Vetitë e pjesëtimit të shumës. Pjesëtimi i numrave natyrorë si zbritje vijuese

Shabalina Natalya Alekseevna. Shkolla e mesme MKOU Tuturskaya

Matematikë klasa e 3-të.

Tema: Vetia - pjesëtimi i shumës me një numër.

Qëllimi: njohja me një pronë të re aritmetike, zhvillimi i aftësisë për ta përdorur atë gjatë zgjidhjes së shprehjeve.

Rezultatet e planifikuara.

Tema:

Njihni emrin e pronës së re;

Të njohë algoritme për zgjidhjen e shprehjeve duke përdorur këtë veti;

Mund të krahasoni metoda të ndryshme llogaritjeje dhe të zgjidhni më të përshtatshmet.

Personal:

Të kuptojnë rëndësinë e studimit të pronave për lehtësinë e llogaritjes;

Nevoja për t'i ardhur në ndihmë një shoku të klasës në rast vështirësish,

Vetëvlerësimi i veprimeve dhe arritjeve të veta.

Metasubjekt:

Përcaktimi i pavarur i qëllimeve të mësimit;

Ndërtimi i pavarur i thënieve të të folurit në lidhje me mënyrat e zgjidhjes së shprehjeve;

Përcaktimi i pavarur i metodave të zgjidhjes dhe formulimi i algoritmeve të veprimit;

Përcaktimi i kuptimit të paraqitjes skematike të një vetie;

Diskutim kolektiv i metodave të veprimit.

1 Numërimi me gojë me qëllimin e orës së mësimit.

Unë shpërndaj letra me detyrën e parë mësimore (në tekstin e mëtejmë HL)

UZ nr. 1 (komunikues)

Shënime:

Unë shënoj me vete se kush ishte i pari që zgjidhi këtë apo atë shprehje. Ata nuk do të jenë në gjendje të zgjidhin të fundit, kështu që ju lutemi komentoni për tre të parat. Unë mbështetem veçanërisht te djemtë që ishin të parët që gjetën vlerat e duhura. Diskutohen metodat më racionale. Nëse nuk gjenden, ju lutemi gjeni ato përpara. Nr. 1 - aplikuar vetinë e kombinimit (të grupuar): (27 + 3) + (16 + 4) Nr. 2 - rrumbullakosi minuendin: 50-7 nr. 3 - zbatoi vetinë e shumëzimit të një shume me një numër (15 + 5).3

Bazuar në këtë detyrë,tregoni qëllimin e mësimit.

Ata mund të thonë: “Mësoni të zgjidhni shembuj të rinj. Zbuloni se si të zgjidhni shembuj të tillë.” Nëse nuk ju thonë për metodën, ju kujtoj se tre shembujt nuk u zgjidhën në të njëjtën mënyrë, por përdorën të ndryshme çfarë...? (metodat) Ju lutemi vendosni një sekuencë logjike të këtyre qëllimeve. 2 objektiva (personifikimi i qëllimeve) me nënshkrimet përkatëse shfaqen në tabelë (1-mësoni një metodë të re, 2-mësoni ta zgjidhni duke e përdorur atë) Ju kujtoj: "Kushdo që e kupton që tashmë e ka arritur qëllimin, afrohet bordit si zakonisht. dhe drejtoje shigjetën në syrin e demit"

2 Përcaktimi i temës së mësimit.

Le të fillojmë të kërkojmë mënyra për të zgjidhur një shembull të vështirë dhe do të ndihmojë një pronë e re e operacioneve aritmetike, të cilën do të përpiqeni ta emërtoni vetë. Por le ta shohim duke përdorur një shembull më të thjeshtë.

Në tabelë ka një model dhe shprehje:

(6+4).2 6-4 (6+4):2

Pasi kemi zgjedhur një shprehje për modelin, ne përcaktojmë emrin e pronës.

Le të diskutojmë modelin. Mbi të ne ndajmë të kuqe dhe blu në 2 pjesë në të njëjtën kohë, prandaj, shprehja e fundit është e përshtatshme. Ju lutemi lexoni shprehjen (shuma e 6 dhe 4 pjesëtohet me 2)

Si duhet ta quajmë pronë?

(Ata e provojnë vetë. Nëse nuk funksionon, ju lutemi emërtoni sipas analogjisë me vetinë e studiuar të shumëzimit.)

Pjesëtimi i një shume me një numër.

Le të formulojmë qëllimin nr. 1 më saktë. (Nëse nuk munden, atëherë përqendrohem në një pronë të re. Qëllimi është të gjej një mënyrë ose mënyra për të pjesëtuar një shumë me një numër.)

4 Kërkoni për zgjidhje.

E ndaj klasën në dyshe ose treshe. Po shpërndaj 6 rrathë të kuq dhe 4 blu, karta me LS nr 2 (konjitive)

Unë jap jo më shumë se 5 minuta. Metoda paraqitet duke përdorur figura demonstruese në një kanavacë radhitjeje.

1 mënyrë:

Pa i kushtuar rëndësi ngjyrës, e “përzien” në një shumë dhe u nda në gjysmë (6+4): 2=5.

Le të sqarojmë algoritmin.

Së pari, ata gjetën shumën dhe më pas e ndanë atë me numrin.

Metoda 2:

Të kuqtë i kemi ndarë veçmas, pastaj të kaltrat dhe më pas i kemi mbledhur në secilën pjesë (6:2)+(4:2)=5

Le të sqarojmë algoritmin.

Ne e ndamë secilin term të shumës veç e veç dhe më pas shtuam rezultatet e pjesëtimit.

Nëse papritur askush nuk e gjen metodën e parë, ju kërkoj ta gjeni, duke mos i kushtuar vëmendje ngjyrës së figurave. Nëse nuk e gjejnë të dytën, ju kujtoj se për ndonjë arsye kriklat janë dhënë në dy ngjyra.

Ndoshta disa nga fëmijët do ta shohin tashmë arritjen e qëllimit të parë. Nëse të gjithë heshtin, unë do të pyes: "Pse e kryeve këtë detyrë?" (Shkuam te qëllimi i parë dhe ia arritëm, por të dytin nuk e kemi arritur ende, sepse ende nuk e dimë nëse metodat e gjetura do të jenë të dobishme për zgjidhjen e shembujve më kompleksë.)

Si mund ta kontrolloj këtë? (Nëse nuk ju thonë vetë, ju lutemi mbani mend se çfarë vështirësie kanë hasur në UZ nr. 1. Kështu që ne duhet të përpiqemi të zgjidhim shembullin (70+8):6

Unë sugjeroj ta zgjidhni vetë në fletore në dy mënyra, duke përdorur algoritme në ekran. Unë kontrolloj dhe pyes se kush e arriti qëllimin e dytë (këta fëmijë tërheqin shigjetën e tyre në "syrin e demit" në tabelë)

Po nëse dikush nuk e ka goditur ende atë objektiv? ("ekspertët" do të mësojnë - ligji i klasës.) Cilido nga ata që zgjidhën shembullin vjen në tabelë dhe tregon metodën e tyre me një shqiptim të qartë të algoritmit.

Pse të studiohen të dyja metodat? Ne konkludojmë se ju duhet të zgjidhni një zgjidhje të përshtatshme.

5 Konsolidimi primar

Unë ofroj dy KZ për të zgjedhur dhe them se njëra është shumë e vështirë. I keshilloj ata qe nuk e kane arritur vete qellimin e dyte te marrin KM nr 3 (a) - reflektues. Ata që janë më të sigurt në vetvete, le të marrin UZ nr. 3 (b)

MB Nr. 3 (a)-refleksiv

Kjo eshte më mirë. Aftësia për të përdorur metodën më të përshtatshme është një aftësi e vërtetë. Shikoni Kushtojini vëmendje shprehjeve dhe termave në shuma. Shikoni te algoritmet e zgjidhjes. Zgjidhni për çdo shembull një mënyrë të përshtatshme dhe shkruaje atë pas shenjës = (13+17):3= (24+27):3= Merrni një mostër zgjidhje nga mësuesi juaj dhe provoni veten. Vlerësoni punën tuaj sipas kritereve të mëposhtme: Zbatoi saktë të dyja metodat dhe nuk bëri asnjë gabim llogaritës - "Unë godita me saktësi 2 objektiva" Zbatova saktë të dyja metodat, por bëri gabime llogaritëse - "Unë godita objektivin, por pothuajse humba" Zbatuar saktë një metodë ose asnjë - "Ne ende duhet të praktikojmë duke mësuar algoritmet"

UZ nr 3(b)-refleksiv

6 Reflektimi

Nëse dëshironi, ju kërkoj të diskutoni vetëvlerësimin e punës në mësim nga pikëpamja e arritjes së synimeve të njërit prej fëmijëve që ka përfunduar CL nr.3 (a) dhe një prej atyre që ka përfunduar CL nr. 3 (b)

7 D.Z. sipas dëshirës.

Zgjidh numrin nga teksti shkollor për të përforcuar metodat e zgjidhjes.

Detyrë me vështirësi të shtuara (shpërndarja e kartave)

Cilët numra mund të futen në shprehjen (___ + ___): ___ në mënyrë që secili prej tyre të pjesëtohet me 2, dhe shuma e tyre të plotpjesëtohet me 2. Shkruani sa më shumë opsione. Mendoni për modelin në përzgjedhjen e këtyre numrave.

Në këtë orë, nxënësve u jepet mundësia të përsërisin raste tabelore të shumëzimit dhe pjesëtimit, të njihen me rregullën e pjesëtimit të shumës me një numër, si dhe të praktikojnë kryerjen e detyrave të ndryshme për temën e mësimit.

Lexoni dhe krahasoni shprehjet e shkruara në tabelë.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Keni vënë re se në secilën shprehje shuma e numrave është 6 + 4.

Le të lexojmë shprehjet.

(6 + 4) + 2

Shuma e numrave 6 + 4 rritet me 2.

(6 + 4) - 2

Shuma e numrave 6 + 4 zvogëlohet me 2.

(6 + 4) * 2

Shuma e numrave 6 + 4 dyfishohet.

(6 + 4) : 2

Shuma e numrave 6 + 4 është përgjysmuar

A mendoni se vlerat e këtyre shumave do të jenë të njëjta?

Le të kontrollojmë. Le të llogarisim vlerat e shprehjeve. Mos harroni se ne kryejmë veprimin e parë në kllapa.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Ne morëm vlera të ndryshme.

Le të shohim se si një shumë mund të pjesëtohet me një numër.

Oriz. 1. Pjesëtimi i një shume me një numër

Metoda 1.

Fillimisht kemi mbledhur katrorët blu dhe të kuq dhe më pas kemi ndarë numrin e tyre në dy pjesë të barabarta.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Metoda 2.

Së pari, ne mund t'i ndajmë katrorët blu në dy pjesë të barabarta, pastaj kuadratet e kuqe i ndajmë në dy pjesë të barabarta dhe më pas shtojmë rezultatet.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

Kur kryeni veprime në mënyra të ndryshme, rezultati është i njëjtë. Prandaj mund të nxjerrim një përfundim.

Për të pjesëtuar një shumë me një numër, mund të pjesëtoni çdo term me atë numër,

dhe mblidhni koeficientët që rezultojnë.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Le të zbatojmë njohuritë e marra në praktikë. Le të llogarisim vlerat e shprehjeve.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Për të pjesëtuar shumën me një numër, ndani çdo term me këtë numër dhe shtoni vlerat rezultuese të koeficientëve.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Merrni parasysh shprehjet. Çfarë kanë të përbashkët?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

E drejta. Në secilën shprehje, duhet ta ndani shumën me numrin 6.

Le t'i ndajmë shprehjet në dy grupe.

Në të parën shkruajmë ato shprehje ku mund të zbatojmë vetinë e pjesëtimit të një shume me një numër. Në këto shprehje, çdo term i shumës ndahet me 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

Në grupin e dytë do të shkruajmë shprehje ku shumat e shumës nuk janë të pjesëtueshme me 6, kjo do të thotë se për to nuk mund të zbatohet vetia e pjesëtimit të shumës me një numër.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Le të përfundojmë detyrën.

Cili nga këta numra mund të shkruhet si një shumë e dy termave, në të cilët secili prej tyre është i pjesëtueshëm me 7?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

Së pari, shkruajmë numrat që janë të pjesëtueshëm me numrin 7 pa mbetje.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Le të krijojmë shprehje dhe të gjejmë kuptimet e tyre.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Le të përfundojmë detyrën e mëposhtme.

Plotësoni numrat që mungojnë duke përdorur rregullën e pjesëtimit të shumës me numrin.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Le të mendojmë kështu.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Termi i parë u pjesëtua me 8 dhe morëm numrin 8. Pra ishte numri 64. Pjesa e dytë u pjesëtua me 8 dhe morëm numrin 6. Pra ishte numri 48. Le të shkruajmë zgjidhjen.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Termi i parë u pjesëtua me 9 dhe morëm numrin 9. Pra ishte numri 81. Pjesa e dytë u pjesëtua me 9 dhe morëm numrin 5. Pra ishte numri 45. Le të shkruajmë zgjidhjen.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Termi i parë u pjesëtua me 3 dhe morëm numrin 8. Pra ishte numri 24. Pjesa e dytë u pjesëtua me 3 dhe morëm numrin 5. Pra ishte numri 15. Le të shkruajmë zgjidhjen.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Sot në klasë mësuam për rregullin e pjesëtimit të shumës me një numër dhe ushtruam në zgjidhjen e shembujve për temën e mësimit.

Bibliografi

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova dhe të tjerë Matematika: Libër mësuesi. Klasa e tretë: në 2 pjesë, pjesa 1. - M.: “Iluminizmi”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova dhe të tjerë Matematika: Libër mësuesi. Klasa e tretë: në 2 pjesë, pjesa 2. - M.: “Iluminizmi”, 2012.
3. M.I. Moro. Mësimet e matematikës: Rekomandime metodologjike për mësuesit. klasa e 3-të. - M.: Arsimi, 2012.
4. Dokument rregullator. Monitorimi dhe vlerësimi i rezultateve të të nxënit. - M.: "Iluminizmi", 2011.
5. "Shkolla e Rusisë": Programe për shkollën fillore. - M.: "Iluminizmi", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematika: Punë testimi. klasa e 3-të. - M.: Arsimi, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testet. - M.: "Provimi", 2012.

Le të shqyrtojmë konceptin e ndarjes në problem:
Në shportë kishte 12 mollë. Gjashtë fëmijë i renditën mollët. Çdo fëmijë mori të njëjtin numër mollësh. Sa mollë ka secili fëmijë?

Zgjidhja:
Na duhen 12 mollë për t'i ndarë mes gjashtë fëmijëve. Le të shkruajmë problemin 12:6 matematikisht.
Ose mund ta thuash ndryshe. Me cilin numër duhet të shumëzohet numri 6 për të marrë numrin 12? Le ta shkruajmë problemin në formën e një ekuacioni. Ne nuk e dimë numrin e mollëve, prandaj le t'i shënojmë ato si ndryshorja x.

Për të gjetur të panjohurën x na duhet 12:6=2
Përgjigje: 2 mollë për çdo fëmijë.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin 12:6=2:

Numri 12 quhet i ndashëm. Ky është numri që po ndahet.
Numri 6 quhet ndarës. Ky është numri që pjesëtohet me.
Dhe rezultati i pjesëtimit të numrit 2 quhet private. Herësi tregon sa herë dividenti është më i madh se pjesëtuesi.

Në formë të mirëfilltë, ndarja duket si kjo:
a:b=c
a- i ndashëm,
b- ndarës,
c– private.

Pra, çfarë është ndarja?

Divizioni- ky është veprimi i anasjelltë i një faktori, ne mund të gjejmë një faktor tjetër.

Pjesëtimi kontrollohet me shumëzim, domethënë:
a: b= c, kontrolloni me⋅b= a
18:9=2, kontrolloni 2⋅9=18

Shumëzues i panjohur.

Le të shqyrtojmë problemin:
Çdo paketë përmban 3 copë topa të Krishtlindjeve. Për të dekoruar pemën e Krishtlindjes na duhen 30 topa. Sa pako me topa Krishtlindjesh na duhen?

Zgjidhja:
x – numër i panjohur i paketimeve të topave.
3 – copa në një paketë balona.
30 - topa totale.

x⋅3=30 duhet të marrim 3 aq herë për të marrë një total prej 30. x është një faktor i panjohur. Kjo eshte, Për të gjetur të panjohurën duhet ta ndani produktin me faktorin e njohur.
x=30:3
x=10.

Përgjigje: 10 pako me balona.

Divident i panjohur.

Le të shqyrtojmë problemin:
Çdo paketë përmban 6 lapsa me ngjyra. Janë 3 pako gjithsej. Sa lapsa kishte gjithsej para se të futeshin në pako?

Zgjidhja:
x – gjithsej lapsa,
6 lapsa në çdo paketë,
3 – pako me lapsa.

Le të shkruajmë ekuacionin e problemës në formë pjesëtimi.
x:6=3
x është dividenti i panjohur. Për të gjetur dividentin e panjohur, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
x=3⋅6
x=18

Përgjigje: 18 lapsa.

Pjesëtues i panjohur.

Le të shohim problemin:
Në dyqan kishte 15 topa. Gjatë ditës në dyqan erdhën 5 klientë. Blerësit blenë një numër të barabartë balonash. Sa balona bleu secili klient?

Zgjidhja:
x – numri i topave që bleu një blerës,
5 – numri i blerësve,
15 - numri i topave.
Le të shkruajmë ekuacionin e problemit në formë pjesëtimi:
15:x=5
x – në këtë ekuacion është një pjesëtues i panjohur. Për të gjetur pjesëtuesin e panjohur, pjesëtojmë dividentin me herësin.
x=15:5
x=3

Përgjigje: 3 topa për çdo blerës.

Vetitë e pjesëtimit të një numri natyror me një.

Rregulli i ndarjes:
Çdo numër i pjesëtuar me 1 rezulton në të njëjtin numër.

7:1=7
a:1= a

Vetitë e pjesëtimit të një numri natyror me zero.

Le të shqyrtojmë një shembull: 6:2=3, mund të kontrolloni nëse kemi ndarë saktë duke shumëzuar 2⋅3=6.
Nëse jemi 3:0, atëherë nuk do të mund të kontrollojmë, sepse çdo numër i shumëzuar me zero do të jetë zero. Prandaj, regjistrimi 3:0 nuk ka kuptim.
Rregulli i ndarjes:
Ju nuk mund të pjesëtoni me zero.

Vetitë e pjesëtimit të zeros me një numër natyror.

0:3=0 kjo hyrje ka kuptim. Nëse e ndajmë diçka në tre pjesë, nuk marrim asgjë.
0: a=0
Rregulli i ndarjes:
Kur pjesëtohet 0 me çdo numër natyror jo të barabartë me zero, rezultati do të jetë gjithmonë 0.

Vetia e pjesëtimit të numrave të njëjtë.

3:3=1
a: a=1
Rregulli i ndarjes:
Kur pjesëtohet një numër me vete që nuk është i barabartë me zero, rezultati do të jetë 1.

Pyetje mbi temën "Ndarja":

Në hyrjen a:b=c, sa është herësi këtu?
Përgjigje: a:b dhe c.

Çfarë është private?
Përgjigje: herësi tregon sa herë dividenti është më i madh se pjesëtuesi.

Në çfarë vlere të m është hyrja 0⋅m=5?
Përgjigje: kur shumëzohet me zero, përgjigja do të jetë gjithmonë 0. Hyrja nuk ka kuptim.

A ka një n të tillë që 0⋅n=0?
Përgjigje: Po, hyrja ka kuptim. Kur një numër shumëzohet me 0, ai do të jetë 0, pra n është çdo numër.

Shembulli #1:
Gjeni vlerën e shprehjes: a) 0:41 b) 41:41 c) 41:1
Përgjigje: a) 0:41=0 b) 41:41=1 c) 41:1=41

Shembulli #2:
Për cilat vlera të variablave është e vërtetë barazia: a) x:6=8 b) 54:x=9

a) x – në këtë shembull është i pjesëtueshëm. Për të gjetur dividentin, duhet të shumëzoni herësin me pjesëtuesin.
x – divident i panjohur,
6 - pjesëtues,
8 – herësi.
x=8⋅6
x=48

b) 54 – divident,
x është pjesëtues,
9 – herësi.
Për të gjetur një pjesëtues të panjohur, duhet të pjesëtoni dividentin me herësin.
x=54:9
x=6

Detyra numër 1:
Sasha ka 15 pikë, dhe Misha ka 45 pikë. Sa herë më shumë pulla ka Misha se Sasha?
Zgjidhja:
Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra. Mënyra e parë:
15+15+15=45
Duhen 3 numra 15 për të marrë 45, prandaj, Misha ka 3 herë më shumë nota se Sasha.
Mënyra e dytë:
45:15=3

Përgjigje: Misha ka 3 herë më shumë pulla se Sasha.

Pjesëtimi i një numri me një produkt. Mësoni dhe praktikoni teknikat e pjesëtimit të një numri me një produkt.

Rrëshqitja 8 nga prezantimi “Matematika klasa e 4-të “Divizioni””. Madhësia e arkivit me prezantimin është 2492 KB.

Matematikë klasa e 4-të

"Lojë matematike në klasën e 4" - Dhjetë ushtarë të rreshtuar me radhë. KVN matematikore. Kuptojeni atë. Le të luajmë me numrat. Dy rinocerontë kanë 2 brirë. Numra misterioz. Detyra për të vëmendshëm. Çfarë numri kisha në mendje? Puzzles argëtuese. Monedhat tingëlluan në xhepin e Kolya. Gjeni simbolin "shtesë". Shprehen në njësi më të vogla. Cili numër nuk mund të jetë kurrë pjesëtues?

“Veprimet me numra shumëshifrorë” - Punë individuale. V. Zgjidhja e problemeve që përfshijnë lëvizjen në drejtime të kundërta. Minuta e edukimit fizik. Komunikoni temën dhe objektivat e mësimit. Gjatë orëve të mësimit. Zgjidheni enigmën. Duke përmbledhur mësimin. E: Problemi: Gjatë 1 udhëtimi, makina transporton 172 kuti mallrash. Numërimi verbal. Koha e organizimit. Zgjidhja e problemeve që përfshijnë veprime me numra shumëshifrorë.

“Detyrat në grupe” - Nr. 2 Për ujë të freskët. Mund të më ndihmoni? Artistët e Kepit. Ne po notojmë me delfinin! "Muzikantët e Bremenit" Ne rivendosim turma. Turma. Nr. 6 në faqen 4. Zogj që dinë të notojnë. Hej atje, në anije! Zanoret në Rusisht. Nr. 1 Rimbushja e furnizimeve. Kjo është, përshëndetje! Vëllezërit në përrallën "Madhi me çizme". Përshëndetje, detarë, në gadishullin tonë! Mirë se vini në Poigray Island! Polet e Tokës.

"Vetësia shpërndarëse" - "Duhet dashur matematika për këtë arsye, sepse ajo vendos mendjen në rregull." Masa e Turqisë. Gjeni kuptimin e shprehjeve në dy mënyra. Vetitë shpërndarëse të shumëzimit. Shkruani shprehje të barabarta me të dhënat. Test. Kontributi i M. V. Lomonosov në shkencë. Numërimi verbal. Shpërndani barazitë në dy kolona. Kontroll mostër.

"Elementet e gjeometrisë në shkollën fillore" - Mënyra racionale për zgjidhjen e problemeve. Madhësitë gjeometrike. Vija te drejta. Shumë forma gjeometrike. Tre shkopinj. Marrëdhëniet hapësinore. Fletë drejtkëndëshe. Studimi i bazave të gjeometrisë. Origjinaliteti dhe pavarësia e mendimit. Shembuj të problemeve të tipit të hapur.

"Njësitë e zonës Klasa 4" - Matematikanët kanë gjuhën e tyre. Njësitë e sipërfaqes. Njëqind është një njësi e re e sipërfaqes. Rishikoni shkrimin në tabelë. Formulat. Gjatësia totale e kufijve të Rusisë është 60.933 km. Bëni një shënim në fletoren tuaj, duke i renditur këta numra në rend rritës. Loto matematikore. Detyrat. Kape gabimin. Sotka është një ar. hektar.

Janë gjithsej 51 prezantime në temën “Matematika e klasës 4”

Ndarja e numrave të plotë, rregulla, shembuj.

Në këtë artikull do të shikojmë ndarjen e numrave të plotë pa mbetje. Këtu do të flasim vetëm për ndarjen e numrave të tillë të plotë, vlerat absolute të të cilave janë të pjestueshme me një të tërë (shiko kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë pa mbetje). Ne do të flasim për ndarjen e numrave të plotë me një mbetje në një artikull të veçantë.

Së pari, ne do të prezantojmë termat dhe shënimet që do të përdorim për të përshkruar ndarjen e numrave të plotë. Më tej, do të tregojmë kuptimin e ndarjes së numrave të plotë, i cili do të na ndihmojë të marrim rregullat për ndarjen e numrave të plotë pozitivë, numrave të plotë negativë dhe numrave të plotë me shenja të ndryshme. Këtu do të shikojmë shembuj të zbatimit të rregullave për ndarjen e numrave të plotë. Së fundi, ne do të tregojmë se si të kontrollojmë rezultatin e ndarjes së numrave të plotë.

Termat dhe simbolet

Për të përshkruar ndarjen e numrave të plotë, do të përdorim të njëjtat terma dhe shënime që kemi përdorur për të përshkruar ndarjen e numrave natyrorë (shih seksionin mbi teorinë e dividendit, pjesëtuesit, herësit dhe shenjës së pjesëtimit). Le t'i kujtojmë ata.

Numri i plotë që po ndahet quhet i ndashëm. Numri i plotë me të cilin kryhet pjesëtimi quhet ndarës. Rezultati i pjesëtimit të numrave të plotë quhet private.

Ndarja tregohet nga një simbol i formës:, i cili ndodhet midis dividendit dhe pjesëtuesit (nganjëherë ekziston një simbol ÷, i cili gjithashtu tregon ndarjen). Ndarja e një numri të plotë a me një numër të plotë b mund të shkruhet duke përdorur simbolin: si a:b . Nëse pjesëtimi i një numri të plotë a me një numër të plotë b rezulton në një numër c, atëherë është e përshtatshme të shkruhet ky fakt si barazi a:b=c. Një shprehje e formës a:b quhet edhe herës, siç është edhe kuptimi i kësaj shprehjeje.

Kuptimi i pjesëtimit të numrave të plotë

Ne e dimë se ekziston një lidhje midis shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave natyrorë. Nga kjo lidhje arritëm në përfundimin se ndarja është gjetja e një faktori të panjohur kur dihet faktori i dytë dhe produkti. Le t'i japim të njëjtin kuptim ndarjes së numrave të plotë. Kjo do të thotë, pjesëtimi i numrave të plotë është gjetja, duke përdorur një produkt të caktuar dhe një nga faktorët numër të plotë, një faktor tjetër numër i plotë.

Bazuar në kuptimin e pjesëtimit të numrave të plotë, mund të themi se nëse prodhimi i dy numrave të plotë a dhe b është i barabartë me c, atëherë herësi i c i pjesëtuar me a është i barabartë me b, dhe herësi i c i pjesëtuar me b është i barabartë. te a. Le të japim një shembull. Le të themi se e dimë se prodhimi i dy numrave të plotë 5 dhe −7 është i barabartë me −35, atëherë mund të themi se herësi (−35):5 është i barabartë me −7, dhe herësi (−35):(−7 ) është e barabartë me 5.

Vini re se herësi i një numri të plotë a i ndarë me një numër të plotë b është një numër i plotë (nëse a është i pjesëtueshëm me b pa mbetje).

Rregullat për ndarjen e numrave të plotë

Kuptimi i pjesëtimit të numrave të plotë, i treguar në paragrafin e mëparshëm, na lejon të pohojmë se njëri nga dy faktorët është koeficient nga pjesëtimi i produktit të tyre me faktorin tjetër. Por nuk ofron një mënyrë për të gjetur një faktor të panjohur nga një faktor dhe produkt i njohur. Për shembull, barazia 6·(−7)=−42 na lejon të themi se herësit (−42):6 dhe (−42):(−7) janë përkatësisht të barabartë me −7 dhe 6. Megjithatë, nëse e dimë se prodhimi i dy faktorëve është i barabartë me 45 dhe njëri prej faktorëve është i barabartë me -5, atëherë kuptimi i pjesëtimit të numrave të plotë nuk na jep një përgjigje të drejtpërdrejtë në pyetjen se me çfarë është i barabartë faktori tjetër. .

Ky arsyetim na çon në përfundimin e mëposhtëm: na duhen rregulla që na lejojnë të ndajmë një numër të plotë me një tjetër. Tani do t'i marrim. Këto rregulla do të na lejojnë të reduktojmë ndarjen e numrave të plotë në pjesëtimin e numrave natyrorë.

Ndarja e numrave të plotë pozitiv

Numrat e plotë pozitivë janë numra natyrorë, kështu që pjesëtimi i numrave të plotë pozitiv ndjek të gjitha rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë. Nuk ka asgjë për të shtuar këtu, ne vetëm duhet të shqyrtojmë zgjidhjen e disa shembujve në të cilët kryhet ndarja e numrave të plotë.

Ndani numrin e plotë pozitiv 104 me numrin e plotë pozitiv 8.

Në këtë rast, dividenti 104 mund të përfaqësohet si shuma 80 + 24, dhe më pas përdorni rregullin për pjesëtimin e shumës me këtë numër. Marrim 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13.

Njehsoni herësin 308 716:452.

Në këtë rast, mënyra më e lehtë për të marrë koeficientin e pjesëtimit të këtyre numrave të plotë pozitivë është duke kryer pjesëtimin e gjatë:

Rregulla për ndarjen e numrave të plotë negativë, shembuj

Arsyetimi i mëposhtëm do të na ndihmojë të formulojmë rregullin për ndarjen e numrave të plotë negativë.

Le të duhet të ndajmë një numër të plotë negativ a me një numër të plotë negativ b. Le të shënojmë me shkronjën c herësin e kërkuar të pjesëtimit të a me b, pra a:b=c. Së pari, le të zbulojmë se cila është vlera absolute e numrit c.

Për shkak të kuptimit të pjesëtimit të numrave të plotë, barazia b·c=a duhet të jetë e vërtetë. Pastaj . Vetitë e modulit të një numri na lejojnë të shkruajmë barazinë, pra, . Nga barazia që rezulton rrjedh se, d.m.th. vlera absolute e heresit te pjesetimit eshte e barabarte me heresin e moduleve te dividendit dhe pjesetuesit.

Mbetet për të përcaktuar shenjën e numrit c. Me fjalë të tjera, le të zbulojmë nëse rezultati i pjesëtimit të numrave të plotë negativ është një numër i plotë pozitiv apo negativ.

Në kuptimin e pjesëtimit të numrave të plotë, barazia b·c=a është e vërtetë. Pastaj nga rregullat për shumëzimin e numrave të plotë rezulton se numri c duhet të jetë pozitiv. Përndryshe, b·c do të jetë një produkt i numrave të plotë negativ, i cili, sipas rregullit të shumëzimit, do të jetë i barabartë me produktin e modulit të faktorëve, pra do të jetë një numër pozitiv, dhe numri ynë a është një numër i plotë negativ. Kështu, herësi c i pjesëtimit të numrave të plotë negativ është një numër i plotë pozitiv.

Tani le të kombinojmë përfundimet që kemi nxjerrë në rregullin për ndarjen e numrave të plotë negativë. Për të ndarë një numër të plotë negativ me një numër të plotë negativ, duhet të ndani modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit. Kjo do të thotë, nëse a dhe b janë numra të plotë negativ, atëherë .

Le të shqyrtojmë përdorimin e rregullit për ndarjen e numrave të plotë negativë gjatë zgjidhjes së shembujve.

Ndani numrin e plotë negativ −92 me numrin e plotë negativ −4.

Sipas rregullit të pjesëtimit të numrave të plotë negativ, rezultati i dëshiruar është i barabartë me herësin e modulit të dividendit të ndarë me modulin e pjesëtuesit. Ne e marrim atë.

Pjesëtimi i numrave natyrorë: rregulla, shembuj dhe zgjidhje.

Në këtë artikull do të kuptojmë rregullat me të cilat pjesëtimi i numrave natyrorë. Këtu vetëm do të shqyrtojmë pjesëtimi i numrave natyrorë pa mbetje, ose, siç quhet edhe ajo, ndarje e plotë(domethënë vetëm ato raste në të cilat ruhet kuptimi i pjesëtimit të numrave natyrorë). Pjesëtimi i numrave natyrorë me një mbetje meriton një artikull të veçantë.

Rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë nuk mund të formulohen pa gjurmuar lidhjen midis pjesëtimit dhe shumëzimit, e cila u bë që në fillim të këtij artikulli. Më tej, diskutohen rregullat më të thjeshta të pjesëtimit, të cilat rrjedhin drejtpërdrejt nga vetitë e këtij veprimi - kjo është ndarja e numrave natyrorë të barabartë dhe ndarja e një numri natyror me një. Pas kësaj, pjesëtimi duke përdorur tabelën e shumëzimit diskutohet në detaje me shembuj. Në vijim tregohet se si kryhet pjesëtimi me dhjetë, njëqind, mijë etj., pjesëtimi i numrave natyrorë rekordet e të cilëve përfundojnë me 0 dhe të gjitha rastet e tjera. I gjithë materiali ofrohet me shembuj me përshkrime të hollësishme të zgjidhjeve. Në fund të artikullit, ne tregojmë se si të kontrolloni rezultatin e ndarjes duke përdorur shumëzimin. Si rezultat, ju do të keni të gjitha aftësitë e nevojshme për të ndarë numrat arbitrar natyrorë.

Navigimi i faqes.

Marrëdhënia ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit

Le të gjurmojmë lidhjen midis pjesëtimit dhe shumëzimit. Për ta bërë këtë, mbani mend se ndarja shoqërohet me paraqitjen e grupit që ne po ndajmë si një bashkim i disa grupeve identike në të cilat ndajmë grupin origjinal (kemi folur për këtë në idenë e përgjithshme të seksionit të ndarjes). Nga ana tjetër, shumëzimi shoqërohet me kombinimin e një numri të caktuar grupesh identike në një (nëse është e nevojshme, referojuni seksionit të teorisë - një ide e përgjithshme e shumëzimit). Kështu, pjesëtimi është anasjellta e shumëzimit.

Le të shpjegojmë se çfarë do të thotë fraza e fundit.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh situatën e mëposhtme. Le të kemi b grupe c objektesh secili dhe i bashkojmë në një grup, i cili prodhon një objekt. Bazuar në kuptimin e shumëzimit të numrave natyrorë, mund të argumentohet se veprimi i përshkruar korrespondon me barazinë c·b=a. Tani ne e ndajmë grupin që rezulton përsëri në b grupe identike. Është e qartë se në këtë rast do të ketë c objekte në çdo grup rezultues. Më pas, duke kujtuar kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë, mund të shkruajmë barazinë a:b=c.

Arrijmë në pohimin e mëposhtëm: nëse prodhimi i numrave natyrorë c dhe b është i barabartë me a, atëherë herësi i pjesëtimit të a me b është i barabartë me c.

Pra, nëse c·b=a, atëherë a:b=c. Megjithatë, për shkak të vetive komutative të shumëzimit të numrave natyrorë, ne mund ta rishkruajmë barazinë c·b=a si b·c=a, që nënkupton se a:c=b. Kështu, nëse dimë se prodhimi i dy numrave natyrorë c dhe b është i barabartë me a, pra c·b=a, atëherë mund të themi se herësit a:b dhe a:c janë përkatësisht të barabartë me c dhe b. .

Bazuar në të gjithë informacionin e dhënë, është e mundur të jepet një përkufizim i pjesëtimit të numrave natyrorë bazuar në shumëzimin.

Divizioniështë një veprim me të cilin gjendet një faktor kur dihet produkti dhe një faktor tjetër.

Bazuar në këtë përkufizim, ne do të ndërtojmë rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë.

Pjesëtimi i numrave natyrorë si zbritje sekuenciale

Në parim, të dish se ndarja është e kundërta e shumëzimit është e mjaftueshme për të mësuar se si të kryesh këtë veprim. Sidoqoftë, do të doja të flisja për një qasje tjetër të pjesëtimit të numrave natyrorë, në të cilën pjesëtimi konsiderohet si zbritje sekuenciale. Kjo është për shkak të thjeshtësisë dhe qartësisë së saj.

Për ta bërë gjithçka sa më të qartë të jetë e mundur, le të shohim një shembull.

Cili është rezultati i pjesëtimit të 12 me 4?

Bazuar në kuptimin e pjesëtimit të numrave natyrorë, problemi i paraqitur mund të modelohet si më poshtë: janë 12 objekte, ato duhet të ndahen në grumbuj të barabartë me 4 objekte në secilin, numri i pirgjeve të fituar do të na japë përgjigjen e pyetjes. me çfarë është i barabartë herësi 12:4.

Le të marrim në mënyrë sekuenciale, hap pas hapi, 4 artikuj nga artikujt fillestarë dhe të formojmë grumbujt e kërkuar prej tyre derisa artikujt fillestarë të mbarojnë. Numri i hapave që duhet të ndërmarrim do të na tregojë numrin e grumbujve që rezultojnë, dhe rrjedhimisht përgjigjen e pyetjes së parashtruar.

Pra, nga 12 artikujt origjinalë, 4 i lëmë mënjanë, ato formojnë grumbullin e parë. Pas këtij veprimi, 12−4 = 8 artikuj mbeten në grumbullin origjinal (nëse është e nevojshme, mbani mend kuptimin e zbritjes së numrave natyrorë). Nga këto 8 artikuj marrim 4 artikuj të tjerë dhe formojmë një grumbull të dytë prej tyre. Pas këtij veprimi, 8−4=4 artikuj mbeten në grumbullin origjinal të objekteve. Natyrisht, nga artikujt e mbetur mund të formojmë një grumbull tjetër, të tretë, pas së cilës nuk do të kemi asnjë artikull të vetëm në grumbullin origjinal (d.m.th., do të kemi 4−4 = 0 artikuj në grumbullin origjinal). Kështu, kemi marrë 3 pirgje, dhe mund të themi se kemi ndarë numrin natyror 12 me numrin natyror 4 dhe kemi marrë 3.

Tani le të largohemi nga objektet dhe të shohim se çfarë bëmë me numrat natyrorë 12 dhe 4? Kemi kryer zbritjen sekuenciale të pjesëtuesit 4 derisa kemi marrë zero, duke numëruar numrin e veprimeve të kërkuara, të cilat na dhanë rezultatin e pjesëtimit.

konkluzioni: pjesëtimi i një numri natyror me një tjetër mund të bëhet duke kryer zbritje sekuenciale.

Për të konsoliduar materialin e këtij paragrafi të artikullit, le të shqyrtojmë zgjidhjen për një shembull tjetër.

Le të llogarisim herësin 108:27 duke kryer zbritje sekuenciale.

Veprimi i parë: 108−27=81 (nëse keni vështirësi me zbritjen, shihni artikullin duke zbritur numrat natyrorë).

Veprimi i dytë: 81−27=54.

Veprimi i tretë: 54−27=27.

Pra, kemi marrë zero duke zbritur në mënyrë sekuenciale 4 herë, pra, 108:27=4.

Vlen të përmendet se pjesëtimi i numrave natyrorë në këtë mënyrë është i përshtatshëm për t'u përdorur vetëm kur kërkohet një numër i vogël zbritjesh të njëpasnjëshme për të marrë rezultatin. Në raste të tjera, përdoren rregullat për pjesëtimin e numrave natyrorë, të cilat do t'i diskutojmë në detaje më poshtë.

Pjesëtimi i numrave natyrorë të barabartë

Herësi i një numri natyror pjesëtuar me numrin e tij natyror të barabartë është i barabartë me një. Ky pohim është një veti e pjesëtimit të numrave natyrorë të barabartë.

Për shembull, 1:1=1, 143:143=1, rezultati i pjesëtimit të numrave natyrorë 10,555 dhe 10,555 është gjithashtu një.

Pjesëtimi i një numri natyror me një

Vetia e pjesëtimit të një numri natyror me një na lejon të formulojmë menjëherë rregullin përkatës të pjesëtimit. Tingëllon si kjo: herësi i çdo numri natyror i pjesëtuar me një është i barabartë me numrin natyror që pjesëtohet.

Për shembull, 21:1=21, 13,003:1=13,003, në mënyrë të ngjashme, rezultati i pjesëtimit të numrit natyror 555,987 me një është numri 555,987.

Pjesëtimi i numrave natyrorë duke përdorur tabelat e shumëzimit

Siç e dini, tabela e shumëzimit ju lejon të gjeni produktin e dy numrave natyrorë njëshifrorë.

Duke përdorur tabelën e shumëzimit, mund të gjeni gjithashtu një nga dy faktorët njëshifrorë nëse produkti dhe faktori tjetër janë të njohur. Dhe në paragrafin e parë të këtij artikulli zbuluam se ndarja është gjetja e njërit prej faktorëve nga produkti dhe një faktori tjetër. Kështu, duke përdorur tabelën e shumëzimit, mund të ndani cilindo nga numrat natyrorë të vendosur në tabelën e shumëzimit në një sfond rozë me një numër natyror njëshifror.

Për shembull, le të ndajmë 48 me 6. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, kjo mund të bëhet në një nga dy mënyrat. Le të japim fillimisht një ilustrim grafik, pastaj të japim një përshkrim.

Metoda e parë (korrespondon me foton e mësipërme në të majtë). Dividentin (në shembullin tonë, numrin natyror 48) e gjejmë në kolonën në qelizën e sipërme të së cilës ka një pjesëtues (për shembullin tonë, numri 6). Rezultati i ndarjes është në qelizën më të majtë të rreshtit në të cilin ndodhet dividenti i gjetur. Për shembullin tonë, ky është numri 8, i cili është rrethuar me blu.

Metoda e dytë (korrespondon me foton e mësipërme në të djathtë). Dividentin 48 e gjejmë në rreshtin në të cilin pjesëtuesi 6 ndodhet në qelizën e majtë. Koeficienti i kërkuar në këtë rast ndodhet në qelizën e sipërme të kolonës në të cilën ndodhet dividenti i gjetur 48. Rezultati është i rrethuar në blu.

Pra, duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne kemi ndarë 48 me 6 dhe kemi marrë 8.

Për të konsoliduar materialin, ne paraqesim një vizatim që tregon procesin e pjesëtimit të numrit natyror 7 me 1.

Pjestimi me 10, 100, 1000, etj.

Do të japim menjëherë formulimin e rregullës për pjesëtimin e numrave natyrorë me 10, 100, 1000, ... (do të supozojmë se një pjesëtim i tillë është i mundur) dhe do të japim një shembull dhe më pas do të japim shpjegimet e nevojshme.

Rezultati i pjesëtimit të një numri natyror me 10, 100, 1000, etj. është një numër natyror, shënimi i të cilit merret nga shënimi i dividentit nëse një, dy, tre, e kështu me radhë, hidhen zero në të djathtë (d.m.th., aq shifra 0 hidhen poshtë sa përmbahen në shënimin e dividenti).

Për shembull, herësi i 30 pjesëtuar me 10 është i barabartë me 3 (një shifër 0 u hoq nga e djathta e dividentit prej 30), dhe herësi 120,000:1,000 është i barabartë me 120 (tre shifra 0 u hoqën nga e drejta prej 120,000).

Rregulli i deklaruar është mjaft i thjeshtë për t'u justifikuar. Për ta bërë këtë, thjesht mbani mend rregullat për shumëzimin e një numri natyror me dhjetë, njëqind, një mijë, etj. Le të japim një shembull. Le të na duhet të llogarisim herësin 10 200:100. Meqenëse 102·100=10200, atëherë, për shkak të lidhjes midis mbledhjes dhe shumëzimit, rezultati i pjesëtimit të numrit natyror 10.200 me 100 është numri natyror 102.

Përfaqësimi i dividentit si produkt

Ndonjëherë pjesëtimi i numrave natyrorë ju lejon të përfaqësoni dividentin si produkt i dy numrave, të paktën njëri prej të cilëve është i pjesëtueshëm me pjesëtuesin. Kjo metodë e pjesëtimit bazohet në vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror.

Le të shohim një nga shembujt më të thjeshtë tipikë.

Ndani 30 me 3.

Natyrisht, dividenti 30 mund të përfaqësohet si prodhim i numrave natyrorë 3 dhe 10. Kemi 30:3=(3·10):3. Përdorni vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror. Kemi (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Pra, herësi i 30 pjesëtuar me 3 është 10.

Le të japim zgjidhje për disa shembuj të tjerë të ngjashëm.

Ndani 7200 me 72.

Në këtë rast, dividenti 7200 mund të konsiderohet si prodhimi i numrave 72 dhe 100. Në këtë rast, marrim rezultatin e mëposhtëm: 7 200:72=(72·100):72= (72:72)·100=1·100=100.

Ndani 1,600,000 me 160.

Natyrisht, 1,600,000 është prodhimi i 160 dhe 10,000, pra 1,600,000:160=(160·10,000):160= (160:160)·10,000=1·10,000=10,000.

1 600 000:160=10 000 .

Në shembujt më kompleksë, kur përfaqësoni dividentin si produkt, duhet të mbështeteni në tabelën e shumëzimit. Shembujt e mëposhtëm do ta bëjnë të qartë se çfarë nënkuptojmë.

Pjesëtoni numrin natyror 5400 me 9.

Duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne mund të pjesëtojmë 54 me 9, kështu që është logjike të paraqesim dividentin 5,400 si produkt të 54·100 dhe të plotësojmë pjesëtimin: 5,400:9=(54·100):9= (54:9) ·100=6·100 =600 .

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjen e një shembulli tjetër.

Le të llogarisim herësin 120:4.

Për ta bërë këtë, ne paraqesim dividentin 120 si prodhim të 12 dhe 10, pas së cilës përdorim vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave me një numër natyror. Kemi 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.

Pjesëtimi i numrave natyrorë që përfundojnë me 0

Këtu duhet të kujtojmë vetinë e pjesëtimit të një numri natyror me produktin e dy numrave. Le të shpjegojmë pse. Për të kryer pjesëtimin e numrave natyrorë, shënimet e të cilëve përfundojnë me 0, pjesëtuesi paraqitet si prodhim i dy numrave natyrorë dhe më pas zbatohet vetia e përmendur e pjesëtimit.

Le ta kuptojmë këtë me shembuj. Le të marrim dy numra natyrorë, shënimet e të cilëve mbarojnë me zero dhe t'i ndajmë.

Ndani 490 me 70.

Meqenëse 70=10·7, atëherë 490:70=490:(10·7). Shprehja e fundit, për shkak të vetive të pjesëtimit të një numri natyror me një prodhim, është e barabartë me (490:10):7. Mësuam se si të pjesëtojmë me 10 në një nga paragrafët e mëparshëm, marrim (490:10):7=49:7. Koeficientin që rezulton e gjejmë duke përdorur tabelën e shumëzimit dhe si rezultat marrim 490:70=7.

Për të konsoliduar materialin, le të shqyrtojmë zgjidhjen për një shembull tjetër më kompleks.

Le të llogarisim herësin 54000:5400.

Paraqesim 5,400 si prodhim të 100·54 dhe pjesëtojmë numrin natyror me prodhimin: 54,000:5,400=54,000:(100·54)= (54,000:100):54=540:54. Këtu mbetet të imagjinojmë 540 si 54·10 (nëse është e nevojshme, kthehuni në pikën e mëparshme) dhe të përfundoni llogaritjet: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Pra, 54,000: 5,400=10.

Informacioni në këtë paragraf mund të përmblidhet me deklaratën e mëposhtme: nëse në rekordin e dividendit dhe pjesëtuesit ka numra 0 në të djathtë, atëherë në të dhënat duhet të hiqni qafe të njëjtin numër zero në të djathtë. , dhe më pas ndani numrat që rezultojnë. Për shembull, pjesëtimi i numrave natyrorë 818,070,000 dhe 201,000 reduktohet në pjesëtimin e numrave 818,070 dhe 201 pasi heqim tre shifrat 0 nga të dhënat e dividendit dhe pjesëtuesit në të djathtë.

Përzgjedhja e privates

Le të jenë numrat natyrorë a dhe b të tillë që a të plotpjesëtohet me b, dhe nëse b shumëzohet me 10, rezulton një numër më i madh se a. Në këtë rast, herësi a:b është një numër natyror njëshifror, domethënë një numër nga 1 në 9, dhe është më i lehtë për t'u gjetur. Për ta bërë këtë, pjesëtuesi shumëzohet në mënyrë sekuenciale me 1, 2, 3, e kështu me radhë derisa produkti të jetë i barabartë me dividentin. Sapo të fitohet një barazi e tillë, do të gjendet herësi a:b.

Le të gjejmë herësin 108:27.

Natyrisht, pjesëtuesi 108 është më i vogël se 27 10 = 270 (nëse është e nevojshme, referojuni artikullit që krahason numrat natyrorë). Le të zgjedhim herësin. Për ta bërë këtë, ne do të shumëzojmë në mënyrë sekuenciale pjesëtuesin 27 me 1, 2, 3, ... derisa të marrim dividentin 108. Le të shkojmë: 27·1=27, 27·2=54, 27·3=81, 27·4=108 (nëse është e nevojshme, shihni artikullin mbi shumëzimin e numrave natyrorë). Prandaj, 108:27=4.

Në përfundim të këtij paragrafi, vërejmë se në raste të tilla herësi nuk mund të zgjidhet, por të gjendet duke përdorur zbritjen sekuenciale.

Paraqitja e dividendës si shumë e numrave natyrorë

Nëse të gjitha metodat e diskutuara më sipër nuk lejojnë pjesëtimin e numrave natyrorë, atëherë duhet të përfaqësoni dividentin si shumën e disa termave, secili prej të cilëve ndahet lehtësisht nga pjesëtuesi. Më pas, do të duhet të përdorni vetinë e pjesëtimit të shumës së numrave natyrorë me një numër të caktuar dhe të përfundoni llogaritjet. Pyetja kryesore mbetet: "Në formën e çfarë termash duhet të përfaqësojmë dividentin?"

Le të përshkruajmë algoritmin për marrjen e termave që shtohen në divident. Për një akses më të madh, ne do të shqyrtojmë njëkohësisht një shembull në të cilin dividenti është i barabartë me 8,551 dhe pjesëtuesi është i barabartë me 17.

Së pari, ne llogarisim sa më shumë është numri i shifrave në divident se sa numri i shifrave në pjesëtues dhe mbajmë mend këtë numër.

Për shembull, nëse dividenti është numri natyror 8551, dhe pjesëtuesi është numri 17, atëherë rekordi i dividendit përmban edhe 2 shifra të tjera (8551 është një numër katërshifror, 17 është një numër dyshifror, pra diferenca në numrin e shifrave përcaktohet nga diferenca 4−2=2) . Kjo do të thotë, mbani mend numrin 2.

Tani në hyrjen e pjesëtuesit në të djathtë shtojmë numrat 0 në shumën e përcaktuar nga numri i marrë në paragrafin e mëparshëm. Për më tepër, nëse numri i shkruar është më i madh se dividenti, atëherë duhet të zbritni 1 nga numri i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Në hyrjen për pjesëtuesin 17, shtojmë dy shifra 0 në të djathtë dhe marrim numrin 1700. Ky numër është më i vogël se dividenti 8551, kështu që numri i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm NUK ka nevojë të zvogëlohet me 1. Kështu, numri 2 mbetet në kujtesën tonë.

Pas kësaj, numrit 1 në të djathtë i caktojmë numrat 0 në një sasi të përcaktuar nga numri i memorizuar në paragrafin e mëparshëm. Në këtë rast, marrim një njësi të shifrës, me të cilën do të punojmë më tej.

Në shembullin tonë, numrit 1 i caktojmë 2 zero, kemi numrin 100, domethënë do të punojmë me vendin e qindrave.

Tani shumëzojmë në mënyrë të njëpasnjëshme pjesëtuesin me 1, 2, 3, ... njësitë e shifrës së punës derisa të marrim një numër më të madh se dividenti.

Në shembullin tonë, shifra e punës është shifra e qindrave. Prandaj, së pari shumëzojmë pjesëtuesin me një njësi në vendin e qindrave, domethënë shumëzojmë 17 me 100, marrim 17·100=1700. Numri që rezulton 1700 është më i vogël se dividenti 8551, kështu që ne vazhdojmë të shumëzojmë pjesëtuesin me dy njësi në vendin e qindrave, domethënë duke shumëzuar 17 me 200. Kemi 17·200=3 400 8 551 .

Numri i marrë në hapin e parafundit të shumëzimit është i pari nga termat e kërkuar.

Në shembullin që analizohet, termi i kërkuar është numri 8,500 (ky numër është i barabartë me prodhimin 17·500, nga i cili shihet se 8,500:17=500, këtë barazi do ta përdorim më tej).

Pas kësaj, gjejmë ndryshimin midis dividentit dhe termit të parë të gjetur. Nëse numri që rezulton nuk është i barabartë me zero, ne vazhdojmë të gjejmë termin e dytë. Për ta bërë këtë, ne përsërisim të gjitha hapat e përshkruar të algoritmit, por tani marrim numrin e marrë këtu si divident. Nëse në këtë pikë përsëri marrim një numër të ndryshëm nga zero, atëherë vazhdojmë të gjejmë termin e tretë, duke përsëritur hapat e algoritmit edhe një herë, duke marrë numrin që rezulton si divident. Dhe kështu vazhdojmë më tej, duke gjetur termat e katërt, të pestë dhe të mëpasshëm derisa numri i marrë në këtë pikë të jetë i barabartë me zero. Sapo të marrim 0 këtu, atëherë gjenden të gjithë termat dhe mund të kalojmë në pjesën përfundimtare të llogaritjes së koeficientit origjinal.

Le të kthehemi te shembulli ynë. Në këtë hap kemi 8,551−8,500=51. Meqenëse 51 nuk është e barabartë me 0, ne e marrim këtë numër si dividend dhe përsërisim të gjitha hapat e algoritmit me të.

Numri i karaktereve në regjistrimet e numrave 51 dhe pjesëtuesit 17 është i njëjtë, kështu që ne kujtojmë numrin 0.

Në hyrjen e pjesëtuesit, nuk ka nevojë të shtojmë një shifër të vetme 0 në të djathtë, pasi kemi memorizuar numrin 0. Kjo do të thotë, numri 17 mbetet ashtu siç është. Ky numër është më i vogël se 51, kështu që nuk ka nevojë të zbritet një nga numri i memorizuar 0. Kështu, numri 0 mbetet në kujtesën tonë.

Ne nuk do t'i caktojmë një shifër të vetme 0 në numrin 1 në të djathtë, pasi kemi numrin 0 në kujtesën tonë. Kjo do të thotë, ne do të punojmë me shifrën njëshe.

Tani shumëzojmë në mënyrë të njëpasnjëshme pjesëtuesin 17 me 1, 2, 3 e kështu me radhë derisa të marrim një numër më të madh se 51. Kemi 17·1=17 51 . Në hapin e parafundit morëm numrin 51 (ky numër është i barabartë me prodhimin 17·3, dhe këtë do ta përdorim më tej). Prandaj, termi i dytë është numri 51.

Gjeni ndryshimin midis numrit 51 dhe numrit 51 të marrë në paragrafin e mëparshëm. Kemi 51−51=0. Prandaj, ne ndalojmë së kërkuari terma.

Tani e dimë se dividenti 8,551 duhet të përfaqësohet si shuma e dy termave 8,500 dhe 51.

Le të përfundojmë gjetjen e herësit. Kemi 8,551:17=(8,500+51):17. Tani kujtojmë vetinë e pjesëtimit të shumës së dy numrave me një numër natyror, që na çon në barazinë (8,500+51):17=8,500:17+51:17. Më sipër zbuluam se 8,500:17=500 dhe 51:17=3. Kështu, 8500:17+51:17=500+3=503. Pra, 8551:17=503.

Për të forcuar aftësitë e paraqitjes së dividentit si një shumë termash, le të shqyrtojmë zgjidhjen e një shembulli tjetër.

Ndani 64 me 2.

1) Ka një shenjë më shumë në shënimin e dividentit sesa në pjesëtues, kështu që ne kujtojmë numrin 1.

2) Nëse i shtojmë një shifër 0 pjesëtuesit në të djathtë, atëherë marrim numrin 20, i cili është më i vogël se dividenti 64. Prandaj, numri 1 i memorizuar nuk ka nevojë të zvogëlohet me një.

3) Tani 1 i caktojmë një (pasi kemi numrin 1 në kujtesën tonë) numrin 0 në të djathtë, marrim numrin 10, domethënë do të punojmë me dhjetëra.

4) Fillojmë të shumëzojmë pjesëtuesin 2 në mënyrë sekuenciale me 10, 20, 30, etj. Kemi: 2·10=20 64 . Kështu, termi i parë është numri 60 (meqenëse 2·30=60, pastaj 60:2=30, kjo barazi do të jetë e dobishme për ne më vonë).

5) Llogaritni diferencën 64−60, e cila është e barabartë me 4. Ne mund ta ndajmë këtë numër lehtësisht me një pjesëtues 2, kështu që këtë numër do ta marrim si termin e dytë (dhe të fundit). (Sigurisht, ne mund ta marrim këtë numër si dividend dhe të kalojmë përsëri të gjitha hapat e algoritmit; ata do të na çojnë në faktin se termi i dytë është numri 4.)

Pra, ne paraqitëm dividentin 64 si shumën e dy termave 60 dhe 4. Mbetet për të përfunduar llogaritjet: 64:2=(60+4):2=60:2+4:2=30+2=32.

Le të zgjidhim edhe një shembull.

Le të llogarisim herësin 1 178:31.

1) Ka 2 shifra më shumë në shënimin e dividentit sesa në pjesëtues. Prandaj, mbani mend numrin 2.

2) Nëse i shtojmë dy shifra 0 pjesëtuesit në të djathtë, marrim numrin 3 100, i cili është më i madh se dividenti. Prandaj, numri 2 i mbajtur mend në paragrafin e mëparshëm duhet të reduktohet me një: 2−1=1, mbani mend këtë numër.

3) Tani numrit 1 i shtojmë një shifër 0 në të djathtë, marrim numrin 10 dhe më pas punojmë me dhjetëshe.

4) Shumëzoni në mënyrë të qëndrueshme pjesëtuesin me 10, 20, 30, etj. Marrim 31·10=310 1 178. Kështu e gjetëm termin e parë. Është e barabartë me 930 (më vonë do të na duhet barazia 930:31=30, që rrjedh nga barazia 31·30=930).

5) Njehsoni diferencën: 1,178−930=248. Meqenëse kemi marrë një numër që nuk është i barabartë me zero, ne e pranojmë atë si dividend dhe fillojmë kërkimin për termin e dytë duke përdorur të njëjtin algoritëm.

1) Numri 248 shkruhet me 1 shifër më shumë se pjesëtuesi 31. Prandaj, ne kujtojmë numrin 1.

2) Shtoni një shifër 0 në pjesëtuesin në të djathtë, marrim numrin 310, i cili është më i madh se numri 248. Prandaj, nga numri i memorizuar 1 ju duhet të zbritni 1, në këtë rast marrim numrin 0 dhe mbajmë mend atë.

3) Meqenëse ne kemi numrin 0 në memorie, nuk ka nevojë të shtojmë zero në numrin 1 në të djathtë. Pra, ne punojmë me njësi.

4) Shumëzoni në mënyrë të vazhdueshme pjesëtuesin 31 me 1, 2, 3 e kështu me radhë. Kemi 31·1=31248. Termi i dytë është i barabartë me 248 (nga barazia 248=31·8 rezulton se 248:31=8, kjo do të na duhet më vonë).

5) Ne llogarisim ndryshimin midis numrit 248 dhe numrit që rezulton 248, kemi 248−248=0. Rrjedhimisht, kërkimi i termave ndalon këtu.

Kështu, ne përfaqësojmë 1,178 si shumë 930+248. Mbetet vetëm të plotësohen llogaritjet: 1,178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (i kushtuam vëmendje rezultateve 930:31=30 dhe 248:31 =8 më lart).

Le të japim një shembull që vërteton vlefshmërinë e vetive të pjesëtimit të shumës së dy numrave natyrorë me një numër natyror të dhënë. Le të tregojmë se barazia (18+36):6=18:6+36:6 është e saktë. Së pari, le të llogarisim vlerën e shprehjes nga ana e majtë e barazisë. Meqenëse 18+36=54, atëherë (18+36):6=54:6. Nga tabela e shumëzimit gjejmë 54:6=9 (shih seksionin mbi teorinë e pjesëtimit duke përdorur tabelën e shumëzimit). Le të kalojmë në llogaritjen e vlerës së shprehjes 18:6+36:6. Nga tabela e shumëzimit kemi 18:6=3 dhe 36:6=6, pra 18:6+36:6=3+6=9. Prandaj, barazia (18+36):6=18:6+36:6 është e saktë.

Ju gjithashtu duhet t'i kushtoni vëmendje faktit që kjo veti, si dhe vetia shoqëruese e mbledhjes së numrave natyrorë, ju lejon të pjesëtoni shumën e tre ose më shumë numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar. Për shembull, herësi (14+8+4+2):2 është i barabartë me shumën e herësve të mëposhtëm 14:2+8:2+4:2+2:2.

Vetia e pjesëtimit të diferencës së dy numrave natyrorë me një numër natyror.

Ngjashëm me vetinë e mëparshme, formulohet vetia e pjesëtimit të diferencës së dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar: pjesëtimi i diferencës së dy numrave me një numër të caktuar është njësoj si të zbritet nga herësi i minuendit dhe numri i dhënë. herësi i nëntrahendës dhe numrit të dhënë.

Duke përdorur shkronjat, kjo veti e ndarjes mund të shkruhet si më poshtë: (a-b):c=a:c-b:c, ku a, b dhe c janë numra natyrorë të tillë që a është më i madh ose i barabartë me b, dhe gjithashtu a dhe b mund të pjesëtohen me c.

Si shembull që konfirmon vetinë e pjesëtimit në shqyrtim, do të tregojmë vlefshmërinë e barazisë (45-25):5=45:5-25:5. Meqenëse 45-25=20 (nëse është e nevojshme, studioni artikullin për zbritjen e numrave natyrorë), atëherë (45-25):5=20:5. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, gjejmë se herësi që rezulton është i barabartë me 4. Tani le të llogarisim vlerën e shprehjes 45:5-25:5, e cila është në anën e djathtë të barazisë. Nga tabela e shumëzimit kemi 45:5=9 dhe 25:5=5, pastaj 45:5-25:5=9-5=4. Prandaj, barazia (45-25):5=45:5-25:5 është e vërtetë.

Vetia e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror.

Nëse shihni lidhja midis pjesëtimit dhe shumëzimit, atëherë do të jetë e dukshme edhe vetia e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar të barabartë me njërin nga faktorët. Formulimi i tij është si vijon: rezultati i pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar, i cili është i barabartë me njërin nga faktorët, është i barabartë me faktorin tjetër. Këtu është forma fjalë për fjalë e kësaj vepre të ndarjes: (a·b):a=b ose (a·b):b=a, ku a dhe b janë disa numra natyrorë.

Për shembull, nëse produktin e numrave 2 dhe 8 e ndajmë me 2, fitojmë 8, dhe (3·7):7=3.

Tani do të supozojmë se pjesëtuesi nuk është i barabartë me asnjë nga faktorët që formojnë dividentin. Le të formulojmë vetinë e pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të dhënë për këto raste. Në këtë rast, do të supozojmë se të paktën një nga faktorët mund të pjesëtohet me një numër natyror të caktuar. Pra, pjesëtimi i prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër të caktuar natyror është njësoj si pjesëtimi i njërit prej faktorëve me këtë numër dhe shumëzimi i rezultatit me një faktor tjetër.

Prona e deklaruar është, për ta thënë butë, jo e dukshme. Por nëse kujtojmë se shumëzimi i numrave natyrorë është në thelb shtimi i një numri të caktuar termash të barabartë (për këtë është shkruar në pjesën teorike të kuptimit të shumëzimit të numrave natyrorë), atëherë vetia në fjalë rrjedh nga.

Le ta shkruajmë këtë veti duke përdorur shkronja. Le të jenë numra natyrorë a, b dhe c. Atëherë, nëse a mund të pjesëtohet me c, atëherë barazia është e vërtetë (a·b):c=(a:c)·b; nëse b mund të pjesëtohet me c, atëherë barazia është e vërtetë (a·b):c=a·(b:c); dhe nëse të dyja a dhe b mund të pjesëtohen me c, atëherë të dyja barazitë qëndrojnë njëkohësisht, d.m.th. (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

Për shembull, për shkak të vetive të konsideruara të pjesëtimit të prodhimit të dy numrave natyrorë me një numër natyror të caktuar, barazitë (8 6): 2 = (8: 2) 6 dhe (8 6): 2 = 8 (6: 2). ) janë të vlefshme, që mund të shkruhet si barazi e dyfishtë e formës (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Vetia e pjesëtimit të një numri natyror me prodhimin e dy numrave natyrorë.

Le të shohim situatën e mëposhtme. Supozoni se duhet të ndajmë çmimet në mënyrë të barabartë midis pjesëmarrësve të ekipeve b, c njerëzve në secilin ekip (do të supozojmë se numrat natyrorë a, b dhe c janë të tillë që mund të kryhet ndarja e specifikuar). Si mund ta bëj këtë? Le të shqyrtojmë dy raste.

• Së pari, mund të zbuloni numrin total të pjesëmarrësve (për ta bërë këtë ju duhet të llogaritni produktin b·c) dhe më pas të ndani të gjitha çmimet a me të gjithë pjesëmarrësit b·c. Matematikisht, ky proces korrespondon me një:(b·c) .
• Së dyti, çmimet a mund të ndahen në b ekipe, pas së cilës numri i çmimeve që rezulton në secilin ekip (do të jetë i barabartë me herësin a:b) ndahet në c pjesëmarrës. Matematikisht, ky proces përshkruhet me shprehjen (a:b):c.

Është e qartë se si në kategorinë e parë ashtu edhe në atë të dytë, secili pjesëmarrës do të marrë të njëjtin numër çmimesh. Kjo do të thotë, një barazi e formës do të jetë e vërtetë a:(b·c)=(a:b):c, e cila është një paraqitje fjalë për fjalë e vetive të pjesëtimit të një numri natyror me produktin e dy numrave natyrorë. Duhet të theksohet se për shkak të vetive komutative të shumëzimit të numrave natyrorë, barazia që rezulton mund të shkruhet në formën a:(b·c)=(a:c):b .

Mbetet vetëm të formulohet vetia e pjesëtimit në shqyrtim: pjesëtimi i një numri natyror me një produkt është i njëjtë me pjesëtimin e këtij numri me një nga faktorët, pas së cilës herësi që rezulton pjesëtohet me një faktor tjetër.

Le të japim një shembull. Le të tregojmë vlefshmërinë e barazisë 18:(2·3)=(18:2):3, e cila do të konfirmojë vetinë e pjesëtimit të një numri natyror me produktin e dy numrave natyrorë. Meqenëse 2·3=6, atëherë herësi 18:(2·3) është i barabartë me 18:6=3. Tani le të llogarisim vlerën e shprehjes (18:2):3. Nga tabela e shumëzimit gjejmë se 18:2=9, dhe 9:3=3, pastaj (18:2):3=3. Prandaj, 18:(2·3)=(18:2):3.

Vetia e pjesëtimit të zeros me një numër natyror.

Ne kemi pranuar konventën se numri zero (mos harroni se zero nuk është një numër natyror) do të thotë mungesë e diçkaje. Kështu, pjesëtimi i zeros me një numër natyror është pjesëtimi i "asgjë" në disa pjesë. Natyrisht, në secilën prej pjesëve që rezultojnë do të ketë gjithashtu "asgjë", domethënë zero. Kështu që, 0:a=0, ku a është çdo numër natyror.

Shprehja që rezulton është një paraqitje fjalë për fjalë e vetive të pjesëtimit të zeros me një numër natyror, i cili formulohet si më poshtë: rezultati i pjesëtimit të zeros me një numër natyror arbitrar është zero.

Për shembull, 0:105=0, dhe herësi i zeros i pjesëtuar me 300,553 është gjithashtu zero.

Një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero.

Pse një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero? Le ta kuptojmë këtë.

Supozoni se një numër natyror a mund të pjesëtohet me zero, dhe rezultati i pjesëtimit është një numër tjetër natyror b, domethënë, barazia a:0=b është e vërtetë. Nëse kujtojmë lidhjen ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit, atëherë barazia e shkruar a:0=b nënkupton vlefshmërinë e barazisë b·0=a. Megjithatë, vetia e shumëzimit të një numri natyror dhe zeros thotë se b·0=0. Krahasimi i dy barazive të fundit tregon se a=0, që nuk mund të jetë, pasi thamë se a është një numër natyror. Kështu, supozimi ynë për mundësinë e pjesëtimit të një numri natyror me zero çon në një kontradiktë.

Kështu që, një numër natyror nuk mund të pjesëtohet me zero.

Bibliografi.

• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasat 1, 2, 3, 4 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Matematika. Çdo tekst shkollor për klasën e 5-të të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve