshme dhe më e përshtatshme është e para prej tyre.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem.

Le të jetë funksioni y=f(x) i diferencueshëm në - fqinjësinë e pikës dhe i vazhdueshëm në vetë pikën.

Me fjalë të tjera:

Algoritmi për gjetjen e pikave ekstreme bazuar në shenjën e parë të ekstremit të një funksioni.

• Gjejmë domenin e përkufizimit të funksionit.
• Derivatin e funksionit e gjejmë në fushën e përkufizimit.
• Ne përcaktojmë zerot e numëruesit, zerot e emëruesit të derivatit dhe pikat e fushës së përkufizimit në të cilat derivati ​​nuk ekziston (të gjitha pikat e listuara quhen pikat e ekstremit të mundshëm, duke kaluar nëpër këto pika, derivati ​​thjesht mund të ndryshojë shenjën e tij).
• Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit të funksionit në intervale në të cilat derivati ​​ruan shenjën e tij. Ne përcaktojmë shenjat e derivatit në secilin prej intervaleve (për shembull, duke llogaritur vlerën e derivatit të një funksioni në çdo pikë në një interval të caktuar).
• Ne zgjedhim pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe, duke kaluar nëpër të cilat, derivati ​​ndryshon shenjën - këto janë pikat ekstreme.

Ka shumë fjalë, le të shohim më mirë disa shembuj të gjetjes së pikave ekstreme dhe ekstremeve të një funksioni duke përdorur kushtin e parë të mjaftueshëm për ekstremin e një funksioni.

Shembull.

Gjeni ekstremin e funksionit.

Zgjidhje.

Domeni i një funksioni është i gjithë grupi numra realë, përveç x=2 .

Gjetja e derivatit:

Zerot e numëruesit janë pikat x=-1 dhe x=5, emëruesi shkon në zero në x=2. Shënoni këto pika në boshtin e numrave

Përcaktojmë shenjat e derivatit në çdo interval për ta bërë këtë, llogarisim vlerën e derivatit në secilën nga pikat e çdo intervali, për shembull, në pikat x=-2, x=0, x=3 dhe; x=6.

Prandaj, në interval derivati ​​është pozitiv (në figurë vendosim një shenjë plus mbi këtë interval). Po kështu

Prandaj, vendosim një minus mbi intervalin e dytë, një minus mbi të tretën dhe një plus mbi të katërtin.

Mbetet për të zgjedhur pikat në të cilat funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​i tij ndryshon shenjën. Këto janë pikat ekstreme.

Në pikën x=-1 funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus, prandaj, sipas shenjës së parë të ekstremit, x=-1 është pika maksimale, maksimumi i funksionit i përgjigjet asaj. .

Në pikën x=5 funksioni është i vazhdueshëm dhe derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus, pra, x=-1 është pika minimale, minimumi i funksionit i korrespondon asaj. .

Ilustrim grafik.

Përgjigje:

JU LUTEM KUJDES: kriteri i parë i mjaftueshëm për një ekstrem nuk kërkon diferencim të funksionit në vetë pikën.

Shembull.

Gjeni pikat ekstreme dhe ekstremet e funksionit .

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është tërësia e numrave realë. Vetë funksioni mund të shkruhet si:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Në pikën x=0 derivati ​​nuk ekziston, pasi vlerat e kufijve të njëanshëm nuk përkojnë kur argumenti tenton në zero:

Në të njëjtën kohë, funksion origjinalështë e vazhdueshme në pikën x=0 (shih seksionin për studimin e funksionit për vazhdimësinë):

Le të gjejmë vlerën e argumentit në të cilin derivati ​​shkon në zero:

Le të shënojmë të gjitha pikat e marra në vijën numerike dhe të përcaktojmë shenjën e derivatit në secilin nga intervalet. Për ta bërë këtë, ne llogarisim vlerat e derivatit në pika arbitrare të secilit interval, për shembull, në x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Kjo është,

Kështu, sipas shenjës së parë të një ekstremi, pikët minimale janë , pikët maksimale janë .

Ne llogarisim minimumin përkatës të funksionit

Ne llogarisim maksimumin përkatës të funksionit

Ilustrim grafik.

Përgjigje:

.

Shenja e dytë e një ekstremi të një funksioni.

Siç mund ta shihni, kjo shenjë e një ekstremi të një funksioni kërkon ekzistencën e një derivati ​​të paktën në rendin e dytë në pikë.

Përkufizimi i një funksioni në rritje.

Funksioni y=f(x) rritet gjatë intervalit X, nëse për ndonjë dhe pabarazia qëndron. Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe funksioni.

Përkufizimi i një funksioni në rënie.

Funksioni y=f(x) zvogëlohet në interval X, nëse për ndonjë dhe pabarazia qëndron . Me fjalë të tjera, një vlerë më e madhe e argumentit korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit.

SHËNIM: nëse funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në skajet e intervalit në rritje ose në ulje (a;b), pra kur x=a Dhe x=b, atëherë këto pika përfshihen në intervalin e rritjes ose zvogëlimit. Kjo nuk bie ndesh me përkufizimet e një funksioni në rritje dhe në ulje në interval X.

Për shembull, nga vetitë e funksioneve elementare bazë ne e dimë se y=sinx të përcaktuara dhe të vazhdueshme për të gjitha vlerat reale të argumentit. Prandaj, nga rritja e funksionit të sinusit në interval, mund të pohojmë se ai rritet në interval.

Pika ekstreme, ekstreme të një funksioni.

Pika quhet pikë maksimale funksionet y=f(x), nëse për të gjithë x nga fqinjësia e tij vlen pabarazia. Vlera e funksionit në pikën maksimale quhet maksimumi i funksionit dhe shënoni .

Pika quhet pikë minimale funksionet y=f(x), nëse për të gjithë x nga fqinjësia e tij vlen pabarazia. Vlera e funksionit në pikën minimale quhet funksioni minimal dhe shënoni .

Lagjja e një pike kuptohet si interval , ku është një numër mjaft i vogël pozitiv.

Quhen pikët minimale dhe maksimale pika ekstreme, dhe quhen vlerat e funksionit që korrespondojnë me pikat ekstreme ekstreme të funksionit.

Mos ngatërroni ekstremet e një funksioni me vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.

Në figurën e parë, vlera më e madhe e funksionit në segment arrihet në pikën maksimale dhe është e barabartë me maksimumin e funksionit, dhe në figurën e dytë - vlera më e lartë e funksionit arrihet në pikën x=b, e cila nuk është një pikë maksimale.

Kushtet e mjaftueshme për rritjen dhe zvogëlimin e funksioneve.

Në bazë të kushteve (shenjave) të mjaftueshme për rritjen dhe uljen e një funksioni, gjenden intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit.

Këtu janë formulimet e shenjave të rritjes dhe zvogëlimit të funksioneve në një interval:

nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) pozitive për këdo x nga intervali X, atëherë funksioni rritet me X;

nëse derivati ​​i funksionit y=f(x) negative për këdo x nga intervali X, atëherë funksioni zvogëlohet me X.

Kështu, për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni, është e nevojshme:

Le të shqyrtojmë një shembull të gjetjes së intervaleve të funksioneve në rritje dhe zvogëlim për të shpjeguar algoritmin.

Shembull.

Gjeni intervalet e funksionit zmadhues dhe zbritës.

Zgjidhje.

Hapi i parë është gjetja e përkufizimit të funksionit. Në shembullin tonë, shprehja në emërues nuk duhet të shkojë në zero, prandaj, .

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit të funksionit:

Për të përcaktuar intervalet e rritjes dhe uljes së një funksioni bazuar në një kriter të mjaftueshëm, ne zgjidhim pabarazitë në fushën e përkufizimit. Le të përdorim një përgjithësim të metodës së intervalit. Rrënja e vetme reale e numëruesit është x = 2, dhe emëruesi shkon në zero në x=0. Këto pika e ndajnë domenin e përkufizimit në intervale në të cilat derivati ​​i funksionit ruan shenjën e tij. Le t'i shënojmë këto pika në vijën numerike. Në mënyrë konvencionale shënojmë me pluse dhe minuse intervalet në të cilat derivati ​​është pozitiv ose negativ. Shigjetat e mëposhtme tregojnë në mënyrë skematike rritjen ose uljen e funksionit në intervalin përkatës.

Klasa: 10

Ecuria e mësimit:

Veprimtaritë e mësuesve

Veprimtaritë e nxënësve

Burimet

2 min

I. Momenti organizativ.

Përshëndet studentëtkontrollon gatishmërinë për mësimin dhe uron sukses.

Reflektoni për qëllimin.

Fletore

5 min

II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë: nbh zgjidhni detyra të pazgjidhura, shpjegoni.

Demonstrojnë njohuritë e tyre.

Tabelat

10 min

II. Duke studiuar temë e re

Nëse derivati ​​i një funksioni të dhënë është pozitiv për të gjitha vlerat e x në intervalin ( A;V), d.m.th. f" (x) > 0, atëherë funksioni rritet në këtë interval.
Nëse derivati ​​i një funksioni të dhënë është negativ për të gjitha vlerat X në intervalin ( A;V), d.m.th. f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Rendi i gjetjes së intervaleve të monotonitetit:

Gjeni domenin e përkufizimit të funksionit.

Gjeni derivatin e parë të funksionit.

Gjeni pikat kritike, hulumtoni shenjën e derivatit të parë në intervalet në të cilat pikat kritike të gjetura ndajnë domenin e përcaktimit të funksionit.

Gjeni intervalet e monotonitetit të funksioneve.

Le të shqyrtojmë shenjën e derivatit në intervalet që rezultojnë dhe ta paraqesim zgjidhjen në formën e një tabele.

Kusht i mjaftueshëm për ekzistimin e një maksimumi është që shenja e derivatit të ndryshojë kur kalon pikë kritike nga "+" në "-", dhe për minimumin nga "-" në "+". Nëse, kur kalon në pikën kritike, shenja e derivatit nuk ndryshon, atëherë nuk ka ekstrem në këtë pikë.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të studimit të funksioneve për rritje dhe ulje.

Gjeni intervalet e funksionit zmadhues dhe zbritës

1) f(x) = 3- 0,5x,

2) f(x) = - x2+2x-3,

3) f(x) = 4x-5,

4) f(x) = 5x 2- 3x+1.

(-∞;1)-rrit, (1;+∞)-zvogëlohet

(-∞;+∞)-rritet

(-∞;0.3)-rrit, (0.3;+∞)-ul

(-∞;+∞)-zvogëlues

Demonstroni aftësi.

Postera

Formulat

Libër mësuesi

min

IV. Konsolidimi i njohurive Puna me tekstin nr.258, nr.261

f). 2. Gjeni f"( x).

3. Gjeni pika të palëvizshme, d.m.th. pikat ku f"( x) = 0 ose f"( x) nuk ekziston.
(Derivati ​​është 0 në zerot e numëruesit, derivati ​​nuk ekziston në zerot e emëruesit)

4. Pozicioni D( f) dhe këto pika në vijën koordinative.

5. Përcaktoni shenjat e derivatit në secilin nga intervalet

6. Aplikoni shenja. 7. Shkruani përgjigjen.

3 min

V. Përmbledhje e mësimit.vetëvlerësimi i nxënësve për rezultatet e veprimtarive të tyre edukative.Kryen reflektim.

Çfarë të re mësuat në mësim?

Ishin aty për ty pika interesante?

Shkruani mendimin tuaj për mësimin në afishe.

Kartat

2 min

VI.Detyrë shtëpie. Shpjegon veçoritë detyrat e shtëpisë № 259, № 257

të regjistruara në ditarë.

Ditari

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve