Sa është perimetri i katrorit? Sa është sipërfaqja e një drejtkëndëshi? Opsionet për gjetjen e perimetrit.

Për të llogaritur sipërfaqen dhe perimetrin e një katrori, duhet të kuptoni konceptet e këtyre sasive. Një katror është një drejtkëndësh me vetëm katër brinjë të barabarta, të cilat kanë një kënd 90° me njëra-tjetrën. Perimetri është shuma e gjatësive të të gjitha anëve. Sipërfaqja është prodhimi i gjatësisë figurë drejtkëndëshe në gjerësinë e saj.

Sipërfaqja e një sheshi dhe si ta gjeni atë

Siç u tha më lart, një katror është një drejtkëndësh që ka 4 anët e barabarta, prandaj përgjigja në pyetjen: "si të gjejmë sipërfaqen e një katrori" është formula: S = a*a ose S = a 2 , ku a është ana e katrorit. Bazuar në këtë formulë, është e lehtë të gjesh brinjën e një katrori nëse zona është e njohur. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni katrorin nga vlera e treguar.

Për shembull, S = 121, pra, a = √121 = 11. Nëse vlera e vendosur nuk është në tabelën e katrorëve, atëherë mund të përdorni një kalkulator: S = 94, a = √94 = 9.7.

Si të gjeni perimetrin e një katrori

Perimetri i një katrori është formulë e lehtë: P = 4a, ku a është ana e katrorit.

Shembull:

ana e katrorit = 5, pra P = 4*5 = 20
ana e katrorit = 3, pra P = 4*3 = 12

Por ka probleme ku zona tregohet qartë, por ju duhet të gjeni perimetrin. Kur zgjidhni, ju nevojiten formulat që u prezantuan më herët.

Për shembull: si të gjejmë perimetrin e një katrori nëse dihet se zona është 144?

Hapat e zgjidhjes:

Gjeni gjatësinë e njërës anë: a = √144 = 12
Gjeni perimetrin: P = 4*12 = 48.

Gjetja e perimetrit të një katrori të brendashkruar

Ka disa mënyra të tjera për të gjetur perimetrin e një katrori. Le të shqyrtojmë njërën prej tyre: gjetjen e perimetrit përmes rrezes së rrethit të rrethuar. Shfaqet këtu term i ri Një "katror i gdhendur" është një katror, kulmet e të cilit shtrihen në një rreth.

Algoritmi i zgjidhjes:

meqenëse po shqyrtojmë një katror, formula mund të shprehet si më poshtë: a 2 + a 2 = (2r) 2;
atëherë ekuacioni duhet bërë më i thjeshtë: 2a 2 = 4(r) 2;
pjesëtojeni ekuacionin me 2: (a 2) = 2(r) 2;
nxjerr rrënjën: a = √(2r).

Si rezultat, marrim formulën e fundit: a (ana e katrorit) = √(2r).

Ana e gjetur e katrorit shumëzohet me 4, pastaj aplikohet formula standarde duke gjetur perimetrin: P = 4√(2r).

Detyra:

Duke pasur parasysh një katror që është i brendashkruar në një rreth, rrezja e tij është 5. Kjo do të thotë se diagonalja e katrorit është 10. Zbatojmë teoremën e Pitagorës: 2(a 2) = 10 2, pra 2a 2 = 100. Pjestojeni rezultatin me dy dhe rezultati është: a 2 = 50. Meqenëse kjo nuk është vlera e tabelës, përdorni një kalkulator: a = √50 = 7.07. Shumëzoni me 4: P = 4 * 7.07 = 28.2. Problemi u zgjidh!

Le të shqyrtojmë edhe një pyetje

Shpesh në probleme hasim një kusht tjetër: si të gjejmë sipërfaqen e një katrori nëse dihet perimetri?

Ne kemi shqyrtuar tashmë të gjitha formulat e nevojshme, kështu që për të zgjidhur problemet e këtij lloji, është e nevojshme t'i zbatoni me mjeshtëri dhe t'i lidhni ato me njëra-tjetrën. Le të shkojmë direkt në shembull i qartë: Sipërfaqja e sheshit është 25 cm 2 , gjeni perimetrin e tij.

Hapat e zgjidhjes:

Gjeni brinjën e katrorit: a = √25 = 5.

Gjejmë vetë perimetrin: P = 4*a = 4*5 = 20.

Për ta përmbledhur, është e rëndësishme të kujtojmë se formula të tilla të lehta janë të zbatueshme jo vetëm në aktivitete edukative, por gjithashtu Jeta e përditshme. Fëmijët mësojnë të gjejnë perimetrin dhe sipërfaqen e një figure sa më shpejt Shkolla fillore. Shfaqet në shkollën e mesme artikull i ri- gjeometria, ku teorema e Pitagorës është në fillim të studimit. Këto baza të matematikës testohen gjithashtu në fund të shkollës OGE dhe USE, ndaj është e rëndësishme t'i njihni këto formula dhe t'i zbatoni ato në mënyrë korrekte.

Ndonjëherë një person përballet me nevojën e menjëhershme për të gjetur perimetrin e një katrori. Për shembull, duhet të bëni një gardh përreth truall katror, letër-muri një dhomë katrore ose dekoroni me pasqyra muret e një salle vallëzimi katror. Për të llogaritur sasinë materiali i kërkuar, ju duhet të bëni llogaritje të veçanta. Dhe këtu, pa e ditur, do të duhet të blini materialin "me sy". Është në rregull nëse është letër-muri e lirë, por ku do të shkojnë pasqyrat shtesë? Dhe nëse ka mungesë materiali, atëherë është mjaft e vështirë të gjesh një shtesë me të njëjtën cilësi.

Pra, si të zbuloni se cili është perimetri i një katrori? Ne e dimë se një katror i ka të gjitha anët të barabarta. Dhe nëse perimetri është shuma e të gjitha anëve të shumëkëndëshit, atëherë perimetri i katrorit mund të shkruhet si (q+q+q+q), ku q është një vlerë që tregon gjatësinë e njërës anë të katrorit. Natyrisht, është më e përshtatshme të përdoret shumëzimi këtu. Pra, perimetri i një katrori është katërfishi i gjatësisë së brinjës së tij ose 4q, ku q është brinja.

Por nëse dihet vetëm perimetri i të cilit duhet të dini, çfarë duhet të bëni në këtë rast? Dhe gjithçka është shumë e thjeshtë këtu! Nga figura e njohur që shpreh sipërfaqen e sheshit, ju duhet ta nxirrni atë Kështu, do të gjendet madhësia e anës së katrorit. Tani ju duhet të gjeni perimetrin e katrorit duke përdorur formulën e nxjerrë më sipër.

Një pyetje tjetër është nëse ju duhet të gjeni perimetrin e një katrori përgjatë diagonales së tij. Këtu duhet të kujtojmë teoremën e Pitagorës. Konsideroni një katror WERT me WR diagonale. WR e ndau katrorin në dy trekëndësha dykëndësh të drejtë. Nëse gjatësia e diagonales dihet (le ta marrim në mënyrë konvencionale si z, dhe anën si u), atëherë madhësia e brinjës së katrorit duhet të kërkohet bazuar në formulën: katrori z është i barabartë me dyfishin e katrorit u, nga ku konkludojmë: u është e barabartë me rrënjën katrore të marrë nga gjysma e katrorit të hipotenuzës . Pastaj e rrisim rezultatin e marrë me 4 herë - këtu keni perimetrin e katrorit!

Ju mund të gjeni anën e një katrori nga rrezja e rrethit të gdhendur në të. Në fund të fundit, rrethi i brendashkruar prek të gjitha anët e katrorit, nga i cili nxirret përfundimi se diametri i rrethit është i barabartë me gjatësinë e anës së katrorit. Dhe diametri - të gjithë e dinë këtë - është dyfishi i rrezes.

Nëse dihet rrezja ose e rrethuar rreth katrorit, atëherë këtu shohim se të 4 kulmet e katrorit janë të vendosura në rreth. Kjo do të thotë se diametri i rrethit të rrethuar është e barabartë me gjatësinë diagonalet e një katrori. Duke e marrë këtë pozicion si të dhënë, atëherë duhet të llogarisni perimetrin duke përdorur formulën për gjetjen e perimetrit përgjatë diagonales së tij, të diskutuar më sipër.

Ndonjëherë propozohet një problem në të cilin duhet të zbuloni se cili është perimetri i një katrori që është i gdhendur në një katror izoscelular në mënyrë të tillë që një cep i katrorit të përputhet me këndin e drejtë të trekëndëshit. Këmba e kësaj figure gjeometrike është e njohur. Le ta shënojmë trekëndëshin si WER, ku kulmi E është i zakonshëm.

Sheshi i mbishkruar do të emërtohet ETYU. Ana ET shtrihet në anën NE, dhe pala e BE-së shtrihet në anën ER. Kulmi Y shtrihet në hipotenuzën WR. Duke parë më tej vizatimin, mund të nxjerrim përfundimet e mëposhtme:

WTY- trekëndëshi dykëndësh, meqenëse sipas kushtit WER është dykëndor, kjo do të thotë se këndi EWR është i barabartë me 45 gradë, dhe trekëndëshi që rezulton është drejtkëndor me një kënd bazë gjithashtu 45 gradë, gjë që na lejon të pohojmë se është dykëndësh. Nga kjo rrjedh se WT=TY.
TY=ET si brinjët e një katrori.
Duke ndjekur të njëjtin algoritëm, ne nxjerrim sa vijon: YU=UR dhe UR=EU.
Brinjët e një trekëndëshi mund të përfaqësohen si shuma e segmenteve. EW=ET+TW dhe ER= EU+UR.
Duke zëvendësuar segmente të barabarta, ne nxjerrim: EW=ET+TY dhe ER=EU+UY.
Nëse perimetri i një katrori të mbishkruar shprehet me formulën (ET+TY)+(EU+UY), atëherë kjo mund të shkruhet ndryshe, duke marrë parasysh vlerat e sapo prejardhura të brinjëve të trekëndëshit, si EW+ ER. Kjo do të thotë, perimetri i një katrori të gdhendur në një trekëndësh kënddrejtë me një kënd të drejtë që përkon do të jetë i barabartë me shumën e këmbëve të tij.

Këto, natyrisht, nuk janë të gjitha opsionet për llogaritjen e perimetrit të një katrori, por vetëm ato më të zakonshmet. Por të gjitha bazohen në faktin se perimetri i një katërkëndëshi është shuma e të gjitha brinjëve të tij. Dhe nga kjo nuk ka shpëtim!

Sheshi(nga lat. kuadrat- katërkëndësh) - një katërkëndësh i rregullt në të cilin të gjitha anët dhe këndet janë të barabarta me njëra-tjetrën. Mund të përkufizohet si një drejtkëndësh që ka dy anët ngjitur të barabartë me njëri-tjetrin, ose si një romb në të cilin të gjitha këndet janë të drejta.

Simetria. Katrori ka simetrinë më të madhe nga të gjithë katërkëndëshat. Ai ka:

katër boshte simetrie të rendit të dytë (që për figurë e sheshtë ekuivalente me reflektimet), nga të cilat dy shkojnë përgjatë diagonaleve të katrorit dhe dy të tjerat paralelisht me anët;

një bosht simetrie të rendit të katërt (duke kaluar nëpër qendrën e katrorit pingul me rrafshin e tij).

Diagonalet. Një katror ka dy diagonale që lidhin kulme jo ngjitur. Diagonalet e një katrori janë përgjysmues të këndeve të tij, priten në qendër të katrorit në kënde të drejta dhe përgjysmojnë njëra-tjetrën. Çdo diagonale ndan një katror në dy trekëndësha kënddrejtë dykëndësh. Dy diagonalet së bashku e ndajnë katrorin në katër trekëndësha kënddrejtë dykëndësh.

Në këtë rast, tregoni anën e katrorit a, pastaj gjatësia e diagonales d llogaritur duke përdorur aksiomën e Pitagorës:

d = √(a2 +a2) = √(2a2) = √2·a.

Rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar. Një rreth i gdhendur në një katror prek mesin e të gjitha anëve të katrorit dhe ka një rreze r, e barabartë me gjysmën anët e sheshit a. Një rreth i rrethuar rreth një katrori kalon nëpër të gjitha kulmet e tij dhe ka një rreze R, e barabartë me gjysmën e gjatësisë së diagonales së katrorit d:

r = a/2,

R = d/2 = (√2/2) a.

Perimetri dhe zona. Perimetër P Një katror përbëhet nga gjatësitë e 4 brinjëve të tij. Sheshi S katrori është i barabartë me katrorin e gjatësisë së anës së tij:

P = 4a = 8r = 2√2·R,

S = a2 = 4r2 = 2R2.

Burimet:

Sheshi - Bota e Gjeometrisë

Sheshi - Wikipedia

Shiko gjithashtu:

Si klasifikohen trekëndëshat?

Çfarë janë perimetri dhe gjysmëperimetri?

Si të gjeni diagonalen e një kubi?

Si të llogarisni sipërfaqen e një rombi?

Si të llogarisni sipërfaqen e një rrethi?

Si të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi?

Si të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi kënddrejtë?

Burimi i materialit Faqja e internetit

Përmbajtja:

Perimetri i një figure dydimensionale është gjatësia totale e kufirit të saj, e barabartë me shumën gjatësitë e anëve të figurës. Një katror është një figurë me katër brinjë me gjatësi të barabartë që kryqëzohen në një kënd prej 90°. Meqenëse të gjitha anët e një katrori kanë të njëjtën gjatësi, është shumë e lehtë të llogaritet perimetri i tij. Ky artikull do t'ju tregojë se si të llogarisni perimetrin e një katrori nga një anë e caktuar, nga një zonë e caktuar dhe nga rreze e dhënë një rreth i rrethuar rreth një katrori.

Hapat

1 Llogaritja e perimetrit në një anë të caktuar

1 Formula për llogaritjen e perimetrit të një katrori: P=4 s, Ku s– gjatësia e faqes së katrorit.
2 Gjeni gjatësinë e njërës anë të katrorit dhe shumëzojeni atë me 4 për të gjetur perimetrin. Për të përcaktuar gjatësinë e një ane, mateni atë me një vizore ose kërkoni vlerën e saj në një tekst shkollor (problem). Këtu janë disa shembuj të llogaritjeve të perimetrit:
- Nëse brinja e një katrori është 4, atëherë P = 4 * 4 = 16.
- Nëse brinja e një katrori është 6, atëherë P = 4 * 6 = 36.

2 Llogaritja e perimetrit për një zonë të caktuar

1 Formula për llogaritjen e sipërfaqes së një katrori. Sipërfaqja e çdo drejtkëndëshi (dhe një katror është rast i veçantë drejtkëndësh) është i barabartë me produktin e gjatësisë dhe gjerësisë së tij. Meqenëse gjatësia dhe gjerësia e katrorit janë të barabarta, zona e tij llogaritet me formulën: A = s*s = s 2, Ku s– gjatësia e faqes së katrorit.
2 Hiq Rrenja katrore nga vlera e sipërfaqes për të gjetur anën e katrorit. Për ta bërë këtë, në shumicën e rasteve, përdorni një kalkulator (futni vlerën e zonës dhe shtypni butonin "√"). Ju gjithashtu mund të llogaritni.
- Nëse sipërfaqja e një katrori është 20, atëherë brinja e tij është: s = √20 = 4,472.
- Nëse sipërfaqja e një katrori është 25, atëherë s = √25 = 5.
3 Shumëzojeni anën e gjetur me 4 për të gjetur perimetrin. Zëvendësoni vlerën e llogaritur anësore në formulë për të gjetur perimetrin: P=4 s. Do të gjeni perimetrin e sheshit.
- Në shembullin tonë të parë: P = 4 * 4,472 = 17,888.
- Perimetri i një katrori sipërfaqja e të cilit është 25 dhe brinja 5 është P = 4 * 5 = 20.

3 Llogaritja e perimetrit për një rreze të caktuar të një rrethi të rrethuar rreth një katrori

1 Një katror i gdhendur është një katror, kulmet e të cilit shtrihen në një rreth.
2 Marrëdhënia midis rrezes së një rrethi dhe gjatësisë së anës së një katrori. Distanca nga qendra e rrethit të rrethuar deri në kulmin e katrorit të gdhendur në të është e barabartë me rrezen e rrethit. Për të gjetur anën e një katrori s, duhet ta ndani katrorin diagonalisht në 2 trekëndësha kënddrejtë. Secili prej këtyre trekëndëshave do të ketë brinjë të barabarta a Dhe b dhe hipotenuza e zakonshme Me, e barabartë me dyfishin e rrezes së rrethit të rrethuar ( 2r).
3 Përdorni teoremën e Pitagorës për të gjetur anën e katrorit. Teorema e Pitagorës thotë se në çdo trekëndësh kënddrejtë me këmbë A Dhe b dhe hipotenuzë Me: a 2 + b 2 = c 2. Që në rastin tonë A = b(Mos harroni se po shikojmë një shesh!) dhe ne e dimë këtë c = 2r, atëherë mund ta rishkruajmë dhe thjeshtojmë këtë ekuacion:
- a 2 + a 2 = (2r) 2 ""; Tani le ta thjeshtojmë këtë ekuacion:
- 2a 2 = 4(r) 2; Tani le të ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 2:
- (a 2) = 2(r) 2; Tani le të marrim rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit:
- a = √(2r). Kështu s = √ (2r).
4 Shumëzojeni anën e gjetur të katrorit me 4 për të gjetur perimetrin e tij. Në këtë rast, perimetri i katrorit është: P = 4√(2r). Kjo formulë mund të rishkruhet si më poshtë: Р = 4√2 * 4√r = 5,657r, ku r është rrezja e rrethit të rrethuar.
5 Shembull. Konsideroni një katror të brendashkruar në një rreth me rreze 10. Kjo do të thotë se diagonalja e katrorit është 2 * 10 = 20. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, marrim: 2 (a 2) = 20 2, kjo eshte 2a 2 = 400. Tani ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 2 dhe marrim: a 2 = 200. Tani le të marrim rrënjën katrore të të dy anëve të ekuacionit dhe të marrim: a = 14,142. Shumëzojeni këtë vlerë me 4 dhe llogarisni perimetrin e katrorit: P=56.57.
- Vini re se mund të merrni të njëjtin rezultat thjesht duke shumëzuar rrezen (10) me 5,657: 10 * 5,567 = 56,57 ; por kjo metodë është e vështirë për t'u mbajtur mend, kështu që është më mirë të përdoret procesi i llogaritjes i përshkruar më sipër.

Perimetri është një nga ato matematikore, ose më mirë - termat gjeometrikë, përdoret kryesisht për llogaritjen e anëve të një figure.

Nga artikulli ynë do të mësoni se çfarë është perimetri dhe si matet duke përdorur shembullin e bazës forma gjeometrike.

Përkufizimi i perimetrit

Perimetri është gjatësia totale e të gjitha anëve ose perimetri i një figure. Tregohet perimetri shkronje e madhe"P", dhe mund të matet në njësi të ndryshme gjatësi të tilla si milimetra (mm), centimetra (cm), metra (m), etj Për figura të ndryshme ekzistojnë formula të ndryshme për të gjetur perimetrin. Më poshtë do të japim disa shembuj se si të zbulojmë perimetrin e një drejtkëndëshi dhe disa forma të tjera.

Matja e perimetrit

Nëse keni nevojë të zbuloni perimetrin e një figure komplekse (shifra të tilla përfshijnë figura me vija të pabarabarta), atëherë për këtë do t'ju duhet një litar ose fije. Duke përdorur këto gjëra, duhet të përshkruani skicën e saktë të figurës, dhe për të mos u ngatërruar, mund të bëni shenja në litar me një laps. Ose thjesht mund ta prisni, dhe më pas t'i bashkëngjitni të gjitha pjesët në vizore. Kështu, do të zbuloni se cili është perimetri i pothuajse çdo figure komplekse.

Ekziston një pajisje tjetër për llogaritjen e perimetrit të figurave komplekse: quhet lakormetër (vargmatësi me rul). Me ndihmën e tij, ju duhet të vendosni rulin në çdo pikë të figurës dhe të përshkruani konturin e figurës me rul. Numri që rezulton do të jetë i barabartë me perimetrin. Ju mund të mësoni për gjetjen e perimetrit të formave të tjera gjeometrike nga artikulli ynë. Epo, ne do t'ju tregojmë për disa mënyra të tjera për të ndryshuar perimetrin për forma të ndryshme.

Rrethi, katrori, trekëndëshi barabrinjës

Le të shohim gjithashtu se si të zbulojmë perimetrin e një rrethi. Kjo është mjaft e thjeshtë: ju vetëm duhet të përcaktoni perimetrin, dhe kjo mund të bëhet duke shumëzuar rrezen “r” me numrin π≈3.14 dhe më pas me 2 (P=L=2∙π∙r).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve