Llogaritni numrat kompleks në formë trigonometrike.

3.1. Shtëpi

Koordinatat polare Shpesh përdoret në aeroplan sistemi i koordinatave polar . Përcaktohet nëse një pikë O jepet, thirret shtyllë , dhe rrezja që buron nga poli (për ne ky është boshti Ox) – bosht polar. Pozicioni i pikës M fiksohet nga dy numra: rrezja (ose vektori i rrezes) dhe këndi φ ndërmjet boshtit polar dhe vektorit. Këndi φ quhet

kënd polar; matet në radianë dhe numërohen në drejtim të kundërt të akrepave të orës nga boshti polar. Pozicioni i një pike në sistemin e koordinatave polar jepet nga një çift i renditur numrash (r; φ). Në Pol r = 0, dhe φ nuk është përcaktuar. Për të gjitha pikat e tjera r > 0,

dhe φ përcaktohet deri në një term që është shumëfish i 2π. Në këtë rast, çiftet e numrave (r; φ) dhe (r 1 ; φ 1) shoqërohen me të njëjtën pikë nëse . Për një sistem koordinativ drejtkëndor xOy

3.2. Koordinatat karteziane të një pike shprehen lehtësisht në termat e koordinatave të saj polare si më poshtë:

Interpretimi gjeometrik i numrit kompleks Për një sistem koordinativ drejtkëndor.

Konsideroni një sistem koordinativ drejtkëndor kartezian në aeroplan Çdo numër kompleks z=(a, b) shoqërohet me një pikë në plan me koordinata ( x, y ), Ku

koordinata x = a, d.m.th. pjesa reale e numrit kompleks, dhe koordinata y = bi është pjesa imagjinare.

Një rrafsh pikat e të cilit janë numra kompleks është një rrafsh kompleks. Në figurë, një numër kompleks z = (a, b) korrespondon me një pikë.

M(x, y)Ushtrimi.

3.3. Vizatoni numra kompleks në planin koordinativ:

Forma trigonometrike e një numri kompleks Një numër kompleks në aeroplan ka koordinatat e një pike M(x;y)

. Në këtë rast: - Shkrimi i një numri kompleks

forma trigonometrike e një numri kompleks. Numri r quhet modul numër kompleks z .

dhe është caktuar . Moduli është një numër real jo negativ. Për Moduli është zero nëse dhe vetëm nëse.

z = 0, d.m.th. a = b = 0 Numri φ quhet argumenti z dhe është caktuar

. Argumenti z përcaktohet në mënyrë të paqartë, si këndi polar në sistemin koordinativ polar, domethënë deri në një term që është shumëfish i 2π.

Atëherë pranojmë: , ku φ është vlera më e vogël e argumentit. Është e qartë se

Gjatë studimit më të thellë të temës, futet një argument ndihmës φ*, i tillë që Shembulli 1

. Gjeni formën trigonometrike të një numri kompleks.

Zgjidhje. 1) merrni parasysh modulin: ; ;

2) duke kërkuar φ:

3) forma trigonometrike: Shembulli 2. .

Këtu mjafton të zëvendësojmë vlerat e funksioneve trigonometrike dhe të transformojmë shprehjen:

Shembulli 3. Gjeni modulin dhe argumentin e një numri kompleks;

1) ;

2) ; φ – në 4 tremujorë:

3.4. Veprimet me numra kompleks në formë trigonometrike

· Mbledhja dhe zbritjaËshtë më e përshtatshme të bësh me numra kompleksë në formë algjebrike:

· Shumëzimi– duke përdorur shndërrime të thjeshta trigonometrike mund të tregohet se Gjatë shumëzimit, modulet e numrave shumëzohen dhe argumentet shtohen: ;

Ligjërata

Vizatoni numra kompleks në planin koordinativ:

Planifikoni

1. Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks.

2. Shënimi trigonometrik i numrave kompleks.

3. Veprimet mbi numrat kompleks në formë trigonometrike.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks.

a) Numrat kompleks përfaqësohen me pika në një rrafsh sipas rregullit të mëposhtëm: a + bi = M ( a ; b ) (Fig. 1).

Figura 1

b) Një numër kompleks mund të përfaqësohet nga një vektor që fillon në pikënRRETH dhe fundi në një pikë të caktuar (Fig. 2).

Figura 2

Shembulli 7. Ndërtoni pika që përfaqësojnë numrat kompleks:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (Fig. 3).

Figura 3

Shënimi trigonometrik i numrave kompleks.

Numri kompleksnumër kompleks = a + bi mund të specifikohet duke përdorur vektorin e rrezes me koordinata( a ; b ) (Fig. 4).

Figura 4

Përkufizimi . Gjatësia e vektorit , që përfaqëson një numër kompleksnumër kompleks , quhet moduli i këtij numri dhe shënohet oser .

Për çdo numër kompleksnumër kompleks modulin e tijr = | numër kompleks | përcaktohet në mënyrë unike nga formula .

Përkufizimi . Madhësia e këndit ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit real dhe vektorit , që paraqet një numër kompleks, quhet argument i këtij numri kompleks dhe shënohetA rg numër kompleks oseφ .

Argumenti i numrit kompleksnumër kompleks = 0 nuk është përcaktuar. Argumenti i numrit kompleksz≠ 0 - një sasi me shumë vlera dhe përcaktohet brenda një termi2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg numër kompleks = arg numër kompleks + 2πk , Kuarg numër kompleks – vlera kryesore e argumentit që përmban intervali(-π; π] dmth-π < arg numër kompleks ≤ π (nganjëherë një vlerë që i përket intervalit merret si vlera kryesore e argumentit .

Kjo formulë kurr =1 shpesh quhet formula e Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Shembulli 11: Llogaritni(1 + i ) 100 .

Le të shkruajmë një numër kompleks1 + i në formë trigonometrike.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +mëkatoj )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + mëkatoj ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Nxjerrja e rrënjës katrore të një numri kompleks.

Kur merr rrënjën katrore të një numri kompleksa + bi kemi dy raste:

Nëseb >o , Kjo ;

Në këtë pjesë do të flasim më shumë për formën trigonometrike të një numri kompleks. Forma dëftore është shumë më pak e zakonshme në detyrat praktike. Unë rekomandoj shkarkimin dhe printimin nëse është e mundur. tabelat trigonometrike, materialin metodologjik e gjeni në faqen Formulat dhe tabelat matematikore. Nuk mund të shkosh larg pa tavolina.

Çdo numër kompleks (përveç zeros) mund të shkruhet në formë trigonometrike:

Ku eshte kjo moduli i një numri kompleks, A - argumenti i numrit kompleks.

Le të paraqesim numrin në planin kompleks. Për saktësinë dhe thjeshtësinë e shpjegimit, do ta vendosim në kuadrantin e parë koordinativ, d.m.th. ne besojmë se:

Moduli i një numri kompleksështë distanca nga origjina në pikën përkatëse në rrafshin kompleks. E thënë thjesht, moduli është gjatësia vektori i rrezes, i cili tregohet me të kuqe në vizatim.

Moduli i një numri kompleks zakonisht shënohet me: ose

Duke përdorur teoremën e Pitagorës, është e lehtë të nxirret një formulë për gjetjen e modulit të një numri kompleks: . Kjo formulë është e saktë për çdo kuptimet "a" dhe "të jetë".

Shënim : Moduli i një numri kompleks është një përgjithësim i konceptit moduli i një numri real, si distanca nga një pikë në origjinë.

Argumenti i një numri kompleks thirrur qoshe ndërmjet gjysmë boshti pozitiv boshti real dhe vektori i rrezes të tërhequr nga origjina në pikën përkatëse. Argumenti nuk është përcaktuar për njëjës:.

Parimi në shqyrtim është në të vërtetë i ngjashëm me koordinatat polare, ku rrezja polare dhe këndi polar përcaktojnë në mënyrë unike një pikë.

Argumenti i një numri kompleks shënohet standardisht: ose

Nga konsideratat gjeometrike, marrim formulën e mëposhtme për gjetjen e argumentit:

. Kujdes! Kjo formulë funksionon vetëm në gjysmë rrafshin e duhur! Nëse numri kompleks nuk ndodhet në kuadrantin e koordinatave 1 ose 4, atëherë formula do të jetë paksa e ndryshme. Ne do t'i analizojmë edhe këto raste.

Por së pari, le të shohim shembujt më të thjeshtë kur numrat kompleks janë të vendosur në boshtet koordinative.

Shembulli 7

Paraqitni numrat kompleks në formë trigonometrike: ,,,. Le të bëjmë vizatimin:

Në fakt, detyra është gojore. Për qartësi, unë do të rishkruaj formën trigonometrike të një numri kompleks:

Le të kujtojmë fort, modulin - gjatësia(që është gjithmonë jo negative), argument - qoshe

1) Të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Natyrisht. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:. Është e qartë se (numri qëndron drejtpërdrejt në gjysmë-boshtin real pozitiv). Kështu, numri në formë trigonometrike:.

Veprimi i kontrollit të kundërt është i qartë si dita:

2) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij. Natyrisht. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:. Natyrisht (ose 90 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me të kuqe. Pra, numri në formë trigonometrike është: .

Duke përdorur , është e lehtë të rikthehet forma algjebrike e numrit (në të njëjtën kohë duke kryer një kontroll):

3) Le ta paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin e tij dhe

argument. Është e qartë se. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:

Natyrisht (ose 180 gradë). Në vizatim, këndi tregohet me ngjyrë blu. Kështu, numri në formë trigonometrike:.

Ekzaminimi:

4) Dhe rasti i katërt interesant.

Natyrisht. Llogaritja zyrtare duke përdorur formulën:. Argumenti mund të shkruhet në dy mënyra: Mënyra e parë: (270 gradë), dhe në përputhje me rrethanat:

. Ekzaminimi: Megjithatë, rregulli i mëposhtëm është më standard: Nëse këndi është më i madh se 180 gradë

, pastaj shkruhet me shenjë minus dhe orientimi i kundërt (“lëvizje”) i këndit: (minus 90 gradë), në vizatim është shënuar këndi me ngjyrë të gjelbër. Është e lehtë të vërehet

që është i njëjti kënd.

Kujdes! Kështu, hyrja merr formën:

Në asnjë rast nuk duhet të përdorni paritetin e kosinusit, çuditshmërinë e sinusit dhe të "thjeshtoni" më tej shënimin:

Nga rruga, është e dobishme të mbani mend pamjen dhe vetitë e funksioneve trigonometrike dhe të anasjellta të materialeve referuese të vendosura në paragrafët e fundit të faqes Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare. Dhe numrat kompleksë do të mësohen shumë më lehtë! Në hartimin e shembujve më të thjeshtë, kështu duhet ta shkruani:: "është e qartë se moduli është... është e qartë se argumenti është..."

. Kjo është vërtet e qartë dhe e lehtë për t'u zgjidhur verbalisht.

Le të vazhdojmë të shqyrtojmë raste më të zakonshme. Nuk ka probleme me modulin, duhet të përdorni gjithmonë formulën. Por formulat për gjetjen e argumentit do të jenë të ndryshme, varet nga cili tremujor koordinativ qëndron numri. Në këtë rast, tre opsione janë të mundshme (është e dobishme t'i rishkruani ato):

1) Nëse (çereku i koordinatave 1 dhe 4, ose gjysmërrafsh i djathtë), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën. .

2) Nëse (tremujori i 2-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën .

3) Nëse (tremujori i 3-të i koordinatave), atëherë argumenti duhet të gjendet duke përdorur formulën

Shembulli 8

Paraqitni numrat kompleks në formë trigonometrike: ,,,. Meqenëse ka formula të gatshme, nuk është e nevojshme të plotësoni vizatimin. Por ka një pikë: kur ju kërkohet të përfaqësoni një numër në formë trigonometrike, atëherë. Fakti është se një zgjidhje pa vizatim shpesh refuzohet nga mësuesit, mungesa e një vizatimi është një arsye serioze për një minus dhe dështim.

Ne i paraqesim numrat në formë komplekse, dhe numrat e parë dhe të tretë do të jenë për zgjidhje të pavarur.

Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij.

Që atëherë (rasti 2).

– këtu duhet të përfitoni nga çuditshmëria e arktangjentes. Fatkeqësisht, tabela nuk përmban vlerën , kështu që në raste të tilla argumenti duhet të lihet në një formë të rëndë: – numrat në formë trigonometrike.

Le të paraqesim numrin në formë trigonometrike. Le të gjejmë modulin dhe argumentin e tij.

Që (rasti 1), atëherë (minus 60 gradë).

Kështu:

– një numër në formë trigonometrike.

Por këtu, siç u përmend tashmë, janë disavantazhet mos prek.

Përveç metodës argëtuese të verifikimit grafik, ekziston edhe një verifikim analitik, i cili tashmë është kryer në shembullin 7. Ne përdorim tabela e vlerave të funksioneve trigonometrike, duke marrë parasysh se këndi është pikërisht këndi i tabelës (ose 300 gradë): – numrat në formën origjinale algjebrike.

Paraqisni vetë numrat në formë trigonometrike. Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Në fund të seksionit, shkurtimisht për formën eksponenciale të një numri kompleks.

Çdo numër kompleks (përveç zeros) mund të shkruhet në formë eksponenciale:

Ku është moduli i një numri kompleks dhe është argumenti i numrit kompleks.

Çfarë duhet të bëni për të paraqitur një numër kompleks në formë eksponenciale? Pothuajse e njëjta gjë: ekzekutoni një vizatim, gjeni një modul dhe një argument. Dhe shkruani numrin në formë.

Për shembull, për numrin në shembullin e mëparshëm, gjetëm modulin dhe argumentin:,. Atëherë ky numër do të shkruhet në formë eksponenciale si më poshtë:.

Numri në formë eksponenciale do të duket kështu:

Numri - Pra:

Këshilla e vetme është mos e prekni treguesin eksponentë, nuk ka nevojë të rirregullohen faktorët, të hapen kllapat etj. Një numër kompleks shkruhet në formë eksponenciale në mënyrë rigoroze sipas formës.

Veprimet mbi numrat kompleks të shkruar në formë algjebrike

Forma algjebrike e një numri kompleks z =(a,b).quhet shprehje algjebrike e formës

numër kompleks = a + bi.

Veprimet aritmetike mbi numrat kompleks numër kompleks 1 = a 1 + b 1 i Dhe numër kompleks 2 = a 2 + b 2 i, të shkruara në formë algjebrike, kryhen si më poshtë.

1. Shuma (ndryshimi) i numrave kompleks

numër kompleks 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

ato. mbledhja (zbritja) kryhet sipas rregullit për mbledhjen e polinomeve me reduktim të termave të ngjashëm.

2. Prodhimi i numrave kompleks

numër kompleks 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

ato. shumëzimi kryhet sipas rregullit të zakonshëm për shumëzimin e polinomeve duke marrë parasysh faktin se i 2 = 1.

3. Ndarja e dy numrave kompleks kryhet sipas rregullit të mëposhtëm:

, (numër kompleks 2 ≠ 0),

ato. pjesëtimi kryhet duke shumëzuar dividentin dhe pjesëtuesin me numrin e konjuguar të pjesëtuesit.

Shpejtësia e numrave kompleks përcaktohet si më poshtë:

Është e lehtë ta tregosh këtë

Shembuj.

1. Gjeni shumën e numrave kompleks numër kompleks 1 = 2 – i Dhe numër kompleks 2 = – 4 + 3i.

numër kompleks 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Gjeni prodhimin e numrave kompleks numër kompleks 1 = 2 – 3i Dhe numër kompleks 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3unë∙ 5i = 7+22i.

3. Gjeni herësin numër kompleks nga ndarja numër kompleks 1 = 3 – 2na numër kompleks 2 = 3 – i.

z = .

4. Zgjidheni ekuacionin: , x Dhe y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Për shkak të barazisë së numrave kompleks kemi:

ku x =–1 , y= 4.

5. Llogaritni: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Llogaritni nëse .

7. Njehsoni reciprocitetin e një numri numër kompleks=3-i.

Numrat kompleksë në formë trigonometrike

Aeroplan kompleks quhet një aeroplan me koordinata karteziane ( Çdo numër kompleks z=(a, b) shoqërohet me një pikë në plan me koordinata (), nëse secila pikë me koordinata ( a, b) lidhet me një numër kompleks z = a + bi. Në këtë rast quhet boshti i abshisës bosht real, dhe boshti i ordinatave është imagjinare. Pastaj çdo numër kompleks a+bi të paraqitur gjeometrikisht në një plan si një pikë A (a, b) ose vektor.

Prandaj, pozicioni i pikës A(dhe, për rrjedhojë, një numër kompleks numër kompleks) mund të specifikohet nga gjatësia e vektorit | | = r dhe këndi j, i formuar nga vektori | | me drejtim pozitiv të boshtit real. Gjatësia e vektorit quhet moduli i një numri kompleks dhe shënohet me | z |=r, dhe këndi j thirrur argumenti i numrit kompleks dhe është caktuar j = arg z.

Është e qartë se | numër kompleks| ³ 0 dhe | z | = 0 Û z = 0.

Nga Fig. 2 është e qartë se .

Argumenti i një numri kompleks përcaktohet në mënyrë të paqartë, por me një saktësi prej 2 pk, kÎ Z.

Nga Fig. 2 është gjithashtu e qartë se nëse z=a+bi Dhe j=arg z, Se

cos j =, mëkat j =, tg j = .

Nëse zÎR Dhe z> 0, atëherë arg z = 0 +2pk;

Nëse z ОR Dhe z< 0, atëherë arg z = p + 2pk;

Nëse z = 0,arg z nuk është përcaktuar.

Vlera kryesore e argumentit përcaktohet në intervalin 0 £ arg z 2 £ p,

ose -fq£ arg z £ f.

Shembuj:

1. Gjeni modulin e numrave kompleks numër kompleks 1 = 4 – 3i Dhe numër kompleks 2 = –2–2i.