Sa është shuma e këmbëve? Përmes trekëndëshave të ngjashëm
Një gjë për të cilën mund të jeni njëqind për qind i sigurt është se kur pyetet se cili është katrori i hipotenuzës, çdo i rritur do të përgjigjet me guxim: "Shuma e katrorëve të këmbëve". Kjo teoremë është e rrënjosur fort në mendjet e çdo personi të arsimuar, por thjesht duhet t'i kërkoni dikujt ta vërtetojë dhe mund të shfaqen vështirësi. Prandaj, le të kujtojmë dhe shqyrtojmë mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës.
Biografi e shkurtër
Teorema e Pitagorës është e njohur për pothuajse të gjithë, por për disa arsye biografia e personit që e solli atë në botë nuk është aq e njohur. Kjo mund të rregullohet. Prandaj, përpara se të eksploroni mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës, duhet të njiheni shkurtimisht me personalitetin e tij.
Pitagora - filozof, matematikan, mendimtar me origjinë nga Sot është shumë e vështirë të dallosh biografinë e tij nga legjendat që janë zhvilluar në kujtim të këtij njeriu të madh. Por siç del nga veprat e ndjekësve të tij, Pitagora e Samosit lindi në ishullin e Samos. Babai i tij ishte një gurprerës i zakonshëm, por nëna e tij vinte nga një familje fisnike.
Duke gjykuar nga legjenda, lindja e Pitagorës u parashikua nga një grua e quajtur Pythia, për nder të së cilës u emërua djali. Sipas parashikimit të saj, djali i lindur duhej t'i sillte shumë dobi dhe të mira njerëzimit. E cila është pikërisht ajo që ai bëri.
Lindja e teoremës
Në rininë e tij, Pitagora u shpërngul në Egjipt për të takuar atje dijetarët e famshëm egjiptianë. Pas takimit me ta, ai u lejua të studionte, ku mësoi të gjitha arritjet e mëdha të filozofisë, matematikës dhe mjekësisë egjiptiane.
Ndoshta ishte në Egjipt që Pitagora u frymëzua nga madhështia dhe bukuria e piramidave dhe krijoi teorinë e tij të madhe. Kjo mund të tronditë lexuesit, por historianët modernë besojnë se Pitagora nuk e vërtetoi teorinë e tij. Por ai ua përcolli njohuritë e tij vetëm ndjekësve të tij, të cilët më vonë përfunduan të gjitha llogaritjet e nevojshme matematikore.
Sido që të jetë, sot nuk dihet një metodë e vërtetimit të kësaj teoreme, por disa njëherësh. Sot ne vetëm mund të hamendësojmë se si i kryenin saktësisht llogaritjet e tyre grekët e lashtë, kështu që këtu do të shikojmë mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës.
Teorema e Pitagorës
Para se të filloni ndonjë llogaritje, duhet të kuptoni se çfarë teorie dëshironi të provoni. Teorema e Pitagorës shkon kështu: "Në një trekëndësh në të cilin njëri prej këndeve është 90°, shuma e katrorëve të këmbëve është e barabartë me katrorin e hipotenuzës."
Ka gjithsej 15 mënyra të ndryshme për të vërtetuar teoremën e Pitagorës. Ky është një numër mjaft i madh, kështu që ne do t'i kushtojmë vëmendje më të njohurve prej tyre.
Metoda e parë
Së pari, le të përcaktojmë se çfarë na është dhënë. Këto të dhëna do të zbatohen gjithashtu për metodat e tjera të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, kështu që ia vlen të mbani mend menjëherë të gjitha shënimet e disponueshme.
Supozoni se na është dhënë një trekëndësh kënddrejtë me këmbët a, b dhe një hipotenuzë të barabartë me c. Metoda e parë e provës bazohet në faktin se ju duhet të vizatoni një katror nga një trekëndësh kënddrejtë.
Për ta bërë këtë, duhet të shtoni një segment të barabartë me këmbën b në gjatësinë e këmbës a, dhe anasjelltas. Kjo duhet të rezultojë në dy anë të barabarta të sheshit. Mbetet vetëm të vizatoni dy vija paralele dhe sheshi është gati.
Brenda figurës që rezulton, duhet të vizatoni një katror tjetër me një anë të barabartë me hipotenuzën e trekëndëshit origjinal. Për ta bërë këtë, nga kulmet ас dhe св ju duhet të vizatoni dy segmente paralele të barabarta me с. Kështu, marrim tre brinjë të katrorit, njëra prej të cilave është hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë origjinal. Mbetet vetëm të vizatojmë segmentin e katërt.
Bazuar në figurën që rezulton, mund të konkludojmë se sipërfaqja e katrorit të jashtëm është (a + b) 2. Nëse shikoni brenda figurës, mund të shihni se përveç katrorit të brendshëm, ka edhe katër trekëndësha kënddrejtë. Sipërfaqja e secilit është 0.5 av.
Prandaj, zona është e barabartë me: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
Prandaj (a+c) 2 =2ab+c 2
Dhe, si rrjedhim, c 2 =a 2 +b 2
Teorema është e vërtetuar.
Metoda e dytë: trekëndësha të ngjashëm
Kjo formulë për vërtetimin e teoremës së Pitagorës është nxjerrë bazuar në një deklaratë nga seksioni i gjeometrisë rreth trekëndëshave të ngjashëm. Ai thotë se këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë është mesatarja proporcionale me hipotenuzën e tij dhe segmentin e hipotenuzës që buron nga kulmi i këndit 90°.
Të dhënat fillestare mbeten të njëjta, kështu që le të fillojmë menjëherë me provat. Le të vizatojmë një segment CD pingul me anën AB. Bazuar në pohimin e mësipërm, brinjët e trekëndëshave janë të barabarta:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të vërtetohet teorema e Pitagorës, vërtetimi duhet të plotësohet duke i vendosur në katror të dy pabarazitë.
AC 2 = AB * AD dhe CB 2 = AB * DV
Tani duhet të mbledhim pabarazitë që rezultojnë.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ku AD + DV = AB
Rezulton se:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Dhe për këtë arsye:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Vërtetimi i teoremës së Pitagorës dhe metodat e ndryshme për zgjidhjen e saj kërkojnë një qasje të gjithanshme ndaj këtij problemi. Sidoqoftë, ky opsion është një nga më të thjeshtët.
Një metodë tjetër llogaritjeje
Përshkrimet e metodave të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës mund të mos thonë asgjë derisa të filloni të praktikoni vetë. Shumë teknika përfshijnë jo vetëm llogaritjet matematikore, por edhe ndërtimin e figurave të reja nga trekëndëshi origjinal.
Në këtë rast, është e nevojshme të plotësoni një tjetër trekëndësh kënddrejtë VSD nga ana BC. Kështu, tani ka dy trekëndësha me një këmbë të përbashkët BC.
Duke ditur që sipërfaqet e figurave të ngjashme kanë një raport si katrorët e dimensioneve të tyre të ngjashme lineare, atëherë:
S avs * c 2 - S avd * në 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(nga 2 - në 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
nga 2 - në 2 =a 2
c 2 =a 2 +b 2
Meqenëse nga metodat e ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës për klasën 8, ky opsion nuk është i përshtatshëm, mund të përdorni metodën e mëposhtme.
Mënyra më e lehtë për të vërtetuar Teoremën e Pitagorës. Vlerësime
Sipas historianëve, kjo metodë u përdor për herë të parë për të vërtetuar teoremën në Greqinë e lashtë. Është më e thjeshta, pasi nuk kërkon absolutisht asnjë llogaritje. Nëse e vizatoni saktë figurën, atëherë prova e pohimit se a 2 + b 2 = c 2 do të jetë qartë e dukshme.
Kushtet për këtë metodë do të jenë paksa të ndryshme nga ajo e mëparshme. Për të vërtetuar teoremën, supozojmë se trekëndëshi kënddrejtë ABC është dykëndësh.
Marrim hipotenuzën AC si brinjë të katrorit dhe vizatojmë tre brinjët e tij. Përveç kësaj, është e nevojshme të vizatoni dy vija diagonale në sheshin që rezulton. Kështu që brenda saj të merrni katër trekëndësha dykëndësh.
Ju gjithashtu duhet të vizatoni një katror në këmbët AB dhe CB dhe të vizatoni një vijë të drejtë diagonale në secilën prej tyre. Ne tërheqim vijën e parë nga kulmi A, të dytën nga C.
Tani duhet të shikoni me kujdes vizatimin që rezulton. Meqenëse në hipotenuzën AC ka katër trekëndësha të barabartë me atë origjinal, dhe në anët ka dy, kjo tregon vërtetësinë e kësaj teoreme.
Nga rruga, falë kësaj metode të vërtetimit të teoremës së Pitagorës, lindi fraza e famshme: "Pantallonat e Pitagorës janë të barabarta në të gjitha drejtimet".
Dëshmi nga J. Garfield
James Garfield është presidenti i njëzetë i Shteteve të Bashkuara të Amerikës. Përveçse la gjurmë në histori si sundimtar i Shteteve të Bashkuara, ai ishte gjithashtu një autodidakt i talentuar.
Në fillim të karrierës së tij ishte mësues i zakonshëm në një shkollë publike, por shumë shpejt u bë drejtor i një prej institucioneve të arsimit të lartë. Dëshira për vetë-zhvillim e lejoi atë të propozonte një teori të re për të vërtetuar teoremën e Pitagorës. Teorema dhe një shembull i zgjidhjes së saj janë si më poshtë.
Së pari ju duhet të vizatoni dy trekëndësha kënddrejtë në një copë letre në mënyrë që këmba e njërit prej tyre të jetë vazhdim i së dytës. Kulmet e këtyre trekëndëshave duhet të lidhen për të formuar përfundimisht një trapezoid.
Siç e dini, sipërfaqja e një trapezi është e barabartë me produktin e gjysmës së shumës së bazave dhe lartësisë së tij.
S=a+b/2 * (a+b)
Nëse e konsiderojmë trapezin që rezulton si një figurë e përbërë nga tre trekëndësha, atëherë zona e tij mund të gjendet si më poshtë:
S=av/2 *2 + s 2 /2
Tani duhet të barazojmë dy shprehjet origjinale
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 +b 2
Më shumë se një vëllim librash shkollorë mund të shkruheshin për teoremën e Pitagorës dhe metodat e vërtetimit të saj. Por a ka ndonjë pikë në të kur kjo njohuri nuk mund të zbatohet në praktikë?
Zbatimi praktik i teoremës së Pitagorës
Fatkeqësisht, kurrikula moderne shkollore parashikon përdorimin e kësaj teoreme vetëm në problemet gjeometrike. Maturantët së shpejti do të largohen nga shkolla pa e ditur se si mund t'i zbatojnë njohuritë dhe aftësitë e tyre në praktikë.
Në fakt, çdokush mund të përdorë teoremën e Pitagorës në jetën e tij të përditshme. Dhe jo vetëm në aktivitetet profesionale, por edhe në punët e zakonshme të shtëpisë. Le të shqyrtojmë disa raste kur teorema e Pitagorës dhe metodat e vërtetimit të saj mund të jenë jashtëzakonisht të nevojshme.
Marrëdhënia midis teoremës dhe astronomisë
Duket se si mund të lidhen yjet dhe trekëndëshat në letër. Në fakt, astronomia është një fushë shkencore në të cilën përdoret gjerësisht teorema e Pitagorës.
Për shembull, merrni parasysh lëvizjen e një rreze drite në hapësirë. Dihet se drita lëviz në të dy drejtimet me të njëjtën shpejtësi. Le ta quajmë trajektoren AB përgjatë së cilës lëviz rrezja e dritës l. Dhe le ta quajmë gjysmën e kohës që duhet dritë për të shkuar nga pika A në pikën B t. Dhe shpejtësia e rrezes - c. Rezulton se: c*t=l
Nëse shikoni të njëjtën rreze nga një aeroplan tjetër, për shembull, nga një rreshtim hapësinor që lëviz me shpejtësi v, atëherë kur vëzhgoni trupat në këtë mënyrë, shpejtësia e tyre do të ndryshojë. Në këtë rast, edhe elementët e palëvizshëm do të fillojnë të lëvizin me shpejtësi v në drejtim të kundërt.
Le të themi se linja e linjës komike po lundron djathtas. Pastaj pikat A dhe B, midis të cilave rrezja nxiton, do të fillojnë të lëvizin në të majtë. Për më tepër, kur rrezja lëviz nga pika A në pikën B, pika A ka kohë për të lëvizur dhe, në përputhje me rrethanat, drita tashmë do të arrijë në një pikë të re C. Për të gjetur gjysmën e distancës me të cilën pika A ka lëvizur, duhet të shumëzoni shpejtësia e rreshtit për gjysmën e kohës së udhëtimit të rrezes (t ").
Dhe për të gjetur se sa larg mund të udhëtojë një rreze drite gjatë kësaj kohe, duhet të shënoni gjysmën e shtegut me një shkronjë të re s dhe të merrni shprehjen e mëposhtme:
Nëse imagjinojmë se pikat e dritës C dhe B, si dhe rreshtimi hapësinor, janë kulmet e një trekëndëshi dykëndësh, atëherë segmenti nga pika A në rreshtim do ta ndajë atë në dy trekëndësha kënddrejtë. Prandaj, falë teoremës së Pitagorës, ju mund të gjeni distancën që mund të përshkojë një rreze drite.
Ky shembull, natyrisht, nuk është më i suksesshmi, pasi vetëm disa do të kenë fatin ta provojnë në praktikë. Prandaj, le të shqyrtojmë aplikime më të zakonshme të kësaj teoreme.
Gama e transmetimit të sinjalit celular
Jeta moderne nuk mund të imagjinohet më pa ekzistencën e telefonave inteligjentë. Por sa do të përdoreshin nëse nuk mund të lidhnin abonentët përmes komunikimeve celulare?!
Cilësia e komunikimeve celulare varet drejtpërdrejt nga lartësia në të cilën ndodhet antena e operatorit celular. Për të llogaritur se sa larg nga një kullë celulare mund të marrë një sinjal një telefon, mund të aplikoni teoremën e Pitagorës.
Le të themi se ju duhet të gjeni lartësinë e përafërt të një kulle të palëvizshme në mënyrë që ajo të shpërndajë një sinjal brenda një rrezeje prej 200 kilometrash.
AB (lartësia e kullës) = x;
BC (rrezja e transmetimit të sinjalit) = 200 km;
OS (rrezja e globit) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Duke zbatuar teoremën e Pitagorës, zbulojmë se lartësia minimale e kullës duhet të jetë 2.3 kilometra.
Teorema e Pitagorës në jetën e përditshme
Mjaft e çuditshme, teorema e Pitagorës mund të jetë e dobishme edhe në çështjet e përditshme, të tilla si përcaktimi i lartësisë së një gardërobë, për shembull. Në shikim të parë, nuk ka nevojë të përdorni llogaritje të tilla komplekse, sepse thjesht mund të bëni matje duke përdorur një masë shirit. Por shumë njerëz pyesin pse lindin disa probleme gjatë procesit të montimit nëse të gjitha matjet janë marrë më shumë se saktë.
Fakti është se gardëroba është mbledhur në një pozicion horizontal dhe vetëm atëherë ngrihet dhe instalohet në mur. Prandaj, gjatë procesit të ngritjes së strukturës, ana e kabinetit duhet të lëvizë lirshëm si përgjatë lartësisë ashtu edhe diagonalisht të dhomës.
Le të supozojmë se ka një gardërobë me një thellësi prej 800 mm. Distanca nga dyshemeja në tavan - 2600 mm. Një prodhues me përvojë mobiljesh do të thotë se lartësia e kabinetit duhet të jetë 126 mm më pak se lartësia e dhomës. Por pse pikërisht 126 mm? Le të shohim një shembull.
Me dimensione ideale të kabinetit, le të kontrollojmë funksionimin e teoremës së Pitagorës:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC = √2474 2 +800 2 =2600 mm - gjithçka përshtatet.
Le të themi se lartësia e kabinetit nuk është 2474 mm, por 2505 mm. Pastaj:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Prandaj, ky kabinet nuk është i përshtatshëm për instalim në këtë dhomë. Sepse ngritja e tij në një pozicion vertikal mund të shkaktojë dëmtim të trupit të tij.
Ndoshta, duke shqyrtuar mënyra të ndryshme të vërtetimit të teoremës së Pitagorës nga shkencëtarë të ndryshëm, mund të konkludojmë se ajo është më se e vërtetë. Tani mund të përdorni informacionin e marrë në jetën tuaj të përditshme dhe të jeni plotësisht të sigurt se të gjitha llogaritjet do të jenë jo vetëm të dobishme, por edhe të sakta.
Teorema e Pitagorës: Shuma e sipërfaqeve të katrorëve që mbështeten në këmbë ( a Dhe b), e barabartë me sipërfaqen e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë ( c).
Formulimi gjeometrik:
Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:
Formulimi algjebrik:
Kjo do të thotë, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit me c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a Dhe b :
a 2 + b 2 = c 2Të dy formulimet e teoremës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar dhe nuk kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, pohimi i dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për sipërfaqen dhe duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Teorema e Pitagorës së kundërt:
Dëshmi
Për momentin, 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta, teorema e Pitagorës është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.
Sigurisht, konceptualisht të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre: provat me metodën e zonës, provat aksiomatike dhe ekzotike (për shembull, duke përdorur ekuacione diferenciale).
Përmes trekëndëshave të ngjashëm
Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është vërtetimi më i thjeshtë, i ndërtuar drejtpërdrejt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.
Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Le të nxjerrim lartësinë nga C dhe shënoni bazën e tij me H. Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh ABC në dy qoshe. Po kështu, trekëndësh CBH i ngjashëm ABC. Duke futur shënimin
marrim
Çfarë është ekuivalente
Duke e shtuar atë, marrim
Provat duke përdorur metodën e zonës
Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Ata të gjithë përdorin vetitë e zonës, vërtetimi i së cilës është më kompleks se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.
Vërtetimi nëpërmjet ekuiplotësimit
- Le të rregullojmë katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë siç tregohet në figurën 1.
- Katërkëndësh me brinjë cështë katror, pasi shuma e dy këndeve akute është 90°, kurse këndi i drejtë është 180°.
- Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë, me sipërfaqen e një katrori me brinjë (a + b), dhe nga ana tjetër, me shumën e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe dy të brendshëm katrore.
Q.E.D.
Provat përmes ekuivalencës
Provë elegante duke përdorur ndërrim
Një shembull i një prove të tillë është paraqitur në vizatimin në të djathtë, ku një katror i ndërtuar mbi hipotenuzë është riorganizuar në dy katrorë të ndërtuar mbi këmbët.
Prova e Euklidit
Vizatim për provën e Euklidit
Ilustrim për provën e Euklidit
Ideja e vërtetimit të Euklidit është si vijon: le të përpiqemi të vërtetojmë se gjysma e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë, dhe më pas sipërfaqet e katrorët e mëdhenj dhe dy të vegjël janë të barabartë.
Le të shohim vizatimin në të majtë. Mbi të ndërtuam katrorë në brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë dhe vizatuam një rreze s nga kulmi i këndit të drejtë C pingul me hipotenuzën AB, katrorin ABIK, të ndërtuar mbi hipotenuzë, e pret në dy drejtkëndësha - BHJI dhe HAKJ, përkatësisht. Rezulton se sipërfaqet e këtyre drejtkëndëshave janë saktësisht të barabarta me sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbët përkatëse.
Le të përpiqemi të vërtetojmë se sipërfaqja e katrorit DECA është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit AHJK për ta bërë këtë, ne do të përdorim një vëzhgim ndihmës: Sipërfaqja e një trekëndëshi me të njëjtën lartësi dhe bazë. drejtkëndëshi i dhënë është i barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të dhënë. Kjo është pasojë e përcaktimit të zonës së një trekëndëshi si gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë. Nga ky vëzhgim rezulton se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit AHK (nuk tregohet në figurë), e cila nga ana tjetër është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit AHJK.
Le të vërtetojmë tani se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është gjithashtu e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit DECA. E vetmja gjë që duhet bërë për këtë është të vërtetohet barazia e trekëndëshave ACK dhe BDA (pasi sipërfaqja e trekëndëshit BDA është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit sipas vetive të mësipërme). Barazia është e dukshme, trekëndëshat janë të barabartë në të dy anët dhe këndi ndërmjet tyre. Domethënë - AB=AK,AD=AC - barazia e këndeve CAK dhe BAD është e lehtë të vërtetohet me metodën e lëvizjes: ne e rrotullojmë trekëndëshin CAK 90° në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë është e qartë se brinjët përkatëse të dy trekëndëshave në pyetja do të përkojë (për faktin se këndi në kulmin e katrorit është 90°).
Arsyetimi për barazinë e sipërfaqeve të katrorit BCFG dhe drejtkëndëshit BHJI është plotësisht i ngjashëm.
Kështu, ne kemi vërtetuar se sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzë përbëhet nga sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbë. Ideja pas kësaj prove ilustrohet më tej nga animacioni i mësipërm.
Dëshmi e Leonardo da Vinçit
Dëshmi e Leonardo da Vinçit
Elementet kryesore të provës janë simetria dhe lëvizja.
Le ta konsiderojmë vizatimin, siç shihet nga simetria, një segment CI pret katrorin ABHJ në dy pjesë identike (nga trekëndëshat ABC Dhe JHI të barabartë në ndërtim). Duke përdorur një rrotullim 90 gradë në drejtim të kundërt të akrepave të orës, ne shohim barazinë e figurave me hije CAJI Dhe GDAB . Tani është e qartë se sipërfaqja e figurës që kemi hijezuar është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë dhe sipërfaqes së trekëndëshit origjinal. Nga ana tjetër, është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë, plus sipërfaqen e trekëndëshit origjinal. Hapi i fundit në vërtetim i lihet lexuesit.
Vërtetimi me metodën e pafundme
Prova e mëposhtme duke përdorur ekuacione diferenciale i atribuohet shpesh matematikanit të famshëm anglez Hardy, i cili jetoi në gjysmën e parë të shekullit të 20-të.
Duke parë vizatimin e paraqitur në figurë dhe duke vëzhguar ndryshimin në anë a, mund të shkruajmë relacionin e mëposhtëm për inkretime anësore pafundësisht të vogla Me Dhe a(duke përdorur ngjashmërinë e trekëndëshit):
Vërtetimi me metodën e pafundme
Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë
Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve në të dyja anët
Duke integruar këtë ekuacion dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim
c 2 = a 2 + b 2 + konstante.Kështu arrijmë në përgjigjen e dëshiruar
c 2 = a 2 + b 2 .Siç shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të proporcionalitetit linear midis brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma shoqërohet me kontribute të pavarura nga rritja e këmbëve të ndryshme.
Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton një rritje (në këtë rast, këmba b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim
Variacione dhe përgjithësime
- Nëse në vend të katrorëve ndërtojmë figura të tjera të ngjashme në anët, atëherë përgjithësimi i mëposhtëm i teoremës së Pitagorës është i vërtetë: Në një trekëndësh kënddrejtë, shuma e sipërfaqeve të figurave të ngjashme të ndërtuara në anët është e barabartë me sipërfaqen e figurës së ndërtuar në hipotenuzë. Veçanërisht:
- Shuma e sipërfaqeve të trekëndëshave të rregullt të ndërtuar në këmbë është e barabartë me sipërfaqen e një trekëndëshi të rregullt të ndërtuar mbi hipotenuzë.
- Shuma e sipërfaqeve të gjysmërrethave të ndërtuara në këmbë (si në diametër) është e barabartë me sipërfaqen e gjysmërrethit të ndërtuar në hipotenuzë. Ky shembull përdoret për të vërtetuar vetitë e figurave të kufizuara nga harqet e dy rrathëve dhe të quajtur lunulae Hipokrati.
Histori
Chu-pei 500–200 pes. Në të majtë është mbishkrimi: shuma e katrorëve të gjatësisë së lartësisë dhe bazës është katrori i gjatësisë së hipotenuzës.
Libri i lashtë kinez Chu-pei flet për një trekëndësh të Pitagorës me brinjët 3, 4 dhe 5: i njëjti libër ofron një vizatim që përkon me një nga vizatimet e gjeometrisë hindu të Basharës.
Cantor (historiani më i madh gjerman i matematikës) beson se barazia 3² + 4² = 5² ishte e njohur tashmë për egjiptianët rreth vitit 2300 para Krishtit. e., gjatë kohës së mbretit Amenemhat I (sipas papirusit 6619 të Muzeut të Berlinit). Sipas Cantor, harpedonaptet, ose "tërheqësit e litarit", ndërtonin kënde të drejta duke përdorur trekëndësha kënddrejtë me brinjë 3, 4 dhe 5.
Është shumë e lehtë të riprodhosh metodën e tyre të ndërtimit. Le të marrim një litar 12 m të gjatë dhe t'i lidhim një shirit me ngjyrë në një distancë prej 3 m. nga njëri skaj dhe 4 metra nga tjetri. Këndi i duhur do të mbyllet midis anëve 3 dhe 4 metra të gjatë. Harpedonaptëve mund t'u kundërshtohet se metoda e tyre e ndërtimit bëhet e tepërt nëse përdoret, për shembull, një shesh druri, i cili përdoret nga të gjithë marangozët. Në të vërtetë, janë të njohura vizatimet egjiptiane në të cilat gjendet një mjet i tillë, për shembull, vizatime që përshkruajnë punëtorinë e një marangozi.
Dihet disi më shumë për teoremën e Pitagorës tek babilonasit. Në një tekst që daton në kohën e Hamurabit, pra në vitin 2000 p.e.s. e., jepet një llogaritje e përafërt e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë. Nga kjo mund të konkludojmë se në Mesopotami ata ishin në gjendje të kryenin llogaritjet me trekëndësha kënddrejtë, të paktën në disa raste. Bazuar, nga njëra anë, në nivelin aktual të njohurive për matematikën egjiptiane dhe babilonase, dhe nga ana tjetër, në një studim kritik të burimeve greke, Van der Waerden (matematicien holandez) doli në përfundimin e mëposhtëm:
Letërsia
Në rusisht
- Skopets Z. A. Miniatura gjeometrike. M., 1990
- Elensky Shch. Në gjurmët e Pitagorës. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Shkenca e zgjimit. Matematika e Egjiptit të Lashtë, Babilonisë dhe Greqisë. M., 1959
- Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. M., 1982
- W. Litzman, "Teorema e Pitagorës" M., 1960.
- Një faqe për teoremën e Pitagorës me një numër të madh provash, materiale të marra nga libri i V. Litzmann, një numër i madh vizatimesh janë paraqitur në formën e skedarëve grafikë të veçantë.
- Teorema e Pitagorës dhe kapitulli i trefishtë i Pitagorës nga libri i D. V. Anosov "Një vështrim në matematikë dhe diçka nga ajo"
- Rreth teoremës së Pitagorës dhe metodave të vërtetimit të saj G. Glaser, akademik i Akademisë Ruse të Arsimit, Moskë
Në Anglisht
- Teorema e Pitagorës në WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, seksion mbi teoremën e Pitagorës, rreth 70 prova dhe informacion shtesë të gjerë (anglisht)
Fondacioni Wikimedia. 2010.
Udhëzimet
Nëse keni nevojë të llogaritni duke përdorur teoremën e Pitagorës, përdorni algoritmin e mëposhtëm: - Përcaktoni në një trekëndësh se cilat brinjë janë këmbët dhe cilat janë hipotenuza. Dy anët që formojnë një kënd prej nëntëdhjetë gradë janë këmbët, e treta e mbetur është hipotenuza. (cm) - Ngrini çdo këmbë të këtij trekëndëshi në fuqinë e dytë, domethënë shumëzojeni vetë. Shembulli 1. Supozojmë se duhet të llogarisim hipotenuzën nëse njëra këmbë në një trekëndësh është 12 cm dhe tjetra është 5 cm Së pari, katrorët e këmbëve janë të barabarta: 12 * 12 = 144 cm dhe 5 * 5 = 25 cm. Më pas, përcaktoni shumën e këmbëve katrore. Një numër i caktuar është hipotenuzë, duhet të heqësh qafe fuqinë e dytë të numrit për të gjetur gjatësia këtë anë të trekëndëshit. Për ta bërë këtë, nxirrni nga rrënja katrore vlerën e shumës së katrorëve të këmbëve. Shembulli 1. 144+25=169. Rrënja katrore e 169 është 13. Prandaj, gjatësia e kësaj hipotenuzë e barabartë me 13 cm.
Një mënyrë tjetër për të llogaritur gjatësinë hipotenuzë qëndron në terminologjinë e sinusit dhe këndeve në një trekëndësh. Sipas përkufizimit: sinusi i këndit alfa - këmba e kundërt me hipotenuzën. Kjo do të thotë, duke parë figurën, sin a = CB / AB. Prandaj, hipotenuza AB = CB / sin a Shembulli 2. Le të jetë këndi 30 gradë, dhe ana e kundërt të jetë 4 cm. Zgjidhje: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Përgjigje: gjatësia hipotenuzë e barabartë me 8 cm.
Një mënyrë e ngjashme për të gjetur hipotenuzë nga përkufizimi i kosinusit të një këndi. Kosinusi i një këndi është raporti i anës ngjitur me të dhe hipotenuzë. Kjo do të thotë, cos a = AC/AB, pra AB = AC/cos a. Shembulli 3. Në trekëndëshin ABC, AB është hipotenuza, këndi BAC është 60 gradë, këmbët AC është 2 cm.
Zgjidhje: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Përgjigje: Hipotenuza është e gjatë 4 cm.
Këshilla të dobishme
Kur gjeni vlerën e sinusit ose kosinusit të një këndi, përdorni ose tabelën e sinusit dhe kosinusit ose tabelën Bradis.
Këshilla 2: Si të gjeni gjatësinë e hipotenuzës në një trekëndësh kënddrejtë
Hipotenuza është ana më e gjatë në një trekëndësh kënddrejtë, kështu që nuk është për t'u habitur që fjala përkthehet nga greqishtja si "shtrirë". Kjo anë qëndron gjithmonë përballë këndit 90°, dhe anët që formojnë këtë kënd quhen këmbë. Duke ditur gjatësitë e këtyre anëve dhe vlerat e këndeve akute në kombinime të ndryshme të këtyre vlerave, mund të llogarisim gjatësinë e hipotenuzës.
Udhëzimet
Nëse dihen gjatësitë e të dy trekëndëshave (A dhe B), atëherë përdorni gjatësitë e hipotenuzës (C), ndoshta postulati më i famshëm matematikor - teorema e Pitagorës. Ai thotë se katrori i gjatësisë së hipotenuzës është shuma e katrorëve të gjatësisë së këmbëve, nga e cila rezulton se duhet të llogaritni rrënjën e shumës së gjatësive në katror të dy anëve: C = √ ( A² + B²). Për shembull, nëse gjatësia e njërës këmbë është 15 dhe - 10 centimetra, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë afërsisht 18.0277564 centimetra, pasi √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.02775
Nëse dihet gjatësia e vetëm njërës nga këmbët (A) në një trekëndësh kënddrejtë, si dhe vlera e këndit përballë tij (α), atëherë gjatësia e hipotenuzës (C) mund të përdoret duke përdorur një nga trigonometrik. funksionet - sinusi. Për ta bërë këtë, pjesëtoni gjatësinë e brinjës së njohur me sinusin e këndit të njohur: C=A/sin(α). Për shembull, nëse gjatësia e njërës prej këmbëve është 15 centimetra, dhe këndi në kulmin e kundërt të trekëndëshit është 30°, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë e barabartë me 30 centimetra, pasi 15/sin(30°) =15/0.5=30.
Nëse në një trekëndësh kënddrejtë dihet madhësia e njërit prej këndeve akute (α) dhe gjatësia e këmbës ngjitur (B), atëherë për të llogaritur gjatësinë e hipotenuzës (C) mund të përdorni një funksion tjetër trigonometrik - kosinus. Gjatësinë e këmbës së njohur duhet ta ndani me kosinusin e këndit të njohur: C=B/ cos(α). Për shembull, nëse gjatësia e kësaj këmbë është 15 centimetra, dhe këndi akut ngjitur me të është 30°, atëherë gjatësia e hipotenuzës do të jetë afërsisht 17,3205081 centimetra, pasi 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.
Gjatësia zakonisht përdoret për të treguar distancën midis dy pikave në një segment vije. Mund të jetë një vijë e drejtë, e thyer ose e mbyllur. Ju mund ta llogaritni gjatësinë mjaft thjesht nëse dini disa tregues të tjerë të segmentit.
Udhëzimet
Nëse ju duhet të gjeni gjatësinë e brinjës së një katrori, atëherë ajo nuk do të jetë , nëse e dini sipërfaqen e tij S. Për shkak të faktit se të gjitha anët e katrorit kanë
Teorema e Pitagorës
Në mënyrë të ngjashme, trekëndëshi CBH është i ngjashëm me ABC. Duke futur shënimin 
1. Vendosni katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë siç tregohet në figurë. 
Ideja e vërtetimit të Euklidit është si vijon: le të përpiqemi të vërtetojmë se gjysma e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë, dhe më pas sipërfaqet e katrorët e mëdhenj dhe dy të vegjël janë të barabartë. Le të shohim vizatimin në të majtë. Mbi të ndërtuam katrorë në brinjët e një trekëndëshi kënddrejtë dhe vizatuam një rreze s nga kulmi i këndit të drejtë C pingul me hipotenuzën AB, katrorin ABIK, të ndërtuar mbi hipotenuzë, e pret në dy drejtkëndësha - BHJI dhe HAKJ, përkatësisht. Rezulton se sipërfaqet e këtyre drejtkëndëshave janë saktësisht të barabarta me sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbët përkatëse. Le të përpiqemi të vërtetojmë se sipërfaqja e katrorit DECA është e barabartë me sipërfaqen e drejtkëndëshit AHJK për ta bërë këtë, ne do të përdorim një vëzhgim ndihmës: Sipërfaqja e një trekëndëshi me të njëjtën lartësi dhe bazë. drejtkëndëshi i dhënë është i barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit të dhënë. Kjo është pasojë e përcaktimit të zonës së një trekëndëshi si gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë. Nga ky vëzhgim rezulton se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është e barabartë me sipërfaqen e trekëndëshit AHK (nuk tregohet në figurë), e cila nga ana tjetër është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit AHJK. Le të vërtetojmë tani se sipërfaqja e trekëndëshit ACK është gjithashtu e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit DECA. E vetmja gjë që duhet bërë për këtë është të vërtetohet barazia e trekëndëshave ACK dhe BDA (pasi sipërfaqja e trekëndëshit BDA është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit sipas vetive të mësipërme). Barazia është e dukshme, trekëndëshat janë të barabartë në të dy anët dhe këndi ndërmjet tyre. Domethënë - AB=AK,AD=AC - barazia e këndeve CAK dhe BAD është e lehtë të vërtetohet me metodën e lëvizjes: ne e rrotullojmë trekëndëshin CAK 90° në drejtim të kundërt të akrepave të orës, atëherë është e qartë se brinjët përkatëse të dy trekëndëshave në pyetja do të përkojë (për faktin se këndi në kulmin e katrorit është 90°). Arsyetimi për barazinë e sipërfaqeve të katrorit BCFG dhe drejtkëndëshit BHJI është plotësisht i ngjashëm. Kështu, ne kemi vërtetuar se sipërfaqja e një katrori të ndërtuar mbi hipotenuzë përbëhet nga sipërfaqet e katrorëve të ndërtuar në këmbë. 
Le të shqyrtojmë vizatimin, siç shihet nga simetria, segmenti CI e pret katrorin ABHJ në dy pjesë identike (pasi trekëndëshat ABC dhe JHI janë të barabartë në ndërtim). Duke përdorur një rrotullim 90 gradë në drejtim të akrepave të orës, ne shohim barazinë e figurave të hijezuara CAJI dhe GDAB. Tani është e qartë se sipërfaqja e figurës që kemi hijezuar është e barabartë me shumën e gjysmës së sipërfaqeve të katrorëve të ndërtuar në këmbë dhe sipërfaqes së trekëndëshit origjinal. Nga ana tjetër, është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë, plus sipërfaqen e trekëndëshit origjinal. Hapi i fundit në vërtetim i lihet lexuesit.Teorema e Pitagorës- një nga teoremat themelore të gjeometrisë Euklidiane, që vendos relacionin
ndërmjet brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Besohet se është vërtetuar nga matematikani grek Pitagora, pas të cilit u emërua.
Formulimi gjeometrik i teoremës së Pitagorës.
Teorema fillimisht u formulua si më poshtë:
Në një trekëndësh kënddrejtë, sipërfaqja e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzë është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të katrorëve,
ndërtuar mbi këmbë.
Formulimi algjebrik i teoremës së Pitagorës.
Në një trekëndësh kënddrejtë, katrori i gjatësisë së hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të gjatësisë së këmbëve.
Kjo do të thotë, duke treguar gjatësinë e hipotenuzës së trekëndëshit me c, dhe gjatësitë e këmbëve nëpër a Dhe b:
Të dyja formulimet Teorema e Pitagorës janë ekuivalente, por formulimi i dytë është më elementar, nuk ka
kërkon konceptin e zonës. Kjo do të thotë, deklarata e dytë mund të verifikohet pa ditur asgjë për zonën dhe
duke matur vetëm gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Teorema e Pitagorës kundërt.
Nëse katrori i njërës anë të trekëndëshit është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera, atëherë
trekëndësh kënddrejtë.
Ose, me fjalë të tjera:
Për çdo trefish të numrave pozitivë a, b Dhe c, sikurse
ka një trekëndësh kënddrejtë me këmbë a Dhe b dhe hipotenuzë c.
Teorema e Pitagorës për një trekëndësh izoscelular.
Teorema e Pitagorës për një trekëndësh barabrinjës.
Dëshmitë e teoremës së Pitagorës.
Aktualisht, 367 prova të kësaj teoreme janë regjistruar në literaturën shkencore. Ndoshta teorema
Pitagora është e vetmja teoremë me një numër kaq mbresëlënës provash. Një diversitet i tillë
mund të shpjegohet vetëm me rëndësinë themelore të teoremës për gjeometrinë.
Sigurisht, konceptualisht të gjitha ato mund të ndahen në një numër të vogël klasash. Më të famshmit prej tyre:
provë metoda e zonës, aksiomatike Dhe dëshmi ekzotike(Për shembull,
duke përdorur ekuacionet diferenciale).
1. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur trekëndësha të ngjashëm.
Vërtetimi i mëposhtëm i formulimit algjebrik është më i thjeshti nga provat e ndërtuara
direkt nga aksiomat. Në veçanti, ai nuk përdor konceptin e zonës së një figure.
Le ABC ka një trekëndësh kënddrejtë me kënd të drejtë C. Le të nxjerrim lartësinë nga C dhe shënojnë
themeli i saj nëpërmjet H.
Trekëndëshi ACH të ngjashme me një trekëndësh AB C në dy qoshe. Po kështu, trekëndësh CBH i ngjashëm ABC.
Duke futur shënimin:
marrim:
,
që korrespondon me -
Të palosur a 2 dhe b 2, marrim:
ose , që është ajo që duhej vërtetuar.
2. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës duke përdorur metodën e zonës.
Provat e mëposhtme, megjithë thjeshtësinë e tyre të dukshme, nuk janë aspak aq të thjeshta. Të gjithë ata
përdorni vetitë e zonës, provat e të cilave janë më komplekse se vërtetimi i vetë teoremës së Pitagorës.
- Vërtetimi përmes baraziplotësimit.
Le të organizojmë katër drejtkëndëshe të barabarta
trekëndësh siç tregohet në figurë
në të djathtë.
Katërkëndësh me brinjë c- katror,
meqenëse shuma e dy këndeve akute është 90°, dhe
këndi i shpalosur - 180°.
Sipërfaqja e të gjithë figurës është e barabartë, nga njëra anë,
sipërfaqja e një katrori me anë ( a+b), dhe nga ana tjetër, shuma e sipërfaqeve të katër trekëndëshave dhe
Q.E.D.
3. Vërtetimi i teoremës së Pitagorës me metodën infinitezimale.
Duke parë vizatimin e paraqitur në figurë dhe
duke parë ndryshimin e anësa, ne mundemi
shkruani relacionin e mëposhtëm për pafundësi
i vogël rritje anësoreMe Dhe a(duke përdorur ngjashmëri
trekëndëshat):
Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, gjejmë:
Një shprehje më e përgjithshme për ndryshimin e hipotenuzës në rastin e rritjeve në të dy anët:
Duke integruar këtë ekuacion dhe duke përdorur kushtet fillestare, marrim:
Kështu arrijmë në përgjigjen e dëshiruar:
Siç shihet lehtë, varësia kuadratike në formulën përfundimtare shfaqet për shkak të linjës
proporcionaliteti ndërmjet brinjëve të trekëndëshit dhe rritjeve, ndërsa shuma lidhet me të pavarurin
kontributet nga rritja e këmbëve të ndryshme.
Një provë më e thjeshtë mund të merret nëse supozojmë se njëra nga këmbët nuk përjeton rritje
(në këtë rast këmbën b). Pastaj për konstantën e integrimit marrim:
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve