Zona e një sipërfaqe cilindrike. Seksioni boshtor i një cilindri të drejtë dhe të pjerrët

Emri i shkencës "gjeometri" përkthehet si "matje e tokës". Filloi përmes përpjekjeve të menaxherëve të parë të lashtë të tokës. Dhe ndodhi kështu: gjatë përmbytjeve të Nilit të shenjtë, rrjedhat e ujit ndonjëherë lanë kufijtë e parcelave të fermerëve dhe kufijtë e rinj mund të mos përkojnë me ato të vjetra. Taksat paguheshin nga fshatarët në thesarin e faraonit në përpjesëtim me madhësinë e ndarjes së tokës. Njerëz të veçantë u përfshinë në matjen e sipërfaqeve të tokës së punueshme brenda kufijve të rinj pas derdhjes. Ishte si rezultat i aktiviteteve të tyre që lindi një shkencë e re, e cila u zhvillua në Greqinë e Lashtë. Atje mori emrin e saj dhe fitoi një pamje pothuajse moderne. Më pas, termi u bë një emër ndërkombëtar për shkencën e figurave të sheshta dhe tredimensionale.

Planimetria është një degë e gjeometrisë që merret me studimin e figurave të rrafshët. Një degë tjetër e shkencës është stereometria, e cila shqyrton vetitë e figurave hapësinore (volumetrike). Shifra të tilla përfshijnë atë të përshkruar në këtë artikull - një cilindër.

Ka plot shembuj të pranisë së objekteve cilindrike në jetën e përditshme. Pothuajse të gjitha pjesët rrotulluese - boshtet, tufat, ditarët, boshtet, etj. - kanë një formë cilindrike (shumë më rrallë - konike). Cilindri përdoret gjithashtu gjerësisht në ndërtim: kulla, kolona mbështetëse, kolona dekorative. Dhe gjithashtu enët, disa lloje paketimi, tuba me diametra të ndryshëm. Dhe së fundi - kapelet e famshme, të cilat prej kohësh janë bërë simbol i elegancës mashkullore. Lista vazhdon dhe vazhdon.

Përkufizimi i një cilindri si një figurë gjeometrike

Një cilindër (cilindër rrethor) zakonisht quhet një figurë e përbërë nga dy rrathë, të cilët, nëse dëshironi, kombinohen duke përdorur përkthimin paralel. Këto rrathë janë bazat e cilindrit. Por linjat (segmentet e drejta) që lidhin pikat përkatëse quhen "gjeneratorë".

Është e rëndësishme që bazat e cilindrit të jenë gjithmonë të barabarta (nëse nuk plotësohet ky kusht, atëherë kemi një kon të cunguar, diçka tjetër, por jo një cilindër) dhe të jenë në plane paralele. Segmentet që lidhin pikat përkatëse në rrathë janë paralelë dhe të barabartë.

Bashkësia e një numri të pafund gjeneratorësh nuk është gjë tjetër veçse sipërfaqja anësore e cilindrit - një nga elementët e një figure të caktuar gjeometrike. Komponenti tjetër i tij i rëndësishëm janë rrathët e diskutuar më sipër. Ato quhen baza.

Llojet e cilindrave

Lloji më i thjeshtë dhe më i zakonshëm i cilindrit është rrethor. Formohet nga dy rrathë të rregullt që veprojnë si baza. Por në vend të tyre mund të ketë figura të tjera.

Bazat e cilindrave mund të formojnë (përveç rrathëve) elipsa dhe figura të tjera të mbyllura. Por cilindri mund të mos ketë domosdoshmërisht një formë të mbyllur. Për shembull, baza e një cilindri mund të jetë një parabolë, një hiperbolë ose një funksion tjetër i hapur. Një cilindër i tillë do të jetë i hapur ose i vendosur.

Sipas këndit të prirjes së cilindrave që formojnë bazat, ato mund të jenë të drejta ose të pjerrëta. Për një cilindër të drejtë, gjeneratorët janë rreptësisht pingul me rrafshin e bazës. Nëse ky kënd është i ndryshëm nga 90°, cilindri është i prirur.

Çfarë është një sipërfaqe e revolucionit

Cilindri rrethor i drejtë është pa dyshim sipërfaqja rrotulluese më e zakonshme e përdorur në inxhinieri. Ndonjëherë, për arsye teknike, përdoren sipërfaqe konike, sferike dhe disa lloje të tjera, por 99% e të gjitha boshteve rrotulluese, boshteve, etj. janë bërë në formën e cilindrave. Për të kuptuar më mirë se çfarë është sipërfaqja e revolucionit, mund të shqyrtojmë se si është formuar vetë cilindri.

Le të themi se ka një vijë të caktuar të drejtë a, i vendosur vertikalisht. ABCD është një drejtkëndësh, njëra nga anët e të cilit (segmenti AB) shtrihet në një vijë a. Nëse rrotullojmë një drejtkëndësh rreth një vije të drejtë, siç tregohet në figurë, vëllimi që ai do të zërë gjatë rrotullimit do të jetë trupi ynë i rrotullimit - një cilindër rrethor i drejtë me lartësi H = AB = DC dhe rreze R = AD = BC.

Në këtë rast, si rezultat i rrotullimit të figurës - një drejtkëndësh - fitohet një cilindër. Duke rrotulluar një trekëndësh, mund të merrni një kon, duke rrotulluar një gjysmërreth - një top, etj.

Sipërfaqja e cilindrit

Për të llogaritur sipërfaqen e një cilindri të zakonshëm rrethor djathtas, është e nevojshme të llogariten sipërfaqet e bazave dhe sipërfaqeve anësore.

Së pari, le të shohim se si llogaritet sipërfaqja anësore. Ky është produkti i perimetrit të cilindrit dhe lartësisë së cilindrit. Perimetri, nga ana tjetër, është i barabartë me dyfishin e produktit të numrit universal P nga rrezja e rrethit.

Sipërfaqja e një rrethi dihet se është e barabartë me produktin P për rreze katrore. Pra, duke shtuar formulat për zonën e përcaktimit të sipërfaqes anësore me shprehjen e dyfishtë për sipërfaqen e bazës (janë dy prej tyre) dhe duke bërë shndërrime të thjeshta algjebrike, marrim shprehjen përfundimtare për përcaktimin e sipërfaqes. zona e cilindrit.

Përcaktimi i vëllimit të një figure

Vëllimi i një cilindri përcaktohet sipas skemës standarde: sipërfaqja e bazës shumëzohet me lartësinë.

Kështu, formula përfundimtare duket si kjo: vlera e dëshiruar përcaktohet si produkt i lartësisë së trupit me numrin universal P dhe nga katrori i rrezes së bazës.

Formula që rezulton, duhet thënë, është e zbatueshme për zgjidhjen e problemeve më të papritura. Në të njëjtën mënyrë si vëllimi i cilindrit, për shembull, përcaktohet vëllimi i instalimeve elektrike. Kjo mund të jetë e nevojshme për të llogaritur masën e telave.

Dallimi i vetëm në formulë është se në vend të rrezes së një cilindri është diametri i fijes së instalimeve elektrike të ndarë në gjysmë dhe numri i fijeve në tel shfaqet në shprehje N. Gjithashtu, në vend të lartësisë, përdoret gjatësia e telit. Në këtë mënyrë, vëllimi i "cilindri" llogaritet jo nga një, por nga numri i telave në bishtalec.

Llogaritjet e tilla shpesh kërkohen në praktikë. Në fund të fundit, një pjesë e konsiderueshme e kontejnerëve të ujit janë bërë në formën e një tubi. Dhe shpesh është e nevojshme të llogaritet vëllimi i një cilindri edhe në familje.

Sidoqoftë, siç u përmend tashmë, forma e cilindrit mund të jetë e ndryshme. Dhe në disa raste është e nevojshme të llogaritet se cili është vëllimi i një cilindri të prirur.

Dallimi është se sipërfaqja e bazës nuk shumëzohet me gjatësinë e gjeneratorit, si në rastin e një cilindri të drejtë, por me distancën midis avionëve - një segment pingul i ndërtuar midis tyre.

Siç mund të shihet nga figura, një segment i tillë është i barabartë me produktin e gjatësisë së gjeneratorit dhe sinusit të këndit të prirjes së gjeneratorit ndaj rrafshit.

Si të ndërtoni një zhvillim cilindri

Në disa raste, është e nevojshme të pritet një brez cilindri. Figura më poshtë tregon rregullat me të cilat është ndërtuar një bosh për prodhimin e një cilindri me një lartësi dhe diametër të caktuar.

Ju lutemi vini re se vizatimi është paraqitur pa qepje.

Dallimet midis një cilindri të pjerrët

Le të imagjinojmë një cilindër të caktuar të drejtë, të kufizuar nga njëra anë nga një plan pingul me gjeneratorët. Por rrafshi që kufizon cilindrin në anën tjetër nuk është pingul me gjeneratorët dhe jo paralel me rrafshin e parë.

Figura tregon një cilindër të pjerrët. Aeroplan A në një kënd të caktuar, të ndryshëm nga 90° në gjeneratorë, kryqëzon figurën.

Kjo formë gjeometrike më shpesh gjendet në praktikë në formën e lidhjeve të tubacionit (bërryla). Por ka edhe ndërtesa të ndërtuara në formën e një cilindri të pjerrët.

Karakteristikat gjeometrike të një cilindri të pjerrët

Pjerrësia e njërit prej planeve të një cilindri të pjerrët ndryshon paksa procedurën për llogaritjen e sipërfaqes së një figure të tillë dhe vëllimit të saj.

Një cilindër (vjen nga gjuha greke, nga fjalët "rul", "rul") është një trup gjeometrik që kufizohet nga jashtë nga një sipërfaqe e quajtur cilindrike dhe dy plane. Këto plane kryqëzojnë sipërfaqen e figurës dhe janë paralel me njëri-tjetrin.

Sipërfaqja cilindrike është një sipërfaqe që formohet nga një vijë e drejtë në hapësirë. Këto lëvizje janë të tilla që pika e zgjedhur e kësaj vije të drejtë lëviz përgjatë një kurbë të tipit të rrafshët. Një vijë e tillë e drejtë quhet gjenerator, dhe një vijë e lakuar quhet udhëzues.

Cilindri përbëhet nga një palë bazash dhe një sipërfaqe cilindrike anësore. Ekzistojnë disa lloje të cilindrave:

1. Cilindër rrethor, i drejtë. Një cilindër i tillë ka një bazë dhe udhëzues pingul me vijën gjeneruese, dhe ka

2. Cilindër i pjerrët. Këndi i tij midis vijës gjeneruese dhe bazës nuk është i drejtë.

3. Një cilindër me një formë të ndryshme. Hiperbolike, eliptike, parabolike dhe të tjera.

Sipërfaqja e një cilindri, si dhe sipërfaqja e përgjithshme e çdo cilindri, gjendet duke shtuar sipërfaqet e bazave të kësaj figure dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore.

Formula për llogaritjen e sipërfaqes totale të cilindrit për një cilindër rrethor, të drejtë:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Sipërfaqja e sipërfaqes anësore është gjetur të jetë pak më e ndërlikuar se sipërfaqja e të gjithë cilindrit, ajo llogaritet duke shumëzuar gjatësinë e vijës gjeneruese me perimetrin e seksionit të formuar nga një rrafsh pingul; te linja gjeneratorike.

Cilindri i dhënë për një cilindër rrethor e të drejtë njihet nga zhvillimi i këtij objekti.

Një zhvillim është një drejtkëndësh që ka një lartësi h dhe një gjatësi P, e cila është e barabartë me perimetrin e bazës.

Nga kjo rrjedh se zona anësore e cilindrit është e barabartë me zonën e fshirjes dhe mund të llogaritet duke përdorur këtë formulë:

Nëse marrim një cilindër rrethor, të drejtë, atëherë për të:

P = 2p R, dhe Sb = 2p Rh.

Nëse cilindri është i prirur, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes anësore duhet të jetë e barabartë me produktin e gjatësisë së vijës së saj gjeneruese dhe perimetrit të seksionit, i cili është pingul me këtë linjë gjeneruese.

Fatkeqësisht, nuk ka një formulë të thjeshtë për të shprehur sipërfaqen anësore të një cilindri të pjerrët për sa i përket lartësisë dhe parametrave të bazës së tij.

Për të llogaritur cilindrin, duhet të dini disa fakte. Nëse një seksion me rrafshin e tij kryqëzon bazat, atëherë një seksion i tillë është gjithmonë një drejtkëndësh. Por këto drejtkëndësha do të jenë të ndryshëm, në varësi të pozicionit të seksionit. Njëra nga anët e seksionit boshtor të figurës, e cila është pingul me bazat, është e barabartë me lartësinë, dhe tjetra është e barabartë me diametrin e bazës së cilindrit. Dhe zona e një seksioni të tillë, në përputhje me rrethanat, është e barabartë me produktin e njërës anë të drejtkëndëshit nga ana tjetër, pingul me të parën, ose produktin e lartësisë së një figure të caktuar dhe diametrit të bazës së saj.

Nëse seksioni është pingul me bazat e figurës, por nuk kalon nëpër boshtin e rrotullimit, atëherë zona e këtij seksioni do të jetë e barabartë me produktin e lartësisë së këtij cilindri dhe një korde të caktuar. Për të marrë një akord, duhet të ndërtoni një rreth në bazën e cilindrit, të vizatoni një rreze dhe të vizatoni mbi të distancën në të cilën ndodhet seksioni. Dhe nga kjo pikë ju duhet të vizatoni pingul në rreze nga kryqëzimi me rrethin. Pikat e kryqëzimit janë të lidhura me qendrën. Dhe baza e trekëndëshit është ajo e dëshiruara, e cila kërkohet nga tingujt e tillë: "Shuma e katrorëve të dy këmbëve është e barabartë me hipotenuzën në katror":

C2 = A2 + B2.

Nëse seksioni nuk ndikon në bazën e cilindrit, dhe vetë cilindri është rrethor dhe i drejtë, atëherë zona e këtij seksioni gjendet si zona e rrethit.

Sipërfaqja e rrethit është:

S env. = 2p R2.

Për të gjetur R, duhet të ndani gjatësinë e tij C me 2n:

R = C\2n, ku n është pi, një konstante matematikore e llogaritur për të punuar me të dhënat rrethore dhe e barabartë me 3.14.

Cilindri është një figurë e përbërë nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralelisht. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili mund të zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat në fund gjithmonë zbresin në një formulë.

Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes

• Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zonat e bazës me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: S = Side + 2Sbase. Në një version më të detajuar, kjo formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Sipërfaqja anësore e një trupi të caktuar gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që shtrihet në bazën e tij. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse jepet. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është e specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula për sipërfaqen anësore të këtij trupi duket kështu: S= 2 π rh.
• Sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme mund të mos jepet rrezja, por mund të jepet perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se rrezja është gjysma e diametrit.
• Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3,14159... Thjesht duhet të shtohet pranë vlerës numerike që është marrë si rezultat i llogaritjeve.
• Tjetra, ju vetëm duhet të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe të shtoni në numrin që rezulton zonën e llogaritur të sipërfaqes anësore të figurës.
• Nëse problemi tregon se cilindri ka një seksion boshtor dhe se është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Është e nevojshme të llogariten vlerat e kërkuara dhe t'i zëvendësojnë ato në formulën e njohur tashmë. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe numrin π.
• Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
• Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Thjesht duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për të kryer llogaritjet.

Si të llogarisni sipërfaqen e një cilindri është tema e këtij artikulli. Në çdo problem matematikor, duhet të filloni duke futur të dhëna, të përcaktoni se çfarë dihet dhe me çfarë të operoni në të ardhmen, dhe vetëm atëherë të vazhdoni drejtpërdrejt në llogaritjen.

Ky trup vëllimor është një figurë gjeometrike cilindrike, e kufizuar në krye dhe në fund nga dy rrafshe paralele. Nëse aplikoni pak imagjinatë, do të vini re se një trup gjeometrik formohet duke rrotulluar një drejtkëndësh rreth një boshti, ku njëra nga anët e tij është boshti.

Nga kjo rrjedh se kurba e përshkruar sipër dhe poshtë cilindrit do të jetë një rreth, treguesi kryesor i të cilit është rrezja ose diametri.

Sipërfaqja e një cilindri - kalkulator në internet

Ky funksion më në fund thjeshton procesin e llogaritjes dhe gjithçka zbret në zëvendësimin automatik të vlerave të specifikuara për lartësinë dhe rrezen (diametrin) e bazës së figurës. E vetmja gjë që kërkohet është të përcaktohen me saktësi të dhënat dhe të mos bëhen gabime gjatë futjes së numrave.

Sipërfaqja anësore e cilindrit

Së pari ju duhet të imagjinoni se si duket një skanim në hapësirën dy-dimensionale.

Ky nuk është asgjë më shumë se një drejtkëndësh, njëra anë e të cilit është e barabartë me perimetrin. Formula e saj ka qenë e njohur që nga kohra të lashta - 2π*r, Ku r- rrezja e rrethit. Ana tjetër e drejtkëndëshit është e barabartë me lartësinë h. Gjetja e asaj që kërkoni nuk do të jetë e vështirë.

Sanësor= 2π *r*h,

ku eshte numri π = 3,14.

Sipërfaqja totale e një cilindri

Për të gjetur sipërfaqen totale të cilindrit, duhet të përdorni atë që rezulton Ana S shtoni sipërfaqet e dy rrathëve, pjesën e sipërme dhe të poshtme të cilindrit, të cilat llogariten duke përdorur formulën S o =2π * r 2 .

Formula përfundimtare duket si kjo:

Skat= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Sipërfaqja e një cilindri - formula përmes diametrit

Për të lehtësuar llogaritjet, ndonjëherë është e nevojshme të kryhen llogaritjet përmes diametrit. Për shembull, ekziston një copë tubi i uritur me diametër të njohur.

Pa e shqetësuar veten me llogaritje të panevojshme, ne kemi një formulë të gatshme. Algjebra e klasës së 5-të vjen në shpëtim.

Sgjinia = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Në vend të r ju duhet të futni vlerën në formulën e plotë r =d/2.

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Të armatosur me njohuri, le të fillojmë të praktikojmë.

Shembulli 1. Është e nevojshme të llogaritet sipërfaqja e një pjese tubi të cunguar, domethënë një cilindri.

Kemi r = 24 mm, h = 100 mm. Ju duhet të përdorni formulën përmes rrezes:

Kati S = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Ne konvertojmë në m2 të zakonshme dhe marrim 0,01868928, afërsisht 0,02 m2.

Shembulli 2. Kërkohet të zbulohet zona e sipërfaqes së brendshme të një tubi të sobës së asbestit, muret e të cilit janë të veshura me tulla zjarrduruese.

Të dhënat janë si më poshtë: diametri 0,2 m; lartësia 2 m Ne përdorim formulën për sa i përket diametrit:

S kati = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Shembulli 3. Si të zbuloni se sa material nevojitet për të qepur një çantë, r = 1 m dhe 1 m e lartë.

Një moment, ekziston një formulë:

Ana S = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

konkluzioni

Në fund të artikullit lindi pyetja: a janë vërtet të nevojshme të gjitha këto llogaritje dhe shndërrime të një vlere në një tjetër? Pse është e nevojshme e gjithë kjo dhe më e rëndësishmja, për kë? Por mos neglizhoni dhe harroni formulat e thjeshta nga shkolla e mesme.

Bota ka qëndruar dhe do të qëndrojë mbi njohuritë elementare, përfshirë matematikën. Dhe, kur filloni ndonjë punë të rëndësishme, nuk është kurrë një ide e keqe të rifreskoni kujtesën tuaj për këto llogaritje, duke i zbatuar ato në praktikë me efekt të madh. Saktësia është mirësjellja e mbretërve.