Me çfarë barazohet tangjentja në trigonometri? Formulat për prodhimin e sinuseve dhe kosinuseve

E përqendruar në një pikë A.
α - këndi i shprehur në radianë.

Përkufizimi
Sinus (sin α)është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës së kundërt |BC| në gjatësinë e hipotenuzës |AC|.

Kosinusi (cos α)është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur |AB| në gjatësinë e hipotenuzës |AC|.

Shënime të pranuara

;
;
.

;
;
.

Grafiku i funksionit sinus, y = sin x

Grafiku i funksionit të kosinusit, y = cos x

Vetitë e sinusit dhe kosinusit

Periodiciteti

Funksionet y = mëkat x dhe y = cos x periodike me perioda 2π.

Barazi

Funksioni i sinusit është tek. Funksioni kosinus është i barabartë.

Domeni i përkufizimit dhe vlerave, ekstreme, rritje, ulje

Funksionet e sinusit dhe kosinusit janë të vazhdueshme në domenin e tyre të përkufizimit, domethënë për të gjitha x (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Vetitë e tyre kryesore janë paraqitur në tabelë (n - numër i plotë).

Formulat bazë

Shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit

Formulat për sinusin dhe kosinusin nga shuma dhe diferenca

;
;

Formulat për prodhimin e sinuseve dhe kosinuseve

Formulat e shumës dhe diferencës

Shprehja e sinusit përmes kosinusit

;
;
;
.

Shprehja e kosinusit përmes sinusit

;
;
;
.

Shprehja përmes tangjentes

; .

Kur , kemi:
; .

Në:
; .

Tabela e sinuseve dhe kosinuseve, tangjentëve dhe kotangjenteve

Kjo tabelë tregon vlerat e sinuseve dhe kosinuseve për vlera të caktuara të argumentit.

Shprehjet përmes ndryshoreve komplekse

;

formula e Euler-it

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

;
;

Derivatet

; . Nxjerrja e formulave > > >

Derivatet e rendit të n-të:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, kosekant

Funksionet e anasjellta

Funksionet e anasjellta të sinusit dhe kosinusit janë përkatësisht arksina dhe arkozina.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Janë dhënë marrëdhëniet ndërmjet funksioneve bazë trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksione trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksione të një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të zvogëloni shkallën, e katërta - shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.

Në këtë artikull do të rendisim me radhë të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit dhe do t'i vendosim në tabela.

Navigimi i faqes.

Identitetet bazë trigonometrike

Identitetet bazë trigonometrike Përcaktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik në terma të çdo funksioni tjetër.

Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, derivimin e tyre dhe shembujt e aplikimit, shihni artikullin.

Formulat e reduktimit

Formulat e reduktimit vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë, si dhe vetinë e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.

Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.

Formulat e shtimit

Formulat e mbledhjes trigonometrike të tregojë se si funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve shprehen në funksion të funksioneve trigonometrike të atyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi

Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (ato quhen edhe formula me kënd të shumëfishtë) tregojnë se si funksionet trigonometrike të dyfishit, trefishit, etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.

Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. këndi

Formulat e gjysmëkëndit

Formulat e gjysmëkëndit tregojnë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.

Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.

Formulat e reduktimit të shkallës

Formulat trigonometrike për reduktimin e shkallëve janë krijuar për të lehtësuar kalimin nga fuqitë natyrore të funksioneve trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por në kënde të shumëfishta. Me fjalë të tjera, ato ju lejojnë të zvogëloni fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.

Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike

Qëllimi kryesor formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrikeështë të shkosh te produkti i funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pasi ato ju lejojnë të faktorizoni shumën dhe ndryshimin e sinuseve dhe kosinuseve.

Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus

Kalimi nga produkti i funksioneve trigonometrike në një shumë ose diferencë kryhet duke përdorur formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.

E drejta e autorit nga studentë të zgjuar

Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes së internetit, duke përfshirë materialet e brendshme dhe pamjen, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.

Ligjërata: Sinus, kosinus, tangent, kotangjent i një këndi arbitrar

Sinus, kosinus i një këndi arbitrar

Për të kuptuar se çfarë janë funksionet trigonometrike, le të shohim një rreth me rreze njësi. Ky rreth ka një qendër në origjinë në planin koordinativ. Për të përcaktuar funksionet e dhëna do të përdorim vektorin e rrezes OSE, e cila fillon në qendër të rrethit, dhe pika Rështë një pikë në rreth. Ky vektor i rrezes formon një kënd alfa me boshtin Oh. Meqenëse rrethi ka një rreze të barabartë me një, atëherë OSE = R = 1.

Nëse nga pika R ulni pingulën me boshtin Oh, atëherë marrim një trekëndësh kënddrejtë me hipotenuzë të barabartë me një.

Nëse vektori i rrezes lëviz në drejtim të akrepave të orës, atëherë ky drejtim quhet negativ, nëse lëviz në të kundërt të akrepave të orës - pozitive.

Sinusi i këndit OSE, është ordinata e pikës R vektor në një rreth.

Kjo do të thotë, për të marrë vlerën e sinusit të një këndi të caktuar alfa, është e nevojshme të përcaktohet koordinata U në sipërfaqe.

Si u përftua kjo vlerë? Meqenëse e dimë se sinusi i një këndi arbitrar në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën, marrim se

Dhe që nga ajo kohë R=1, Kjo sin(α) = y 0 .

Në një rreth njësi, vlera e ordinatës nuk mund të jetë më e vogël se -1 dhe më e madhe se 1, që do të thotë

Sinusi merr një vlerë pozitive në tremujorin e parë dhe të dytë të rrethit të njësisë, dhe negative në të tretën dhe të katërtin.

Kosinusi i këndit rrethi i dhënë i formuar nga vektori i rrezes OSE, është abshisa e pikës R vektor në një rreth.

Kjo do të thotë, për të marrë vlerën e kosinusit të një këndi të caktuar alfa, është e nevojshme të përcaktohet koordinata X në sipërfaqe.

Kosinusi i një këndi arbitrar në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën, marrim se

Dhe që nga ajo kohë R=1, Kjo cos(α) = x 0 .

Në rrethin e njësisë, vlera e abshisës nuk mund të jetë më e vogël se -1 dhe më e madhe se 1, që do të thotë

Kosinusi merr një vlerë pozitive në tremujorin e parë dhe të katërt të rrethit të njësisë, dhe negative në të dytën dhe të tretën.

Tangjentekënd arbitrarËshtë llogaritur raporti i sinusit me kosinusin.

Nëse marrim parasysh një trekëndësh kënddrejtë, atëherë ky është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur. Nëse po flasim për rrethin e njësisë, atëherë ky është raporti i ordinatës me abshisën.

Duke gjykuar nga këto marrëdhënie, mund të kuptohet se tangjentja nuk mund të ekzistojë nëse vlera e abshisës është zero, domethënë në një kënd prej 90 gradë. Tangjentja mund të marrë të gjitha vlerat e tjera.

Tangjentja është pozitive në çerekun e parë dhe të tretë të rrethit njësi, dhe negative në të dytën dhe të katërtin.

Sinusi dhe kosinusi fillimisht lindën nga nevoja për të llogaritur sasitë në trekëndëshat kënddrejtë. U vu re se nëse masa e shkallës së këndeve në një trekëndësh kënddrejtë nuk ndryshohet, atëherë raporti i pamjes, sado që këto brinjë të ndryshojnë në gjatësi, mbetet gjithmonë i njëjtë.

Kështu u prezantuan konceptet e sinusit dhe kosinusit. Sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën, dhe kosinusi është raporti i anës ngjitur me hipotenuzën.

Teoremat e kosinuseve dhe sinuseve

Por kosinuset dhe sinuset mund të përdoren për më shumë sesa thjesht trekëndësha kënddrejtë. Për të gjetur vlerën e një këndi ose brinjë të mpirë ose akute të çdo trekëndëshi, mjafton të zbatohet teorema e kosinuseve dhe sinuseve.

Teorema e kosinusit është mjaft e thjeshtë: "Katrori i një brinjë të një trekëndëshi është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera minus dyfishin e produktit të atyre brinjëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre."

Ekzistojnë dy interpretime të teoremës së sinusit: e vogël dhe e zgjeruar. Sipas të miturit: "Në një trekëndësh, këndet janë proporcionale me anët e kundërta." Kjo teoremë shpesh zgjerohet për shkak të vetive të rrethit të rrethuar të një trekëndëshi: "Në një trekëndësh, këndet janë proporcionale me anët e kundërta dhe raporti i tyre është i barabartë me diametrin e rrethit të rrethuar".

Derivatet

Derivati ​​është një mjet matematikor që tregon se sa shpejt ndryshon një funksion në lidhje me një ndryshim në argumentin e tij. Derivatet përdoren në gjeometri dhe në një numër disiplinash teknike.

Kur zgjidhni probleme, duhet të dini vlerat tabelare të derivateve të funksioneve trigonometrike: sinus dhe kosinus. Derivati ​​i një sinusi është një kosinus, dhe një kosinus është një sinus, por me një shenjë minus.

Aplikimi në matematikë

Sinuset dhe kosinuset përdoren veçanërisht shpesh në zgjidhjen e trekëndëshave kënddrejtë dhe problemeve që lidhen me to.

Komoditeti i sinuseve dhe kosinuseve reflektohet edhe në teknologji. Këndet dhe brinjët ishin të lehta për t'u vlerësuar duke përdorur teoremat e kosinusit dhe sinusit, duke zbërthyer forma dhe objekte komplekse në trekëndësha "të thjeshtë". Inxhinierët që shpesh merren me llogaritjet e raporteve të pamjes dhe matjeve të shkallës shpenzuan shumë kohë dhe përpjekje për të llogaritur kosinuset dhe sinuset e këndeve jo tabelare.

Më pas në ndihmë erdhën tabelat Bradis, të cilat përmbanin mijëra vlera sinusesh, kosinusesh, tangjente dhe kotangjente të këndeve të ndryshme. Në kohët sovjetike, disa mësues i detyruan studentët e tyre të mësonin përmendësh faqet e tabelave Bradis.

Radiani është vlera këndore e një harku gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen ose 57,295779513° gradë.

Shkalla (në gjeometri) - 1/360 pjesë e një rrethi ose 1/90 pjesë e një këndi të drejtë.

π = 3.141592653589793238462… (vlera e përafërt e Pi).

Tabela e kosinusit për këndet: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Aty ku u morën parasysh problemet për zgjidhjen e një trekëndëshi kënddrejtë, unë premtova të paraqes një teknikë për memorizimin e përkufizimeve të sinusit dhe kosinusit. Duke e përdorur atë, gjithmonë do të mbani mend shpejt se cila anë i përket hipotenuzës (ngjir ose përballë). Vendosa të mos e shtyj për një kohë të gjatë, materiali i nevojshëm është më poshtë, ju lutemi lexoni 😉

Fakti është se unë kam vërejtur në mënyrë të përsëritur se si nxënësit e klasave 10-11 kanë vështirësi në kujtimin e këtyre përkufizimeve. E mbajnë mend shumë mirë se këmba i referohet hipotenuzës, por cilës- harrojnë dhe i hutuar. Çmimi i një gabimi, siç e dini në një provim, është një pikë e humbur.

Informacioni që do të prezantoj drejtpërdrejt nuk ka të bëjë me matematikën. Ajo shoqërohet me të menduarit imagjinativ dhe me metodat e komunikimit verbal-logjik. Pikërisht kështu e mbaj mend, njëherë e përgjithmonëtë dhënat e përkufizimit. Nëse i harroni ato, gjithmonë mund t'i mbani mend lehtësisht duke përdorur teknikat e paraqitura.

Më lejoni t'ju kujtoj përkufizimet e sinusit dhe kosinusit në një trekëndësh kënddrejtë:

Kosinusi Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën:

Sinus Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën:

Pra, çfarë lidhjesh keni me fjalën kosinus?

Ndoshta të gjithë kanë të tyren 😉Mbani mend lidhjen:

Kështu, shprehja do të shfaqet menjëherë në kujtesën tuaj -

«… raporti i këmbës NGJITHSHME me hipotenuzën».

Problemi me përcaktimin e kosinusit është zgjidhur.

Nëse keni nevojë të mbani mend përkufizimin e sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, atëherë duke kujtuar përkufizimin e kosinusit, mund të përcaktoni lehtësisht se sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me hipotenuzën. Në fund të fundit, ka vetëm dy këmbë, nëse këmba ngjitur është "e zënë" nga kosinusi, atëherë vetëm këmba e kundërt mbetet me sinusin.

Po në lidhje me tangjentën dhe kotangjenten? Konfuzioni është i njëjtë. Studentët e dinë se kjo është një marrëdhënie e këmbëve, por problemi është të kujtojmë se cilës i referohet - ose e kundërta me fqinjin, ose anasjelltas.

Përkufizimet:

Tangjente Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur:

Kotangjente Këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës ngjitur me të kundërtën:

Si të mbani mend? Ka dy mënyra. Njëri përdor gjithashtu një lidhje verbale-logjike, tjetra përdor një lidhje matematikore.

METODA MATEMATIKE

Ekziston një përkufizim i tillë - tangjentja e një këndi akut është raporti i sinusit të këndit me kosinusin e tij:

* Pasi të keni mësuar përmendësh formulën, gjithmonë mund të përcaktoni se tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me anën ngjitur.

Po kështu.Kotangjentja e një këndi akut është raporti i kosinusit të këndit me sinusin e tij:

Kështu që! Duke kujtuar këto formula, gjithmonë mund të përcaktoni se:

- tangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës së kundërt me atë fqinje

— Kotangjentja e një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i anës ngjitur me anën e kundërt.

METODA FJALË-LOGJIKE

Rreth tangjentes. Mbani mend lidhjen:

Kjo do të thotë, nëse duhet të mbani mend përkufizimin e tangjentës, duke përdorur këtë lidhje logjike, mund të mbani mend lehtësisht se çfarë është

"... raporti i anës së kundërt me anën ngjitur"

Nëse flasim për kotangjentë, atëherë duke kujtuar përkufizimin e tangjentës, mund të shprehni lehtësisht përkufizimin e kotangjentës -

"... raporti i anës ngjitur me anën e kundërt"

Ekziston një truk interesant për të kujtuar tangjentën dhe kotangjenten në faqen e internetit " Tandemi matematik " , shiko.

METODA UNIVERSAL

Ju thjesht mund ta mësoni përmendësh.Por siç tregon praktika, falë lidhjeve verbale-logjike, një person kujton informacionin për një kohë të gjatë, dhe jo vetëm ato matematikore.

Shpresoj se materiali ishte i dobishëm për ju.

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.