Shembuj të funksioneve të dhëna pjesërisht të zgjidhjes. Caktimi i nënkuptuar i funksionit

Caktimi i funksionit analitik

Është dhënë funksioni %%y = f(x), x \në X%%. në mënyrë të qartë analitike, nëse jepet një formulë që tregon sekuencën operacionet matematikore, i cili duhet të ekzekutohet me argumentin %%x%% për të marrë vlerën %%f(x)%% të këtij funksioni.

Shembull

%% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
%% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
%% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Kështu, për shembull, në fizikë me nxitim uniform lëvizje e drejtë shpejtësia e një trupi përcaktohet nga formula %%v = v_0 + a t%%, dhe formula për lëvizjen %%s%% të një trupi me lëvizje të përshpejtuar uniformisht gjatë një periudhe kohore nga %%0%% në %% t%% shkruhet si: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Funksionet e përcaktuara pjesë-pjesë

Ndonjëherë funksioni në fjalë mund të specifikohet nga disa formula që veprojnë në pjesë të ndryshme të domenit të tij të përkufizimit, në të cilat ndryshon argumenti i funksionit. Për shembull: $$ y = \fillimi(rastet) x ^ 2,~ nëse~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funksionet e këtij lloji quhen ndonjëherë të përbëra ose të specifikuara pjesë-pjesë. Një shembull i një funksioni të tillë është %%y = |x|%%

Funksioni Domain

Nëse një funksion specifikohet në mënyrë të qartë analitike duke përdorur një formulë, por domeni i përcaktimit të funksionit në formën e grupit %%D%% nuk është specifikuar, atëherë me %%D%% do të nënkuptojmë gjithmonë grupin të vlerave të argumentit %%x%% për të cilat këtë formulë ka kuptimin. Pra, për funksionin %%y = x^2%% domeni i përkufizimit është bashkësia %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, pasi argumenti %%x%% mund të marrë çdo vlerë rreshti numerik. Dhe për funksionin %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% domeni i përkufizimit do të jetë grupi i vlerave %%x%% që plotëson pabarazinë %%1 - x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1, 1)%%.

Avantazhet e specifikimit të qartë të një funksioni në mënyrë analitike

Vini re atë të qartë metodë analitike Përcaktimi i një funksioni është mjaft kompakt (formula, si rregull, zë pak hapësirë), e lehtë për t'u riprodhuar (formula nuk është e vështirë për t'u shkruar) dhe është më e përshtatshme për kryerjen e operacioneve dhe transformimeve matematikore në funksione.

Disa nga këto veprime - algjebrike (mbledhje, shumëzim, etj.) - janë të njohura nga kursi shkollor matematika, të tjerat (diferencimi, integrimi) do të studiohen në të ardhmen. Sidoqoftë, kjo metodë nuk është gjithmonë e qartë, pasi natyra e varësisë së funksionit nga argumenti nuk është gjithmonë e qartë, dhe ndonjëherë kërkohen llogaritje të rënda për të gjetur vlerat e funksionit (nëse janë të nevojshme).

Caktimi i nënkuptuar i funksionit

Funksioni %%y = f(x)%% i përcaktuar në mënyrë të nënkuptuar analitike, nëse është dhënë relacioni $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ duke lidhur vlerat e funksionit %%y%% dhe argumentin %% x%%. Nëse specifikoni vlerat e argumentit, atëherë për të gjetur vlerën e %%y%% që korrespondon me një vlerë specifike prej %%x%%, ju duhet të zgjidhni ekuacionin %%(1)%% për %%y%% në këtë vlera specifike prej %%x%%.

Për vlera e dhënë%%x%% ekuacioni %%(1)%% mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë më shumë se një zgjidhje. Në rastin e parë vlera e vendosur%%x%% nuk i përket fushës së funksionit të specifikuar në mënyrë implicite, por në rastin e dytë ai specifikon funksion me shumë vlera, e cila ka më shumë se një kuptim për një vlerë të caktuar argumenti.

Vini re se nëse ekuacioni %%(1)%% mund të zgjidhet në mënyrë eksplicite në lidhje me %%y = f(x)%%, atëherë marrim të njëjtin funksion, por tashmë të specifikuar në një mënyrë analitike eksplicite. Pra, ekuacioni %%x + y^5 - 1 = 0%%

dhe barazia %%y = \sqrt(1 - x)%% përcaktojnë të njëjtin funksion.

Specifikimi i funksionit parametrik

Kur varësia e %%y%% nga %%x%% nuk jepet drejtpërdrejt, por në vend të kësaj janë dhënë varësitë e të dy variablave %%x%% dhe %%y%% nga një variabël i tretë ndihmës %%t%% në formën

$$ \fillimi(rastet) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(rastet) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$ për çfarë flasin parametrike metoda e specifikimit të funksionit;

atëherë ndryshorja ndihmëse %%t%% quhet parametër.

Nëse është e mundur të eliminohet parametri %%t%% nga ekuacionet %%(2)%%, atëherë arrijmë në një funksion të përcaktuar nga varësia analitike eksplicite ose e nënkuptuar e %%y%% në %%x%% . Për shembull, nga marrëdhëniet $$ \begin(rastet) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(rastet), ~~~t \in \mathbb(R), $$ përveç për parametrin % %t%% marrim varësinë %%y = 2 x + 2%%, e cila përcakton një vijë të drejtë në rrafshin %%xOy%%.

Metoda grafike

Shembull detyrë grafike funksione

Shembujt e mësipërm tregojnë se metoda analitike e specifikimit të një funksioni korrespondon me të imazh grafik , e cila mund të konsiderohet si e përshtatshme dhe formë vizuale përshkrimet e funksioneve. Ndonjëherë përdoret metodë grafike duke specifikuar një funksion kur varësia e %%y%% nga %%x%% specifikohet nga një vijë në planin %%xOy%%. Sidoqoftë, përkundër gjithë qartësisë, ai humbet në saktësi, pasi vlerat e argumentit dhe vlerat përkatëse të funksionit mund të merren nga grafiku vetëm afërsisht. Gabimi që rezulton varet nga shkalla dhe saktësia e matjes së abshisës dhe ordinata e pikave individuale në grafik. Në vijim, ne do t'i caktojmë grafikut të funksionit vetëm rolin e ilustrimit të sjelljes së funksionit dhe për këtë arsye do të kufizohemi në ndërtimin e "skicave" të grafikëve që pasqyrojnë tiparet kryesore të funksioneve.

Metoda tabelare

shënim metodë tabelare caktimet e funksioneve, kur disa vlera të argumenteve dhe vlerat përkatëse të funksionit janë të përfshira në një rend të caktuar vendosen në tabelë. Kështu ndërtohen tavolinat e famshme funksionet trigonometrike, tabelat e logaritmeve etj. Marrëdhënia ndërmjet sasive të matura në studime eksperimentale, vëzhgime, teste.

Disavantazhi i kësaj metode është se është e pamundur të përcaktohen drejtpërdrejt vlerat e funksionit për vlerat e argumenteve që nuk përfshihen në tabelë. Nëse ekziston besimi se vlerat e argumenteve që nuk janë paraqitur në tabelë i përkasin fushës së përcaktimit të funksionit në fjalë, atëherë vlerat përkatëse të funksionit mund të llogariten përafërsisht duke përdorur interpolimin dhe ekstrapolimin.

Shembull

x	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

Metodat algoritmike dhe verbale të specifikimit të funksioneve

Funksioni mund të vendoset algoritmik(ose software) në një mënyrë që përdoret gjerësisht në llogaritjet kompjuterike.

Së fundi, mund të vërehet përshkruese(ose verbale) një mënyrë për të specifikuar një funksion, kur rregulli për përputhjen e vlerave të funksionit me vlerat e argumentit shprehet me fjalë.

Për shembull, funksioni %%[x] = m~\forall (x \in nga rreshti:

Proceset reale që ndodhin në natyrë mund të përshkruhen duke përdorur funksione. Kështu, ne mund të dallojmë dy lloje kryesore të proceseve që janë të kundërta me njëri-tjetrin - këto janë gradual ose të vazhdueshme Dhe spazmatike(një shembull do të ishte një top që bie dhe kërcehet). Por nëse ka procese të pandërprera, atëherë ka mjete të veçanta për t'i përshkruar ato. Për këtë qëllim, futen funksione që kanë ndërprerje dhe kërcime, domethënë në seksione të ndryshme të vijës numerike funksioni sillet sipas ligje të ndryshme dhe, në përputhje me rrethanat, jepet formula të ndryshme. Prezantohen konceptet e pikave të ndërprerjes dhe ndërprerjes së lëvizshme.

Me siguri tashmë keni hasur në funksione të përcaktuara nga disa formula, në varësi të vlerave të argumentit, për shembull:

y = (x – 3, për x > -3;
(-(x – 3), në x< -3.

Funksione të tilla quhen pjesë-pjesë ose të specifikuara pjesë-pjesë. Seksionet e vijës numerike me formula të ndryshme detyrat, le t'i quajmë ato komponentët domain. Bashkimi i të gjithë komponentëve është fusha e përcaktimit të funksionit pjesë-pjesë. Quhen ato pika që ndajnë domenin e përkufizimit të një funksioni në komponentë pikat kufitare. Formulat që përcaktojnë një funksion pjesë-pjesë në çdo komponent të fushës së përkufizimit quhen funksionet hyrëse. Grafikët e funksioneve të dhëna pjesë-pjesë përftohen duke kombinuar pjesë të grafikëve të ndërtuar në secilin nga intervalet e ndarjes.

Ushtrime.

Ndërtoni grafikët e funksioneve pjesë-pjesë:

1) (-3, në -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, për x = 0,
(1, në 0< x ≤ 5.

Grafiku i funksionit të parë është një drejtëz që kalon në pikën y = -3. Fillon në një pikë me koordinata (-4; -3), shkon paralel me boshtin x në një pikë me koordinata (0; -3). Grafiku i funksionit të dytë është një pikë me koordinata (0; 0). Grafiku i tretë është i ngjashëm me të parën - është një vijë e drejtë që kalon nëpër pikën y = 1, por tashmë në zonën nga 0 në 5 përgjatë boshtit Ox.

Përgjigje: Figura 1.

2) (3 nëse x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, nëse -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 nëse x > 4.

Le të shqyrtojmë secilin funksion veç e veç dhe të ndërtojmë grafikun e tij.

Pra, f(x) = 3 është një vijë e drejtë paralele me boshtin Ox, por ajo duhet të përshkruhet vetëm në zonën ku x ≤ -4.

Grafiku i funksionit f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| mund të merret nga parabola y = x 2 – 4x + 3. Pasi të keni ndërtuar grafikun e saj, pjesa e figurës që shtrihet mbi boshtin Ox duhet të lihet e pandryshuar dhe pjesa që shtrihet nën boshtin e abshisës duhet të shfaqet në mënyrë simetrike relative. te boshti Ox. Më pas shfaqni në mënyrë simetrike pjesën e grafikut ku
x ≥ 0 në lidhje me boshtin Oy për x negativ. Grafikun e marrë si rezultat i të gjitha shndërrimeve e lëmë vetëm në zonën nga -4 në 4 përgjatë boshtit të abshisave.

Grafiku i funksionit të tretë është një parabolë, degët e së cilës janë të drejtuara poshtë, dhe kulmi është në pikën me koordinatat (4; 3). Ne e përshkruajmë vizatimin vetëm në zonën ku x > 4.

Përgjigje: Figura 2.

3) (8 – (x + 6) 2, nëse x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6 | x| + 8|, nëse -6 ≤ x< 5,
(3 nëse x ≥ 5.

Ndërtimi i funksionit të propozuar pjesë-pjesë është i ngjashëm me paragrafin e mëparshëm. Këtu grafikët e dy funksioneve të para përftohen nga shndërrimet e parabolës, dhe grafiku i të tretit është një vijë e drejtë paralele me Ox.

Përgjigje: Figura 3.

4) Grafikoni funksionin y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Zgjidhje. Shtrirja e këtij funksioni është e gjitha numra realë, përveç zeros. Le të zgjerojmë modulin. Për ta bërë këtë, merrni parasysh dy raste:

1) Për x > 0 marrim y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.

2) Në x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Kështu, ne kemi përpara një pjesë-pjesë funksioni i dhënë:

y = ((x – 2) 2, për x > 0;
( x 2 + 2x, në x< 0.

Grafikët e të dy funksioneve janë parabola, degët e të cilave janë të drejtuara lart.

Përgjigje: Figura 4.

5) Vizatoni një grafik të funksionit y = (x + |x|/x – 1) 2.

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se domeni i funksionit janë të gjithë numrat realë përveç zeros. Pas zgjerimit të modulit, marrim një funksion të dhënë pjesë-pjesë:

1) Për x > 0 marrim y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) Në x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Le ta rishkruajmë.

y = (x 2, për x > 0;
((x – 2) 2 , në x< 0.

Grafikët e këtyre funksioneve janë parabola.

Përgjigje: Figura 5.

6) A ka funksion grafiku i të cilit është rrafshi koordinativ Ajo ka pikë e përbashkët nga ndonjë vijë e drejtë?

Zgjidhje.

Po, ekziston.

Një shembull do të ishte funksioni f(x) = x 3 . Në të vërtetë, grafiku i një parabole kubike kryqëzohet me vijën vertikale x = a në pikën (a; a 3). Le të jepet tani drejtëza me ekuacionin y = kx + b. Pastaj ekuacioni
x 3 – kx – b = 0 ka rrënjë e vërtetë x 0 (që nga polinomi shkallë tek gjithmonë ka të paktën një rrënjë të vërtetë). Rrjedhimisht, grafiku i funksionit kryqëzohet me drejtëzën y = kx + b, për shembull, në pikën (x 0; x 0 3).

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Vazhdimësia dhe grafiku i funksioneve të përcaktuara pjesërisht - temë komplekse. Është më mirë të mësoni se si të ndërtoni grafikë direkt në një mësim praktik. Ky është kryesisht një studim i vazhdimësisë.

Dihet se funksioni elementar(shih f. 16) është i vazhdueshëm në të gjitha pikat në të cilat është përcaktuar. Prandaj, ndërprerja në funksionet elementare e mundur vetëm në dy lloje pikash:

a) në pikat ku funksioni “ripërcaktohet”;

b) në pikat ku funksioni nuk ekziston.

Prandaj, vetëm pika të tilla kontrollohen për vazhdimësi gjatë studimit, siç tregohet në shembuj.

Për funksionet jo elementare studimi është më i ndërlikuar. Për shembull, një funksion (një pjesë e plotë e një numri) përcaktohet mbi të gjithë boshti numerik, por pëson një pushim në çdo numër të plotë x. Pyetje të tilla janë përtej qëllimit të manualit.

Përpara se të studioni materialin, duhet të përsërisni nga ligjërata ose teksti se çfarë (çfarë lloj) pikash pushimi ka.

Hetimi i funksioneve të përcaktuara pjesë-pjesë për vazhdimësinë

Kompleti i funksioneve pjesë-pjesë nëse ajo është në zona të ndryshme fusha e përkufizimit jepet me formula të ndryshme.

Ideja kryesore gjatë ekzaminimit të funksioneve të tilla është të zbulohet nëse dhe si përcaktohet funksioni në pikat në të cilat ai ripërcaktohet. Më pas kontrollon nëse vlerat e funksionit majtas dhe djathtas të pikave të tilla janë të njëjta.

Shembulli 1. Le të tregojmë se funksioni
të vazhdueshme.

Funksioni
është elementare dhe për rrjedhojë e vazhdueshme në pikat në të cilat është përcaktuar. Por, padyshim, ajo është e përcaktuar në të gjitha pikat. Rrjedhimisht, ai është i vazhdueshëm në të gjitha pikat, duke përfshirë në
, siç kërkohet nga kushti.

E njëjta gjë vlen edhe për funksionin
, dhe në
është e vazhdueshme.

Në raste të tilla, vazhdimësia mund të prishet vetëm kur funksioni është anashkaluar. Në shembullin tonë kjo është një pikë
. Le ta kontrollojmë, për të cilin gjejmë kufijtë majtas dhe djathtas:

Kufijtë në të majtë dhe të djathtë janë të njëjtë. Mbetet për t'u parë:

a) a është i përcaktuar funksioni në vetë pikën?
;

b) nëse po, a përputhet
me vlera kufitare majtas dhe djathtas.

Me kusht, nëse
, Kjo
. Kjo është arsyeja pse
.

Ne shohim se (të gjithë janë të barabartë me numrin 2). Kjo do të thotë se në pikën
funksioni është i vazhdueshëm. Pra, funksioni është i vazhdueshëm përgjatë gjithë boshtit, duke përfshirë pikën
.

Komentet e vendimit

a) Nuk luajti një rol në llogaritjet, zëvendësues ne kemi një formulë specifike të numrave
ose
. Kjo zakonisht është e rëndësishme kur pjesëtohet me një infinite vogël, sepse ndikon në shenjën e pafundësisë. Mu ketu
Dhe
janë përgjegjës vetëm për përzgjedhja e funksionit;

b) si rregull, shënime
Dhe
janë të barabarta, e njëjta gjë vlen edhe për emërtimet
Dhe
(dhe është e vlefshme për çdo pikë, jo vetëm për
). Më poshtë, për shkurtësi, ne përdorim shënimin e formës
;

c) kur kufijtë në të majtë dhe në të djathtë janë të barabartë, për të kontrolluar vazhdimësinë, në fakt mbetet të shihet nëse një nga pabarazitë do të jetë jo strikte. Në shembull, kjo doli të ishte pabarazia e dytë.

Shembulli 2. Ne shqyrtojmë funksionin për vazhdimësi
.

Për të njëjtat arsye si në shembullin 1, vazhdimësia mund të prishet vetëm në pikë
. Le të kontrollojmë:

Kufijtë majtas dhe djathtas janë të barabartë, por pikërisht në pikën
funksioni nuk është i përcaktuar (pabarazitë janë strikte). Do të thotë se
- pika boshllëk i riparueshëm.

"Hendeku i heqshëm" do të thotë që mjafton ose të bësh ndonjë nga pabarazitë jo të rrepta, ose të shpikesh një për një pikë të veçantë.
një funksion vlera e të cilit në
është e barabartë me -5, ose thjesht tregoni atë
në mënyrë që i gjithë funksioni
u bë e vazhdueshme.

Përgjigje: pika
– pika e shkëputjes së lëvizshme.

Shënim 1. Në literaturë, një boshllëk i riparueshëm zakonisht konsiderohet një rast i veçantë i një hendeku të tipit 1, por më shpesh kuptohet nga studentët si një lloj i veçantë i boshllëkut. Për të shmangur mospërputhjet, ne do t'i përmbahemi këndvështrimit të 1-të dhe do të përcaktojmë posaçërisht hendekun "të pandryshueshëm" të llojit të parë.

Shembulli 3. Le të kontrollojmë nëse funksioni është i vazhdueshëm

Në pikën

Kufijtë në të majtë dhe në të djathtë janë të ndryshëm:
. Pavarësisht nëse funksioni është përcaktuar në
(po) dhe nëse po, sa është e barabartë me (baraz me 2), pikë
–pika e ndërprerjes së pandërprerë të llojit të parë.

Në pikën
po ndodh kërcimi përfundimtar(nga 1 në 2).

Përgjigje: pika

Shënim 2. Në vend të
Dhe
zakonisht shkruani
Dhe
përkatësisht.

Në dispozicion pyetje: si ndryshojnë funksionet

Dhe
,

dhe gjithashtu grafikët e tyre? E sakte përgjigje:

a) Funksioni i dytë nuk është përcaktuar në pikë
;

b) në grafikun e pikës së 1-rë të funksionit
"e hijezuar", në grafikun e dytë - jo ("pika e shpuar").

Pika
, ku grafiku shkëputet
, nuk është i hijezuar në të dy grafikët.

Është më e vështirë të shqyrtohen funksionet që përcaktohen ndryshe tre zonave.

Shembulli 4. A është funksioni i vazhdueshëm?
?

Ashtu si në shembujt 1 – 3, secili prej funksioneve
,
Dhe është e vazhdueshme përgjatë gjithë boshtit numerik, duke përfshirë zonën në të cilën është specifikuar. Thyerja është e mundur vetëm në pikë
dhe/ose në pikën
, ku funksioni është anashkaluar.

Detyra është e ndarë në 2 nëndetyra: shqyrtoni vazhdimësinë e funksionit

Dhe
,

dhe periudha
jo me interes për funksionin
, dhe pikë
– për funksion
.

hapi 1. Kontrollimi i pikës
dhe funksionin
(ne nuk e shkruajmë indeksin):

Kufijtë janë të njëjtë. Sipas kushtit,
(nëse kufijtë majtas dhe djathtas janë të barabartë, atëherë në fakt funksioni është i vazhdueshëm kur një nga pabarazitë nuk është i rreptë). Pra, në pikën
funksioni është i vazhdueshëm.

hapi i 2-të. Kontrollimi i pikës
dhe funksionin
:

Sepse
, pika
– pika e ndërprerjes së llojit të parë, dhe vlera
(dhe nëse ekziston fare) nuk luan më një rol.

Përgjigje: funksioni është i vazhdueshëm në të gjitha pikat përveç pikës
, ku ka një ndërprerje të pandërprerë të llojit të parë - një kërcim nga 6 në 4.

Shembulli 5. Gjeni pikat e ndërprerjes së funksionit
.

Ne vazhdojmë sipas të njëjtës skemë si në shembullin 4.

hapi 1. Kontrollimi i pikës
:

A)
, pasi në të majtë të
funksioni është konstant dhe i barabartë me 0;

b) (
– edhe funksion).

Kufijtë janë të njëjtë, por kur
funksioni nuk përcaktohet nga kushti dhe rezulton se
– pika e shkëputjes së lëvizshme.

hapi i 2-të. Kontrollimi i pikës
:

A)
;

b)
– vlera e funksionit nuk varet nga ndryshorja.

Kufijtë ndryshojnë: , pika
– pika e ndërprerjes së pandërprerë të llojit të parë.

Përgjigje:
- pika e shkëputjes së lëvizshme,
është një pikë ndërprerjeje e pandërprerë e llojit të parë në pikat e tjera funksioni është i vazhdueshëm.

Shembulli 6. A është funksioni i vazhdueshëm?
?

Funksioni
përcaktuar në
, pra gjendja
kthehet në gjendje
.

Nga ana tjetër, funksioni
përcaktuar në
, d.m.th. në
. Pra kushti
kthehet në gjendje
.

Rezulton se kushti duhet plotësuar
, dhe domeni i përcaktimit të të gjithë funksionit është një segment
.

Vetë funksionet
Dhe
janë elementare dhe për këtë arsye të vazhdueshme në të gjitha pikat në të cilat ato përcaktohen - në veçanti, dhe në
.

Mbetet për të kontrolluar se çfarë ndodh në këtë pikë
:

A)
;

Sepse
, shikoni nëse funksioni është përcaktuar në pikë
. Po, pabarazia e parë është relativisht e dobët
, dhe mjafton.

Përgjigje: funksioni përcaktohet në interval
dhe është e vazhdueshme në të.

Rastet më komplekse, kur një nga funksionet e komponentit nuk është elementar ose nuk përcaktohet në asnjë pikë të segmentit të tij, janë përtej qëllimit të manualit.

NF1. Ndërtoni grafikët e funksioneve. Vini re nëse funksioni është përcaktuar në pikën në të cilën po ripërcaktohet, dhe nëse po, cila është vlera e funksionit (fjala " Nëse" është hequr nga përkufizimi i funksionit për shkurtësi):

1) a)
b)
V)
G)

2) a)
b)
V)
G)

3) a)
b)
V)
G)

4) a)
b)
V)
G)

Shembulli 7. Le
. Pastaj në vend
ndërtoni një vijë horizontale
, dhe në sit
ndërtoni një vijë horizontale
. Në këtë rast, pika me koordinata
"shpuar" dhe perioda
"pikturuar mbi". Në pikën
fitohet një ndërprerje e llojit të parë ("kërcim") dhe
.

NF2. Shqyrtoni vazhdimësinë e funksioneve të përcaktuara ndryshe në 3 intervale. Ndërtoni grafikët:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

Shembulli 8. Le
. Vendndodhja aktivizohet
ndërtoni një vijë të drejtë
, pse gjejmë
Dhe
. Lidhja e pikave
Dhe
segment. Ne nuk i përfshijmë vetë pikët, sepse kur
Dhe
funksioni nuk përcaktohet nga kushti.

Vendndodhja aktivizohet
Dhe
rrethoni boshtin OX (mbi të
), megjithatë pikë
Dhe
"u hoq". Në pikën
marrim një hendek të lëvizshëm, dhe në pikën
– ndërprerje e llojit të parë (“kërcim”).