Diskriminuesi është një term me shumë vlera. Në këtë artikull do të flasim për diskriminuesin e një polinomi, i cili ju lejon të përcaktoni nëse një polinom i caktuar ka zgjidhje të vlefshme. Formula për polinomin kuadratik gjendet në lëndën shkollore për algjebër dhe analizë. Si të gjeni një diskriminues? Çfarë nevojitet për të zgjidhur ekuacionin?

Një polinom kuadratik ose ekuacion i shkallës së dytë quhet i * w ^ 2 + j * w + k është e barabartë me 0, ku "i" dhe "j" janë koeficientët e parë dhe të dytë, përkatësisht, "k" është një konstante, e quajtur ndonjëherë "termi shpërfillës" dhe "w" është një variabël. Rrënjët e tij do të jenë të gjitha vlerat e ndryshores në të cilën ai kthehet në identitet. Një barazi e tillë mund të rishkruhet si prodhim i i, (w - w1) dhe (w - w2) i barabartë me 0. Në këtë rast, është e qartë se nëse koeficienti "i" nuk bëhet zero, atëherë funksioni në ana e majtë do të bëhet zero vetëm nëse x merr vlerën w1 ose w2. Këto vlera janë rezultat i vendosjes së polinomit në zero.

Për të gjetur vlerën e një ndryshoreje në të cilën një polinom kuadratik zhduket, përdoret një ndërtim ndihmës, i ndërtuar mbi koeficientët e tij dhe i quajtur diskriminues. Ky dizajn llogaritet sipas formulës D është e barabartë me j * j - 4 * i * k. Pse përdoret?

1. Ai tregon nëse ka rezultate të vlefshme.
2. Ajo ndihmon në llogaritjen e tyre.

Si e tregon kjo vlerë praninë e rrënjëve reale:

• Nëse është pozitive, atëherë mund të gjenden dy rrënjë në rajonin e numrave realë.
• Nëse diskriminuesi është zero, atëherë të dyja zgjidhjet janë të njëjta. Mund të themi se ka vetëm një zgjidhje dhe ajo është nga fusha e numrave realë.
• Nëse diskriminuesi është më i vogël se zero, atëherë polinomi nuk ka rrënjë reale.

Opsionet e llogaritjes për sigurimin e materialit

Për shumën (7 * w^2; 3 * w; 1) e barabartë me 0 Ne llogarisim D duke përdorur formulën 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, marrim -19. Një vlerë diskriminuese nën zero tregon se nuk ka rezultate në linjën aktuale.

Nëse marrim parasysh 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekuivalente me 0, atëherë D llogaritet si (-3) në katror minus produktin e numrave (4; 2; 1) dhe është i barabartë me 9 - 8, domethënë 1. Një vlerë pozitive tregon dy rezultate në vijën reale.

Nëse marrim shumën (w ^ 2; 2 * w; 1) dhe e barazojmë me 0, D llogaritet si dy në katror minus produktin e numrave (4; 1; 1). Kjo shprehje do të thjeshtohet në 4 - 4 dhe do të shkojë në zero. Rezulton se rezultatet janë të njëjta. Nëse shikoni nga afër këtë formulë, do të bëhet e qartë se ky është një "shesh i plotë". Kjo do të thotë se barazia mund të rishkruhet në formën (w + 1) ^ 2 = 0. U bë e qartë se rezultati në këtë problem është "-1". Në një situatë ku D është e barabartë me 0, ana e majtë e barazisë gjithmonë mund të shembet duke përdorur formulën "katrori i shumës".

Përdorimi i një diskriminuesi në llogaritjen e rrënjëve

Ky ndërtim ndihmës jo vetëm që tregon numrin e zgjidhjeve reale, por gjithashtu ndihmon në gjetjen e tyre. Formula e përgjithshme e llogaritjes për një ekuacion të shkallës së dytë është:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ku d është diskriminues në fuqinë e 1/2.

Le të themi se diskriminuesi është nën zero, atëherë d është imagjinar dhe rezultatet janë imagjinare.

D është zero, atëherë d e barabartë me D me fuqinë 1/2 është gjithashtu zero. Zgjidhje: -j / (2 * i). Përsëri duke marrë parasysh 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, gjejmë rezultate ekuivalente me -2 / (2 * 1) = -1.

Supozoni D > 0, atëherë d është një numër real, dhe përgjigja këtu ndahet në dy pjesë: w1 = (-j + d) / (2 * i) dhe w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Të dy rezultatet do të jenë të vlefshme. Le të shohim 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Këtu diskriminuesi dhe d janë njësh. Rezulton se w1 është i barabartë me (3 + 1) i ndarë me (2 * 2) ose 1, dhe w2 është i barabartë me (3 - 1) i ndarë me 2 * 2 ose 1/2.

Rezultati i barazimit të një shprehjeje kuadratike me zero llogaritet sipas algoritmit:

1. Përcaktimi i numrit të zgjidhjeve të vlefshme.
2. Llogaritja d = D^(1/2).
3. Gjetja e rezultatit sipas formulës (-j +/- d) / (2 * i).
4. Zëvendësimi i rezultatit të marrë në barazinë origjinale për verifikim.

Disa raste të veçanta

Në varësi të koeficientëve, zgjidhja mund të thjeshtohet disi. Natyrisht, nëse koeficienti i një ndryshoreje ndaj fuqisë së dytë është zero, atëherë fitohet një barazi lineare. Kur koeficienti i një ndryshoreje ndaj fuqisë së parë është zero, atëherë janë të mundshme dy opsione:

1. polinomi zgjerohet në një diferencë katrorësh kur termi i lirë është negativ;
2. për një konstante pozitive, nuk mund të gjenden zgjidhje reale.

Nëse termi i lirë është zero, atëherë rrënjët do të jenë (0; -j)

Por ka raste të tjera të veçanta që thjeshtojnë gjetjen e një zgjidhjeje.

Ekuacioni i shkallës së dytë të reduktuar

E dhëna quhet një trinom i tillë kuadratik ku koeficienti i termit kryesor është një. Për këtë situatë, është e zbatueshme teorema e Vietës, e cila thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e ndryshores në fuqinë e parë, shumëzuar me -1, dhe produkti korrespondon me konstanten "k".

Prandaj, w1 + w2 është e barabartë me -j dhe w1 * w2 është e barabartë me k nëse koeficienti i parë është një. Për të verifikuar korrektësinë e këtij përfaqësimi, mund të shprehni w2 = -j - w1 nga formula e parë dhe ta zëvendësoni atë në barazinë e dytë w1 * (-j - w1) = k. Rezultati është barazia origjinale w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Është e rëndësishme të theksohet, që i * w ^ 2 + j * w + k = 0 mund të arrihet duke pjesëtuar me “i”. Rezultati do të jetë: w^2 + j1 * w + k1 = 0, ku j1 është e barabartë me j/i dhe k1 është e barabartë me k/i.

Le të shohim 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 tashmë të zgjidhura me rezultatet w1 = 1 dhe w2 = 1/2. Duhet ta ndajmë në gjysmë, si rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Le të kontrollojmë nëse kushtet e teoremës janë të vërteta për rezultatet e gjetura: 1 + 1/2 = 3/ 2 dhe 1*1/2 = 1/2.

Edhe faktori i dytë

Nëse faktori i një ndryshoreje me fuqinë e parë (j) pjesëtohet me 2, atëherë do të jetë e mundur të thjeshtohet formula dhe të kërkohet një zgjidhje përmes një të katërtës së diskriminuesit D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. rezulton w = (-j +/- d/2) / i, ku d/2 = D/4 në fuqinë 1/2.

Nëse i = 1, dhe koeficienti j është çift, atëherë zgjidhja do të jetë prodhimi i -1 dhe gjysmës së koeficientit të ndryshores w, plus/minus rrënjën e katrorit të kësaj gjysme minus konstanten “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Rendi më i lartë diskriminues

Diskriminuesi i trinomit të shkallës së dytë i diskutuar më sipër është rasti i veçantë më i përdorur. Në rastin e përgjithshëm, diskriminuesi i një polinomi është katrorët e shumëzuar të dallimeve të rrënjëve të këtij polinomi. Prandaj, një diskriminues i barabartë me zero tregon praninë e të paktën dy zgjidhjeve të shumëfishta.

Konsideroni i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Supozoni se diskriminuesi kalon zero. Kjo do të thotë se ka tre rrënjë në rajonin e numrave realë. Në zero ka shumë zgjidhje. Nëse D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Videoja jonë do t'ju tregojë në detaje rreth llogaritjes së diskriminuesit.

Nuk morët përgjigje për pyetjen tuaj? Sugjeroni një temë për autorët.

Niveli i parë

Ekuacionet kuadratike. Udhëzuesi Gjithëpërfshirës (2019)

Në termin "ekuacion kuadratik", fjala kyçe është "kuadratike". Kjo do të thotë që ekuacioni duhet të përmbajë domosdoshmërisht një ndryshore (të njëjtin x) në katror, ​​dhe nuk duhet të ketë xes për fuqinë e tretë (ose më të madhe).

Zgjidhja e shumë ekuacioneve zbret në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Le të mësojmë të përcaktojmë se ky është një ekuacion kuadratik dhe jo ndonjë ekuacion tjetër.

Shembulli 1.

Le të heqim qafe emëruesin dhe të shumëzojmë çdo term të ekuacionit me

Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë dhe të rregullojmë termat në rendin zbritës të fuqive të X

Tani mund të themi me besim se ky ekuacion është kuadratik!

Shembulli 2.

Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:

Ky ekuacion, megjithëse ishte fillimisht në të, nuk është kuadratik!

Shembulli 3.

Le të shumëzojmë gjithçka me:

E frikshme? Shkalla e katërt dhe e dytë... Megjithatë, nëse bëjmë një zëvendësim, do të shohim se kemi një ekuacion të thjeshtë kuadratik:

Shembulli 4.

Duket se është atje, por le të hedhim një vështrim më të afërt. Le të lëvizim gjithçka në anën e majtë:

Shihni, është reduktuar - dhe tani është një ekuacion i thjeshtë linear!

Tani përpiquni të përcaktoni vetë se cilat nga ekuacionet e mëposhtme janë kuadratike dhe cilat jo:

Shembuj:

Përgjigjet:

1. katror;
2. katror;
3. jo katror;
4. jo katror;
5. jo katror;
6. katror;
7. jo katror;
8. katrore.

Matematikanët në mënyrë konvencionale i ndajnë të gjitha ekuacionet kuadratike në llojet e mëposhtme:

• Ekuacionet e plota kuadratike- ekuacionet në të cilat koeficientët dhe, si dhe termi i lirë c, nuk janë të barabartë me zero (si në shembull). Përveç kësaj, midis ekuacioneve të plota kuadratike ekzistojnë dhënë- këto janë ekuacione në të cilat koeficienti (ekuacioni nga shembulli i parë nuk është vetëm i plotë, por edhe i reduktuar!)

• Ekuacionet kuadratike jo të plota- ekuacionet në të cilat koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

  Ato janë të paplota sepse u mungon një element. Por ekuacioni duhet të përmbajë gjithmonë x në katror!!! Përndryshe, nuk do të jetë më një ekuacion kuadratik, por një ekuacion tjetër.

Pse dolën me një ndarje të tillë? Duket se ka një X në katror, ​​dhe në rregull. Kjo ndarje përcaktohet nga metodat e zgjidhjes. Le të shohim secilën prej tyre në më shumë detaje.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota

Së pari, le të përqendrohemi në zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë shumë më të thjeshta!

Ekzistojnë lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.
2. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.
3. , në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

1. i. Meqenëse dimë të marrim rrënjën katrore, le të përdorim këtë ekuacion për t'u shprehur

Shprehja mund të jetë ose negative ose pozitive. Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzohen dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv, pra: nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Dhe nëse, atëherë marrim dy rrënjë. Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore është që ju duhet të dini dhe të mbani mend gjithmonë se nuk mund të jetë më pak.

Le të përpiqemi të zgjidhim disa shembuj.

Shembulli 5:

Zgjidhe ekuacionin

Tani mbetet vetëm nxjerrja e rrënjës nga anët e majta dhe të djathta. Në fund të fundit, ju kujtohet se si të nxirrni rrënjët?

Përgjigje:

Mos harroni kurrë për rrënjët me një shenjë negative!!!

Shembulli 6:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 7:

Zgjidhe ekuacionin

Oh! Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë!

Për ekuacione të tilla që nuk kanë rrënjë, matematikanët dolën me një ikonë të veçantë - (grup bosh). Dhe përgjigja mund të shkruhet kështu:

Përgjigje:

Kështu, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë. Këtu nuk ka kufizime, pasi nuk e kemi nxjerrë rrënjën.
Shembulli 8:

Zgjidhe ekuacionin

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Kështu,

Ky ekuacion ka dy rrënjë.

Përgjigje:

Lloji më i thjeshtë i ekuacioneve kuadratike jo të plota (edhe pse të gjitha janë të thjeshta, apo jo?). Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Këtu do të heqim dorë nga shembujt.

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike

Ju kujtojmë se një ekuacion i plotë kuadratik është një ekuacion i ekuacionit të formës ku

Zgjidhja e ekuacioneve të plota kuadratike është pak më e vështirë (vetëm pak) se këto.

Mbani mend, Çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

Metodat e tjera do t'ju ndihmojnë ta bëni atë më shpejt, por nëse keni probleme me ekuacionet kuadratike, së pari zotëroni zgjidhjen duke përdorur diskriminuesin.

1. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur një diskriminues.

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur këtë metodë është shumë e thjeshtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula.

Nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, duhet t'i kushtoni vëmendje të veçantë hapit. Diskriminuesi () na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë formula në hap do të reduktohet në. Kështu, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë.
• Nëse, atëherë nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit në hap. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Le të kthehemi te ekuacionet tona dhe të shohim disa shembuj.

Shembulli 9:

Zgjidhe ekuacionin

Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë se ekuacioni ka dy rrënjë.

Hapi 3.

Përgjigje:

Shembulli 10:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ekuacioni ka një rrënjë.

Përgjigje:

Shembulli 11:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni paraqitet në formë standarde, pra Hapi 1 ne kapërcejmë.

Hapi 2.

Gjejmë diskriminuesin:

Kjo do të thotë që ne nuk do të jemi në gjendje të nxjerrim rrënjën e diskriminuesit. Nuk ka rrënjë të ekuacionit.

Tani ne e dimë se si t'i shkruajmë saktë përgjigje të tilla.

Përgjigje: pa rrënjë

2. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike duke përdorur teoremën e Vietës.

Nëse ju kujtohet, ekziston një lloj ekuacioni që quhet i reduktuar (kur koeficienti a është i barabartë me):

Ekuacione të tilla janë shumë të lehta për t'u zgjidhur duke përdorur teoremën e Vieta:

Shuma e rrënjëve dhënë ekuacioni kuadratik është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë.

Shembulli 12:

Zgjidhe ekuacionin

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është e barabartë, d.m.th. marrim ekuacionin e parë:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të hartojmë dhe zgjidhim sistemin:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Përgjigje: ; .

Shembulli 13:

Zgjidhe ekuacionin

Përgjigje:

Shembulli 14:

Zgjidhe ekuacionin

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Përgjigje:

EKUACIONET KUADRATIKE. NIVELI MESATAR

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Me fjalë të tjera, një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - disa numra dhe.

Numri quhet më i larti ose koeficienti i parë ekuacioni kuadratik, - koeficienti i dytë, A - anëtar i lirë.

Pse? Sepse nëse ekuacioni bëhet menjëherë linear, sepse do të zhduket.

Në këtë rast, dhe mund të jetë e barabartë me zero. Në këtë karrige ekuacioni quhet jo i plotë. Nëse të gjithë termat janë në vend, domethënë, ekuacioni është i plotë.

Zgjidhje të llojeve të ndryshme të ekuacioneve kuadratike

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota:

Së pari, le të shohim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota - ato janë më të thjeshta.

Mund të dallojmë llojet e mëposhtme të ekuacioneve:

I., në këtë ekuacion koeficienti dhe termi i lirë janë të barabartë.

II. , në këtë ekuacion koeficienti është i barabartë.

III. , në këtë ekuacion termi i lirë është i barabartë me.

Tani le të shohim zgjidhjen për secilin nga këto nëntipe.

Natyrisht, ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë:

Një numër në katror nuk mund të jetë negativ, sepse kur shumëzoni dy numra negativë ose dy numra pozitivë, rezultati do të jetë gjithmonë një numër pozitiv. Kjo është arsyeja pse:

nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje;

nëse kemi dy rrënjë

Nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto formula. Gjëja kryesore për të mbajtur mend është se nuk mund të jetë më pak.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Asnjëherë mos harroni për rrënjët me një shenjë negative!

Katrori i një numri nuk mund të jetë negativ, që do të thotë se ekuacioni

pa rrënjë.

Për të shkruar shkurtimisht se një problem nuk ka zgjidhje, ne përdorim ikonën e setit bosh.

Përgjigje:

Pra, ky ekuacion ka dy rrënjë: dhe.

Përgjigje:

Le të heqim faktorin e përbashkët nga kllapat:

Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që ekuacioni ka një zgjidhje kur:

Pra, ky ekuacion kuadratik ka dy rrënjë: dhe.

Shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe të gjejmë rrënjët:

Përgjigje:

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike:

1. Diskriminues

Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në këtë mënyrë është e lehtë, gjëja kryesore është të mbani mend sekuencën e veprimeve dhe disa formula. Mos harroni, çdo ekuacion kuadratik mund të zgjidhet duke përdorur një diskriminues! Edhe e paplotë.

E keni vënë re rrënjën nga diskriminuesi në formulën për rrënjët? Por diskriminuesi mund të jetë negativ. Çfarë duhet bërë? Duhet t'i kushtojmë vëmendje të veçantë hapit 2. Diskriminuesi na tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit.

• Nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë:
• Nëse, atëherë ekuacioni ka të njëjtat rrënjë, dhe në fakt, një rrënjë:

  Rrënjë të tilla quhen rrënjë të dyfishta.

• Nëse, atëherë rrënja e diskriminuesit nuk nxirret. Kjo tregon se ekuacioni nuk ka rrënjë.

Pse janë të mundshme numra të ndryshëm rrënjësh? Le të kthehemi te kuptimi gjeometrik i ekuacionit kuadratik. Grafiku i funksionit është një parabolë:

Në një rast të veçantë, i cili është një ekuacion kuadratik, . Kjo do të thotë se rrënjët e një ekuacioni kuadratik janë pikat e kryqëzimit me boshtin (boshtin) e abshisave. Një parabolë mund të mos e presë fare boshtin, ose mund ta presë atë në një (kur kulmi i parabolës shtrihet në bosht) ose dy pika.

Përveç kësaj, koeficienti është përgjegjës për drejtimin e degëve të parabolës. Nëse, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart, dhe nëse, atëherë poshtë.

Shembuj:

Zgjidhjet:

Përgjigje:

Përgjigje:.

Përgjigje:

Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje.

Përgjigje:.

2. Teorema e Vietës

Është shumë e lehtë të përdoret teorema e Vietës: thjesht duhet të zgjidhni një çift numrash produkti i të cilëve është i barabartë me termin e lirë të ekuacionit, dhe shuma është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë me shenjën e kundërt.

Është e rëndësishme të mbani mend se teorema e Vietës mund të zbatohet vetëm në ekuacionet kuadratike të reduktuara ().

Le të shohim disa shembuj:

Shembulli #1:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ky ekuacion mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës sepse . Koeficientët e tjerë: ; .

Shuma e rrënjëve të ekuacionit është:

Dhe produkti është i barabartë me:

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë me;
• Dhe. Shuma është e barabartë.

dhe janë zgjidhja e sistemit:

Kështu, dhe janë rrënjët e ekuacionit tonë.

Përgjigje: ; .

Shembulli #2:

Zgjidhja:

Le të zgjedhim çifte numrash që japin produktin dhe më pas të kontrollojmë nëse shuma e tyre është e barabartë:

dhe: japin gjithsej.

dhe: japin gjithsej. Për të marrë, mjafton thjesht të ndryshoni shenjat e rrënjëve të supozuara: dhe, në fund të fundit, produktin.

Përgjigje:

Shembulli #3:

Zgjidhja:

Termi i lirë i ekuacionit është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është një numër negativ. Kjo është e mundur vetëm nëse njëra prej rrënjëve është negative dhe tjetra është pozitive. Prandaj shuma e rrënjëve është e barabartë me dallimet e moduleve të tyre.

Le të zgjedhim çifte numrash që japin në produkt dhe ndryshimi i të cilëve është i barabartë me:

dhe: dallimi i tyre është i barabartë - nuk përshtatet;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - jo i përshtatshëm;

dhe: - të përshtatshme. Mbetet vetëm të kujtojmë se një nga rrënjët është negative. Meqenëse shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, rrënja me modul më të vogël duhet të jetë negative: . Ne kontrollojmë:

Përgjigje:

Shembulli #4:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Termi i lirë është negativ, dhe për këtë arsye produkti i rrënjëve është negativ. Dhe kjo është e mundur vetëm kur njëra rrënjë e ekuacionit është negative dhe tjetra është pozitive.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë dhe më pas të përcaktojmë se cilat rrënjë duhet të kenë një shenjë negative:

Natyrisht, vetëm rrënjët dhe janë të përshtatshme për kushtin e parë:

Përgjigje:

Shembulli #5:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ekuacioni është dhënë, që do të thotë:

Shuma e rrënjëve është negative, që do të thotë se të paktën njëra prej rrënjëve është negative. Por meqenëse produkti i tyre është pozitiv, do të thotë që të dy rrënjët kanë një shenjë minus.

Le të zgjedhim çifte numrash prodhimi i të cilëve është i barabartë me:

Natyrisht, rrënjët janë numrat dhe.

Përgjigje:

Pajtohem, është shumë e përshtatshme të dalësh me rrënjë me gojë, në vend që të numërosh këtë diskriminues të keq. Mundohuni të përdorni teoremën e Vietës sa më shpesh të jetë e mundur.

Por teorema e Vietës është e nevojshme për të lehtësuar dhe përshpejtuar gjetjen e rrënjëve. Në mënyrë që të përfitoni nga përdorimi i tij, duhet t'i çoni veprimet në automatik. Dhe për këtë, zgjidhni pesë shembuj të tjerë. Por mos mashtroni: nuk mund të përdorni një diskriminues! Vetëm teorema e Vietës:

Zgjidhje për detyrat për punë të pavarur:

Detyra 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Sipas teoremës së Vieta:

Si zakonisht, ne e fillojmë përzgjedhjen me pjesën:

Jo i përshtatshëm për shkak të sasisë;

: shuma është pikërisht ajo që ju nevojitet.

Përgjigje: ; .

Detyra 2.

Dhe përsëri teorema jonë e preferuar Vieta: shuma duhet të jetë e barabartë dhe prodhimi duhet të jetë i barabartë.

Por meqenëse nuk duhet të jetë, por, ne ndryshojmë shenjat e rrënjëve: dhe (në total).

Përgjigje: ; .

Detyra 3.

Hmm... Ku është?

Ju duhet të zhvendosni të gjitha termat në një pjesë:

Shuma e rrënjëve është e barabartë me produktin.

Në rregull, ndalo! Ekuacioni nuk është dhënë. Por teorema e Vietës është e zbatueshme vetëm në ekuacionet e dhëna. Pra, së pari ju duhet të jepni një ekuacion. Nëse nuk mund të udhëheqni, hiqni dorë nga kjo ide dhe zgjidheni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi). Më lejoni t'ju kujtoj se të japësh një ekuacion kuadratik do të thotë të bësh koeficientin kryesor të barabartë:

E madhe. Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me dhe produktin.

Këtu është po aq e lehtë sa të zgjidhësh dardhat: në fund të fundit, është një numër kryesor (më falni për tautologjinë).

Përgjigje: ; .

Detyra 4.

Anëtari i lirë është negativ. Çfarë të veçantë ka kjo? Dhe fakti është se rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Dhe tani, gjatë përzgjedhjes, ne kontrollojmë jo shumën e rrënjëve, por ndryshimin në modulet e tyre: ky ndryshim është i barabartë, por një produkt.

Pra, rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Teorema e Vietës na thotë se shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin e dytë me shenjën e kundërt, d.m.th. Kjo do të thotë se rrënja më e vogël do të ketë një minus: dhe, pasi.

Përgjigje: ; .

Detyra 5.

Çfarë duhet të bëni së pari? Kjo është e drejtë, jepni ekuacionin:

Përsëri: ne zgjedhim faktorët e numrit dhe ndryshimi i tyre duhet të jetë i barabartë me:

Rrënjët janë të barabarta me dhe, por njëra prej tyre është minus. Cilin? Shuma e tyre duhet të jetë e barabartë, që do të thotë se minusi do të ketë një rrënjë më të madhe.

Përgjigje: ; .

Më lejoni të përmbledh:

1. Teorema e Vietës përdoret vetëm në ekuacionet kuadratike të dhëna.
2. Duke përdorur teoremën e Vietës, mund të gjeni rrënjët me përzgjedhje, me gojë.
3. Nëse ekuacioni nuk është dhënë ose nuk gjendet asnjë çift i përshtatshëm faktorësh të termit të lirë, atëherë nuk ka rrënjë të tëra dhe ju duhet ta zgjidhni atë në një mënyrë tjetër (për shembull, përmes një diskriminuesi).

3. Metoda për zgjedhjen e një katrori të plotë

Nëse të gjithë termat që përmbajnë të panjohurën përfaqësohen në formën e termave nga formulat e shkurtuara të shumëzimit - katrori i shumës ose ndryshimit - atëherë pas zëvendësimit të variablave, ekuacioni mund të paraqitet në formën e një ekuacioni kuadratik jo të plotë të llojit.

Për shembull:

Shembulli 1:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Shembulli 2:

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Përgjigje:

Në përgjithësi, transformimi do të duket si ky:

Kjo nënkupton:.

Nuk ju kujton asgjë? Kjo është një gjë diskriminuese! Pikërisht kështu kemi marrë formulën e diskriminimit.

EKUACIONET KUADRATIKE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Ekuacioni kuadratik- ky është një ekuacion i formës, ku - e panjohura, - koeficientët e ekuacionit kuadratik, - termi i lirë.

Ekuacioni i plotë kuadratik- një ekuacion në të cilin koeficientët nuk janë të barabartë me zero.

Ekuacioni kuadratik i reduktuar- një ekuacion në të cilin koeficienti, që është: .

Ekuacioni kuadratik jo i plotë- një ekuacion në të cilin koeficienti dhe ose termi i lirë c janë të barabartë me zero:

• nëse koeficienti, ekuacioni duket si: ,
• nëse ka një term të lirë, ekuacioni ka formën:
• nëse dhe, ekuacioni duket si: .

1. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota

1.1. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të shprehim të panjohurën: ,

2) Kontrolloni shenjën e shprehjes:

• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje,
• nëse, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

1.2. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku, :

1) Le të nxjerrim faktorin e përbashkët nga kllapat: ,

2) Produkti është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero. Prandaj, ekuacioni ka dy rrënjë:

1.3. Një ekuacion kuadratik jo i plotë i formës, ku:

Ky ekuacion ka gjithmonë vetëm një rrënjë: .

2. Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike të formës ku

2.1. Zgjidhje duke përdorur diskriminues

1) Le ta sjellim ekuacionin në formën standarde: ,

2) Le të llogarisim diskriminuesin duke përdorur formulën: , e cila tregon numrin e rrënjëve të ekuacionit:

3) Gjeni rrënjët e ekuacionit:

• nëse, atëherë ekuacioni ka rrënjë, të cilat gjenden me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni ka një rrënjë, e cila gjendet me formulën:
• nëse, atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

2.2. Zgjidhje duke përdorur teoremën e Vietës

Shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar (ekuacioni i formës ku) është i barabartë, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë, d.m.th. , A.

2.3. Zgjidhja me metodën e zgjedhjes së një katrori të plotë

Shpresoj që pasi të keni studiuar këtë artikull do të mësoni se si të gjeni rrënjët e një ekuacioni të plotë kuadratik.

Duke përdorur diskriminuesin, zgjidhen vetëm ekuacionet e plota kuadratike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota, përdoren metoda të tjera, të cilat do t'i gjeni në artikullin "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike jo të plota".

Cilat ekuacione kuadratike quhen të plota? Kjo ekuacionet e formës ax 2 + b x + c = 0, ku koeficientët a, b dhe c nuk janë të barabartë me zero. Pra, për të zgjidhur një ekuacion të plotë kuadratik, duhet të llogarisim diskriminuesin D.

D = b 2 – 4ac.

Në varësi të vlerës së diskriminuesit, do ta shkruajmë përgjigjen.

Nëse diskriminuesi është një numër negativ (D< 0),то корней нет.

Nëse diskriminuesi është zero, atëherë x = (-b)/2a. Kur diskriminuesi është një numër pozitiv (D > 0),

atëherë x 1 = (-b - √D)/2a, dhe x 2 = (-b + √D)/2a.

Për shembull. Zgjidhe ekuacionin x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Përgjigje: 2.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Përgjigje: pa rrënjë.

Zgjidh ekuacionin 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Përgjigje: – 3,5; 1.

Pra, le të imagjinojmë zgjidhjen e ekuacioneve të plota kuadratike duke përdorur diagramin në Figurën 1.

Duke përdorur këto formula ju mund të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik. Thjesht duhet të keni kujdes ekuacioni është shkruar si një polinom i formës standarde

A x 2 + bx + c, përndryshe mund të bëni një gabim. Për shembull, kur shkruani ekuacionin x + 3 + 2x 2 = 0, mund të vendosni gabimisht se

a = 1, b = 3 dhe c = 2. Pastaj

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dhe pastaj ekuacioni ka dy rrënjë. Dhe kjo nuk është e vërtetë. (Shih zgjidhjen e shembullit 2 më lart).

Prandaj, nëse ekuacioni nuk shkruhet si polinom i formës standarde, së pari duhet të shkruhet ekuacioni i plotë kuadratik si një polinom i formës standarde (monomi me eksponentin më të madh duhet të jetë i pari, d.m.th. A x 2 , pastaj me më pak – bx dhe më pas një anëtar i lirë Me.

Kur zgjidhni ekuacionin kuadratik të reduktuar dhe një ekuacion kuadratik me një koeficient çift në termin e dytë, mund të përdorni formula të tjera. Le të njihemi me këto formula. Nëse në një ekuacion të plotë kuadratik termi i dytë ka një koeficient çift (b = 2k), atëherë mund ta zgjidhni ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 2.

Një ekuacion i plotë kuadratik quhet i reduktuar nëse koeficienti është në x 2 është e barabartë me një dhe ekuacioni merr formën x 2 + px + q = 0. Një ekuacion i tillë mund të jepet për zgjidhje, ose mund të merret duke pjesëtuar të gjithë koeficientët e ekuacionit me koeficientin A, duke qëndruar në x 2 .

Figura 3 tregon një diagram për zgjidhjen e katrorit të reduktuar
ekuacionet. Le të shohim një shembull të aplikimit të formulave të diskutuara në këtë artikull.

Shembull. Zgjidhe ekuacionin

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Le ta zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3

Mund të vëreni se koeficienti i x në këtë ekuacion është një numër çift, domethënë b = 6 ose b = 2k, prej nga k = 3. Më pas le të përpiqemi ta zgjidhim ekuacionin duke përdorur formulat e paraqitura në diagramin e figurës D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3. Duke vënë re se të gjithë koeficientët në këtë ekuacion kuadratik janë të pjesëtueshëm me 3 dhe duke kryer pjesëtimin, marrim ekuacionin kuadratik të reduktuar x 2 + 2x – 2 = 0 Zgjidheni këtë ekuacion duke përdorur formulat për kuadrin e reduktuar.
ekuacionet figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Përgjigje: –1 – √3; –1 + √3.

Siç mund ta shihni, kur zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur formula të ndryshme, morëm të njëjtën përgjigje. Prandaj, pasi të keni zotëruar plotësisht formulat e paraqitura në diagramin në Figurën 1, gjithmonë do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo ekuacion të plotë kuadratik.

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Mes gjithë kurrikulës shkollore të algjebrës, një nga temat më të gjera është tema e ekuacioneve kuadratike. Në këtë rast, një ekuacion kuadratik kuptohet si një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0 (lexo: a e shumëzuar me x në katror plus x plus ce është e barabartë me zero, ku a nuk është e barabartë me zero). Në këtë rast, vendin kryesor e zënë formulat për gjetjen e diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik të tipit të specifikuar, i cili kuptohet si një shprehje që lejon të përcaktojë praninë ose mungesën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik, si dhe të tyre. numri (nëse ka).

Formula (ekuacioni) i diskriminuesit të një ekuacioni kuadratik

Formula e pranuar përgjithësisht për diskriminuesin e një ekuacioni kuadratik është si më poshtë: D = b 2 – 4ac. Duke llogaritur diskriminuesin duke përdorur formulën e specifikuar, jo vetëm që mund të përcaktoni praninë dhe numrin e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik, por gjithashtu zgjidhni një metodë për gjetjen e këtyre rrënjëve, nga të cilat ka disa në varësi të llojit të ekuacionit kuadratik.

Çfarë do të thotë nëse diskriminuesi është zero \ Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik nëse diskriminuesi është zero

Diskriminuesi, siç del nga formula, shënohet me shkronjën latine D. Në rastin kur diskriminuesi është i barabartë me zero, duhet të konkludohet se një ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, ka vetëm një rrënjë, e cila llogaritet me formulë të thjeshtuar. Kjo formulë zbatohet vetëm kur diskriminuesi është zero dhe duket kështu: x = –b/2a, ku x është rrënja e ekuacionit kuadratik, b dhe a janë variablat përkatëse të ekuacionit kuadratik. Për të gjetur rrënjën e një ekuacioni kuadratik, duhet të pjesëtoni vlerën negative të ndryshores b me dyfishin e vlerës së ndryshores a. Shprehja që rezulton do të jetë zgjidhja e një ekuacioni kuadratik.

Zgjidhja e një ekuacioni kuadratik duke përdorur një diskriminues

Nëse, gjatë llogaritjes së diskriminuesit duke përdorur formulën e mësipërme, fitohet një vlerë pozitive (D është më e madhe se zero), atëherë ekuacioni kuadratik ka dy rrënjë, të cilat llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Më shpesh, diskriminuesi nuk llogaritet veçmas, por shprehja radikale në formën e një formule diskriminuese thjesht zëvendësohet në vlerën D nga e cila nxirret rrënja. Nëse ndryshorja b ka një vlerë çift, atëherë për të llogaritur rrënjët e një ekuacioni kuadratik të formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, mund të përdorni edhe formulat e mëposhtme: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, ku k = b/2.

Në disa raste, për të zgjidhur praktikisht ekuacionet kuadratike, mund të përdorni teoremën e Vietës, e cila thotë se për shumën e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik të formës x 2 + px + q = 0, vlera x 1 + x 2 = –p do të jetë e vërtetë, dhe për produktin e rrënjëve të ekuacionit të specifikuar – shprehja x 1 x x 2 = q.

A mund të jetë diskriminuesi më i vogël se zero?

Kur llogaritni vlerën diskriminuese, mund të hasni në një situatë që nuk bie në asnjë nga rastet e përshkruara - kur diskriminuesi ka një vlerë negative (d.m.th., më pak se zero). Në këtë rast, përgjithësisht pranohet se një ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0, ku a ≠ 0, nuk ka rrënjë reale, prandaj, zgjidhja e tij do të kufizohet në llogaritjen e diskriminuesit dhe formulave të mësipërme. sepse rrënjët e një ekuacioni kuadratik nuk do të zbatohen në këtë rast do të ketë. Në të njëjtën kohë, në përgjigjen e ekuacionit kuadratik shkruhet se "ekuacioni nuk ka rrënjë reale".

Video shpjeguese:

Zgjidhni kategorinë Libra Matematikë Fizikë Kontrolli dhe menaxhimi i aksesit Siguria nga zjarri Furnizuesit e pajisjeve të dobishme Instrumentet matëse Matja e lagështisë - furnizuesit në Federatën Ruse. Ftohës (Ftohës) R22 - Difluoroklorometan (CF2ClH) Ftohës (Ftohës) R32 - Difluorometan (CH2F2). Figurat gjeometrike. Vetitë, formulat: perimetra, sipërfaqet, vëllimet, gjatësitë. Trekëndëshat, drejtkëndëshat etj. Shkallët në radianë. Ndërfaqet e lidhjes. Paraqitje grafike konvencionale në projektet e ngrohjes, ventilimit, ajrit të kondicionuar dhe ngrohjes dhe ftohjes, sipas standardit ANSI/ASHRAE 134-2005. Madhësitë elektrike dhe magnetike Momentet e dipolit elektrike.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve