Mësimi dhe prezantimi me temën: "Eksponent me eksponent negativ. Përkufizimi dhe shembuj të zgjidhjes së problemit"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja. Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete edukative dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën e 8-të
Manual për tekstin Muravin G.K.

Një manual për tekstin shkollor nga Alimov Sh.A.

Përcaktimi i shkallës me një eksponent negativ
Djema, ne jemi të mirë në ngritjen e numrave në fuqi.

Për shembull: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Ne e dimë mirë se çdo numër me fuqi zero është i barabartë me një. $a^0=1$, $a≠0$.
Shtrohet pyetja, çfarë ndodh nëse e ngrini një numër në një fuqi negative? Për shembull, me çfarë do të jetë i barabartë numri $2^(-2)$?
Matematicienët e parë që e bënë këtë pyetje vendosën se nuk ia vlente të rikrijohej rrota dhe ishte mirë që të gjitha vetitë e shkallëve mbetën të njëjta. Kjo do të thotë, kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, eksponentët mblidhen.
Le të shqyrtojmë këtë rast: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Ne zbuluam se prodhimi i numrave të tillë duhet të japë një. Njësia në prodhim fitohet duke shumëzuar numrat reciprokë, pra $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Një arsyetim i tillë çoi në përkufizimin e mëposhtëm. Përkufizimi. Nëse $n$ - numri natyror

dhe $a≠0$, atëherë barazia vlen: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Një identitet i rëndësishëm që përdoret shpesh është: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Në veçanti, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Shembuj zgjidhjesh
Shembulli 1.

Llogaritni: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Zgjidhje.
Le të shqyrtojmë secilin term veç e veç.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Mbetet për të kryer veprimet e mbledhjes dhe zbritjes: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.

Përgjigje: $6\frac(1)(4)$.
Shembulli 2. Prezantoni për numri i dhënë si diplomë numër i thjeshtë

Llogaritni: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
$\frac(1)(729)$.
Natyrisht, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Por 729 nuk është një numër i thjeshtë që mbaron me 9. Mund të supozohet se ky numër është një fuqi e tre. Ndani në mënyrë sekuenciale 729 me 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
U kryen gjashtë operacione dhe kjo do të thotë: $729=3^6$.
Për detyrën tonë:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Përgjigje: $3^(-6)$.

Shembulli 3. Shprehni shprehjen si fuqi: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)(a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Zgjidhje. Veprimi i parë kryhet gjithmonë brenda kllapave, pastaj shumëzimi $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Përgjigje: $a$.

Shembulli 4. Vërtetoni identitetin:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Zgjidhje.
Në anën e majtë, ne e konsiderojmë secilin faktor në kllapa veç e veç.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Kalojmë te thyesa me të cilën po pjesëtojmë.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Le të bëjmë ndarjen.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Ne morëm identitetin e saktë, gjë që duhej të vërtetonim.

Në fund të mësimit, ne do të shkruajmë edhe një herë rregullat për të punuar me fuqi, këtu eksponenti është një numër i plotë.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1. Llogaritni: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Paraqisni numrin e dhënë si fuqi të një numri të thjeshtë $\frac(1)(16384)$.
3. Shprehni shprehjen si fuqi:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Provoni identitetin:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Ngritja në një fuqi negative është një nga elementët bazë të matematikës, i cili ndeshet shpesh gjatë zgjidhjes probleme algjebrike. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.

Si të ngrihet në një fuqi negative - teori

Kur e ngremë një numër në një fuqi të zakonshme, e shumëzojmë vlerën e tij disa herë. Për shembull, 3 3 = 3×3×3 = 27. Me një thyesë negative e kundërta është e vërtetë. Formula e përgjithshme e formulës do të jetë si më poshtë: a -n = 1/a n. Kështu, për të ngritur një numër në një fuqi negative, duhet të ndani një me numrin e dhënë, por tashmë me shkallë pozitive.

Si të ngrihet në një fuqi negative - shembuj për numrat e zakonshëm

Duke mbajtur parasysh rregullin e mësipërm, le të zgjidhim disa shembuj.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Përgjigje: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Përgjigje -4 -2 = 1/16.

Por pse përgjigjet në shembullin e parë dhe të dytë janë të njëjta? Fakti është se kur ngrihet një numër negativ në madje shkallë(2, 4, 6, etj.), Shenja bëhet pozitive. Nëse shkalla do të ishte e barabartë, atëherë minusi do të mbetej:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Si të ngrini numrat nga 0 në 1 në një fuqi negative

Kujtoni se kur një numër midis 0 dhe 1 rritet në një fuqi pozitive, vlera zvogëlohet me rritjen e fuqisë. Kështu për shembull, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Shembulli 3: Llogaritni 0,5 -2
Zgjidhja: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Përgjigje: 0,5 -2 = 4

Analiza (sekuenca e veprimeve):

Shndërroje thyesën dhjetore 0,5 në thyesën thyesore 1/2. Është më e lehtë kështu.
Ngrini 1/2 në një fuqi negative. 1/(2) -2 . Ndani 1 me 1/(2) 2, marrim 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Shembulli 4: Llogarit 0,5 -3
Zgjidhje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Shembulli 5: Llogaritni -0,5 -3
Zgjidhje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Përgjigje: -0,5 -3 = -8

Bazuar në shembujt e 4-të dhe të 5-të, mund të nxjerrim disa përfundime:

Për një numër pozitiv në rangun nga 0 në 1 (shembulli 4), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë pozitive. Në të njëjtën kohë, se më shumë shkallë, aq më e madhe është vlera.
Për një numër negativ në rangun nga 0 në 1 (shembulli 5), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë negative. Në këtë rast, sa më e lartë të jetë shkalla, aq më e ulët është vlera.

Si të rritet në një fuqi negative - një fuqi në formën e një numri thyesor

Shprehjet të këtij lloji kanë formën e mëposhtme: a -m/n, ku a - numër i rregullt, m është numëruesi i shkallës, n është emëruesi i shkallës.

Le të shohim një shembull:
Llogaritni: 8 -1/3

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

Le të kujtojmë rregullin për ngritjen e një numri në një fuqi negative. Marrim: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Vini re se emëruesi ka numrin 8 në një fuqi thyesore. Forma e përgjithshme e llogaritjes së një fuqie thyesore është si më poshtë: a m/n = n √8 m.
Kështu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Marrim rrënjën kubike të tetës, e cila është e barabartë me 2. Nga këtu, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Përgjigje: 8 -1/3 = 2

Niveli i hyrjes

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Pse nevojiten diploma? Ku do t'ju duhen? Pse duhet të merrni kohë për t'i studiuar ato?

Për të mësuar gjithçka rreth diplomave, për çfarë shërbejnë, si të përdorni njohuritë tuaja në jetën e përditshme lexoni këtë artikull.

Dhe, sigurisht, njohja e diplomave do t'ju sjellë më afër suksesit duke kaluar OGE ose Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe pranimin në universitetin e ëndrrave tuaja.

Le të shkojmë ... (Le të shkojmë!)

Shënim i rëndësishëm! Nëse shihni gobbledygook në vend të formulave, pastroni cache-in tuaj. Për ta bërë këtë, shtypni CTRL + F5 (në Windows) ose Cmd + R (në Mac).

NIVELI HYRËS

Ngritja në një pushtet është e njëjtë operacion matematik si mbledhja, zbritja, shumëzimi ose pjesëtimi.

Tani do të shpjegoj gjithçka gjuha njerëzore shumë shembuj të thjeshtë. Kini kujdes. Shembujt janë elementarë, por shpjegojnë gjëra të rëndësishme.

Le të fillojmë me shtimin.

Këtu nuk ka asgjë për të shpjeguar. Ju tashmë dini gjithçka: ne jemi tetë. Të gjithë kanë dy shishe kola. Sa kola ka? Kjo është e drejtë - 16 shishe.

Tani shumëzimi.

I njëjti shembull me cola mund të shkruhet ndryshe: . Matematikanët janë njerëz dinakë dhe dembelë. Ata fillimisht vërejnë disa modele dhe më pas gjejnë një mënyrë për t'i "numëruar" më shpejt. Në rastin tonë, ata vunë re se secili nga tetë personat kishte të njëjtin numër shishe kola dhe dolën me një teknikë të quajtur shumëzim. Pajtohem, konsiderohet më e lehtë dhe më e shpejtë se.

Pra, për të numëruar më shpejt, më lehtë dhe pa gabime, thjesht duhet të mbani mend tabela e shumëzimit. Sigurisht, çdo gjë mund ta bësh më ngadalë, më të vështirë dhe me gabime! Por…

Këtu është tabela e shumëzimit. Përsëriteni.

Dhe një tjetër, më e bukur:

Çfarë truke të tjera të zgjuara numërimi kanë gjetur matematikanët dembelë? E drejta - ngritja e një numri në një fuqi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Nëse ju duhet të shumëzoni një numër me vete pesë herë, atëherë matematikanët thonë se ju duhet ta ngrini atë numër në fuqinë e pestë. Për shembull,. Matematikanët kujtojnë se dy deri në fuqinë e pestë është... Dhe ata zgjidhin probleme të tilla në kokën e tyre - më shpejt, më lehtë dhe pa gabime.

E tëra çfarë ju duhet të bëni është mbani mend çfarë është theksuar me ngjyra në tabelën e fuqive të numrave. Më besoni, kjo do ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë.

Meqë ra fjala, pse quhet shkalla e dytë? katrore numrat, dhe e treta - kubik? Çfarë do të thotë? Shumë pyetje e mirë. Tani do të keni si katrorë ashtu edhe kube.

Shembulli numër 1 i jetës reale

Le të fillojmë me katrorin ose fuqinë e dytë të numrit.

Imagjinoni pishinë katrore metër për metër në madhësi. Pishina është në shtëpinë tuaj. Është vapë dhe unë me të vërtetë dua të notoj. Por... pishina nuk ka fund! Ju duhet të mbuloni pjesën e poshtme të pishinës me pllaka. Sa pllaka ju duhen? Për ta përcaktuar këtë, duhet të dini zonën e poshtme të pishinës.

Ju thjesht mund të llogaritni duke treguar gishtin se fundi i pishinës përbëhet nga kube metër pas metër. Nëse keni pllaka një metër me një metër, do t'ju duhen copa. Është e lehtë... Por ku keni parë pllaka të tilla? Tjegull ka shumë të ngjarë të jetë cm për cm Dhe pastaj do të torturoheni duke "numëruar me gisht". Atëherë ju duhet të shumëzoni. Pra, në njërën anë të pjesës së poshtme të pishinës do të vendosim pllaka (copa) dhe në anën tjetër, gjithashtu, pllaka. Shumëzoni me dhe merrni pllaka ().

A e keni vënë re që për të përcaktuar sipërfaqen e fundit të pishinës kemi shumëzuar të njëjtin numër në vetvete? Çfarë do të thotë? Duke qenë se po shumëzojmë të njëjtin numër, mund të përdorim teknikën e "përhapjes". (Sigurisht, kur keni vetëm dy numra, duhet t'i shumëzoni ose t'i ngrini në një fuqi. Por nëse keni shumë prej tyre, atëherë ngritja e tyre në një fuqi është shumë më e lehtë dhe gjithashtu ka më pak gabime në llogaritje Për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kjo është shumë e rëndësishme).
Pra, tridhjetë në fuqinë e dytë do të jetë (). Ose mund të themi se do të jetë tridhjetë në katror. Me fjalë të tjera, fuqia e dytë e një numri mund të përfaqësohet gjithmonë si një katror. Dhe anasjelltas, nëse shihni një katror, ai është GJITHMONË fuqia e dytë e një numri. Një katror është një imazh i fuqisë së dytë të një numri.

Shembulli i jetës reale numër 2

Këtu është një detyrë për ju: numëroni sa katrorë ka në tabelën e shahut duke përdorur katrorin e numrit... Në njërën anë të qelizave dhe në anën tjetër gjithashtu. Për të llogaritur numrin e tyre, ju duhet të shumëzoni tetë me tetë ose... nëse vëreni se një tabelë shahu është një katror me një anë, atëherë mund të vendosni tetë në katrorë. Do të merrni qeliza. () Pra?

Shembulli numër 3 i jetës reale

Tani kubi ose fuqia e tretë e një numri. E njëjta pishinë. Por tani ju duhet të zbuloni se sa ujë do të duhet të derdhet në këtë pishinë. Ju duhet të llogaritni volumin. (Vëllimet dhe lëngjet, meqë ra fjala, maten në metra kub. E papritur, apo jo?) Vizatoni një pishinë: një fund që mat një metër dhe një thellësi metër dhe përpiquni të numëroni sa kube që matin një metër me një metër do të futen në pishinën tuaj.

Thjesht drejto gishtin dhe numëro! Një, dy, tre, katër...njëzet e dy, njëzet e tre...Sa keni marrë? Nuk ka humbur? A është e vështirë të numërosh me gisht? Kjo është ajo! Merrni një shembull nga matematikanët. Ata janë dembelë, kështu që vunë re se për të llogaritur vëllimin e pishinës, duhet të shumëzoni gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë e saj me njëra-tjetrën. Në rastin tonë, vëllimi i pishinës do të jetë i barabartë me kube... Më e lehtë, apo jo?

Tani imagjinoni sa dembelë dhe dinak janë matematikanët nëse e thjeshtojnë edhe këtë. Ne reduktuam gjithçka në një veprim. Ata vunë re se gjatësia, gjerësia dhe lartësia janë të barabarta dhe se i njëjti numër shumëzohet në vetvete... Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që ju mund të përfitoni nga diploma. Pra, atë që keni numëruar dikur me gishtin tuaj, ata e bëjnë me një veprim: tre kubikë janë të barabartë. Është shkruar kështu: .

Gjithçka që mbetet është mbani mend tabelën e shkallëve. Nëse, sigurisht, nuk jeni aq dembel dhe dinak sa matematikanët. Nëse ju pëlqen të punoni shumë dhe të bëni gabime, mund të vazhdoni të numëroni me gisht.

Epo, për t'ju bindur përfundimisht se diplomat u shpikën nga dorëheqës dhe dinak për të zgjidhur të tyren problemet e jetës, dhe për të mos ju krijuar probleme, ja disa shembuj të tjerë nga jeta.

Shembulli numër 4 i jetës reale

Ju keni një milion rubla. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që bëni, fitoni një milion tjetër. Domethënë, çdo milion që keni dyfishohet në fillim të çdo viti. Sa para do të keni në vite? Nëse jeni ulur tani dhe "po numëroni me gisht", do të thotë se jeni shumë njeri punëtor dhe.. budallaqe. Por ka shumë të ngjarë që ju të jepni një përgjigje brenda disa sekondash, sepse jeni të zgjuar! Pra, në vitin e parë - dy shumëzuar me dy... në vitin e dytë - çfarë ndodhi, me dy të tjera, në vitin e tretë... Ndal! Keni vënë re se numri shumëzohet me shumë herë. Pra, dy deri në fuqinë e pestë është një milion! Tani imagjinoni se keni një konkurs dhe ai që mund të numërojë më shpejt do t'i marrë këto miliona... Ja vlen të kujtoni fuqitë e numrave, a nuk mendoni?

Shembulli i jetës reale numër 5

Ju keni një milion. Në fillim të çdo viti, për çdo milion që fitoni, fitoni dy të tjera. E mrekullueshme apo jo? Çdo milion është trefishuar. Sa para do të keni në një vit? Le të numërojmë. Viti i parë - shumëzoni me, pastaj rezultatin me një tjetër ... Tashmë është e mërzitshme, sepse tashmë keni kuptuar gjithçka: tre shumëzohen me herë në vetvete. Pra, fuqia e katërt është e barabartë me një milion. Thjesht duhet të mbani mend se fuqia tre në të katërt është ose.

Tani e dini se duke e ngritur një numër në një fuqi, do ta bëni jetën tuaj shumë më të lehtë. Le të hedhim një vështrim më tej se çfarë mund të bëni me diploma dhe çfarë duhet të dini rreth tyre.

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Pra, së pari, le të përcaktojmë konceptet. A mendoni ju çfarë është një eksponent? Është shumë e thjeshtë - është numri që është "në krye" të fuqisë së numrit. Jo shkencore, por e qartë dhe e lehtë për t'u mbajtur mend...

Epo, në të njëjtën kohë, çfarë një bazë e tillë diplome? Edhe më e thjeshtë - ky është numri që ndodhet më poshtë, në bazë.

Këtu është një vizatim për masë të mirë.

Epo brenda pamje e përgjithshme, për të përgjithësuar dhe mbajtur mend më mirë... Një shkallë me bazë “ ” dhe eksponent “ ” lexohet “deri në shkallë” dhe shkruhet si më poshtë:

Fuqia e numrit c tregues natyror

Me siguri e keni marrë me mend tashmë: sepse eksponenti është një numër natyror. Po, por çfarë është numri natyror? Elementare! Numrat natyrorë janë ata numra që përdoren në numërim kur renditen objektet: një, dy, tre... Kur numërojmë objektet, nuk themi: “minus pesë”, “minus gjashtë”, “minus shtatë”. Ne gjithashtu nuk themi: "një e treta", ose "zero pikë pesë". Këta nuk janë numra natyrorë. Çfarë numrash mendoni se janë këto?

Numrat si "minus pesë", "minus gjashtë", "minus shtatë" i referohen numra të plotë. Në përgjithësi, numrat e plotë përfshijnë të gjithë numrat natyrorë, numrat e kundërt me numrat natyrorë (d.m.th., të marrë me një shenjë minus) dhe numrin. Zero është e lehtë për t'u kuptuar - është kur nuk ka asgjë. Çfarë nënkuptojnë numrat negativë (“minus”)? Por ato u shpikën kryesisht për të treguar borxhet: nëse keni një bilanc në telefonin tuaj në rubla, kjo do të thotë që i keni borxh operatorit rubla.

Të gjitha thyesat janë numrat racionalë. Si lindën, mendoni ju? Shumë e thjeshtë. Disa mijëra vjet më parë, paraardhësit tanë zbuluan se atyre u mungonin numrat natyrorë për të matur gjatësinë, peshën, sipërfaqen, etj. Dhe ata dolën me numrat racionalë... Interesante, apo jo?

Ka më shumë numrat irracionalë. Cilat janë këto numra? Me pak fjalë, pafund dhjetore. Për shembull, nëse ndani perimetrin e një rrethi me diametrin e tij, merrni një numër irracional.

Rezyme:

Le të përcaktojmë konceptin e një shkalle, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten:
Të kufizosh një numër në katror do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten:
Të kubesh një numër do të thotë ta shumëzosh atë me vetveten tre herë:

Përkufizimi. Ngritni numrin në shkallë natyrore- nënkupton shumëzimin e një numri me vete herë:
.

Vetitë e gradave

Nga kanë ardhur këto prona? Unë do t'ju tregoj tani.

Le të shohim: çfarë është Dhe ?

Sipas përkufizimit:

Sa shumëzues ka gjithsej?

Është shumë e thjeshtë: kemi shtuar shumëzues faktorëve dhe rezultati është shumëzues.

Por sipas përkufizimit, kjo është një fuqi e një numri me një eksponent, domethënë: , që është ajo që duhej vërtetuar.

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:

Shembull: Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhja:Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të jetë baza identike!
Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

vetëm për produktin e fuqive!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

2. kaq fuqia e një numri

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por ju kurrë nuk mund ta bëni këtë në total:

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë?

Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative

Deri në këtë pikë, ne kemi diskutuar vetëm se cili duhet të jetë eksponenti.

Por cila duhet të jetë baza?

Në kompetencat e tregues natyror baza mund të jetë çdo numër. Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift.

Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ? Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me, funksionon.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

A ia dolët?

Këtu janë përgjigjet: Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë!

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Nëse injorojmë fuqinë e tetë, çfarë shohim këtu? Le të kujtojmë programin e klasës së 7-të. Pra, ju kujtohet? Kjo është formula e shumëzimit të shkurtuar, përkatësisht ndryshimi i katrorëve! Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli mund të zbatohej.

Por si ta bëjmë këtë? Rezulton se është shumë e lehtë: këtu na ndihmon shkalla e barabartë e emëruesit.

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa.

Por është e rëndësishme të mbani mend: të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

E tërë ne i quajmë numrat natyrorë, të kundërtat e tyre (pra të marra me shenjën " ") dhe numrin.

numër i plotë pozitiv, dhe nuk ndryshon nga natyralja, atëherë gjithçka duket tamam si në pjesën e mëparshme.

Tani le të shohim rastet e reja. Le të fillojmë me një tregues të barabartë me.

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një:

Si gjithmonë, le të pyesim veten: pse është kështu?

Le të shqyrtojmë një shkallë me një bazë. Merrni, për shembull, dhe shumëzoni me:

Pra, e shumëzuam numrin me, dhe morëm të njëjtën gjë siç ishte - . Me cilin numër duhet të shumëzoni në mënyrë që asgjë të mos ndryshojë? Kjo është e drejtë, në. Mjetet.

Ne mund të bëjmë të njëjtën gjë me një numër arbitrar:

Le të përsërisim rregullin:

Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një.

Por ka përjashtime nga shumë rregulla. Dhe këtu është gjithashtu atje - ky është një numër (si bazë).

Nga njëra anë, duhet të jetë e barabartë me çdo shkallë - pa marrë parasysh se sa shumë e shumëzoni zeron me vetveten, prapë do të merrni zero, kjo është e qartë. Por nga ana tjetër, si çdo numër me fuqinë zero, ai duhet të jetë i barabartë. Pra, sa nga kjo është e vërtetë? Matematikanët vendosën të mos përfshiheshin dhe refuzuan të ngrinin zero në shkallë zero. Kjo do të thotë, tani nuk mund të ndajmë jo vetëm me zero, por edhe ta ngremë atë në fuqinë zero.

Le të vazhdojmë. Përveç numrave natyrorë dhe numrave, numrat e plotë përfshijnë edhe numra negativë. Për të kuptuar se çfarë është një shkallë negative, le të bëjmë si në herën e fundit: shumoj disa numër normal në të njëjtën masë në një shkallë negative:

Nga këtu është e lehtë të shprehësh atë që po kërkon:

Tani le ta zgjerojmë rregullin që rezulton në një shkallë arbitrare:

Pra, le të formulojmë një rregull:

Një numër me fuqi negative është reciprociteti i të njëjtit numër me fuqi pozitive. Por në të njëjtën kohë Baza nuk mund të jetë nule:(sepse nuk mund të ndahesh me).

Le të përmbledhim:

I. Shprehja nuk është e përcaktuar në rasën. Nëse, atëherë.

II. Çdo numër në fuqinë zero është i barabartë me një: .

III. Numri, jo e barabartë me zero, në një shkallë negative është inversi i të njëjtit numër në një shkallë pozitive: .

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Epo, si zakonisht, shembuj për zgjidhje të pavarura:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

E di, e di, numrat janë të frikshëm, por në Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të jesh i përgatitur për çdo gjë! Zgjidhini këta shembuj ose analizoni zgjidhjet e tyre nëse nuk mund t'i zgjidhnit dhe do të mësoni t'i përballoni lehtësisht në provim!

Le të vazhdojmë të zgjerojmë gamën e numrave "të përshtatshëm" si një eksponent.

Tani le të shqyrtojmë numrat racionalë. Cilët numra quhen racionalë?

Përgjigje: çdo gjë që mund të përfaqësohet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë, dhe.

Për të kuptuar se çfarë është "shkalla e pjesshme", merrni parasysh thyesën:

Le t'i ngremë të dyja anët e ekuacionit në një fuqi:

Tani le të kujtojmë rregullin rreth "gradë në shkallë":

Çfarë numri duhet të rritet në një fuqi për të marrë?

Ky formulim është përkufizimi i rrënjës së shkallës së th.

Më lejoni t'ju kujtoj: rrënja e fuqisë së th të një numri () është një numër që, kur ngrihet në një fuqi, është i barabartë me.

Kjo do të thotë, rrënja e fuqisë së th është operacioni i kundërt i ngritjes në një fuqi: .

Rezulton se. Natyrisht kjo rast i veçantë mund të zgjerohet: .

Tani shtojmë numëruesin: çfarë është? Përgjigja është e lehtë për t'u marrë duke përdorur rregullin fuqi në fuqi:

Por a mund të jetë baza ndonjë numër? Në fund të fundit, rrënja nuk mund të nxirret nga të gjithë numrat.

Asnjë!

Le të kujtojmë rregullin: çdo numër i ngritur në një fuqi çift është një numër pozitiv. Kjo do të thotë, është e pamundur të nxirren edhe rrënjë nga numrat negativë!

Kjo do të thotë që numra të tillë nuk mund të ngrihen në një fuqi thyesore me një emërues çift, domethënë, shprehja nuk ka kuptim.

Po shprehja?

Por këtu lind një problem.

Një numër mund të përfaqësohet si thyesa të tjera, të reduktueshme, për shembull, ose.

Dhe rezulton se ekziston, por nuk ekziston, por këto janë vetëm dy hyrje të ndryshme të njëjtin numër.

Ose një shembull tjetër: një herë, atëherë mund ta shkruani. Por nëse e shkruajmë treguesin ndryshe, do të futemi përsëri në telashe: (d.m.th., kemi marrë një rezultat krejtësisht të ndryshëm!).

Për të shmangur paradokse të tilla, ne konsiderojmë vetëm eksponent bazë pozitiv me eksponent thyesor.

Pra, nëse:

- numri natyror;
- numër i plotë;

Shembuj:

Eksponentët racionalë janë shumë të dobishëm për transformimin e shprehjeve me rrënjë, për shembull:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Epo, tani vjen pjesa më e vështirë. Tani do ta kuptojmë shkallë me eksponent irracional.

Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim

Në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th., numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç atyre racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur.

Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë;

...numër në fuqinë zero- ky është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete një herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur - prandaj rezultati është vetëm një "numër bosh" i caktuar. , përkatësisht një numër;

...shkallë me numër të plotë tregues negativ - është sikur diçka ka ndodhur” procesi i kundërt“, pra numri nuk është shumëzuar në vetvete, por është pjesëtuar.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real.

Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

KU JEMI SIGURT DO TË SHKONI! (nëse mësoni të zgjidhni shembuj të tillë :))

Për shembull:

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

1. Le të fillojmë me rregullin e zakonshëm për ngritjen e një pushteti në një pushtet:

Tani shikoni treguesin. Nuk ju kujton gjë? Le të kujtojmë formulën për shumëzimin e shkurtuar të ndryshimit të katrorëve:

Në këtë rast,

Rezulton se:

Përgjigje: .

2. Thyesat në eksponentë i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetoret ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull:

Përgjigje: 16

3. Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Një shkallë është një shprehje e formës: , ku:

— bazë e shkallës;
- eksponent.

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Ngritja e një numri në fuqinë natyrore n do të thotë të shumëzosh numrin me vetveten herë:

Shkalla me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Nëse eksponenti është numër i plotë pozitiv numri:

Ndërtimi në shkallën zero:

Shprehja është e pacaktuar, sepse, nga njëra anë, në çdo shkallë është kjo, dhe nga ana tjetër, çdo numër në shkallën e th është ky.

Nëse eksponenti është numër i plotë negativ numri:

(sepse nuk mund të ndahesh me).

Edhe një herë për zero: shprehja nuk është e përcaktuar në rast. Nëse, atëherë.

Shembuj:

Fuqia me eksponent racional

- numri natyror;
- numër i plotë;

Shembuj:

Vetitë e gradave

Për ta bërë më të lehtë zgjidhjen e problemeve, le të përpiqemi të kuptojmë: nga erdhën këto prona? Le t'i vërtetojmë ato.

Le të shohim: çfarë është dhe?

Sipas përkufizimit:

Pra, në anën e djathtë të kësaj shprehjeje marrim produktin e mëposhtëm:

Por sipas përkufizimit është fuqia e një numri me një eksponent, domethënë:

Q.E.D.

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : .

Shembull : Thjeshtoni shprehjen.

Zgjidhje : Është e rëndësishme të theksohet se në rregullin tonë Domosdoshmërisht duhet të ketë të njëjtat arsye. Prandaj, ne kombinojmë fuqitë me bazën, por mbetet një faktor më vete:

Një tjetër shënim i rëndësishëm: ky rregull - vetëm për produkt fuqie!

Në asnjë rrethanë nuk mund ta shkruani këtë.

Ashtu si me pronën e mëparshme, le të kthehemi te përkufizimi i shkallës:

Le ta rigrupojmë këtë punë si kjo:

Rezulton se shprehja shumëzohet në vetvete herë, domethënë, sipas përkufizimit, kjo është fuqia e th e numrit:

Në thelb, kjo mund të quhet "heqja e treguesit nga kllapat". Por kurrë nuk mund ta bëni këtë në total: !

Le të kujtojmë formulat e shkurtuara të shumëzimit: sa herë kemi dashur të shkruajmë? Por kjo nuk është e vërtetë, në fund të fundit.

Fuqia me bazë negative.

Deri në këtë pikë ne kemi diskutuar vetëm se si duhet të jetë tregues gradë. Por cila duhet të jetë baza? Në kompetencat e natyrore tregues baza mund të jetë çdo numër .

Në të vërtetë, ne mund të shumëzojmë çdo numër me njëri-tjetrin, qofshin ata pozitivë, negativë ose çift. Le të mendojmë se cilat shenja ("" ose "") do të kenë shkallë të numrave pozitivë dhe negativë?

Për shembull, numri është pozitiv apo negativ? A? ?

Me të parën, gjithçka është e qartë: pa marrë parasysh sa numra pozitivë shumëzojmë me njëri-tjetrin, rezultati do të jetë pozitiv.

Por ato negative janë pak më interesante. Ne kujtojmë rregullin e thjeshtë nga klasa e 6-të: "minus për minus jep një plus". Kjo është, ose. Por nëse shumëzojmë me (), marrim - .

Dhe kështu me radhë ad infinitum: me çdo shumëzim pasues shenja do të ndryshojë. Mund të formulojmë sa vijon rregulla të thjeshta:

madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negative.
Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
Zero për çdo fuqi është e barabartë me zero.

Përcaktoni vetë se çfarë shenje do të kenë shprehjet e mëposhtme:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

A ia dolët? Këtu janë përgjigjet:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Në katër shembujt e parë, shpresoj se gjithçka është e qartë? Ne thjesht shikojmë bazën dhe eksponentin dhe zbatojmë rregullin e duhur.

Në shembullin 5) gjithçka nuk është gjithashtu aq e frikshme sa duket: në fund të fundit, nuk ka rëndësi se me çfarë është baza - shkalla është e barabartë, që do të thotë se rezultati do të jetë gjithmonë pozitiv. Epo, përveç rasteve kur baza është zero. Baza nuk është e barabartë, apo jo? Natyrisht jo, pasi (sepse).

Shembulli 6) nuk është më aq i thjeshtë. Këtu duhet të zbuloni se cili është më pak: apo? Nëse e kujtojmë këtë, bëhet e qartë se, që do të thotë se baza është më e vogël se zero. Kjo do të thotë, ne zbatojmë rregullin 2: rezultati do të jetë negativ.

Dhe përsëri ne përdorim përkufizimin e shkallës:

Gjithçka është si zakonisht - ne shkruajmë përkufizimin e shkallëve dhe i ndajmë me njëri-tjetrin, i ndajmë në çifte dhe marrim:

Para se të shohim rregullin e fundit, le të zgjidhim disa shembuj.

Llogaritni shprehjet:

Zgjidhjet :

Ne marrim:

Le të shohim me kujdes emëruesin. Duket shumë si një nga faktorët numërues, por çfarë nuk shkon? Renditja e termave është e gabuar. Nëse do të ndryshonin, rregulli 3 mund të zbatohej. Rezulton se është shumë e lehtë: këtu na ndihmon shkalla e barabartë e emëruesit.

Nëse e shumëzoni me, asgjë nuk ndryshon, apo jo? Por tani rezulton kështu:

Në mënyrë magjike termat ndryshuan vende. Ky "dukuri" vlen për çdo shprehje në një shkallë të barabartë: ne mund t'i ndryshojmë lehtësisht shenjat në kllapa. Por është e rëndësishme të mbani mend: Të gjitha shenjat ndryshojnë në të njëjtën kohë! Nuk mund ta zëvendësoni me duke ndryshuar vetëm një disavantazh që nuk na pëlqen!

Le të kthehemi te shembulli:

Dhe përsëri formula:

Pra, tani rregulli i fundit:

Si do ta vërtetojmë? Sigurisht, si zakonisht: le të zgjerojmë konceptin e shkallës dhe ta thjeshtojmë atë:

Epo, tani le të hapim kllapat. Sa shkronja ka gjithsej? herë nga shumëzuesit - çfarë ju kujton kjo? Ky nuk është asgjë më shumë se një përkufizim i një operacioni shumëzimi: Aty kishte vetëm shumëzues. Kjo do të thotë, kjo, sipas përkufizimit, është një fuqi e një numri me një eksponent:

Shembull:

Shkallë me eksponent irracional

Përveç informacionit për shkallët për nivelin mesatar, ne do të analizojmë shkallën me një eksponent irracional. Të gjitha rregullat dhe vetitë e shkallëve këtu janë saktësisht të njëjta si për një shkallë me një eksponent racional, me përjashtim - në fund të fundit, sipas përkufizimit, numrat irracionalë janë numra që nuk mund të përfaqësohen si thyesë, ku dhe janë numra të plotë (d.m.th. , numrat irracionalë janë të gjithë numra realë përveç numrave racionalë).

Kur studiojmë gradat me eksponentë natyrorë, numra të plotë dhe racionalë, çdo herë kemi krijuar një "imazh", "analogji" ose përshkrim të caktuar në terma më të njohur. Për shembull, një shkallë me një eksponent natyror është një numër i shumëzuar në vetvete disa herë; një numër në fuqinë zero është, si të thuash, një numër i shumëzuar në vetvete herë, domethënë, ata ende nuk kanë filluar ta shumëzojnë atë, që do të thotë se vetë numri as nuk është shfaqur ende - prandaj rezultati është vetëm një i caktuar “numër bosh”, përkatësisht një numër; një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë - është sikur të kishte ndodhur ndonjë "proces i kundërt", domethënë, numri nuk u shumëzua në vetvete, por u nda.

Është jashtëzakonisht e vështirë të imagjinohet një shkallë me një eksponent irracional (ashtu siç është e vështirë të imagjinohet një hapësirë 4-dimensionale). Është mjaft e pastër objekt matematikor, të cilin matematikanët e krijuan për të shtrirë konceptin e shkallës në të gjithë hapësirën e numrave.

Nga rruga, në shkencë përdoret shpesh një shkallë me një eksponent kompleks, domethënë, eksponenti nuk është as një numër real. Por në shkollë nuk mendojmë për vështirësi të tilla;

Pra, çfarë të bëjmë nëse shohim tregues irracional gradë? Ne po mundohemi ta heqim qafe atë! :)

Për shembull:

Vendosni vetë:

Përgjigjet:

Le të kujtojmë ndryshimin e formulës së katrorëve. Përgjigje:.
Thyesat i reduktojmë në të njëjtën formë: ose të dyja dhjetore ose të dyja të zakonshmet. Ne marrim, për shembull: .
Asgjë e veçantë, ne përdorim vetitë e zakonshme të gradave:

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

Diplomë quhet një shprehje e formës: , ku:

Shkallë me një eksponent numër të plotë

një shkallë, eksponenti i së cilës është një numër natyror (d.m.th., numër i plotë dhe pozitiv).

Fuqia me eksponent racional

shkallë, eksponenti i së cilës janë numrat negativë dhe thyesorë.

Shkallë me eksponent irracional

një shkallë, eksponenti i së cilës është një thyesë dhjetore ose rrënjë e pafundme.

Vetitë e gradave

Karakteristikat e gradave.

Numri negativ u ngrit në madje shkallë, - numër pozitive.
Numri negativ u ngrit në i çuditshëm shkallë, - numër negative.
Një numër pozitiv në çdo shkallë është një numër pozitiv.
Zero është e barabartë me çdo fuqi.
Çdo numër me fuqinë zero është i barabartë.

TANI KENI FJALEN...

Si ju pëlqen artikulli? Shkruani më poshtë në komente nëse ju pëlqeu apo jo.

Na tregoni për përvojën tuaj duke përdorur veçoritë e diplomës.

Ndoshta keni pyetje. Ose sugjerime.

Shkruani në komente.

Dhe fat të mirë në provimet tuaja!

Në një nga artikujt e mëparshëm kemi përmendur tashmë fuqinë e një numri. Sot do të përpiqemi të lundrojmë në procesin e gjetjes së kuptimit të tij. Duke folur shkencërisht, ne do të kuptojmë se si të ngrihemi drejt një fuqie. Ne do të kuptojmë se si kryhet ky proces, dhe në të njëjtën kohë do të prekim të gjithë eksponentët e mundshëm: natyror, irracional, racional, numër i plotë.

Pra, le të hedhim një vështrim më të afërt në zgjidhjet e shembujve dhe të zbulojmë se çfarë do të thotë:

Përkufizimi i konceptit.
Ngritja në art negativ.
Treguesi i numrit të plotë.
Ngritja e një numri në një fuqi irracionale.

Këtu është një përkufizim që pasqyron me saktësi kuptimin: "Përhapja është përkufizimi i vlerës së një fuqie të një numri."

Prandaj, ngritja e numrit a në Art. r dhe procesi i gjetjes së vlerës së shkallës a me eksponentin r janë koncepte identike. Për shembull, nëse detyra është të llogaritni vlerën e fuqisë (0.6) 6", atëherë mund të thjeshtohet me shprehjen "Ngritni numrin 0.6 në fuqinë 6".

Pas kësaj, ju mund të vazhdoni drejtpërdrejt me rregullat e ndërtimit.

Ngritja në një fuqi negative

Për qartësi, duhet t'i kushtoni vëmendje zinxhirit të mëposhtëm të shprehjeve:

110=0,1=1* 10 minus 1 lugë gjelle,

1100=0.01=1*10 në minus 2 gradë,

11000=0.0001=1*10 në minus 3 st.,

110000=0.00001=1*10 deri në minus 4 gradë.

Falë këtyre shembujve, ju mund të shihni qartë aftësinë për të llogaritur menjëherë 10 në cilindo minus shkallë. Për këtë qëllim, mjafton thjesht të zhvendosni komponentin dhjetor:

10 deri në -1 shkallë - para një ka 1 zero;
në -3 - tre zero para një;
në -9 ka 9 zero e kështu me radhë.

Është gjithashtu e lehtë të kuptohet nga ky diagram se sa do të jenë 10 minus 5 lugë gjelle. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Si të ngrini një numër në një fuqi natyrore

Duke kujtuar përkufizimin, marrim parasysh se numri natyror a në Art. n është i barabartë me prodhimin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Le të ilustrojmë: (a*a*…a)n, ku n është numri i numrave që shumëzohen. Prandaj, për të ngritur a në n, është e nevojshme të llogaritet produkti llojin e mëposhtëm: a*a*…a pjesëtuar me n herë.

Nga kjo bëhet e qartë se ngritja në rr natyror. mbështetet në aftësinë për të kryer shumëzim(ky material mbulohet në pjesën e shumëzimit të numrave realë). Le të shohim problemin:

Ngrini -2 në rr.

Kemi të bëjmë me një tregues natyror. Prandaj, rrjedha e vendimit do të jetë si më poshtë: (-2) në Art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Tani mbetet vetëm të shumëzojmë numrat e plotë: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Ne marrim 16.

Përgjigja për problemin:

(-2) në Art. 4=16.

Shembull:

Llogaritni vlerën: tre pikë dy të shtatat në katror.

Ky shembull barazohet me prodhimin e mëposhtëm: tre pikë dy të shtata shumëzuar me tre pikë dy të shtata. Duke kujtuar se si të shumohen numra të përzier, përfundojmë ndërtimin:

3 pikë 2 të shtata shumëzuar me vete;
është e barabartë me 23 të shtata shumëzuar me 23 të shtata;
është e barabartë me 529 dyzet e nëntat;
zvogëlojmë dhe marrim 10 tridhjetë e nëntë të dyzet e nëntat.

Përgjigje: 10 39/49

Për sa i përket çështjes së ngritjes në një eksponent irracional, duhet theksuar se llogaritjet fillojnë të kryhen pas përfundimit të rrumbullakimit paraprak të bazës së shkallës në çdo shifër që do të lejonte marrjen e vlerës me një saktësi të caktuar. Për shembull, duhet të vendosim në katror numrin P (pi).

Fillojmë duke rrumbullakosur P në të qindtat dhe marrim:

P në katror = (3.14)2=9.8596. Megjithatë, nëse e zvogëlojmë P-në në dhjetë mijëshe, marrim P = 3,14159. Pastaj kuadrimi jep një numër krejtësisht të ndryshëm: 9.8695877281.

Këtu duhet theksuar se në shumë probleme nuk ka nevojë të ngrihen numrat irracionalë në fuqi. Si rregull, përgjigja futet ose në formën e shkallës aktuale, për shembull, rrënja e 6 në fuqinë e 3, ose, nëse shprehja lejon, transformimi i saj kryhet: rrënja prej 5 deri në 7 gradë = 125 rrënja e 5.

Si të ngrihet një numër në një fuqi numër të plotë

Ky manipulim algjebrik është i përshtatshëm marrë parasysh për rastet e mëposhtme:

për numrat e plotë;
për një tregues zero;
për një eksponent pozitiv të numrit të plotë.

Meqenëse pothuajse të gjitha janë të paprekura numra pozitiv përkojnë me masën e numrave natyrorë, atëherë vendosja e tij në një fuqi të plotë pozitiv është i njëjti proces si vendosja e tij në Art. natyrore. Ky proces kemi përshkruar në paragrafin e mëparshëm.

Tani le të flasim për llogaritjen e rr. nul. Ne kemi zbuluar tashmë më lart se fuqia zero e numrit a mund të përcaktohet për çdo jozero a (reale), ndërsa a në Art. 0 do të jetë e barabartë me 1.

Prandaj, ndërtimi i ndonjë numër real në rr. do të japë një.

Për shembull, 10 në st. 0 nuk mund të përcaktohet.

Për të përfunduar ngritjen në një fuqi të numrit të plotë, mbetet të vendoset për opsionet për vlerat e numrave të plotë negativë. Kujtojmë se Art. nga a me një eksponent numër i plotë -z do të përkufizohet si thyesë. Emëruesi i thyesës është rr. me të tërën vlerë pozitive, kuptimin e të cilit tashmë kemi mësuar ta gjejmë. Tani gjithçka që mbetet është të shqyrtojmë një shembull ndërtimi.

Shembull:

Llogaritni vlerën e numrit 2 të kubuar me një eksponent negativ të numrit të plotë.

Procesi i zgjidhjes:

Sipas përcaktimit të një shkalle me një eksponent negativ, shënojmë: dy minus 3 gradë. barazohet me një me dy me fuqinë e tretë.

Emëruesi llogaritet thjesht: dy kube;

3 = 2*2*2=8.

Përgjigje: dy në rr minus 3. = një e teta.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë. A mund të jetë një diplomë negative?

Mësimi dhe prezantimi me temën: "Eksponent me eksponent negativ. Përkufizimi dhe shembuj të zgjidhjes së problemit"

Një manual për tekstin shkollor nga Alimov Sh.A.

Në veçanti, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

Si të ngrihet në një fuqi negative - teori

Si të ngrihet në një fuqi negative - shembuj për numrat e zakonshëm

Si të ngrini numrat nga 0 në 1 në një fuqi negative

Si të rritet në një fuqi negative - një fuqi në formën e një numri thyesor

Shkalla dhe vetitë e saj. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

NIVELI HYRËS

Ngritja e një numri në një fuqi

Shembulli numër 1 i jetës reale

Shembulli i jetës reale numër 2

Shembulli numër 3 i jetës reale

Shembulli numër 4 i jetës reale

Shembulli i jetës reale numër 5

Terma dhe koncepte... për të mos u ngatërruar

Vetitë e gradave

Fuqia me bazë negative

6 shembuj për të praktikuar

Analiza e zgjidhjes 6 shembuj

Detyrat për zgjidhje të pavarur:

Analiza e problemeve për zgjidhje të pavarur:

5 shembuj për të praktikuar

Analiza e 5 shembujve për trajnim

Vendosni vetë:

Analiza e zgjidhjeve:

NIVELI I AVANCUAR

Përcaktimi i shkallës

Shkalla me tregues natyror (n = 1, 2, 3,...)

Shkalla me një eksponent numër të plotë (0, ±1, ±2,...)

Fuqia me eksponent racional

Vetitë e gradave

Fuqia me bazë negative.

Shkallë me eksponent irracional

PËRMBLEDHJE E SEKSIONIT DHE FORMULAVE THEMELORE

TANI KENI FJALEN...

Ngritja në një fuqi negative

Si të ngrini një numër në një fuqi natyrore

Si të ngrihet një numër në një fuqi numër të plotë