Rrethi trigonometrik me vlera tangjente dhe kotangjente. Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Përpara se të kalojmë në këtë seksion, le të kujtojmë përkufizimet e sinusit dhe kosinusit të përcaktuara në tekstin shkollor të gjeometrisë për klasat 7-9.

Sinus kënd akut t të një trekëndëshi kënddrejtë e barabartë me raportin ana e kundërt me hipotenuzën (Fig. 1):

Kosinusi i një këndi akut t të një trekëndëshi kënddrejtë është i barabartë me raportin këmbën ngjitur në hipotenuzë (Fig. 1):

Këto përkufizime zbatohen për një trekëndësh kënddrejtë dhe janë raste të veçanta të përkufizimeve të paraqitura në këtë seksion.

Le të vendosim të njëjtin trekëndësh kënddrejtë në rrethin numerik (Fig. 2).

Ne shohim se këmba b e barabartë me një vlerë të caktuar y në boshtin Y (boshti i ordinatave), këmbë A e barabartë me një vlerë të caktuar x në boshtin X (boshtin x). Dhe hipotenuza Me e barabartë me rrezen e rrethit (R).

Kështu, formulat tona marrin një formë tjetër.

Meqenëse b = y, a = x, c = R, atëherë:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Meqë ra fjala, atëherë, natyrisht, formulat tangjente dhe kotangjente marrin një formë tjetër.

Meqenëse tg t = b/a, ctg t = a/b, atëherë ekuacionet e tjera janë gjithashtu të vërteta:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

Por le të kthehemi te sinusi dhe kosinusi. Kemi të bëjmë me një rreth numerik në të cilin rrezja është 1. Kjo do të thotë:

y
sin t = -- = y,
1

x
cos t = -- = x.
1

Kështu vijmë tek e treta, më shumë pamje e thjeshtë formulat trigonometrike.

Këto formula zbatohen jo vetëm për akut, por edhe për çdo kënd tjetër (të mpirë ose të zhvilluar).

Përkufizime dhe formulacost,mëkatt,tgt,ctgt.

Nga formulat tangjente dhe kotangjente vijon një formulë tjetër:

Ekuacionet rrethi i numrave.

Shenjat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës në çerek rrethet:

Kosinusi dhe sinusi i pikave kryesore të rrethit të numrave:

Si të mbani mend vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të pikave kryesore të rrethit të numrave.

Para së gjithash, duhet të dini se në çdo çift numrash vlerat e kosinusit vijnë të parat, vlerat e sinusit vijnë të dytat.

1) Ju lutemi vini re: me të gjitha pikat e shumta në rrethin e numrave, kemi të bëjmë vetëm me pesë numra (për modul):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Bëni këtë "zbulim" për veten tuaj - dhe do ta hiqni frika psikologjike përballë një numri të madh numrash: në fakt janë vetëm pesë prej tyre.

2) Le të fillojmë me numrat e plotë 0 dhe 1. Ata janë vetëm në boshtet koordinative.

Nuk ka nevojë të mësohet përmendësh se ku, për shembull, kosinusi në modul ka një dhe ku ka 0.

Në skajet e boshtit kosinuset(sëpata X), sigurisht, kosinuset të barabartë modul 1 , dhe sinuset janë të barabarta me 0.

Në skajet e boshtit sinuseve(sëpata në) sinuset janë të barabarta me modulin 1, dhe kosinuset janë të barabartë me 0.

Tani për shenjat. Zero nuk ka asnjë shenjë. Sa për 1 - këtu ju vetëm duhet të mbani mend më së shumti gjë e thjeshtë: nga kursi i klasës së 7-të ju e dini se çfarë është në bosht X djathtas qendrës plan koordinativ– numra pozitivë, në të majtë – negativ; në bosht në numrat pozitivë rriten nga qendra, numrat negativë zbresin. Dhe atëherë nuk do të gaboheni me shenjën 1.

3) Tani le të kalojmë te vlerat thyesore.

Të gjithë emëruesit e thyesave përmbajnë të njëjtin numër 2. Nuk do të gabojmë më se çfarë të shkruajmë në emërues.

Në mesin e tremujorëve, kosinusi dhe sinusi kanë absolutisht të njëjtën vlerë absolute: √2/2. Në këtë rast ata janë me një shenjë plus ose minus - shikoni tabelën e mësipërme. Por vështirë se ju nevojitet një tabelë e tillë: ju e dini këtë nga i njëjti kurs i klasës së 7-të.

Të gjitha më afër boshtit X pikat kanë vlera absolutisht identike të kosinusit dhe sinusit: (√3/2; 1/2).

Vlerat e të gjitha më afër boshtit në Pikat janë gjithashtu absolutisht identike në modul - dhe kanë të njëjtat numra, vetëm se ato kanë "këmbyer" vende: (1/2; √3/2).

Tani në lidhje me shenjat - këtu ka një alternim interesant (edhe pse ne besojmë se duhet të jeni në gjendje t'i kuptoni lehtësisht shenjat gjithsesi).

Nëse në tremujorin e parë vlerat e kosinusit dhe sinusit kanë një shenjë plus, atëherë në të kundërtën diametralisht (të tretë) ato kanë një shenjë minus.

Nëse në tremujorin e dytë me një shenjë minus ka vetëm kosinus, atëherë në diametralisht të kundërt (të katërt) ka vetëm sinus.

Mbetet vetëm të kujtojmë se në çdo kombinim të vlerave të kosinusit dhe sinusit, numri i parë është vlera e kosinusit, numri i dytë është vlera e sinusit.

Kushtojini vëmendje një rregullsie tjetër: sinusi dhe kosinusi i të gjitha pikave diametralisht të kundërta të rrethit janë absolutisht të barabartë në madhësi. Merrni, për shembull, pikat e kundërta π/3 dhe 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të dy pikave të kundërta ndryshojnë vetëm në shenjë. Por edhe këtu ekziston një model: sinuset dhe kosinuset e pikave diametralisht të kundërta kanë gjithmonë shenja të kundërta.

E rëndësishme të dini:

Vlerat e kosinuseve dhe sinuseve të pikave në rrethin numerik rriten ose zvogëlohen në mënyrë të njëpasnjëshme në një rend të caktuar: nga vlera më e vogël tek më e madhja dhe anasjelltas (shiko seksionin "Rritja dhe zvogëlimi i funksioneve trigonometrike" - megjithatë, kjo është e lehtë për t'u verifikuar duke parë vetëm rrethin e numrave më lart).

Në rend zbritës, merret alternimi i mëposhtëm i vlerave:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Ato rriten rreptësisht në rend të kundërt.

Pasi ta kuptoni këtë model të thjeshtë, do të mësoni se si të përcaktoni mjaft lehtë vlerat e sinusit dhe kosinusit.

Tangjentja dhe kotangjentja e pikave kryesore të rrethit numerik.

Duke ditur kosinusin dhe sinusin e pikave në rrethin e numrave, mund të llogaritni lehtësisht tangjenten dhe kotangjenten e tyre. Ndani sinusin me kosinusin dhe merrni tangjenten. Ndani kosinusin me sinusin dhe merrni kotangjenten. Rezultatet e kësaj ndarjeje janë paraqitur në figurë.

SHËNIM: Në disa tabela vlerat e tangjentes dhe kotangjentes, e barabartë me modulin√3/3, treguar si 1/√3. Këtu nuk ka asnjë gabim, pasi këto janë numra ekuivalent. Nëse numëruesi dhe emëruesi i numrit 1/√3 shumëzohen me √3, marrim √3/3.

Si të mbani mend kuptimin e tangjentave dhe kotangjenteve të pikave kryesore të rrethit të numrave.

Rregullat këtu janë të njëjta si me sinuset dhe kosinuset. Dhe ka vetëm katër numra këtu (për modul): 0, √3/3, 1, √3.

Në skajet e boshteve të koordinatave ka viza dhe zero. Vizat nënkuptojnë që tangjentja ose kotangjentja nuk kanë kuptim në këto pika.

Si të mbani mend ku janë vizat dhe ku janë zerat? Një rregull do të ndihmojë.

Tangjenta është një raport sinus te kosinusi. Në skajet e boshtit sinuseve(bosht në) tangjenta nuk ekziston.

Kotangjenti është një lidhje kosinusi në sinus. Në skajet e boshtit kosinuset(bosht X) nuk ekziston kotangjentja.

Në pjesën tjetër pikë shkon duke alternuar vetëm tre numra: 1, √3 dhe √3/3 me shenja plus ose minus. Si të silleni me to? Mbani mend (ose më mirë akoma, imagjinoni) tre rrethana:

1) tangjentet dhe kotangjentet e të gjitha pikave të mesit të tremujorit janë në modulin 1.

2) tangjentet dhe kotangjentet më të afërta me boshtin X pikat kanë një modul √3/3; √3.

3) tangjentet dhe kotangjentet e pikave më të afërta me boshtin y kanë një modul prej √3; √3/3.

Mos bëni asnjë gabim me shenjat dhe do të jeni një ekspert i madh.

Do të ishte e dobishme të mbani mend se si tangjentja dhe kotangjentja rriten dhe zvogëlohen në rrethin e numrave (shiko rrethin e numrave më lart ose seksionin "Rritja dhe zvogëlimi i funksioneve trigonometrike"). Atëherë do të kuptohet edhe më mirë rendi i alternimit të vlerave të tangjentës dhe kotangjentës.

Vetitë trigonometrike të numrave në rrethin e numrave.

Le të imagjinojmë se një pikë e caktuar M ka vlerën t.

Prona 1:

Shpjegimi. Le të jetë t = –60º dhe t = –210º.

cos –60º është e barabartë me 1/2. Por cos 60º është gjithashtu e barabartë me 1/2. Kjo do të thotë, kosinuset –60º dhe 60º janë të barabartë si në madhësi ashtu edhe në shenjë: cos –60º = cos 60º.

cos –210º është e barabartë me –√3/2. Por cos 210º është gjithashtu e barabartë me –√3/2. Kjo është: cos –210º = cos 210º.

cos(-t) =cost.

mëkati –60º është i barabartë me –√3/2. Dhe mëkati 60º është i barabartë me √3/2. Kjo do të thotë, mëkati –60º dhe mëkati 60º janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë.

sin -210º është e barabartë me 1/2. Dhe mëkati 210º është i barabartë me –1/2. Kjo do të thotë, mëkati –210º dhe mëkati 210º janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë.

Kështu e kemi vërtetuar mëkat (-t) = -mëkatt.

Shikoni se çfarë ndodh me tangjentet dhe kotangjentet e këtyre këndeve - dhe ju vetë mund t'i vërtetoni lehtësisht vetes korrektësinë e dy identiteteve të tjera të dhëna në tabelë.

Përfundim: kosinus - madje funksion, sinus, tangjente dhe kotangjente janë funksione tek.

Prona 2: Meqenëse t = t + 2π k, Se:

Shpjegim: t dhe t + 2π kështë e njëjta pikë në rrethin e numrave. Vetëm në rastin e 2π k bëjmë një sasi të caktuar revolucione të plota rreth rrethit para se të arrijmë në pikën t. Kjo do të thotë se barazitë e paraqitura në këtë tabelë janë të dukshme.

Prona 3: Nëse dy pika të një rrethi janë përballë njëra-tjetrës në lidhje me qendrën O, atëherë sinuset dhe kosinuset e tyre janë të barabartë në madhësi, por të kundërta në shenjë, dhe tangjentet dhe kotangjentet e tyre janë të njëjta si në madhësi ashtu edhe në shenjë.

Shpjegim: Le të jetë pika M në tremujorin e parë. Ajo ka vlerë pozitive sinus dhe kosinus. Le të nxjerrim një diametër nga kjo pikë - domethënë një segment që kalon nëpër qendrën e boshtit koordinativ dhe përfundon në pikën e kundërt të rrethit. Le ta shënojmë këtë pikë me shkronjën N. Siç mund ta shihni, harku MN është i barabartë me gjysmë rrethi. Ju tashmë e dini se një gjysmë rrethi është një vlerë e barabartë me π. Kjo do të thotë se pika N ndodhet në një distancë π nga pika M. Me fjalë të tjera, nëse i shtojmë distancën π pikës M, atëherë marrim pikën N, e vendosur përballë. Ajo është në tremujorin e tretë. Kontrolloni dhe shihni: kosinusin dhe sinusin e pikës N - me një shenjë minus ( x Dhe y kanë vlera negative).

Tangjentja dhe kotangjentja e pikës M kanë vlerë pozitive. Po tangjentja dhe kotangjentja e pikës N? Përgjigja është e thjeshtë: në fund të fundit, tangjentja dhe kotangjentja janë raporti i sinusit dhe kosinusit. Në shembullin tonë, sinusi dhe kosinusi i pikës N janë me shenjë minus. Do të thotë:

– mëkat t
tg (t + π) = ---- = tg t
–cos t

–cos t
ctg (t + π) = ---- = ctg t
– mëkat t

Kemi vërtetuar se tangjentja dhe kotangjentja e pikave diametralisht të kundërta në një rreth kanë jo vetëm të njëjtën vlerë, por edhe të njëjtën shenjë.

Prona 4: Nëse dy pika në një rreth janë në çerekët ngjitur, dhe distanca midis pikave është e barabartë me një të katërtën e rrethit, atëherë sinusi i një pike e barabartë me kosinusin një tjetër me të njëjtën shenjë dhe kosinusin e një pike e barabartë me sinusin e dyta me shenjë e kundërt.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni tuajin informacion personal sa herë që na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë rreth tij oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Të dhënat e referencës për tangjenten (tg x) dhe kotangjenten (ctg x). Përkufizimi gjeometrik, vetitë, grafikët, formulat. Tabela e tangjentëve dhe kotangjenteve, derivateve, integraleve, zgjerimeve të serive. Shprehjet përmes ndryshoreve komplekse. Lidhja me funksionet hiperbolike.

Përkufizimi gjeometrik

|BD|
- gjatësia e harkut të një rrethi me qendër në pikën A.

α është këndi i shprehur në radianë. Tangjente () tan α është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α midis hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, e barabartë me raportin

gjatësia e anës së kundërt |BC| në gjatësinë e këmbës ngjitur |AB| .) Kotangjente (

ctg α

është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur |AB| në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| . Tangjente

Ku n- e tërë.
.
;
;
.

NË

letërsia perëndimore

është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur |AB| në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| . Tangjente

tangjentja shënohet si më poshtë:
.
Grafiku i funksionit tangjent, y = tan x
;
;
.

Kotangjente

Në literaturën perëndimore, kotangjenti shënohet si më poshtë:

Shënimet e mëposhtme pranohen gjithashtu:

Grafiku i funksionit kotangjent, y = ctg x Vetitë e tangjentes dhe kotangjentes Periodiciteti Funksionet y = tg x

dhe y =

ctg x

janë periodike me periodë π.

Barazi Funksionet tangjente dhe kotangjente janë tek. Fushat e përkufizimit dhe vlerave, në rritje, në rënie në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| . Funksionet tangjente dhe kotangjente janë të vazhdueshme në fushën e tyre të përkufizimit (shih vërtetimin e vazhdimësisë).

Ekstreme

Zero, y =

; ;
; ;
;

Pikat e prerjes me boshtin e ordinatave, x =

Formulat

Shprehje duke përdorur sinusin dhe kosinusin

Formulat për tangjenten dhe kotangjenten nga shuma dhe diferenca

Formulat e mbetura janë të lehta për t'u marrë, për shembull

Produkti i tangjentëve

Formula për shumën dhe ndryshimin e tangjentave

;
;

Kjo tabelë paraqet vlerat e tangjentave dhe kotangjenteve për vlera të caktuara të argumentit.

; .

.
Derivat i rendit të n-të në lidhje me ndryshoren x të funksionit:
.
Nxjerrja e formulave për tangjenten > > > ; për kotangjent > > >

Integrale

Zgjerimet e serive

Për të marrë zgjerimin e tangjentes në fuqinë e x, duhet të merrni disa terma të zgjerimit në seri fuqie për funksionet mëkat x Dhe cos x dhe ndani këto polinome me njëri-tjetrin, .

Kjo prodhon formulat e mëposhtme.

Në .
në . Ku Bn - Numrat Bernoulli. Ato përcaktohen ose nga:
;
;
relacioni i përsëritjes
Ku .

Ose sipas formulës së Laplace:

Funksionet e anasjellta Funksionet e anasjellta

ndaj tangjentes dhe kotangjentes janë përkatësisht arktangjente dhe arkotangjente.

Arctangent, arctg në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| . Tangjente

, Ku

Arctangent, arctg në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| . Tangjente

Arccotangent, arcctg
Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009. G. Korn, Manual i Matematikës për punëtorë shkencorë

dhe inxhinierë, 2012. Trigonometria - seksion shkenca matematikore , i cili eksploron funksionet trigonometrike dhe përdorimin e tyre në gjeometri. Zhvillimi i trigonometrisë filloi në kohët e fundit Greqia e lashtë . Gjatë mesjetës kontribut të rëndësishëm

Shkencëtarët nga Lindja e Mesme dhe India kontribuan në zhvillimin e kësaj shkence. Ky artikull i kushtohet konceptet bazë

dhe përkufizimet e trigonometrisë. Ai diskuton përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. Kuptimi i tyre shpjegohet dhe ilustrohet në kontekstin e gjeometrisë.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Fillimisht, përkufizimet e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është një kënd, u shprehën në raportin e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.

Përkufizime të funksioneve trigonometrike

Sinusi i një këndi (sin α) është raporti i këmbës përballë këtij këndi me hipotenuzën.

Kosinusi i këndit (cos α) është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.

Tangjenti i këndit (t g α) - raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.

Kotangjent këndor (c t g α) - raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.

Këto përkufizime janë dhënë për këndin akut të një trekëndëshi kënddrejtë!

Ku Le të japim një ilustrim. trekëndëshi ABC

me kënd të drejtë C, sinusi i këndit A është i barabartë me raportin e këmbës BC me hipotenuzën AB. Përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës ju lejojnë të llogaritni vlerat e këtyre funksioneve duke gjatesite e njohura

brinjët e trekëndëshit.

E rëndësishme të mbani mend!

Përkufizimet e dhëna më sipër vlejnë për këndet akute. Në trigonometri prezantohet koncepti i një këndi rrotullimi, vlera e të cilit, ndryshe nga një kënd i mprehtë, nuk kufizohet në 0 deri në 90 gradë. Këndi i rrotullimit në gradë ose radianë shprehet me çdo numër real nga - ∞ në + ∞. .

Në këtë kontekst, ne mund të përcaktojmë sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën e një këndi me madhësi arbitrare. Le të imagjinojmë një rreth njësi me qendrën e tij në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane.

Pika fillestare A me koordinatat (1, 0) rrotullohet rreth qendrës së rrethit të njësisë përmes një këndi të caktuar α dhe shkon në pikën A 1. Përkufizimi jepet në terma të koordinatave të pikës A 1 (x, y).

Sinusi (mëkati) i këndit të rrotullimit

Sinusi i këndit të rrotullimit α është ordinata e pikës A 1 (x, y). sin α = y

Kosinusi (cos) i këndit të rrotullimit

Kosinusi i këndit të rrotullimit α është abshisa e pikës A 1 (x, y). cos α = x

Tangjentja (tg) e këndit të rrotullimit

Tangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i ordinatës së pikës A 1 (x, y) me abshisën e saj. t g α = y x

Kotangjentja (ctg) e këndit të rrotullimit

Kotangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i abshisës së pikës A 1 (x, y) ndaj ordinatës së saj. c t g α = x y

Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd rrotullimi. Kjo është logjike, sepse abshisa dhe ordinata e një pike pas rrotullimit mund të përcaktohen në çdo kënd. Situata është e ndryshme me tangjenten dhe kotangjenten. Tangjentja është e papërcaktuar kur një pikë pas rrotullimit shkon në një pikë me një abshisë zero (0, 1) dhe (0, - 1). Në raste të tilla, shprehja për tangjenten t g α = y x thjesht nuk ka kuptim, pasi përmban pjesëtim me zero. Situata është e ngjashme me kotangjentën. Ndryshimi është se kotangjentja nuk përcaktohet në rastet kur ordinata e një pike shkon në zero.

brinjët e trekëndëshit.

Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd α.

Tangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Kur vendoset shembuj praktik mos thuaj "sinus i këndit të rrotullimit α". Fjalët "këndi i rrotullimit" thjesht janë hequr, duke nënkuptuar se tashmë është e qartë nga konteksti se çfarë po diskutohet.

Numrat

Po përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri, dhe jo këndit të rrotullimit?

Sinus, kosinus, tangent, kotangjent i një numri

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një numri tështë një numër që është përkatësisht i barabartë me sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën në t radian.

Për shembull, sinusi i numrit 10 π është i barabartë me sinusin e këndit të rrotullimit prej 10 π rad.

Ekziston një qasje tjetër për përcaktimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri. Le t'i hedhim një vështrim më të afërt.

Kushdo numër real t një pikë në rrethin e njësisë lidhet me qendrën në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane drejtkëndëshe. Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja përcaktohen përmes koordinatave të kësaj pike.

Pika e fillimit në rreth është pika A me koordinata (1, 0).

Numër pozitiv t

Numri negativ t i përgjigjet pikës në të cilën do të shkojë pika e nisjes nëse ai lëviz rreth rrethit në drejtim të kundërt të akrepave të orës dhe kalon shtegun t.

Tani që është vendosur lidhja midis një numri dhe një pike në një rreth, kalojmë në përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.

Sine (mëkat) i t

Sinusi i një numri t- ordinata e një pike në rrethin njësi që i përgjigjet numrit t. sin t = y

Kosinusi (cos) i t

Kosinusi i një numri t- abshisa e pikës së rrethit njësi që i përgjigjet numrit t. cos t = x

Tangjenta (tg) e t

Tangjentja e një numri t- raporti i ordinatës me abshisën e një pike në rrethin njësi që i korrespondon numrit t. t g t = y x = sin t cos t

Përkufizimet e fundit janë në përputhje dhe nuk bien ndesh me përkufizimin e dhënë në fillim të këtij paragrafi. Trego në rrethin që korrespondon me numrin t, përkon me pikën në të cilën shkon pika e nisjes pas rrotullimit me një kënd t radian.

Funksionet trigonometrike të argumentit këndor dhe numerik

Çdo vlerë e këndit α korrespondon me një vlerë të caktuar të sinusit dhe kosinusit të këtij këndi. Ashtu si të gjithë këndet α përveç α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) korrespondojnë me një vlerë të caktuar tangjente. Kotangjentja, siç u tha më sipër, përcaktohet për të gjithë α, përveç α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Mund të themi se sin α, cos α, t g α, c t g α janë funksione të këndit alfa, ose funksione të argumentit këndor.

Në mënyrë të ngjashme, mund të flasim për sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën si funksione të një argumenti numerik. Çdo numër real t korrespondon me një vlerë të caktuar të sinusit ose kosinusit të një numri t. Të gjithë numrat përveç π 2 + π · k, k ∈ Z, korrespondojnë me një vlerë tangjente. Kotangjentja, në mënyrë të ngjashme, përcaktohet për të gjithë numrat përveç π · k, k ∈ Z.

Funksionet themelore të trigonometrisë

Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë funksionet bazë trigonometrike.

Zakonisht është e qartë nga konteksti se cili argument i funksionit trigonometrik ( argumenti i këndit ose argument numerik) kemi të bëjmë me.

Le të kthehemi te përkufizimet e dhëna në fillim dhe këndi alfa, i cili shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë. Përkufizime trigonometrike sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë plotësisht në përputhje me përkufizimet gjeometrike të dhëna duke përdorur raportet e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Le ta tregojmë.

Merrni një rreth njësi me qendër në një drejtkëndëshe Sistemi kartezian koordinatat Le ta kthejmë atë pikënisje A (1, 0) me një kënd deri në 90 gradë dhe vizatoni një pingul me abscissa nga pika që rezulton A 1 (x, y). Në marrë trekëndësh kënddrejtë këndi A 1 O H e barabartë me këndin kthesa α, gjatësia e këmbës O H është e barabartë me abshisën e pikës A 1 (x, y). Gjatësia e këmbës, këndi i kundërt, është e barabartë me ordinatën e pikës A 1 (x, y), dhe gjatësia e hipotenuzës është e barabartë me një, pasi është rrezja e rrethit njësi.

Në përputhje me përkufizimin nga gjeometria, sinusi i këndit α është i barabartë me raportin e anës së kundërt me hipotenuzën.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Kjo do të thotë që përcaktimi i sinusit të një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë përmes raportit të aspektit është i barabartë me përcaktimin e sinusit të këndit të rrotullimit α, me alfa që shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë.

Në mënyrë të ngjashme, korrespondenca e përkufizimeve mund të tregohet për kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter