Procesi i rastësishëm quhet Markov nëse. Zinxhirë diskrete Markov

Proceset e rastësishme Markov janë emëruar pas matematikanit të shquar rus A.A. Markov (1856-1922), i cili fillimisht filloi studimin e marrëdhënies probabilistike të ndryshoreve të rastit dhe krijoi një teori që mund të quhet "dinamika e probabilitetit". Më pas, bazat e kësaj teorie u bënë pikënisja teori e përgjithshme procese të rastësishme, si dhe të tilla të rëndësishme Shkencat e aplikuara si teori proceset e difuzionit, teoria e besueshmërisë, teoria në radhë etj. Aktualisht, teoria e proceseve Markov dhe aplikimet e saj përdoren gjerësisht fusha të ndryshme shkencat si mekanika, fizika, kimia etj.

Falë thjeshtësisë dhe qartësisë krahasuese të aparatit matematikor, besueshmërisë dhe saktësisë së lartë të zgjidhjeve të marra Vëmendje e veçantë proceset Markov marrë nga specialistë të përfshirë në kërkimin e operacioneve dhe teorinë e vendimmarrjes optimale.

Pavarësisht nga thjeshtësia dhe qartësia e mësipërme, përdorim praktik Teoria e zinxhirëve Markov kërkon njohuri për disa terma dhe parime bazë që duhet të diskutohen përpara se të paraqiten shembuj.

Siç tregohet, proceset e rastësishme Markov i referohen rasteve të veçanta të proceseve të rastësishme (PS). Nga ana tjetër, proceset e rastësishme bazohen në koncept funksion i rastësishëm(SF).

Një funksion i rastësishëm është një funksion vlera e të cilit për çdo vlerë të argumentit është ndryshore e rastësishme(SV). Me fjalë të tjera, SF mund të quhet një funksion që, në çdo test, merr një formë të panjohur më parë.

Shembuj të tillë të SF janë: luhatjet e tensionit në qark elektrik, shpejtësia e një makine në një pjesë të rrugës me kufizim shpejtësie, vrazhdësia e sipërfaqes së një pjese në një zonë të caktuar etj.

Si rregull, besohet se nëse argumenti i SF është koha, atëherë një proces i tillë quhet i rastësishëm. Ekziston një përkufizim tjetër i proceseve të rastësishme, më afër teorisë së vendimit. Në këtë rast, një proces i rastësishëm kuptohet si një proces i ndryshimeve të rastësishme në gjendjet e çdo fizike ose sistemi teknik nga koha ose ndonjë argument tjetër.

Është e lehtë të shihet se nëse përcaktoni një gjendje dhe përshkruani një varësi, atëherë një varësi e tillë do të jetë një funksion i rastësishëm.

Proceset e rastësishme klasifikohen sipas llojeve të gjendjeve dhe argumentit t. Në këtë rast, proceset e rastësishme mund të jenë me gjendje ose kohë diskrete ose të vazhdueshme.

Përveç shembujve të mësipërm të klasifikimit të proceseve të rastësishme, ekziston edhe një tjetër pronë e rëndësishme. Kjo veti përshkruan lidhjen probabilistike ndërmjet gjendjeve të proceseve të rastësishme. Kështu, për shembull, nëse në një proces të rastësishëm probabiliteti i kalimit të sistemit në çdo gjendje pasuese varet vetëm nga gjendja e mëparshme, atëherë një proces i tillë quhet një proces pa efekt.

Le të vërejmë, së pari, se një proces i rastësishëm me gjendje dhe kohë diskrete quhet sekuencë e rastësishme.

Nëse një sekuencë e rastësishme ka vetinë Markov, atëherë ajo quhet zinxhir Markov.

Nga ana tjetër, nëse në një proces të rastësishëm gjendjet janë diskrete, koha është e vazhdueshme dhe ruhet vetia pas efektit, atëherë një proces i tillë i rastësishëm quhet proces Markov me kohë të vazhdueshme.

Një proces i rastësishëm Markov thuhet se është homogjen nëse probabilitetet e tranzicionit mbeten konstante gjatë procesit.

Një zinxhir Markov konsiderohet i dhënë nëse jepen dy kushte.

1. Ka një grup probabilitetet e tranzicionit në formë matrice:

2. Ekziston një vektor i probabiliteteve fillestare

duke përshkruar gjendjen fillestare të sistemit.

Përveç formës së matricës, modeli i zinxhirit Markov mund të paraqitet si një grafik i ponderuar i drejtuar (Fig. 1).

Oriz. 1

Kompleti i gjendjeve të sistemit të zinxhirit Markov, në një mënyrë të caktuar klasifikuar duke marrë parasysh sjelljen e mëtejshme të sistemit.

1. Komplet i pakthyeshëm (Fig. 2).

Fig.2.

Në rastin e një grupi që nuk kthehet, çdo kalim brenda këtij grupi është i mundur. Sistemi mund të largohet nga ky grup, por nuk mund të kthehet në të.

2. Kompleti i kthimit (Fig. 3).

Oriz. 3.

Në këtë rast, çdo tranzicion brenda grupit është gjithashtu i mundur. Sistemi mund të hyjë në këtë grup, por nuk mund ta lërë atë.

3. Komplet ergodik (Fig. 4).

Oriz. 4.

Në rastin e një grupi ergodik, çdo kalim brenda grupit është i mundur, por kalimet nga dhe në grup janë të përjashtuara.

4. Kompleti thithës (Fig. 5)

Oriz. 5.

Kur sistemi hyn në këtë grup, procesi përfundon.

Në disa raste, pavarësisht rastësisë së procesit, është e mundur të kontrollohen në një masë të caktuar ligjet e shpërndarjes ose parametrat e probabiliteteve të tranzicionit. Të tillë Zinxhirët Markov quhen të kontrolluara. Natyrisht, me ndihmën e zinxhirëve të kontrolluar Markov (MCC), procesi i vendimmarrjes bëhet veçanërisht efektiv, siç do të diskutohet më vonë.

Karakteristika kryesore e një zinxhiri diskrete Markov (DMC) është determinizmi i intervaleve kohore midis hapave (fazave) individuale të procesit. Megjithatë, shpesh në proceset reale kjo veti nuk respektohet dhe intervalet rezultojnë të rastësishme me ndonjë ligj të shpërndarjes, megjithëse ruhet vetia Markov e procesit. Sekuenca të tilla të rastësishme quhen gjysmë-Markov.

Përveç kësaj, duke marrë parasysh praninë dhe mungesën e grupeve të caktuara të gjendjeve të përmendura më sipër, zinxhirët Markov mund të jenë absorbues nëse ka të paktën një gjendje thithëse, ose ergodik nëse probabilitetet e tranzicionit formojnë një grup ergodik. Nga ana tjetër, zinxhirët ergodik mund të jenë të rregullt ose ciklik. Zinxhirët ciklikë ndryshojnë nga ata të rregullt në atë që gjatë kalimit nëpër një numër të caktuar hapash (ciklesh) ndodh një kthim në një gjendje. Zinxhirët e rregullt nuk e kanë këtë pronë.

Shumë operacione që duhet të analizohen kur zgjedh një zgjidhje optimale zhvillohen si procese të rastësishme në varësi të një numri faktorësh të rastësishëm.

Për përshkrimi matematik shumë operacione që zhvillohen në formë proces i rastësishëm, mund të aplikohet me sukses aparate matematikore, e zhvilluar në teorinë e probabilitetit për të ashtuquajturat procese të rastësishme Markov.

Le të shpjegojmë konceptin e një procesi të rastësishëm Markov.

Le të ketë një sistem S, gjendja e të cilit ndryshon me kalimin e kohës (sipas sistemit S mund të nënkuptojë çdo gjë: një ndërmarrje industriale, pajisje teknike, dyqan riparimi, etj.). Nëse gjendja e sistemit S ndryshon me kalimin e kohës në mënyrë të rastësishme, të paparashikueshme paraprakisht, ata thonë se në sistem S rrjedhjet proces i rastësishëm.

Shembuj të proceseve të rastësishme:

luhatjet e çmimeve në bursë;

shërbimi ndaj klientit në një sallon flokësh ose dyqan riparimi;

zbatimi i planit të furnizimit për një grup ndërmarrjesh etj.

Ecuria specifike e secilit prej këtyre proceseve varet nga një numër faktorësh të rastësishëm, të paparashikueshëm më parë, si p.sh.

ardhja e lajmeve të paparashikueshme për ndryshimet politike në bursë;

natyra e rastësishme e fluksit të aplikacioneve (kërkesave) që vijnë nga klientët;

ndërprerje të rastësishme në zbatimin e planit të furnizimit etj.

PËRKUFIZIM. Një proces i rastësishëm që ndodh në një sistem quhet Markoviane(ose proces pa pasoja), nëse ka pronën e mëposhtme: për çdo moment në kohë t 0 probabiliteti i ndonjë gjendjeje të sistemit në të ardhmen (me t > t 0) varet vetëm nga gjendja e tij në të tashmen (me t = t 0) dhe nuk varet nga kur dhe si erdhi sistemi në këtë gjendje (d.m.th., si u zhvillua procesi në të kaluarën).

Me fjalë të tjera, në një proces të rastësishëm Markov, zhvillimi i tij në të ardhmen varet vetëm nga gjendja aktuale dhe nuk varet nga "parahistoria" e procesit.

Le të shohim një shembull. Lëreni sistemin S përfaqëson një bursë që ekziston prej disa kohësh. Ne jemi të interesuar se si do të funksionojë sistemi në të ardhmen. Është e qartë, të paktën në një përafrim të parë, se karakteristikat e performancës së ardhshme (probabilitetet e një rënie të çmimit të një aksioni të caktuar në një javë) varen nga gjendja e sistemit në momentin aktual (këtu më së shumti faktorë të ndryshëm të tilla si vendimet e qeverisë ose rezultatet e zgjedhjeve) dhe nuk varen nga kur dhe si sistemi arriti gjendjen e tij aktuale (nuk varen nga natyra e lëvizjeve të çmimeve të këtyre aksioneve në të kaluarën).

Në praktikë, ne shpesh hasim procese të rastësishme që, në shkallë të ndryshme të përafrimit, mund të konsiderohen Markoviane.

Teoria e proceseve të rastësishme Markov ka gamë të gjerë aplikacione të ndryshme. Ne do të jemi të interesuar kryesisht në zbatimin e teorisë së proceseve të rastësishme Markov në ndërtimin e modeleve matematikore të operacioneve, rrjedha dhe rezultati i të cilave varen ndjeshëm nga faktorë të rastësishëm.

Proceset e rastësishme Markov ndahen në klasat varësisht se si dhe në cilat momente kohore sistemi S" mund të ndryshojë gjendjet e tij.

PËRKUFIZIM. Procesi i rastësishëm quhet proces me gjendje diskrete, nëse është e mundur gjendjet e sistemit s x, s 2, s v... mund të renditen (numërohen) njëri pas tjetrit, dhe vetë procesi është se herë pas here sistemi S kërcen befas (në çast) nga një gjendje në tjetrën.

Për shembull, zhvillimi i projektit S kryhet së bashku nga dy departamente, secili prej të cilave mund të bëjë një gabim. Gjendjet e mëposhtme të sistemit janë të mundshme:

5, - të dy departamentet punojnë normalisht;

s 2 - departamenti i parë gaboi, i dyti punon mirë;

s 3 - departamenti i dytë bëri një gabim, i pari funksionon mirë;

s 4 - të dy departamentet bënë një gabim.

Procesi që ndodh në sistem është se ai rastësisht në disa momente të kohës lëviz (“kërcen”) nga një shtet në tjetrin. Sistemi ka gjithsej katër gjendje të mundshme. Para nesh është një proces me gjendje diskrete.

Përveç proceseve me gjendje diskrete, ekzistojnë procese të rastësishme me gjendje të vazhdueshme: këto procese karakterizohen nga një kalim gradual dhe i qetë nga një gjendje në tjetrën. Për shembull, procesi i ndryshimit të tensionit në një rrjet ndriçimi është një proces i rastësishëm me gjendje të vazhdueshme.

Ne do të shqyrtojmë vetëm procese të rastësishme me gjendje diskrete.

Kur analizoni procese të rastësishme me gjendje diskrete është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur skema gjeometrike- i ashtuquajturi grafik i gjendjes. Grafiku i gjendjes përshkruan gjeometrikisht gjendjet e mundshme të sistemit dhe të tij tranzicionet e mundshme nga shteti në shtet.

Le të ketë një sistem S me gjendje diskrete:

Çdo gjendje do të përfaqësohet nga një drejtkëndësh, dhe kalimet e mundshme ("kërcimet") nga një gjendje në tjetrën do të përfaqësohen nga shigjetat që lidhin këta drejtkëndësha. Një shembull i grafikut të gjendjes është paraqitur në Fig. 4.1.

Vini re se shigjetat shënojnë vetëm kalimet e drejtpërdrejta nga një gjendje në tjetrën; nëse sistemi mund të kalojë nga gjendja s 2 në 5 3 vetëm përmes s y atëherë shigjetat shënojnë vetëm kalimet s 2-> dhe l, 1 -> 5 3, por jo s 2 -» s y Le të shohim disa shembuj:

1. Sistemi S- një kompani që mund të jetë në një nga pesë shtetet e mundshme: s]- punon me fitim;

s 2- humbi perspektivat e zhvillimit dhe pushoi së gjeneruari fitim;

5 3 - u bë objekt për një marrje të mundshme;

s 4- është nën kontroll të jashtëm;

s 5- prona e shoqërisë së likuiduar shitet në ankand.

Grafiku i gjendjes së kompanisë është paraqitur në Fig. 4.2.

Oriz. 4.2

2. Sistemi S- një bankë me dy degë. Gjendjet e mëposhtme të sistemit janë të mundshme:
5, - të dyja degët operojnë me fitim;

s 2 - dega e parë funksionon pa fitim, e dyta funksionon me fitim;

5 3 - dega e dytë funksionon pa fitim, e para funksionon me fitim;

s 4 - të dyja degët funksionojnë pa fitim.

Supozohet se nuk ka përmirësim të gjendjes.

Grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 4.3. Vini re se grafiku nuk tregon një kalim të mundshëm nga gjendja s] direkt tek s4, të cilat do të realizohen nëse banka menjëherë do të funksionojë me humbje. Mundësia e një ngjarje të tillë mund të neglizhohet, siç e vërteton praktika.

Oriz. 4.3

3. Sistemi S- një shoqëri investimi e përbërë nga dy tregtarë (departamente): I dhe II; secila prej tyre në një moment në kohë mund të fillojë të funksionojë me humbje. Nëse kjo ndodh, menaxhmenti i kompanisë merr menjëherë masa për të rivendosur funksionimin fitimprurës të departamentit.

Sistemi i mundshëm thotë: s- aktivitetet e të dy departamenteve janë fitimprurëse; s 2- departamenti i parë po restaurohet, i dyti funksionon me fitim;

s 3- departamenti i parë funksionon me fitim, i dyti po restaurohet;

s 4- të dy departamentet janë duke u restauruar.

Grafiku i gjendjes së sistemit është paraqitur në Fig. 4.4.

4. Në kushtet e shembullit të mëparshëm, veprimtaritë e çdo tregtari, përpara se të fillojë të rivendosë punën fitimprurëse të departamentit, i nënshtrohen studimit nga drejtuesit e shoqërisë për të marrë masa për përmirësimin e saj.

Për lehtësi, ne do t'i numërojmë gjendjet e sistemit jo me një, por me dy indekse; e para do të nënkuptojë statusin e tregtarit të parë (1 - punon me fitim, 2 - aktivitetet e tij po studiohen nga menaxhmenti, 3 - rikthen aktivitetin fitimprurës të departamentit); e dyta - të njëjtat gjendje për tregtarin e dytë. Për shembull, s 23 do të thotë: aktivitetet e tregtarit të parë po studiohen, i dyti po rivendos punën fitimprurëse.

Gjendjet e mundshme të sistemit S:

s u- aktivitetet e të dy tregtarëve sjellin fitim;

s l2- tregtari i parë punon me fitim, aktivitetet e të dytit studiohen nga menaxhmenti i kompanisë;

5 13 - tregtari i parë punon me fitim, i dyti rikthen veprimtarinë fitimprurëse të departamentit;

s 2l- veprimtaritë e tregtarit të parë studiohen nga menaxhmenti, i dyti punon me fitim;

s 22 - aktivitetet e të dy tregtarëve studiohen nga menaxhmenti;

5 23 - studiohet puna e tregtarit të parë, tregtari i dytë rikthen aktivitetet fitimprurëse të departamentit;
5 31 - tregtari i parë rikthen aktivitetet fitimprurëse të departamentit, i dyti punon me fitim;
5 32 - aktiviteti fitimprurës i departamentit rivendoset nga tregtari i parë, studiohet puna e tregtarit të dytë;
5 33 - të dy tregtarët rivendosin punën fitimprurëse të departamentit të tyre.

Janë nëntë shtete gjithsej. Grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 4.5.

Supozimet për natyrën Poisson të rrjedhës së kërkesave dhe për shpërndarjen eksponenciale të kohës së shërbimit janë të vlefshme në atë që na lejojnë të aplikojmë aparatin e të ashtuquajturave procese të rastësishme Markov në teorinë e radhës.

Një proces që ndodh në një sistem fizik quhet një proces Markov (ose një proces pa efekt) nëse për çdo moment në kohë probabiliteti i ndonjë gjendjeje të sistemit në të ardhmen varet vetëm nga gjendja e sistemit në momentin aktual dhe nuk varet nga mënyra se si sistemi erdhi në këtë gjendje.

Le të shqyrtojmë një shembull elementar të një procesi të rastësishëm Markov. Pika lëviz rastësisht përgjatë boshtit të abshisës. Në momentin e kohës, pika është në origjinë dhe qëndron aty për një sekondë. Një sekondë më vonë, hidhet një monedhë; nëse stema bie, pika lëviz një njësi gjatësie në të djathtë, nëse numri lëviz në të majtë. Një sekondë më vonë, monedha hidhet përsëri dhe bëhet e njëjta lëvizje e rastësishme, etj. Procesi i ndryshimit të pozicionit të një pike (ose, siç thonë ata, "ecja") është një proces i rastësishëm me kohë diskrete dhe një grup të numërueshëm. të shteteve

Një diagram i tranzicioneve të mundshme për këtë proces është paraqitur në Fig. 19.7.1.

Le të tregojmë se ky proces është markovian. Në të vërtetë, le të imagjinojmë se në një moment në kohë sistemi është, për shembull, në një gjendje - një njësi në të djathtë të origjinës. Pozicionet e mundshme të një pike pas një njësie kohe do të jenë me probabilitete 1/2 dhe 1/2; përmes dy njësive - , , me probabilitete 1/4, ½, 1/4 e kështu me radhë. Natyrisht, të gjitha këto probabilitete varen vetëm nga vendi ku ndodhet pika ky moment, dhe janë plotësisht të pavarur nga mënyra se si ajo arriti atje.

Le të shohim një shembull tjetër. Ekziston një pajisje teknike e përbërë nga elementë (pjesë) të llojeve dhe që kanë qëndrueshmëri të ndryshme. Këta elementë mund të dështojnë në kohë të rastësishme dhe në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri. Funksionimi i duhur i secilit element është absolutisht i nevojshëm për funksionimin e pajisjes në tërësi. Koha e funksionimit pa dështim të një elementi është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas një ligji eksponencial; për elementet e llojit dhe parametrat e këtij ligji janë të ndryshëm dhe të barabartë me dhe përkatësisht. Në rast të dështimit të pajisjes, merren menjëherë masat për të identifikuar shkaqet dhe elementi i dëmtuar i zbuluar zëvendësohet menjëherë me një të ri. Koha e nevojshme për të rivendosur (riparuar) pajisjen shpërndahet sipas një ligji eksponencial me parametrin (nëse një element i tipit ) dhe (nëse një element i tipit ) dështon.

NË në këtë shembull një proces i rastësishëm që ndodh në një sistem është një proces Markov me kohë të vazhdueshme dhe grup i kufizuar deklaron:

Të gjithë elementët janë në gjendje pune, sistemi është duke punuar,

Elementi i tipit është me defekt, sistemi është duke u riparuar,

Elementi tip ka defekt, sistemi është duke u riparuar.

Një diagram i tranzicioneve të mundshme është paraqitur në Fig. 19.7.2.

Në të vërtetë, procesi ka pronën Markov. Le të, për shembull, në momentin që sistemi është në gjendje (funksionale). Meqenëse koha e funksionimit pa dështim të secilit element është tregues, momenti i dështimit të secilit element në të ardhmen nuk varet nga sa kohë ka punuar tashmë (kur është dorëzuar). Prandaj, probabiliteti që në të ardhmen sistemi të mbetet në gjendje ose të largohet prej tij nuk varet nga "parahistoria" e procesit. Le të supozojmë se për momentin sistemi është në gjendje (elementi i llojit është i gabuar). Meqenëse koha e riparimit është gjithashtu tregues, probabiliteti i përfundimit të riparimit në çdo kohë më pas nuk varet nga koha kur filloi riparimi dhe kur u dorëzuan elementët e mbetur (të servisueshëm). Pra, procesi është Markovian.

Vini re se shpërndarja eksponenciale e kohës së funksionimit të elementit dhe shpërndarja eksponenciale e kohës së riparimit janë kushte thelbësore, pa të cilat procesi nuk do të ishte Markovian. Në të vërtetë, le të supozojmë se koha e funksionimit të duhur të elementit shpërndahet jo sipas një ligji eksponencial, por sipas një ligji tjetër - për shembull, sipas ligjit të densitetit uniform në zonë. Kjo do të thotë që çdo element është i garantuar të funksionojë për një periudhë kohore, dhe në seksionin nga deri tek ai mund të dështojë në çdo moment me të njëjtën densitet probabiliteti. Le të supozojmë se në një moment në kohë elementi po funksionon siç duhet. Natyrisht, probabiliteti që një element të dështojë në një moment në të ardhmen varet nga sa kohë më parë është instaluar elementi, d.m.th., varet nga historia e mëparshme dhe procesi nuk do të jetë Markovian.

Situata është e ngjashme me kohën e riparimit; nëse nuk është tregues dhe elementi është duke u riparuar në këtë moment, atëherë koha e mbetur e riparimit varet nga koha kur filloi; procesi sërish nuk do të jetë markovian.

Në përgjithësi, shpërndarja eksponenciale luan një rol të veçantë në teorinë e proceseve të rastësishme të Markovit me kohë të vazhdueshme. Është e lehtë të verifikohet se në një proces të palëvizshëm Markov, koha gjatë së cilës sistemi mbetet në çdo gjendje shpërndahet gjithmonë sipas një ligji eksponencial (me një parametër që varet, në përgjithësi, nga kjo gjendje). Në të vërtetë, le të supozojmë se për momentin sistemi është në gjendje dhe ka qenë në të për disa kohë më parë. Sipas përkufizimit të një procesi Markov, probabiliteti i ndonjë ngjarjeje në të ardhmen nuk varet nga historia e mëparshme; në veçanti, probabiliteti që një sistem të largohet nga një gjendje brenda kohës nuk duhet të varet nga sa kohë sistemi ka kaluar tashmë në atë gjendje. Për rrjedhojë, koha që sistemi mbetet në gjendje duhet të shpërndahet sipas një ligji eksponencial.

Në rastin kur procesi që zhvillohet në sistemi fizik me një grup të numërueshëm gjendjesh dhe kohë të vazhdueshme, është Markovian, ky proces mund të përshkruhet duke përdorur ekuacione diferenciale të zakonshme, në të cilat funksionet e panjohura janë probabilitetet e gjendjes. Ne do të demonstrojmë përbërjen dhe zgjidhjen e ekuacioneve të tilla në shembullin e mëposhtëm. sistemi më i thjeshtë shërbim masiv.

Teoria e radhës është një nga degët e teorisë së probabilitetit. Kjo teori konsideron probabilistike detyrat dhe modele matematikore(përpara kemi shqyrtuar modelet matematikore përcaktuese). Le t'ju kujtojmë se:

Modeli matematikor përcaktues pasqyron sjelljen e një objekti (sistemi, procesi) nga këndvështrimi siguri të plotë në të tashmen dhe të ardhmen.

Modeli matematikor probabilistik merr parasysh ndikimin e faktorëve të rastësishëm në sjelljen e një objekti (sistemi, procesi) dhe, për rrjedhojë, vlerëson të ardhmen nga pikëpamja e probabilitetit të ngjarjeve të caktuara.

ato. këtu, si për shembull, në teorinë e lojës merren parasysh problemet në kushtepasiguria.

Le të shqyrtojmë fillimisht disa koncepte që karakterizojnë "pasigurinë stokastike", kur faktorët e pasigurt të përfshirë në problem janë variabla të rastësishëm (ose funksione të rastësishme), karakteristikat probabilistike të të cilave ose dihen ose mund të merren nga përvoja. Një pasiguri e tillë quhet edhe "e favorshme", "dashamirës".

Koncepti i një procesi të rastësishëm

Në mënyrë rigoroze, shqetësimet e rastësishme janë të natyrshme në çdo proces. Është më e lehtë të jepen shembuj të një procesi të rastësishëm sesa një procesi "jo të rastësishëm". Edhe, për shembull, procesi i drejtimit të një ore (duket se është një punë e kalibruar rreptësisht - "punon si një orë") i nënshtrohet ndryshimeve të rastësishme (lëvizja përpara, ngecja, ndalesa). Por për sa kohë që këto shqetësime janë të parëndësishme dhe kanë pak efekt në parametrat me interes për ne, ne mund t'i neglizhojmë dhe ta konsiderojmë procesin si determinist, jo të rastësishëm.

Le të ketë një sistem S(pajisja teknike, grupi i pajisjeve të tilla, sistemi teknologjik - makinë, kantier, punishte, ndërmarrje, industri etj.). Në sistem S rrjedhjet proces i rastësishëm, nëse ndryshon gjendjen e tij me kalimin e kohës (kalon nga një gjendje në tjetrën), për më tepër, në një mënyrë të rastësishme të panjohur më parë.

Shembuj: 1. Sistemi S– sistemi teknologjik (seksioni i makinerisë). Makinat prishen herë pas here dhe riparohen. Procesi që zhvillohet në këtë sistem është i rastësishëm.

2. Sistemi S- një avion që fluturon në një lartësi të caktuar përgjatë një rruge specifike. Faktorët shqetësues - kushtet e motit, gabimet e ekuipazhit, etj., pasojat - gunga, shkelje e orarit të fluturimit, etj.

Procesi i rastësishëm Markov

Një proces i rastësishëm që ndodh në një sistem quhet Markovsky, nëse për ndonjë moment të kohës t 0 karakteristikat probabilistike të një procesi në të ardhmen varen vetëm nga gjendja e tij për momentin t 0 dhe nuk varen nga kur dhe si sistemi arriti në këtë gjendje.

Le të jetë sistemi në një gjendje të caktuar në momentin t 0 S 0 . Ne i dimë karakteristikat e gjendjes së sistemit në të tashmen, gjithçka që ndodhi kur t<t 0 (historia e procesit). A mund të parashikojmë (parashikojmë) të ardhmen, d.m.th. çfarë do të ndodhë kur t>t 0 ? Jo saktësisht, por disa karakteristika probabilistike të procesit mund të gjenden në të ardhmen. Për shembull, probabiliteti që pas njëfarë kohe sistemi S do jete i afte S 1 ose do të mbetet në gjendje S 0, etj.

Shembull. Sistemi S- një grup avionësh që marrin pjesë në lufta ajrore. Le x– numri i avionëve “të kuq”, y– numri i avionëve “blu”. Nga koha t 0 numri i avionëve të mbijetuar (jo të rrëzuar), përkatësisht - x 0 ,y 0 . Na intereson probabiliteti që për momentin epërsia numerike të jetë në anën e “të kuqve”. Ky probabilitet varet nga ajo gjendje në të cilën ishte sistemi në atë kohë t 0, dhe jo se kur dhe në çfarë sekuence vdiqën të qëlluarit deri në atë moment t 0 avionë.

Në praktikë, Markov përpunon në formë e pastër zakonisht nuk gjendet. Por ka procese për të cilat ndikimi i "parahistorisë" mund të neglizhohet. Dhe kur studiohen procese të tilla, mund të përdoren modelet e Markovit (teoria e radhës nuk i merr parasysh sistemet e radhës së Markovit, por aparati matematikor që i përshkruan ato është shumë më kompleks).

Në kërkimin e operacioneve rëndësi të madhe kanë procese të rastësishme Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme.

Procesi quhet procesi i gjendjes diskrete, nëse gjendjet e tij të mundshme S 1 ,S 2, ... mund të përcaktohet paraprakisht, dhe kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje ndodh "në një kërcim", pothuajse menjëherë.

Procesi quhet proces i vazhdueshëm kohor, nëse momentet e kalimeve të mundshme nga gjendja në gjendje nuk janë të fiksuara paraprakisht, por janë të pasigurta, të rastësishme dhe mund të ndodhin në çdo moment.

Shembull. Sistemi teknologjik (seksioni) S përbëhet nga dy makina, secila prej të cilave mund të dështojë (dështon) në një moment të rastësishëm në kohë, pas së cilës fillon menjëherë riparimi i njësisë, i cili gjithashtu vazhdon për një kohë të panjohur, të rastësishme. Gjendjet e mëposhtme të sistemit janë të mundshme:

S 0 - të dy makinat janë duke punuar;

S 1 - makina e parë është duke u riparuar, e dyta është duke punuar;

S 2 - makina e dyte eshte duke u riparuar, e para eshte ne pune;

S 3 - te dyja makinat jane duke u riparuar.

Tranzicionet e sistemit S nga një gjendje në tjetrën ndodhin pothuajse menjëherë, në momente të rastësishme kur një makinë e caktuar dështon ose përfundon një riparim.

Kur analizoni procese të rastësishme me gjendje diskrete, është e përshtatshme të përdorni një skemë gjeometrike - grafiku i gjendjes. Kulmet e grafikut janë gjendjet e sistemit. Harqet grafike - kalimet e mundshme nga gjendja në

Fig.1. Grafiku i gjendjes së sistemit

shteti. Për shembullin tonë, grafiku i gjendjes është paraqitur në Fig. 1.

Shënim. Kalimi nga shteti S 0 in S 3 nuk tregohet në figurë, sepse supozohet se makinat dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Ne neglizhojmë mundësinë e dështimit të njëkohshëm të të dy makinave.

Sistemi i radhës karakterizohet nga një proces i rastësishëm. Studimi i një procesi të rastësishëm që ndodh në një sistem dhe shprehja e tij matematikore është objekt i teorisë së radhës.

Analiza matematikore e funksionimit të një sistemi të radhës lehtësohet shumë nëse procesi i rastësishëm i këtij operacioni është Markovsky. Një proces që ndodh në një sistem quhet Markovian nëse në çdo moment në kohë probabiliteti i ndonjë gjendjeje të sistemit në të ardhmen varet vetëm nga gjendja e sistemit në ky moment dhe nuk varet nga mënyra se si sistemi erdhi në këtë gjendje. Gjatë hulumtimit sistemet ekonomike Proceset e rastësishme Markov me gjendje diskrete dhe të vazhdueshme përdoren më gjerësisht.

Procesi i rastësishëm quhet proces me gjendje diskrete, nëse të gjitha gjendjet e tij të mundshme mund të renditen paraprakisht, dhe vetë procesi konsiston në faktin se herë pas here sistemi kërcen nga një gjendje në tjetrën.

Procesi i rastësishëm quhet proces me gjendje të vazhdueshme, nëse karakterizohet nga një kalim i qetë, gradual nga një gjendje në tjetrën.

Mund të dallojmë edhe proceset Markov me diskrete Dhe kohë të vazhdueshme. Në rastin e parë, kalimet e sistemit nga një gjendje në tjetrën janë të mundshme vetëm në momente të përcaktuara rreptësisht, të paracaktuara në kohë. Në rastin e dytë, kalimi i sistemit nga gjendja në gjendje është i mundur në çdo moment të panjohur më parë, të rastësishëm. Nëse probabiliteti i kalimit nuk varet nga koha, atëherë quhet procesi Markov homogjene.

Në studimin e sistemeve të radhës, proceset e rastësishme Markov me gjendje diskrete dhe kohë të vazhdueshme kanë një rëndësi të madhe.

Studimi i proceseve Markov zbret në studimin e matricave të probabilitetit të tranzicionit (). Secili element i një matrice të tillë (rrjedha e ngjarjes) përfaqëson probabilitetin e kalimit nga një gjendje e caktuar (që korrespondon me një rresht) në gjendjen tjetër (që korrespondon me një kolonë). Kjo matricë ofron të gjitha tranzicionet e mundshme të një grupi të caktuar gjendjesh. Rrjedhimisht, proceset që mund të përshkruhen dhe modelohen duke përdorur matricat e probabilitetit të tranzicionit duhet të kenë një varësi të probabilitetit të një gjendjeje të veçantë nga gjendja menjëherë paraardhëse. Kështu rreshtohet Zinxhiri Markov. Në këtë rast, një zinxhir Markov i rendit të parë është një proces për të cilin çdo gjendje specifike varet vetëm nga gjendja e mëparshme. Një zinxhir Markov i rendit të dytë dhe të lartë është një proces në të cilin Gjendja e tanishme varet nga dy ose më shumë të mëparshme.

Më poshtë janë dy shembuj të matricave të probabilitetit të tranzicionit.

Matricat e probabilitetit të tranzicionit mund të përfaqësohen nga grafikët e gjendjes së tranzicionit, siç tregohet në figurë.

Shembull

Kompania prodhon një produkt që ka ngopur tregun. Nëse një ndërmarrje merr një fitim (P) nga shitja e një produkti në muajin aktual, atëherë me një probabilitet prej 0.7 do të marrë një fitim në muajin tjeter, dhe me probabilitet 0.3 – humbje. Nëse në muajin aktual një ndërmarrje merr një humbje (L), atëherë me një probabilitet prej 0.4 në muajin tjetër do të marrë një fitim, dhe me një probabilitet prej 0.6 - një humbje (vlerësimet e probabilitetit janë marrë si rezultat i një sondazhi të ekspertëve). Llogaritni vlerësimin probabilistik të marrjes së një fitimi nga shitja e mallrave pas dy muajve të funksionimit të ndërmarrjes.

Ky informacion do të shprehet në formë matrice në mënyrën e mëposhtme(që korrespondon me shembullin e matricës 1):

Përsëritja e parë – ndërtimi i një matrice të tranzicioneve me dy faza.

Nëse një kompani bën një fitim në muajin aktual, atëherë probabiliteti që ajo të fitojë përsëri muajin e ardhshëm është i barabartë me

Nëse një kompani ka një fitim në muajin aktual, atëherë probabiliteti që ajo të ketë një humbje në muajin e ardhshëm është i barabartë me

Nëse një kompani ka një humbje në muajin aktual, atëherë probabiliteti që ajo të bëjë një fitim muajin tjetër është i barabartë me

Nëse një kompani bën një humbje në muajin aktual, atëherë probabiliteti që ajo të bëjë një humbje përsëri muajin e ardhshëm është i barabartë me

Si rezultat i llogaritjeve, marrim një matricë të tranzicioneve me dy faza:

Rezultati arrihet me shumëzimin e matricës t, për matricë me të njëjtat vlera probabiliteti:

Për të kryer këto procedura në Excel, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) formoni një matricë;
2) thirrni funksionin MULTIPLE;
3) tregoni grupin e parë - një matricë;
4) tregoni grupin e dytë (të njëjtën matricë ose një tjetër);
5) OK;
6) zgjidhni zonën e matricës së re;
7) F2;
8) Ctrl+Shift+Enter;
9) merrni një matricë të re.

Përsëritja e dytë – ndërtimi i një matrice të tranzicioneve me tre faza. Në mënyrë të ngjashme, llogariten probabilitetet për të marrë një fitim ose humbje në hapin tjetër dhe llogaritet matrica e tranzicioneve me tre faza, ajo ka formën e mëposhtme:

Kështu, në dy muajt e ardhshëm të funksionimit të ndërmarrjes, probabiliteti për të fituar një fitim nga lëshimi i një produkti është më i lartë se probabiliteti për të marrë një humbje. Megjithatë, duhet theksuar se gjasat për të bërë një fitim zvogëlohen, kështu që kompania duhet të zhvillojë një produkt të ri për të zëvendësuar produktin që prodhohet.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve