Midis rrënjëve dhe koeficientëve të një ekuacioni kuadratik, përveç formulave rrënjësore, jepen edhe marrëdhënie të tjera të dobishme. Teorema e Vietës. Në këtë artikull do të japim një formulim dhe vërtetim të teoremës së Vietës për një ekuacion kuadratik. Më pas e konsiderojmë teoremën të kundërt me teoremën e Vietës. Pas kësaj, ne do të analizojmë zgjidhjet e shembujve më tipikë. Së fundi, ne shkruajmë formulat Vieta që përcaktojnë marrëdhëniet midis rrënjëve reale ekuacioni algjebrik shkalla n dhe koeficientët e saj.

Navigimi i faqes.

Teorema e Vietës, formulimi, prova

Nga formulat për rrënjët e ekuacionit kuadratik a·x 2 +b·x+c=0 të formës, ku D=b 2 −4·a·c vijojnë relacionet: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Këto rezultate janë konfirmuar Teorema e Vietës:

Teorema.

Nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik a x 2 +b x+c=0, atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjët janë të barabarta me raportin e koeficientëve c dhe a, pra .

Dëshmi.

Vërtetimin e teoremës së Vieta-s do ta realizojmë sipas skemës së mëposhtme: do të përpilojmë shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duke përdorur formula të njohura të rrënjëve, më pas do të transformojmë shprehjet që rezultojnë dhe do të sigurohemi që ato të jenë të barabarta me - b/a dhe c/a, përkatësisht.

Le të fillojmë me shumën e rrënjëve dhe ta bëjmë atë. Tani i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët, kemi . Në numëruesin e thyesës që rezulton, pas së cilës:. Më në fund, pas datës 2, marrim . Kjo vërteton lidhjen e parë të teoremës së Vietës për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Le të kalojmë tek e dyta.

Përbëjmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik: . Sipas rregullit të shumëzimit të thyesave, prodhimi i fundit mund të shkruhet si . Tani ne shumëzojmë një kllapa me një kllapa në numërues, por është më e shpejtë të shembet ky produkt me formula e diferencës katrore, Pra . Pastaj, duke kujtuar, ne kryejmë tranzicionin tjetër. Dhe meqenëse diskriminuesi i ekuacionit kuadratik i përgjigjet formulës D=b 2 −4·a·c, atëherë në vend të D në thyesën e fundit mund të zëvendësojmë b2 −4·a·c, marrim. Pasi hapim kllapat dhe sjellim terma të ngjashëm, arrijmë te thyesa , dhe reduktimi i saj me 4·a jep . Kjo dëshmon lidhjen e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.

Nëse i lëmë shpjegimet, vërtetimi i teoremës së Vietës do të marrë një formë lakonike:
,
.

Mbetet vetëm të theksohet se nëse diskriminuesi është i barabartë me zero, ekuacioni kuadratik ka një rrënjë. Sidoqoftë, nëse supozojmë se ekuacioni në këtë rast ka dy rrënjë identike, atëherë barazimet nga teorema e Vietas gjithashtu vlejnë. Në të vërtetë, kur D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është e barabartë me , atëherë dhe , dhe meqenëse D=0, pra, b 2 −4·a·c=0, prej nga b 2 =4·a·c, atëherë .

Në praktikë, teorema e Vietës përdoret më shpesh në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar (me koeficientin kryesor a të barabartë me 1) të formës x 2 +p·x+q=0. Ndonjëherë formulohet vetëm për ekuacione kuadratike të këtij lloji, gjë që nuk kufizon përgjithësinë, pasi çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent duke pjesëtuar të dyja anët me një numër jo zero a. Le të japim formulimin përkatës të teoremës së Vietës:

Teorema.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0 është e barabartë me koeficientin e x të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë, domethënë x 1. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Formulimi i dytë i teoremës së Vietës, i dhënë në paragrafin e mëparshëm, tregon se nëse x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p x+q=0, atëherë marrëdhëniet x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Nga ana tjetër, nga relacionet e shkruara x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q del se x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 +p x+q=0. Me fjalë të tjera, e kundërta e teoremës së Vietës është e vërtetë. Le ta formulojmë në formën e një teoreme dhe ta vërtetojmë.

Teorema.

Nëse numrat x 1 dhe x 2 janë të tillë që x 1 +x 2 =−p dhe x 1 · x 2 =q, atëherë x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p · x+q =0.

Dëshmi.

Pas zëvendësimit të koeficientëve p dhe q në ekuacionin x 2 +p·x+q=0 me shprehjet e tyre përmes x 1 dhe x 2, ai shndërrohet në një ekuacion ekuivalent.

Le të zëvendësojmë numrin x 1 në vend të x në ekuacionin që rezulton, dhe kemi barazinë x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, e cila për çdo x 1 dhe x 2 paraqet barazinë numerike të saktë 0=0, pasi x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Prandaj, x 1 është rrënja e ekuacionit x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, që do të thotë x 1 është rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 +p·x+q=0.

Nëse në ekuacion x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 zëvendësojmë numrin x 2 në vend të x, marrim barazinë x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Kjo është një barazi e vërtetë, pasi x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Prandaj, x 2 është gjithashtu një rrënjë e ekuacionit x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, dhe për rrjedhojë ekuacionet x 2 +p·x+q=0.

Kjo plotëson vërtetimin e teoremës së kundërt me teoremën e Vietës.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Është koha të flasim për zbatimin praktik të teoremës së Vietës dhe teoremës së kundërt të saj. Në këtë pjesë do të analizojmë zgjidhjet e disa prej shembujve më tipikë.

Le të fillojmë duke zbatuar teoremën e kundërt me teoremën e Vietës. Është i përshtatshëm për t'u përdorur për të kontrolluar nëse dy numra të dhënë janë rrënjë të një ekuacioni të caktuar kuadratik. Në këtë rast, llogaritet shuma dhe diferenca e tyre, pas së cilës kontrollohet vlefshmëria e marrëdhënieve. Nëse të dyja këto marrëdhënie janë të kënaqura, atëherë në bazë të teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, arrihet në përfundimin se këta numra janë rrënjët e ekuacionit. Nëse të paktën një nga relacionet nuk është e kënaqur, atëherë këta numra nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Kjo qasje mund të përdoret kur zgjidhen ekuacionet kuadratike për të kontrolluar rrënjët e gjetura.

Shembull.

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 =−5, x 2 =3, ose 2) ose 3) është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik 4 x 2 −16 x+9=0?

Zgjidhje.

Koeficientët e ekuacionit kuadratik të dhënë 4 x 2 −16 x+9=0 janë a=4, b=−16, c=9. Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duhet të jetë e barabartë me −b/a, pra 16/4=4, dhe prodhimi i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c/a, pra 9. /4.

Tani le të llogarisim shumën dhe produktin e numrave në secilën nga tre çiftet e dhëna dhe t'i krahasojmë ato me vlerat që sapo morëm.

Në rastin e parë kemi x 1 +x 2 =−5+3=−2. Vlera që rezulton është e ndryshme nga 4, kështu që nuk mund të kryhet asnjë kontroll i mëtejshëm, por duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vieta-s, mund të konkludohet menjëherë se çifti i parë i numrave nuk është një palë rrënjë të ekuacionit të dhënë kuadratik.

Le të kalojmë në rastin e dytë. Këtu, pra, plotësohet kushti i parë. Ne kontrollojmë kushtin e dytë: vlera që rezulton është e ndryshme nga 9/4. Rrjedhimisht, çifti i dytë i numrave nuk është një çift rrënjësh i ekuacionit kuadratik.

Ka mbetur edhe një rast i fundit. Këtu dhe. Të dy kushtet janë plotësuar, kështu që këta numra x 1 dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje:

E kundërta e teoremës së Vietës mund të përdoret në praktikë për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Zakonisht, zgjidhen rrënjët e plota të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë, pasi në raste të tjera kjo është mjaft e vështirë për t'u bërë. Në këtë rast, ata përdorin faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të një ekuacioni kuadratik, të marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik. Le ta kuptojmë këtë me një shembull.

Marrim ekuacionin kuadratik x 2 −5 x+6=0. Që numrat x 1 dhe x 2 të jenë rrënjët e këtij ekuacioni, duhet të plotësohen dy barazi: x 1 + x 2 =5 dhe x 1 · x 2 =6. Mbetet vetëm për të zgjedhur numra të tillë. Në këtë rast, kjo është mjaft e thjeshtë për t'u bërë: numra të tillë janë 2 dhe 3, pasi 2+3=5 dhe 2·3=6. Kështu, 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Teorema e kundërt ndaj teoremës së Vietës është veçanërisht e përshtatshme për t'u përdorur për të gjetur rrënjën e dytë të një ekuacioni të caktuar kuadratik kur njëra prej rrënjëve është tashmë e njohur ose e dukshme. Në këtë rast, rrënja e dytë mund të gjendet nga ndonjë prej marrëdhënieve.

Për shembull, le të marrim ekuacionin kuadratik 512 x 2 −509 x −3=0. Këtu është e lehtë të shihet se uniteti është rrënja e ekuacionit, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është e barabartë me zero. Pra x 1 = 1. Rrënja e dytë x 2 mund të gjendet, për shembull, nga relacioni x 1 ·x 2 =c/a. Kemi 1 x 2 =−3/512, nga e cila x 2 =−3/512. Kështu përcaktuam të dy rrënjët e ekuacionit kuadratik: 1 dhe −3/512.

Është e qartë se zgjedhja e rrënjëve këshillohet vetëm në rastet më të thjeshta. Në raste të tjera, për të gjetur rrënjët, mund të aplikoni formulat për rrënjët e një ekuacioni kuadratik përmes diskriminuesit.

Një aplikim tjetër praktik i anasjellësit të teoremës së Vietës është ndërtimi i ekuacioneve kuadratike duke pasur parasysh rrënjët x 1 dhe x 2 . Për ta bërë këtë, mjafton të llogaritet shuma e rrënjëve, e cila jep koeficientin e x me shenjën e kundërt të ekuacionit të dhënë kuadratik, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembull.

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë −11 dhe 23.

Zgjidhje.

Le të shënojmë x 1 =−11 dhe x 2 =23. Llogaritim shumën dhe prodhimin e këtyre numrave: x 1 +x 2 =12 dhe x 1 ·x 2 =−253. Prandaj, numrat e treguar janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar me një koeficient të dytë −12 dhe një term të lirë −253. Domethënë, x 2 −12·x−253=0 është ekuacioni i kërkuar.

Përgjigje:

x 2 −12·x−253=0 .

Teorema e Vietës përdoret shumë shpesh kur zgjidhen probleme që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Si lidhet teorema e Vietës me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +p·x+q=0? Këtu janë dy deklarata përkatëse:

• Nëse termi i lirë q është një numër pozitiv dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë ose janë të dyja pozitive ose të dyja negative.
• Nëse termi i lirë q është numër negativ dhe nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale, atëherë shenjat e tyre janë të ndryshme, me fjalë të tjera, njëra rrënjë është pozitive dhe tjetra negative.

Këto pohime rrjedhin nga formula x 1 · x 2 =q, si dhe nga rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë, negativë dhe numrave me shenja të ndryshme. Le të shohim shembuj të aplikimit të tyre.

Shembull.

R është pozitive. Duke përdorur formulën diskriminuese gjejmë D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, vlerën e shprehjes r 2 +8. është pozitive për çdo r real, pra D>0 për çdo r real. Rrjedhimisht, ekuacioni kuadratik origjinal ka dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të zbulojmë se kur rrënjët kanë shenja të ndryshme. Nëse shenjat e rrënjëve janë të ndryshme, atëherë produkti i tyre është negativ, dhe sipas teoremës së Vietës, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është i barabartë me termin e lirë. Prandaj, ne jemi të interesuar për ato vlera të r për të cilat termi i lirë r−1 është negativ. Kështu, për të gjetur vlerat e r që na interesojnë, na duhen zgjidhni pabarazinë lineare r−1<0 , откуда находим r<1 .

Përgjigje:

në r<1 .

Formulat Vieta

Më sipër folëm për teoremën e Vietës për një ekuacion kuadratik dhe analizuam marrëdhëniet që ajo pohon. Por ka formula që lidhin rrënjët reale dhe koeficientët jo vetëm të ekuacioneve kuadratike, por edhe të ekuacioneve kubike, ekuacioneve të shkallës së katërt dhe në përgjithësi, ekuacionet algjebrike shkallë n. Ata quhen formulat e Vieta.

Le të shkruajmë formulën Vieta për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës, dhe do të supozojmë se ajo ka n rrënjë reale x 1, x 2, ..., x n (midis tyre mund të ketë që përkojnë):

Formulat e Vieta mund të merren teorema mbi zbërthimin e një polinomi në faktorë linearë, si dhe përcaktimi i polinomeve të barabarta nëpërmjet barazimit të të gjithë koeficientëve të tyre përkatës. Pra, polinomi dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës janë të barabartë. Duke hapur kllapat në produktin e fundit dhe duke barazuar koeficientët përkatës, marrim formulat e Vieta-s.

Në veçanti, për n=2 kemi formulat tashmë të njohura Vieta për një ekuacion kuadratik.

Për një ekuacion kub, formulat e Vieta-s kanë formën

Mbetet vetëm të theksohet se në anën e majtë të formulave të Vieta ka të ashtuquajturat elementare polinomet simetrike.

Referencat.

• Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algjebër dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa e 10-të: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redaktuar nga A. B. Zhizhchenko. - botimi i 3-të. - M.: Arsimi, 2010.- 368 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Me këtë program matematikor mundeni zgjidhni ekuacionin kuadratik.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por gjithashtu shfaq procesin e zgjidhjes në dy mënyra:
- duke përdorur një diskriminues
- duke përdorur teoremën e Vietës (nëse është e mundur).

Për më tepër, përgjigja shfaqet si e saktë, jo e përafërt.
Për shembull, për ekuacionin \(81x^2-16x-1=0\) përgjigjja shfaqet në formën e mëposhtme:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ dhe jo si kjo: \(x_1 = 0,247; \katër x_2 = -0,05\)

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm kur përgatiten për teste dhe provime, kur testojnë njohuritë para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe për prindërit për të kontrolluar zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër.

Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi t'i kryeni detyrat e shtëpisë tuaj të matematikës ose algjebrës sa më shpejt të jetë e mundur? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve ose motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e zgjidhjes së problemeve.

Nëse nuk jeni të njohur me rregullat për futjen e një polinomi kuadratik, ju rekomandojmë që të njiheni me to.

Rregullat për futjen e një polinomi kuadratik
Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.

Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.
Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.

Për më tepër, numrat thyesorë mund të futen jo vetëm në formën e një dhjetore, por edhe në formën e një fraksioni të zakonshëm.
Në thyesat dhjetore, pjesa thyesore mund të ndahet nga e gjithë pjesa ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të futni thyesa dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Kur futni një thyesë numerike, numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa ndahet nga thyesa me shenjën ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Kur futni një shprehje mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, kur zgjidhet një ekuacion kuadratik, shprehja e paraqitur fillimisht thjeshtohet.
Për shembull: 1/2(y-1)(y+1)-(5v-10&1/2)

=0

Vendosni

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Ju lutem prisni sekondë...

Nëse ju vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Ekuacioni kuadratik dhe rrënjët e tij. Ekuacionet kuadratike jo të plota

Secili nga ekuacionet
\(-x^2+6x+1.4=0, \katër 8x^2-7x=0, \katër x^2-\frac(4)(9)=0 \)
duket si
\(ax^2+bx+c=0, \)
ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë numra.
Në ekuacionin e parë a = -1, b = 6 dhe c = 1,4, në të dytin a = 8, b = -7 dhe c = 0, në të tretin a = 1, b = 0 dhe c = 4/9. Ekuacione të tilla quhen ekuacionet kuadratike.

Përkufizimi.
Ekuacioni kuadratik quhet ekuacion i formës ax 2 +bx+c=0, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe \(a \neq 0 \).

Numrat a, b dhe c janë koeficientët e ekuacionit kuadratik. Numri a quhet koeficienti i parë, numri b është koeficienti i dytë dhe numri c është termi i lirë.

Në secilin prej ekuacioneve të formës ax 2 +bx+c=0, ku \(a\neq 0\), fuqia më e madhe e ndryshores x është katror. Prandaj emri: ekuacion kuadratik.

Vini re se një ekuacion kuadratik quhet gjithashtu një ekuacion i shkallës së dytë, pasi ana e majtë e tij është një polinom i shkallës së dytë.

Quhet një ekuacion kuadratik në të cilin koeficienti x 2 është i barabartë me 1 dhënë ekuacionin kuadratik. Për shembull, ekuacionet kuadratike të dhëna janë ekuacionet
\(x^2-11x+30=0, \katër x^2-6x=0, \katër x^2-8=0 \)

Nëse në një ekuacion kuadratik ax 2 +bx+c=0 të paktën njëri nga koeficientët b ose c është i barabartë me zero, atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacioni kuadratik jo i plotë. Kështu, ekuacionet -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 janë ekuacione kuadratike jo të plota. Në të parin b=0, në të dytën c=0, në të tretën b=0 dhe c=0.

Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:
1) ax 2 +c=0, ku \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ku \(b \neq 0 \);
3) sëpatë 2 =0.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve të secilit prej këtyre llojeve.

Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +c=0 për \(c \neq 0 \), zhvendoseni termin e tij të lirë në anën e djathtë dhe ndani të dyja anët e ekuacionit me a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Shigjeta djathtas x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Meqenëse \(c \neq 0 \), atëherë \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Nëse \(-\frac(c)(a)>0\), atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

Nëse \(-\frac(c)(a) Për të zgjidhur një ekuacion kuadratik jo të plotë të formës ax 2 +bx=0 me \(b \neq 0 \) faktorizoni anën e majtë të tij dhe merrni ekuacionin
\(x(ax+b)=0 \Djathtas shigjeta \majtas\( \fillimi(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \djathtas. \Rightshigjeta \majtas\( \fillimi (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (array) \djathtas.

Kjo do të thotë që një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 +bx=0 për \(b \neq 0 \) ka gjithmonë dy rrënjë.

Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës ax 2 =0 është ekuivalent me ekuacionin x 2 =0 dhe për këtë arsye ka një rrënjë të vetme 0.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik

Le të shqyrtojmë tani se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike në të cilat të dy koeficientët e të panjohurave dhe termi i lirë janë jozero.

Le të zgjidhim ekuacionin kuadratik në formë të përgjithshme dhe si rezultat marrim formulën për rrënjët. Kjo formulë mund të përdoret më pas për të zgjidhur çdo ekuacion kuadratik.

Të zgjidhim ekuacionin kuadratik ax 2 +bx+c=0

Duke i pjesëtuar të dyja anët me a, marrim ekuacionin ekuivalent të reduktuar kuadratik
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Le ta transformojmë këtë ekuacion duke zgjedhur katrorin e binomit:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\djathtas)^2- \left(\frac(b)(2a)\djathtas)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Shigjeta djathtas \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\djathtas)^2 = \left(\frac(b)(2a)\djathtas)^ 2 - \frac(c)(a) \Shigjeta djathtas \) \(\majtas(x+\frac(b)(2a)\djathtas)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Shigjeta djathtas \majtas(x+\frac(b)(2a)\djathtas)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Shigjeta djathtas \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Djathtas shigjeta x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Shigjeta djathtas \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Shprehja radikale quhet diskriminues i një ekuacioni kuadratik sëpatë 2 +bx+c=0 (“diskriminues” në latinisht - diskriminues). Përcaktohet me shkronjën D, d.m.th.
\(D = b^2-4ac\)

Tani, duke përdorur shënimin diskriminues, ne rishkruajmë formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ku \(D= b^2-4ac \)

Është e qartë se:
1) Nëse D>0, atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë.
2) Nëse D=0, atëherë ekuacioni kuadratik ka një rrënjë \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nëse D Kështu, në varësi të vlerës së diskriminuesit, një ekuacion kuadratik mund të ketë dy rrënjë (për D > 0), një rrënjë (për D = 0) ose nuk ka rrënjë (për D Kur zgjidh një ekuacion kuadratik duke përdorur këtë formulë, këshillohet të veproni në mënyrën e mëposhtme:
1) llogaritni diskriminuesin dhe krahasoni atë me zero;
2) nëse diskriminuesi është pozitiv ose i barabartë me zero, atëherë përdorni formulën e rrënjës nëse diskriminuesi është negativ, atëherë shkruani se nuk ka rrënjë.

Teorema e Vietës

Ekuacioni i dhënë kuadratik ax 2 -7x+10=0 ka rrënjët 2 dhe 5. Shuma e rrënjëve është 7, dhe prodhimi është 10. Shohim që shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me të kundërtën. shenjë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Çdo ekuacion kuadratik i reduktuar që ka rrënjë e ka këtë veti.

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

ato. Teorema e Vietës thotë se rrënjët x 1 dhe x 2 të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 +px+q=0 kanë vetinë:
\(\majtas\( \fillimi(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \fund (array) \djathtas. \)

Teorema e Vieta është një koncept i njohur për pothuajse të gjithë që nga ditët e shkollës. Por a është vërtet "e njohur"? Pak njerëz e hasin atë në jetën e përditshme. Por jo të gjithë ata që merren me matematikë ndonjëherë e kuptojnë plotësisht kuptimin e thellë dhe rëndësinë e madhe të kësaj teoreme.

Teorema e Vieta lehtëson shumë procesin e zgjidhjes së një numri të madh problemesh matematikore, të cilat përfundimisht zbresin në zgjidhje:

Pasi të keni kuptuar rëndësinë e një mjeti matematikor kaq të thjeshtë dhe efektiv, nuk mund të mos mendoni për personin që e zbuloi për herë të parë.

Një shkencëtar i famshëm francez që filloi karrierën e tij si avokat. Por, padyshim, matematika ishte thirrja e tij. Ndërsa ishte në shërbimin mbretëror si këshilltar, ai u bë i famshëm për aftësinë për të lexuar një mesazh të koduar të përgjuar nga Mbreti i Spanjës në Holandë. Kjo i dha mundësinë mbretit francez Henri III të dinte për të gjitha synimet e kundërshtarëve të tij.

Duke u njohur gradualisht me njohuritë matematikore, François Viète arriti në përfundimin se duhet të kishte një lidhje të ngushtë midis kërkimeve më të fundit të "algjebristëve" në atë kohë dhe trashëgimisë së thellë gjeometrike të të lashtëve. Gjatë kërkimit shkencor, ai zhvilloi dhe formuloi pothuajse të gjithë algjebrën elementare. Ai ishte i pari që futi përdorimin e sasive të shkronjave në aparatin matematikor, duke dalluar qartë konceptet: numër, madhësi dhe marrëdhëniet e tyre. Viet vërtetoi se duke kryer veprime në formë simbolike, është e mundur të zgjidhet problemi për rastin e përgjithshëm, pothuajse për çdo vlerë të sasive të dhëna.

Hulumtimi i tij për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta se i dyti rezultoi në një teoremë që tani njihet si teorema e përgjithësuar Vieta. Ka një rëndësi të madhe praktike dhe përdorimi i tij bën të mundur zgjidhjen e shpejtë të ekuacioneve të rendit më të lartë.

Një nga vetitë e kësaj teoreme është si vijon: prodhimi i të gjitha fuqive të n-ta është i barabartë me termin e lirë të saj. Kjo veti përdoret shpesh kur zgjidhen ekuacionet e shkallës së tretë ose të katërt për të zvogëluar rendin e polinomit. Nëse një polinom i shkallës së n-të ka rrënjë të plota, atëherë ato mund të përcaktohen lehtësisht me përzgjedhje të thjeshtë. Dhe më pas duke e ndarë polinomin me shprehjen (x-x1), marrim një polinom të shkallës (n-1).

Si përfundim, dëshiroj të vërej se teorema e Vieta është një nga teoremat më të famshme në kursin e algjebrës shkollore. Dhe emri i tij zë një vend të denjë midis emrave të matematikanëve të mëdhenj.

Ekzistojnë një sërë marrëdhëniesh në ekuacionet kuadratike. Ato kryesore janë marrëdhëniet midis rrënjëve dhe koeficientëve. Gjithashtu në ekuacionet kuadratike ka një sërë marrëdhëniesh që jepen nga teorema e Vietës.

Në këtë temë, ne do të paraqesim vetë teoremën e Vietës dhe vërtetimin e saj për një ekuacion kuadratik, teoremën e kundërt me teoremën e Vietës dhe do të analizojmë një sërë shembujsh të zgjidhjes së problemeve. Në material do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë shqyrtimit të formulave të Vieta, të cilat përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale të një ekuacioni algjebrik të shkallës. n dhe koeficientët e tij.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulimi dhe vërtetimi i teoremës së Vietës

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0 të formës x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, ku D = b 2 − 4 a c, vendos marrëdhënie x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Kjo vërtetohet nga teorema e Vietës.

Teorema 1

Në një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, Ku x 1 Dhe x 2– rrënjët, shuma e rrënjëve do të jetë e barabartë me raportin e koeficientëve b Dhe a, e cila është marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me raportin e koeficientëve c Dhe a, d.m.th. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Dëshmia 1

Ne ju ofrojmë skemën e mëposhtme për kryerjen e vërtetimit: merrni formulën e rrënjëve, bëni shumën dhe produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik dhe më pas transformoni shprehjet që rezultojnë në mënyrë që të siguroheni që ato janë të barabarta. - b a Dhe c a përkatësisht.

Le të bëjmë shumën e rrënjëve x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Le t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Le të hapim kllapat në numëruesin e thyesës që rezulton dhe të paraqesim terma të ngjashëm: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Le ta zvogëlojmë thyesën me: 2 - b a = - b a.

Kështu vërtetuam relacionin e parë të teoremës së Vietës, e cila lidhet me shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Tani le të kalojmë në marrëdhënien e dytë.

Për ta bërë këtë, ne duhet të kompozojmë prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Le të kujtojmë rregullin e shumëzimit të thyesave dhe të shkruajmë prodhimin e fundit si më poshtë: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Le të shumëzojmë një kllapë me një kllapa në numëruesin e thyesës, ose të përdorim formulën e diferencës së katrorëve për ta transformuar më shpejt këtë produkt: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Le të përdorim përkufizimin e rrënjës katrore për të bërë kalimin e mëposhtëm: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c korrespondon me diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik, pra, në një fraksion D mund të zëvendësohet b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Le të hapim kllapat, të shtojmë terma të ngjashëm dhe të marrim: 4 · a · c 4 · a 2 . Nëse e shkurtojmë në 4 a, atëherë ajo që mbetet është c a . Kështu vërtetuam relacionin e dytë të teoremës së Vietës për prodhimin e rrënjëve.

Vërtetimi i teoremës së Vietës mund të shkruhet në një formë shumë lakonike nëse i lëmë shpjegimet:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Kur diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është i barabartë me zero, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë. Për të qenë në gjendje të zbatojmë teoremën e Vietës në një ekuacion të tillë, mund të supozojmë se ekuacioni, me një diskriminues të barabartë me zero, ka dy rrënjë identike. Në të vërtetë, kur D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është: - b 2 · a, pastaj x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a dhe x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2, dhe meqenëse D = 0, domethënë b 2 - 4 · a · c = 0, prej nga b 2 = 4 · a · c, pastaj b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Më shpesh në praktikë, teorema e Vietës zbatohet në ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + p x + q = 0, ku koeficienti kryesor a është i barabartë me 1. Në këtë drejtim, teorema e Vietës është formuluar posaçërisht për ekuacione të këtij lloji. Kjo nuk e kufizon përgjithësinë për faktin se çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent. Për ta bërë këtë, duhet të ndani të dy pjesët e tij me një numër të ndryshëm nga zero.

Le të japim një formulim tjetër të teoremës së Vietës.

Teorema 2

Shuma e rrënjëve në ekuacionin e dhënë kuadratik x 2 + p x + q = 0 do të jetë i barabartë me koeficientin e x, i cili merret me shenjën e kundërt, prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me termin e lirë, d.m.th. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Nëse shikoni me kujdes formulimin e dytë të teoremës së Vieta-s, mund të shihni se për rrënjët x 1 Dhe x 2 ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + p x + q = 0 relacionet e mëposhtme do të jenë të vlefshme: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Nga këto marrëdhënie x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q del se x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 + p x + q = 0. Pra, arrijmë në një deklaratë që është e kundërta e teoremës së Vieta-s.

Tani ne propozojmë ta zyrtarizojmë këtë pohim si teoremë dhe të bëjmë vërtetimin e tij.

Teorema 3

Nëse numrat x 1 Dhe x 2 janë të tilla që x 1 + x 2 = − p Dhe x 1 x 2 = q, Kjo x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0.

Dëshmia 2

Zëvendësimi i gjasave fq Dhe q për shprehjen e tyre nëpërmjet x 1 Dhe x 2 ju lejon të transformoni ekuacionin x 2 + p x + q = 0 në një ekuivalent .

Nëse e zëvendësojmë numrin në ekuacionin që rezulton x 1 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo është barazi për cilindo x 1 Dhe x 2 kthehet në një barazi të vërtetë numerike 0 = 0 , sepse x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo do të thotë se x 1– rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pra çfarë x 1është edhe rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 + p x + q = 0.

Zëvendësimi në ekuacion x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numrat x 2 në vend të x na lejon të marrim barazi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi mund të konsiderohet e vërtetë, pasi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Rezulton se x 2është rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 + p x + q = 0.

E kundërta e teoremës së Vietës është vërtetuar.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Le të fillojmë tani të analizojmë shembujt më tipikë mbi këtë temë. Le të fillojmë duke analizuar problemet që kërkojnë aplikimin e teoremës së kundërt ndaj teoremës së Vietës. Mund të përdoret për të kontrolluar numrat e prodhuar nga llogaritjet për të parë nëse ato janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Për ta bërë këtë, duhet të llogarisni shumën dhe diferencën e tyre dhe më pas të kontrolloni vlefshmërinë e marrëdhënieve x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Përmbushja e të dy marrëdhënieve tregon se numrat e fituar gjatë llogaritjeve janë rrënjët e ekuacionit. Nëse shohim që të paktën një nga kushtet nuk plotësohet, atëherë këta numra nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë në deklaratën e problemit.

Shembulli 1

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, ose 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ose 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 është një çift rrënjësh të një ekuacioni kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Zgjidhje

Le të gjejmë koeficientët e ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Kjo është a = 4, b = − 16, c = 9. Sipas teoremës së Vietës, shuma e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik duhet të jetë e barabartë me - b a, domethënë, 16 4 = 4 , dhe produkti i rrënjëve duhet të jetë i barabartë c a, domethënë, 9 4 .

Le t'i kontrollojmë numrat e fituar duke llogaritur shumën dhe prodhimin e numrave nga tre çifte të dhëna dhe duke i krahasuar me vlerat e fituara.

Në rastin e parë x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Kjo vlerë është e ndryshme nga 4, prandaj kontrolli nuk ka nevojë të vazhdojë. Sipas teoremës së kundërt me teoremën e Vietës, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Në rastin e dytë, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Shohim që kushti i parë plotësohet. Por kushti i dytë nuk është: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Vlera që kemi marrë është e ndryshme nga 9 4 . Kjo do të thotë se çifti i dytë i numrave nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë çiftin e tretë. Këtu x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dhe x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Të dyja kushtet janë plotësuar, që do të thotë se x 1 Dhe x 2 janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik të dhënë.

Përgjigje: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Ne gjithashtu mund të përdorim anasjellën e teoremës së Vietës për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Mënyra më e thjeshtë është zgjedhja e rrënjëve të numrave të plotë të ekuacioneve kuadratike të dhëna me koeficientë të plotë. Mund të konsiderohen opsione të tjera. Por kjo mund të komplikojë ndjeshëm llogaritjet.

Për të zgjedhur rrënjët, ne përdorim faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të një ekuacioni kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Shembulli 2

Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik x 2 − 5 x + 6 = 0. Numrat x 1 Dhe x 2 mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni nëse plotësohen dy barazi x 1 + x 2 = 5 Dhe x 1 x 2 = 6. Le të zgjedhim këta numra. Këta janë numrat 2 dhe 3, pasi 2 + 3 = 5 Dhe 2 3 = 6. Rezulton se 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

E kundërta e teoremës së Vietës mund të përdoret për të gjetur rrënjën e dytë kur e para është e njohur ose e dukshme. Për ta bërë këtë, ne mund të përdorim marrëdhëniet x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Shembulli 3

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Është e nevojshme të gjenden rrënjët e këtij ekuacioni.

Zgjidhje

Rrënja e parë e ekuacionit është 1, pasi shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Rezulton se x 1 = 1.

Tani le të gjejmë rrënjën e dytë. Për këtë ju mund të përdorni lidhjen x 1 x 2 = c a. Rezulton se 1 x 2 = − 3,512, ku x 2 = - 3,512.

Përgjigje: rrënjët e ekuacionit kuadratik të specifikuar në deklaratën e problemit 1 Dhe - 3 512 .

Është e mundur të zgjidhen rrënjët duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vieta-s vetëm në raste të thjeshta. Në raste të tjera, është më mirë të kërkoni duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik përmes një diskriminuesi.

Falë të kundërtës së teoremës së Vietës, ne gjithashtu mund të ndërtojmë ekuacione kuadratike duke përdorur rrënjët ekzistuese x 1 Dhe x 2. Për ta bërë këtë, ne duhet të llogarisim shumën e rrënjëve, e cila jep koeficientin për x me shenjën e kundërt të ekuacionit kuadratik të dhënë, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numra − 11 Dhe 23 .

Zgjidhje

Le të supozojmë se x 1 = − 11 Dhe x 2 = 23. Shuma dhe prodhimi i këtyre numrave do të jenë të barabartë: x 1 + x 2 = 12 Dhe x 1 x 2 = − 253. Kjo do të thotë se koeficienti i dytë është 12, termi i lirë − 253.

Le të bëjmë një ekuacion: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Përgjigju: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Ne mund të përdorim teoremën e Vietës për të zgjidhur probleme që përfshijnë shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Lidhja ndërmjet teoremës së Vietës lidhet me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0 si më poshtë:

• nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale dhe nëse termi i ndërprerjes qështë një numër pozitiv, atëherë këto rrënjë do të kenë të njëjtën shenjë "+" ose "-";
• nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë dhe nëse termi i ndërprerjes qështë një numër negativ, atëherë një rrënjë do të jetë "+", dhe e dyta "-".

Të dyja këto pohime janë pasojë e formulës x 1 x 2 = q dhe rregullat për shumëzimin e numrave pozitivë dhe negativë, si dhe numrat me shenja të ndryshme.

Shembulli 5

Janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitive?

Zgjidhje

Sipas teoremës së Vietës, rrënjët e këtij ekuacioni nuk mund të jenë pozitive, pasi ato duhet të plotësojnë barazinë x 1 x 2 = − 21. Kjo është e pamundur me pozitive x 1 Dhe x 2.

Përgjigje: Nr

Shembulli 6

Në cilat vlera parametrash r ekuacioni kuadratik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 do të ketë dy rrënjë reale me shenja të ndryshme.

Zgjidhje

Le të fillojmë duke gjetur vlerat e të cilave r, për të cilin ekuacioni do të ketë dy rrënjë. Le të gjejmë diskriminuesin dhe të shohim se çfarë r do të marrë vlera pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vlera e shprehjes r 2 + 8 pozitive për çdo të vërtetë r, pra, diskriminuesi do të jetë më i madh se zero për çdo real r. Kjo do të thotë që ekuacioni kuadratik origjinal do të ketë dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të shohim kur rrënjët kanë shenja të ndryshme. Kjo është e mundur nëse produkti i tyre është negativ. Sipas teoremës së Vietës, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është i barabartë me termin e lirë. Kjo do të thotë se zgjidhja e saktë do të jenë ato vlera r, për të cilin termi i lirë r − 1 është negativ. Le të zgjidhim pabarazinë lineare r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Përgjigje: në r< 1 .

Formulat Vieta

Ekzistojnë një numër formulash që janë të zbatueshme për të kryer operacione me rrënjët dhe koeficientët e ekuacioneve jo vetëm kuadratike, por edhe kubike dhe lloje të tjera. Quhen formulat e Vietës.

Për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ekuacioni konsiderohet të ketë n rrënjë të vërteta x 1 , x 2 , … , x n, ndër të cilat mund të jenë të njëjta:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Përkufizimi 1

Formulat e Vieta na ndihmojnë të marrim:

• teorema mbi zbërthimin e një polinomi në faktorë linearë;
• përcaktimi i polinomeve të barabarta përmes barazisë së të gjithë koeficientëve të tyre përkatës.

Kështu, polinomi a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) janë të barabarta.

Nëse hapim kllapat në prodhimin e fundit dhe barazojmë koeficientët përkatës, fitojmë formulat e Vieta-s. Duke marrë n = 2, mund të marrim formulën e Vietës për ekuacionin kuadratik: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Përkufizimi 2

Formula e Vieta për ekuacionin kub:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Ana e majtë e formulës Vieta përmban të ashtuquajturat polinome elementare simetrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve